§E12.7射影値測度

最終更新

有限次元の Hilbert 空間上の自己共役作用素は、固有値と固有空間への直交射影の積の和として表される。一方、無限次元では固有ベクトルの線形包が空間全体で稠密であるとは限らないため、固有値ごとの射影和だけですべての自己共役作用素を記述することができない。射影値測度は、可測集合に直交射影を対応させることによって、射影和を積分へ拡張するための基本的な概念である。例えば、複素数値数列の Hilbert 空間ℓ2\ell^2では、添字の集合を指定し、その集合に属する項を残して他の項を零にする直交射影から射影値測度を得る。本記事では、射影値測度とその積分の基本事項について解説する。

1 総和可能な族と Hilbert 直和

定義 1.1.AAを集合とし、AAの有限部分集合の全体をF(A)\mathcal F(A)と書く。

  1. [0,∞][0,\infty]に値をとる族(aα)α∈A(a_\alpha)_{\alpha\in A}に対して、 ∑α∈Aaα=sup⁡F∈F(A)∑α∈Faα∈[0,∞]\sum_{\alpha\in A}a_\alpha=\sup_{F\in\mathcal F(A)}\sum_{\alpha\in F}a_\alpha\in[0,\infty] と定める。
  2. XXをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上のノルム空間とし、(xα)α∈A(x_\alpha)_{\alpha\in A}をXXの元の族、x∈Xx\in Xとする。任意のε>0\ep>0に対してF0∈F(A)F_0\in\mathcal F(A)が存在し、F0⊆FF_0\subseteq Fを満たすすべてのF∈F(A)F\in\mathcal F(A)について∥x−∑α∈Fxα∥<ε\bigl\|x-\sum_{\alpha\in F}x_\alpha\bigr\|<\epが成り立つとき、族(xα)(x_\alpha)は 総和可能 (summable) であるといい、xxをその和と呼んでx=∑α∈Axαx=\sum_{\alpha\in A}x_\alphaと書く。

総和可能な族の和はただ一つである。実際、x,x′x,x'がともに和であるとき、ε>0\ep>0に対してそれぞれのF0,F0′F_0,F_0'をとりF=F0∪F0′F=F_0\cup F_0'とおくと∥x−x′∥<2ε\|x-x'\|<2\epである。[0,∞)[0,\infty)に値をとる族について(1)の和SSが有限ならば、族はR\Rにおいて総和可能であり、その和はSSに等しい。実際、ε>0\ep>0に対して∑α∈F0aα>S−ε\sum_{\alpha\in F_0}a_\alpha>S-\epを満たすF0F_0をとると、F0⊆FF_0\subseteq Fを満たすすべてのF∈F(A)F\in\mathcal F(A)についてS−ε<∑α∈Faα≤SS-\ep<\sum_{\alpha\in F}a_\alpha\le Sである。

補題 1.2.A,BA,Bを集合とし、(cα,β)(α,β)∈A×B(c_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in A\times B}を[0,∞][0,\infty]に値をとる族とする。このとき

∑(α,β)∈A×Bcα,β=∑α∈A∑β∈Bcα,β=∑β∈B∑α∈Acα,β\sum_{(\alpha,\beta)\in A\times B}c_{\alpha,\beta}=\sum_{\alpha\in A}\sum_{\beta\in B}c_{\alpha,\beta}=\sum_{\beta\in B}\sum_{\alpha\in A}c_{\alpha,\beta}

が[0,∞][0,\infty]において成り立つ。

証明.S=∑(α,β)∈A×Bcα,βS=\sum_{(\alpha,\beta)\in A\times B}c_{\alpha,\beta}、T=∑α∈A∑β∈Bcα,βT=\sum_{\alpha\in A}\sum_{\beta\in B}c_{\alpha,\beta}とおく。F∈F(A×B)F\in\mathcal F(A\times B)とし、FFの第1成分と第2成分の全体をそれぞれFA∈F(A)F_A\in\mathcal F(A)、FB∈F(B)F_B\in\mathcal F(B)とする。F⊆FA×FBF\subseteq F_A\times F_Bであり、各項は00以上であるから

∑(α,β)∈Fcα,β≤∑α∈FA∑β∈FBcα,β≤∑α∈FA∑β∈Bcα,β≤T\sum_{(\alpha,\beta)\in F}c_{\alpha,\beta}\le\sum_{\alpha\in F_A}\sum_{\beta\in F_B}c_{\alpha,\beta}\le\sum_{\alpha\in F_A}\sum_{\beta\in B}c_{\alpha,\beta}\le T

である。FFについて上限をとるとS≤TS\le Tを得る。

G∈F(A)G\in\mathcal F(A)とし、各α∈G\alpha\in GについてGα∈F(B)G_\alpha\in\mathcal F(B)をとる。{(α,β):α∈G, β∈Gα}\{(\alpha,\beta):\alpha\in G,\ \beta\in G_\alpha\}はA×BA\times Bの有限部分集合であるから

∑α∈G∑β∈Gαcα,β≤S\sum_{\alpha\in G}\sum_{\beta\in G_\alpha}c_{\alpha,\beta}\le S

である。左辺は各GαG_\alphaについて単調非減少な有限個の項の和であるから、α∈G\alpha\in GごとにGαG_\alphaについて順に上限をとると∑α∈G∑β∈Bcα,β≤S\sum_{\alpha\in G}\sum_{\beta\in B}c_{\alpha,\beta}\le Sを得る。GGについて上限をとるとT≤ST\le Sを得る。したがってS=TS=Tである。

全単射A×B→B×AA\times B\to B\times A、(α,β)↦(β,α)(\alpha,\beta)\mapsto(\beta,\alpha)は有限部分集合どうしを対応させるから、S=∑(β,α)∈B×Acα,βS=\sum_{(\beta,\alpha)\in B\times A}c_{\alpha,\beta}である。この族にいま示した等式を適用すると、S=∑β∈B∑α∈Acα,βS=\sum_{\beta\in B}\sum_{\alpha\in A}c_{\alpha,\beta}を得る。▨

補題 1.3.X,YX,YをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上のノルム空間とし、JJを集合とする。(xj)j∈J(x_j)_{j\in J}と(yj)j∈J(y_j)_{j\in J}をXXの元の総和可能な族とし、それぞれの和をx,yx,yとする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべてのc∈Kc\in\mathbb Kについて、族(xj+cyj)j∈J(x_j+cy_j)_{j\in J}は総和可能であり、その和はx+cyx+cyである。
  2. すべてのL∈B(X,Y)L\in B(X,Y)について、族(Lxj)j∈J(Lx_j)_{j\in J}は総和可能であり、その和はLxLxである。
  3. JJのすべての有限部分集合FFについて、族(xj)j∈J∖F(x_j)_{j\in J\setminus F}は総和可能であり、その和はx−∑j∈Fxjx-\sum_{j\in F}x_jである。
  4. J=N≥1J=\NNならば、級数∑k=1∞xk\sum_{k=1}^\infty x_kはxxに収束する。

証明.ε>0\ep>0とする。定義 1.1 (2)により、JJの有限部分集合FxF_xとFyF_yを、Fx⊆FF_x\subseteq Fを満たすJJのすべての有限部分集合FFについて∥x−∑j∈Fxj∥<ε\bigl\|x-\sum_{j\in F}x_j\bigr\|<\epが成り立ち、Fy⊆FF_y\subseteq Fを満たすすべてのFFについて∥y−∑j∈Fyj∥<ε\bigl\|y-\sum_{j\in F}y_j\bigr\|<\epが成り立つようにとる。

主張 (1)を示す。Fx∪Fy⊆FF_x\cup F_y\subseteq Fならば

∥x+cy−∑j∈F(xj+cyj)∥≤∥x−∑j∈Fxj∥+∣c∣ ∥y−∑j∈Fyj∥<(1+∣c∣)ε\Bigl\|x+cy-\sum_{j\in F}(x_j+cy_j)\Bigr\|\le\Bigl\|x-\sum_{j\in F}x_j\Bigr\|+|c|\,\Bigl\|y-\sum_{j\in F}y_j\Bigr\|<(1+|c|)\ep

である。

主張 (2)を示す。Fx⊆FF_x\subseteq Fならば∥Lx−∑j∈FLxj∥≤∥L∥ ∥x−∑j∈Fxj∥≤∥L∥ε<(1+∥L∥)ε\bigl\|Lx-\sum_{j\in F}Lx_j\bigr\|\le\|L\|\,\bigl\|x-\sum_{j\in F}x_j\bigr\|\le\|L\|\ep<(1+\|L\|)\epである。ε>0\ep>0は任意であるから、(Lxj)j∈J(Lx_j)_{j\in J}は総和可能であり、その和はLxLxである。

主張 (3)を示す。GGをJ∖FJ\setminus Fの有限部分集合でFx∖F⊆GF_x\setminus F\subseteq Gを満たすものとすると、Fx⊆F∪GF_x\subseteq F\cup Gであるから

∥(x−∑j∈Fxj)−∑j∈Gxj∥=∥x−∑j∈F∪Gxj∥<ε\Bigl\|\Bigl(x-\sum_{j\in F}x_j\Bigr)-\sum_{j\in G}x_j\Bigr\|=\Bigl\|x-\sum_{j\in F\cup G}x_j\Bigr\|<\ep

である。

主張 (4)を示す。n0n_0をFx⊆{1,…,n0}F_x\subseteq\{1,\dots,n_0\}を満たす自然数とすると、n≥n0n\ge n_0ならば∥x−∑k=1nxk∥<ε\bigl\|x-\sum_{k=1}^nx_k\bigr\|<\epである。▨

補題 1.4.XXをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Banach 空間とし、XXの元の族(xα)α∈A(x_\alpha)_{\alpha\in A}が∑α∈A∥xα∥<∞\sum_{\alpha\in A}\|x_\alpha\|<\inftyを満たすとする。このとき、xα≠0x_\alpha\ne0となるα∈A\alpha\in Aは高々可算個であり、(xα)(x_\alpha)は総和可能であり、∥∑α∈Axα∥≤∑α∈A∥xα∥\bigl\|\sum_{\alpha\in A}x_\alpha\bigr\|\le\sum_{\alpha\in A}\|x_\alpha\|が成り立つ。

証明.S=∑α∈A∥xα∥S=\sum_{\alpha\in A}\|x_\alpha\|とおく。k∈N≥1k\in\NNとし、F∈F(A)F\in\mathcal F(A)のすべての元α\alphaが∥xα∥≥1/k\|x_\alpha\|\ge1/kを満たすとすると、∣F∣/k≤∑α∈F∥xα∥≤S|F|/k\le\sum_{\alpha\in F}\|x_\alpha\|\le Sである。したがって∥xα∥≥1/k\|x_\alpha\|\ge1/kを満たすα\alphaは高々kSkS個であり、xα≠0x_\alpha\ne0となるα\alphaの全体はこれらの有限集合のk∈N≥1k\in\NNにわたる和集合であるから、高々可算である。

各n∈N≥1n\in\NNについて∑α∈Gn∥xα∥>S−2−n\sum_{\alpha\in G_n}\|x_\alpha\|>S-2^{-n}を満たすGn∈F(A)G_n\in\mathcal F(A)をとり、Fn=G1∪⋯∪GnF_n=G_1\cup\cdots\cup G_n、sn=∑α∈Fnxαs_n=\sum_{\alpha\in F_n}x_\alphaとおく。Fn⊆FF_n\subseteq Fを満たすF∈F(A)F\in\mathcal F(A)について

∥∑α∈Fxα−sn∥≤∑α∈F∖Fn∥xα∥=∑α∈F∥xα∥−∑α∈Fn∥xα∥<S−(S−2−n)=2−n\Bigl\|\sum_{\alpha\in F}x_\alpha-s_n\Bigr\|\le\sum_{\alpha\in F\setminus F_n}\|x_\alpha\|=\sum_{\alpha\in F}\|x_\alpha\|-\sum_{\alpha\in F_n}\|x_\alpha\|<S-(S-2^{-n})=2^{-n}

である。m>nm>nならばFn⊆FmF_n\subseteq F_mであるから∥sm−sn∥<2−n\|s_m-s_n\|<2^{-n}であり、(sn)(s_n)は Cauchy 列である。XXの完備性により(sn)(s_n)はあるx∈Xx\in Xに収束し、すべてのnnについて∥x−sn∥≤2−n\|x-s_n\|\le2^{-n}である。ε>0\ep>0に対して21−n<ε2^{1-n}<\epを満たすnnをとると、Fn⊆FF_n\subseteq Fを満たすすべてのF∈F(A)F\in\mathcal F(A)について

∥x−∑α∈Fxα∥≤∥x−sn∥+∥sn−∑α∈Fxα∥<21−n<ε\Bigl\|x-\sum_{\alpha\in F}x_\alpha\Bigr\|\le\|x-s_n\|+\Bigl\|s_n-\sum_{\alpha\in F}x_\alpha\Bigr\|<2^{1-n}<\ep

であるから、x=∑α∈Axαx=\sum_{\alpha\in A}x_\alphaである。さらに∥x∥≤∥x−sn∥+∥sn∥≤2−n+S\|x\|\le\|x-s_n\|+\|s_n\|\le2^{-n}+Sがすべてのnnについて成り立つから、∥x∥≤S\|x\|\le Sである。▨

補題 1.5.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、P∈B(H)P\in B(H)とする。このとき、P2=P=P∗P^2=P=P^*が成り立つための必要十分条件は、P=PMP=P_Mを満たすHHの閉部分空間MMが存在することである。このときM=im⁡PM=\im Pである。

証明. 必要性を示す。P2=P=P∗P^2=P=P^*とし、M=im⁡PM=\im Pとおく。y=Pxy=Pxならば(I−P)y=Px−P2x=0(I-P)y=Px-P^2x=0であり、(I−P)y=0(I-P)y=0ならばy=Py∈My=Py\in Mであるから、M=ker⁡(I−P)M=\ker(I-P)である。I−PI-Pは連続であるから、MMは閉部分空間である。x∈Hx\in Hとする。Px∈MPx\in Mであり、すべてのz∈Hz\in Hについて

⟨x−Px,Pz⟩=⟨P(x−Px),z⟩=⟨Px−P2x,z⟩=0\langle x-Px,Pz\rangle=\langle P(x-Px),z\rangle=\langle Px-P^2x,z\rangle=0

であるから、x−Px∈M⊥x-Px\in M^\perpである。§E10.3 定理 2.2の分解の一意性によりPMx=PxP_Mx=Pxである。

十分性を示す。§E10.3 命題 2.4によりPM2=PMP_M^2=P_Mとim⁡PM=M\im P_M=Mが成り立ち、すべてのx,y∈Hx,y\in Hについて⟨PMx,y⟩=⟨x,PMy⟩\langle P_Mx,y\rangle=\langle x,P_My\rangleが成り立つ。§E12.1 定義 2.1によりPM∗=PMP_M^*=P_Mである。▨

命題 1.6.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。このとき、次が成り立つ。

  1. (Hi)i∈I(H_i)_{i\in I}をK\mathbb K上の Hilbert 空間の族とする。このとき、集合 ⨁i∈IHi={(xi)i∈I∈∏i∈IHi:∑i∈I∥xi∥2<∞}\bigoplus_{i\in I}H_i=\Bigl\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}H_i:\sum_{i\in I}\|x_i\|^2<\infty\Bigr\} は成分ごとの和とスカラー倍についてK\mathbb K上のベクトル空間であり、x=(xi)x=(x_i)とy=(yi)y=(y_i)に対して族(⟨xi,yi⟩)i∈I(\langle x_i,y_i\rangle)_{i\in I}は総和可能であり、⟨x,y⟩=∑i∈I⟨xi,yi⟩\langle x,y\rangle=\sum_{i\in I}\langle x_i,y_i\rangleを内積として Hilbert 空間である。この Hilbert 空間を族(Hi)(H_i)の Hilbert 直和 (Hilbert direct sum) という。j∈Ij\in Iとv∈Hjv\in H_jについて、第jj成分がvvであり他の成分が00である元をJjvJ_jvと書くと、Jj ⁣:Hj→⨁i∈IHiJ_j\colon H_j\to\bigoplus_{i\in I}H_iは内積を保つ線形写像であり、すべてのx∈⨁i∈IHix\in\bigoplus_{i\in I}H_iについてx=∑i∈IJixix=\sum_{i\in I}J_ix_iが成り立つ。
  2. HHをK\mathbb K上の Hilbert 空間とし、(Mi)i∈I(M_i)_{i\in I}をHHの閉部分空間の族で、i≠ji\ne jならばMi⊆Mj⊥M_i\subseteq M_j^\perpを満たすものとし、PiP_iをMiM_iへの直交射影とする。このとき、すべてのx∈Hx\in Hについて∑i∈I∥Pix∥2≤∥x∥2\sum_{i\in I}\|P_ix\|^2\le\|x\|^2が成り立つ。
  3. 主張 (2)のHH、(Mi)(M_i)、(Pi)(P_i)について、さらに⋃i∈IMi\bigcup_{i\in I}M_iの線形包がHHで稠密であるとする。このとき、すべてのx∈Hx\in Hについてx=∑i∈IPixx=\sum_{i\in I}P_ixと∥x∥2=∑i∈I∥Pix∥2\|x\|^2=\sum_{i\in I}\|P_ix\|^2が成り立つ。各MiM_iにHHの内積の制限を入れた Hilbert 空間の族の Hilbert 直和を⨁i∈IMi\bigoplus_{i\in I}M_iとすると、Ux=(Pix)i∈IUx=(P_ix)_{i\in I}で定まるU ⁣:H→⨁i∈IMiU\colon H\to\bigoplus_{i\in I}M_iはユニタリ作用素である。

証明.主張 (1)の証明は演習とする（問題 8.1）。

主張 (2)を示す。i≠ji\ne jならば、§E10.3 命題 2.4によりim⁡Pi=Mi⊆Mj⊥=ker⁡Pj\im P_i=M_i\subseteq M_j^\perp=\ker P_jであるから、PjPi=0P_jP_i=0である。F∈F(I)F\in\mathcal F(I)についてPF=∑i∈FPiP_F=\sum_{i\in F}P_iとおく。PF2=∑i,j∈FPjPi=∑i∈FPi2=PFP_F^2=\sum_{i,j\in F}P_jP_i=\sum_{i\in F}P_i^2=P_Fであり、補題 1.5により各PiP_iはPi∗=PiP_i^*=P_iを満たすから、§E12.1 命題 1.3 (1)によりPF∗=PFP_F^*=P_Fである。補題 1.5により、PFP_Fは閉部分空間MF=im⁡PFM_F=\im P_Fへの直交射影である。i∈Fi\in Fとm∈Mim\in M_iについてPFm=∑j∈FPjPim=Pim=mP_Fm=\sum_{j\in F}P_jP_im=P_im=mであるからMi⊆MFM_i\subseteq M_Fであり、PFP_Fの定義からMF⊆∑i∈FMiM_F\subseteq\sum_{i\in F}M_iであるので、MF=∑i∈FMiM_F=\sum_{i\in F}M_iである。x∈Hx\in Hとする。i≠ji\ne jならばPix∈Mi⊆Mj⊥P_ix\in M_i\subseteq M_j^\perpであるから、PixP_ix（i∈Fi\in F）は互いに直交し、§E10.3 命題 2.4により

∑i∈F∥Pix∥2=∥PFx∥2≤∥x∥2\sum_{i\in F}\|P_ix\|^2=\|P_Fx\|^2\le\|x\|^2

である。FFについて上限をとると主張を得る。

主張 (3)を示す。x∈Hx\in Hとε>0\ep>0をとる。仮定により、⋃i∈IMi\bigcup_{i\in I}M_iの線形包の元zzで∥x−z∥<ε\|x-z\|<\epを満たすものが存在し、zzはあるF0∈F(I)F_0\in\mathcal F(I)について∑i∈F0Mi\sum_{i\in F_0}M_iに属する。F0⊆FF_0\subseteq Fを満たすF∈F(I)F\in\mathcal F(I)についてz∈MFz\in M_Fであり、§E10.3 定理 2.2によりPFxP_FxはxxのMFM_Fにおける最良近似点であるから、

∥x−∑i∈FPix∥=∥x−PFx∥≤∥x−z∥<ε\Bigl\|x-\sum_{i\in F}P_ix\Bigr\|=\|x-P_Fx\|\le\|x-z\|<\ep

である。したがってx=∑i∈IPixx=\sum_{i\in I}P_ixである。§E10.3 定理 2.2の直交分解x=PFx+(x−PFx)x=P_Fx+(x-P_Fx)により

∥x∥2=∥PFx∥2+∥x−PFx∥2<∑i∈I∥Pix∥2+ε2\|x\|^2=\|P_Fx\|^2+\|x-P_Fx\|^2<\sum_{i\in I}\|P_ix\|^2+\ep^2

であり、ε>0\ep>0は任意であるから、主張 (2)と合わせて∥x∥2=∑i∈I∥Pix∥2\|x\|^2=\sum_{i\in I}\|P_ix\|^2を得る。

主張 (2)によりUx∈⨁i∈IMiUx\in\bigoplus_{i\in I}M_iであり、UUは線形で、いま示した等式により∥Ux∥2=∑i∈I∥Pix∥2=∥x∥2\|Ux\|^2=\sum_{i\in I}\|P_ix\|^2=\|x\|^2を満たす。(x,y)↦⟨Ux,Uy⟩(x,y)\mapsto\langle Ux,Uy\rangleと(x,y)↦⟨x,y⟩(x,y)\mapsto\langle x,y\rangleは、K=C\mathbb K=\Cでは第1変数について線形、第2変数について共役線形であり、K=R\mathbb K=\Rでは対称な双線形写像であって、対角線上で一致するから、§E12.1 補題 2.3 (1)と§E12.1 補題 2.3 (2)により一致する。UUの値域は閉集合である。実際、Uxn→wUx_n\to wならば∥xn−xm∥=∥Uxn−Uxm∥\|x_n-x_m\|=\|Ux_n-Ux_m\|により(xn)(x_n)は Cauchy 列であり、極限xxについてUx=wUx=wである。m∈Mim\in M_iならばj≠ij\ne iについてPjm=0P_jm=0、Pim=mP_im=mであるからUm=JimUm=J_imである。主張 (1)により、w∈⨁i∈IMiw\in\bigoplus_{i\in I}M_iはJiwiJ_iw_iの有限和の極限であり、これらの有限和はUUの値域に属するので、wwはUUの値域に属する。したがってUUは全射であり、§E12.1 命題 2.4 (3)によりユニタリ作用素である。▨

2 完全正規直交系

定義 2.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、AAを集合とする。HHの元の族(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}がすべてのα,β∈A\alpha,\beta\in Aについて⟨eα,eβ⟩=δαβ\langle e_\alpha,e_\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}を満たすとき、(eα)(e_\alpha)を 正規直交系 (orthonormal family) という。正規直交系(eα)(e_\alpha)の線形包がHHで稠密であるとき、(eα)(e_\alpha)を 完全正規直交系 (complete orthonormal family) という。AAが有限または可算であるとき、これらは§E10.3 定義 3.1の正規直交系と完全正規直交系に一致する。

補題 2.2.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}をHHの正規直交系とする。このとき、すべてのx∈Hx\in Hについて

∑α∈A∣⟨x,eα⟩∣2≤∥x∥2\sum_{\alpha\in A}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2\le\|x\|^2

が成り立ち、⟨x,eα⟩≠0\langle x,e_\alpha\rangle\ne0となるα∈A\alpha\in Aは高々可算個である。さらに、次の四条件は同値である。

  1. (eα)(e_\alpha)は完全である。
  2. x∈Hx\in Hがすべてのα∈A\alpha\in Aについて⟨x,eα⟩=0\langle x,e_\alpha\rangle=0を満たすならば、x=0x=0である。
  3. すべてのx∈Hx\in Hについて、族(⟨x,eα⟩eα)α∈A(\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha)_{\alpha\in A}は総和可能であり、x=∑α∈A⟨x,eα⟩eαx=\sum_{\alpha\in A}\langle x,e_\alpha\rangle e_\alphaが成り立つ。
  4. すべてのx∈Hx\in Hについて∥x∥2=∑α∈A∣⟨x,eα⟩∣2\|x\|^2=\sum_{\alpha\in A}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2が成り立つ。

証明.α∈A\alpha\in AについてMα=KeαM_\alpha=\mathbb Ke_\alphaとおく。MαM_\alphaは§E10.1 系 2.4により閉部分空間であり、§E10.3 補題 3.2を一元の系eαe_\alphaに適用すると、MαM_\alphaへの直交射影はPαx=⟨x,eα⟩eαP_\alpha x=\langle x,e_\alpha\rangle e_\alphaであって∥Pαx∥=∣⟨x,eα⟩∣\|P_\alpha x\|=|\langle x,e_\alpha\rangle|を満たす。α≠β\alpha\ne\betaならば⟨aeα,beβ⟩=ab‾⟨eα,eβ⟩=0\langle ae_\alpha,be_\beta\rangle=a\overline b\langle e_\alpha,e_\beta\rangle=0であるからMα⊆Mβ⊥M_\alpha\subseteq M_\beta^\perpである。命題 1.6 (2)により不等式を得る。族(∣⟨x,eα⟩∣2)α∈A(|\langle x,e_\alpha\rangle|^2)_{\alpha\in A}を実 Banach 空間R\Rの元の族とみなすと、そのノルムの和は不等式により∥x∥2\|x\|^2以下であって有限であるから、補題 1.4により、∣⟨x,eα⟩∣2≠0|\langle x,e_\alpha\rangle|^2\ne0となるα∈A\alpha\in A、すなわち⟨x,eα⟩≠0\langle x,e_\alpha\rangle\ne0となるα∈A\alpha\in Aは高々可算個である。

(1)⇒\Rightarrow(3)を示す。⋃α∈AMα\bigcup_{\alpha\in A}M_\alphaの線形包は(eα)(e_\alpha)の線形包であるから、命題 1.6 (3)によりx=∑α∈APαx=∑α∈A⟨x,eα⟩eαx=\sum_{\alpha\in A}P_\alpha x=\sum_{\alpha\in A}\langle x,e_\alpha\rangle e_\alphaである。

(3)⇒\Rightarrow(4)を示す。x∈Hx\in Hとε>0\ep>0をとる。F0⊆FF_0\subseteq Fを満たすすべてのF∈F(A)F\in\mathcal F(A)について∥x−∑α∈F⟨x,eα⟩eα∥<ε\bigl\|x-\sum_{\alpha\in F}\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha\bigr\|<\epとなるF0F_0をとる。§E10.3 補題 3.2により∥∑α∈F0⟨x,eα⟩eα∥2=∑α∈F0∣⟨x,eα⟩∣2\bigl\|\sum_{\alpha\in F_0}\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha\bigr\|^2=\sum_{\alpha\in F_0}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2であるから、三角不等式により

∥x∥<(∑α∈F0∣⟨x,eα⟩∣2)1/2+ε≤(∑α∈A∣⟨x,eα⟩∣2)1/2+ε\|x\|<\Bigl(\sum_{\alpha\in F_0}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2\Bigr)^{1/2}+\ep\le\Bigl(\sum_{\alpha\in A}|\langle x,e_\alpha\rangle|^2\Bigr)^{1/2}+\ep

である。ε>0\ep>0は任意であるから、すでに示した不等式と合わせて等式を得る。

(4)⇒\Rightarrow(2)を示す。すべてのα\alphaについて⟨x,eα⟩=0\langle x,e_\alpha\rangle=0ならば、∥x∥2=0\|x\|^2=0である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。MMを(eα)(e_\alpha)の線形包とする。x∈M⊥x\in M^\perpならばすべてのα\alphaについて⟨x,eα⟩=0\langle x,e_\alpha\rangle=0であるからx=0x=0であり、M⊥={0}M^\perp=\{0\}である。§E10.3 命題 2.3によりM‾=(M⊥)⊥={0}⊥=H\tpcl{M}=(M^\perp)^\perp=\{0\}^\perp=Hである。▨

命題 2.3.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、(eα)α∈A(e_\alpha)_{\alpha\in A}をHHの正規直交系とする。このとき、HHの部分集合EEで、{eα:α∈A}⊆E\{e_\alpha:\alpha\in A\}\subseteq Eを満たし、EE自身を添字集合とする族(e)e∈E(e)_{e\in E}が完全正規直交系であるものが存在する。特に、すべての Hilbert 空間は完全正規直交系をもつ。

証明.α≠β\alpha\ne\betaならば⟨eα,eβ⟩=0≠1=⟨eα,eα⟩\langle e_\alpha,e_\beta\rangle=0\ne1=\langle e_\alpha,e_\alpha\rangleであるからeα≠eβe_\alpha\ne e_\betaである。HHの部分集合SSで、{eα:α∈A}⊆S\{e_\alpha:\alpha\in A\}\subseteq Sを満たし、族(e)e∈S(e)_{e\in S}が正規直交系であるもの全体をO\mathcal Oとし、包含関係で順序づける。S0={eα:α∈A}S_0=\{e_\alpha:\alpha\in A\}はO\mathcal Oに属し、空の鎖の上界である。C\mathcal CをO\mathcal Oの空でない鎖とし、S∗=⋃CS^*=\bigcup\mathcal Cとおく。e,f∈S∗e,f\in S^*に対してe∈S1e\in S_1とf∈S2f\in S_2を満たすS1,S2∈CS_1,S_2\in\mathcal Cをとると、C\mathcal Cは鎖であるからS1S_1とS2S_2の一方が他方を含み、e,fe,fは一つのS∈CS\in\mathcal Cに属する。したがって⟨e,f⟩\langle e,f\rangleはe=fe=fのとき11、e≠fe\ne fのとき00であり、S∗∈OS^*\in\mathcal OはC\mathcal Cの上界である。§E1.20 定理 2.1 (3)により、O\mathcal Oは極大元EEをもつ。x∈Hx\in Hがすべてのe∈Ee\in Eと直交し、x≠0x\ne0であると仮定する。u=x/∥x∥u=x/\|x\|は⟨u,u⟩=1\langle u,u\rangle=1を満たし、すべてのe∈Ee\in Eについて⟨u,e⟩=0\langle u,e\rangle=0であるからu∉Eu\notin Eであり、E∪{u}E\cup\{u\}はO\mathcal Oに属する。E⊊E∪{u}E\subsetneq E\cup\{u\}はEEの極大性に反する。したがって(e)e∈E(e)_{e\in E}は補題 2.2 (2)を満たし、補題 2.2の同値性により完全である。A=∅A=\emptysetの場合を考えると、最後の主張を得る。▨

3 射影値測度とスカラー測度

定義 3.1.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間とし、HHを複素 Hilbert 空間とする。写像E ⁣:Σ→B(H)E\colon\Sigma\to B(H)が次の三条件を満たすとき、EEを(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の 射影値測度 (projection-valued measure) という。

  1. すべてのA∈ΣA\in\SigmaについてE(A)2=E(A)=E(A)∗E(A)^2=E(A)=E(A)^*が成り立つ。
  2. E(Ω)=IE(\Omega)=Iであり、すべてのA,B∈ΣA,B\in\SigmaについてE(A∩B)=E(A)E(B)E(A\cap B)=E(A)E(B)が成り立つ。
  3. すべてのx,y∈Hx,y\in Hについて、Ex,y(A)=⟨E(A)x,y⟩E_{x,y}(A)=\langle E(A)x,y\rangleで定まる写像Ex,y ⁣:Σ→CE_{x,y}\colon\Sigma\to\Cは複素測度である。

補題 1.5により、条件 (a)は各E(A)E(A)が閉部分空間im⁡E(A)\im E(A)への直交射影であることと同値である。Ω\Omegaが位相空間でありΣ\Sigmaが Borel 集合族B(Ω)\mathcal B(\Omega)であるとき、EEをΩ\Omega上の射影値測度ともいう。

命題 3.2.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間、HHを複素 Hilbert 空間とし、EEを(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の射影値測度とする。このとき、次が成り立つ。

  1. E(∅)=0E(\emptyset)=0である。A,B∈ΣA,B\in\SigmaがA∩B=∅A\cap B=\emptysetを満たすならば、E(A∪B)=E(A)+E(B)E(A\cup B)=E(A)+E(B)である。すべてのA,B∈ΣA,B\in\Sigmaとx,y∈Hx,y\in Hについて Ex,y(A)=⟨E(A)x,E(A)y⟩,EE(A)x,y(B)=Ex,y(A∩B)E_{x,y}(A)=\langle E(A)x,E(A)y\rangle,\qquad E_{E(A)x,y}(B)=E_{x,y}(A\cap B) が成り立つ。
  2. すべてのx∈Hx\in Hについて、Ex,xE_{x,x}はすべてのA∈ΣA\in\SigmaでEx,x(A)=∥E(A)x∥2E_{x,x}(A)=\|E(A)x\|^2を満たす有限な正測度であり、Ex,x(Ω)=∥x∥2E_{x,x}(\Omega)=\|x\|^2である。
  3. すべてのx,x′,y,y′∈Hx,x',y,y'\in Hとα,β∈C\alpha,\beta\in\Cについて Eαx+βx′,y=αEx,y+βEx′,y,Ex,αy+βy′=α‾Ex,y+β‾Ex,y′,Ey,x=Ex,y‾E_{\alpha x+\beta x',y}=\alpha E_{x,y}+\beta E_{x',y},\qquad E_{x,\alpha y+\beta y'}=\overline\alpha E_{x,y}+\overline\beta E_{x,y'},\qquad E_{y,x}=\overline{E_{x,y}} が成り立つ。ここでEx,y‾(A)=Ex,y(A)‾\overline{E_{x,y}}(A)=\overline{E_{x,y}(A)}である。
  4. すべてのx,y∈Hx,y\in HとA∈ΣA\in\Sigmaについて∣Ex,y∣(A)≤Ex,x(A)1/2Ey,y(A)1/2|E_{x,y}|(A)\le E_{x,x}(A)^{1/2}E_{y,y}(A)^{1/2}であり、特に∣Ex,y∣(Ω)≤∥x∥∥y∥|E_{x,y}|(\Omega)\le\|x\|\|y\|である。さらに、すべての可測関数f ⁣:Ω→Cf\colon\Omega\to\Cについて ∫Ω∣f∣ d∣Ex,y∣≤(∫Ω∣f∣2 dEx,x)1/2∥y∥\int_\Omega|f|\,d|E_{x,y}|\le\Bigl(\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}\Bigr)^{1/2}\|y\| が[0,∞][0,\infty]において成り立つ。
  5. (An)n∈N≥1(A_n)_{n\in\NN}を互いに素なΣ\Sigmaの元の列とし、A=⋃n∈N≥1AnA=\bigcup_{n\in\NN}A_nとおく。このとき、すべてのx∈Hx\in Hについて、級数∑n=1∞E(An)x\sum_{n=1}^\infty E(A_n)xはノルムについてE(A)xE(A)xに収束する。

証明.主張 (1)を示す。すべてのx,y∈Hx,y\in Hについて⟨E(∅)x,y⟩=Ex,y(∅)=0\langle E(\emptyset)x,y\rangle=E_{x,y}(\emptyset)=0であり、y=E(∅)xy=E(\emptyset)xとおくとE(∅)x=0E(\emptyset)x=0を得る。A∩B=∅A\cap B=\emptysetならば、すべてのx,y∈Hx,y\in Hについて

⟨E(A∪B)x,y⟩=Ex,y(A)+Ex,y(B)=⟨(E(A)+E(B))x,y⟩\langle E(A\cup B)x,y\rangle=E_{x,y}(A)+E_{x,y}(B)=\langle(E(A)+E(B))x,y\rangle

であり、y=E(A∪B)x−(E(A)+E(B))xy=E(A\cup B)x-(E(A)+E(B))xとおくとE(A∪B)=E(A)+E(B)E(A\cup B)=E(A)+E(B)を得る。定義 3.1 条件 (a)によりEx,y(A)=⟨E(A)2x,y⟩=⟨E(A)x,E(A)∗y⟩=⟨E(A)x,E(A)y⟩E_{x,y}(A)=\langle E(A)^2x,y\rangle=\langle E(A)x,E(A)^*y\rangle=\langle E(A)x,E(A)y\rangleであり、定義 3.1 条件 (b)によりEE(A)x,y(B)=⟨E(B)E(A)x,y⟩=⟨E(B∩A)x,y⟩=Ex,y(A∩B)E_{E(A)x,y}(B)=\langle E(B)E(A)x,y\rangle=\langle E(B\cap A)x,y\rangle=E_{x,y}(A\cap B)である。

主張 (2)を示す。主張 (1)によりEx,x(A)=∥E(A)x∥2E_{x,x}(A)=\|E(A)x\|^2であるから、複素測度Ex,xE_{x,x}は[0,∞)[0,\infty)に値をとり、有限な正測度である。Ex,x(Ω)=⟨x,x⟩=∥x∥2E_{x,x}(\Omega)=\langle x,x\rangle=\|x\|^2である。

主張 (3)は、各A∈ΣA\in\Sigmaについて内積が第1変数について線形、第2変数について共役線形であることと、⟨E(A)y,x⟩=⟨y,E(A)x⟩=⟨E(A)x,y⟩‾\langle E(A)y,x\rangle=\langle y,E(A)x\rangle=\overline{\langle E(A)x,y\rangle}から従う。

主張 (4)を示す。A=A1⊔⋯⊔AmA=A_1\sqcup\cdots\sqcup A_mをAAのΣ\Sigmaの元による有限分割とする。主張 (1)と、HHおよび標準内積を入れたRm\R^mにおける Cauchy–Schwarz の不等式（§E10.3 補題 1.2）により

∑j=1m∣Ex,y(Aj)∣≤∑j=1m∥E(Aj)x∥ ∥E(Aj)y∥≤(∑j=1mEx,x(Aj))1/2(∑j=1mEy,y(Aj))1/2=Ex,x(A)1/2Ey,y(A)1/2\sum_{j=1}^m|E_{x,y}(A_j)|\le\sum_{j=1}^m\|E(A_j)x\|\,\|E(A_j)y\|\le\Bigl(\sum_{j=1}^mE_{x,x}(A_j)\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_{j=1}^mE_{y,y}(A_j)\Bigr)^{1/2}=E_{x,x}(A)^{1/2}E_{y,y}(A)^{1/2}

である。§E10.27 定義 2.1の上限をとると最初の不等式を得て、A=ΩA=\Omegaとおくと主張 (2)により∣Ex,y∣(Ω)≤∥x∥∥y∥|E_{x,y}|(\Omega)\le\|x\|\|y\|を得る。s ⁣:Ω→[0,∞)s\colon\Omega\to[0,\infty)を非負単関数とし、値域の元c1,…,cmc_1,\ldots,c_mの逆像をA1,…,AmA_1,\ldots,A_mとすると、s=∑jcj1Ajs=\sum_jc_j\mathbf 1_{A_j}かつs2=∑jcj21Ajs^2=\sum_jc_j^2\mathbf 1_{A_j}であり、最初の不等式と、標準内積を入れたRm\R^mにおける Cauchy–Schwarz の不等式（§E10.3 補題 1.2）により

∫Ωs d∣Ex,y∣=∑j=1mcj∣Ex,y∣(Aj)≤(∑j=1mcj2Ex,x(Aj))1/2(∑j=1mEy,y(Aj))1/2≤(∫Ωs2 dEx,x)1/2∥y∥\int_\Omega s\,d|E_{x,y}|=\sum_{j=1}^mc_j|E_{x,y}|(A_j)\le\Bigl(\sum_{j=1}^mc_j^2E_{x,x}(A_j)\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_{j=1}^mE_{y,y}(A_j)\Bigr)^{1/2}\le\Bigl(\int_\Omega s^2\,dE_{x,x}\Bigr)^{1/2}\|y\|

である。§E10.7 定理 7.3により非負単関数の列sn↑∣f∣s_n\uparrow|f|をとるとsn2↑∣f∣2s_n^2\uparrow|f|^2であり、§E10.11 定理 1.1を両辺に適用して主張を得る。

主張 (5)を示す。BN=⋃n=1NAnB_N=\bigcup_{n=1}^NA_nとおく。主張 (1)を繰り返し用いると∑n=1NE(An)=E(BN)\sum_{n=1}^NE(A_n)=E(B_N)とE(A)=E(BN)+E(A∖BN)E(A)=E(B_N)+E(A\setminus B_N)を得るので、

∥E(A)x−∑n=1NE(An)x∥2=∥E(A∖BN)x∥2=Ex,x(A∖BN)=∑n=N+1∞Ex,x(An)\Bigl\|E(A)x-\sum_{n=1}^NE(A_n)x\Bigr\|^2=\|E(A\setminus B_N)x\|^2=E_{x,x}(A\setminus B_N)=\sum_{n=N+1}^\infty E_{x,x}(A_n)

である。右辺は収束級数∑n=1∞Ex,x(An)=Ex,x(A)\sum_{n=1}^\infty E_{x,x}(A_n)=E_{x,x}(A)の剰余であるから、N→∞N\to\inftyのとき00に収束する。▨

4 有界可測関数の積分

定義 4.1.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間とする。Σ\Sigma-可測で有界な関数f ⁣:Ω→Cf\colon\Omega\to\Cを 有界可測関数 (bounded measurable function) という。その全体をBb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)と書き、一様ノルム∥f∥∞=sup⁡ω∈Ω∣f(ω)∣\|f\|_\infty=\sup_{\omega\in\Omega}|f(\omega)|（Ω=∅\Omega=\emptysetでは00）を入れる。Ω\Omegaが位相空間でありΣ=B(Ω)\Sigma=\mathcal B(\Omega)であるとき、Bb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)をBb(Ω)B_b(\Omega)と書く。

補題 4.2.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. Bb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)は定数関数11を含み、和・複素数倍・積・複素共役について閉じている。すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について、複素単関数の列(sn)(s_n)で∥f−sn∥∞→0\|f-s_n\|_\infty\to0を満たすものが存在する。
  2. YYを複素ノルム空間とし、Λ,Λ′ ⁣:Bb(Ω,Σ)→Y\Lambda,\Lambda'\colon B_b(\Omega,\Sigma)\to Yを線形写像とする。このとき、あるC≥0C\ge0がすべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について∥Λ(f)∥≤C∥f∥∞\|\Lambda(f)\|\le C\|f\|_\inftyと∥Λ′(f)∥≤C∥f∥∞\|\Lambda'(f)\|\le C\|f\|_\inftyを満たし、すべてのA∈ΣA\in\SigmaについてΛ(1A)=Λ′(1A)\Lambda(\mathbf 1_A)=\Lambda'(\mathbf 1_A)が成り立つならば、Λ=Λ′\Lambda=\Lambda'である。

証明.主張 (1)を示す。§E10.7 定理 8.1により、関数Ω→C\Omega\to\Cが可測であることは実部と虚部が可測であることと同値である。複素数値関数の和・複素数倍・積・複素共役の実部と虚部は、もとの関数の実部と虚部の和・積・実数倍で表されるから、§E10.7 命題 4.1により可測であり、有界性も保たれる。f∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)とし、M=∥f∥∞M=\|f\|_\inftyとおく。

u1=max⁡{ℜf,0},u2=max⁡{−ℜf,0},u3=max⁡{ℑf,0},u4=max⁡{−ℑf,0}u_1=\max\{\Re f,0\},\quad u_2=\max\{-\Re f,0\},\quad u_3=\max\{\Im f,0\},\quad u_4=\max\{-\Im f,0\}

は§E10.7 命題 4.1により可測であり、値は[0,M][0,M]に含まれ、f=u1−u2+i(u3−u4)f=u_1-u_2+i(u_3-u_4)である。n>Mn>Mを満たす正の整数nnについて、§E10.7 定理 7.3の関数Dn(t)=2−n⌊2nmin⁡(t,n)⌋D_n(t)=2^{-n}\lfloor2^n\min(t,n)\rfloorは0≤t<n0\le t<nでDn(t)≤t<Dn(t)+2−nD_n(t)\le t<D_n(t)+2^{-n}を満たすから、非負単関数Dn∘ukD_n\circ u_kは0≤uk−Dn∘uk<2−n0\le u_k-D_n\circ u_k<2^{-n}を満たす。sn=Dn∘u1−Dn∘u2+i(Dn∘u3−Dn∘u4)s_n=D_n\circ u_1-D_n\circ u_2+i(D_n\circ u_3-D_n\circ u_4)は値域が有限な可測関数、すなわち複素単関数であり、∥f−sn∥∞≤4⋅2−n\|f-s_n\|_\infty\le4\cdot2^{-n}である。

主張 (2)を示す。複素単関数ssは、値域の各元ccの逆像s−1({c})∈Σs^{-1}(\{c\})\in\Sigmaを用いてs=∑c∈s(Ω)c 1s−1({c})s=\sum_{c\in s(\Omega)}c\,\mathbf 1_{s^{-1}(\{c\})}と表されるから、Λ\LambdaとΛ′\Lambda'の線形性によりΛ(s)=Λ′(s)\Lambda(s)=\Lambda'(s)である。f∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について主張 (1)の列(sn)(s_n)をとると

∥Λ(f)−Λ′(f)∥≤∥Λ(f−sn)∥+∥Λ′(sn−f)∥≤2C∥f−sn∥∞→0\|\Lambda(f)-\Lambda'(f)\|\le\|\Lambda(f-s_n)\|+\|\Lambda'(s_n-f)\|\le2C\|f-s_n\|_\infty\to0

であるから、Λ(f)=Λ′(f)\Lambda(f)=\Lambda'(f)である。▨

補題 4.3.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間とし、ν,ν′\nu,\nu'を(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の複素測度とする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)は∫Ω∣f∣ d∣ν∣≤∥f∥∞∣ν∣(Ω)<∞\int_\Omega|f|\,d|\nu|\le\|f\|_\infty|\nu|(\Omega)<\inftyを満たす。写像f↦∫Ωf dνf\mapsto\int_\Omega f\,d\nuはBb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)上の線形写像であり、すべてのA∈ΣA\in\Sigmaについて∫Ω1A dν=ν(A)\int_\Omega\mathbf 1_A\,d\nu=\nu(A)を満たし、すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について∣∫Ωf dν∣≤∥f∥∞∣ν∣(Ω)\bigl|\int_\Omega f\,d\nu\bigr|\le\|f\|_\infty|\nu|(\Omega)を満たす。
  2. すべてのα,β∈C\alpha,\beta\in\Cについて、αν+βν′\alpha\nu+\beta\nu'と、ν‾(A)=ν(A)‾\overline\nu(A)=\overline{\nu(A)}で定まるν‾\overline\nuは複素測度であり、すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について ∫Ωf d(αν+βν′)=α∫Ωf dν+β∫Ωf dν′,∫Ωf dν‾=∫Ωf‾ dν‾\int_\Omega f\,d(\alpha\nu+\beta\nu')=\alpha\int_\Omega f\,d\nu+\beta\int_\Omega f\,d\nu',\qquad\int_\Omega f\,d\overline\nu=\overline{\int_\Omega\overline f\,d\nu} が成り立つ。
  3. φ∈Bb(Ω,Σ)\varphi\in B_b(\Omega,\Sigma)とし、(φν)(A)=∫Ω1Aφ dν(\varphi\nu)(A)=\int_\Omega\mathbf 1_A\varphi\,d\nuとおく。このときφν\varphi\nuは複素測度であり、すべてのA∈ΣA\in\Sigmaについて∣φν∣(A)≤∥φ∥∞∣ν∣(A)|\varphi\nu|(A)\le\|\varphi\|_\infty|\nu|(A)を満たし、すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について∫Ωf d(φν)=∫Ωfφ dν\int_\Omega f\,d(\varphi\nu)=\int_\Omega f\varphi\,d\nuを満たす。
  4. ν\nuのすべての値が00以上の実数であるならば、ν\nuは有限な正測度であり、∣ν∣=ν|\nu|=\nuが成り立ち、すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について複素測度ν\nuに関する積分∫Ωf dν\int_\Omega f\,d\nuは正測度ν\nuに関するffの積分に等しい。

証明.主張 (1)を示す。§E10.27 定理 2.3により∣ν∣|\nu|は有限な正測度であるから、∫Ω∣f∣ d∣ν∣≤∥f∥∞∣ν∣(Ω)<∞\int_\Omega|f|\,d|\nu|\le\|f\|_\infty|\nu|(\Omega)<\inftyである。§E10.27 定理 2.4の密度kkをとると、§E10.27 定義 3.1により∫Ωf dν=∫Ωfk d∣ν∣\int_\Omega f\,d\nu=\int_\Omega fk\,d|\nu|であり、§E10.10 定理 2.3 (2)によりこの値はffについて線形である。§E10.27 定理 2.4により∫Ω1A dν=∫Ak d∣ν∣=ν(A)\int_\Omega\mathbf 1_A\,d\nu=\int_Ak\,d|\nu|=\nu(A)である。評価は§E10.27 命題 3.2から従う。

主張 (2)を示す。ν\nuとν′\nu'の可算加法性における収束級数の線形結合と複素共役をとると、αν+βν′\alpha\nu+\beta\nu'とν‾\overline\nuの可算加法性を得る。Λ(f)=∫Ωf d(αν+βν′)\Lambda(f)=\int_\Omega f\,d(\alpha\nu+\beta\nu')とΛ′(f)=α∫Ωf dν+β∫Ωf dν′\Lambda'(f)=\alpha\int_\Omega f\,d\nu+\beta\int_\Omega f\,d\nu'は、主張 (1)によりBb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)からC\Cへの線形写像であり、C=max⁡{∣αν+βν′∣(Ω), ∣α∣∣ν∣(Ω)+∣β∣∣ν′∣(Ω)}C=\max\{|\alpha\nu+\beta\nu'|(\Omega),\ |\alpha||\nu|(\Omega)+|\beta||\nu'|(\Omega)\}について∣Λ(f)∣≤C∥f∥∞|\Lambda(f)|\le C\|f\|_\inftyと∣Λ′(f)∣≤C∥f∥∞|\Lambda'(f)|\le C\|f\|_\inftyを満たし、すべてのA∈ΣA\in\SigmaについてΛ(1A)=αν(A)+βν′(A)=Λ′(1A)\Lambda(\mathbf 1_A)=\alpha\nu(A)+\beta\nu'(A)=\Lambda'(\mathbf 1_A)を満たす。補題 4.2 (2)によりΛ=Λ′\Lambda=\Lambda'である。f↦∫Ωf‾ dν‾f\mapsto\overline{\int_\Omega\overline f\,d\nu}とf↦∫Ωf dν‾f\mapsto\int_\Omega f\,d\overline\nuも線形であり、前者の絶対値は∥f∥∞∣ν∣(Ω)\|f\|_\infty|\nu|(\Omega)以下であり、後者の絶対値は∥f∥∞∣ν‾∣(Ω)\|f\|_\infty|\overline\nu|(\Omega)以下であって、1A\mathbf 1_Aでの値はともにν(A)‾\overline{\nu(A)}であるから、補題 4.2 (2)により両者は一致する。

主張 (3)を示す。§E10.27 定義 3.1により(φν)(A)=∫Aφk d∣ν∣(\varphi\nu)(A)=\int_A\varphi k\,d|\nu|であり、∣φk∣≤∥φ∥∞|\varphi k|\le\|\varphi\|_\inftyが∣ν∣|\nu|に関してほとんど至る所で成り立つからφk∈L1(∣ν∣;C)\varphi k\in L^1(|\nu|;\C)である。§E10.27 補題 2.2を正測度∣ν∣|\nu|と密度φk\varphi kに適用すると、φν\varphi\nuは複素測度であり、∣φν∣(A)=∫A∣φk∣ d∣ν∣≤∥φ∥∞∣ν∣(A)|\varphi\nu|(A)=\int_A|\varphi k|\,d|\nu|\le\|\varphi\|_\infty|\nu|(A)である。f↦∫Ωf d(φν)f\mapsto\int_\Omega f\,d(\varphi\nu)とf↦∫Ωfφ dνf\mapsto\int_\Omega f\varphi\,d\nuは主張 (1)により線形であり、絶対値はそれぞれ∥f∥∞∣φν∣(Ω)\|f\|_\infty|\varphi\nu|(\Omega)と∥f∥∞∥φ∥∞∣ν∣(Ω)\|f\|_\infty\|\varphi\|_\infty|\nu|(\Omega)以下であって、1A\mathbf 1_Aでの値はともに(φν)(A)(\varphi\nu)(A)である。補題 4.2 (2)により両者は一致する。

主張 (4)を示す。ν\nuは[0,∞)[0,\infty)に値をとる可算加法的な集合関数であるから、有限な正測度である。A∈ΣA\in\Sigmaの有限分割A=A1⊔⋯⊔AmA=A_1\sqcup\cdots\sqcup A_mについて∑j∣ν(Aj)∣=∑jν(Aj)=ν(A)\sum_j|\nu(A_j)|=\sum_j\nu(A_j)=\nu(A)であるから、§E10.27 定義 2.1により∣ν∣(A)=ν(A)|\nu|(A)=\nu(A)である。したがってすべてのA∈ΣA\in\Sigmaについてν(A)=∫A1 d∣ν∣\nu(A)=\int_A1\,d|\nu|であり、§E10.27 定理 2.4の一意性により、その密度kkは∣ν∣|\nu|に関してほとんど至る所で11に等しい。§E10.27 定義 3.1により∫Ωf dν=∫Ωfk d∣ν∣=∫Ωf d∣ν∣\int_\Omega f\,d\nu=\int_\Omega fk\,d|\nu|=\int_\Omega f\,d|\nu|であり、∣ν∣=ν|\nu|=\nuであるから主張を得る。▨

定義 4.4.SSを集合とし、A\mathcal AをSS上の有界な関数S→CS\to\Cからなる集合で、定数関数11を含み、和・複素数倍・積・複素共役f↦f‾f\mapsto\overline fについて閉じているものとする。HHを複素 Hilbert 空間とする。写像Φ ⁣:A→B(H)\Phi\colon\mathcal A\to B(H)が線形であり、すべてのf,g∈Af,g\in\mathcal AについてΦ(fg)=Φ(f)Φ(g)\Phi(fg)=\Phi(f)\Phi(g)とΦ(f‾)=Φ(f)∗\Phi(\overline f)=\Phi(f)^*を満たし、Φ(1)=I\Phi(1)=Iを満たすとき、Φ\PhiをA\mathcal AからB(H)B(H)への 単位的 *-準同型 (unital *-homomorphism) という。コンパクト位相空間KK上の連続関数K→CK\to\Cはコンパクト集合の連続像として有界であるから、その全体C(K)C(K)はこの条件を満たす。補題 4.2 (1)により、可測空間(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)についてのBb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)もこの条件を満たす。

定理 4.5.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間、HHを複素 Hilbert 空間とし、EEを(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の射影値測度とする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)について、すべてのx,y∈Hx,y\in Hで ⟨ΦE(f)x,y⟩=∫Ωf dEx,y\langle\Phi_E(f)x,y\rangle=\int_\Omega f\,dE_{x,y} を満たすΦE(f)∈B(H)\Phi_E(f)\in B(H)がただ一つ存在し、∥ΦE(f)∥≤∥f∥∞\|\Phi_E(f)\|\le\|f\|_\inftyが成り立つ。ΦE(f)\Phi_E(f)を∫Ωf dE\int_\Omega f\,dEとも書く。
  2. ΦE ⁣:Bb(Ω,Σ)→B(H)\Phi_E\colon B_b(\Omega,\Sigma)\to B(H)は単位的 *-準同型であり、すべてのA∈ΣA\in\SigmaについてΦE(1A)=E(A)\Phi_E(\mathbf 1_A)=E(A)を満たす。
  3. すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)とx∈Hx\in Hについて ∥ΦE(f)x∥2=∫Ω∣f∣2 dEx,x\|\Phi_E(f)x\|^2=\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x} が成り立つ。
  4. (fn)n∈N≥1(f_n)_{n\in\NN}をBb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)の列、f ⁣:Ω→Cf\colon\Omega\to\Cを関数とし、sup⁡n∥fn∥∞<∞\sup_n\|f_n\|_\infty<\inftyであり、すべてのω∈Ω\omega\in\Omegaについてfn(ω)→f(ω)f_n(\omega)\to f(\omega)であるとする。このときf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)であり、すべてのx∈Hx\in HについてΦE(fn)x\Phi_E(f_n)xはノルムについてΦE(f)x\Phi_E(f)xに収束する。
  5. S∈B(H)S\in B(H)がすべてのA∈ΣA\in\SigmaについてSE(A)=E(A)SSE(A)=E(A)Sを満たすならば、すべてのf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)についてSΦE(f)=ΦE(f)SS\Phi_E(f)=\Phi_E(f)Sである。

証明.主張 (1)を示す。f∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)とし、a(x,y)=∫Ωf dEx,ya(x,y)=\int_\Omega f\,dE_{x,y}とおく。命題 3.2 (3)と補題 4.3 (2)により、aaは第1変数について線形、第2変数について共役線形である。補題 4.3 (1)と命題 3.2 (4)により∣a(x,y)∣≤∥f∥∞∣Ex,y∣(Ω)≤∥f∥∞∥x∥∥y∥|a(x,y)|\le\|f\|_\infty|E_{x,y}|(\Omega)\le\|f\|_\infty\|x\|\|y\|である。§E12.1 定理 1.1 (2)により、すべてのx,yx,yでa(x,y)=⟨ΦE(f)x,y⟩a(x,y)=\langle\Phi_E(f)x,y\rangleを満たすΦE(f)∈B(H)\Phi_E(f)\in B(H)がただ一つ存在し、∥ΦE(f)∥≤∥f∥∞\|\Phi_E(f)\|\le\|f\|_\inftyが成り立つ。

主張 (2)を示す。補題 4.3 (1)により∫(αf+βg) dEx,y=α∫f dEx,y+β∫g dEx,y\int(\alpha f+\beta g)\,dE_{x,y}=\alpha\int f\,dE_{x,y}+\beta\int g\,dE_{x,y}であるから、主張 (1)の一意性によりΦE\Phi_Eは線形である。∫1A dEx,y=Ex,y(A)=⟨E(A)x,y⟩\int\mathbf 1_A\,dE_{x,y}=E_{x,y}(A)=\langle E(A)x,y\rangleであるから、同じ一意性によりΦE(1A)=E(A)\Phi_E(\mathbf 1_A)=E(A)であり、特にΦE(1)=E(Ω)=I\Phi_E(1)=E(\Omega)=Iである。A,B∈ΣA,B\in\Sigmaについて、定義 3.1 条件 (b)により

ΦE(1A)ΦE(1B)=E(A)E(B)=E(A∩B)=ΦE(1A1B)\Phi_E(\mathbf 1_A)\Phi_E(\mathbf 1_B)=E(A)E(B)=E(A\cap B)=\Phi_E(\mathbf 1_A\mathbf 1_B)

である。B∈ΣB\in\Sigmaを固定すると、f↦ΦE(f)E(B)f\mapsto\Phi_E(f)E(B)とf↦ΦE(f1B)f\mapsto\Phi_E(f\mathbf 1_B)はBb(Ω,Σ)B_b(\Omega,\Sigma)からB(H)B(H)への線形写像である。補題 1.5と§E10.3 命題 2.4により∥E(B)∥≤1\|E(B)\|\le1であるから、§E10.2 命題 2.4と主張 (1)の評価により、いずれの値の作用素ノルムも∥f∥∞\|f\|_\infty以下である。両者は指示関数で一致するから、B(H)B(H)に作用素ノルムを入れて補題 4.2 (2)を適用すると、すべてのffについてΦE(f)E(B)=ΦE(f1B)\Phi_E(f)E(B)=\Phi_E(f\mathbf 1_B)を得る。f∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)を固定すると、g↦ΦE(f)ΦE(g)g\mapsto\Phi_E(f)\Phi_E(g)とg↦ΦE(fg)g\mapsto\Phi_E(fg)は線形であり、値の作用素ノルムは∥f∥∞∥g∥∞\|f\|_\infty\|g\|_\infty以下であり、いま示したことにより指示関数で一致するから、補題 4.2 (2)によりすべてのggについてΦE(f)ΦE(g)=ΦE(fg)\Phi_E(f)\Phi_E(g)=\Phi_E(fg)である。写像f↦ΦE(f‾)∗f\mapsto\Phi_E(\overline f)^*は§E12.1 命題 1.3 (1)と§E12.1 命題 1.3 (2)により線形であり、§E12.1 命題 1.2により∥ΦE(f‾)∗∥=∥ΦE(f‾)∥≤∥f∥∞\|\Phi_E(\overline f)^*\|=\|\Phi_E(\overline f)\|\le\|f\|_\inftyを満たし、定義 3.1 条件 (a)によりΦE(1A‾)∗=E(A)∗=E(A)\Phi_E(\overline{\mathbf 1_A})^*=E(A)^*=E(A)を満たす。補題 4.2 (2)により、すべてのffについてΦE(f‾)∗=ΦE(f)\Phi_E(\overline f)^*=\Phi_E(f)であり、§E12.1 命題 1.3 (4)によりΦE(f‾)=ΦE(f)∗\Phi_E(\overline f)=\Phi_E(f)^*である。

主張 (3)を示す。主張 (2)により

∥ΦE(f)x∥2=⟨ΦE(f)∗ΦE(f)x,x⟩=⟨ΦE(f‾f)x,x⟩=∫Ω∣f∣2 dEx,x\|\Phi_E(f)x\|^2=\langle\Phi_E(f)^*\Phi_E(f)x,x\rangle=\langle\Phi_E(\overline ff)x,x\rangle=\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}

である。命題 3.2 (2)によりEx,xE_{x,x}は有限な正測度であるから、補題 4.3 (4)により右辺は正測度Ex,xE_{x,x}に関する積分である。

主張 (4)を示す。M=sup⁡n∥fn∥∞M=\sup_n\|f_n\|_\inftyとおく。ℜf\Re fとℑf\Im fは可測関数の列の各点極限であるから§E10.7 定理 5.1により可測であり、§E10.7 定理 8.1によりffは可測である。∣f∣≤M|f|\le Mであるからf∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)である。x∈Hx\in Hとすると、主張 (3)により

∥ΦE(fn)x−ΦE(f)x∥2=∫Ω∣fn−f∣2 dEx,x\|\Phi_E(f_n)x-\Phi_E(f)x\|^2=\int_\Omega|f_n-f|^2\,dE_{x,x}

であり、被積分関数は各点で00に収束し、有限測度Ex,xE_{x,x}に関して可積分な定数4M24M^2で上から抑えられる。§E10.11 定理 3.1により右辺は00に収束する。

主張 (5)を示す。f↦SΦE(f)f\mapsto S\Phi_E(f)とf↦ΦE(f)Sf\mapsto\Phi_E(f)Sは線形であり、値のノルムは∥S∥∥f∥∞\|S\|\|f\|_\infty以下であり、1A\mathbf 1_Aでの値は仮定により一致する。補題 4.2 (2)により両者は一致する。▨

命題 4.6.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間、HHを複素 Hilbert 空間、EEを(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の射影値測度とし、f∈Bb(Ω,Σ)f\in B_b(\Omega,\Sigma)とする。

c=inf⁡{t≥0:E({ω∈Ω:∣f(ω)∣>t})=0}c=\inf\{t\ge0:E(\{\omega\in\Omega:|f(\omega)|>t\})=0\}

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. E({ω∈Ω:∣f(ω)∣>c})=0E(\{\omega\in\Omega:|f(\omega)|>c\})=0であり、∥ΦE(f)∥=c\|\Phi_E(f)\|=cである。
  2. ΦE(f)=0\Phi_E(f)=0であるための必要十分条件は、E({ω∈Ω:f(ω)≠0})=0E(\{\omega\in\Omega:f(\omega)\ne0\})=0であることである。

証明.t≥0t\ge0についてAt={ω∈Ω:∣f(ω)∣>t}A_t=\{\omega\in\Omega:|f(\omega)|>t\}とおく。

主張 (1)を示す。A∥f∥∞=∅A_{\|f\|_\infty}=\emptysetであり、命題 3.2 (1)によりE(∅)=0E(\emptyset)=0であるから、ccを定める集合は空でなく、c≤∥f∥∞c\le\|f\|_\inftyである。0≤t≤t′0\le t\le t'かつE(At)=0E(A_t)=0ならば、At′⊆AtA_{t'}\subseteq A_tと定義 3.1 条件 (b)によりE(At′)=E(At′∩At)=E(At′)E(At)=0E(A_{t'})=E(A_{t'}\cap A_t)=E(A_{t'})E(A_t)=0である。k∈N≥1k\in\NNとすると、ccは下限であるからE(At)=0E(A_t)=0を満たすt<c+1/kt<c+1/kが存在し、いま示したことによりE(Ac+1/k)=0E(A_{c+1/k})=0である。N=AcN=A_cとおくとN=⋃k∈N≥1Ac+1/kN=\bigcup_{k\in\NN}A_{c+1/k}であり、x∈Hx\in Hについて、命題 3.2 (2)と正測度Ex,xE_{x,x}の可算劣加法性により

∥E(N)x∥2=Ex,x(N)≤∑k∈N≥1Ex,x(Ac+1/k)=∑k∈N≥1∥E(Ac+1/k)x∥2=0\|E(N)x\|^2=E_{x,x}(N)\le\sum_{k\in\NN}E_{x,x}(A_{c+1/k})=\sum_{k\in\NN}\|E(A_{c+1/k})x\|^2=0

であるから、E(N)=0E(N)=0である。定理 4.5 (2)により

ΦE(f)=ΦE(f1Ω∖N)+ΦE(f)ΦE(1N)=ΦE(f1Ω∖N)+ΦE(f)E(N)=ΦE(f1Ω∖N)\Phi_E(f)=\Phi_E(f\mathbf 1_{\Omega\setminus N})+\Phi_E(f)\Phi_E(\mathbf 1_N)=\Phi_E(f\mathbf 1_{\Omega\setminus N})+\Phi_E(f)E(N)=\Phi_E(f\mathbf 1_{\Omega\setminus N})

であり、すべてのω∈Ω\omega\in\Omegaについて∣f(ω)1Ω∖N(ω)∣≤c|f(\omega)\mathbf 1_{\Omega\setminus N}(\omega)|\le cであるから、定理 4.5 (1)により∥ΦE(f)∥≤c\|\Phi_E(f)\|\le cである。

c=0c=0ならば∥ΦE(f)∥≥0=c\|\Phi_E(f)\|\ge0=cである。c>0c>0とし、0≤t<c0\le t<cをとる。E(At)=0E(A_t)=0ならばc≤tc\le tとなるから、E(At)≠0E(A_t)\ne0であり、E(At)x≠0E(A_t)x\ne0を満たすx∈Hx\in Hが存在する。z=E(At)xz=E(A_t)xとおく。定義 3.1 条件 (a)と定義 3.1 条件 (b)により、B∈ΣB\in\Sigmaについて

Ez,z(B)=⟨E(B)E(At)x,E(At)x⟩=⟨E(At)E(B)E(At)x,x⟩=Ex,x(At∩B)E_{z,z}(B)=\langle E(B)E(A_t)x,E(A_t)x\rangle=\langle E(A_t)E(B)E(A_t)x,x\rangle=E_{x,x}(A_t\cap B)

であるから、Ez,z(Ω∖At)=0E_{z,z}(\Omega\setminus A_t)=0であり、命題 3.2 (2)によりEz,z(At)=Ex,x(At)=∥z∥2E_{z,z}(A_t)=E_{x,x}(A_t)=\|z\|^2である。定理 4.5 (3)により

∥ΦE(f)z∥2=∫Ω∣f∣2 dEz,z=∫At∣f∣2 dEz,z≥t2Ez,z(At)=t2∥z∥2\|\Phi_E(f)z\|^2=\int_\Omega|f|^2\,dE_{z,z}=\int_{A_t}|f|^2\,dE_{z,z}\ge t^2E_{z,z}(A_t)=t^2\|z\|^2

であり、z≠0z\ne0であるから∥ΦE(f)∥≥t\|\Phi_E(f)\|\ge tである。0≤t<c0\le t<cを満たすすべてのttについてこの不等式が成り立つから、∥ΦE(f)∥≥c\|\Phi_E(f)\|\ge cである。

主張 (2)を示す。A0={ω∈Ω:f(ω)≠0}A_0=\{\omega\in\Omega:f(\omega)\ne0\}である。ΦE(f)=0\Phi_E(f)=0ならば、主張 (1)によりc=∥ΦE(f)∥=0c=\|\Phi_E(f)\|=0であり、E(A0)=E(Ac)=0E(A_0)=E(A_c)=0である。逆にE(A0)=0E(A_0)=0ならば、ccの定義によりc=0c=0であり、主張 (1)により∥ΦE(f)∥=0\|\Phi_E(f)\|=0である。▨

5 非有界な可測関数の積分

命題 5.1.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)を可測空間、HHを複素 Hilbert 空間、EEを(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の射影値測度とし、f ⁣:Ω→Cf\colon\Omega\to\Cを可測関数とする。n∈N≥1n\in\NNについてΩn={ω∈Ω:∣f(ω)∣≤n}\Omega_n=\{\omega\in\Omega:|f(\omega)|\le n\}、fn=f1Ωnf_n=f\mathbf 1_{\Omega_n}とおき、

D(ΦE(f))={x∈H:∫Ω∣f∣2 dEx,x<∞}D(\Phi_E(f))=\Bigl\{x\in H:\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}<\infty\Bigr\}

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. D(ΦE(f))D(\Phi_E(f))はHHの稠密な線形部分空間である。すべてのx∈Hx\in Hとn∈N≥1n\in\NNについてE(Ωn)x∈D(ΦE(f))E(\Omega_n)x\in D(\Phi_E(f))であり、n→∞n\to\inftyのときE(Ωn)x→xE(\Omega_n)x\to xである。
  2. すべてのx∈D(ΦE(f))x\in D(\Phi_E(f))とy∈Hy\in Hについて、ffはEx,yE_{x,y}に関して可積分である。線形写像T ⁣:D(ΦE(f))→HT\colon D(\Phi_E(f))\to Hで、すべてのx∈D(ΦE(f))x\in D(\Phi_E(f))とy∈Hy\in Hについて⟨Tx,y⟩=∫Ωf dEx,y\langle Tx,y\rangle=\int_\Omega f\,dE_{x,y}を満たすものがただ一つ存在する。すべてのx∈D(ΦE(f))x\in D(\Phi_E(f))について、ΦE(fn)x\Phi_E(f_n)xはn→∞n\to\inftyのときノルムについてTxTxに収束し、∥Tx∥2=∫Ω∣f∣2 dEx,x\|Tx\|^2=\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}が成り立つ。このTTをΦE(f)\Phi_E(f)と書き、∫Ωf dE\int_\Omega f\,dEとも書く。
  3. ffが有界ならば、D(ΦE(f))=HD(\Phi_E(f))=Hであり、主張 (2)の写像は定理 4.5 (1)のΦE(f)\Phi_E(f)に等しい。
  4. 可測関数g ⁣:Ω→Cg\colon\Omega\to\CがE({ω∈Ω:f(ω)≠g(ω)})=0E(\{\omega\in\Omega:f(\omega)\ne g(\omega)\})=0を満たすならば、D(ΦE(g))=D(ΦE(f))D(\Phi_E(g))=D(\Phi_E(f))かつΦE(g)=ΦE(f)\Phi_E(g)=\Phi_E(f)である。

証明.x∈Hx\in Hとする。ffは有限値であるから、各点で∣fn∣2↑∣f∣2|f_n|^2\uparrow|f|^2である。定理 4.5 (3)と§E10.11 定理 1.1により

∫Ω∣f∣2 dEx,x=lim⁡n→∞∫Ω∣fn∣2 dEx,x=sup⁡n∈N≥1∥ΦE(fn)x∥2\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega|f_n|^2\,dE_{x,x}=\sup_{n\in\NN}\|\Phi_E(f_n)x\|^2

である。したがってx∈D(ΦE(f))x\in D(\Phi_E(f))であることとsup⁡n∥ΦE(fn)x∥<∞\sup_n\|\Phi_E(f_n)x\|<\inftyであることは同値である。

主張 (1)を示す。x,y∈D(ΦE(f))x,y\in D(\Phi_E(f))とα,β∈C\alpha,\beta\in\Cについて∥ΦE(fn)(αx+βy)∥≤∣α∣∥ΦE(fn)x∥+∣β∣∥ΦE(fn)y∥\|\Phi_E(f_n)(\alpha x+\beta y)\|\le|\alpha|\|\Phi_E(f_n)x\|+|\beta|\|\Phi_E(f_n)y\|はnnについて有界であるから、αx+βy∈D(ΦE(f))\alpha x+\beta y\in D(\Phi_E(f))である。x∈Hx\in Hとn∈N≥1n\in\NNを固定する。m∈N≥1m\in\NNについてΩm∩Ωn=Ωmin⁡{m,n}\Omega_m\cap\Omega_n=\Omega_{\min\{m,n\}}であるから、定理 4.5 (2)によりΦE(fm)E(Ωn)=ΦE(fm1Ωn)=ΦE(fmin⁡{m,n})\Phi_E(f_m)E(\Omega_n)=\Phi_E(f_m\mathbf 1_{\Omega_n})=\Phi_E(f_{\min\{m,n\}})であり、定理 4.5 (1)により∥ΦE(fm)E(Ωn)x∥≤n∥x∥\|\Phi_E(f_m)E(\Omega_n)x\|\le n\|x\|である。したがってE(Ωn)x∈D(ΦE(f))E(\Omega_n)x\in D(\Phi_E(f))である。命題 3.2 (1)によりE(Ω)=E(Ωn)+E(Ω∖Ωn)E(\Omega)=E(\Omega_n)+E(\Omega\setminus\Omega_n)であるから、∥x−E(Ωn)x∥2=∥E(Ω∖Ωn)x∥2=Ex,x(Ω∖Ωn)\|x-E(\Omega_n)x\|^2=\|E(\Omega\setminus\Omega_n)x\|^2=E_{x,x}(\Omega\setminus\Omega_n)である。ffは有限値であるからΩ∖Ωn\Omega\setminus\Omega_nは減少して共通部分が空であり、Ex,xE_{x,x}は有限測度であるから、§E10.8 定理 4.1 (2)により右辺は00に収束する。したがってD(ΦE(f))D(\Phi_E(f))は稠密である。

主張 (2)を示す。x∈D(ΦE(f))x\in D(\Phi_E(f))、y∈Hy\in Hとする。命題 3.2 (4)により∫Ω∣f∣ d∣Ex,y∣≤(∫Ω∣f∣2 dEx,x)1/2∥y∥<∞\int_\Omega|f|\,d|E_{x,y}|\le\bigl(\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}\bigr)^{1/2}\|y\|<\inftyであるから、ffはEx,yE_{x,y}に関して可積分である。m>nm>nならば、定理 4.5 (3)により

∥ΦE(fm)x−ΦE(fn)x∥2=∫Ω1Ωm∖Ωn∣f∣2 dEx,x≤∫Ω1Ω∖Ωn∣f∣2 dEx,x\|\Phi_E(f_m)x-\Phi_E(f_n)x\|^2=\int_\Omega\mathbf 1_{\Omega_m\setminus\Omega_n}|f|^2\,dE_{x,x}\le\int_\Omega\mathbf 1_{\Omega\setminus\Omega_n}|f|^2\,dE_{x,x}

である。右辺の被積分関数は各点で00に収束し、可積分な∣f∣2|f|^2で上から抑えられるから、§E10.11 定理 3.1により右辺はn→∞n\to\inftyのとき00に収束する。したがって(ΦE(fn)x)(\Phi_E(f_n)x)は Cauchy 列であり、極限Tx∈HTx\in Hが存在する。各ΦE(fn)\Phi_E(f_n)は線形でありD(ΦE(f))D(\Phi_E(f))は線形部分空間であるから、TTは線形である。冒頭の等式により∥Tx∥2=lim⁡n∥ΦE(fn)x∥2=∫Ω∣f∣2 dEx,x\|Tx\|^2=\lim_n\|\Phi_E(f_n)x\|^2=\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}である。Ex,yE_{x,y}の§E10.27 定理 2.4の密度をkkとすると、§E10.3 補題 1.2による内積の連続性と§E10.27 定義 3.1により

⟨Tx,y⟩=lim⁡n→∞⟨ΦE(fn)x,y⟩=lim⁡n→∞∫Ωfnk d∣Ex,y∣=∫Ωfk d∣Ex,y∣=∫Ωf dEx,y\langle Tx,y\rangle=\lim_{n\to\infty}\langle\Phi_E(f_n)x,y\rangle=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_nk\,d|E_{x,y}|=\int_\Omega fk\,d|E_{x,y}|=\int_\Omega f\,dE_{x,y}

である。ここで第三の等号は、∣fnk∣≤∣f∣|f_nk|\le|f|が∣Ex,y∣|E_{x,y}|に関してほとんど至る所で成り立つことから§E10.11 定理 3.1により従う。線形写像T′ ⁣:D(ΦE(f))→HT'\colon D(\Phi_E(f))\to Hも同じ等式を満たすならば、x∈D(ΦE(f))x\in D(\Phi_E(f))についてy=Tx−T′xy=Tx-T'xとおくと∥Tx−T′x∥2=0\|Tx-T'x\|^2=0である。

主張 (3)を示す。∣f∣≤M|f|\le Mならば、命題 3.2 (2)により∫Ω∣f∣2 dEx,x≤M2∥x∥2\int_\Omega|f|^2\,dE_{x,x}\le M^2\|x\|^2であるからD(ΦE(f))=HD(\Phi_E(f))=Hであり、n≥Mn\ge Mについてfn=ff_n=fであるから、TTは定理 4.5 (1)のΦE(f)\Phi_E(f)に等しい。

主張 (4)を示す。N={ω:f(ω)≠g(ω)}N=\{\omega:f(\omega)\ne g(\omega)\}とおく。すべてのx∈Hx\in HについてEx,x(N)=∥E(N)x∥2=0E_{x,x}(N)=\|E(N)x\|^2=0であるから、∣f∣2|f|^2と∣g∣2|g|^2はEx,xE_{x,x}に関してほとんど至る所で一致し、D(ΦE(g))=D(ΦE(f))D(\Phi_E(g))=D(\Phi_E(f))である。x∈D(ΦE(f))x\in D(\Phi_E(f))とy∈Hy\in Hについて、命題 3.2 (4)により∣Ex,y∣(N)=0|E_{x,y}|(N)=0であるから∫Ωf dEx,y=∫Ωg dEx,y\int_\Omega f\,dE_{x,y}=\int_\Omega g\,dE_{x,y}である。主張 (2)の一意性によりΦE(g)=ΦE(f)\Phi_E(g)=\Phi_E(f)である。▨

6 連続関数の環からの構成

補題 6.1.KKをコンパクト位相空間、HHを複素 Hilbert 空間とし、Φ ⁣:C(K)→B(H)\Phi\colon C(K)\to B(H)を単位的 *-準同型とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 実数値のf∈C(K)f\in C(K)についてΦ(f)\Phi(f)は自己共役作用素であり、00以上の値をとるf∈C(K)f\in C(K)についてΦ(f)\Phi(f)は正作用素である。
  2. すべてのf∈C(K)f\in C(K)とx∈Hx\in Hについて∥Φ(f)x∥≤∥f∥∞∥x∥\|\Phi(f)x\|\le\|f\|_\infty\|x\|であり、∥Φ(f)∥≤∥f∥∞\|\Phi(f)\|\le\|f\|_\inftyである。

証明.主張 (1)を示す。ffが実数値ならばf‾=f\overline f=fであるからΦ(f)∗=Φ(f‾)=Φ(f)\Phi(f)^*=\Phi(\overline f)=\Phi(f)である。f≥0f\ge0ならばg=fg=\sqrt fは実数値の連続関数であるからΦ(g)∗=Φ(g)\Phi(g)^*=\Phi(g)であり、Φ(f)=Φ(g)Φ(g)=Φ(g)∗Φ(g)\Phi(f)=\Phi(g)\Phi(g)=\Phi(g)^*\Phi(g)であるから、§E12.1 命題 2.7 (4)によりΦ(f)\Phi(f)は正作用素である。

主張 (2)を示す。c=∥f∥∞c=\|f\|_\inftyとおき、h=(c2−∣f∣2)1/2h=(c^2-|f|^2)^{1/2}とおく。hhは00以上の値をとる連続関数であり、c2⋅1−f‾f=h‾hc^2\cdot1-\overline ff=\overline hhを満たす。Φ\Phiを適用するとc2I−Φ(f)∗Φ(f)=Φ(h)∗Φ(h)c^2I-\Phi(f)^*\Phi(f)=\Phi(h)^*\Phi(h)であるから、x∈Hx\in Hについて

∥Φ(f)x∥2=⟨Φ(f)∗Φ(f)x,x⟩=c2∥x∥2−∥Φ(h)x∥2≤c2∥x∥2\|\Phi(f)x\|^2=\langle\Phi(f)^*\Phi(f)x,x\rangle=c^2\|x\|^2-\|\Phi(h)x\|^2\le c^2\|x\|^2

である。▨

定理 6.2.KKをコンパクト Hausdorff 空間、HHを複素 Hilbert 空間とし、Φ ⁣:C(K)→B(H)\Phi\colon C(K)\to B(H)を単位的 *-準同型とする。このとき、次が成り立つ。

  1. KK上の射影値測度EEで、すべてのx,y∈Hx,y\in HについてEx,yE_{x,y}が有限複素 Radon 測度であり、すべてのf∈C(K)f\in C(K)についてΦ(f)=ΦE(f)\Phi(f)=\Phi_E(f)を満たすものがただ一つ存在する。このEEについて、ΦE ⁣:Bb(K)→B(H)\Phi_E\colon B_b(K)\to B(H)はΦ\Phiを延長する単位的 *-準同型であり、すべてのg∈Bb(K)g\in B_b(K)について∥ΦE(g)∥≤∥g∥∞\|\Phi_E(g)\|\le\|g\|_\inftyを満たす。
  2. S∈B(H)S\in B(H)がすべてのf∈C(K)f\in C(K)についてSΦ(f)=Φ(f)SS\Phi(f)=\Phi(f)Sを満たすならば、主張 (1)のEEについて、すべてのA∈B(K)A\in\mathcal B(K)でSE(A)=E(A)SSE(A)=E(A)Sが成り立ち、すべてのg∈Bb(K)g\in B_b(K)でSΦE(g)=ΦE(g)SS\Phi_E(g)=\Phi_E(g)Sが成り立つ。

証明.KKは各点のコンパクト近傍であるから、KKは局所コンパクト Hausdorff 空間である。f∈C(K)f\in C(K)とε>0\ep>0について{t∈K:∣f(t)∣≥ε}\{t\in K:|f(t)|\ge\ep\}はコンパクト空間KKの閉集合であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトであるから、C(K)=C0(K,C)C(K)=C_0(K,\C)である。連続関数は§E10.7 命題 1.3により Borel 可測であるから、C(K)⊆Bb(K)C(K)\subseteq B_b(K)である。

主張 6.2.1.ν,ν′\nu,\nu'をKK上の有限複素 Radon 測度とし、α,β∈C\alpha,\beta\in\C、φ∈Bb(K)\varphi\in B_b(K)とする。このときαν+βν′\alpha\nu+\beta\nu'、ν‾\overline\nu、φν\varphi\nuは有限複素 Radon 測度である。すべてのf∈C(K)f\in C(K)について∫Kf dν=∫Kf dν′\int_Kf\,d\nu=\int_Kf\,d\nu'ならば、ν=ν′\nu=\nu'である。

証明.補題 4.3 (2)によりαν+βν′\alpha\nu+\beta\nu'は複素測度である。n≥max⁡{∣α∣,∣β∣}n\ge\max\{|\alpha|,|\beta|\}を満たす正の整数nnをとる。Borel 集合AAの Borel 集合による有限分割A=A1⊔⋯⊔AkA=A_1\sqcup\cdots\sqcup A_kについて

∑j=1k∣αν(Aj)+βν′(Aj)∣≤∣α∣∑j=1k∣ν(Aj)∣+∣β∣∑j=1k∣ν′(Aj)∣≤n∣ν∣(A)+n∣ν′∣(A)\sum_{j=1}^k|\alpha\nu(A_j)+\beta\nu'(A_j)|\le|\alpha|\sum_{j=1}^k|\nu(A_j)|+|\beta|\sum_{j=1}^k|\nu'(A_j)|\le n|\nu|(A)+n|\nu'|(A)

であるから、§E10.27 定義 2.1により∣αν+βν′∣(A)≤n∣ν∣(A)+n∣ν′∣(A)|\alpha\nu+\beta\nu'|(A)\le n|\nu|(A)+n|\nu'|(A)である。§E10.34 補題 3.2により∣ν∣|\nu|のnn個と∣ν′∣|\nu'|のnn個の和は有限 Radon 測度であり、同じ補題により∣αν+βν′∣|\alpha\nu+\beta\nu'|は有限 Radon 測度である。したがってαν+βν′\alpha\nu+\beta\nu'は有限複素 Radon 測度である。§E10.27 定義 2.1により∣ν‾∣=∣ν∣|\overline\nu|=|\nu|であるから、ν‾\overline\nuは有限複素 Radon 測度である。m≥∥φ∥∞m\ge\|\varphi\|_\inftyを満たす正の整数mmをとると、補題 4.3 (3)によりすべての Borel 集合AAについて∣φν∣(A)≤m∣ν∣(A)|\varphi\nu|(A)\le m|\nu|(A)である。§E10.34 補題 3.2により∣ν∣|\nu|のmm個の和m∣ν∣m|\nu|は有限 Radon 測度であり、同じ補題により∣φν∣|\varphi\nu|は有限 Radon 測度である。最後の主張は§E10.34 定理 3.4の一意性である。▨

x,y∈Hx,y\in Hとする。補題 6.1 (2)により、f↦⟨Φ(f)x,y⟩f\mapsto\langle\Phi(f)x,y\rangleはC0(K,C)C_0(K,\C)上の連続な複素線形汎関数であり、そのノルムは∥x∥∥y∥\|x\|\|y\|以下である。§E10.34 定理 3.4により、有限複素 Radon 測度μx,y\mu_{x,y}で、すべてのf∈C(K)f\in C(K)について

⟨Φ(f)x,y⟩=∫Kf dμx,y\langle\Phi(f)x,y\rangle=\int_Kf\,d\mu_{x,y}

を満たすものがただ一つ存在し、∣μx,y∣(K)≤∥x∥∥y∥|\mu_{x,y}|(K)\le\|x\|\|y\|である。

x,x′,y∈Hx,x',y\in Hとα,β∈C\alpha,\beta\in\Cについて、補題 4.3 (2)により、有限複素 Radon 測度αμx,y+βμx′,y\alpha\mu_{x,y}+\beta\mu_{x',y}はf↦⟨Φ(f)(αx+βx′),y⟩f\mapsto\langle\Phi(f)(\alpha x+\beta x'),y\rangleを表すから、主張 6.2.1によりμαx+βx′,y=αμx,y+βμx′,y\mu_{\alpha x+\beta x',y}=\alpha\mu_{x,y}+\beta\mu_{x',y}である。y′∈Hy'\in Hについて、有限複素 Radon 測度α‾μx,y+β‾μx,y′\overline\alpha\mu_{x,y}+\overline\beta\mu_{x,y'}はf↦⟨Φ(f)x,αy+βy′⟩f\mapsto\langle\Phi(f)x,\alpha y+\beta y'\rangleを表すから、主張 6.2.1によりμx,αy+βy′=α‾μx,y+β‾μx,y′\mu_{x,\alpha y+\beta y'}=\overline\alpha\mu_{x,y}+\overline\beta\mu_{x,y'}である。補題 4.3 (2)により、f∈C(K)f\in C(K)について

∫Kf dμx,y‾=∫Kf‾ dμx,y‾=⟨Φ(f‾)x,y⟩‾=⟨x,Φ(f)y⟩‾=⟨Φ(f)y,x⟩\int_Kf\,d\overline{\mu_{x,y}}=\overline{\int_K\overline f\,d\mu_{x,y}}=\overline{\langle\Phi(\overline f)x,y\rangle}=\overline{\langle x,\Phi(f)y\rangle}=\langle\Phi(f)y,x\rangle

であるから、主張 6.2.1によりμy,x=μx,y‾\mu_{y,x}=\overline{\mu_{x,y}}である。

A∈B(K)A\in\mathcal B(K)とする。(x,y)↦μx,y(A)(x,y)\mapsto\mu_{x,y}(A)はいま示したことにより第1変数について線形、第2変数について共役線形であり、§E10.27 定理 2.3により∣μx,y(A)∣≤∣μx,y∣(K)≤∥x∥∥y∥|\mu_{x,y}(A)|\le|\mu_{x,y}|(K)\le\|x\|\|y\|を満たす。§E12.1 定理 1.1 (2)により、すべてのx,y∈Hx,y\in Hについて⟨E(A)x,y⟩=μx,y(A)\langle E(A)x,y\rangle=\mu_{x,y}(A)を満たすE(A)∈B(H)E(A)\in B(H)がただ一つ存在する。⟨E(K)x,y⟩=∫K1 dμx,y=⟨Φ(1)x,y⟩=⟨x,y⟩\langle E(K)x,y\rangle=\int_K1\,d\mu_{x,y}=\langle\Phi(1)x,y\rangle=\langle x,y\rangleであるからE(K)=IE(K)=Iである。⟨E(A)∗x,y⟩=⟨E(A)y,x⟩‾=μy,x(A)‾=μx,y(A)=⟨E(A)x,y⟩\langle E(A)^*x,y\rangle=\overline{\langle E(A)y,x\rangle}=\overline{\mu_{y,x}(A)}=\mu_{x,y}(A)=\langle E(A)x,y\rangleであるからE(A)∗=E(A)E(A)^*=E(A)である。

φ∈C(K)\varphi\in C(K)とx,y∈Hx,y\in Hについて、補題 4.3 (3)により、f∈C(K)f\in C(K)について

∫Kf dμΦ(φ)x,y=⟨Φ(f)Φ(φ)x,y⟩=⟨Φ(fφ)x,y⟩=∫Kfφ dμx,y=∫Kf d(φμx,y)\int_Kf\,d\mu_{\Phi(\varphi)x,y}=\langle\Phi(f)\Phi(\varphi)x,y\rangle=\langle\Phi(f\varphi)x,y\rangle=\int_Kf\varphi\,d\mu_{x,y}=\int_Kf\,d(\varphi\mu_{x,y})

であるから、主張 6.2.1によりμΦ(φ)x,y=φμx,y\mu_{\Phi(\varphi)x,y}=\varphi\mu_{x,y}である。A∈B(K)A\in\mathcal B(K)とx,y∈Hx,y\in Hについて、E(A)∗=E(A)E(A)^*=E(A)といま示したことと補題 4.3 (3)により、φ∈C(K)\varphi\in C(K)について

∫Kφ dμx,E(A)y=⟨Φ(φ)x,E(A)y⟩=⟨E(A)Φ(φ)x,y⟩=μΦ(φ)x,y(A)=∫K1Aφ dμx,y=∫Kφ d(1Aμx,y)\int_K\varphi\,d\mu_{x,E(A)y}=\langle\Phi(\varphi)x,E(A)y\rangle=\langle E(A)\Phi(\varphi)x,y\rangle=\mu_{\Phi(\varphi)x,y}(A)=\int_K\mathbf 1_A\varphi\,d\mu_{x,y}=\int_K\varphi\,d(\mathbf 1_A\mu_{x,y})

であるから、主張 6.2.1によりμx,E(A)y=1Aμx,y\mu_{x,E(A)y}=\mathbf 1_A\mu_{x,y}である。B∈B(K)B\in\mathcal B(K)における値を比べると、補題 4.3 (1)により

⟨E(A)E(B)x,y⟩=⟨E(B)x,E(A)y⟩=μx,E(A)y(B)=∫K1B1A dμx,y=μx,y(A∩B)=⟨E(A∩B)x,y⟩\langle E(A)E(B)x,y\rangle=\langle E(B)x,E(A)y\rangle=\mu_{x,E(A)y}(B)=\int_K\mathbf 1_B\mathbf 1_A\,d\mu_{x,y}=\mu_{x,y}(A\cap B)=\langle E(A\cap B)x,y\rangle

であり、E(A)E(B)=E(A∩B)E(A)E(B)=E(A\cap B)を得る。特にE(A)2=E(A)E(A)^2=E(A)である。

以上により、EEは定義 3.1 条件 (a)と定義 3.1 条件 (b)を満たし、Ex,y=μx,yE_{x,y}=\mu_{x,y}は有限複素 Radon 測度であるから、EEはKK上の射影値測度である。f∈C(K)f\in C(K)について、定理 4.5 (1)により⟨ΦE(f)x,y⟩=∫Kf dμx,y=⟨Φ(f)x,y⟩\langle\Phi_E(f)x,y\rangle=\int_Kf\,d\mu_{x,y}=\langle\Phi(f)x,y\rangleであるからΦE(f)=Φ(f)\Phi_E(f)=\Phi(f)である。E′E'も主張 (1)の条件を満たす射影値測度ならば、すべてのf∈C(K)f\in C(K)について∫Kf dEx,y′=⟨Φ(f)x,y⟩=∫Kf dμx,y\int_Kf\,dE'_{x,y}=\langle\Phi(f)x,y\rangle=\int_Kf\,d\mu_{x,y}であり、主張 6.2.1によりEx,y′=μx,yE'_{x,y}=\mu_{x,y}であるからE′=EE'=Eである。ΦE\Phi_Eが単位的 *-準同型であることと作用素ノルムの評価は、定理 4.5 (2)と定理 4.5 (1)による。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。x,y∈Hx,y\in Hとする。f∈C(K)f\in C(K)について⟨Φ(f)Sx,y⟩=⟨SΦ(f)x,y⟩=⟨Φ(f)x,S∗y⟩\langle\Phi(f)Sx,y\rangle=\langle S\Phi(f)x,y\rangle=\langle\Phi(f)x,S^*y\rangleであるから、主張 6.2.1によりμSx,y=μx,S∗y\mu_{Sx,y}=\mu_{x,S^*y}である。A∈B(K)A\in\mathcal B(K)について⟨E(A)Sx,y⟩=μSx,y(A)=μx,S∗y(A)=⟨E(A)x,S∗y⟩=⟨SE(A)x,y⟩\langle E(A)Sx,y\rangle=\mu_{Sx,y}(A)=\mu_{x,S^*y}(A)=\langle E(A)x,S^*y\rangle=\langle SE(A)x,y\rangleであるから、E(A)S=SE(A)E(A)S=SE(A)である。定理 4.5 (5)により、すべてのg∈Bb(K)g\in B_b(K)についてSΦE(g)=ΦE(g)SS\Phi_E(g)=\Phi_E(g)Sである。▨

例 6.3.定理 6.2の仮定から乗法性を外すことはできない。K={0,1}K=\{0,1\}に離散位相を入れ、H=CH=\Cとし、f∈C(K)f\in C(K)についてΦ(f)=12(f(0)+f(1))I\Phi(f)=\frac12(f(0)+f(1))Iとおく。このとき、Φ\Phiは線形であり、Φ(1)=I\Phi(1)=IとΦ(f‾)=Φ(f)∗\Phi(\overline f)=\Phi(f)^*を満たし、f≥0f\ge0ならばΦ(f)≥0\Phi(f)\ge0であり、∥Φ(f)∥≤∥f∥∞\|\Phi(f)\|\le\|f\|_\inftyを満たす。KK上の射影値測度EEがすべてのf∈C(K)f\in C(K)についてΦE(f)=Φ(f)\Phi_E(f)=\Phi(f)を満たすと仮定する。KKは離散空間であるから1{0}∈C(K)\mathbf 1_{\{0\}}\in C(K)であり、定理 4.5 (2)によりE({0})=ΦE(1{0})=Φ(1{0})=12IE(\{0\})=\Phi_E(\mathbf 1_{\{0\}})=\Phi(\mathbf 1_{\{0\}})=\frac12Iである。このときE({0})2=14IE(\{0\})^2=\frac14Iであり、E({0})2=E({0})=12IE(\{0\})^2=E(\{0\})=\frac12Iと両立しない。したがって、そのような射影値測度は存在しない。このΦ\PhiはΦ(1{0})2=14I≠12I=Φ(1{0}2)\Phi(\mathbf 1_{\{0\}})^2=\frac14I\ne\frac12I=\Phi(\mathbf 1_{\{0\}}^2)により乗法的でない。

7 押し出しと乗算作用素

命題 7.1.(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)と(Ω′,Σ′)(\Omega',\Sigma')を可測空間、HHを複素 Hilbert 空間、EEを(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の射影値測度とし、h ⁣:Ω→Ω′h\colon\Omega\to\Omega'を可測写像とする。B∈Σ′B\in\Sigma'について(E∘h−1)(B)=E(h−1(B))(E\circ h^{-1})(B)=E(h^{-1}(B))とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. E∘h−1E\circ h^{-1}は(Ω′,Σ′)(\Omega',\Sigma')上の射影値測度であり、すべてのx,y∈Hx,y\in HとB∈Σ′B\in\Sigma'について(E∘h−1)x,y(B)=Ex,y(h−1(B))(E\circ h^{-1})_{x,y}(B)=E_{x,y}(h^{-1}(B))が成り立つ。
  2. すべてのg∈Bb(Ω′,Σ′)g\in B_b(\Omega',\Sigma')について、g∘h∈Bb(Ω,Σ)g\circ h\in B_b(\Omega,\Sigma)であり、ΦE∘h−1(g)=ΦE(g∘h)\Phi_{E\circ h^{-1}}(g)=\Phi_E(g\circ h)が成り立つ。
  3. すべての可測関数g ⁣:Ω′→Cg\colon\Omega'\to\Cについて、D(ΦE∘h−1(g))=D(ΦE(g∘h))D(\Phi_{E\circ h^{-1}}(g))=D(\Phi_E(g\circ h))であり、ΦE∘h−1(g)=ΦE(g∘h)\Phi_{E\circ h^{-1}}(g)=\Phi_E(g\circ h)が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。h−1(Ω′)=Ωh^{-1}(\Omega')=\Omega、h−1(B∩B′)=h−1(B)∩h−1(B′)h^{-1}(B\cap B')=h^{-1}(B)\cap h^{-1}(B')であり、h−1h^{-1}は互いに素な集合の列を互いに素な集合の列へ、和集合を和集合へ写す。したがってE∘h−1E\circ h^{-1}は定義 3.1 条件 (a)と定義 3.1 条件 (b)を満たし、(E∘h−1)x,y(B)=⟨E(h−1(B))x,y⟩=Ex,y(h−1(B))(E\circ h^{-1})_{x,y}(B)=\langle E(h^{-1}(B))x,y\rangle=E_{x,y}(h^{-1}(B))は可算加法的である。

主張 (2)を示す。§E10.7 命題 1.2によりg∘hg\circ hは可測であり、∥g∘h∥∞≤∥g∥∞\|g\circ h\|_\infty\le\|g\|_\inftyである。g↦ΦE∘h−1(g)g\mapsto\Phi_{E\circ h^{-1}}(g)とg↦ΦE(g∘h)g\mapsto\Phi_E(g\circ h)は線形であり、定理 4.5 (1)により値のノルムは∥g∥∞\|g\|_\infty以下である。B∈Σ′B\in\Sigma'について、定理 4.5 (2)により

ΦE∘h−1(1B)=E(h−1(B))=ΦE(1h−1(B))=ΦE(1B∘h)\Phi_{E\circ h^{-1}}(\mathbf 1_B)=E(h^{-1}(B))=\Phi_E(\mathbf 1_{h^{-1}(B)})=\Phi_E(\mathbf 1_B\circ h)

である。補題 4.2 (2)により両者は一致する。

主張 (3)を示す。x∈Hx\in Hとする。主張 (1)により、正測度(E∘h−1)x,x(E\circ h^{-1})_{x,x}は§E10.12 定義 1.1の像測度h#Ex,xh_\#E_{x,x}に等しいから、§E10.12 定理 1.2 (1)により

∫Ω′∣g∣2 d(E∘h−1)x,x=∫Ω∣g∘h∣2 dEx,x\int_{\Omega'}|g|^2\,d(E\circ h^{-1})_{x,x}=\int_\Omega|g\circ h|^2\,dE_{x,x}

であり、二つの定義域は一致する。n∈N≥1n\in\NNについてΩn′={∣g∣≤n}\Omega'_n=\{|g|\le n\}とおくとh−1(Ωn′)={∣g∘h∣≤n}h^{-1}(\Omega'_n)=\{|g\circ h|\le n\}であり、(g1Ωn′)∘h=(g∘h)1h−1(Ωn′)(g\mathbf 1_{\Omega'_n})\circ h=(g\circ h)\mathbf 1_{h^{-1}(\Omega'_n)}である。xxが定義域に属するとき、命題 5.1 (2)と主張 (2)により

ΦE∘h−1(g)x=lim⁡n→∞ΦE∘h−1(g1Ωn′)x=lim⁡n→∞ΦE((g∘h)1{∣g∘h∣≤n})x=ΦE(g∘h)x\Phi_{E\circ h^{-1}}(g)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_{E\circ h^{-1}}(g\mathbf 1_{\Omega'_n})x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E\bigl((g\circ h)\mathbf 1_{\{|g\circ h|\le n\}}\bigr)x=\Phi_E(g\circ h)x

である。▨

例 7.2.

  1. (Ω,Σ,μ)(\Omega,\Sigma,\mu)を測度空間とし、H=L2(Ω,Σ,μ;C)H=L^2(\Omega,\Sigma,\mu;\C)とする。A∈ΣA\in\Sigmaについて、代表関数を用いてE(A)u=1AuE(A)u=\mathbf 1_Auとおく。このときEEは(Ω,Σ)(\Omega,\Sigma)上の射影値測度であり、Eu,v(A)=∫Auv‾ dμE_{u,v}(A)=\int_Au\overline v\,d\muである。g∈Bb(Ω,Σ)g\in B_b(\Omega,\Sigma)についてΦE(g)u=gu\Phi_E(g)u=guである。可測関数g ⁣:Ω→Cg\colon\Omega\to\CについてD(ΦE(g))={u∈H:gu∈H}D(\Phi_E(g))=\{u\in H:gu\in H\}であり、u∈D(ΦE(g))u\in D(\Phi_E(g))についてΦE(g)u=gu\Phi_E(g)u=guである。
  2. ℓ2\ell^2を複素数値数列の Hilbert 空間とし、ene_n（n∈N≥1n\in\NN）を標準基底とする。S⊆N≥1S\subseteq\NNについてE(S)x=(1S(n)xn)n≥1E(S)x=(\mathbf 1_S(n)x_n)_{n\ge1}とおくと、EEはN≥1\NNの冪集合上の射影値測度である。複素数列(λn)n≥1(\lambda_n)_{n\ge1}を写像λ ⁣:N≥1→C\lambda\colon\NN\to\Cとみなし、F=E∘λ−1F=E\circ\lambda^{-1}とおくと、FFはC\C上の射影値測度であり、Borel 集合B⊆CB\subseteq\CについてF(B)x=(1B(λn)xn)n≥1F(B)x=(\mathbf 1_B(\lambda_n)x_n)_{n\ge1}である。g∈Bb(C)g\in B_b(\C)についてΦF(g)x=(g(λn)xn)n≥1\Phi_F(g)x=(g(\lambda_n)x_n)_{n\ge1}である。(λn)(\lambda_n)が有界ならば、恒等写像ι ⁣:C→C\iota\colon\C\to\CについてD(ΦF(ι))=ℓ2D(\Phi_F(\iota))=\ell^2であり、ΦF(ι)\Phi_F(\iota)は§E12.1 例 2.8の作用素DD（dn=λnd_n=\lambda_n）に等しい。

証明.(1)を示す。∣1Au∣≤∣u∣|\mathbf 1_Au|\le|u|であるからE(A)E(A)はHH上の有界線形作用素であり、1A2=1A\mathbf 1_A^2=\mathbf 1_AによりE(A)2=E(A)E(A)^2=E(A)である。⟨E(A)u,v⟩=∫Ω1Auv‾ dμ=⟨u,E(A)v⟩\langle E(A)u,v\rangle=\int_\Omega\mathbf 1_Au\overline v\,d\mu=\langle u,E(A)v\rangleであるから、§E12.1 定義 2.1によりE(A)∗=E(A)E(A)^*=E(A)である。1Ω=1\mathbf 1_\Omega=1と1A∩B=1A1B\mathbf 1_{A\cap B}=\mathbf 1_A\mathbf 1_BによりE(Ω)=IE(\Omega)=IとE(A∩B)=E(A)E(B)E(A\cap B)=E(A)E(B)が成り立つ。2∣uv‾∣≤∣u∣2+∣v∣22|u\overline v|\le|u|^2+|v|^2によりuv‾u\overline vは可積分であり、§E10.27 補題 2.2によりA↦∫Auv‾ dμ=Eu,v(A)A\mapsto\int_Au\overline v\,d\mu=E_{u,v}(A)は複素測度である。したがってEEは射影値測度である。g∈Bb(Ω,Σ)g\in B_b(\Omega,\Sigma)についてMgu=guM_gu=guとおくと、g↦Mgg\mapsto M_gは線形であり、∥Mg∥≤∥g∥∞\|M_g\|\le\|g\|_\inftyとM1A=E(A)M_{\mathbf 1_A}=E(A)を満たす。定理 4.5 (1)と補題 4.2 (2)によりMg=ΦE(g)M_g=\Phi_E(g)である。可測関数ggについて、Eu,u(A)=∫A∣u∣2 dμE_{u,u}(A)=\int_A|u|^2\,d\muであるから、§E10.12 命題 3.2により∫Ω∣g∣2 dEu,u=∫Ω∣g∣2∣u∣2 dμ\int_\Omega|g|^2\,dE_{u,u}=\int_\Omega|g|^2|u|^2\,d\muであり、D(ΦE(g))={u:gu∈H}D(\Phi_E(g))=\{u:gu\in H\}である。u∈D(ΦE(g))u\in D(\Phi_E(g))とし、gn=g1{∣g∣≤n}g_n=g\mathbf 1_{\{|g|\le n\}}とおくと、ΦE(gn)u=gnu\Phi_E(g_n)u=g_nuであり、∣gnu−gu∣2≤∣gu∣2|g_nu-gu|^2\le|gu|^2と各点収束gnu→gug_nu\to guから§E10.11 定理 3.1によりgnu→gug_nu\to guがHHのノルムについて成り立つ。命題 5.1 (2)によりΦE(g)u=gu\Phi_E(g)u=guである。

(2)を示す。N≥1\NNの冪集合をP(N≥1)\mathcal P(\NN)と書く。E(S)E(S)は§E12.1 例 2.8の作用素でdn=1S(n)d_n=\mathbf 1_S(n)としたものであるから、有界な自己共役作用素であり、dn2=dnd_n^2=d_nによりE(S)2=E(S)E(S)^2=E(S)である。1N≥1(n)=1\mathbf 1_{\NN}(n)=1と1S∩S′(n)=1S(n)1S′(n)\mathbf 1_{S\cap S'}(n)=\mathbf 1_S(n)\mathbf 1_{S'}(n)により、E(N≥1)=IE(\NN)=IとE(S∩S′)=E(S)E(S′)E(S\cap S')=E(S)E(S')が成り立つ。Ex,y(S)=∑n∈Sxnyn‾E_{x,y}(S)=\sum_{n\in S}x_n\overline{y_n}であり、∑n∣xnyn∣≤∥x∥∥y∥\sum_n|x_ny_n|\le\|x\|\|y\|により級数は絶対収束するから、互いに素な集合の列についての和の並べ替えによりEx,yE_{x,y}は複素測度である。したがってEEは射影値測度である。P(N≥1)\mathcal P(\NN)についてλ\lambdaは可測であるから、命題 7.1 (1)によりFFは射影値測度であり、F(B)=E(λ−1(B))F(B)=E(\lambda^{-1}(B))はdn=1λ−1(B)(n)=1B(λn)d_n=\mathbf 1_{\lambda^{-1}(B)}(n)=\mathbf 1_B(\lambda_n)に対応する。ψ∈Bb(N≥1,P(N≥1))\psi\in B_b(\NN,\mathcal P(\NN))について(ψ(n)xn)n≥1(\psi(n)x_n)_{n\ge1}を値とする作用素DψD_\psiは、§E12.1 例 2.8により∥Dψ∥=∥ψ∥∞\|D_\psi\|=\|\psi\|_\inftyを満たし、ψ↦Dψ\psi\mapsto D_\psiは線形でD1S=E(S)D_{\mathbf 1_S}=E(S)を満たすから、補題 4.2 (2)によりΦE(ψ)=Dψ\Phi_E(\psi)=D_\psiである。命題 7.1 (2)によりΦF(g)=ΦE(g∘λ)=Dg∘λ\Phi_F(g)=\Phi_E(g\circ\lambda)=D_{g\circ\lambda}である。(λn)(\lambda_n)が有界ならば、命題 7.1 (3)と命題 5.1 (3)によりD(ΦF(ι))=D(ΦE(λ))=ℓ2D(\Phi_F(\iota))=D(\Phi_E(\lambda))=\ell^2かつΦF(ι)=ΦE(λ)=Dλ\Phi_F(\iota)=\Phi_E(\lambda)=D_\lambdaである。▨

例 7.3.Ω=[0,1]\Omega=[0,1]に Borel 集合族と Lebesgue 測度mmを入れ、例 7.2 (1)の射影値測度EEをH=L2([0,1],B([0,1]),m;C)H=L^2([0,1],\mathcal B([0,1]),m;\C)上にとる。11は定数関数の類を表す。

  1. fn=1(0,1/n)f_n=\mathbf 1_{(0,1/n)}とおくと、∥fn∥∞=1\|f_n\|_\infty=1であり、すべてのt∈[0,1]t\in[0,1]についてfn(t)→0f_n(t)\to0であるから、定理 4.5 (4)によりすべてのu∈Hu\in HについてΦE(fn)u→0\Phi_E(f_n)u\to0である。一方、すべてのnnについて∥ΦE(fn)∥=1\|\Phi_E(f_n)\|=1であり、ΦE(fn)\Phi_E(f_n)は作用素ノルムについて00に収束しない。
  2. gn=n1(0,1/n)g_n=n\mathbf 1_{(0,1/n)}とおくと、すべてのt∈[0,1]t\in[0,1]についてgn(t)→0g_n(t)\to0であるが、∥ΦE(gn)1∥2=n\|\Phi_E(g_n)1\|^2=nであり、ΦE(gn)1\Phi_E(g_n)1は収束しない。したがって定理 4.5 (4)から一様有界性の仮定を外すことはできない。
  3. g(t)=t−1/2g(t)=t^{-1/2}（0<t≤10<t\le1）、g(0)=0g(0)=0とおくと、1∉D(ΦE(g))1\notin D(\Phi_E(g))であり、D(ΦE(g))D(\Phi_E(g))は命題 5.1 (1)により稠密であるがHHに等しくない。

証明.(1)を示す。定理 4.5 (1)により∥ΦE(fn)∥≤1\|\Phi_E(f_n)\|\le1である。un=1(0,1/n)u_n=\mathbf 1_{(0,1/n)}は∥un∥2=1/n>0\|u_n\|^2=1/n>0を満たし、例 7.2 (1)によりΦE(fn)un=fnun=un\Phi_E(f_n)u_n=f_nu_n=u_nであるから、∥ΦE(fn)∥≥1\|\Phi_E(f_n)\|\ge1である。

(2)を示す。各t∈(0,1]t\in(0,1]についてn>1/tn>1/tならばgn(t)=0g_n(t)=0であり、gn(0)=0g_n(0)=0である。例 7.2 (1)によりΦE(gn)1=gn\Phi_E(g_n)1=g_nであり、∥gn∥2=n2m((0,1/n))=n\|g_n\|^2=n^2m((0,1/n))=nである。収束する点列はノルムが有界であるから、ΦE(gn)1\Phi_E(g_n)1は収束しない。

(3)を示す。例 7.2 (1)により1∈D(ΦE(g))1\in D(\Phi_E(g))であることは∫[0,1]∣g∣2 dm<∞\int_{[0,1]}|g|^2\,dm<\inftyと同値である。k≥2k\ge2について∫[0,1]∣g∣2 dm≥∫1/k1t−1 dt=log⁡k\int_{[0,1]}|g|^2\,dm\ge\int_{1/k}^1t^{-1}\,dt=\log kであるから、左辺は無限大である。▨

8 演習

問題 8.1.命題 1.6 (1)を証明せよ。

解答.

x=(xi)x=(x_i)とy=(yi)y=(y_i)を⨁i∈IHi\bigoplus_{i\in I}H_iの元とし、α∈K\alpha\in\mathbb Kとする。各iiについて∥xi+yi∥2≤(∥xi∥+∥yi∥)2≤2∥xi∥2+2∥yi∥2\|x_i+y_i\|^2\le(\|x_i\|+\|y_i\|)^2\le2\|x_i\|^2+2\|y_i\|^2であるから、有限部分集合F⊆IF\subseteq Iについて和をとって上限をとると∑i∥xi+yi∥2≤2∑i∥xi∥2+2∑i∥yi∥2<∞\sum_i\|x_i+y_i\|^2\le2\sum_i\|x_i\|^2+2\sum_i\|y_i\|^2<\inftyである。∑i∥αxi∥2=∣α∣2∑i∥xi∥2\sum_i\|\alpha x_i\|^2=|\alpha|^2\sum_i\|x_i\|^2である。したがって⨁iHi\bigoplus_iH_iは∏iHi\prod_iH_iの線形部分空間である。

HiH_iにおける Cauchy–Schwarz の不等式（§E10.3 補題 1.2）により∣⟨xi,yi⟩∣≤∥xi∥∥yi∥≤12(∥xi∥2+∥yi∥2)|\langle x_i,y_i\rangle|\le\|x_i\|\|y_i\|\le\frac12(\|x_i\|^2+\|y_i\|^2)であるから∑i∣⟨xi,yi⟩∣<∞\sum_i|\langle x_i,y_i\rangle|<\inftyであり、補題 1.4により族(⟨xi,yi⟩)i∈I(\langle x_i,y_i\rangle)_{i\in I}はK\mathbb Kにおいて総和可能である。x′∈⨁iHix'\in\bigoplus_iH_iとc∈Kc\in\mathbb Kについて、補題 1.3 (1)により⟨x+cx′,y⟩=⟨x,y⟩+c⟨x′,y⟩\langle x+cx',y\rangle=\langle x,y\rangle+c\langle x',y\rangleであるから、⟨x,y⟩\langle x,y\rangleは第1変数について線形であり、複素共役をとる写像の連続性により⟨y,x⟩=⟨x,y⟩‾\langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}である。定義 1.1の末尾の注意により⟨x,x⟩=∑i∥xi∥2≥0\langle x,x\rangle=\sum_i\|x_i\|^2\ge0であり、⟨x,x⟩=0\langle x,x\rangle=0ならばすべてのiiについて∥xi∥2≤⟨x,x⟩=0\|x_i\|^2\le\langle x,x\rangle=0であるからx=0x=0である。

(x(n))n∈N≥1(x^{(n)})_{n\in\NN}を⨁iHi\bigoplus_iH_iの Cauchy 列とする。各iiについて∥xi(n)−xi(m)∥≤∥x(n)−x(m)∥\|x^{(n)}_i-x^{(m)}_i\|\le\|x^{(n)}-x^{(m)}\|であるから(xi(n))n(x^{(n)}_i)_nはHiH_iの Cauchy 列であり、HiH_iの完備性によりあるxi∈Hix_i\in H_iに収束する。ε>0\ep>0に対して、n,m≥Nn,m\ge Nならば∥x(n)−x(m)∥<ε\|x^{(n)}-x^{(m)}\|<\epとなるNNをとる。有限部分集合F⊆IF\subseteq Iとn,m≥Nn,m\ge Nについて∑i∈F∥xi(n)−xi(m)∥2<ε2\sum_{i\in F}\|x^{(n)}_i-x^{(m)}_i\|^2<\ep^2であり、m→∞m\to\inftyとすると∑i∈F∥xi(n)−xi∥2≤ε2\sum_{i\in F}\|x^{(n)}_i-x_i\|^2\le\ep^2を得る。FFについて上限をとると、n≥Nn\ge Nについてx(n)−x=(xi(n)−xi)ix^{(n)}-x=(x^{(n)}_i-x_i)_iは⨁iHi\bigoplus_iH_iに属してノルムがε\ep以下である。したがってx=x(n)−(x(n)−x)∈⨁iHix=x^{(n)}-(x^{(n)}-x)\in\bigoplus_iH_iであり、x(n)→xx^{(n)}\to xである。以上により⨁iHi\bigoplus_iH_iは Hilbert 空間である。

JjJ_jは線形であり、v,w∈Hjv,w\in H_jについて⟨Jjv,Jjw⟩=⟨v,w⟩\langle J_jv,J_jw\rangle=\langle v,w\rangleである。x∈⨁iHix\in\bigoplus_iH_iとε>0\ep>0について、∑i∈F0∥xi∥2>∥x∥2−ε2\sum_{i\in F_0}\|x_i\|^2>\|x\|^2-\ep^2を満たす有限部分集合F0F_0をとる。F0⊆FF_0\subseteq Fを満たす有限部分集合FFをとる。∥x∥2=∑i∈I∥xi∥2\|x\|^2=\sum_{i\in I}\|x_i\|^2は有限であるから、定義 1.1の末尾の注意により、族(∥xi∥2)i∈I(\|x_i\|^2)_{i\in I}はR\Rにおいて総和可能であってその和は∥x∥2\|x\|^2である。補題 1.3 (3)により、族(∥xi∥2)i∈I∖F(\|x_i\|^2)_{i\in I\setminus F}は総和可能であってその和は∥x∥2−∑i∈F∥xi∥2\|x\|^2-\sum_{i\in F}\|x_i\|^2である。この族の定義 1.1 (1)の和は∥x∥2\|x\|^2以下であって有限であるから、同じ注意と和の一意性により、二つの和は一致する。x−∑i∈FJixix-\sum_{i\in F}J_ix_iはi∈Fi\in Fの成分が00で他の成分がxix_iの元であるから

∥x−∑i∈FJixi∥2=∑i∈I∖F∥xi∥2=∥x∥2−∑i∈F∥xi∥2<ε2\Bigl\|x-\sum_{i\in F}J_ix_i\Bigr\|^2=\sum_{i\in I\setminus F}\|x_i\|^2=\|x\|^2-\sum_{i\in F}\|x_i\|^2<\ep^2

である。したがってx=∑i∈IJixix=\sum_{i\in I}J_ix_iである。▨

問題 8.2.(Ω,Σ,μ)(\Omega,\Sigma,\mu)を測度空間とし、H=L2(Ω,Σ,μ;C)H=L^2(\Omega,\Sigma,\mu;\C)上に例 7.2 (1)の射影値測度EEをとる。g∈Bb(Ω,Σ)g\in B_b(\Omega,\Sigma)についてcμ(g)=inf⁡{t≥0:μ({ω∈Ω:∣g(ω)∣>t})=0}c_\mu(g)=\inf\{t\ge0:\mu(\{\omega\in\Omega:|g(\omega)|>t\})=0\}とおく。

  1. (Ω,Σ,μ)(\Omega,\Sigma,\mu)が σ-有限測度空間であるとする。A∈ΣA\in\SigmaについてE(A)=0E(A)=0であるための必要十分条件はμ(A)=0\mu(A)=0であることを示せ。さらに、すべてのg∈Bb(Ω,Σ)g\in B_b(\Omega,\Sigma)について、HH上の作用素u↦guu\mapsto guの作用素ノルムがcμ(g)c_\mu(g)に等しいことを示せ。
  2. Ω={ω0}\Omega=\{\omega_0\}を一点集合とし、Σ\SigmaをΩ\Omegaの冪集合、μ({ω0})=∞\mu(\{\omega_0\})=\inftyとする。このとき、定数関数11について、作用素u↦1⋅uu\mapsto1\cdot uの作用素ノルムがcμ(1)c_\mu(1)に等しくないことを示せ。
解答.

(1)を示す。A∈ΣA\in\Sigmaとする。μ(A)=0\mu(A)=0ならば、すべてのu∈Hu\in Hについて1Au\mathbf 1_Auはμ\muに関してほとんど至る所で00に等しいから、E(A)u=0E(A)u=0である。μ(A)>0\mu(A)>0とする。σ-有限測度空間の定義により、μ(Ωn)<∞\mu(\Omega_n)<\inftyを満たすΩn∈Σ\Omega_n\in\Sigma（n∈N≥1n\in\NN）でΩ=⋃n∈N≥1Ωn\Omega=\bigcup_{n\in\NN}\Omega_nを満たすものが存在する。A=⋃n∈N≥1(A∩Ωn)A=\bigcup_{n\in\NN}(A\cap\Omega_n)と測度の可算劣加法性により、μ(A∩Ωn)>0\mu(A\cap\Omega_n)>0を満たすn∈N≥1n\in\NNが存在する。u=1A∩Ωnu=\mathbf 1_{A\cap\Omega_n}は∫Ω∣u∣2 dμ=μ(A∩Ωn)<∞\int_\Omega|u|^2\,d\mu=\mu(A\cap\Omega_n)<\inftyを満たすからHHの元を代表し、E(A)u=1A1A∩Ωn=uE(A)u=\mathbf 1_A\mathbf 1_{A\cap\Omega_n}=uのHHにおけるノルムの二乗はμ(A∩Ωn)>0\mu(A\cap\Omega_n)>0である。したがってE(A)≠0E(A)\ne0である。以上により、E(A)=0E(A)=0であるための必要十分条件はμ(A)=0\mu(A)=0である。

g∈Bb(Ω,Σ)g\in B_b(\Omega,\Sigma)とする。いま示したことにより、すべてのt≥0t\ge0についてE({∣g∣>t})=0E(\{|g|>t\})=0とμ({∣g∣>t})=0\mu(\{|g|>t\})=0は同値であるから、命題 4.6のccはcμ(g)c_\mu(g)に等しい。例 7.2 (1)によりu↦guu\mapsto guはΦE(g)\Phi_E(g)であるから、命題 4.6 (1)によりその作用素ノルムはcμ(g)c_\mu(g)に等しい。

(2)を示す。u ⁣:Ω→Cu\colon\Omega\to\Cが∫Ω∣u∣2 dμ=∣u(ω0)∣2μ({ω0})<∞\int_\Omega|u|^2\,d\mu=|u(\omega_0)|^2\mu(\{\omega_0\})<\inftyを満たすならばu(ω0)=0u(\omega_0)=0であるから、H={0}H=\{0\}であり、作用素u↦1⋅uu\mapsto1\cdot uは零作用素であってその作用素ノルムは00である。一方、0≤t<10\le t<1についてμ({∣1∣>t})=μ(Ω)=∞≠0\mu(\{|1|>t\})=\mu(\Omega)=\infty\ne0であり、t≥1t\ge1について{∣1∣>t}=∅\{|1|>t\}=\emptysetであるから、cμ(1)=1c_\mu(1)=1である。0≠10\ne1であるから、等式は成り立たない。▨

問題 8.3.KKをコンパクト Hausdorff 空間、μ\muをKK上の有限 Radon 測度とし、H=L2(K,B(K),μ;C)H=L^2(K,\mathcal B(K),\mu;\C)とする。f∈C(K)f\in C(K)についてΦ(f)u=fu\Phi(f)u=fuとおく。Φ\PhiがC(K)C(K)からB(H)B(H)への単位的 *-準同型であり、Φ\Phiに定理 6.2 (1)を適用して得られる射影値測度EEがすべての Borel 集合AAについてE(A)u=1AuE(A)u=\mathbf 1_Auを満たすことを示せ。

解答.

F(A)u=1AuF(A)u=\mathbf 1_Auとおくと、例 7.2 (1)によりFFはKK上の射影値測度であり、g∈Bb(K)g\in B_b(K)についてΦF(g)u=gu\Phi_F(g)u=guである。C(K)⊆Bb(K)C(K)\subseteq B_b(K)であるからΦ\PhiはΦF\Phi_FのC(K)C(K)への制限であり、定理 4.5 (2)により単位的 *-準同型である。

u,v∈Hu,v\in Hとし、w=uv‾w=u\overline vとおく。例 7.2 (1)と§E10.27 補題 2.2によりFu,v(A)=∫Aw dμF_{u,v}(A)=\int_Aw\,d\muであり、∣Fu,v∣(A)=∫A∣w∣ dμ|F_{u,v}|(A)=\int_A|w|\,d\muは有限な正測度である。ε>0\ep>0とする。(∣w∣−n)+(|w|-n)^+はn→∞n\to\inftyのとき各点で00に収束し、可積分な∣w∣|w|で上から抑えられるから、§E10.11 定理 3.1により∫K(∣w∣−n)+ dμ<ε/2\int_K(|w|-n)^+\,d\mu<\ep/2を満たす正の整数nnがある。AAを Borel 集合とする。μ\muは Radon 測度であるから、コンパクト集合C⊆AC\subseteq Aでμ(A∖C)<ε/(2n)\mu(A\setminus C)<\ep/(2n)を満たすものがある。∣w∣≤(∣w∣−n)++n|w|\le(|w|-n)^++nであるから

∣Fu,v∣(A∖C)=∫A∖C∣w∣ dμ≤∫K(∣w∣−n)+ dμ+nμ(A∖C)<ε|F_{u,v}|(A\setminus C)=\int_{A\setminus C}|w|\,d\mu\le\int_K(|w|-n)^+\,d\mu+n\mu(A\setminus C)<\ep

である。ε>0\ep>0と Borel 集合AAは任意であり、∣Fu,v∣|F_{u,v}|は有限であるから、すべての Borel 集合AAについて∣Fu,v∣(A)=sup⁡C∣Fu,v∣(C)|F_{u,v}|(A)=\sup_C|F_{u,v}|(C)（CCはAAに含まれるコンパクト集合）であり、∣Fu,v∣|F_{u,v}|はすべての Borel 集合でコンパクト内正則である。§E10.32 定義 3.1 (4)により∣Fu,v∣|F_{u,v}|は有限 Radon 測度である。したがってFu,vF_{u,v}は有限複素 Radon 測度である。

FFはKK上の射影値測度であり、すべてのu,vu,vについてFu,vF_{u,v}は有限複素 Radon 測度であり、すべてのf∈C(K)f\in C(K)についてΦF(f)=Φ(f)\Phi_F(f)=\Phi(f)を満たす。定理 6.2 (1)の一意性によりE=FE=Fである。▨

参考文献

  1. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw Hill, 1991.射影値測度とその積分、および連続関数の環の表現からの射影値測度の構成を参考にした。
  2. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1990.正規直交基底と Hilbert 直和、およびスペクトル測度の扱いを参考にした。

前提記事

12 本の記事・単元を表示