Euclid 空間とその領域における線形偏微分作用素を、超関数と Sobolev 空間の上で扱う。Fourier 変換、埋め込み・コンパクト性・トレースを基礎として、楕円型境界値問題の弱可解性、固有関数展開と内部・境界の正則性を示す。自己共役な実現の汎関数計算と半群によって熱・波動・Schrödinger 方程式を解き、ポテンシャル、調和関数、Fourier 級数解、明示解と特性曲線を扱う。選択では、Hölder 尺度と可測係数の正則性から、凹な完全非線形方程式の周期解の存在へ進む。
超関数と Fourier 変換
基本解
Sobolev 空間
楕円型境界値問題
楕円型正則性
発展方程式
例
完全非線形楕円型方程式
この単元で扱わないこと
- 多様体とベクトル束の上の Sobolev 空間と楕円型作用素、Hodge 分解、熱核の幾何的な漸近展開は、多様体論の設計の後に定める単元が扱う。本単元は Euclid 空間とその領域で閉じる。
- 擬微分作用素と超局所解析、特異積分と Littlewood–Paley 理論、Calderón–Zygmund の理論による二階微分の Lp 評価は、本単元では扱わない。Sobolev の埋め込みは Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式と Morrey の不等式で証明する。
- Perron の方法と正則境界点、粘性解と強解、完全非線形方程式の Dirichlet 問題と境界での二階 Hölder 評価、Monge–Ampère 方程式の存在理論、および周期解と半線形輸送方程式の局所解を除く非線形方程式の存在理論は、本単元では扱わない。
- 放物型方程式の Schauder 評価・Harnack 不等式・Krylov–Safonov の定理と、時間に依存する係数をもつ双曲型系は、本単元では扱わない。本単元の放物型方程式は、時間に依存する係数の弱解の一意存在と、自己共役な実現の半群による解に限る。
- 熱方程式と Brown 運動の対応など、確率過程による解の表現は「確率解析 I」が扱う。
- 差分法・有限要素法による偏微分方程式の数値解法は「数値解析 II」が扱う。
- 群構造だけで述べられる Fourier 解析（Haar 測度、双対群、Plancherel の定理、Pontryagin 双対、Poisson 和公式）は「位相群論 I」が扱う。本単元では Schwartz 空間上の Fourier 変換と超関数への拡張、微分と乗算の対応を扱う。
- 試験関数空間と Schwartz 空間の位相、閉形式の表現定理と Friedrichs 拡張、コンパクトなレゾルベント、作用素半群、Fredholm の交代定理、変分的発展方程式の抽象的な存在定理は「関数解析 I」が扱う。本単元では具体的な微分作用素の定義域・境界条件の同定と、微分と局所化に固有の評価を扱う。
- 区間上の Banach 空間値の Sobolev 空間と二進立方体分解は「測度と積分」が扱う。
- 一次元の Sobolev 空間と正則 Sturm–Liouville 問題は「常微分方程式論」が扱う。本単元では多次元の Sobolev 空間と、一般の楕円型作用素の固有値問題を扱う。