§E12.55連続汎関数計算

証明.$a$と$a^*$は可換であるから、$\mathcal P=\{p(a,a^*):p\in\C[z,w]\}$は$1,a$を含む可換な複素部分代数である。多項式の各項の対合をとると$a$と$a^*$が入れ替わり、係数は複素共役に変わるから、$\mathcal P$は対合について閉じている。積の連続性と§E12.49 補題 1.4により、$\tpcl{\mathcal P}$も可換な複素部分代数であり、対合について閉じている。$1,a$を含む C* 部分環は$a^*$と$\mathcal P$を含み、閉であるから$\tpcl{\mathcal P}$を含む。したがって$C^*(1,a)=\tpcl{\mathcal P}$である。

$C^*(1,a)$の Cauchy 列は$B$において極限をもち、閉性によりその極限は$C^*(1,a)$に属する。したがって$C^*(1,a)$は完備であり、C* 恒等式は制限後も成り立つ。よって$C^*(1,a)$は可換 C* 環であり、$B$の単位元$1$を含む。▨

証明.$c\in C$が$B$で可逆であるとし、$b=c^{-1}\in B$とおく。$h=c^*c$は自己共役であり、$bb^*$は$h$の逆元である。実際、

である。

$D=C^*(1,h)$とおく。$h\in C$であるから$D\subseteq C$であり、補題 1.2により$D$は単位的可換 C* 環である。§E12.49 定理 4.1により$\sigma_D(h)\subseteq\R$である。したがって、すべての$\varepsilon>0$について$h+i\varepsilon1$は$D$で可逆であり、その逆元$d_\varepsilon$は$C$に属する。$D$と$B$は単位元を共有するから、$d_\varepsilon$は$B$においても$h+i\varepsilon1$の逆元である。

$h+i\varepsilon1\to h$は$B$のノルムに関する収束であり、$h$は$B$で可逆である。§E12.47 補題 1.4の逆元の連続性により$d_\varepsilon\to h^{-1}$である。$C$は$B$で閉であるから$h^{-1}\in C$となり、

より$c^{-1}=b\in C$である。

$\lambda\in\C$に対して、$\lambda1-c$が$C$で可逆ならば同じ逆元によって$B$でも可逆である。逆向きはいま示した結論を$\lambda1-c\in C$へ適用して得られる。よって$\sigma_C(c)=\sigma_B(c)$である。▨

証明.§E12.47 例 1.2 (2)と§E12.1 命題 1.3により、$B(H)$は共役作用素を対合とする単位的 C* 環である。補題 1.2と定理 1.3を$B=B(H)$、$a=T$に適用すればよい。▨

証明.$U$は線形で$\|Ux\|^2=\sum_{n\in\Z}|x_{n-1}|^2=\|x\|^2$を満たし、$(Vx)_n=x_{n+1}$とおくと$V\in B(H)$かつ$UV=VU=I$である。内積の和の添字を変えると$\langle Ux,y\rangle=\langle x,Vy\rangle$であるから$U^*=V=U^{-1}$である。多項式の全体は$I,U$を含む部分代数であり、積は作用素ノルムについて連続であるから、$A$は$I,U$を含む閉部分環である。

任意の$p\in\C[z]$に対して、$p(U)e_0$は$e_0,e_1,\ldots$の有限線形結合である。一方$U^{-1}e_0=e_{-1}$であるから、直交性により

である。したがって$U^{-1}\notin A$であり、逆元の一意性により$U$は$A$で可逆でない。$U\in A$かつ$U^*=U^{-1}\notin A$であるから、$A$は対合について閉じていない。▨

証明.$\theta(\varphi)=\hat a(\varphi)$であるから、§E12.52 命題 1.2 (1)により$\theta$は連続である。§E12.52 定理 2.1と定理 1.3により、その値域は$\sigma_A(a)=\sigma_B(a)$である。

$\varphi,\psi\in\Delta(A)$が$\varphi(a)=\psi(a)$を満たすとする。§E12.49 定理 4.2により$\varphi(a^*)=\psi(a^*)$であり、§E12.47 命題 4.5 (2)により$\varphi(1)=\psi(1)=1$である。線形性と乗法性から、$\varphi$と$\psi$は$a,a^*$のすべての多項式上で一致する。補題 1.2の稠密性と§E12.47 命題 4.5 (1)の連続性により$\varphi=\psi$である。よって$\theta$は単射である。

§E12.53 系 2.1により$\Delta(A)$はコンパクトであり、$\sigma_B(a)$は Hausdorff 空間である。§E2.19 定理 6.8により$\theta$は同相写像である。▨

証明.$\lambda1_A-a$が$A$で可逆ならば、$\pi((\lambda1_A-a)^{-1})$は$\lambda1_B-\pi(a)$の両側逆元である。したがって$\sigma_B(\pi(a))\subseteq\sigma_A(a)$である。

$a^*a$と$\pi(a)^*\pi(a)=\pi(a^*a)$は自己共役であるから、§E12.49 定理 3.1と C* 恒等式により

である。両辺の非負平方根をとると$\|\pi(a)\|\le\|a\|$を得る。▨

証明.$A=C^*(I,T)$とおく。§E12.47 系 2.6により$K$は空でないコンパクト集合である。系 1.4により$A$は単位的可換 C* 環であり、$\sigma_A(T)=K$である。補題 2.1の同相写像$\theta\colon\Delta(A)\to K$と§E12.53 系 2.1の等長 *-同型$\Gamma\colon A\to C(\Delta(A))$に対して、

と定める。ここで$\iota\colon A\hookrightarrow B(H)$は包含写像である。$\theta$は同相写像であるから、$\theta^*$は単位元を保つ等長 *-同型である。したがって$\Phi_T$は単位元を保つ等長 *-準同型であり、像は$A$である。$\theta^*(z)(\varphi)=\varphi(T)=\Gamma(T)(\varphi)$であるから$\Phi_T(z)=T$である。

$\Psi\colon C(K)\to B(H)$を$\Psi(z)=T$を満たす、単位元を保つ *-準同型とする。$\Psi(\bar z)=T^*$であるから、$\Psi$と$\Phi_T$は$z,\bar z$のすべての多項式上で一致する。これらの多項式の全体は定数関数を含み、$K$の点を分離し、複素共役について閉じた部分代数である。§E2.32 系 3.5により、この部分代数は$C(K)$において一様ノルムについて稠密である。命題 2.2により$\Psi$は連続であり、$\Phi_T$も等長であるから連続である。したがって$\Psi=\Phi_T$である。

$f\in C(K)$をとる。$f\bar f=\bar f f$と対合保存から、$f(T)f(T)^*=f(T)^*f(T)$である。ノルム公式は$\Phi_T$の等長性から従う。§E12.47 問題 6.3により$\sigma_{C(K)}(f)=f(K)$である。$\Phi_T\colon C(K)\to A$は単位元を保つ同型であるから、$\sigma_A(f(T))=f(K)$である。定理 1.3により$\sigma_{B(H)}(f(T))=f(K)$となり、主張 (1)が成り立つ。

$f(T)^*=\bar f(T)$と$\Phi_T$の単射性により、$f(T)=f(T)^*$であることは$f=\bar f$と同値である。$f\ge0$ならば$q=\sqrt f\in C(K)$であり、$f(T)=q(T)^*q(T)$は§E12.1 命題 2.7 (4)により正作用素である。逆に$f(T)\ge0$ならば、§E12.1 命題 2.7 (1)により$f(T)$は自己共役である。§E12.1 命題 4.4 (3)と主張 (1)により$f(K)=\sigma_{B(H)}(f(T))\subseteq[0,\infty)$である。これで主張 (2)は示された。

$f\in C(K)$に対して、写像

は単位元を保つ *-準同型であり、$f(K)$上の座標関数を$f(T)$へ送る。主張 (1)により$f(T)$は正規作用素で、そのスペクトルは$f(K)$である。すでに示した一意性を$f(T)$に適用すると、この写像は$\Phi_{f(T)}$に等しい。したがって主張 (3)が成り立つ。

$S\in B(H)$が$T,T^*$の両方と可換であるとする。このとき$S$は$T,T^*$のすべての多項式と可換である。写像$R\mapsto SR-RS$は作用素ノルムについて連続であり、補題 1.2によりこれらの多項式は$A$で稠密であるから、$S$は$A$のすべての元と可換である。$f(T)\in A$により主張 (4)が成り立つ。▨

証明.§E12.1 例 2.8により$T$は有界正規作用素である。$K=\{i\}\cup\{i+1/n:n\ge1\}$とおく。§E12.1 問題 6.1を有界数列$(i+1/n)_{n\ge1}$に適用すると、$\sigma(T)=\tpcl{\{i+1/n:n\ge1\}}=K$である。$(T-iI)x=0$ならばすべての$n$で$x_n/n=0$となるから$x=0$であり、$i$は固有値でない。

$f\in C(K)$に対し、$D_f$を対角成分$f(i+1/n)$の作用素とする。$f$はコンパクト集合$K$上で有界であるから、§E12.1 例 2.8により$D_f\in B(H)$であり、$D_f^*=D_{\bar f}$である。各成分の演算により$f\mapsto D_f$は単位元を保つ *-準同型であり、座標関数を$T$へ送る。定理 3.1の一意性により$D_f=f(T)$である。ノルム公式は定理 3.1 (1)から従い、$f(i)=\lim_{n\to\infty}f(i+1/n)$は$f$の$i$における連続性から従う。▨

証明.$N^2=0$かつ$N\ne0$である。$\lambda\ne0$ならば$\lambda^{-1}I+\lambda^{-2}N$は$\lambda I-N$の逆元であり、$N$は非零の核をもつから可逆でない。よって$\sigma(N)=\{0\}$である。この集合上の座標関数は零関数であるから、任意の線形写像は座標関数を零作用素へ送る。したがって、座標関数を$N\ne0$へ送る *-準同型は存在しない。また

であるから、$N$は正規作用素でない。▨