§E12.29Alaoglu–Bourbaki の定理

証明. 必要性を示す。$\mathcal H$が同程度連続であるとする。$V=\{c\in\mathbb K\mid\lvert c\rvert<1\}$は$\mathbb K$の零近傍であるから、§E12.20 定義 2.1により、すべての$f\in\mathcal H$について$f(U)\subseteq V$を満たす$E$の零近傍$U$が存在する。この$U$について、すべての$f\in\mathcal H$と$x\in U$について$\lvert f(x)\rvert<1$である。

十分性を示す。$U$を、すべての$f\in\mathcal H$と$x\in U$について$\lvert f(x)\rvert\leq1$を満たす$E$の零近傍とし、$V$を$\mathbb K$の零近傍とする。$\{c\in\mathbb K\mid\lvert c\rvert<\varepsilon\}\subseteq V$を満たす実数$\varepsilon>0$をとり、$W=(\varepsilon/2)U$とおく。§E12.16 命題 1.4 (1)により$x\mapsto(\varepsilon/2)x$は$E$から$E$への同相写像であって$0$を$0$へ写すから、$W$は零近傍である。$f\in\mathcal H$と$u\in U$について$\lvert f((\varepsilon/2)u)\rvert=(\varepsilon/2)\lvert f(u)\rvert\leq\varepsilon/2<\varepsilon$であるから、すべての$f\in\mathcal H$について$f(W)\subseteq V$である。ゆえに$\mathcal H$は同程度連続である。

$\mathcal H$が同程度連続ならば、§E12.20 補題 2.2 (1)により$\mathcal H$の各元は連続であり、$\mathcal H\subseteq E'$である。$\mathcal H\subseteq E'$のとき、零近傍$U$についての条件は$\mathcal H\subseteq U^\circ$と同じである。▨

証明.$x\in E$について、$\pi_x\colon\mathbb K^E\to\mathbb K$を射影とする。

主張 (1)を示す。$\iota\colon E'\to\mathbb K^E$を包含写像とすると、$\pi_x\circ\iota$は写像$f\mapsto f(x)$である。§E2.12 命題 4.3により、$E'$が$\mathbb K^E$から受ける部分空間位相は$\iota$による始位相であり、§E2.14 定義 1.1により$\mathbb K^E$の積位相は$(\pi_x)_{x\in E}$による始位相であるから、§E2.12 命題 3.7により、この部分空間位相は$(\pi_x\circ\iota)_{x\in E}$による始位相$\sigma(E',E)$に等しい。

主張 (2)を示す。$f\in U^\circ$と$x\in E$をとり、$x\in tU$を満たす実数$t>0$をとる。$t^{-1}x\in U$であるから$\lvert f(x)\rvert=t\lvert f(t^{-1}x)\rvert\leq t$である。$t$について下限をとると$\lvert f(x)\rvert\leq\rho_U(x)$であり、$f\in P_U$である。ゆえに$U^\circ\subseteq P_U$である。

$\varphi\in\mathbb K^E$を$U^\circ$の$\mathbb K^E$における閉包の元とする。$x,y\in E$、$\lambda\in\mathbb K$、実数$\varepsilon>0$をとり、$z\in\{x,y,x+y,\lambda x\}$について$O_z=\{c\in\mathbb K\mid\lvert c-\varphi(z)\rvert<\varepsilon\}$とおき、

とおく。§E2.14 命題 1.2 (1)により各$\pi_z$は連続であるから、$N$は$\varphi$を含む開集合である。§E2.11 命題 7.2 (2)により$N\cap U^\circ\neq\emptyset$であり、$f\in N\cap U^\circ$をとる。$f$は線形であるから

であり、

である。さらに$x\in U$ならば$\lvert\varphi(x)\rvert\leq\lvert f(x)\rvert+\lvert\varphi(x)-f(x)\rvert<1+\varepsilon$である。$\varepsilon>0$は任意であるから、$\varphi$は$E$から$\mathbb K$への線形写像であり、すべての$x\in U$について$\lvert\varphi(x)\rvert\leq1$を満たす。命題 1.2を$\{\varphi\}$に適用すると$\varphi\in E'$であり、$\varphi\in U^\circ$である。したがって$U^\circ$の$\mathbb K^E$における閉包は$U^\circ$に等しく、§E2.11 命題 2.5 (2)により$U^\circ$は$\mathbb K^E$の閉集合である。▨

証明.$\mathbb K^E$に積位相を入れ、$D_x$（$x\in E$）と$P_U$を補題 2.1 (2)のとおりとする。各$D_x$は$\mathbb K$（$\mathbb K=\C$のときは$\R^2$とみなす）の有界閉集合であるから、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.19 定理 8.2により積位相を入れた$P_U$はコンパクトである。§E2.14 補題 1.8 (1)により、$P_U$の積位相は$P_U$が$\mathbb K^E$から受ける部分空間位相に等しい。補題 2.1 (2)により$U^\circ$は$P_U$に含まれる$\mathbb K^E$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$U^\circ$は$P_U$の閉集合であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。§E2.19 補題 2.7を$U^\circ\subseteq P_U\subseteq\mathbb K^E$に適用すると$U^\circ$は$\mathbb K^E$のコンパクトな部分集合であり、同じ補題を$U^\circ\subseteq E'\subseteq\mathbb K^E$に適用すると、$U^\circ$は、$E'$に$\mathbb K^E$から受ける部分空間位相を入れた空間のコンパクトな部分集合である。補題 2.1 (1)により、この部分空間位相は$\sigma(E',E)$である。▨

証明.命題 1.2により、$\mathcal H\subseteq U^\circ$を満たす$E$の零近傍$U$が存在する。補題 2.1 (2)により$U^\circ$は$\mathbb K^E$の閉集合であり、$U^\circ=U^\circ\cap E'$であるから、補題 2.1 (1)と§E2.12 命題 4.6により$U^\circ$は$E'$の閉集合である。§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpcl{\mathcal H}\subseteq U^\circ$である。定理 3.1により$U^\circ$はコンパクトである。$\tpcl{\mathcal H}$は$E'$の閉集合であり、$\tpcl{\mathcal H}=\tpcl{\mathcal H}\cap U^\circ$であるから、§E2.12 命題 4.6により$U^\circ$の閉集合であり、§E2.19 命題 4.1と§E2.19 補題 2.7によりコンパクトである。$\tpcl{\mathcal H}\subseteq U^\circ$であるから、命題 1.2により$\tpcl{\mathcal H}$は同程度連続である。▨

証明.(a)$\Rightarrow$(b)は§E12.20 定理 2.4の必要性である。(b)$\Rightarrow$(c)は系 3.2である。

(c)$\Rightarrow$(a)を示す。$x\in E$とする。§E2.12 命題 3.3 (1)により$f\mapsto f(x)$は$E'$から$\mathbb K$への連続写像であるから、§E2.19 定理 4.2により$\{f(x)\mid f\in\tpcl{\mathcal H}\}$は$\mathbb K$のコンパクトな部分集合であり、§E2.9 定理 4.3により有界である（$\mathbb K=\C$のときは$\R^2$とみなす）。$\{f(x)\mid f\in\mathcal H\}$はその部分集合であるから、§E12.16 命題 3.3 (3)により$\mathbb K$の有界な部分集合である。ゆえに$\mathcal H$は各点有界である。▨

証明.$x\in c_{00}$について$t=1+\sum_n\lvert x_n\rvert$とおくと、$\sum_n\lvert t^{-1}x_n\rvert\leq1$であるから$x\in tU$であり、$U$は吸収的である。$x,y\in U$、$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$、$\lvert\lambda\rvert\leq1$を満たす$\lambda\in\mathbb K$について、$\sum_n\lvert(1-s)x_n+sy_n\rvert\leq(1-s)\sum_n\lvert x_n\rvert+s\sum_n\lvert y_n\rvert\leq1$かつ$\sum_n\lvert\lambda x_n\rvert\leq1$であるから、$U$は絶対凸である。$n\in\NN$について第$n$成分だけが$1$であり他の成分が$0$である数列を$e_n$とし、$m\in\NN$について$s_m=\sum_{n=1}^me_n$とおく。$V$を$X$の零近傍とすると、$\{x\in X\mid\lVert x\rVert_\infty<\delta\}\subseteq V$を満たす実数$\delta>0$が存在する。$m>2/\delta$を満たす$m\in\NN$をとると、$\lVert(\delta/2)s_m\rVert_\infty=\delta/2<\delta$であるから$(\delta/2)s_m\in V$であり、$\sum_n\lvert(\delta/2)(s_m)_n\rvert=m\delta/2>1$であるから$(\delta/2)s_m\notin U$である。ゆえに$V\not\subseteq U$であり、$U$は$X$の零近傍でない。

$\varphi\colon c_{00}\to\mathbb K$を$\varphi(x)=\sum_nx_n$で定め、$M\in\NN$について$f_M\colon c_{00}\to\mathbb K$を$f_M(x)=\sum_{n=1}^Mx_n$で定める。$f_M$は線形であり$\lvert f_M(x)\rvert\leq M\lVert x\rVert_\infty$を満たすから$f_M\in X^*$であり、$x\in U$について$\lvert f_M(x)\rvert\leq\sum_n\lvert x_n\rvert\leq1$であるから$f_M\in U^\circ$である。$\varphi$は線形であり、$\lVert s_m\rVert_\infty=1$かつ$\varphi(s_m)=m$である。$\varphi\in X^*$ならば、§E10.2 命題 1.2によりすべての$m$について$m=\lvert\varphi(s_m)\rvert\leq\lVert\varphi\rVert$となるから、$\varphi\notin X^*$である。

$U^\circ$が$\sigma(X^*,X)$に関してコンパクトであると仮定し、$\mathbb K^X$に積位相を入れ、$x\in X$について$\pi_x\colon\mathbb K^X\to\mathbb K$を射影とする。補題 2.1 (1)と§E2.19 補題 2.7により、$U^\circ$は$\mathbb K^X$のコンパクトな部分集合である。§E2.15 定理 3.2 (1)により$\mathbb K$は Hausdorff であるから、§E2.15 定理 2.8 (3)により$\mathbb K^X$は Hausdorff であり、§E2.19 命題 6.4により$U^\circ$は$\mathbb K^X$の閉集合である。$W$を$\varphi\in\mathbb K^X$の近傍とする。各因子の開基として$\mathbb K$の位相そのものをとって§E2.14 命題 1.3を適用すると、$X$の有限部分集合$G$と、$\varphi(x)$を含む$\mathbb K$の開集合$O_x$（$x\in G$）であって$\bigcap_{x\in G}\pi_x^{-1}(O_x)\subseteq W$を満たすものが存在する。$G$は有限集合であるから、すべての$x\in G$とすべての$n>M$について$x_n=0$を満たす$M\in\NN$が存在し、$x\in G$について$f_M(x)=\varphi(x)\in O_x$である。したがって$f_M\in W\cap U^\circ$であり、§E2.11 命題 7.2 (2)により$\varphi$は$U^\circ$の$\mathbb K^X$における閉包に属する。$U^\circ$は$\mathbb K^X$の閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (2)により$\varphi\in U^\circ\subseteq X^*$である。これは$\varphi\notin X^*$に反する。▨

証明.$B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$とおくと、定義 1.1により、$X'=X^*$であり、$B_X$は$X$の零近傍であって$(B_X)^\circ=B_{X^*}$である。$x\in X$と実数$t>0$について$x\in tB_X$は$\lVert x\rVert\leq t$と同値であるから$\rho_{B_X}(x)=\lVert x\rVert$であり、補題 2.1 (2)を$U=B_X$に適用すると、$B_{X^*}\subseteq\prod_{x\in X}D_x$であり、$B_{X^*}$は$\mathbb K^X$の閉集合である。§E2.14 補題 1.8 (1)により$\prod_{x\in X}D_x$の積位相は$\prod_{x\in X}D_x$が$\mathbb K^X$から受ける部分空間位相に等しく、$B_{X^*}=B_{X^*}\cap\prod_{x\in X}D_x$であるから、§E2.12 命題 4.6により$B_{X^*}$は$\prod_{x\in X}D_x$の閉集合である。▨

証明.系 4.1により$B_{X^*}\subseteq\prod_{x\in X}D_x$であり、補題 2.1 (1)により$\sigma(X^*,X)$は$X^*$が$\mathbb K^X$から受ける部分空間位相であり、§E2.14 補題 1.8 (1)により$\prod_{x\in X}D_x$の積位相は$\prod_{x\in X}D_x$が$\mathbb K^X$から受ける部分空間位相であるから、§E2.12 系 4.5により二つの部分空間位相はいずれも$B_{X^*}$が$\mathbb K^X$から受ける部分空間位相に等しい。▨

証明.$B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$とおくと、定義 1.1により、$X'=X^*$であり、$B_X$は$X$の零近傍であって$(B_X)^\circ=B_{X^*}$である。定理 3.1を$E=X$と$U=B_X$に適用すればよい。▨

証明.主張 (1)を示す。§E12.16 命題 5.12を$(q_n)_{n\in\NN}$に適用すると、$d$は$E$上の距離であり、$d$が定める位相は$\tau_{\mathcal Q}$に等しい。

主張 (2)を示す。$n\in\NN$と$a\in E$について、$q_n$は$\tau$に関して連続であり、§E12.16 命題 1.4 (1)により平行移動$x\mapsto x-a$は連続であるから、$x\mapsto q_n(x-a)$は連続である。§E2.12 命題 3.3 (2)により$\tau_{\mathcal Q}\subseteq\tau$である。$K$に$\tau$から受ける部分空間位相を入れ、$d$の$K\times K$への制限を$d_K$とする。$x\in K$と実数$r>0$について、§E2.1 命題 2.2により$B_{d_K}(x,r)=K\cap B_d(x,r)$であり、$B_d(x,r)$は$\tau_{\mathcal Q}$の開集合であるから$\tau$の開集合でもある。距離空間の開集合は開球の和集合であるから、恒等写像$K\to(K,d_K)$は連続である。その定義域はコンパクトであり、§E2.15 定理 3.2 (1)により終域は Hausdorff であるから、§E2.19 定理 6.8により、この恒等写像は同相写像である。

主張 (3)を示す。主張 (2)により$(K,d_K)$はコンパクトな距離空間であり、§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトである。したがって、$K$の任意の点列$(x_k)_{k\in\NN}$に対し、部分列$(x_{k_j})_{j\in\NN}$と$x\in K$であって$d_K(x_{k_j},x)\to0$を満たすものが存在する。主張 (2)により、この部分列は$K$の部分空間位相に関して$x$に収束し、したがって$\tau$に関して$x$に収束する。▨

証明.$n\in\NN$について$q_n\colon E'\to[0,\infty)$を$q_n(f)=\lvert f(x_n)\rvert$で定めると、$f\mapsto f(x_n)$は線形であるから$q_n$は$E'$上の半ノルムである。$\mathcal Q=\{q_n\mid n\in\NN\}$とおく。

主張 (1)を示す。$f\in E'$がすべての$n$について$q_n(f)=0$を満たすとする。$f$は連続であり$\{0\}$は$\mathbb K$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により$f^{-1}(\{0\})$は$\{x_n\mid n\in\NN\}$を含む$E$の閉集合であり、§E2.11 命題 2.5 (1)と§E2.11 定義 2.7により$f^{-1}(\{0\})=E$である。ゆえに$f=0$であり、$\mathcal Q$は$E'$の点を分離する。§E12.16 命題 5.12を半ノルムの列$(q_n)_{n\in\NN}$に適用すると、$d$は$E'$上の距離であり、$d$が定める位相は$\tau_{\mathcal Q}$に等しい。

主張 (2)を示す。$E'$は$\mathbb K^E$の線形部分空間であるから、§E12.16 補題 5.15 (1)と§E12.16 補題 1.6 (1)により、積位相から受ける部分空間位相について位相線形空間である。補題 2.1 (1)により、この位相は$\sigma(E',E)$に等しい。各$n\in\NN$について、§E2.12 命題 3.3 (1)により評価写像$f\mapsto f(x_n)$は$\sigma(E',E)$に関して連続であり、絶対値との合成$q_n$も連続である。$\mathcal Q$は$E'$の点を分離し、定理 3.1により$U^\circ$は$\sigma(E',E)$に関してコンパクトである。したがって補題 5.1 (2)を位相線形空間$(E',\sigma(E',E))$、半ノルムの列$(q_n)_{n\in\NN}$とコンパクト部分集合$U^\circ$に適用すると、主張の恒等写像は同相写像である。

主張 (3)を示す。補題 5.1 (3)を位相線形空間$(E',\sigma(E',E))$、半ノルムの列$(q_n)_{n\in\NN}$とコンパクト部分集合$U^\circ$に適用すると、$U^\circ$の任意の点列は$\sigma(E',E)$に関して$U^\circ$のある点に収束する部分列をもつ。▨

証明.§E2.13 定義 6.1により、$X$で稠密な高々可算部分集合$D$が存在する。空集合は閉集合であり$X$は$0$を含むから$D\neq\emptyset$であり、全射$\NN\to D$が存在する。この全射を$n\mapsto x_n$と書けばよい。$B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$とおくと、定義 1.1により、$X'=X^*$であり、$B_X$は$X$の零近傍であって$(B_X)^\circ=B_{X^*}$である。定理 5.2 (1)と定理 5.2 (2)を$E=X$と$U=B_X$に適用すると、残りの主張を得る。▨

証明.系 5.3により、$\{x_n\mid n\in\NN\}$が$X$で稠密であるような$X$の点列$(x_n)_{n\in\NN}$が存在する。$B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$とおくと、定義 1.1により、$X'=X^*$であり、$B_X$は$X$の零近傍であって$(B_X)^\circ=B_{X^*}$である。定理 5.2 (3)を$E=X$、点列$(x_n)_{n\in\NN}$と$U=B_X$に適用すればよい。▨

証明. 演習とする（問題 7.3）。▨

証明.$\widetilde F=\{\langle\cdot,y\rangle\mid y\in F\}$とおく。§E12.27 命題 2.2 (3)を双対対$(F,E)$に適用すると、$(F,\sigma(F,E))$は位相線形空間である。

主張 (1)を示す。$y\in F$とし、$D_y=\{\lambda y\mid\lambda\in\mathbb K,\ \lvert\lambda\rvert\leq1\}$とおく。写像$\mathbb K\to\mathbb K\times F$,$\lambda\mapsto(\lambda,y)$は§E2.12 例 1.12と§E2.12 定理 3.4により連続であるから、この写像と$(F,\sigma(F,E))$のスカラー倍との合成$\lambda\mapsto\lambda y$は§E2.12 命題 1.10により連続である。$\{\lambda\in\mathbb K\mid\lvert\lambda\rvert\leq1\}$は$\mathbb K$（$\mathbb K=\C$のときは$\R^2$とみなす）の有界閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.19 定理 4.2により$D_y$は$\sigma(F,E)$に関してコンパクトである。$\lvert\lambda\rvert,\lvert\mu\rvert,\lvert\nu\rvert\leq1$を満たす$\lambda,\mu,\nu\in\mathbb K$と$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$について、$(1-s)\lambda y+s\mu y=((1-s)\lambda+s\mu)y$かつ$\lvert(1-s)\lambda+s\mu\rvert\leq1$であり、$\nu\lambda y\in D_y$であるから、$D_y$は絶対凸である。ゆえに$D_y\in\mathfrak M$であり、$y\in D_y$である。したがって$\bigcup\mathfrak M=F$であるから、§E12.27 命題 6.2 (1)と§E12.27 命題 6.2 (2)を双対対$(F,E)$と$\mathfrak M$に適用すると、$(E,\tau(E,F))$は Hausdorff 局所凸空間であり、$\sigma(E,F)\subseteq\tau(E,F)$である。