§E12.31Krein–Milman の定理

証明.主張 (1)を示す。$S=\bigcap_{i\in I}S_i$とおく。$I$は空でないから$S\subseteq K$であり、凸集合の族の共通部分は凸であるから$S$は凸である。$x,y\in K$と$0<t<1$を満たす実数$t$について$(1-t)x+ty\in S$とする。各$i\in I$について$(1-t)x+ty\in S_i$であり、$S_i$は$K$の面であるから$x,y\in S_i$である。ゆえに$x,y\in S$である。

主張 (2)を示す。$S'\subseteq S\subseteq K$であり、$S'$は凸である。$x,y\in K$と$0<t<1$を満たす実数$t$について$(1-t)x+ty\in S'$とする。$S'\subseteq S$であり、$S$は$K$の面であるから$x,y\in S$である。$S'$は$S$の面であるから$x,y\in S'$である。

主張 (3)を示す。$F=\{x\in K\mid u(x)=c\}$とおく。$x,y\in F$と$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$について、$K$は凸であるから$(1-s)x+sy\in K$であり、$u((1-s)x+sy)=(1-s)c+sc=c$であるから、$F$は凸である。$x,y\in K$と$0<t<1$を満たす実数$t$について$(1-t)x+ty\in F$とする。$c$の定義により$u(x)\leq c$かつ$u(y)\leq c$である。$u(x)<c$または$u(y)<c$ならば、$1-t>0$かつ$t>0$であるから$u((1-t)x+ty)=(1-t)u(x)+tu(y)<(1-t)c+tc=c$となり、これは$(1-t)x+ty\in F$に反する。ゆえに$u(x)=u(y)=c$であり、$x,y\in F$である。

主張 (4)を示す。必要性を示す。$x\in\operatorname{ext}K$とし、$h\in E$が$x+h\in K$かつ$x-h\in K$を満たすとする。$x=\frac12(x+h)+\frac12(x-h)$であり、$x$は$K$の端点であるから$x+h=x$であり、$h=0$である。

十分性を示す。$x+h\in K$かつ$x-h\in K$を満たす$h\in E$が$h=0$に限るとする。$y,z\in K$と$0<t<1$を満たす実数$t$について$x=(1-t)y+tz$とする。$x=(1-t')z+t'y$（$t'=1-t$）でもあるから、必要なら$y$と$z$を入れ替え$t$を$1-t$に替えて、$t\leq1/2$としてよい。$h=t(z-y)$とおく。$x+h=(1-2t)y+2tz$であり、$0<2t\leq1$であるから、$K$の凸性により$x+h\in K$である。$x-h=y\in K$である。仮定により$h=0$であり、$t>0$であるから$z=y$であって、$x=(1-t)y+ty=y$である。ゆえに$y=z=x$であり、$x\in\operatorname{ext}K$である。

主張 (5)を示す。$x,y\in K$と$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$について$(1-s)Tx+sTy=T((1-s)x+sy)\in T(K)$であるから、$T(K)$は凸である。$x\in K$とする。

$x\in\operatorname{ext}K$とし、$k\in G$が$Tx+k\in T(K)$かつ$Tx-k\in T(K)$を満たすとする。$Tx+k=Ty$かつ$Tx-k=Tz$を満たす$y,z\in K$をとり、$h=y-x$とおくと、$k=Th$であり、$T(x-h)=Tx-k=Tz$である。$T$は単射であるから$x-h=z\in K$であり、$x+h=y\in K$である。主張 (4)により$h=0$であるから$k=0$であり、主張 (4)を$T(K)$に適用すると$Tx\in\operatorname{ext}T(K)$である。

$Tx\in\operatorname{ext}T(K)$とし、$h\in E$が$x+h\in K$かつ$x-h\in K$を満たすとする。$Tx+Th=T(x+h)\in T(K)$かつ$Tx-Th=T(x-h)\in T(K)$であるから、主張 (4)を$T(K)$に適用すると$Th=0$であり、$T$は単射であるから$h=0$である。主張 (4)により$x\in\operatorname{ext}K$である。

$T(K)$の各元は$x\in K$により$Tx$と書かれるから、前二段により$T(\operatorname{ext}K)=\operatorname{ext}T(K)$である。▨

証明.$x\in B_X$ならば$\lVert Tx\rVert=\lVert x\rVert\leq1$であるから、$T(B_X)\subseteq B_Y$である。$y\in B_Y$とし、$Tx=y$を満たす$x\in X$をとると、$\lVert x\rVert=\lVert y\rVert\leq1$であるから$y\in T(B_X)$である。ゆえに$T(B_X)=B_Y$である。ノルムの三角不等式により$B_X$は凸であり、$T$は単射であるから、補題 1.2 (5)により$T(\operatorname{ext}B_X)=\operatorname{ext}T(B_X)=\operatorname{ext}B_Y$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$K$の面であって、$S$に含まれる空でない$E$の閉集合であるものの全体を$\mathcal P$とし、$T,T'\in\mathcal P$について$T'\subseteq T$のとき$T\preceq T'$と定めて、$\mathcal P$を半順序集合とする。$S\in\mathcal P$であるから$\mathcal P$は空でない。$\mathcal C$を$\mathcal P$の鎖とする。$\mathcal C=\emptyset$ならば、$S$は$\mathcal C$の上界である。$\mathcal C\neq\emptyset$とし、$T_*=\bigcap_{T\in\mathcal C}T$とおく。補題 1.2 (1)により$T_*$は$K$の面であり、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により$T_*$は$E$の閉集合であり、$T_*\subseteq S$である。$K$に$E$からの部分空間位相を入れると、各$T\in\mathcal C$は$T=T\cap K$を満たすから、§E2.12 命題 4.6により$K$の閉集合である。$k\in\NN$と$T_1,\ldots,T_k\in\mathcal C$について、$\mathcal C$は鎖であるから、$T_1,\ldots,T_k$のうち他のすべてに含まれるもの$T_j$が存在し、$T_1\cap\cdots\cap T_k=T_j\neq\emptyset$である。したがって、$K$の閉集合の族$(T)_{T\in\mathcal C}$は有限交差性をもち、$K$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 3.2により$T_*\neq\emptyset$である。ゆえに$T_*\in\mathcal P$であり、$T_*$は$\mathcal C$の上界である。§E1.20 定理 2.1 (3)により、$\mathcal P$は極大元$T_0$をもつ。

$T_0$が相異なる二点$x,y$を含むと仮定する。§E12.17 系 3.2 (2)により、$f(x)\neq f(y)$を満たす$f\in E'$が存在する。$\Re f(x)\neq\Re f(y)$ならば$g=f$とおく。$\Re f(x)=\Re f(y)$ならば、$\mathbb K=\C$であって$\Im f(x)\neq\Im f(y)$であるから、$g=-if$とおく。$\Re(-if)=\Im f$であるから、いずれの場合も$g\in E'$は$\Re g(x)\neq\Re g(y)$を満たす。$T_0$は$K$に含まれる$E$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$K$の閉集合であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。§E12.17 補題 2.1 (3)により$\Re g$は連続であるから、§E2.19 定理 4.4により$c=\max_{z\in T_0}\Re g(z)$が存在する。$T_1=\{z\in T_0\mid\Re g(z)=c\}$とおく。$T_0$は$K$の面であるから凸であり、補題 1.2 (3)を凸集合$T_0$と$\R$線形写像$\Re g$に適用すると、$T_1$は$T_0$の面である。補題 1.2 (2)により$T_1$は$K$の面である。$\Re g$は連続であるから$T_1=T_0\cap(\Re g)^{-1}(\{c\})$は$E$の閉集合であり、$T_1$は空でなく、$S$に含まれる。したがって$T_1\in\mathcal P$かつ$T_0\preceq T_1$である。$T_0$は極大元であるから$T_1=T_0$であり、$\Re g(x)=c=\Re g(y)$となる。これは$\Re g(x)\neq\Re g(y)$に反する。ゆえに、$T_0$はただ一つの点$x_0$からなる。$\{x_0\}=T_0$は$K$の面であるから$x_0\in\operatorname{ext}K$であり、$x_0\in T_0\subseteq S$である。

主張 (2)を示す。$E$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$K$は$E$の閉集合である。§E12.17 補題 2.1 (3)により$\Re f$は連続であり、$K$は空でないコンパクト集合であるから、§E2.19 定理 4.4により$c=\max_{x\in K}\Re f(x)$が存在する。$S=\{x\in K\mid\Re f(x)=c\}$とおく。補題 1.2 (3)により$S$は$K$の面であり、$S=K\cap(\Re f)^{-1}(\{c\})$は空でない$E$の閉集合である。主張 (1)により$e\in S\cap\operatorname{ext}K$が存在し、$\Re f(e)=c$である。▨

証明.補題 2.2 (2)を$f=0$に適用すると、$\operatorname{ext}K\neq\emptyset$である。$H$を$\operatorname{ext}K$の閉凸包とする。§E2.19 命題 6.4により、$K$は$\operatorname{ext}K$を含む$E$の閉凸集合であるから、$H\subseteq K$である。$x_0\in K\setminus H$が存在すると仮定する。$H$は空でない閉凸集合であるから、§E12.18 系 2.3 (1)により$\Re f(x_0)>\sup_{x\in H}\Re f(x)$を満たす$f\in E'$が存在する。補題 2.2 (2)により、$\Re f(e)=\max_{x\in K}\Re f(x)$を満たす$e\in\operatorname{ext}K$が存在し、$x_0\in K$であるから$\Re f(e)\geq\Re f(x_0)$である。一方、$e\in H$であるから$\Re f(e)\leq\sup_{x\in H}\Re f(x)<\Re f(x_0)$である。二つの不等式$\Re f(e)\geq\Re f(x_0)$と$\Re f(e)<\Re f(x_0)$は両立しない。ゆえに$K\subseteq H$であり、$K=H$である。▨

証明.§E12.16 例 4.2 (1)により、$E$は Hausdorff でない位相線形空間である。$E$の零近傍は$E$だけであり、$E$は凸であるから、$E$は局所凸空間である。$0\in K$である。$z,w\in K$と$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$について$\lvert(1-s)z+sw\rvert\leq(1-s)\lvert z\rvert+s\lvert w\rvert\leq\max\{\lvert z\rvert,\lvert w\rvert\}<1$であるから、$K$は凸である。$K$が$E$から受ける部分空間位相は$\{\emptyset,K\}$であるから、§E2.19 例 2.9 (2)により$K$はコンパクトである。$z\in K$とし、$h=(1-\lvert z\rvert)/2$とおくと、$h\neq0$であり、$\lvert z\pm h\rvert\leq\lvert z\rvert+h<1$であるから$z+h\in K$かつ$z-h\in K$である。補題 1.2 (4)により$z\notin\operatorname{ext}K$である。▨

証明.§E12.27 定義 4.2により$(X^*,X)$は双対対であり、§E12.27 命題 2.2 (3)により、$X^*$は＊弱位相$\sigma(X^*,X)$について Hausdorff 局所凸空間である。$B_{X^*}$は$0$を含み、ノルムの三角不等式により凸である。§E12.29 系 4.3により、$B_{X^*}$は$\sigma(X^*,X)$に関してコンパクトである。定理 2.3を Hausdorff 局所凸空間$(X^*,\sigma(X^*,X))$と$K=B_{X^*}$に適用すればよい。▨

証明.主張 (1)を示す。$x\in B_{c_0}$とする。$x_j\to0$であるから、$\lvert x_N\rvert<1/2$を満たす$N\in\NN$が存在する。第$N$成分だけが$1/2$であり他の成分が$0$である列を$h$とすると、$h\in c_0$かつ$h\neq0$である。$x+h$と$x-h$の第$N$成分の絶対値は$\lvert x_N\rvert+1/2$以下であって$\lvert x_N\rvert+1/2<1$であり、第$j$成分（$j\neq N$）は$x_j$であるから、$x+h$と$x-h$は$B_{c_0}$に属する。補題 1.2 (4)により$x\notin\operatorname{ext}B_{c_0}$である。

主張 (2)を示す。$u\in B_{L^1}$とし、$u=[f]$を満たす可測関数$f\colon[0,1]\to\mathbb K$をとり、$a=\lVert u\rVert_1=\int_{[0,1]}\lvert f\rvert\,d\lambda$とおく。$\mathbf 1$を定数関数$1$の類とすると、§E10.9 系 9.2により$\lVert\mathbf 1\rVert_1=\lambda([0,1])=1$である。

$a<1$とする。$h=(1-a)\mathbf 1$とおくと、$\lVert h\rVert_1=1-a>0$であるから$h\neq0$であり、$\lVert u\pm h\rVert_1\leq a+(1-a)=1$であるから、$u+h$と$u-h$は$B_{L^1}$に属する。

$a=1$とする。$t\in[0,1]$について$F(t)=\int_{[0,1]}\lvert f\rvert\chi_{[0,t]}\,d\lambda$とおく。$t\in[0,1]$とし、$[0,1]$の点列$(t_k)_{k\in\NN}$が$t$に収束するとする。$x\in[0,1]$が$x<t$を満たすならば十分大きいすべての$k$について$x<t_k$であり、$x>t$を満たすならば十分大きいすべての$k$について$x>t_k$であるから、$x\neq t$を満たすすべての$x\in[0,1]$について$\chi_{[0,t_k]}(x)\to\chi_{[0,t]}(x)$である。§E10.9 系 9.2により$\lambda(\{t\})=0$であり、すべての$k$について$\lvert f\rvert\chi_{[0,t_k]}\leq\lvert f\rvert$であって$\lvert f\rvert$は可積分であるから、§E10.11 定理 3.1により$F(t_k)\to F(t)$である。§E2.13 命題 4.2により$[0,1]$は第一可算であるから、§E2.13 定理 7.7により$F$は連続である。§E10.10 定理 3.2 (1)を零集合$\{0\}$に適用すると$F(0)=0$であり、$F(1)=a=1$である。§E2.43 系 2.3により、$F(s)=1/2$を満たす$s\in[0,1]$が存在する。$g_1=f\chi_{[0,s]}$、$g_2=f\chi_{(s,1]}$とおくと、$g_1$と$g_2$は可測であり、$\lvert g_1\rvert\leq\lvert f\rvert$かつ$\lvert g_2\rvert\leq\lvert f\rvert$であるから、$[g_1],[g_2]\in L^1([0,1])$である。$f=g_1+g_2$かつ$\lvert f\rvert=\lvert g_1\rvert+\lvert g_2\rvert$であるから、§E10.10 定理 1.6により、$\lVert[g_1]\rVert_1=F(s)=1/2$と$\lVert[g_2]\rVert_1=1-F(s)=1/2$を得る。$h=[g_1]-[g_2]$とおく。$\lvert g_1-g_2\rvert=\lvert f\rvert$であるから$\lVert h\rVert_1=1$であり、$h\neq0$である。$u+h=2[g_1]$と$u-h=2[g_2]$のノルムはいずれも$1$であるから、$u+h$と$u-h$は$B_{L^1}$に属する。

いずれの場合も、補題 1.2 (4)により$u\notin\operatorname{ext}B_{L^1}$である。▨

証明.$X$を$c_0$または$L^1([0,1])$とし、$B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$とし、すべての$x\in X$について$\lVert Tx\rVert=\lVert x\rVert$を満たす線形全単射$T\colon X\to Y^*$が存在すると仮定する。$B_{Y^*}=\{f\in Y^*\mid\lVert f\rVert\leq1\}$とおく。系 1.3により$T(\operatorname{ext}B_X)=\operatorname{ext}B_{Y^*}$である。補題 3.2により$\operatorname{ext}B_X=\emptyset$であるから、$\operatorname{ext}B_{Y^*}=\emptyset$である。一方、系 3.1により$\operatorname{ext}B_{Y^*}\neq\emptyset$である。二つの主張$\operatorname{ext}B_{Y^*}=\emptyset$と$\operatorname{ext}B_{Y^*}\neq\emptyset$は両立しない。▨

証明.$B_X$は$0$を含み、ノルムの三角不等式により凸であり、ノルムの連続性によりノルム位相に関して閉集合であり、ノルム位相に関して有界である。§E12.16 命題 2.10により、$X$はノルム位相について Hausdorff 局所凸空間である。§E12.27 命題 1.2 (3)により$(X,X^*)$は双対対であり、§E12.27 命題 2.2 (3)により、$X$は弱位相$\sigma(X,X^*)$について Hausdorff 局所凸空間である。二つの位相のいずれかに関して$B_X$がコンパクトであるならば、その位相について定理 2.3を適用すると$\operatorname{ext}B_X\neq\emptyset$となり、これは補題 3.2の$\operatorname{ext}B_X=\emptyset$と両立しない。▨

証明.主張 (1)を示す。$x\in B_{\ell^1}$とする。$\lVert x\rVert_1<1$ならば、$h=(1-\lVert x\rVert_1)e_1$は$h\neq0$を満たし、$\lVert x\pm h\rVert_1\leq\lVert x\rVert_1+\lVert h\rVert_1=1$である。$\lVert x\rVert_1=1$であり、相異なる$j,k\in\NN$について$x_j\neq0$かつ$x_k\neq0$であるとする。$\delta=\min\{\lvert x_j\rvert,\lvert x_k\rvert\}$とおき、$h=\delta\bigl(\lvert x_j\rvert^{-1}x_je_j-\lvert x_k\rvert^{-1}x_ke_k\bigr)$とおく。$h\neq0$であり、$0<\delta\leq\lvert x_j\rvert$かつ$\delta\leq\lvert x_k\rvert$であるから、$x\pm h$の第$j$成分の絶対値は$\lvert x_j\rvert\pm\delta$、第$k$成分の絶対値は$\lvert x_k\rvert\mp\delta$であり、他の成分は$x$の成分に等しいから、$\lVert x\pm h\rVert_1=\lVert x\rVert_1=1$である。いずれの場合も$x+h$と$x-h$は$B_{\ell^1}$に属するから、補題 1.2 (4)により$x\notin\operatorname{ext}B_{\ell^1}$である。$\lVert x\rVert_1=1$ならば$x\neq0$であるから、$\operatorname{ext}B_{\ell^1}$の元はちょうど一つの成分だけが零でなく$\lVert x\rVert_1=1$を満たす列であり、$\lvert\alpha\rvert=1$を満たす$\alpha\in\mathbb K$と$n\in\NN$により$\alpha e_n$と書かれる。

逆に、$\lvert\alpha\rvert=1$を満たす$\alpha\in\mathbb K$と$n\in\NN$について$x=\alpha e_n$とし、$h\in\ell^1$が$x+h\in B_{\ell^1}$かつ$x-h\in B_{\ell^1}$を満たすとする。$\rho=\sum_{m\neq n}\lvert h_m\rvert$とおくと、$\lvert\alpha+h_n\rvert+\rho\leq1$かつ$\lvert\alpha-h_n\rvert+\rho\leq1$である。$\lvert\alpha+h_n\rvert+\lvert\alpha-h_n\rvert\geq\lvert2\alpha\rvert=2$であるから、二つの不等式を加えると$2+2\rho\leq2$となり、$\rho=0$である。したがって$\lvert\alpha+h_n\rvert\leq1$、$\lvert\alpha-h_n\rvert\leq1$、$\lvert\alpha+h_n\rvert+\lvert\alpha-h_n\rvert\geq2$であるから、$\lvert\alpha+h_n\rvert=\lvert\alpha-h_n\rvert=1$である。$\lvert\alpha+h_n\rvert^2+\lvert\alpha-h_n\rvert^2=2\lvert\alpha\rvert^2+2\lvert h_n\rvert^2$であるから$2=2+2\lvert h_n\rvert^2$であり、$h_n=0$である。ゆえに$h=0$であり、補題 1.2 (4)により$x\in\operatorname{ext}B_{\ell^1}$である。

主張 (2)を示す。$C$をノルム位相に関する$\operatorname{ext}B_{\ell^1}$の閉凸包とする。$B_{\ell^1}$はノルムの連続性により閉集合であり、ノルムの三角不等式により凸であって、主張 (1)により$\operatorname{ext}B_{\ell^1}$を含むから、$C\subseteq B_{\ell^1}$である。$x\in B_{\ell^1}\setminus C$が存在すると仮定する。$C$は$e_1$を含む閉凸集合であるから、§E12.18 系 4.1により、$\Re f(x)>\sup_{y\in C}\Re f(y)$を満たす$f\in(\ell^1)^*$が存在する。$s=\sup_{y\in C}\Re f(y)$とおく。$n\in\NN$について、$\lvert\alpha\rvert=1$かつ$\alpha f(e_n)=\lvert f(e_n)\rvert$を満たす$\alpha\in\mathbb K$をとると、$\alpha e_n\in C$であるから$\lvert f(e_n)\rvert=\Re f(\alpha e_n)\leq s$である。$N\in\NN$について$x^{[N]}=\sum_{n=1}^Nx_ne_n$とおくと、$\lVert x-x^{[N]}\rVert_1=\sum_{n>N}\lvert x_n\rvert\to0$（$N\to\infty$）であり、$f$は連続であるから$f(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nx_nf(e_n)$である。各$N$について$\bigl\lvert\sum_{n=1}^Nx_nf(e_n)\bigr\rvert\leq s\sum_{n=1}^N\lvert x_n\rvert\leq s$であるから、$\Re f(x)\leq\lvert f(x)\rvert\leq s$である。これは$\Re f(x)>s$に反する。ゆえに$B_{\ell^1}=C$である。