§E12.27双対対

証明.主張 (1)を示す。$f\in F$を固定すると$x\mapsto f(x)$は線形であり、$x\in E$を固定すると、$E^\vee$の和とスカラー倍は点ごとに定まるから$f\mapsto f(x)$は線形である。定義 1.1 条件 (a)は仮定である。$f\in F$が$f\neq0$を満たすならば、$f(x)\neq0$を満たす$x\in E$が存在するから、定義 1.1 条件 (b)が成り立つ。

主張 (2)を示す。$E'$は$E^\vee$の線形部分空間であり、§E12.17 系 3.2 (2)により、$x\neq0$を満たす任意の$x\in E$に対して$f(x)\neq0$を満たす$f\in E'$が存在する。主張 (1)を適用すればよい。

主張 (3)を示す。§E12.16 命題 2.10により、$X$はノルムが定める位相について Hausdorff 局所凸空間であり、$X'=X^*$である。主張 (2)を適用すればよい。▨

証明.主張 (1)を示す。$y\in F$とする。$\langle\cdot,y\rangle$は線形であるから、$x,x'\in E$と$\lambda\in\mathbb K$について$p_y(x+x')\leq p_y(x)+p_y(x')$と$p_y(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert p_y(x)$が成り立ち、$p_y$は$E$上の半ノルムである。$x_0\in E$と実数$\varepsilon>0$をとると、$x\in B_{\{p_y\},\varepsilon}(x_0)$ならば$\lvert\langle x,y\rangle-\langle x_0,y\rangle\rvert=p_y(x-x_0)<\varepsilon$であり、§E12.16 命題 2.4 (1)により$B_{\{p_y\},\varepsilon}(x_0)$は$\tau_{\mathcal P_F}$に関する$x_0$の近傍であるから、$\langle\cdot,y\rangle$は$\tau_{\mathcal P_F}$に関して連続である。§E2.12 命題 3.3 (2)により$\sigma(E,F)\subseteq\tau_{\mathcal P_F}$である。逆に、$y\in F$と$a\in E$をとる。写像$x\mapsto p_y(x-a)=\lvert\langle x,y\rangle-\langle a,y\rangle\rvert$は、§E2.12 命題 3.3 (1)により$\sigma(E,F)$に関して連続な$\langle\cdot,y\rangle$と、連続写像$\mathbb K\to\R$,$t\mapsto\lvert t-\langle a,y\rangle\rvert$との合成であるから、§E2.12 命題 1.10により$\sigma(E,F)$に関して連続である。$\tau_{\mathcal P_F}$はこれらの写像の族による始位相であるから、§E2.12 命題 3.3 (2)により$\tau_{\mathcal P_F}\subseteq\sigma(E,F)$である。

主張 (2)を示す。$\mathcal P_F$の有限部分集合は、$F$の有限部分集合$G$によって$\{p_y\mid y\in G\}$と書かれ、$B_{\{p_y\mid y\in G\},\varepsilon}(x)$は主張の集合に等しい。主張 (1)と§E12.16 命題 2.4 (1)から主張が従う。

主張 (3)を示す。主張 (1)と§E12.16 命題 2.4 (2)により、$(E,\sigma(E,F))$は局所凸空間である。$x\neq0$ならば、定義 1.1 条件 (a)により$p_y(x)=\lvert\langle x,y\rangle\rvert\neq0$を満たす$y\in F$が存在するから、$\mathcal P_F$は$E$の点を分離し、§E12.16 命題 2.4 (3)により$(E,\sigma(E,F))$は Hausdorff である。$y\in F$について、$\langle\cdot,y\rangle$は線形であり、§E2.12 命題 3.3 (1)により連続である。

主張 (4)は、§E2.12 定理 3.4を写像の族$(\langle\cdot,y\rangle)_{y\in F}$に適用したものである。▨

証明.$y\in F$について、命題 2.2の半ノルム$p_y$は$p_y(x_\lambda-x)=\lvert\langle x_\lambda,y\rangle-\langle x,y\rangle\rvert$を満たす。$\mathbb K$の点$c$の近傍は$\{t\in\mathbb K\mid\lvert t-c\rvert<\varepsilon\}$（$\varepsilon>0$）のいずれかを含むから、$(\langle x_\lambda,y\rangle)_{\lambda\in\Lambda}$が$\langle x,y\rangle$に収束することは、$(p_y(x_\lambda-x))_{\lambda\in\Lambda}$が$0$に収束することと同値である。命題 2.2 (1)と§E12.16 補題 2.6から主張が従う。▨

証明. 線形写像$T\colon E\to\mathbb K^m$を$T(x)=(g_1(x),\ldots,g_m(x))$で定める。$\ker T=\bigcap_{j=1}^m\ker g_j\subseteq\ker f$であるから、$f$は$\ker T$上で零である。§E3.5 命題 3.3により、$f=T^\vee\varphi=\varphi\circ T$を満たす$\varphi\in(\mathbb K^m)^\vee$が存在する。$e_1,\ldots,e_m$を$\mathbb K^m$の標準基底とし、$c_j=\varphi(e_j)$とおくと、すべての$x\in E$について

である。▨

証明.$f\in(E,\sigma(E,F))'$とする。$f$は連続であり$f(0)=0$であるから、$\{x\in E\mid\lvert f(x)\rvert<1\}$は$\sigma(E,F)$に関する零近傍である。命題 2.2 (2)により、$F$の有限部分集合$G$と実数$\varepsilon>0$であって、すべての$y\in G$について$\lvert\langle x,y\rangle\rvert<\varepsilon$を満たすすべての$x\in E$が$\lvert f(x)\rvert<1$を満たすものが存在する。$G$に$0$を加えてもこの性質は保たれるから、$G=\{y_1,\ldots,y_m\}$（$m\in\NN$）と書くことができる。$x\in\bigcap_{j=1}^m\ker\langle\cdot,y_j\rangle$とすると、任意の実数$t>0$について$tx$もこの共通部分に属するから$t\lvert f(x)\rvert=\lvert f(tx)\rvert<1$であり、$f(x)=0$である。補題 3.1により、$f=\sum_{j=1}^mc_j\langle\cdot,y_j\rangle$を満たす$c_1,\ldots,c_m\in\mathbb K$が存在する。$y=\sum_{j=1}^mc_jy_j$とおくと、$\langle\cdot,\cdot\rangle$の双線形性により、すべての$x\in E$について$f(x)=\langle x,y\rangle$である。$y'\in F$もすべての$x\in E$について$f(x)=\langle x,y'\rangle$を満たすならば、すべての$x\in E$について$\langle x,y-y'\rangle=0$であり、定義 1.1 条件 (b)により$y=y'$である。

命題 2.2 (3)により、$y\mapsto\langle\cdot,y\rangle$は$F$から$(E,\sigma(E,F))'$への写像であり、$\langle\cdot,\cdot\rangle$の双線形性により線形である。前段により、この写像は全単射である。▨

証明.$(E,H)$について、定義 1.1 条件 (a)は仮定であり、定義 1.1 条件 (b)は$H\subseteq F$と双対対$(E,F)$についての同じ条件から従うから、$(E,H)$は双対対である。§E2.12 命題 3.3 (1)により各$\langle\cdot,h\rangle$（$h\in H$）は$\sigma(E,F)$に関して連続であるから、§E2.12 命題 3.3 (2)により$\sigma(E,H)\subseteq\sigma(E,F)$である。

必要性を示す。$\sigma(E,H)=\sigma(E,F)$とし、$y\in F$とする。命題 2.2 (3)により$\langle\cdot,y\rangle\in(E,\sigma(E,F))'=(E,\sigma(E,H))'$であるから、定理 3.2を双対対$(E,H)$に適用すると、すべての$x\in E$について$\langle x,y\rangle=\langle x,h\rangle$を満たす$h\in H$が存在する。定義 1.1 条件 (b)を双対対$(E,F)$と$y-h$に適用すると$y=h\in H$である。ゆえに$H=F$である。

十分性を示す。$H=F$ならば、$\sigma(E,H)$と$\sigma(E,F)$は同じ写像の族による始位相であるから等しい。▨

証明.命題 2.3を双対対$(X,X^*)$と$(X^*,X)$に適用すればよい。▨

証明.命題 1.2 (3)をノルム空間$X^*$に適用すると、$(X^*,X^{**})$は$\langle f,\varphi\rangle=\varphi(f)$について双対対である。$H=J_X(X)$とおくと、$J_X$は線形であるから$H$は$X^{**}$の線形部分空間であり、$x\in X$と$f\in X^*$について$\langle f,J_Xx\rangle=f(x)$である。$f\in X^*$が$f\neq0$を満たすならば、$f(x)\neq0$を満たす$x\in X$が存在し、$\langle f,J_Xx\rangle\neq0$である。系 3.3を双対対$(X^*,X^{**})$と$H$に適用すると、$\sigma(X^*,H)\subseteq\sigma(X^*,X^{**})$であり、$\sigma(X^*,H)=\sigma(X^*,X^{**})$であるための必要十分条件は$H=X^{**}$である。一方、$\sigma(X^*,H)$は写像$f\mapsto\langle f,J_Xx\rangle=f(x)$（$x\in X$）の族による始位相であり、$\sigma(X^*,X)$も同じ写像の族による始位相であるから、$\sigma(X^*,H)=\sigma(X^*,X)$である。$H=X^{**}$は$J_X$が全射であることにほかならず、$X$が回帰的であることと同値である。▨

証明.(1)を示す。$x\in\ell^1$について級数$\sum_{j=1}^\infty x_j$は絶対収束するから、$\Phi\colon\ell^1\to\mathbb K$を$\Phi(x)=\sum_{j=1}^\infty x_j$で定めることができる。$\Phi$は線形であり、$\lvert\Phi(x)\rvert\leq\sum_{j=1}^\infty\lvert x_j\rvert=\lVert x\rVert_1$を満たすから、$\Phi\in(\ell^1)^*$である。$k\in\NN$について$\pi_k\colon\ell^1\to\mathbb K$を$\pi_k(x)=x_k$で定めると、$\pi_k$は線形であり$\lvert\pi_k(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_1$を満たすから、$\pi_k\in(\ell^1)^*$である。$e_n\rightharpoonup x$を満たす$x\in\ell^1$が存在すると仮定する。$k\in\NN$とすると、$n>k$について$\pi_k(e_n)=0$であるから、命題 4.3 (1)により$x_k=\pi_k(x)=\lim_{n\to\infty}\pi_k(e_n)=0$であり、$x=0$である。したがって、命題 4.3 (1)により$\Phi(e_n)\to\Phi(0)=0$である。一方、すべての$n$について$\Phi(e_n)=1$である。この二つは両立しない。

(2)を示す。$Y$を$\mathbb K$上の$n$次元ノルム空間とする。§E12.16 命題 2.10により$Y$はノルムが定める位相について Hausdorff 位相線形空間であるから、§E12.16 系 4.3 (2)により$Y$から$\mathbb K$への任意の線形写像は連続であり、§E10.2 定理 1.5により有界である。したがって$Y^*$は代数的双対$Y^\vee$に等しく、§E3.5 定理 1.2により$\dim Y^*=n$である。ゆえに、$n$次元のノルム空間の連続双対は$n$次元である。$X$を$\mathbb K$上の$n$次元ノルム空間とし、この結論を$X$と$X^*$に適用すると、$\dim X^*=n$かつ$\dim X^{**}=n$である。§E12.17 定理 4.7により$J_X$は単射な線形写像であるから、§E3.9 系 1.4により全射であり、$X$は回帰的である。▨

証明.主張 (1)を示す。§E10.2 定理 1.5により、各$f\in X^*$はノルムが定める位相に関して連続である。§E2.12 命題 3.3 (2)により、$\sigma(X,X^*)$はノルムが定める位相に含まれる。

主張 (2)を示す。$U$を弱位相に関する零近傍とする。命題 2.2 (2)により、$X^*$の有限部分集合$G$と実数$\varepsilon>0$であって、すべての$f\in G$について$\lvert f(z)\rvert<\varepsilon$を満たすすべての$z\in X$が$U$に属するものが存在する。$G$に$0$を加えてもこの性質は保たれるから、$G=\{f_1,\ldots,f_m\}$（$m\in\NN$）と書くことができる。$N=\bigcap_{j=1}^m\ker f_j$は$X$の線形部分空間であり、$N\subseteq U$である。線形写像$T\colon X\to\mathbb K^m$を$T(z)=(f_1(z),\ldots,f_m(z))$で定めると、$\ker T=N$であり、$\operatorname{im}T$は$\mathbb K^m$の線形部分空間であるから$\dim\operatorname{im}T\leq m$である。§E3.9 定理 1.3により$\dim X=\dim N+\dim\operatorname{im}T$であるから、$N$が有限次元ならば$X$は有限次元である。$X$は無限次元であるから、$N$は無限次元である。

主張 (3)を示す。十分性を示す。$X$を有限次元とする。命題 2.2 (3)により弱位相は$X$を Hausdorff 位相線形空間にする位相であり、§E12.16 命題 2.10によりノルムが定める位相も$X$を Hausdorff 位相線形空間にする位相であるから、§E12.16 定理 4.1により二つの位相は等しい。必要性を示す。$X$が無限次元であるとし、$D=\{x\in X\mid\lVert x\rVert<1\}$とおく。$D$はノルムが定める位相に関する零近傍である。$D$が弱位相に関する零近傍であると仮定すると、主張 (2)により$D$は無限次元の線形部分空間$N$を含む。$z\in N$を$z\neq0$とし、$t=2/\lVert z\rVert$とおくと、$tz\in N\subseteq D$であるから$\lVert tz\rVert<1$であり、一方$\lVert tz\rVert=2$である。この二つは両立しないから、$D$は弱位相に関する零近傍でなく、弱位相はノルムが定める位相に等しくない。

主張 (4)を示す。§E12.17 系 4.4により

である。命題 2.2 (3)により各$f\in X^*$は弱位相に関して連続であり、$\{c\in\mathbb K\mid\lvert c\rvert\leq1\}$は$\mathbb K$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により右辺の各集合は弱位相に関して閉集合である。したがって$B_X$は弱位相に関して閉集合であり、$S_X\subseteq B_X$であるから、$S_X$の弱位相に関する閉包は$B_X$に含まれる。

逆に$x_0\in B_X$とし、$W$を弱位相に関する$x_0$の近傍とする。$\lVert x_0\rVert=1$ならば$x_0\in W\cap S_X$である。$\lVert x_0\rVert<1$とする。命題 2.2 (3)と§E12.16 命題 1.4 (1)により$W-x_0$は弱位相に関する零近傍であり、主張 (2)により$W-x_0$は無限次元の線形部分空間$N$を含む。$z\in N$を$z\neq0$とし、$s=2/\lVert z\rVert$とおき、$g\colon[0,s]\to\R$を$g(t)=\lVert x_0+tz\rVert$で定める。$\bigl\lvert\lVert a\rVert-\lVert b\rVert\bigr\rvert\leq\lVert a-b\rVert$であるから$\lvert g(t)-g(t')\rvert\leq\lvert t-t'\rvert\lVert z\rVert$であり、$g$は連続である。$g(0)=\lVert x_0\rVert<1$であり、$g(s)\geq s\lVert z\rVert-\lVert x_0\rVert=2-\lVert x_0\rVert>1$であるから、§E2.43 系 2.3により$g(t)=1$を満たす$t\in(0,s)$が存在する。$tz\in N\subseteq W-x_0$であるから$x_0+tz\in W\cap S_X$である。いずれの場合も$W\cap S_X\neq\emptyset$であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により$x_0$は$S_X$の弱位相に関する閉包に属する。▨

証明.$y\in\ell^2$について、$\langle e_n,y\rangle=\overline{y_n}$であり、$\sum_{n=1}^\infty\lvert y_n\rvert^2<\infty$であるから$\langle e_n,y\rangle\to0$（$n\to\infty$）である。

$U$を弱位相に関する$0$の近傍とする。命題 2.2 (2)により、$f_1,\ldots,f_k\in(\ell^2)^*$と実数$\varepsilon>0$であって、すべての$j$について$\lvert f_j(z)\rvert<\varepsilon$を満たすすべての$z\in\ell^2$が$U$に属するものが存在する。§E10.5 定理 1.1により、各$j$について$f_j=\langle\cdot,y_j\rangle$を満たす$y_j\in\ell^2$が存在する。前段により、有限個の数列$(\langle e_n,y_j\rangle)_{n\in\NN}$（$1\leq j\leq k$）はいずれも$0$に収束するから、すべての$j$について$\lvert\langle e_m,y_j\rangle\rvert<\varepsilon/2$を満たす$m\in\NN$が存在し、さらにすべての$j$について$m\lvert\langle e_n,y_j\rangle\rvert<\varepsilon/2$を満たす$n>m$が存在する。$a=e_m+me_n$とおくと$a\in A$であり、すべての$j$について$\lvert f_j(a)\rvert\leq\lvert\langle e_m,y_j\rangle\rvert+m\lvert\langle e_n,y_j\rangle\rvert<\varepsilon$であるから、$a\in U$である。§E2.11 命題 7.2 (2)により、$0$は$A$の弱位相に関する閉包に属する。

$(a_k)_{k\in\NN}$を$A$の点列とし、$a_k\rightharpoonup0$と仮定する。各$f\in(\ell^2)^*$について、命題 4.3 (1)により$(f(a_k))_{k\in\NN}$は収束するから有界である。§E12.20 系 3.3により、すべての$k$について$\lVert a_k\rVert_2\leq M$を満たす実数$M$が存在する。各$k$について$a_k=e_{m_k}+m_ke_{n_k}$（$m_k<n_k$）と書くと、$m_k\leq(1+m_k^2)^{1/2}=\lVert a_k\rVert_2\leq M$であるから、$\{m_k\mid k\in\NN\}$は有限集合であり、無限個の$k$について$m_k=m$となる$m\in\NN$が存在する。そのような$k$を小さい順に$k_1<k_2<\cdots$と並べる。$f=\langle\cdot,e_m\rangle$とおくと、$\lvert f(x)\rvert=\lvert x_m\rvert\leq\lVert x\rVert_2$であるから$f\in(\ell^2)^*$であり、$n_{k_i}>m$であるから$f(a_{k_i})=\langle e_m,e_m\rangle+m\langle e_{n_{k_i}},e_m\rangle=1$である。一方、命題 4.3 (1)により$f(a_k)\to0$であるから、$f(a_{k_i})\to0$である。この二つは両立しないから、$0$に弱収束する$A$の点列は存在しない。▨