§E12.28双極定理

証明.主張 (1)を示す。$x\in E$について$D_x=\{y\in F\mid\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leq1\}$とおく。§E12.27 命題 2.2 (3)を双対対$(F,E)$に適用すると、$\langle x,\cdot\rangle$は$\sigma(F,E)$に関して連続であり、$\{c\in\mathbb K\mid\lvert c\rvert\leq1\}$は$\mathbb K$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により$D_x$は$\sigma(F,E)$に関して閉集合である。$y,y'\in D_x$、$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$、$\lvert\lambda\rvert\leq1$を満たす$\lambda\in\mathbb K$について、$\lvert\langle x,(1-s)y+sy'\rangle\rvert\leq(1-s)+s=1$かつ$\lvert\langle x,\lambda y\rangle\rvert\leq1$であるから、$D_x$は絶対凸である。$0\in D_x$である。$A=\emptyset$ならば$A^\circ=F$であり、$F$は$0$を含む絶対凸な閉集合である。$A\neq\emptyset$ならば$A^\circ=\bigcap_{x\in A}D_x$であるから、定義 1.1で述べた共通部分の絶対凸性と§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により、$A^\circ$は$0$を含む絶対凸な$\sigma(F,E)$閉集合である。

主張 (2)を示す。$y\in A_2^\circ$とすると、すべての$x\in A_1$について$x\in A_2$であるから$\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leq1$であり、$y\in A_1^\circ$である。

主張 (3)を示す。$y\in F$について、$y\in\bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\bigr)^\circ$であることは、すべての$i\in I$とすべての$x\in A_i$について$\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leq1$であることであり、すべての$i\in I$について$y\in A_i^\circ$であることと同値である。

主張 (4)を示す。$y\in F$について、$y\in(\lambda A)^\circ$であることは、すべての$x\in A$について$\lvert\langle\lambda x,y\rangle\rvert=\lvert\langle x,\lambda y\rangle\rvert\leq1$であることであり、$\lambda y\in A^\circ$と同値である。$\lambda y\in A^\circ$は$y\in\lambda^{-1}A^\circ$と同値である。

主張 (5)を示す。$x\in A$とすると、すべての$y\in A^\circ$について$\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leq1$であるから$x\in(A^\circ)_\circ$である。この包含を双対対$(F,E)$と$A^\circ\subseteq F$に適用すると$A^\circ\subseteq((A^\circ)_\circ)^\circ$である。$A\subseteq(A^\circ)_\circ$と主張 (2)により$((A^\circ)_\circ)^\circ\subseteq A^\circ$である。▨

証明.$f\in X^*$について、§E10.2 定義 1.1の作用素ノルムにより$\sup_{x\in B_X}\lvert f(x)\rvert=\lVert f\rVert$であるから、$f\in(B_X)^\circ$であることは$\lVert f\rVert\leq1$と同値である。$x\in X$について、§E12.17 系 4.4により$\sup_{f\in B_{X^*}}\lvert f(x)\rvert=\lVert x\rVert$であるから、$x\in(B_{X^*})_\circ$であることは$\lVert x\rVert\leq1$と同値である。▨

証明.$C$を、$A\cup\{0\}$の絶対凸包の$\sigma(E,F)$に関する閉包とする。

命題 1.3を双対対$(F,E)$と$A^\circ\subseteq F$に適用すると、$(A^\circ)_\circ$は$0$を含む$E$の絶対凸な部分集合であり、$\sigma(E,F)$に関して閉集合である。命題 1.3 (5)により$A\subseteq(A^\circ)_\circ$であるから、$A\cup\{0\}\subseteq(A^\circ)_\circ$である。定義 1.1により$A\cup\{0\}$の絶対凸包は$(A^\circ)_\circ$に含まれ、§E2.11 命題 2.5 (1)により$C\subseteq(A^\circ)_\circ$である。

$x_0\in E\setminus C$とする。§E12.27 命題 2.2 (3)により$(E,\sigma(E,F))$は局所凸空間であるから、§E12.16 補題 1.6 (3)と§E12.16 補題 1.6 (4)により$C$は絶対凸であり、$0\in C$である。§E12.18 系 2.3 (3)を局所凸空間$(E,\sigma(E,F))$と平衡な閉凸集合$C$に適用すると、すべての$x\in C$について$\lvert f(x)\rvert<1$を満たし、$\Re f(x_0)>1$を満たす$f\in(E,\sigma(E,F))'$が存在する。§E12.27 定理 3.2により、すべての$x\in E$について$f(x)=\langle x,y\rangle$を満たす$y\in F$が存在する。すべての$x\in A$について、$x\in C$であるから$\lvert\langle x,y\rangle\rvert<1$であり、$y\in A^\circ$である。一方、$\lvert\langle x_0,y\rangle\rvert\geq\Re f(x_0)>1$であるから、$x_0\notin(A^\circ)_\circ$である。ゆえに$(A^\circ)_\circ\subseteq C$である。

$A\neq\emptyset$とし、$a\in A$をとる。$A$の絶対凸包は平衡であるから$0=0\cdot a$を含み、$A\cup\{0\}$を含む絶対凸な集合である。定義 1.1により、$A\cup\{0\}$の絶対凸包は$A$の絶対凸包に含まれる。逆の包含も定義 1.1から従うから、二つの絶対凸包は等しい。$A$が空でない絶対凸な$\sigma(E,F)$閉集合ならば、$A$の絶対凸包は$A$であり、§E2.11 命題 2.5 (2)によりその閉包も$A$である。▨

証明.$\lvert\lambda\rvert,\lvert\mu\rvert\leq1$を満たす$\lambda,\mu\in\mathbb K$と$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$、$\lvert\nu\rvert\leq1$を満たす$\nu\in\mathbb K$について、$(1-s)\lambda x_0+s\mu x_0=((1-s)\lambda+s\mu)x_0$かつ$\lvert(1-s)\lambda+s\mu\rvert\leq1$であり、$\nu\lambda x_0\in D$であるから、$D$は絶対凸であり$x_0$を含む。$x_0$を含む絶対凸な集合は平衡性により$D$を含むから、$D$は$\{x_0\}$の絶対凸包である。

§E12.27 定義 1.1 条件 (a)により$\langle x_0,y_1\rangle\neq0$を満たす$y_1\in F$が存在し、$y_0=\langle x_0,y_1\rangle^{-1}y_1$は$\langle x_0,y_0\rangle=1$を満たす。線形写像$\varphi\colon E\to E$を$\varphi(x)=x-\langle x,y_0\rangle x_0$で定める。$y\in F$について$\langle\varphi(x),y\rangle=\langle x,y-\langle x_0,y\rangle y_0\rangle$であるから、§E12.27 命題 2.2 (3)により$x\mapsto\langle\varphi(x),y\rangle$は$\sigma(E,F)$に関して連続であり、§E12.27 命題 2.2 (4)により$\varphi$は$\sigma(E,F)$に関して連続である。§E12.27 命題 2.2 (3)と§E12.16 命題 1.5 条件 (c)により$\{0\}$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により$\ker\varphi$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合である。$x\in\ker\varphi$ならば$x=\langle x,y_0\rangle x_0$であり、$x=\mu x_0$（$\mu\in\mathbb K$）ならば$\langle x,y_0\rangle=\mu$であるから$\varphi(x)=0$である。したがって$\ker\varphi=\{\mu x_0\mid\mu\in\mathbb K\}$であり、

である。右辺の第二の集合は命題 1.3 (1)を双対対$(F,E)$と$\{y_0\}$に適用した$\{y_0\}_\circ$であり、$\sigma(E,F)$に関して閉集合であるから、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により$D$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合である。定理 2.1と§E2.11 命題 2.5 (2)により、$\{x_0\}$の双極集合は$D$に等しい。

$\Re\langle\cdot,y_0\rangle$と$\Im\langle\cdot,y_0\rangle$は、§E12.27 命題 2.2 (3)により連続な$\langle\cdot,y_0\rangle$と連続写像$\Re,\Im\colon\mathbb K\to\R$との合成であるから、§E2.12 命題 1.10により$\sigma(E,F)$に関して連続であり、実数体上の線形写像である。§E2.12 命題 1.6 (2)により$H$と$H'$は$\sigma(E,F)$に関して閉集合であり、実数体上の線形写像による閉区間$[0,\infty)$と一点$\{0\}$の逆像であるから凸である。$H'$は$x\mapsto-x$で不変である。$\langle0,y_0\rangle=0$、$\langle x_0,y_0\rangle=1$、$\langle-x_0,y_0\rangle=-1$、$\langle ix_0,y_0\rangle=i$であるから、$0,x_0\in H$、$-x_0\notin H$、$0,x_0,-x_0\in H'$、$ix_0\notin H'$である。$-x_0$と$ix_0$は$D$に属するから、最後の主張が従う。▨

証明.主張 (1)を示す。定義 1.2により$M^\perp=M^\circ$は$F$の線形部分空間であり、$(M^\perp)_\perp=(M^\circ)_\circ$である。$M$は$0$を含み、凸かつ平衡であるから、空でない絶対凸な集合であり、$M$の絶対凸包は$M$である。定理 2.1により、$(M^\circ)_\circ$は$M$の$\sigma(E,F)$に関する閉包に等しい。$F$の線形部分空間$N$についての主張は、前半を双対対$(F,E)$に適用したものである。

主張 (2)を示す。$\overline M$を$M$のノルムが定める位相に関する閉包とする。§E12.16 命題 2.10により$X$はノルムが定める位相について位相線形空間であるから、§E12.16 補題 1.6 (2)により$\overline M$は$X$の閉線形部分空間である。主張 (1)により$(M^\perp)_\perp$は弱位相に関して閉集合であり、§E12.27 命題 5.1 (1)により弱位相に関する開集合はノルムが定める位相に関しても開集合であるから、$(M^\perp)_\perp$はノルムが定める位相に関して閉集合である。$M\subseteq(M^\perp)_\perp$であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\overline M\subseteq(M^\perp)_\perp$である。逆に、$x_0\in X\setminus\overline M$とする。§E12.17 定理 5.1により、すべての$m\in\overline M$について$f(m)=0$を満たし$f(x_0)=1$を満たす$f\in X^*$が存在する。$f\in M^\perp$であり$f(x_0)\neq0$であるから、$x_0\notin(M^\perp)_\perp$である。ゆえに$(M^\perp)_\perp=\overline M$である。主張 (1)により$(M^\perp)_\perp$は$M$の弱位相に関する閉包でもあるから、最後の主張が従う。

主張 (3)を示す。主張の中で$N_\perp$と書いた集合は、双対対$(X,X^*)$に関する$N$の零化域であり、$\sigma(X^*,X)$は＊弱位相である。主張 (1)の後半を双対対$(X,X^*)$に適用すればよい。▨

証明.$x\in\ell^1$について$\lvert\pi_n(x)\rvert=\lvert x_n\rvert\leq\lVert x\rVert_1$であり、$\pi_n$は線形であるから、§E10.2 定義 1.1により$\pi_n\in(\ell^1)^*$である。$x\in N_\perp$ならばすべての$n$について$x_n=\pi_n(x)=0$であるから、$N_\perp=\{0\}$であり、$(N_\perp)^\perp=(\ell^1)^*$である。系 3.1 (3)により、$N$の＊弱位相に関する閉包は$(\ell^1)^*$である。

$x\in\ell^1$とする。$\sum_{n=1}^\infty\lvert x_n\rvert$は収束するから、§D1.21 定理 2.5により$\sum_{n=1}^\infty x_n$は収束する。$\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty x_n$とおくと、$\psi\colon\ell^1\to\mathbb K$は線形であり、すべての$k\in\NN$について$\bigl\lvert\sum_{n=1}^kx_n\bigr\rvert\leq\sum_{n=1}^k\lvert x_n\rvert\leq\lVert x\rVert_1$であるから、$\lvert\psi(x)\rvert\leq\lVert x\rVert_1$である。§E10.2 定義 1.1により$\psi\in(\ell^1)^*$である。

$g\in N$とし、$k\in\NN$と$c_1,\ldots,c_k\in\mathbb K$により$g=\sum_{n=1}^kc_n\pi_n$と書く。$e\in\ell^1$を、$j=k+1$のとき$e_j=1$、$j\neq k+1$のとき$e_j=0$で定めると、$\lVert e\rVert_1=1$であり、$\psi(e)=1$かつ$g(e)=\sum_{n=1}^kc_ne_n=0$である。§E10.2 命題 1.2により$1=\lvert(\psi-g)(e)\rvert\leq\lVert\psi-g\rVert$である。したがって$\{h\in(\ell^1)^*\mid\lVert h-\psi\rVert<1\}$は$\psi$の近傍であって$N$と交わらず、§E2.11 命題 7.2 (2)により$\psi$は$N$のノルムが定める位相に関する閉包に属さない。▨

証明.§E12.27 命題 1.2 (3)をノルム空間$X^*$に適用すると、$(X^*,X^{**})$は$\langle f,\varphi\rangle=\varphi(f)$について双対対であり、したがって$(X^{**},X^*)$は双対対である。§E12.27 定義 4.2をノルム空間$X^*$に適用すると、$X^{**}$の＊弱位相は$\sigma(X^{**},X^*)$である。$A=J_X(B_X)$とおく。

双対対$(X^{**},X^*)$に関する$A$の極集合は

であり、命題 1.4により$A^\circ=B_{X^*}$である。$(A^\circ)_\circ$は双対対$(X^*,X^{**})$に関する$B_{X^*}$の極集合であるから、命題 1.4をノルム空間$X^*$に適用すると$(A^\circ)_\circ=B_{X^{**}}$である。$B_X$は$0$を含み、$x,x'\in B_X$、$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$、$\lvert\lambda\rvert\leq1$を満たす$\lambda\in\mathbb K$について$\lVert(1-s)x+sx'\rVert\leq1$かつ$\lVert\lambda x\rVert\leq1$であるから、空でない絶対凸な集合である。§E12.27 定義 4.1により$J_X$は線形であるから、$A$は空でない絶対凸な集合であり、$A$の絶対凸包は$A$である。定理 2.1により、$B_{X^{**}}=(A^\circ)_\circ$は$A$の$\sigma(X^{**},X^*)$に関する閉包に等しい。

$J_X(X)$は$X^{**}$の線形部分空間である。双対対$(X^*,X^{**})$に関する$J_X(X)$の零化域は、すべての$x\in X$について$f(x)=(J_Xx)(f)=0$を満たす$f\in X^*$の全体であり、$\{0\}$である。系 3.1 (3)をノルム空間$X^*$に適用すると、$J_X(X)$の$\sigma(X^{**},X^*)$に関する閉包は$\{0\}^\perp=X^{**}$である。▨