§E15.21定数係数の Fourier 評価

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Fourier 変換は定数係数微分作用素を多項式による乗算へ移し、微分方程式と関数の微分可能性を同じ周波数の変数で扱うことを可能にする。しかし、作用素の記号が零となる周波数では、記号で割るだけでは解を評価することができない。楕円性は高周波でこの障害を取り除く基本的な条件であり、Laplace 作用素はその代表例である。定数係数楕円型作用素では、解の低い次数のノルムを併せて用いることで、高い次数の Sobolev ノルムを制御する評価が得られ、解の局所的な微分可能性を調べる基礎となる。本記事では、定数係数楕円型作用素の Fourier 評価と、その局所正則性への応用について解説する。

1 全空間のアプリオリ評価

補題 1.1.n∈N≥1n\in\NN、s,r∈Rs,r\in\Rとし、b:Rn→Cb:\R^n\to\Cを可測関数とする。Fourier 変換

φ^(ξ)=∫Rne−2πix⋅ξφ(x) dx(φ∈S(Rn))\widehat\varphi(\xi)=\int_{\R^n}e^{-2\pi ix\cdot\xi}\varphi(x)\,dx \qquad(\varphi\in\mathcal S(\R^n))

と、共役を入れない複素線形双対としての超関数のもとで、

M=sup⁡ξ∈Rn⟨ξ⟩r∣b(ξ)∣M=\sup_{\xi\in\R^n}\langle\xi\rangle^r|b(\xi)|

とおく。このとき、M<∞M<\inftyならば、Bf^=bf^\widehat{Bf}=b\widehat fは有界線形作用素B:Hs(Rn)→Hs+r(Rn)B:H^s(\R^n)\to H^{s+r}(\R^n)を定め、

∥Bf∥Hs+r≤M∥f∥Hs\|Bf\|_{H^{s+r}}\le M\|f\|_{H^s}

が成り立つ。

証明.§E15.13 定理 1.2の等長全単射をJtf=⟨ξ⟩tf^J_t f=\langle\xi\rangle^t\widehat fと書く。L2(Rn)L^2(\R^n)上の乗算作用素M⟨ξ⟩rbM_{\langle\xi\rangle^r b}はノルムが高々MMであるから、

B=Js+r−1M⟨ξ⟩rbJsB=J_{s+r}^{-1}M_{\langle\xi\rangle^r b}J_s

は求める有界線形作用素である。▨

定理 1.2.n,m∈N≥1n,m\in\NNとし、

P=∑∣α∣≤maα∂α,aα∈C,p(ξ)=∑∣α∣≤maα(2πiξ)αP=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\partial^\alpha, \qquad a_\alpha\in\C, \qquad p(\xi)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(2\pi i\xi)^\alpha

を次数mmの定数係数微分作用素とその記号とする。PPは楕円的、すなわち主要部の記号

pm(ξ)=∑∣α∣=maα(2πiξ)αp_m(\xi)=\sum_{|\alpha|=m}a_\alpha(2\pi i\xi)^\alpha

がすべてのξ≠0\xi\ne0で零でないと仮定する。このとき、任意のs∈Rs\in\Rに対し、P:Hs+m(Rn)→Hs(Rn)P:H^{s+m}(\R^n)\to H^s(\R^n)は有界であり、あるC>0C>0が存在して

∥u∥Hs+m≤C(∥Pu∥Hs+∥u∥Hs)(u∈Hs+m(Rn))\|u\|_{H^{s+m}}\le C\bigl(\|Pu\|_{H^s}+\|u\|_{H^s}\bigr) \qquad(u\in H^{s+m}(\R^n))

が成り立つ。さらに、u∈Hs(Rn)u\in H^s(\R^n)とPu∈Hs(Rn)Pu\in H^s(\R^n)を満たす超関数uuはHs+m(Rn)H^{s+m}(\R^n)に属する。

証明.§E15.15 命題 1.2により、あるc>0c>0が存在して∣pm(ξ)∣≥c∣ξ∣m|p_m(\xi)|\ge c|\xi|^mである。低階項は

∣p(ξ)−pm(ξ)∣≤A⟨ξ⟩m−1|p(\xi)-p_m(\xi)|\le A\langle\xi\rangle^{m-1}

を満たすので、十分大きなR≥1R\ge1に対して

∣p(ξ)∣≥c2∣ξ∣m(∣ξ∣≥R)|p(\xi)|\ge\frac c2|\xi|^m\qquad(|\xi|\ge R)

となる。∣ξ∣≤R|\xi|\le Rでは⟨ξ⟩m≤(1+4π2R2)m/2\langle\xi\rangle^m\le(1+4\pi^2R^2)^{m/2}である。したがって、あるC0>0C_0>0が存在して

⟨ξ⟩m≤C0(1+∣p(ξ)∣)(ξ∈Rn)\langle\xi\rangle^m\le C_0(1+|p(\xi)|)\qquad(\xi\in\R^n)

が成り立つ。また、ppは次数mmの多項式であるから∣p(ξ)∣≤C1⟨ξ⟩m|p(\xi)|\le C_1\langle\xi\rangle^mである。

§E15.4 命題 3.3によりPu^=pu^\widehat{Pu}=p\widehat uである。上側の評価∣p∣≤C1⟨ξ⟩m|p|\le C_1\langle\xi\rangle^mにより、P:Hs+m→HsP:H^{s+m}\to H^sは有界である。u,Pu∈Hsu,Pu\in H^sならば、u^\widehat uとpu^p\widehat uは重み⟨ξ⟩s\langle\xi\rangle^sに関して二乗可積分であり、

⟨ξ⟩s+m∣u^(ξ)∣≤C0(⟨ξ⟩s∣u^(ξ)∣+⟨ξ⟩s∣Pu^(ξ)∣)\langle\xi\rangle^{s+m}|\widehat u(\xi)| \le C_0\bigl(\langle\xi\rangle^s|\widehat u(\xi)| +\langle\xi\rangle^s|\widehat{Pu}(\xi)|\bigr)

の右辺はL2L^2に属する。よってu∈Hs+mu\in H^{s+m}であり、L2L^2ノルムの三角不等式から所要の評価を得る。u∈Hs+mu\in H^{s+m}の場合にも§E15.13 定理 1.2の次数の包含から同じ評価を適用することができる。▨

例 1.3.n∈N≥1n\in\NN、s∈Rs\in\Rとする。このとき、1−Δ1-\Deltaの記号は1+4π2∣ξ∣2=⟨ξ⟩21+4\pi^2|\xi|^2=\langle\xi\rangle^2であるから、

∥(1−Δ)u∥Hs=∥u∥Hs+2(u∈Hs+2(Rn))\|(1-\Delta)u\|_{H^s}=\|u\|_{H^{s+2}}\qquad(u\in H^{s+2}(\R^n))

が成り立つ。補題 1.1をb(ξ)=⟨ξ⟩−2b(\xi)=\langle\xi\rangle^{-2}に適用すると、任意のf∈Hsf\in H^sに対してu^=⟨ξ⟩−2f^\widehat u=\langle\xi\rangle^{-2}\widehat fを満たすu∈Hs+2u\in H^{s+2}が存在する。このuuは(1−Δ)u=f(1-\Delta)u=fを満たす。等長性から単射性も従うので、1−Δ:Hs+2→Hs1-\Delta:H^{s+2}\to H^sは等長同型である。

例 1.4.n∈N≥1n\in\NNとし、φ∈Cc∞(Rn)\varphi\in C_c^\infty(\R^n)をsupp⁡φ⊆{∣ξ∣≤1}\supp\varphi\subseteq\{|\xi|\le1\}、∥φ∥2=1\|\varphi\|_2=1となるようにとる。0<ε<10<\varepsilon<1に対して

uε^(ξ)=ε−n/2φ(ξ/ε)\widehat{u_\varepsilon}(\xi)=\varepsilon^{-n/2}\varphi(\xi/\varepsilon)

と定める。このとき、Fourier 変換の重み付き空間の記述§E15.13 定理 1.2と変数変換により、uε∈H2(Rn)u_\varepsilon\in H^2(\R^n)であり、

∥uε∥H22=∫Rn(1+4π2ε2∣η∣2)2∣φ(η)∣2 dη≥1,\|u_\varepsilon\|_{H^2}^2 =\int_{\R^n}(1+4\pi^2\varepsilon^2|\eta|^2)^2|\varphi(\eta)|^2\,d\eta \ge1,∥Δuε∥22=16π4ε4∫Rn∣η∣4∣φ(η)∣2 dη≤16π4ε4\|\Delta u_\varepsilon\|_2^2 =16\pi^4\varepsilon^4\int_{\R^n}|\eta|^4|\varphi(\eta)|^2\,d\eta \le16\pi^4\varepsilon^4

が成り立つ。したがって、すべてのu∈H2(Rn)u\in H^2(\R^n)に共通する定数CCによって∥u∥H2≤C∥Δu∥2\|u\|_{H^2}\le C\|\Delta u\|_2を満たすことはできない。

2 切断と局所正則性

補題 2.1.n,m∈N≥1n,m\in\NNとし、P=∑∣α∣≤maα∂αP=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\partial^\alphaを定数係数微分作用素、χ∈Cc∞(Rn)\chi\in C_c^\infty(\R^n)とする。このとき、交換子

[P,χ]v=P(χv)−χPv[P,\chi]v=P(\chi v)-\chi Pv

は次数高々m−1m-1の滑らかなコンパクト台の係数をもつ微分作用素である。任意のr∈Rr\in\Rに対して、あるC>0C>0が存在して

∥[P,χ]v∥Hr−m+1≤C∥v∥Hr(v∈Hr(Rn))\|[P,\chi]v\|_{H^{r-m+1}}\le C\|v\|_{H^r} \qquad(v\in H^r(\R^n))

が成り立つ。

証明. 超関数の Leibniz 則によって

[P,χ]v=∑∣α∣≤maα∑β≤α, ∣β∣≥1(αβ)(∂βχ)∂α−βv[P,\chi]v =\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha \sum_{\substack{\beta\le\alpha,\ |\beta|\ge1}} \binom\alpha\beta(\partial^\beta\chi)\partial^{\alpha-\beta}v

である。β≤α\beta\le\alphaは各成分についての不等式を表す。各項の微分次数は∣α−β∣≤m−1|\alpha-\beta|\le m-1であり、係数の台はsupp⁡χ\supp\chiに含まれる。§E15.4 命題 3.3と∣(2πiξ)γ∣≤⟨ξ⟩∣γ∣|(2\pi i\xi)^\gamma|\le\langle\xi\rangle^{|\gamma|}により、∂γ:Hr→Hr−∣γ∣\partial^\gamma:H^r\to H^{r-|\gamma|}は有界である。次数の包含§E15.13 定理 1.2と切断乗算の有界性§E15.13 補題 5.1を各項に適用すると、所要の評価が従う。▨

定理 2.2.n,m∈N≥1n,m\in\NN、s∈Rs\in\Rとし、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、PPを次数mmの定数係数楕円型微分作用素とする。このとき、u∈D′(Ω)u\in\mathcal D'(\Omega)がPu∈Hlocs(Ω)Pu\in H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)を満たすならば、u∈Hlocs+m(Ω)u\in H^{s+m}_{\mathrm{loc}}(\Omega)である。特に、Pu∈C∞(Ω)Pu\in C^\infty(\Omega)ならば、uuは滑らかな関数によって与えられる。

証明.ψ∈Cc∞(Ω)\psi\in C_c^\infty(\Omega)をとり、supp⁡ψ⊂U⋐Ω\supp\psi\subset U\Subset\Omegaを満たす開集合UUをとる。η∈Cc∞(Ω)\eta\in C_c^\infty(\Omega)をU‾\overline Uの近傍で11となるように選ぶ。ηu\eta uを全空間へ零延長した超関数はコンパクトな台をもつので、§E15.13 補題 5.2により、あるN>0N>0についてηu∈H−N(Rn)\eta u\in H^{-N}(\R^n)である。次数の包含§E15.13 定理 1.2によりNNを大きくして−N≤s+m-N\le s+mとする。

−N+L≥s+m-N+L\ge s+mを満たす整数L≥1L\ge1を選び、χ0=η\chi_0=\etaとおく。切断関数χ1,…,χL∈Cc∞(U)\chi_1,\ldots,\chi_L\in C_c^\infty(U)を、χL=1\chi_L=1がsupp⁡ψ\supp\psiの近傍で成り立ち、各j=1,…,Lj=1,\ldots,Lでχj−1=1\chi_{j-1}=1がsupp⁡χj\supp\chi_jの近傍で成り立つように選ぶ。rj=min⁡(s+m,−N+j)r_j=\min(s+m,-N+j)とおく。

χj−1u∈Hrj−1(Rn)\chi_{j-1}u\in H^{r_{j-1}}(\R^n)が成り立つと仮定する。切断の台の関係と超関数の Leibniz 則から、全空間上で

P(χju)=χjPu+[P,χj](χj−1u)P(\chi_ju)=\chi_jPu+[P,\chi_j](\chi_{j-1}u)

が成り立つ。局所空間の定義§E15.13 定義 5.3により、χjPu∈Hs(Rn)\chi_jPu\in H^s(\R^n)である。補題 2.1により、右辺の第二項はHrj−1−m+1H^{r_{j-1}-m+1}に属する。また、§E15.13 補題 5.1によりχju=χj(χj−1u)∈Hrj−1\chi_ju=\chi_j(\chi_{j-1}u)\in H^{r_{j-1}}である。tj=min⁡(s,rj−1−m+1)t_j=\min(s,r_{j-1}-m+1)とおくと、m≥1m\ge1なのでtj≤rj−1t_j\le r_{j-1}であり、χju\chi_juとP(χju)P(\chi_ju)はともにHtjH^{t_j}に属する。定理 1.2によって

χju∈Htj+m=Hmin⁡(s+m,rj−1+1)=Hrj\chi_ju\in H^{t_j+m} =H^{\min(s+m,r_{j-1}+1)}=H^{r_j}

を得る。χ0u=ηu∈Hr0\chi_0u=\eta u\in H^{r_0}から有限回の帰納法によりχLu∈Hs+m\chi_Lu\in H^{s+m}となる。再び切断乗算の有界性を用いるとψu=ψ(χLu)∈Hs+m\psi u=\psi(\chi_Lu)\in H^{s+m}である。ψ\psiは任意であったからu∈Hlocs+m(Ω)u\in H^{s+m}_{\mathrm{loc}}(\Omega)である。

Pu∈C∞(Ω)Pu\in C^\infty(\Omega)とする。§E15.13 命題 5.4 (3)により、PuPuはすべての実数次数の局所 Sobolev 空間に属する。すでに示した結論により、uuもすべての実数次数の局所 Sobolev 空間に属するので、再び§E15.13 命題 5.4 (3)を適用すると、uuは滑らかな関数によって与えられる。▨

系 2.3 (Weyl の補題).n∈N≥1n\in\NN、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。このとき、u∈D′(Ω)u\in\mathcal D'(\Omega)がΔu=0\Delta u=0を満たすならば、uuは滑らかな調和関数によって与えられる。

証明.−Δ-\Deltaの主要部の記号は4π2∣ξ∣24\pi^2|\xi|^2であり、ξ≠0\xi\ne0で正である。定理 2.2によってuuは滑らかな関数によって与えられる。その関数の Laplace 作用素は零超関数を定める連続関数であるから、各点で零である。▨

例 2.4.n∈N≥1n\in\NN、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、v∈Lloc1(Ω)v\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)が

∫Ωv(x)Δφ(x) dx=0(φ∈Cc∞(Ω))\int_\Omega v(x)\Delta\varphi(x)\,dx=0 \qquad(\varphi\in C_c^\infty(\Omega))

を満たすとする。このとき、vvが定める超関数TvT_vについて⟨ΔTv,φ⟩=∫ΩvΔφ=0\langle\Delta T_v,\varphi\rangle=\int_\Omega v\Delta\varphi=0である。系 2.3によりTvT_vは滑らかな調和関数hhによって与えられ、v=hv=hがほとんど至るところ成り立つ。

注意 2.5.定理 2.2から楕円性の仮定を外すことはできない。実際、§E15.15 例 4.2でT=δ0T=\delta_0とすると、主要部の記号が(ξx,ξy)=(0,1)(\xi_x,\xi_y)=(0,1)で零となる作用素∂x2\partial_x^2について、R2\R^2上の超関数u(x,y)=δ0(y)u(x,y)=\delta_0(y)は∂x2u=0\partial_x^2u=0を満たすが、滑らかな関数によって与えられない。

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