§E15.15楕円性と主表象

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偏微分方程式の解の滑らかさを調べるとき、微分作用素の最高階の部分は基本的な役割を担う。しかし、最高階の微分項が存在しても、主表象が零になる非零の実周波数が存在することがある。最高階の部分を周波数の斉次多項式として表したものを主表象といい、非零の実周波数で主表象が消えないという条件を楕円性という。Laplace 作用素は楕円型作用素の代表例であり、楕円性は解の正則性を調べるための基本的な条件の一つである。本記事では、主表象を通して楕円性の意味と基本的な性質を解説する。

1 主表象と楕円性

定義 1.1 (主表象と楕円性).n,m∈N≥1n,m\in\NN、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、aα∈C∞(Ω;C)a_\alpha\in C^\infty(\Omega;\C)を∣α∣≤m|\alpha|\leq mを満たす多重指数α∈N≥0n\alpha\in\N^nごとに与える。スカラー微分作用素

P(x,∂)=∑∣α∣≤maα(x)∂αP(x,\partial)=\sum_{|\alpha|\leq m}a_\alpha(x)\partial^\alpha

の次数mmの 主表象 (principal symbol) を

pm(x,ξ)=∑∣α∣=maα(x)(2πiξ)α,x∈Ω,ξ∈Rnp_m(x,\xi)=\sum_{|\alpha|=m}a_\alpha(x)(2\pi i\xi)^\alpha, \qquad x\in\Omega,\quad \xi\in\R^n

によって定める。すべてのξ∈Rn∖{0}\xi\in\R^n\setminus\{0\}に対してpm(x,ξ)≠0p_m(x,\xi)\ne0が成り立つとき、PPは点xxで 楕円的 (elliptic) であるという。Ω\Omegaのすべての点で楕円的な作用素を、Ω\Omega上の楕円型作用素という。

Fourier 変換の規約はf^(ξ)=∫Rne−2πix⋅ξf(x) dx\widehat f(\xi)=\int_{\R^n}e^{-2\pi i x\cdot\xi}f(x)\,dxとする。§E15.3 命題 1.4により、定数係数作用素の最高階部分の Fourier 乗数はpm(ξ)p_m(\xi)である。滑らかな係数の作用素は、§E15.2 命題 1.2の微分と乗算によって超関数にも作用する。超関数の双対作用には共役を入れない。

命題 1.2.n,m∈N≥1n,m\in\NN、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、aα∈C(Ω;C)a_\alpha\in C(\Omega;\C)（∣α∣=m|\alpha|=m）に対して

pm(x,ξ)=∑∣α∣=maα(x)(2πiξ)αp_m(x,\xi)=\sum_{|\alpha|=m}a_\alpha(x)(2\pi i\xi)^\alpha

とおく。すべてのx∈Ωx\in\Omegaとξ∈Rn∖{0}\xi\in\R^n\setminus\{0\}に対してpm(x,ξ)≠0p_m(x,\xi)\ne0と仮定する。このとき、任意のコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaに対して、あるcK>0c_K>0が存在し、すべてのx∈Kx\in Kとξ∈Rn\xi\in\R^nについて

∣pm(x,ξ)∣≥cK∣ξ∣m|p_m(x,\xi)|\geq c_K|\xi|^m

が成り立つ。

証明.K=∅K=\varnothingならばcK=1c_K=1としてよい。K≠∅K\ne\varnothingとし、単位球面をSn−1={ω∈Rn:∣ω∣=1}S^{n-1}=\{\omega\in\R^n:|\omega|=1\}とおく。連続関数(x,ω)↦∣pm(x,ω)∣(x,\omega)\mapsto|p_m(x,\omega)|はコンパクト集合K×Sn−1K\times S^{n-1}上で正であるから、その最小値cKc_Kは正である。ξ≠0\xi\ne0に対して斉次性から

∣pm(x,ξ)∣=∣ξ∣m∣pm(x,ξ∣ξ∣)∣≥cK∣ξ∣m|p_m(x,\xi)|=|\xi|^m\left|p_m\left(x,\frac{\xi}{|\xi|}\right)\right| \geq c_K|\xi|^m

となる。ξ=0\xi=0のときは両辺が零である。▨

2 合成と座標変換

命題 2.1.n,m,k∈N≥1n,m,k\in\NN、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、P=∑∣α∣≤maα∂αP=\sum_{|\alpha|\leq m}a_\alpha\partial^\alpha、Q=∑∣β∣≤kbβ∂βQ=\sum_{|\beta|\leq k}b_\beta\partial^\betaを滑らかな複素係数のスカラー微分作用素とする。このとき、P∘QP\circ Qは次数が高々m+km+kの微分作用素であり、その次数m+km+kの主表象は

σm+k(P∘Q)(x,ξ)=pm(x,ξ)qk(x,ξ)\sigma_{m+k}(P\circ Q)(x,\xi)=p_m(x,\xi)q_k(x,\xi)

である。とくにP,QP,Qがともに点xxで楕円的ならば、P∘QP\circ Qも点xxで楕円的である。

証明.§E15.2 命題 1.2の Leibniz 則によって、各項は

aα∂α(bβ∂βu)=∑γ≤α(αγ)aα(∂γbβ)∂α−γ+βua_\alpha\partial^\alpha(b_\beta\partial^\beta u) =\sum_{\gamma\leq\alpha}\binom\alpha\gamma a_\alpha(\partial^\gamma b_\beta)\partial^{\alpha-\gamma+\beta}u

と展開される。uuに作用する微分の次数がm+km+kとなる項は、∣α∣=m|\alpha|=m、∣β∣=k|\beta|=k、γ=0\gamma=0の項だけである。したがって、その主表象は

∑∣α∣=m, ∣β∣=kaαbβ(2πiξ)α+β=pm(x,ξ)qk(x,ξ)\sum_{|\alpha|=m,\,|\beta|=k}a_\alpha b_\beta(2\pi i\xi)^{\alpha+\beta} =p_m(x,\xi)q_k(x,\xi)

である。両因子が非零であれば積も非零である。▨

命題 2.2.n,m∈N≥1n,m\in\NN、Ω,Ω′⊆Rn\Omega,\Omega'\subseteq\R^nを開集合とし、F:Ω→Ω′F:\Omega\to\Omega'をC∞C^\infty級の微分同相写像とする。PPをΩ\Omega上の次数が高々mmの滑らかな複素係数のスカラー微分作用素とし、Ω′\Omega'上の作用素QQを

(Qv)∘F=P(v∘F),v∈C∞(Ω′;C)(Qv)\circ F=P(v\circ F),\qquad v\in C^\infty(\Omega';\C)

によって定める。このとき、y=F(x)y=F(x)において

qm(y,η)=pm(x,DF(x)Tη),pm(x,ξ)=qm(F(x),DF(x)−Tξ)q_m(y,\eta)=p_m\bigl(x,DF(x)^T\eta\bigr), \qquad p_m(x,\xi)=q_m\bigl(F(x),DF(x)^{-T}\xi\bigr)

が成り立つ。このとき、PPが点xxで楕円的であることは、QQが点F(x)F(x)で楕円的であるための必要十分条件である。

証明.§E4.3 定理 1.1により

∂xj(v∘F)(x)=∑ℓ=1n∂xjFℓ(x)(∂yℓv)(F(x))\partial_{x_j}(v\circ F)(x) =\sum_{\ell=1}^n\partial_{x_j}F_\ell(x)(\partial_{y_\ell}v)(F(x))

となる。微分を繰り返すと、vvに∣α∣|\alpha|回の微分が作用する項は、各段階ですべての微分をvvに作用させた項に限られる。実際、FFの微分を含む係数に一回でも微分が作用すると、vvに作用する微分の回数は全体の微分の回数より少なくなる。このため、最高階部分の多項式は∂xj\partial_{x_j}を∑ℓ(∂xjFℓ)∂yℓ\sum_\ell(\partial_{x_j}F_\ell)\partial_{y_\ell}に置き換えて得られる。2πiη2\pi i\etaを代入すれば第一の等式が従う。

F−1∘FF^{-1}\circ Fに連鎖律を適用するとDF(x)DF(x)は可逆である。第一の等式にη=DF(x)−Tξ\eta=DF(x)^{-T}\xiを代入すると第二の等式を得る。可逆な実線形写像DF(x)TDF(x)^Tは非零の実ベクトル全体を全単射で移すので、主表象が非零となる条件は保存される。▨

例 2.3.Rn\R^n上の Laplace 作用素をΔ=∑j=1n∂xj2\Delta=\sum_{j=1}^n\partial_{x_j}^2とする。このとき、−Δ-\Deltaの主表象は4π2∣ξ∣24\pi^2|\xi|^2であり、ξ≠0\xi\ne0ならば正である。命題 2.1により、Δ2\Delta^2の主表象は16π4∣ξ∣416\pi^4|\xi|^4である。したがって−Δ-\DeltaとΔ2\Delta^2は、それぞれ二階と四階の楕円型作用素である。

R2\R^2の座標を(x,y)(x,y)、周波数を(ξ,η)(\xi,\eta)とする。このとき、作用素

∂zˉ=12(∂x+i∂y)\partial_{\bar z}=\frac12(\partial_x+i\partial_y)

の主表象はπ(iξ−η)\pi(i\xi-\eta)であり、その絶対値はπξ2+η2\pi\sqrt{\xi^2+\eta^2}である。よって∂zˉ\partial_{\bar z}は複素係数の一階楕円型スカラー作用素である。

3 実二次形式と強楕円性

命題 3.1.n∈N≥1n\in\NN、A=(ajk)∈Rn×nA=(a_{jk})\in\R^{n\times n}を実対称行列とし、P=−∑j,k=1najk∂j∂kP=-\sum_{j,k=1}^n a_{jk}\partial_j\partial_kとおく。このとき、PPの主表象は4π2ξTAξ4\pi^2\xi^TA\xiである。二次形式ξ↦ξTAξ\xi\mapsto\xi^TA\xiの正負の符号数と零係数の個数は、可逆な実線形座標変換によって変わらない。PPが楕円型であるための必要十分条件は、AAが正定値または負定値であることである。

証明. 微分を2πiξ2\pi i\xiに置き換えると主表象の表示を得る。y=Bxy=Bx（B∈GL⁡n(R)B\in\GL_n(\R)）とすると、命題 2.2により変換後の二次形式はηTBABTη\eta^TBAB^T\etaである。§E3.41 定理 2.2により、符号数と零係数の個数は変わらない。

§E3.41 定理 1.1により、ある可逆な実線形変数変換で二次形式は

s12+⋯+sp2−sp+12−⋯−sp+r2s_1^2+\cdots+s_p^2-s_{p+1}^2-\cdots-s_{p+r}^2

となる。零係数があれば対応する非零の座標ベクトルで値が零となる。p,rp,rがともに正ならばs1=sp+1=1s_1=s_{p+1}=1、ほかの座標を零とすることで値が零となる。したがって楕円性は(p,r)=(n,0)(p,r)=(n,0)または(0,n)(0,n)を要求する。逆に、この二つの場合には任意の非零ベクトルにおいて二次形式の値はそれぞれ正または負であり、主表象は零にならない。▨

定義 3.2 (強楕円性).n∈N≥1n\in\NN、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、A:Ω→Cn×nA:\Omega\to\C^{n\times n}を可測な行列値関数とする。あるθ>0\theta>0と零集合N⊆ΩN\subseteq\Omegaが存在して、すべてのx∈Ω∖Nx\in\Omega\setminus Nとζ∈Cn\zeta\in\C^nについて

ℜ((A(x)ζ)⋅ζ‾)≥θ∣ζ∣2\Re\bigl((A(x)\zeta)\cdot\overline\zeta\bigr) \geq\theta|\zeta|^2

が成り立つとき、AAは一様に 強楕円的 (strongly elliptic) であるという。ここでw⋅ζ‾=∑jwjζj‾w\cdot\overline\zeta=\sum_jw_j\overline{\zeta_j}は第一変数について線形な内積である。

命題 3.3.n∈N≥1n\in\NN、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、A∈C∞(Ω;Cn×n)A\in C^\infty(\Omega;\C^{n\times n})が定数θ>0\theta>0に対して一様に強楕円的であるとする。このとき、

Pu=−div⁡(A∇u)=−∑j,k=1n∂j(ajk∂ku)Pu=-\operatorname{div}(A\nabla u) =-\sum_{j,k=1}^n\partial_j(a_{jk}\partial_k u)

の主表象はp2(x,ξ)=4π2∑j,kajk(x)ξjξkp_2(x,\xi)=4\pi^2\sum_{j,k}a_{jk}(x)\xi_j\xi_kであり、すべてのx∈Ωx\in\Omegaとξ∈Rn\xi\in\R^nに対して

ℜp2(x,ξ)≥4π2θ∣ξ∣2\Re p_2(x,\xi)\geq4\pi^2\theta|\xi|^2

が成り立つ。とくにPPはΩ\Omega上で楕円的である。

証明. Leibniz 則§E15.2 命題 1.2により

Pu=−∑j,kajk∂j∂ku−∑j,k(∂jajk)∂kuPu=-\sum_{j,k}a_{jk}\partial_j\partial_k u -\sum_{j,k}(\partial_j a_{jk})\partial_k u

となるので、二階の主表象は表示の式である。強楕円性の不等式は、各ζ\zetaを固定するとxxに関する連続な不等式である。ある点で不等式が破れれば、その点を含む開球でも破れ、正の測度をもつ集合で不等式が破れることになる。したがって不等式はすべてのx∈Ωx\in\Omegaとζ∈Cn\zeta\in\C^nで成り立つ。ζ=ξ∈Rn\zeta=\xi\in\R^nを代入して4π24\pi^2倍すると、主表象の実部の下界を得る。▨

注意 3.4.Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、A∈L∞(Ω;Cn×n)A\in L^\infty(\Omega;\C^{n\times n})とする。u∈Lloc2(Ω)u\in L^2_{\mathrm{loc}}(\Omega)が超関数微分として∂ku∈Lloc2(Ω)\partial_k u\in L^2_{\mathrm{loc}}(\Omega)をもつとき、A∇u∈Lloc2(Ω;Cn)A\nabla u\in L^2_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^n)である。したがって

⟨−div⁡(A∇u),φ⟩=∫Ω(A∇u)⋅∇φ dx,φ∈Cc∞(Ω;C),\langle-\operatorname{div}(A\nabla u),\varphi\rangle =\int_\Omega(A\nabla u)\cdot\nabla\varphi\,dx, \qquad \varphi\in C_c^\infty(\Omega;\C),

によって超関数を定めることができる。実際、固定したコンパクト集合に台をもつφ\varphiに対して、右辺の絶対値は∇φ\nabla\varphiの一様ノルムの定数倍で抑えられる。係数AAの古典微分は必要ない。

AAがさらに一様に強楕円的ならば、任意のv∈Cc∞(Ω;C)v\in C_c^\infty(\Omega;\C)に対して

ℜ∫Ω(A∇v)⋅∇v‾ dx≥θ∫Ω∣∇v∣2 dx\Re\int_\Omega(A\nabla v)\cdot\overline{\nabla v}\,dx \geq\theta\int_\Omega|\nabla v|^2\,dx

が成り立つ。実際、この不等式は行列の不等式を積分して得られる。有界可測係数の発散形では、この行列条件を弱形式の仮定として用いる。

例 3.5.Rn\R^n上のi(−Δ)i(-\Delta)の主表象は4π2i∣ξ∣24\pi^2i|\xi|^2であり、ξ≠0\xi\ne0ならば非零である。しかし主要行列A=iIA=iIは

ℜ((Aζ)⋅ζ‾)=ℜ(i∣ζ∣2)=0\Re\bigl((A\zeta)\cdot\overline\zeta\bigr) =\Re(i|\zeta|^2)=0

を満たすため、強楕円的ではない。またΔ\Deltaは楕円型であるが、−div⁡(A∇)-\operatorname{div}(A\nabla)の形で表すとA=−IA=-Iとなり、実部の下界は正にならない。

4 非楕円方向と特異性

例 4.1.d∈N≥1d\in\NNとし、R×Rd\R\times\R^dの座標を(t,x)(t,x)、周波数を(τ,ξ)(\tau,\xi)とする。このとき、波動作用素∂t2−Δx\partial_t^2-\Delta_xの主表象は

4π2(∣ξ∣2−τ2)4\pi^2(|\xi|^2-\tau^2)

である。τ=1\tau=1、ξ=(1,0,…,0)\xi=(1,0,\ldots,0)では周波数ベクトルが非零であるにもかかわらず、主表象は零になる。一般に、非零の実周波数で主表象が零になる方向を 特性方向 (characteristic direction) という。波動作用素の二次形式は、時間方向に一つの負の符号と空間方向にdd個の正の符号をもつ。

熱作用素∂t−Δx\partial_t-\Delta_xの通常の全次数による二階の主表象は4π2∣ξ∣24\pi^2|\xi|^2である。したがってξ=0\xi=0、τ≠0\tau\ne0の方向は特性方向であり、この作用素は(t,x)(t,x)の全変数について楕円型ではない。放物型という呼称には、時間の一階微分と空間の二階微分を組み合わせた発展構造が含まれる。二階の主表象が退化することだけでは、放物型であるとはいわない。

例 4.2.P=∂x2P=\partial_x^2をR2\R^2上で考える。このとき、PPの主表象は−4π2ξ2-4\pi^2\xi^2であり、周波数(0,η)(0,\eta)（η≠0\eta\ne0）において零になる。任意のT∈D′(R)T\in\mathcal D'(\R)に対して

⟨u,φ⟩=⟨T, y⟼∫Rφ(x,y) dx⟩,φ∈Cc∞(R2),\langle u,\varphi\rangle =\left\langle T,\ y\longmapsto\int_\R\varphi(x,y)\,dx\right\rangle, \qquad \varphi\in C_c^\infty(\R^2),

とおく。φ\varphiの台が固定したコンパクト集合に含まれるとき、yyの関数としての積分の台はその射影に含まれる。積分の任意の階数のyy微分は、φ\varphiの対応する微分の一様ノルムの定数倍で抑えられる。したがってuuは超関数である。さらに

⟨∂x2u,φ⟩=⟨T, y⟼∫R∂x2φ(x,y) dx⟩=0\langle\partial_x^2u,\varphi\rangle =\left\langle T,\ y\longmapsto\int_\R\partial_x^2\varphi(x,y)\,dx\right\rangle=0

であるから、Pu=0Pu=0となる。

とくにT=δ0T=\delta_0とすれば、uuは滑らかな関数が定める超関数ではない。実際、uuは直線y=0y=0の外では零である。uuが滑らかな関数ggで表されるならば、ggはy≠0y\ne0で零となり、連続性によってy=0y=0でも零となる。しかし∫ρ(x) dx=1\int\rho(x)\,dx=1、χ(0)=1\chi(0)=1を満たすρ,χ∈Cc∞(R)\rho,\chi\in C_c^\infty(\R)に対して⟨u,ρ(x)χ(y)⟩=1\langle u,\rho(x)\chi(y)\rangle=1である。したがって、PuPuが滑らかであることからuuの滑らかさは従わない。

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