§E15.12トレースと H^1_0

証明.$\Omega=\varnothing$の場合は零測度と空写像をとる。以下では$\Omega\ne\varnothing$とする。$n\geq2$とし、一つの境界近傍$U$で上側のグラフ表示をとる。グラフの底面を有界開直方体$B\subseteq\R^{n-1}$とする。§E15.8 命題 2.3と§E15.8 定理 2.1により、$\varphi$の弱勾配は有界であり、各座標方向のほとんどすべての直線上で$\varphi$は絶対連続である。

$F\in C_c^1(U;\R^n)$を$U$の外で零に延長する。$i<n$に対して

とおく。$F_i$とその導関数は有界で共通の有界領域に台をもち、$\varphi$は Lipschitz であるから、$H_i$は Lipschitz 連続である。$H_i$の台は$B$のコンパクト部分集合に含まれる。$\varphi$が絶対連続である座標直線上では、一変数の積分の微分と連鎖則から

を得る。右辺は可積分である。座標直線に沿って積分すると、$H_i$の台がコンパクトであるため$\int_BD_iH_i=0$となる。また、鉛直方向では

である。これらの反復積分には、絶対可積分関数に対する§E10.19 命題 3.4を用いる。例外となる横座標の零集合を除いて計算し、積分すると

を得る。

$a=(\nabla\varphi,-1)$とおき、グラフ上のベクトル測度を

で定める。弱勾配の Borel 代表を選べば各成分は符号付き Radon 測度となり、代表を零集合上で変えても測度は変わらない。別の直交座標ではベクトルを元の座標へ戻して$m_U$を定める。直交変換による発散と体積積分の不変性から、どの座標でも$\int F\cdot dm_U=\int_\Omega\operatorname{div}F$である。

二つの境界近傍$U,V$の重なりに台をもつ$F\in C_c^1(U\cap V;\R^n)$に対し、$\int F\cdot dm_U=\int F\cdot dm_V$となる。$C_c(U\cap V)$の関数を零延長して平滑化すると、§E10.47 補題 1.3により、台を固定したコンパクト集合内に保ったまま一様に近似することができる。従って各成分の等式は$C_c(U\cap V)$の試験関数についても成り立つ。二つの符号付き成分を$\mu_1^+-\mu_1^-$、$\mu_2^+-\mu_2^-$と書き、正負を移項すると、正 Radon 測度$\mu_1^++\mu_2^-$と$\mu_2^++\mu_1^-$の積分が一致する。§E10.32 系 4.2により両測度は等しく、$m_U=m_V$が重なり上で成り立つ。

ベクトル測度$m_U$の全変動を、Borel 集合$A$の有限 Borel 分割$A=\bigsqcup_jA_j$に対する$\sum_j|m_U(A_j)|$の上限で定める。このとき

である。実際、三角不等式により、右辺が左辺の上界となる。逆の不等式については、$\gamma^{-1}(A)$上で$a$を Borel 単関数$b=\sum_jb_j1_{E_j}$により$L^1$近似する。分割$\gamma(E_j)$に対して

が成り立つ。従って、近似誤差を零へ送ると下界が従う。

重なり上で$m_U$が一致するので全変動も一致する。境界の有限被覆をとり、境界を各近傍に含まれる互いに素な Borel 集合に分けて局所測度を加えると、境界全体にベクトル測度$m$と正測度$\sigma=|m|$が定まる。局所的に

であるから、$\nu=a/|a|$は重なり上で$\sigma$に関してほとんど至る所一致する。$|a|$は有界で底面は有界であるため、有限被覆から$\sigma(\partial\Omega)<\infty$を得る。$\partial\Omega$はコンパクトな距離空間なので、その有限 Borel 測度$\sigma$は Radon 測度である。

$n=1$では Lipschitz 境界の各点は境界内で孤立している。境界はコンパクトなので点の個数は有限であり、$\Omega$は有限個の互いに素な有界開区間の和である。各端点に質量$1$と記載した符号を置けば、一変数の積分の基本定理により局所公式が成り立つ。▨

証明. 境界の有限個のグラフ近傍と、$\Omega$にコンパクトに含まれる開集合で$\overline\Omega$を覆う。§E10.47 定理 2.1により、この被覆に従い$\overline\Omega$の近傍で和が$1$となる滑らかな有限分割$(\theta_j)$をとる。境界近傍に台をもつ$\theta_jF$には補題 1.1の局所公式を適用する。内部に台をもつ$\theta_jF$の発散の積分は、各座標の積分の基本定理によって零であり、その境界上の値も零である。$\sum_j\theta_j=1$と$\sum_j\nabla\theta_j=0$を用いて局所公式を加えると主張を得る。複素数値の場合は実部と虚部にそれぞれ適用する。▨

証明.$n\geq2$とし、$0<\delta\leq h$をとる。§E15.8 定理 2.1と§E10.19 命題 3.4により、ほとんどすべての$y'\in B$に対し、$v(y',\cdot)$は局所絶対連続な代表をもち、$v(y',\cdot)$と$D_nv(y',\cdot)$はともに$L^p(0,h)$に属する。$D_nv(y',\cdot)\in L^1(0,h)$なので、局所絶対連続代表の積分表示を両端まで延長することができる。§E13.2 定理 2.5により、その延長$g_{y'}$は$[0,h]$上で絶対連続であり、$g_{y'}'=D_nv(y',\cdot)$がほとんど至る所で成り立つ。従って$g_{y'}$の$[0,\delta]$への制限は一次元の$W^{1,p}(0,\delta)$に属する。

$v$と$D_nv$は有限測度の半筒$B\times(0,\delta)$上で可積分である。積分表示を$t\in(0,\delta)$について平均すると、ほとんどすべての$y'$について

となる。§E10.19 命題 3.4により右辺は$y'$の可測関数であるから、例外集合上で$Sv=0$と定めれば$Sv$は可測である。

ほとんどすべての$y'$について§E13.29 定理 1.2 (2)を$g_{y'}|_{[0,\delta]}$に適用し、$(a+b)^p\leq2^{p-1}(a^p+b^p)$を用いると

を得る。$y'$について積分し、§E10.19 命題 3.4の非負関数に対する公式を用いると、最初の評価と$Sv\in L^p(B)$が従う。

$p=2$のとき、ほとんどすべての$y'\in B$について§E13.29 補題 2.1を$g_{y'}|_{[0,\delta]}$に係数$\eta>0$で適用する。$y'$について積分すると、二番目の評価を得る。

$n=1$では§E15.8 定理 2.1と導関数の可積分性から、$v$の$[0,h]$上の絶対連続代表$g$を得る。§E13.29 定理 1.2 (2)を$g|_{[0,\delta]}$に適用すると、最初の評価を得る。$p=2$の場合は、§E13.29 補題 2.1を$g|_{[0,\delta]}$に係数$\eta>0$で適用すると、二番目の評価を得る。▨

証明.$\Omega=\varnothing$の場合は零作用素が結論を満たす。以下では$\Omega\ne\varnothing$とする。$n\geq2$のとき、境界の各点でグラフ近傍を縮め、底面の閉包と高さ$h>0$の閉半筒が元の近傍内に収まるように選ぶ。境界のコンパクト性により、そのような有限個の境界片で$\partial\Omega$を覆うことができる。各境界片では、§E15.9 補題 1.2により$v=f\circ\Phi$の体積積分は$f$の体積積分に一致し、$D_nv=(D_nf)\circ\Phi$である。境界測度の密度$\sqrt{1+|\nabla\varphi|^2}$は有界であるから、補題 2.1を各半筒へ適用し、有限個の評価を加えると

を得る。$n=1$の場合には、有限個の成分区間の端点近傍で補題 2.1を適用し、計数測度について加えると同じ評価を得る。右辺が零ならば左辺も零であるため、境界制限は$f|_\Omega$の同値類から一意に定まる。

§E15.9 定理 3.1により、任意の$u\in W^{1,p}(\Omega)$に対し、$f_m|_\Omega\to u$が$W^{1,p}(\Omega)$で成り立つ$f_m\in C_c^\infty(\R^n)$をとる。$C_c^\infty(\R^n)$の関数の境界制限に対するノルム評価を$f_m-f_\ell$に適用すると、$(f_m|_{\partial\Omega})$は$L^p(\partial\Omega,\sigma)$の Cauchy 列である。その極限を$Tu$と定める。二つの近似列の差に同じ評価を適用すると極限は一致する。線形性と有界性は極限で保たれ、稠密性から延長の一意性も従う。

$n\geq2$の各半筒では§E15.9 補題 1.2により$f_m\circ\Phi\to u\circ\Phi$が$W^{1,p}$で成り立つ。補題 2.1により端点値も$L^p(B)$で収束する。一方、境界測度の密度は$1$以上なので、$f_m|_{\partial\Omega}\to Tu$から局所表示の$L^p(B)$収束が従う。二つの極限は一致するので、端点値による表示が従う。$n=1$では、各端点について同じ補題の評価から$f_m$の端点値が$u$の絶対連続代表の端点値へ収束する。▨

証明.$\Omega=\varnothing$ならば両辺は零である。以下では$\Omega\ne\varnothing$とし、定理 2.2の証明で選んだ有限個の半筒を用いる。半筒の個数を$N$、各境界測度の密度の共通の上界を$M$とし、全半筒に共通な高さ$\delta>0$をとる。補題 2.1の二番目の評価に$\eta=\varepsilon/(NM)$を代入する。直交座標での鉛直微分の絶対値は$|\nabla u|$以下であり、グラフ変換は体積を保存する。従って各境界片の評価を加えると

となる。$n=1$では各端点の近傍を半筒とみなし、計数測度の密度を$M=1$とすれば同じ評価を得る。右辺の零階の係数を$C_\varepsilon$とすればよい。▨

証明.$|\Omega|<\infty$なので、§E15.8 命題 3.2により$F(u)\in W^{1,p}(\Omega)$である。$n\geq2$の各グラフ半筒で、$u\circ\Phi$のほとんどすべての鉛直切片の絶対連続代表を$g$とする。Lipschitz 性により$F\circ g$も絶対連続であり、その端点値は$F(g(0))$である。定理 2.2の端点値による表示を$u$と$F(u)$に適用すると$T(F(u))=F(Tu)$を得る。$n=1$でも各成分区間の端点値について同じ等式が成り立つ。$|F(s)|\leq|F(0)|+\operatorname{Lip}(F)|s|$と$\sigma(\partial\Omega)<\infty$から、右辺も$L^p(\partial\Omega,\sigma)$に属する。$F(s)=s^+$と$F=P_k$を代入すると二つの等式が従う。▨

証明.§E15.9 定理 3.1により$f_m|_\Omega\to u$が$W^{1,p}(\Omega)$で成り立つ$f_m\in C_c^\infty(\R^n)$をとる。定理 1.3を$F=f_m\psi e_i$へ適用すると

を得る。$\psi,D_i\psi$は$\overline\Omega$上で有界であり、$\Omega$と$\partial\Omega$の測度は有限である。従って内部の$L^p$収束と定理 2.2による境界の$L^p$収束から、両辺を極限へ移すことができる。▨

証明.$\psi\in C_c^\infty(\R^n)$に命題 3.1を適用すると

である。$Tu\in L^p(\partial\Omega,\sigma)\subseteq L^1(\partial\Omega,\sigma)$なので、最後の項は有限測度の作用である。▨

証明.$\Omega=\varnothing$ならば三条件はいずれも成り立つ。以下では$\Omega\ne\varnothing$とする。

$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ならば、閉包による定義から$u$に$W^{1,p}(\Omega)$で収束する$C_c^\infty(\Omega)$の関数列をとることができる。各関数のトレースは零であり、$T$は連続なので、(1)$\Rightarrow$(2)が従う。また、§E15.8 命題 5.2により(1)$\Rightarrow$(3)が従う。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。$Tu=0$ならば命題 3.2により$D_i(E_0u)=E_0(D_iu)\in L^p(\R^n)$であり、$E_0u\in W^{1,p}(\R^n)$である。逆に$E_0u\in W^{1,p}(\R^n)$とする。同じ公式から、$Tu\,\nu_i\sigma$と$L^p$関数$E_0(D_iu)-D_i(E_0u)$を密度とする測度は、$C_c^\infty(\R^n)$の試験関数に同じ作用をする。§E10.47 補題 1.3によってコンパクト台の連続関数を台を固定したまま一様に近似すると、両測度の作用は$C_c(\R^n)$上でも一致する。実部と虚部に分けて正負を移項し、§E10.32 系 4.2を適用すると、両測度は一致する。

グラフの各鉛直切片は一点なので、$n\geq2$のとき§E10.19 命題 3.4を非負の指示関数に適用すると各境界片の$n$次元 Lebesgue 測度は零である。$n=1$では境界が有限集合であるから、その Lebesgue 測度は零である。いずれの場合も$|\partial\Omega|=0$である。従って$Tu\,\nu_i\sigma$は体積測度に関して絶対連続であると同時に体積零の境界に台をもつため、零測度である。各$i$について$Tu\,\nu_i=0$が$\sigma$に関してほとんど至る所で成り立つので、$\sum_i\nu_i^2=1$から$Tu=0$が従う。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$w=E_0u\in W^{1,p}(\R^n)$とする。$\overline\Omega$を境界の有限個のグラフ近傍と$\Omega$に含まれる開集合で覆う。§E10.47 定理 2.1により、この被覆に従い$\overline\Omega$の近傍で和が$1$となる滑らかな有限分割$(\theta_j)$をとる。$w_j=\theta_jw$とおくと、弱微分の定義で試験関数に$\theta_j\psi$を代入することにより

を得る。従って各$w_j$は$W^{1,p}(\R^n)$に属する。$w$は$\overline\Omega$の外で零であるから、$w=\sum_jw_j$であり、各$w_j$はコンパクト集合$K_j=\supp\theta_j\cap\overline\Omega$の外で零である。内部の開集合に対応する$K_j$は$\Omega$に含まれる。

各境界近傍$U_j$で内向きの鉛直単位ベクトル$e_j$をとり、$t>0$に対し

とおく。$K_j=\varnothing$ならば$w_j=0$である。$K_j\ne\varnothing$とすると、$K_j$は$U_j$にコンパクトに含まれるから、十分小さい$t>0$について$K_j+te_j\subseteq U_j$である。$n\geq2$とし、$U_j$を上側のグラフとして表すと、各$x\in K_j+te_j$は$x_n\geq\varphi(x')+t$を満たすので、$x\in\Omega$である。$\varphi$の Lipschitz 定数を$L$とし、$U_j$内の境界点$y=(y',\varphi(y'))$と比較すると

である。$K_j+te_j$と$U_j$の外側との距離も正なので、$K_j+te_j$は境界全体から正の距離をもつ。$n=1$では境界の各点の近傍で$\Omega$は片側の区間であり、その内向きの単位ベクトルを$e_j$とする。$K_j+te_j$は十分小さい$t>0$について$\Omega$内のコンパクト集合となる。

平行移動と弱微分は試験関数の変数変換により交換する。§E10.47 命題 3.1を$w_j$と各$D_iw_j$に適用すると、$t\downarrow0$で$w_{j,t}\to w_j$が$W^{1,p}(\R^n)$で成り立つ。内部の片は平行移動せずに用いる。

十分小さい$t>0$に対し、$w_{j,t}|_\Omega$は$\Omega$内のコンパクト集合$K_j+te_j$の外で零である。§E15.8 命題 5.3を$U=\Omega$に適用すると、$w_{j,t}|_\Omega\in W^{1,p}_0(\Omega)$である。内部の各片$w_j|_\Omega$も同じ命題により$W^{1,p}_0(\Omega)$に属する。制限は$W^{1,p}$ノルムを増やさないから、有限個の片の和は$t\downarrow0$で$u$に$W^{1,p}(\Omega)$で収束する。$W^{1,p}_0(\Omega)$は閉部分空間であるので、$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$を得る。▨