§E15.20Weyl の法則

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有界領域の Dirichlet Laplace 作用素の固有値は、固有振動の周波数の二乗に対応し、無限大へ発散する。しかし、この定性的な性質だけでは、ある周波数以下に固有振動がいくつ存在するかは分からない。固有値計数関数は、与えた値以下の固有値を重複も含めて数える関数であり、その増大の主要項を領域の体積と結びつけるのが Weyl の法則である。たとえば、両端を固定した区間では、ある周波数以下の固有振動の個数は、高周波数の極限で区間の長さと周波数との積に比例する。高次元の領域でも、固有値計数の主要項は領域の体積に比例し、この関係はスペクトルと幾何を結ぶ基本的な漸近公式である。本記事では、有界 Lipschitz 開集合の Dirichlet 固有値に対する Weyl の法則を証明する。

1 立方体の固有値計数

定義 1.1 (固有値計数関数).HHを複素 Hilbert 空間とし、内積は第一変数について線形とする。AAをHH上の非負の自己共役作用素で、コンパクトなレゾルベントをもつものとする。§E12.14 定理 2.3による固有値を、各固有空間の次元だけ重複させてλ1≤λ2≤⋯\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdotsと並べる。HHが有限次元の場合には有限列とする。λ≥0\lambda\geq0に対して

NA(λ)=#{j:λj≤λ}N_A(\lambda)=\#\{j:\lambda_j\leq\lambda\}

をAAの 固有値計数関数 (eigenvalue counting function) という。開集合U⊂RnU\subset\R^nの Dirichlet・Neumann Laplace 作用素に対しては、それぞれND(U,λ)N_D(U,\lambda)、NN(U,λ)N_N(U,\lambda)と書く。

命題 1.2.n≥1n\geq1、h>0h>0とし、QQを一辺hhの座標軸に平行な開立方体とする。ωn\omega_nをRn\R^nの単位球の体積とし、cn=(2π)−nωnc_n=(2\pi)^{-n}\omega_nとおく。このとき、B∈{D,N}B\in\{D,N\}のそれぞれについて、hhを固定してλ→∞\lambda\to\inftyとすると

NB(Q,λ)∼cn∣Q∣λn/2N_B(Q,\lambda)\sim c_n|Q|\lambda^{n/2}

が成り立つ。

証明. 平行移動はL2L^2ノルムと勾配エネルギーを保存するので、Q=(0,h)nQ=(0,h)^nとしてよい。§E15.19 定理 3.1により、R=hλ/πR=h\sqrt\lambda/\piとおけば

ND(Q,λ)=#{k∈N≥1n:∣k∣≤R},NN(Q,λ)=#{k∈N≥0n:∣k∣≤R}N_D(Q,\lambda)=\#\{k\in\NN^n:|k|\leq R\},\qquad N_N(Q,\lambda)=\#\{k\in\N^n:|k|\leq R\}

である。

k∈N≥0nk\in\N^nに半開立方体k+[0,1)nk+[0,1)^nを対応させる。∣k∣≤R|k|\leq Rを満たす立方体の合併は、正の直交領域内の半径RRの球を含み、同領域内の半径R+nR+\sqrt nの球に含まれる。実際、前者の球の点xxに対してki=⌊xi⌋k_i=\lfloor x_i\rfloorとおくと∣k∣≤∣x∣|k|\leq|x|であり、後者の包含には∣x∣≤∣k∣+n|x|\leq|k|+\sqrt nを用いる。各立方体の体積は11であるから

2−nωnRn≤NN(Q,λ)≤2−nωn(R+n)n.2^{-n}\omega_n R^n\leq N_N(Q,\lambda) \leq2^{-n}\omega_n(R+\sqrt n)^n.

Neumann の格子点から Dirichlet の格子点を除いた点は、少なくとも一つの座標が00である。各座標超平面上の点数は高々(⌊R⌋+1)n−1(\lfloor R\rfloor+1)^{n-1}なので

0≤NN(Q,λ)−ND(Q,λ)≤n(⌊R⌋+1)n−1.0\leq N_N(Q,\lambda)-N_D(Q,\lambda) \leq n(\lfloor R\rfloor+1)^{n-1}.

R→∞R\to\inftyとすれば、両計数関数をRnR^nで割った極限は2−nωn2^{-n}\omega_nとなる。Rn=hnπ−nλn/2R^n=h^n\pi^{-n}\lambda^{n/2}を代入すれば結論を得る。▨

例 1.3.h>0h>0、λ≥0\lambda\geq0に対して、区間(0,h)(0,h)では

ND((0,h),λ)=⌊hλπ⌋,NN((0,h),λ)=1+⌊hλπ⌋N_D((0,h),\lambda)=\left\lfloor\frac{h\sqrt\lambda}{\pi}\right\rfloor, \qquad N_N((0,h),\lambda)=1+\left\lfloor\frac{h\sqrt\lambda}{\pi}\right\rfloor

である。実際、§E15.19 定理 3.1の正弦モードはk≥1k\geq1、余弦モードはk≥0k\geq0であり、固有値はいずれもπ2k2/h2\pi^2k^2/h^2である。Neumann の定数モード一つの差は、主要項hλ/πh\sqrt\lambda/\piに寄与しない。

2 形式域と領域分割

補題 2.1.HHを複素 Hilbert 空間、qqをHH上の非負の稠密に定義された閉形式とする。対応する自己共役作用素AAがコンパクトなレゾルベントをもつと仮定する。このとき、形式ノルム(q(u,u)+∥u∥2)1/2\bigl(q(u,u)+\|u\|^2\bigr)^{1/2}に関する包含D(q)↪HD(q)\hookrightarrow Hはコンパクトであり、すべてのλ≥0\lambda\geq0について

NA(λ)=max⁡{dim⁡L:L⊆D(q) は線形部分空間であり、q(u,u)≤λ∥u∥2 (u∈L)}N_A(\lambda)=\max\{\dim L:L\subseteq D(q)\text{ は線形部分空間であり、} q(u,u)\leq\lambda\|u\|^2\ (u\in L)\}

が成り立つ。

証明.§E12.14 命題 3.1 (2)により、形式ノルムに関する包含D(q)↪HD(q)\hookrightarrow Hはコンパクトである。§E12.14 定理 2.3の完全正規直交固有系を(ej,λj)(e_j,\lambda_j)とする。

M=NA(λ)M=N_A(\lambda)とおく。M>0M>0ならば、最初のMM個の固有ベクトルの張る空間上でq(u,u)≤λ∥u∥2q(u,u)\leq\lambda\|u\|^2となる。M=0M=0ならば零部分空間をとる。逆に、条件を満たす部分空間LLがdim⁡L≥M+1\dim L\geq M+1を満たせば、LL内のM+1M+1次元部分空間と§E12.14 定理 4.1によりλM+1≤λ\lambda_{M+1}\leq\lambdaとなり、MMの定義に反する。M=dim⁡H<∞M=\dim H<\inftyの場合にはdim⁡L≤M\dim L\leq Mが成り立つ。▨

命題 2.2.n≥1n\geq1、Ω⊂Rn\Omega\subset\R^nを空でない有界開集合とする。L2(Ω;C)L^2(\Omega;\C)上の形式

qΩ(u,v)=∫Ω∇u⋅∇v‾ dx,D(qΩ)=H01(Ω;C)q_\Omega(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla v}\,dx, \qquad D(q_\Omega)=H^1_0(\Omega;\C)

に対応する Dirichlet Laplace 作用素ADA_Dが存在し、コンパクトなレゾルベントをもつと仮定する。内積は(u,v)2=∫Ωuv‾ dx(u,v)_2=\int_\Omega u\overline v\,dxとする。h>0h>0に対してQh,k=h(k+(0,1)n)Q_{h,k}=h(k+(0,1)^n)（k∈Znk\in\Z^n）とおき、

Qh−={Qh,k:Qh,k‾⊂Ω},Qh+={Qh,k:Qh,k‾∩Ω‾≠∅}\mathcal Q_h^- =\{Q_{h,k}:\overline{Q_{h,k}}\subset\Omega\},\qquad \mathcal Q_h^+ =\{Q_{h,k}:\overline{Q_{h,k}}\cap\overline\Omega\ne\varnothing\}

と定める。このとき、両族は有限であり、すべてのλ≥0\lambda\geq0に対して

∑Q∈Qh−ND(Q,λ)≤ND(Ω,λ)≤∑Q∈Qh+NN(Q,λ)\sum_{Q\in\mathcal Q_h^-}N_D(Q,\lambda) \leq N_D(\Omega,\lambda) \leq\sum_{Q\in\mathcal Q_h^+}N_N(Q,\lambda)

が成り立つ。

証明.Ω\Omegaは有界であるから、Ω‾\overline\Omegaに接する格子立方体は有限個である。各Q∈Qh−Q\in\mathcal Q_h^-のH01(Q)H^1_0(Q)の元を零拡張して足し合わせる写像

J−:⨁Q∈Qh−H01(Q)⟶H01(Ω)J_-:\bigoplus_{Q\in\mathcal Q_h^-}H^1_0(Q)\longrightarrow H^1_0(\Omega)

をとる。各成分をCc∞(Q)C_c^\infty(Q)で近似すれば、拡張された関数はH01(Ω)H^1_0(\Omega)に属する。§E15.8 命題 5.2により、零拡張は弱微分と交換する。立方体の内部は互いに素なので

∥J−(uQ)∥L2(Ω)2=∑Q∥uQ∥L2(Q)2,qΩ(J−(uQ),J−(uQ))=∑Q∥∇uQ∥L2(Q)2.\|J_-(u_Q)\|_{L^2(\Omega)}^2=\sum_Q\|u_Q\|_{L^2(Q)}^2, \qquad q_\Omega(J_-(u_Q),J_-(u_Q))=\sum_Q\|\nabla u_Q\|_{L^2(Q)}^2.

u∈H01(Ω)u\in H^1_0(\Omega)の全空間への零拡張をE0uE_0uとし、

J+u=((E0u)∣Q)Q∈Qh+∈⨁Q∈Qh+H1(Q)J_+u=\bigl((E_0u)|_Q\bigr)_{Q\in\mathcal Q_h^+} \in\bigoplus_{Q\in\mathcal Q_h^+}H^1(Q)

と定める。§E15.8 命題 5.2によりE0u∈H1(Rn)E_0u\in H^1(\R^n)であり、各制限の弱微分はE0(Diu)∣QE_0(D_i u)|_Qである。格子の面の合併は零測度であり、Ω\Omegaの各点は格子の面上の点を除いてQh+\mathcal Q_h^+の一つの立方体に属する。したがって

∑Q∥(J+u)Q∥L2(Q)2=∥u∥L2(Ω)2,∑Q∥∇(J+u)Q∥L2(Q)2=qΩ(u,u).\sum_Q\|(J_+u)_Q\|_{L^2(Q)}^2=\|u\|_{L^2(\Omega)}^2, \qquad\sum_Q\|\nabla(J_+u)_Q\|_{L^2(Q)}^2=q_\Omega(u,u).

J−J_-とJ+J_+はL2L^2ノルムを保存するので単射である。

立方体の Dirichlet 作用素または Neumann 作用素の有限直和は、各成分の固有基底を成分ごとに埋め込んだ固有基底をもち、その計数関数は成分の計数関数の和となる。§E15.19 命題 1.2により各成分は非負の自己共役作用素で、コンパクトなレゾルベントをもち、有限直和も同じ性質をもつ。J−J_-とJ+J_+は Rayleigh 商と部分空間の次元を保存するから、補題 2.1をそれぞれに適用すれば両不等式を得る。内側の族が空ならば左辺は00である。▨

3 境界近傍と Weyl の公式

補題 3.1.n≥1n\geq1、Ω⊂Rn\Omega\subset\R^nを空でない有界 Lipschitz 開集合とする。このとき∣∂Ω∣=0|\partial\Omega|=0である。命題 2.2の格子立方体族に対して

lim⁡h↓0∑Q∈Qh−∣Q∣=∣Ω∣=lim⁡h↓0∑Q∈Qh+∣Q∣\lim_{h\downarrow0}\sum_{Q\in\mathcal Q_h^-}|Q| =|\Omega| =\lim_{h\downarrow0}\sum_{Q\in\mathcal Q_h^+}|Q|

が成り立つ。

証明.n≥2n\geq2のとき、境界の各点の近傍では、直交座標の変換後に∂Ω\partial\Omegaは Lipschitz 関数のグラフに含まれる。グラフは可測であり、各鉛直断面は高々一点であるから、§E10.19 命題 3.4をグラフの指示関数に適用すれば、そのnn次元測度は00となる。直交変換は Lebesgue 測度を保存する。∂Ω\partial\Omegaはコンパクトなので有限個のグラフ近傍で覆われる。したがって∣∂Ω∣=0|\partial\Omega|=0である。n=1n=1のときには各境界点が局所的に孤立し、コンパクト性により境界は有限集合となるので、同じ結論を得る。

Gh±=⋃Q∈Qh±QG_h^\pm=\bigcup_{Q\in\mathcal Q_h^\pm}Qとし、Uδ={x:dist⁡(x,∂Ω)<δ}U_\delta=\{x:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)<\delta\}とおく。UδU_\deltaはδ≤1\delta\leq1で共通の有界集合に含まれ、δ↓0\delta\downarrow0で∂Ω\partial\Omegaに減少する。測度の上からの連続性により∣Uδ∣→0|U_\delta|\to0となる。

格子の面上にないx∈Ω∖Gh−x\in\Omega\setminus G_h^-をとる。xxの属する格子立方体の閉包はΩ\Omegaに含まれないので、xxから距離nh\sqrt n h以下にΩ\Omegaの外の点がある。両点を結ぶ線分は∂Ω\partial\Omegaと交わるから、x∈U2nhx\in U_{2\sqrt n h}である。x∈Gh+∖Ωx\in G_h^+\setminus\Omegaに対しては、同じ閉立方体内にΩ‾\overline\Omegaの点がある。線分と境界の交わりを用いれば、再びx∈U2nhx\in U_{2\sqrt n h}となる。またGh−⊆ΩG_h^-\subseteq\Omegaであり、Ω∖Gh+\Omega\setminus G_h^+は格子の面に含まれる。したがって

0≤∣Ω∣−∣Gh−∣≤∣U2nh∣,0≤∣Gh+∣−∣Ω∣≤∣U2nh∣.0\leq|\Omega|-|G_h^-|\leq|U_{2\sqrt n h}|, \qquad 0\leq|G_h^+|-|\Omega|\leq|U_{2\sqrt n h}|.

立方体の内部は互いに素なので∣Gh±∣=∑Q∈Qh±∣Q∣|G_h^\pm|=\sum_{Q\in\mathcal Q_h^\pm}|Q|であり、結論が従う。▨

定理 3.2 (Weyl の法則).n≥1n\geq1、Ω⊂Rn\Omega\subset\R^nを空でない有界 Lipschitz 開集合とし、ωn\omega_nをRn\R^nの単位球の体積とする。このとき、Ω\Omegaの Dirichlet Laplace 作用素の固有値計数関数は

ND(Ω,λ)∼(2π)−nωn∣Ω∣λn/2(λ→∞)N_D(\Omega,\lambda)\sim (2\pi)^{-n}\omega_n|\Omega|\lambda^{n/2} \qquad(\lambda\to\infty)

を満たす。

証明.§E15.19 命題 1.2により Dirichlet Laplace 作用素は非負の自己共役作用素で、コンパクトなレゾルベントをもつ。h>0h>0を固定して命題 2.2をλn/2\lambda^{n/2}で割り、命題 1.2を各立方体に適用すると

cn∑Q∈Qh−∣Q∣≤lim inf⁡λ→∞ND(Ω,λ)λn/2≤lim sup⁡λ→∞ND(Ω,λ)λn/2≤cn∑Q∈Qh+∣Q∣,cn=(2π)−nωnc_n\sum_{Q\in\mathcal Q_h^-}|Q| \leq\liminf_{\lambda\to\infty}\frac{N_D(\Omega,\lambda)}{\lambda^{n/2}} \leq\limsup_{\lambda\to\infty}\frac{N_D(\Omega,\lambda)}{\lambda^{n/2}} \leq c_n\sum_{Q\in\mathcal Q_h^+}|Q|, \qquad c_n=(2\pi)^{-n}\omega_n

を得る。実際、各立方体族は有限なので、和と極限を交換することができる。次にh↓0h\downarrow0とし、補題 3.1を適用すれば、下極限と上極限はともにcn∣Ω∣c_n|\Omega|に等しい。Ω\Omegaは空でない開集合なので∣Ω∣>0|\Omega|>0であり、漸近公式が従う。▨

系 3.3.n≥1n\geq1、Ω⊂Rn\Omega\subset\R^nを空でない有界 Lipschitz 開集合とする。このとき、重複を含めて昇順に並べた Dirichlet 固有値列(λk)k∈N≥1(\lambda_k)_{k\in\NN}は

λk∼(2π)2(kωn∣Ω∣)2/n(k→∞)\lambda_k\sim(2\pi)^2\left(\frac{k}{\omega_n|\Omega|}\right)^{2/n} \qquad(k\to\infty)

を満たす。

証明.C=(2π)−nωn∣Ω∣>0C=(2\pi)^{-n}\omega_n|\Omega|>0、α=n/2\alpha=n/2とおく。定理 3.2により、任意の0<ε<1/20<\varepsilon<1/2に対してT>0T>0が存在し、t≥Tt\geq Tならば

(1−ε)Ctα≤ND(Ω,t)≤(1+ε)Ctα(1-\varepsilon)Ct^\alpha\leq N_D(\Omega,t)\leq(1+\varepsilon)Ct^\alpha

となる。十分大きなkkに対して

ak=(k(1+2ε)C)1/α,bk=(k(1−ε)C)1/αa_k=\left(\frac{k}{(1+2\varepsilon)C}\right)^{1/\alpha},\qquad b_k=\left(\frac{k}{(1-\varepsilon)C}\right)^{1/\alpha}

とおけば、ak,bk≥Ta_k,b_k\geq Tであり、ND(Ω,ak)<k≤ND(Ω,bk)N_D(\Omega,a_k)<k\leq N_D(\Omega,b_k)となる。重複を含めた順序の定義からak<λk≤bka_k<\lambda_k\leq b_kを得る。λk/(k/C)1/α\lambda_k/(k/C)^{1/\alpha}の下極限と上極限を挟み、ε↓0\varepsilon\downarrow0とすれば結論が従う。▨

例 3.4.n≥1n\geq1、Li>0L_i>0、Q=∏i=1n(0,Li)Q=\prod_{i=1}^n(0,L_i)、t>0t>0とする。このとき、§E15.19 定理 3.1により、tQtQの各 Dirichlet 固有値はQQの対応する固有値のt−2t^{-2}倍である。∣tQ∣=tn∣Q∣|tQ|=t^n|Q|なので、系 3.3の主要項も

(2π)2(kωn∣tQ∣)2/n=t−2(2π)2(kωn∣Q∣)2/n(2\pi)^2\left(\frac{k}{\omega_n|tQ|}\right)^{2/n} =t^{-2}(2\pi)^2\left(\frac{k}{\omega_n|Q|}\right)^{2/n}

となる。

例 3.5.n≥1n\geq1とする。このとき、§E15.11 例 3.1をp=2p=2に適用すると、H1(Rn)H^1(\R^n)で有界であり、L2(Rn)L^2(\R^n)で収束する部分列をもたない列(uj)(u_j)が存在する。したがってH1(Rn)↪L2(Rn)H^1(\R^n)\hookrightarrow L^2(\R^n)はコンパクトでない。

uj∈Cc∞(Rn)⊂H01(Rn)u_j\in C_c^\infty(\R^n)\subset H^1_0(\R^n)なので、H01(Rn)↪L2(Rn)H^1_0(\R^n)\hookrightarrow L^2(\R^n)もコンパクトでない。全空間の Dirichlet 形式に対応する作用素がコンパクトなレゾルベントをもつならば、補題 2.1の形式域のコンパクトな包含に反する。よって全空間では、コンパクトなレゾルベントによる有限重複の離散固有値計数を出発点とすることができない。

注意 3.6. 有界開集合Ω\Omegaの境界が零測度でない場合、外側格子立方体の体積の和は∣Ω‾∣|\overline\Omega|に近づきうる。したがって、内外の体積をともに∣Ω∣|\Omega|へ収束させる上の証明では、境界の零測度性が必要である。Neumann 固有値の漸近を同様の分割比較によって示す場合には、境界に交わる小領域の固有値計数についても一様評価が必要となる。変数係数の楕円型作用素では、主表象の局所比較が主要項を定める。剰余項の評価には、主要項だけを与える二段階の極限より精密な評価が必要となる。

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