Moser の反復 | 偏微分方程式論 I

補題 1.1. $V\subseteq\R^n$ を開集合、 $U\subseteq V$ を開集合とし、 $w\in H^1(U)$ が $U$ のあるコンパクト集合 $K$ の外でほとんど至る所零であるとする。 $w$ と $Dw$ を $V\setminus U$ で零とおいて $V$ へ延長したものを、それぞれ $Ew$ 、 $E(Dw)$ と書く。このとき $Ew\in H^1(V)$ であり、 $D(Ew)=E(Dw)$ である。

証明.§E15.8 命題 5.3を開集合 $U$ と $p=2$ に適用すると、 $w\in H^1_0(U)$ であり、 $w$ の $\R^n$ への零延長 $E_0w$ は $H^1(\R^n)$ に属し、その弱勾配は $Dw$ の零延長 $E_0(Dw)$ である。 $U\subseteq V$ であるから、 $Ew$ は $E_0w$ の $V$ への制限であり、 $E(Dw)$ は $E_0(Dw)$ の $V$ への制限である。開集合への制限は弱微分と可換であるから、 $Ew\in H^1(V)$ かつ $D(Ew)=E(Dw)$ である。▨

補題 1.2. $n\geq1$ を整数とし、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ を満たす $q$ をとって、 $q'=q/(q-1)$ と書く。 $n\geq3$ のとき $\chi=n/(n-2)$ 、 $n\in\{1,2\}$ のとき $\chi=2q'$ と定め、

\theta=\frac{\chi}{q(\chi-1)},\qquad\nu=\frac1{1-\theta}

とおく。このとき $1<q'<\chi$ かつ $0<\theta<1$ である。さらに $n,q$ のみに依存する定数 $C_S\geq1$ が存在し、 $B_2=B_2(0)$ のあるコンパクト集合の外でほとんど至る所零であるすべての $w\in H^1(B_2)$ に対して、次の二つが成り立つ。

$\displaystyle\|w\|_{L^{2\chi}(B_2)}^2\leq C_S\bigl(\|w\|_{L^2(B_2)}^2+\|Dw\|_{L^2(B_2)}^2\bigr)$ である。
任意の $0<\varepsilon\leq1$ に対して $\displaystyle\|w\|_{L^{2q'}(B_2)}^2\leq\varepsilon\|w\|_{L^{2\chi}(B_2)}^2+\varepsilon^{-\theta/(1-\theta)}\|w\|_{L^2(B_2)}^2$ である。

証明. $q<\infty$ より $q'>1$ である。 $n\geq3$ のとき、 $q>n/2$ から $1/q'=1-1/q>1-2/n=1/\chi$ となり $q'<\chi$ である。また $\chi/(\chi-1)=n/2$ より $\theta=n/(2q)<1$ である。 $n\in\{1,2\}$ のとき $q'<2q'=\chi$ であり、 $\chi/(\chi-1)=2q'/(2q'-1)$ と $q'=q/(q-1)$ から $\theta=2/(q+1)<1$ である。

主張 (1)を示す。 $n\geq3$ のとき、補題 1.1により零延長 $Ew$ は $H^1(\R^n)$ に属し、 $D(Ew)=E(Dw)$ である。 $2\chi=2n/(n-2)$ であるから、§E15.10 定理 1.2を $p=2$ で $Ew$ に適用して $\|w\|_{L^{2\chi}(B_2)}\leq C_{n}\|Dw\|_{L^2(B_2)}$ を得る。 $n=2$ のとき、§E15.10 命題 2.1を有界 Lipschitz 開集合 $B_2$ と有限指数 $2\chi$ に適用して $\|w\|_{L^{2\chi}(B_2)}\leq C\|w\|_{W^{1,2}(B_2)}$ を得る。 $W^{1,2}(B_2)$ のノルムの二乗は $2(\|w\|_{L^2}^2+\|Dw\|_{L^2}^2)$ 以下である。 $n=1$ のとき、§E13.29 定理 1.2 (2)を $p=2$ 、 $(a,b)=(-2,2)$ で適用すると $\max|w|\leq\frac12\|w\|_{L^2}+2\|w'\|_{L^2}$ であり、 $\max|w|^2\leq\frac12\|w\|_{L^2}^2+8\|w'\|_{L^2}^2$ である。 $\|w\|_{L^{2\chi}(-2,2)}^2\leq4^{1/\chi}\max|w|^2\leq4\max|w|^2$ から主張を得る。

主張 (2)を示す。 $\theta(1-1/\chi)=1/q$ より

\frac1{2q'}=\frac{1-\theta}2+\frac\theta{2\chi}

であり、 $2\leq2q'\leq2\chi$ である。Hölder の不等式により $\|w\|_{L^{2q'}}^2\leq a^{1-\theta}b^\theta$ が成り立つ。ここで $a=\|w\|_{L^2}^2$ 、 $b=\|w\|_{L^{2\chi}}^2$ とおいた。Young の不等式 $xy\leq x^{1/\theta}+y^{1/(1-\theta)}$ を $x=\varepsilon^\theta b^\theta$ 、 $y=\varepsilon^{-\theta}a^{1-\theta}$ に適用すると、 $a^{1-\theta}b^\theta\leq\varepsilon b+\varepsilon^{-\theta/(1-\theta)}a$ を得る。▨

定義 2.1 (弱劣解・弱優解・弱解). $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ と $\kappa_0\geq0$ を実数とし、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ を満たす $q$ をとる。 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ に対して $B_r=B_r(x_0)$ と書く。可測な $A:B_{2R}\to\R^{n\times n}$ 、 $b\in L^\infty(B_{2R};\R^n)$ 、 $c\in L^\infty(B_{2R};\R)$ の組 $(A,b,c)$ が $B_{2R}$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数 (coefficients of type (lambda, Lambda, kappa_0)) であるとは、ほとんどすべての $x\in B_{2R}$ とすべての $\xi\in\R^n$ について

\xi\cdot A(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2,\qquad|A(x)\xi|\leq\Lambda|\xi|

が成り立ち、 $R\|b\|_{L^\infty(B_{2R})}\leq\kappa_0$ かつ $R^2\|c\|_{L^\infty(B_{2R})}\leq\kappa_0$ が成り立つことをいう。 $A$ は対称とは限らない。

$u\in H^1(B_{2R};\R)$ 、 $f\in L^q(B_{2R};\R)$ に対して $Lu=-\operatorname{div}(A Du)+b\cdot Du+cu$ と書き、 $\varphi\in H^1(B_{2R};\R)$ に対して

\mathcal L(u,\varphi)=\int_{B_{2R}}\bigl(A Du\cdot D\varphi+(b\cdot Du)\varphi+cu\varphi\bigr)\,dx

と定める。ほとんど至る所 $\varphi\geq0$ であり、 $B_{2R}$ のあるコンパクト集合の外でほとんど至る所 $\varphi=0$ であるすべての $\varphi\in H^1(B_{2R};\R)$ について $\mathcal L(u,\varphi)\leq\int_{B_{2R}}f\varphi\,dx$ が成り立つとき、 $u$ を $Lu\leq f$ の弱劣解 (weak subsolution) という。不等号を逆にしたものを弱優解 (weak supersolution)、両方を満たすものを弱解 (weak solution) といい、弱解は $Lu=f$ を満たすという。

これらの積分は、上の条件を満たす $\varphi$ について絶対収束する。実際、 $x\mapsto\varphi(x_0+Rx)$ は $B_2$ のあるコンパクト集合の外で零であるから、これに補題 1.2 (1)を適用して変数を戻すと、そこで定めた $\chi$ について $\varphi\in L^{2\chi}(B_{2R})$ であり、 $q'<2\chi$ であるから $f\varphi$ は Hölder の不等式により可積分である。他の項の可積分性は $A,b,c$ の有界性と $u,\varphi\in H^1$ による。

$q=\infty$ の場合には、 $f\in L^\infty(B_{2R})$ は $f\in L^{n+1}(B_{2R})$ であり、 $q=n+1$ の場合の定義に含まれる。

補題 2.2. $(A,b,c)$ を $B_{2R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数、 $f\in L^q(B_{2R}(x_0))$ 、 $u\in H^1(B_{2R}(x_0))$ とする。

$u$ が $Lu\leq f$ の弱劣解（弱優解）であり、 $0<R'\leq R$ かつ $B_{2R'}(y)\subseteq B_{2R}(x_0)$ ならば、 $A,b,c,f,u$ の $B_{2R'}(y)$ への制限は、 $B_{2R'}(y)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数に関する $Lu\leq f$ の弱劣解（弱優解）である。
$B_2=B_2(0)$ 上で $\tilde u(x)=u(x_0+Rx)$ 、 $\tilde A(x)=A(x_0+Rx)$ 、 $\tilde b(x)=Rb(x_0+Rx)$ 、 $\tilde c(x)=R^2c(x_0+Rx)$ 、 $\tilde f(x)=R^2f(x_0+Rx)$ と定める。 $(\tilde A,\tilde b,\tilde c)$ は $B_2$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数であり、 $u$ が $Lu\leq f$ の弱劣解（弱優解、弱解）であることと、 $\tilde u$ が $\tilde L\tilde u\leq\tilde f$ の弱劣解（弱優解、弱解）であることは同値である。さらに $0<p<\infty$ について $\|\tilde u\|_{L^p(B_2)}=R^{-n/p}\|u\|_{L^p(B_{2R}(x_0))},\qquad\|\tilde f\|_{L^q(B_2)}=R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R}(x_0))}$ であり、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_1}\tilde u=\operatorname*{ess\,sup}_{B_R(x_0)}u$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。制限した係数について、 $R'\|b\|_{L^\infty(B_{2R'}(y))}\leq R\|b\|_{L^\infty(B_{2R}(x_0))}\leq\kappa_0$ であり、 $c$ についても同様に $R'^2\|c\|_{L^\infty}\leq\kappa_0$ であるから、制限は $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型である。 $B_{2R'}(y)$ 上の非負でコンパクトな台をもつ $\varphi\in H^1$ の零延長は、補題 1.1により $B_{2R}(x_0)$ 上の同じ型の試験関数であり、 $\mathcal L(u,\varphi)$ と $\int f\varphi$ は零延長によって変わらない。したがって制限は弱劣解（弱優解）である。

主張 (2)を示す。 $(\tilde A,\tilde b,\tilde c)$ について、 $\tilde A$ の楕円性と有界性は $A$ と同じであり、 $\|\tilde b\|_{L^\infty(B_2)}=R\|b\|_{L^\infty(B_{2R})}\leq\kappa_0$ 、 $\|\tilde c\|_{L^\infty(B_2)}=R^2\|c\|_{L^\infty(B_{2R})}\leq\kappa_0$ である。変数変換 $y=x_0+Rx$ により弱微分の定義から $D\tilde u(x)=R(Du)(x_0+Rx)$ であり、 $\varphi\mapsto\tilde\varphi(x)=\varphi(x_0+Rx)$ は $B_{2R}(x_0)$ 上の試験関数の全体から $B_2$ 上の試験関数の全体への全単射である。 $A(y)Du(y)\cdot D\varphi(y)=R^{-2}\tilde A D\tilde u\cdot D\tilde\varphi$ 、 $b(y)\cdot Du(y)\,\varphi(y)=R^{-2}\tilde b\cdot D\tilde u\,\tilde\varphi$ 、 $c(y)u(y)\varphi(y)=R^{-2}\tilde c\tilde u\tilde\varphi$ 、 $f(y)\varphi(y)=R^{-2}\tilde f\tilde\varphi$ が成り立ち、 $dy=R^n\,dx$ であるから、

\mathcal L(u,\varphi)=R^{n-2}\tilde{\mathcal L}(\tilde u,\tilde\varphi),\qquad\int_{B_{2R}(x_0)}f\varphi\,dy=R^{n-2}\int_{B_2}\tilde f\tilde\varphi\,dx

となる。よって弱劣解、弱優解、弱解の同値を得る。 $\|\tilde u\|_{L^p(B_2)}^p=R^{-n}\|u\|_{L^p(B_{2R}(x_0))}^p$ と $\|\tilde f\|_{L^q(B_2)}^q=R^{2q-n}\|f\|_{L^q(B_{2R}(x_0))}^q$ から二つのノルムの等式を得る。最後の等式は $B_1$ が $B_R(x_0)$ に写ることによる。▨

補題 3.1.補題 1.2の $n,q,\chi,\theta,\nu,C_S$ を用いる。 $k>0$ 、 $f\in L^q(B_2)$ が $\|f\|_{L^q(B_2)}\leq k$ を満たすとし、 $V\in H^1(B_2)$ と、 $B_2$ のあるコンパクト集合の外で零である Lipschitz 関数 $\eta:B_2\to[0,1]$ をとる。実数 $M_1\geq1$ が

\int_{B_2}\eta^2|DV|^2\,dx\leq M_1\Bigl(\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)V^2\,dx+\int_{B_2}\frac{|f|}k\eta^2V^2\,dx\Bigr)

を満たすとする。このとき、 $n,q$ のみに依存する定数 $C_2$ が存在して

\|\eta V\|_{L^{2\chi}(B_2)}^2\leq C_2M_1^\nu\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)V^2\,dx

が成り立つ。

証明. $\eta$ は§E15.8 命題 2.3により $W^{1,\infty}$ に属し、§E15.8 命題 3.1により $\eta V\in H^1(B_2)$ で $D(\eta V)=\eta DV+VD\eta$ である。 $\eta V$ は $B_2$ のコンパクト集合の外で零であるから、補題 1.2を $w=\eta V$ に適用することができる。 $I=\int(|D\eta|^2+\eta^2)V^2$ 、 $J=\int(|f|/k)\eta^2V^2$ とおくと、 $\|\eta V\|_{L^2}^2\leq I$ であり、 $\|D(\eta V)\|_{L^2}^2\leq2\int\eta^2|DV|^2+2\int|D\eta|^2V^2\leq2M_1(I+J)+2I$ である。 $M_1\geq1$ より

\|\eta V\|_{L^{2\chi}}^2\leq C_S\bigl(I+2M_1(I+J)+2I\bigr)\leq5C_SM_1I+2C_SM_1J

である。Hölder の不等式と $\|f\|_{L^q}\leq k$ から $J\leq\|(\eta V)^2\|_{L^{q'}}=\|\eta V\|_{L^{2q'}}^2$ であり、補題 1.2 (2)により任意の $0<\varepsilon\leq1$ について $J\leq\varepsilon\|\eta V\|_{L^{2\chi}}^2+\varepsilon^{-\theta/(1-\theta)}I$ である。 $\varepsilon=1/(4C_SM_1)$ ととると $2C_SM_1\varepsilon=1/2$ であり、 $\|\eta V\|_{L^{2\chi}}<\infty$ であるから、

\|\eta V\|_{L^{2\chi}}^2\leq10C_SM_1I+4C_SM_1(4C_SM_1)^{\theta/(1-\theta)}I\leq C_2M_1^{1+\theta/(1-\theta)}I

を得る。 $1+\theta/(1-\theta)=\nu$ である。▨

補題 3.2. $\chi>1$ 、 $\nu>0$ 、 $K\geq1$ を実数とし、 $d=\chi/(\chi-1)$ とおく。可測関数 $w:B_2\to[0,\infty)$ 、可測集合 $E\subseteq B_2$ 、 $0<t<\infty$ に対して $\|w\|_{L^t(E)}=(\int_Ew^t\,dx)^{1/t}$ と書く。 $T\subseteq(0,\infty)$ とし、 $w$ は、すべての $t\in T$ と、 $B_2$ のあるコンパクト集合の外で零である Lipschitz 関数 $\eta:B_2\to[0,1]$ について、 $\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)w^t\,dx<\infty$ ならば $\eta w^{t/2}\in L^{2\chi}(B_2)$ であり、

\|\eta w^{t/2}\|_{L^{2\chi}(B_2)}^2\leq K(1+t)^\nu\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)w^t\,dx

が成り立つものとする。実数 $p,r,s$ が $0<p\leq2$ 、 $0<r<s<2$ 、 $s-r\leq1$ を満たし、 $\int_{B_s}w^p\,dx<\infty$ であるとする。このとき、 $\chi,\nu,K$ のみに依存する定数 $C_{\mathrm{it}}\geq1$ が存在し、 $w,T,p,r,s$ によらず次の二つが成り立つ。

$J\geq0$ を整数とし、 $p\chi^j\in T$ が $0\leq j<J$ で成り立つならば、 $\displaystyle\|w\|_{L^{p\chi^J}(B_r)}\leq\bigl[C_{\mathrm{it}}(s-r)^{-2d}\bigr]^{1/p}\|w\|_{L^p(B_s)}$ である。
$p\chi^j\in T$ がすべての整数 $j\geq0$ で成り立つならば、 $\displaystyle\operatorname*{ess\,sup}_{B_r}w\leq\bigl[C_{\mathrm{it}}(s-r)^{-2d}\bigr]^{1/p}\|w\|_{L^p(B_s)}$ である。

証明. $j\geq0$ に対して $r_j=r+(s-r)2^{-j}$ 、 $g_j=r_j-r_{j+1}=(s-r)2^{-j-1}$ 、 $t_j=p\chi^j$ 、 $\eta_j(x)=\min\{1,(r_j-|x|)^+/g_j\}$ とおく。 $\eta_j$ は Lipschitz 定数 $1/g_j$ の関数であり、 $B_{r_{j+1}}$ 上で $1$ 、 $B_{r_j}$ の外で零で、台は $\overline{B_{r_j}}\subseteq B_2$ に含まれる。 $g_j\leq1$ より $|D\eta_j|^2+\eta_j^2\leq2g_j^{-2}$ である。

$t_j\in T$ かつ $\int_{B_{r_j}}w^{t_j}<\infty$ であるとする。 $w$ の仮定を $t=t_j$ 、 $\eta=\eta_j$ に適用すると、 $\eta_jw^{t_j/2}\in L^{2\chi}(B_2)$ であり、 $\eta_j=1$ が $B_{r_{j+1}}$ 上で成り立ち、 $t_{j+1}=\chi t_j$ であるから、

\Bigl(\int_{B_{r_{j+1}}}w^{t_{j+1}}\,dx\Bigr)^{1/\chi}\leq\|\eta_jw^{t_j/2}\|_{L^{2\chi}(B_2)}^2\leq K_j\int_{B_{r_j}}w^{t_j}\,dx,\qquad K_j=2K(1+t_j)^\nu g_j^{-2}

を得る。右辺は有限であるから $\int_{B_{r_{j+1}}}w^{t_{j+1}}<\infty$ であり、この不等式の $1/t_j$ 乗は $\|w\|_{L^{t_{j+1}}(B_{r_{j+1}})}\leq K_j^{1/t_j}\|w\|_{L^{t_j}(B_{r_j})}$ である。

主張 (1)を示す。 $\int_{B_{r_0}}w^{t_0}=\int_{B_s}w^p<\infty$ であるから、上の不等式を $j=0,\ldots,J-1$ について反復し、 $B_r\subseteq B_{r_J}$ を用いると、

\|w\|_{L^{t_J}(B_r)}\leq\prod_{j<J}K_j^{1/t_j}\,\|w\|_{L^p(B_s)}

である。 $1+t_j\leq(1+p)\chi^j\leq3\chi^j$ であるから $K_j\leq2\cdot3^\nu K\chi^{j\nu}4^{j+1}(s-r)^{-2}$ であり、 $\sum_{j\geq0}\chi^{-j}=d$ 、 $\sum_{j\geq0}j\chi^{-j}=\chi/(\chi-1)^2$ と、各項が非負であることから、係数の積の対数は

\sum_{j<J}\frac1{p\chi^j}\Bigl(\log(8\cdot3^\nu K)+j(\nu\log\chi+\log4)+2\log\frac1{s-r}\Bigr)\leq\frac1p\Bigl(\log C_{\mathrm{it}}+2d\log\frac1{s-r}\Bigr)

以下である。ここで $\log C_{\mathrm{it}}=d\log(8\cdot3^\nu K)+(\nu\log\chi+\log4)\chi/(\chi-1)^2\geq0$ とおいた。

主張 (2)を示す。上の評価はすべての $J$ について成り立つ。 $B_r$ は有限測度であるから、 $J\to\infty$ のとき $\|w\|_{L^{t_J}(B_r)}\to\operatorname*{ess\,sup}_{B_r}w$ であり、結論を得る。▨

補題 3.3.補題 1.2の $n,q,\chi,\nu$ と、定義 2.1の $\lambda,\Lambda,\kappa_0$ を用いる。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C_3\geq1$ が存在し、次が成り立つ。 $B_2=B_2(0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数 $(A,b,c)$ 、 $f\in L^q(B_2)$ に対する $Lu\leq f$ の弱劣解 $u\in H^1(B_2)$ 、および $\|f\|_{L^q(B_2)}\leq k$ を満たす $k>0$ をとり、 $\bar u=u^++k$ と書く。実数 $s\geq2$ と、 $B_2$ のあるコンパクト集合の外で零である Lipschitz 関数 $\eta:B_2\to[0,1]$ について、 $\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)\bar u^s\,dx<\infty$ ならば $\eta\bar u^{s/2}\in L^{2\chi}(B_2)$ であり、

\|\eta\bar u^{s/2}\|_{L^{2\chi}(B_2)}^2\leq C_3s^\nu\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)\bar u^s\,dx

が成り立つ。

証明. 実数 $N>k$ をとり、 $\beta=s-2\geq0$ 、 $\bar u_N=\min\{\bar u,N\}$ とおく。有界領域 $B_2$ 上の $u\in H^1(B_2)$ に§E15.8 命題 3.2と§E15.8 系 3.3を適用する。 $u^+$ 、 $\bar u_N=k+\min\{u^+,N-k\}$ 、 $(\bar u-N)^+=(u-(N-k))^+$ は $H^1(B_2)$ に属し、ほとんど至る所

Du^+=\mathbf 1_{\{u>0\}}Du,\quad D\bar u_N=\mathbf 1_{\{0<u<N-k\}}Du,\quad D(\bar u-N)^+=\mathbf 1_{\{u>N-k\}}Du

である。また各実数 $t$ について $\{u=t\}$ 上でほとんど至る所 $Du=0$ である。 $\bar u\geq k$ であり、 $t^{\beta+1}$ と $t^{(\beta+2)/2}$ は $[k,N]$ 上で有界導関数をもつ $C^1$ 関数 $\R\to\R$ に延長されるので、§E15.8 系 3.3により

g=\bar u\,\bar u_N^{\beta}=\bar u_N^{\beta+1}+N^\beta(\bar u-N)^+,\qquad V=\bar u\,\bar u_N^{\beta/2}=\bar u_N^{(\beta+2)/2}+N^{\beta/2}(\bar u-N)^+

は $H^1(B_2)$ に属する。ほとんど至る所 $Dg=\Gamma Du$ 、 $DV=\tilde\Gamma Du$ であり、ここで

\Gamma=\bigl((\beta+1)\bar u^\beta\mathbf 1_{\{0<u<N-k\}}+N^\beta\mathbf 1_{\{u>N-k\}}\bigr),\quad\tilde\Gamma=\Bigl(\tfrac{\beta+2}2\bar u^{\beta/2}\mathbf 1_{\{0<u<N-k\}}+N^{\beta/2}\mathbf 1_{\{u>N-k\}}\Bigr)

である。 $\{0<u<N-k\}$ 上で $\tilde\Gamma^2=\frac{(\beta+2)^2}4\bar u^\beta\leq(\beta+1)^2\bar u^\beta=(\beta+1)\Gamma$ であり、 $\{u>N-k\}$ 上で $\tilde\Gamma^2=\Gamma$ であるから、 $\tilde\Gamma^2\leq(\beta+1)\Gamma$ が成り立つ。

$\psi=g-k^{\beta+1}$ とおく。 $g$ は $\bar u$ の増加関数であるから $0\leq\psi\leq g$ であり、 $\{u\leq0\}$ 上で $\psi=0$ かつ $\Gamma=0$ である。 $\{0<u<N-k\}$ 上で $\psi^2\leq\bar u^{2\beta+2}\leq V^2\Gamma$ であり、 $\{u>N-k\}$ 上で $\psi^2\leq N^{2\beta}\bar u^2=V^2\Gamma$ である。 $\varphi=\eta^2\psi$ は非負であり、 $B_2$ のコンパクト集合の外で零であって、§E15.8 命題 3.1により $\varphi\in H^1(B_2)$ である。 $D\varphi=2\eta\psi D\eta+\eta^2\Gamma Du$ であり、 $\{u\leq0\}$ 上で $\varphi=0$ 、 $D\varphi=0$ である。したがって $u$ が弱劣解であることから、 $\varphi$ が零でない集合上で $u=u^+$ に注意して、

\int\eta^2\Gamma A Du\cdot Du\,dx\leq-2\int\eta\psi A Du\cdot D\eta\,dx-\int(b\cdot Du)\eta^2\psi\,dx-\int cu^+\eta^2\psi\,dx+\int f\eta^2\psi\,dx

を得る。 $\{u\leq0\}$ 上で $\psi=0$ であり、 $\{u=N-k\}$ 上で $Du=0$ であるから、次の二つの不等式は、この二つの集合上では左辺が零であるから成り立つ。 $\{u>0\}\setminus\{u=N-k\}$ 上では $\Gamma>0$ であり、 $A Du\cdot Du\geq\lambda|Du|^2$ 、 $|A Du\cdot D\eta|\leq\Lambda|Du||D\eta|$ 、 $\|b\|_{L^\infty}\leq\kappa_0$ 、 $\psi^2\leq V^2\Gamma$ と Young の不等式により

2\Lambda\eta\psi|Du||D\eta|\leq\frac\lambda4\eta^2\Gamma|Du|^2+\frac{4\Lambda^2}\lambda|D\eta|^2V^2,\qquad\kappa_0\eta^2\psi|Du|\leq\frac\lambda4\eta^2\Gamma|Du|^2+\frac{\kappa_0^2}\lambda\eta^2V^2

である。 $\|c\|_{L^\infty}\leq\kappa_0$ 、 $u^+\leq\bar u$ 、 $\psi\leq\bar u\bar u_N^\beta$ より $|c|u^+\psi\leq\kappa_0V^2$ であり、 $\bar u\geq k$ より $|f|\psi\leq(|f|/k)V^2$ である。 $c_*=\max\{4\Lambda^2/\lambda,\kappa_0^2/\lambda+\kappa_0,1\}$ とおくと、

\frac\lambda2\int\eta^2\Gamma|Du|^2\,dx\leq c_*\Bigl(\int(|D\eta|^2+\eta^2)V^2\,dx+\int\frac{|f|}k\eta^2V^2\,dx\Bigr)

である。 $|DV|^2=\tilde\Gamma^2|Du|^2\leq(\beta+1)\Gamma|Du|^2$ であるから、 $M_1=\max\{1,2c_*/\lambda\}s$ は補題 3.1の仮定を $V$ について満たす。同補題により

\|\eta V\|_{L^{2\chi}}^2\leq C_2\max\{1,2c_*/\lambda\}^\nu s^\nu\int(|D\eta|^2+\eta^2)V^2\,dx

である。 $V^2\leq\bar u^s$ であり、 $N\to\infty$ のとき $V^2\uparrow\bar u^s$ であるから、Fatou の補題により結論を得る。 $C_3=C_2\max\{1,2c_*/\lambda\}^\nu$ ととればよい。▨

定理 3.4. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\kappa_0\geq0$ 、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ 、 $0<p<\infty$ とする。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q,p$ のみに依存する定数 $C$ が存在し、次が成り立つ。 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $(A,b,c)$ を $B_{2R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数、 $f\in L^q(B_{2R}(x_0))$ とし、 $u\in H^1(B_{2R}(x_0))$ を $Lu\leq f$ の弱劣解とする。このとき

\operatorname*{ess\,sup}_{B_R(x_0)}u^+\leq C\Bigl(R^{-n/p}\|u^+\|_{L^p(B_{2R}(x_0))}+R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R}(x_0))}\Bigr)

が成り立つ。

証明.補題 2.2 (2)により、 $u^+$ の $B_{2R}(x_0)$ 上の評価は $\tilde u^+$ の $B_2$ 上の評価に等しく、結論の両辺はこの変換で不変であるから、 $x_0=0$ 、 $R=1$ の場合を示せば足りる。以下の定数 $C_i$ は $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存し、 $p$ に依存するときは明示する。 $\chi,\nu$ は補題 1.2のものとし、 $d=\chi/(\chi-1)$ とおく。 $k>0$ を $\|f\|_{L^q(B_2)}\leq k$ を満たす実数とし、 $\bar u=u^++k$ とおく。 $\bar u\in L^2(B_2)$ である。

主張 3.4.1. $0<\rho<\sigma<2$ かつ $\sigma-\rho\leq1$ ならば、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_\rho}\bar u\leq C_4(\sigma-\rho)^{-d}\|\bar u\|_{L^2(B_\sigma)}$ である。

証明.補題 3.3により、 $w=\bar u$ は $T=[2,\infty)$ 、 $K=C_3$ について補題 3.2の仮定を満たす。ここで $s^\nu\leq(1+s)^\nu$ を用いた。 $\bar u\in L^2(B_2)$ であり、すべての $j\geq0$ について $2\chi^j\in T$ であるから、補題 3.2 (2)を $p=2$ に適用すると、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_\rho}\bar u\leq[C_{\mathrm{it}}(\sigma-\rho)^{-2d}]^{1/2}\|\bar u\|_{L^2(B_\sigma)}$ を得る。 $C_4=C_{\mathrm{it}}^{1/2}$ ととればよい。▨

$\Phi(\rho)=\operatorname*{ess\,sup}_{B_\rho}\bar u$ とおく。主張 3.4.1を $(\rho,\sigma)=(3/2,7/4)$ に適用すると $\Phi(3/2)<\infty$ であり、 $\Phi$ は $[1,3/2]$ 上で有界である。 $0<p<2$ とし、 $Y=\int_{B_2}\bar u^p\,dx$ とおく。 $\|\bar u\|_{L^2(B_\sigma)}^2\leq\Phi(\sigma)^{2-p}Y$ であるから、 $1\leq\rho<\sigma\leq3/2$ のとき主張 3.4.1より

\Phi(\rho)\leq\Phi(\sigma)^{1-p/2}\cdot C_4(\sigma-\rho)^{-d}Y^{1/2}\leq\frac12\Phi(\sigma)+c_p\bigl(C_4(\sigma-\rho)^{-d}Y^{1/2}\bigr)^{2/p}

である。後半は指数 $1/(1-p/2)$ と $2/p$ の Young の不等式による。§E15.35 補題 4.2を、同補題の $\theta,q,Q$ をそれぞれ $1/2,2d/p,0$ として $[1,3/2]$ 上の $\Phi$ に適用すると、 $\Phi(1)\leq C_5(p)Y^{1/p}$ を得る。 $p\geq2$ のときは主張 3.4.1を $(\rho,\sigma)=(1,3/2)$ に適用し、 $\|\bar u\|_{L^2(B_2)}\leq|B_2|^{1/2-1/p}\|\bar u\|_{L^p(B_2)}$ を用いて同じ形の評価を得る。

以上から、すべての $p>0$ について $\operatorname*{ess\,sup}_{B_1}\bar u\leq C_5(p)\|\bar u\|_{L^p(B_2)}$ である。 $\|\bar u\|_{L^p(B_2)}\leq c_p'(\|u^+\|_{L^p(B_2)}+k|B_2|^{1/p})$ であり、 $c_p'$ は $p$ のみに依存する。 $k$ は $\|f\|_{L^q(B_2)}$ 以上の任意の正数であったから、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_1}u^+\leq C(\|u^+\|_{L^p(B_2)}+k)$ で $k\downarrow\|f\|_{L^q(B_2)}$ とすれば（ $f=0$ の場合は $k\downarrow0$ とすれば）結論を得る。▨

補題 4.1 (Bombieri–Giusti の補題). $n\geq1$ を整数とし、 $B_r=B_r(0)\subseteq\R^n$ 、 $p_0>0$ 、 $C\geq1$ 、 $\gamma>0$ とする。可測関数 $v:B_1\to(0,\infty)$ と $0<p<\infty$ 、 $0<r\leq1$ に対して

\|v\|_{p,r}=\Bigl(\frac1{|B_r|}\int_{B_r}v^p\,dx\Bigr)^{1/p}

と書く。すべての $1/2\leq r<s\leq1$ と $0<p\leq p_0/2$ について $\|v\|_{p,s}<\infty$ であり、

\|v\|_{p_0,r}\leq\bigl[C(s-r)^{-\gamma}\bigr]^{1/p-1/p_0}\|v\|_{p,s}

が成り立つとする。さらに、すべての $t>0$ について

\bigl|\{x\in B_1:\log v(x)>t\}\bigr|\leq\frac{C|B_1|}t

が成り立つとする。このとき $\|v\|_{p_0,1/2}\leq A$ である。ここで $A$ は $n,p_0,C,\gamma$ のみに依存する。

証明. $1/2\leq r\leq3/4$ に対して $\Phi(r)=\max\{\log\|v\|_{p_0,r},1\}$ とおく。仮定で $r=3/4$ 、 $s=1$ 、 $p=p_0/2$ ととると $\|v\|_{p_0,3/4}<\infty$ であり、 $\|v\|_{p_0,r}^{p_0}\leq(|B_{3/4}|/|B_r|)\|v\|_{p_0,3/4}^{p_0}$ から $\Phi$ は有界である。

$1/2\leq r<s\leq3/4$ をとり、 $X=C(s-r)^{-\gamma}\geq1$ 、 $M=\Phi(s)$ 、 $a=4(\log X+\log2)$ とおく。 $\|v\|_{p_0,s}\leq e^M$ である。まず $M\geq2a/p_0$ の場合を考え、 $p=a/M\leq p_0/2$ とおき、 $\tau=2^nCe^a$ とする。 $v\leq e^\tau$ の部分と $v>e^\tau$ の部分に分け、後者に指数 $p_0/p$ とその共役指数の Hölder の不等式を用いると、

\|v\|_{p,s}^p\leq e^{p\tau}+\Bigl(\frac{|\{v>e^\tau\}\cap B_s|}{|B_s|}\Bigr)^{1-p/p_0}\|v\|_{p_0,s}^p

である。 $\{v>e^\tau\}=\{\log v>\tau\}$ と $|B_s|\geq2^{-n}|B_1|$ から、括弧の中は $2^nC/\tau=e^{-a}\leq1$ 以下である。 $1-p/p_0\geq1/2$ であるから、第二項は $e^{-a/2}e^{pM}=e^{pM/2}$ 以下である。したがって $\|v\|_{p,s}^p\leq2e^{p\max\{\tau,M/2\}}$ であり、 $1/p=M/a$ より

\log\|v\|_{p,s}\leq\frac{M\log2}a+\max\Bigl\{\tau,\frac M2\Bigr\}

を得る。仮定の不等式と $\log X\geq0$ 、 $1/p-1/p_0\leq1/p$ から、

\log\|v\|_{p_0,r}\leq\frac Ma\log X+\frac Ma\log2+\max\Bigl\{\tau,\frac M2\Bigr\}\leq\frac M4+\frac M2+\tau

となる。次に $M<2a/p_0$ の場合には、 $\|v\|_{p_0,r}^{p_0}\leq(|B_s|/|B_r|)\|v\|_{p_0,s}^{p_0}\leq2^ne^{p_0M}$ から $\log\|v\|_{p_0,r}\leq M+n\log2/p_0\leq\frac34M+\frac a{2p_0}+\frac{n\log2}{p_0}$ である。いずれの場合も $\tau\geq1$ に注意すると、

\Phi(r)\leq\frac34\Phi(s)+T,\qquad T=2^nCe^a+\frac{a+n}{p_0}\leq\Bigl(2^nC+\frac{n+1}{p_0}\Bigr)e^a

である。 $e^a=(2X)^4=16C^4(s-r)^{-4\gamma}$ であるから、 $c_1=16C^4(2^nC+(n+1)/p_0)$ について $\Phi(r)\leq\frac34\Phi(s)+c_1(s-r)^{-4\gamma}$ がすべての $1/2\leq r<s\leq3/4$ で成り立つ。§E15.35 補題 4.2を、同補題の $\theta,q,Q$ をそれぞれ $3/4,4\gamma,0$ として $[1/2,3/4]$ 上の $\Phi$ に適用すると、 $\Phi(1/2)\leq A'$ を得る。 $A'$ は $n,p_0,C,\gamma$ のみに依存する。 $A=e^{A'}$ ととればよい。▨

補題 5.1.補題 1.2の $n,q,\chi,\nu$ と、定義 2.1の $\lambda,\Lambda,\kappa_0$ を用いる。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C_6\geq1$ が存在し、次が成り立つ。 $B_2=B_2(0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数 $(A,b,c)$ 、 $f\in L^q(B_2)$ に対する $Lu\geq f$ の弱優解 $u\in H^1(B_2)$ が $u\geq0$ をほとんど至る所で満たすとし、 $\|f\|_{L^q(B_2)}\leq k$ を満たす $k>0$ をとって $\bar u=u+k$ と書く。 $B_2$ のあるコンパクト集合の外で零である Lipschitz 関数 $\eta:B_2\to[0,1]$ について、次が成り立つ。

すべての実数 $p\leq1/2$ 、 $p\ne0$ に対して $\displaystyle\|\eta\bar u^{p/2}\|_{L^{2\chi}(B_2)}^2\leq C_6(1+|p|)^\nu\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)\bar u^p\,dx$ である。
$\log\bar u\in H^1(B_2)$ であり、 $\displaystyle\int_{B_2}\eta^2|D\log\bar u|^2\,dx\leq C_6\Bigl(\int_{B_2}(|D\eta|^2+\eta^2)\,dx+\int_{B_2}\frac{|f|}k\eta^2\,dx\Bigr)$ である。

証明. $\bar u\geq k$ であるから、 $[k,\infty)$ 上で有界導関数をもつ $C^1$ 関数 $\Psi$ は、 $(-\infty,k)$ 上で一次関数として延長して、有界導関数をもつ $C^1(\R)$ 関数と看做すことができる。§E15.8 系 3.3により $\Psi(\bar u)\in H^1(B_2)$ であり $D\Psi(\bar u)=\Psi'(\bar u)Du$ である。 $\Psi=t^{p/2}$ 、 $t^{p-1}$ 、 $\log t$ はこの形である。

実数 $p\leq1/2$ をとり、 $t=1-p\geq1/2$ とおく。 $\varphi=\eta^2\bar u^{p-1}$ は非負で $H^1(B_2)$ に属し、 $B_2$ のコンパクト集合の外で零であり、 $D\varphi=2\eta\bar u^{p-1}D\eta-t\eta^2\bar u^{p-2}Du$ である。 $u=\bar u-k$ が弱優解であることから

t\int\eta^2\bar u^{p-2}A Du\cdot Du\,dx\leq2\int\eta\bar u^{p-1}A Du\cdot D\eta\,dx+\int(b\cdot Du)\eta^2\bar u^{p-1}\,dx+\int cu\,\eta^2\bar u^{p-1}\,dx-\int f\eta^2\bar u^{p-1}\,dx

を得る。 $a=\eta\bar u^{(p-2)/2}|Du|$ とおくと、Young の不等式により

2\Lambda\eta\bar u^{p-1}|Du||D\eta|=2\Lambda a\bar u^{p/2}|D\eta|\leq\frac{t\lambda}4a^2+\frac{4\Lambda^2}{t\lambda}\bar u^p|D\eta|^2,\qquad\kappa_0\eta^2\bar u^{p-1}|Du|\leq\frac{t\lambda}4a^2+\frac{\kappa_0^2}{t\lambda}\eta^2\bar u^p

である。さらに $\|c\|_{L^\infty}\leq\kappa_0$ と $0\leq u\leq\bar u$ より $|cu|\bar u^{p-1}\leq\kappa_0\bar u^p$ であり、 $\bar u\geq k$ から $|f|\bar u^{p-1}\leq(|f|/k)\bar u^p$ である。最初の不等式の左辺は $A Du\cdot Du\geq\lambda|Du|^2$ により $t\lambda\int a^2$ 以上であるから、右辺の二つの $a^2$ の項を左辺へ移すと $\frac{t\lambda}2\int a^2$ の評価を得る。 $1/t\leq2$ に注意して $c_*=\max\{8\Lambda^2/\lambda,2\kappa_0^2/\lambda+\kappa_0,1\}$ とおくと、

\int\eta^2\bar u^{p-2}|Du|^2\,dx\leq\frac{2c_*}{t\lambda}\Bigl(\int(|D\eta|^2+\eta^2)\bar u^p\,dx+\int\frac{|f|}k\eta^2\bar u^p\,dx\Bigr)

を得る。

主張 (2)を示す。 $p=0$ では $t=1$ であり、 $\bar u^{p}=1$ であるから、上の評価は $\int\eta^2|D\log\bar u|^2\leq(2c_*/\lambda)(\int(|D\eta|^2+\eta^2)+\int(|f|/k)\eta^2)$ である。

主張 (1)を示す。 $p\ne0$ とし、 $V=\bar u^{p/2}$ とおくと $|DV|^2=\frac{p^2}4\bar u^{p-2}|Du|^2$ である。 $p\leq1/2$ から $p^2/t\leq|p|$ であるから、 $V=\bar u^{p/2}$ についての上の評価より

\int\eta^2|DV|^2\,dx\leq\frac{|p|c_*}{2\lambda}\Bigl(\int(|D\eta|^2+\eta^2)V^2\,dx+\int\frac{|f|}k\eta^2V^2\,dx\Bigr)

である。 $M_1=\max\{1,c_*/(2\lambda)\}(1+|p|)$ は補題 3.1の仮定を満たすので、同補題により主張を得る。 $C_6=\max\{2c_*/\lambda,\,C_2\max\{1,c_*/(2\lambda)\}^\nu\}$ ととればよい。▨

補題 5.2.補題 5.1の仮定と記号をそのまま用い、 $\|\cdot\|_{p,r}$ は補題 4.1のとおりとする。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C_7\geq1$ 、 $\gamma_1>0$ が存在し、次が成り立つ。

$1/2\leq r<s\leq1$ と $0<p\leq1/4$ に対して $\displaystyle\|\bar u\|_{1/2,r}\leq\bigl[C_7(s-r)^{-\gamma_1}\bigr]^{1/p}\|\bar u\|_{p,s}$ である。
$1/4\leq r<s\leq1$ と $0<p\leq1$ に対して $\displaystyle\operatorname*{ess\,sup}_{B_r}\bar u^{-1}\leq\bigl[C_7(s-r)^{-\gamma_1}\bigr]^{1/p}\|\bar u^{-1}\|_{p,s}$ である。

証明.補題 5.1 (1)により、 $w=\bar u$ は $T=(0,1/2]$ 、 $K=C_6$ について補題 3.2の仮定を満たし、 $w=\bar u^{-1}$ は $T=(0,\infty)$ 、 $K=C_6$ について同じ仮定を満たす。後者では補題 5.1 (1)を指数 $-t$ で用いる。 $d=\chi/(\chi-1)$ とおく。

主張 (1)を示す。 $\bar p=1/2$ とし、 $J=\min\{j\geq1:\bar p\chi^{-j}\leq p\}$ 、 $p_0=\bar p\chi^{-J}$ とおく。 $p_0\leq p<\chi p_0$ であり、 $0\leq j<J$ で $p_0\chi^j\leq\bar p/\chi<1/2$ であり、 $p_0\chi^J=\bar p$ である。 $\bar u\in L^2(B_2)$ であるから $\int_{B_s}\bar u^{p_0}<\infty$ である。補題 3.2 (1)を $w=\bar u$ 、 $p_0$ 、 $J$ に適用すると、 $\|\bar u\|_{L^{1/2}(B_r)}\leq[C_{\mathrm{it}}(s-r)^{-2d}]^{1/p_0}\|\bar u\|_{L^{p_0}(B_s)}$ を得る。 $\|\bar u\|_{1/2,r}=|B_r|^{-2}\|\bar u\|_{L^{1/2}(B_r)}$ であり、 $p_0\leq p$ から $\|\bar u\|_{L^{p_0}(B_s)}=|B_s|^{1/p_0}\|\bar u\|_{p_0,s}\leq|B_s|^{1/p_0}\|\bar u\|_{p,s}$ である。 $1/2\leq r<s\leq1$ と $1/p_0\geq4$ により、 $c_n=\max\{1,|B_1|\}\max\{1,(2^n/|B_1|)^{1/2}\}$ について $|B_r|^{-2}|B_s|^{1/p_0}\leq(2^n/|B_1|)^2|B_1|^{1/p_0}\leq c_n^{1/p_0}$ である。 $C_{\mathrm{it}}\geq1$ と $s-r\leq1$ より $c_nC_{\mathrm{it}}(s-r)^{-2d}\geq1$ であり、 $1/p_0<\chi/p$ であるから、

\|\bar u\|_{1/2,r}\leq\bigl[c_nC_{\mathrm{it}}(s-r)^{-2d}\bigr]^{1/p_0}\|\bar u\|_{p,s}\leq\bigl[(c_nC_{\mathrm{it}})^\chi(s-r)^{-2d\chi}\bigr]^{1/p}\|\bar u\|_{p,s}

である。

主張 (2)を示す。 $\bar u\geq k$ より $\bar u^{-1}\leq k^{-1}$ は有界であるから、 $\int_{B_s}\bar u^{-p}<\infty$ である。 $T=(0,\infty)$ であるから $p\chi^j\in T$ がすべての $j\geq0$ で成り立ち、 $0<p\leq1$ 、 $1/4\leq r<s\leq1$ は補題 3.2の範囲にある。補題 3.2 (2)を $w=\bar u^{-1}$ に適用すると、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_r}\bar u^{-1}\leq[C_{\mathrm{it}}(s-r)^{-2d}]^{1/p}\|\bar u^{-1}\|_{L^p(B_s)}$ を得る。 $\|\bar u^{-1}\|_{L^p(B_s)}=|B_s|^{1/p}\|\bar u^{-1}\|_{p,s}\leq|B_1|^{1/p}\|\bar u^{-1}\|_{p,s}$ である。

以上から、 $C_7=\max\{(c_nC_{\mathrm{it}})^\chi,\,C_{\mathrm{it}}\max\{1,|B_1|\}\}$ 、 $\gamma_1=2d\chi$ とおくと、 $s-r\leq1$ より $(s-r)^{-2d}\leq(s-r)^{-\gamma_1}$ であるから二つの主張を得る。▨

補題 6.1. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\kappa_0\geq0$ 、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ とする。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C_8$ が存在し、次が成り立つ。 $B_2=B_2(0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数 $(A,b,c)$ 、 $f\in L^q(B_2)$ に対する $Lu\geq f$ の弱優解 $u\in H^1(B_2)$ が、ほとんど至る所 $u\geq0$ であるならば、

\Bigl(\frac1{|B_{1/2}|}\int_{B_{1/2}}u^{1/2}\,dx\Bigr)^2\leq C_8\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_{1/4}}u+\|f\|_{L^q(B_2)}\Bigr)

が成り立つ。

証明. $\varepsilon>0$ を任意にとり、 $k=\|f\|_{L^q(B_2)}+\varepsilon$ 、 $\bar u=u+k$ 、 $\ell=\log\bar u$ とおく。補題 5.1 (2)により $\ell\in H^1(B_2)$ である。 $\eta(x)=\min\{1,2(3/2-|x|)^+\}$ は $B_1$ 上で $1$ 、 $B_{3/2}$ の外で零であり、Lipschitz 定数 $2$ をもつ。補題 5.1 (2)と $\|f\|_{L^q}\leq k$ から

\int_{B_1}|D\ell|^2\,dx\leq C_6\bigl(4|B_{3/2}|+|B_{3/2}|+|B_{3/2}|^{1/q'}\bigr)=C_9^2

である。 $\ell_1=|B_1|^{-1}\int_{B_1}\ell\,dx$ とおく。§E15.11 定理 4.1を $p=2$ で球 $B_1$ に適用すると、 $\|\ell-\ell_1\|_{L^2(B_1)}\leq C_P\|D\ell\|_{L^2(B_1)}$ である。§E10.10 命題 1.3を $|\ell-\ell_1|$ と $t>0$ に適用すると、

t\,\bigl|\{x\in B_1:|\ell-\ell_1|\geq t\}\bigr|\leq\int_{B_1}|\ell-\ell_1|\,dx\leq|B_1|^{1/2}C_PC_9

である。 $C_{10}=\max\{1,C_PC_9|B_1|^{-1/2}\}$ とおくと、 $|\{|\ell-\ell_1|\geq t\}\cap B_1|\leq C_{10}|B_1|/t$ がすべての $t>0$ で成り立つ。

$w=e^{-\ell_1}\bar u$ とおき、 $C=\max\{C_7^2,C_{10}\}$ 、 $\gamma=2\gamma_1$ 、 $p_0=1/2$ として、 $v=w$ と $v=w^{-1}$ が補題 4.1の仮定を満たすことを確かめる。 $\log w=\ell-\ell_1$ であるから、 $\{\log w>t\}$ と $\{\log w^{-1}>t\}$ はともに $\{|\ell-\ell_1|\geq t\}$ に含まれ、測度の仮定が成り立つ。 $X=C_7(s-r)^{-\gamma_1}\geq1$ とおくと、 $p\leq1/4$ のとき $1/p\leq2(1/p-2)$ であるから $X^{1/p}\leq(X^2)^{1/p-2}$ である。補題 5.2 (1)の不等式は $\bar u$ について同次であるから、 $w$ は比較式 $\|w\|_{1/2,r}\leq[C(s-r)^{-\gamma}]^{1/p-2}\|w\|_{p,s}$ を満たす。 $\|w^{-1}\|_{1/2,r}\leq\operatorname*{ess\,sup}_{B_r}w^{-1}$ であるから、補題 5.2 (2)により $w^{-1}$ も同じ比較式を満たす。 $\|w\|_{p,s}\leq e^{-\ell_1}\|\bar u\|_{p,s}<\infty$ と $w^{-1}\leq e^{\ell_1}/k$ から、比較式の右辺は有限である。したがって補題 4.1により、 $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する $A$ について $\|w\|_{1/2,1/2}\leq A$ かつ $\|w^{-1}\|_{1/2,1/2}\leq A$ を得る。

補題 5.2 (2)を $(r,s,p)=(1/4,1/2,1/2)$ で $w^{-1}$ に適用すると、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_{1/4}}w^{-1}\leq(C_74^{\gamma_1})^2A$ である。したがって $\operatorname*{ess\,inf}_{B_{1/4}}\bar u=e^{\ell_1}/\operatorname*{ess\,sup}_{B_{1/4}}w^{-1}\geq e^{\ell_1}/((C_74^{\gamma_1})^2A)$ である。一方 $\|\bar u\|_{1/2,1/2}=e^{\ell_1}\|w\|_{1/2,1/2}\leq e^{\ell_1}A$ であるから、

\|\bar u\|_{1/2,1/2}\leq A^2(C_74^{\gamma_1})^2\operatorname*{ess\,inf}_{B_{1/4}}\bar u=A^2(C_74^{\gamma_1})^2\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_{1/4}}u+\|f\|_{L^q(B_2)}+\varepsilon\Bigr)

である。 $u\leq\bar u$ であり、 $\varepsilon>0$ は任意であるから、 $C_8=A^2(C_74^{\gamma_1})^2$ として主張を得る。▨

補題 6.2. $n\geq1$ 、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\kappa_0\geq0$ 、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ とする。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C_{11}$ が存在し、次が成り立つ。 $(A,b,c)$ を $B_{2R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数、 $f\in L^q(B_{2R}(x_0))$ とし、 $u\in H^1(B_{2R}(x_0))$ を $Lu\geq f$ の弱優解で、ほとんど至る所 $u\geq0$ であるものとする。 $y\in B_R(x_0)$ に対して $m(y)=\operatorname*{ess\,inf}_{B_{R/8}(y)}u$ 、 $F=R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R}(x_0))}$ と書く。このとき、すべての $y\in B_R(x_0)$ について次が成り立つ。

$\displaystyle\Bigl(\frac1{|B_{R/4}|}\int_{B_{R/4}(y)}u^{1/2}\,dx\Bigr)^2\leq C_{11}\bigl(m(y)+F\bigr)$ である。
$\displaystyle m(y)\leq C_{11}\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u+F\Bigr)$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $y\in B_R(x_0)$ に対して $B_R(y)\subseteq B_{2R}(x_0)$ である。補題 2.2 (1)により $u$ は $B_R(y)=B_{2(R/2)}(y)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数に関する弱優解である。補題 2.2 (2)を中心 $y$ 、半径 $R/2$ で適用して得る $\tilde u(x)=u(y+Rx/2)$ は $B_2$ 上の非負弱優解であり、補題 6.1により

\Bigl(\frac1{|B_{1/2}|}\int_{B_{1/2}}\tilde u^{1/2}\Bigr)^2\leq C_8\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_{1/4}}\tilde u+\|\tilde f\|_{L^q(B_2)}\Bigr)

である。左辺は $B_{R/4}(y)$ 上の平均であり、 $\operatorname*{ess\,inf}_{B_{1/4}}\tilde u=m(y)$ である。 $\|\tilde f\|_{L^q(B_2)}=(R/2)^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_R(y))}\leq F$ であるから、主張 (1)の評価は定数 $C_8$ で成り立つ。以下で定める $C_{11}$ は $C_{11}\geq C_8$ を満たすから、これは主張を与える。

主張 (2)を示す。 $y,y'\in B_R(x_0)$ が $|y-y'|\leq R/8$ を満たすとする。 $B_{R/8}(y')\subseteq B_{R/4}(y)$ であり、この二つの球の体積比は $2^{-n}$ であるから、

\Bigl(\frac1{|B_{R/4}|}\int_{B_{R/4}(y)}u^{1/2}\Bigr)^2\geq\Bigl(2^{-n}\frac1{|B_{R/8}|}\int_{B_{R/8}(y')}u^{1/2}\Bigr)^2\geq4^{-n}m(y')

である。主張 (1)の定数 $C_8$ の評価と合わせて $m(y')\leq4^nC_8(m(y)+F)$ を得る。 $a_1=4^nC_8$ とおく。任意の $y,y'\in B_R(x_0)$ に対し、 $y_j=y+\frac j{16}(y'-y)$ $(0\leq j\leq16)$ は $B_R(x_0)$ に属し、 $|y_{j+1}-y_j|<R/8$ である。 $\mu_j=m(y_j)+F$ とおくと、 $m\geq0$ より $F\leq\mu_j$ であるから $\mu_{j+1}\leq a_1\mu_j+F\leq(a_1+1)\mu_j$ であり、 $m(y')+F\leq(a_1+1)^{16}(m(y)+F)$ がすべての $y,y'$ で成り立つ。

$\overline{B_R(x_0)}$ はコンパクトであるから、有限個の $y_1',\ldots,y_N'\in B_R(x_0)$ により $B_R(x_0)\subseteq\bigcup_iB_{R/8}(y_i')$ となる。 $e_i=\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)\cap B_{R/8}(y_i')}u$ とおくと、 $\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u=\min_ie_i$ であり、 $B_R(x_0)\cap B_{R/8}(y_i')\subseteq B_{R/8}(y_i')$ より $m(y_i')\leq e_i$ である。最小を与える $i$ をとると、すべての $y$ について $m(y)+F\leq(a_1+1)^{16}(m(y_i')+F)\leq(a_1+1)^{16}(\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u+F)$ である。 $C_{11}=\max\{C_8,(a_1+1)^{16}\}$ とおく。 $a_1$ は $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存するから、 $C_{11}$ も同じ量のみに依存する。▨

定理 6.3 (弱 Harnack の不等式). $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\kappa_0\geq0$ 、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ とする。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C$ が存在し、次が成り立つ。 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $(A,b,c)$ を $B_{2R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数、 $f\in L^q(B_{2R}(x_0))$ とし、 $u\in H^1(B_{2R}(x_0))$ を $Lu\geq f$ の弱優解でほとんど至る所 $u\geq0$ であるものとする。このとき $p_0=1/2$ について

\Bigl(\frac1{|B_R|}\int_{B_R(x_0)}u^{p_0}\,dx\Bigr)^{1/p_0}\leq C\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u+R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R}(x_0))}\Bigr)

が成り立つ。

証明. $B_R(x_0)$ 内で互いの距離が $R/4$ 以上である点の族 $z_1,\ldots,z_N$ を極大にとる。球 $B_{R/8}(z_i)$ は互いに素で $B_{9R/8}(x_0)$ に含まれるから $N\leq9^n$ であり、極大性により $B_R(x_0)\subseteq\bigcup_iB_{R/4}(z_i)$ である。補題 6.2 (1)と補題 6.2 (2)により、各 $i$ について

\Bigl(\frac1{|B_{R/4}|}\int_{B_{R/4}(z_i)}u^{1/2}\Bigr)^2\leq C_{11}\bigl(m(z_i)+F\bigr)\leq C_{11}\Bigl(C_{11}\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u+(C_{11}+1)F\Bigr)

である。したがって $E=\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u+F$ とおくと、 $|B_{R/4}|=4^{-n}|B_R|$ より

\frac1{|B_R|}\int_{B_R(x_0)}u^{1/2}\leq N4^{-n}\bigl(2C_{11}^2E\bigr)^{1/2}

となる。 $N\leq9^n$ であるから、両辺を二乗して $C=9^{2n}16^{-n}\cdot2C_{11}^2$ ととればよい。▨

定理 7.1 (Harnack の不等式). $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\kappa_0\geq0$ 、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ とする。このとき $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C_H\geq1$ が存在し、次が成り立つ。 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $(A,b,c)$ を $B_{2R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数、 $f\in L^q(B_{2R}(x_0))$ とし、 $u\in H^1(B_{2R}(x_0))$ を $Lu=f$ の弱解でほとんど至る所 $u\geq0$ であるものとする。このとき

\operatorname*{ess\,sup}_{B_R(x_0)}u\leq C_H\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u+R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R}(x_0))}\Bigr)

が成り立つ。特に $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ のときは、 $\kappa_0=0$ 、 $q=n+1$ ととることができ、 $C_H=C_H(n,\lambda,\Lambda)$ である。

証明. $y\in B_R(x_0)$ とし、 $\rho=R/8$ とおく。 $u$ は弱劣解でもあるから、補題 2.2 (1)により $u$ は $B_{2\rho}(y)$ 上の弱劣解である。定理 3.4を $B_{2\rho}(y)$ と $p=1/2$ に適用すると、

\operatorname*{ess\,sup}_{B_\rho(y)}u\leq C\Bigl(\rho^{-2n}\|u\|_{L^{1/2}(B_{2\rho}(y))}+\rho^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2\rho}(y))}\Bigr)

である。 $\|u\|_{L^{1/2}(B_{2\rho}(y))}=(\int_{B_{R/4}(y)}u^{1/2})^2$ であり、 $|B_{R/4}|=2^n\rho^n|B_1|$ であるから、右辺第一項は $(2^n|B_1|)^2$ と補題 6.2 (1)の左辺の積である。補題 6.2 (1)と補題 6.2 (2)により、 $C'$ を $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数として、すべての $y\in B_R(x_0)$ について

\operatorname*{ess\,sup}_{B_{R/8}(y)}u\leq C'\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x_0)}u+F\Bigr)

を得る。有限個の $y_i'\in B_R(x_0)$ により $B_R(x_0)\subseteq\bigcup_iB_{R/8}(y_i')$ となるから、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_R(x_0)}u\leq\max_i\operatorname*{ess\,sup}_{B_{R/8}(y_i')}u$ であり、結論を得る。 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ のとき、これらの項は証明に現れず、 $q=n+1$ は $q>\max\{1,n/2\}$ を満たす。▨

補題 7.2. $E\subseteq\R^n$ を $0<|E|<\infty$ を満たす可測集合、 $g:E\to\R$ を二乗可積分な関数、 $a$ を実数とし、 $g_E=|E|^{-1}\int_Eg\,dx$ とおく。このとき

\int_E|g-a|^2\,dx=\int_E|g-g_E|^2\,dx+|E|\,|g_E-a|^2

が成り立つ。特に $\int_E|g-g_E|^2\,dx\leq\int_E|g-a|^2\,dx$ である。

証明. $|g-a|^2=|g-g_E|^2+2(g-g_E)(g_E-a)+|g_E-a|^2$ を $E$ 上で積分する。 $\int_E(g-g_E)\,dx=0$ であるから、第二項の積分は零であり、等式を得る。右辺の第二項は非負であるから、不等式を得る。▨

補題 7.3. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とする。 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ の場合の定理 7.1の定数を $C_H^0=C_H^0(n,\lambda,\Lambda)$ とし、 $\theta_0=(C_H^0-1)/(C_H^0+1)$ 、 $\alpha_0=\min\{1,\log_2(1/\theta_0)\}$ とおく。ただし $\theta_0=0$ のとき $\alpha_0=1$ とする。このとき $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する定数 $C_0\geq1$ が存在し、次が成り立つ。 $y\in\R^n$ 、 $s>0$ とし、 $(A,0,0)$ を $B_s(y)=B_{2(s/2)}(y)$ 上の $(\lambda,\Lambda,0)$ 型の係数とし、 $w\in H^1(B_s(y))$ を、 $q=n+1$ 、 $f=0$ とした $Lw=0$ の弱解とする。 $0<\rho\leq s$ に対して $w_\rho=|B_\rho|^{-1}\int_{B_\rho(y)}w\,dx$ と書く。このとき、すべての $0<\rho\leq s$ について

\int_{B_\rho(y)}|w-w_\rho|^2\,dx\leq C_0\Bigl(\frac\rho s\Bigr)^{n+2\alpha_0}\int_{B_s(y)}|w-w_s|^2\,dx

が成り立つ。

証明. $W=w-w_s$ とおく。 $b=0$ 、 $c=0$ であるから、すべての試験関数 $\varphi$ について $\mathcal L(W,\varphi)=\mathcal L(w,\varphi)=0$ であり、 $W$ と $-W$ はそれぞれ $LW=0$ と $L(-W)=0$ の弱解である。定理 3.4を $\kappa_0=0$ 、 $q=n+1$ 、 $p=2$ 、半径 $s/2$ で $W$ と $-W$ に適用すると、 $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する定数 $C_1^0$ について

\operatorname*{ess\,sup}_{B_{s/2}(y)}|W|\leq C_1^0(s/2)^{-n/2}\|W\|_{L^2(B_s(y))}

を得る。

$0<t\leq s/2$ に対して $M_t=\operatorname*{ess\,sup}_{B_t(y)}W$ 、 $m_t=\operatorname*{ess\,inf}_{B_t(y)}W$ 、 $\omega_t=M_t-m_t$ とおく。上の評価と $t\leq s/2$ により $M_t$ と $m_t$ は有限であり、 $\omega_t$ は $t$ について非減少である。補題 2.2 (1)により、 $W$ の $B_t(y)=B_{2(t/2)}(y)$ への制限は $LW=0$ の弱解であり、 $b=0$ 、 $c=0$ であるから、 $M_t-W$ と $W-m_t$ もそれぞれ $B_t(y)$ 上の $L(M_t-W)=0$ と $L(W-m_t)=0$ の弱解である。この二つの関数は $B_t(y)$ 上でほとんど至る所非負であるから、定理 7.1を $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ 、半径 $t/2$ で適用すると、

M_t-m_{t/2}\leq C_H^0(M_t-M_{t/2}),\qquad M_{t/2}-m_t\leq C_H^0(m_{t/2}-m_t)

である。辺々加えると $\omega_t+\omega_{t/2}\leq C_H^0(\omega_t-\omega_{t/2})$ であり、 $\omega_{t/2}\leq\theta_0\omega_t$ を得る。 $\alpha_0$ の定め方から $\theta_0\leq2^{-\alpha_0}$ である。

$0<\rho\leq s/2$ とし、 $(s/2)2^{-j-1}<\rho\leq(s/2)2^{-j}$ を満たす整数 $j\geq0$ をとる。 $\omega_{t/2}\leq\theta_0\omega_t$ を $t=s/2,\ldots,(s/2)2^{-j+1}$ に用いると、 $\omega_\rho\leq\omega_{(s/2)2^{-j}}\leq\theta_0^j\omega_{s/2}\leq2^{-\alpha_0j}\omega_{s/2}$ であり、 $2^{-j}<4\rho/s$ から $\omega_\rho\leq(4\rho/s)^{\alpha_0}\omega_{s/2}$ である。また $\omega_{s/2}\leq2\operatorname*{ess\,sup}_{B_{s/2}(y)}|W|$ である。 $W$ の $B_\rho(y)$ 上の平均は $w_\rho-w_s$ であり、 $w-w_\rho$ はこの平均を $W$ から引いた関数であるから、補題 7.2を $E=B_\rho(y)$ 、 $g=W$ 、 $a=m_\rho$ に用い、 $B_\rho(y)$ 上でほとんど至る所 $0\leq W-m_\rho\leq\omega_\rho$ であることを用いると、

\int_{B_\rho(y)}|w-w_\rho|^2\,dx\leq|B_\rho|\,\omega_\rho^2\leq|B_1|\rho^n\Bigl(\frac{4\rho}s\Bigr)^{2\alpha_0}4(C_1^0)^2\Bigl(\frac s2\Bigr)^{-n}\|W\|_{L^2(B_s(y))}^2\leq2^{n+6}|B_1|(C_1^0)^2\Bigl(\frac\rho s\Bigr)^{n+2\alpha_0}\int_{B_s(y)}|w-w_s|^2\,dx

を得る。最後の不等式では $\alpha_0\leq1$ を用いた。 $s/2<\rho\leq s$ のとき、補題 7.2を $E=B_\rho(y)$ 、 $g=w$ 、 $a=w_s$ に用いると $\int_{B_\rho(y)}|w-w_\rho|^2\leq\int_{B_\rho(y)}|w-w_s|^2\leq\int_{B_s(y)}|w-w_s|^2$ であり、 $(\rho/s)^{n+2\alpha_0}\geq2^{-n-2}$ である。 $C_0=\max\{2^{n+6}|B_1|(C_1^0)^2,2^{n+2}\}$ ととればよい。▨

系 7.4 (De Giorgi–Nash–Moser の定理). $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\kappa_0\geq0$ 、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ とし、指数 $\alpha_0=\alpha_0(n,\lambda,\Lambda)$ は補題 7.3のものを用いる。 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $(A,b,c)$ を $B_{4R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数、 $f\in L^q(B_{4R}(x_0))$ とし、 $u\in H^1(B_{4R}(x_0))$ を $Lu=f$ の弱解とする。 $\mathcal K=R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R}(x_0))}+R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}$ とおく。このとき、ほとんど至る所 $\tilde u=u$ を満たす連続関数 $\tilde u:B_R(x_0)\to\R$ が存在し、次が成り立つ。

$b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ ならば、 $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する定数 $C$ が存在して、 $x,y\in B_R(x_0)$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C(|x-y|/R)^{\alpha_0}R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R}(x_0))}$ が成り立つ。
$0<\alpha<\min\{\alpha_0,2-n/q,1\}$ ならば、 $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q,\alpha$ のみに依存する定数 $C$ が存在して、 $x,y\in B_R(x_0)$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C(|x-y|/R)^\alpha\mathcal K$ が成り立つ。

証明. $B_\rho(x)\subseteq B_{4R}(x_0)$ を満たす $x\in\R^n$ と $\rho>0$ について $u_{x,\rho}=|B_\rho|^{-1}\int_{B_\rho(x)}u\,dx$ と書く。 $x\in\overline{B_R(x_0)}$ と $0<\rho\leq R/2$ に対して

\Phi_x(\rho)=\int_{B_\rho(x)}|u-u_{x,\rho}|^2\,dx

とおく。 $0<\rho<\rho'\leq R/2$ ならば、補題 7.2を $E=B_\rho(x)$ 、 $g=u$ 、 $a=u_{x,\rho'}$ に用いて $\Phi_x(\rho)\leq\int_{B_\rho(x)}|u-u_{x,\rho'}|^2\leq\Phi_x(\rho')$ を得るから、 $\Phi_x$ は非減少である。

主張 7.4.1. $0<\beta\leq1$ 、 $Q\geq0$ とし、すべての $x\in\overline{B_R(x_0)}$ と $0<\rho\leq R/2$ について $\Phi_x(\rho)\leq Q^2R^{-2\beta}\rho^{n+2\beta}$ が成り立つとする。このとき、 $n,\beta$ のみに依存する定数 $C_{12}$ と、ほとんど至る所 $u$ に等しい連続関数 $\tilde u:B_R(x_0)\to\R$ が存在し、 $x,y\in B_R(x_0)$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C_{12}\bigl(Q+R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_R(x_0))}\bigr)(|x-y|/R)^\beta$ が成り立つ。

証明. $z\in B_4$ に対して $\hat u(z)=u(x_0+Rz)$ とおく。 $\zeta\in\overline{B_1}$ 、 $0<t\leq1$ をとり、 $\zeta\ne0$ のとき $e=\zeta/|\zeta|$ 、 $\zeta=0$ のとき $e$ を任意の単位ベクトルとして、 $\zeta'=\zeta-(t/2)e$ とおく。 $|\zeta'|=\bigl||\zeta|-t/2\bigr|$ であり、 $|\zeta|\leq1$ と $t\leq1$ から $|\zeta'|\leq1-t/2$ である。したがって $B_{t/2}(\zeta')\subseteq B_t(\zeta)\cap B_1$ であり、 $|B_t(\zeta)\cap B_1|\geq2^{-n}|B_1|t^n$ である。

$\zeta\in\overline{B_1}$ 、 $0<t\leq1/2$ とし、 $E=B_t(\zeta)\cap B_1$ 、 $x=x_0+R\zeta$ とおく。 $x\in\overline{B_R(x_0)}$ であり、変数変換 $z\mapsto x_0+Rz$ により $\hat u$ の $B_t(\zeta)$ 上の平均は $u_{x,Rt}$ である。補題 7.2を $g=\hat u$ 、 $a=u_{x,Rt}$ に用いると、

\int_E|\hat u-\hat u_E|^2\,dz\leq\int_{B_t(\zeta)}|\hat u-u_{x,Rt}|^2\,dz=R^{-n}\Phi_x(Rt)\leq Q^2t^{n+2\beta}

である。この評価はすべての $\zeta\in\overline{B_1}$ と $0<t\leq1/2$ で成り立つから、§E15.35 定理 5.1の $\mathcal M_\beta$ を $\Omega=B_1$ 、 $r_0=1/2$ でとると、 $\mathcal M_\beta(\hat u|_{B_1})\leq Q$ である。§E15.35 定理 5.1を $\Omega=B_1$ 、 $\kappa=2^{-n}|B_1|$ 、 $r_0=1/2$ 、 $\alpha=\beta$ と $\hat u|_{B_1}\in L^2(B_1)$ に適用すると、 $\hat u|_{B_1}$ は $C^{0,\beta}(\overline{B_1})$ の代表 $\hat v$ をもち、 $n,\beta$ のみに依存する定数 $C_{12}$ について $\|\hat v\|_{C^{0,\beta}(\overline{B_1})}\leq C_{12}(\|\hat u\|_{L^2(B_1)}+Q)$ が成り立つ。 $\|\hat u\|_{L^2(B_1)}=R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_R(x_0))}$ である。 $x\in B_R(x_0)$ に対して $\tilde u(x)=\hat v((x-x_0)/R)$ とおくと、 $\tilde u$ は連続であり、ほとんど至る所 $u$ に等しく、 $x,y\in B_R(x_0)$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq[\hat v]_{\beta;\overline{B_1}}R^{-\beta}|x-y|^\beta$ である。 $[\hat v]_{\beta;\overline{B_1}}\leq\|\hat v\|_{C^{0,\beta}(\overline{B_1})}$ から主張を得る。▨

$B_{4R}(x_0)$ のあるコンパクト集合の外で零である $\varphi\in H^1(B_{4R}(x_0))$ について、§E15.8 命題 3.2により $\varphi^+$ と $(-\varphi)^+$ は同じコンパクト集合の外で零である非負の $H^1$ 関数であるから、 $\varphi=\varphi^+-(-\varphi)^+$ と弱解の定義から $\mathcal L(u,\varphi)=\int f\varphi\,dx$ である。

主張 (1)を示す。 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ とし、 $x\in\overline{B_R(x_0)}$ をとる。 $(A,0,0)$ は $(\lambda,\Lambda,0)$ 型の係数であり、 $B_{2R}(x)\subseteq B_{4R}(x_0)$ であるから、補題 2.2 (1)により $u$ の $B_{2R}(x)$ への制限は $q=n+1$ 、 $f=0$ とした $Lu=0$ の弱解である。補題 7.3を $y=x$ 、 $s=2R$ で適用し、補題 7.2を $E=B_{2R}(x)$ 、 $g=u$ 、 $a=0$ に用いると、 $0<\rho\leq R/2$ について

\Phi_x(\rho)\leq C_0\Bigl(\frac\rho{2R}\Bigr)^{n+2\alpha_0}\int_{B_{2R}(x)}|u|^2\,dx\leq C_0R^{-n}\|u\|_{L^2(B_{4R}(x_0))}^2R^{-2\alpha_0}\rho^{n+2\alpha_0}

である。主張 7.4.1を $\beta=\alpha_0$ 、 $Q=C_0^{1/2}R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R}(x_0))}$ で適用すると、 $C=C_{12}(C_0^{1/2}+1)$ について主張を得る。 $C_0$ は $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存し、 $C_{12}$ は $n$ と $\alpha_0$ のみに依存するから、 $C$ は $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する。

主張 (2)を示す。補題 1.2の $q'=q/(q-1)$ 、 $\chi$ 、 $C_S$ を用いる。 $\delta=2-n/q>0$ とおき、 $0<\alpha<\min\{\alpha_0,\delta,1\}$ をとる。以下の定数 $C_{13},C_{14},C_{15}$ は $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する。 $B_{4R}(x_0)=B_{2\cdot2R}(x_0)$ 上の係数の型から、 $\|b\|_{L^\infty}\leq\kappa_0/R$ 、 $\|c\|_{L^\infty}\leq\kappa_0/R^2$ である。 $K_\infty=\operatorname*{ess\,sup}_{B_{2R}(x_0)}|u|$ とおく。定理 3.4を $u$ と $-u$ に、球 $B_{4R}(x_0)$ と $p=2$ で適用する。 $-u$ は外力 $-f$ に対する弱解であり、 $(2R)^{-n/2}\leq R^{-n/2}$ 、 $(2R)^\delta\leq4R^\delta$ であるから、 $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C_1$ について $K_\infty\leq C_1\mathcal K$ である。

$x\in\overline{B_R(x_0)}$ と $0<r\leq R/2$ をとる。 $B_{2r}(x)\subseteq B_{2R}(x_0)$ であり、 $\overline{B_{2r}(x)}\subseteq B_{4R}(x_0)$ である。 $\eta(z)=\min\{1,(2r-|z-x|)^+/r\}$ は $B_r(x)$ 上で $1$ 、 $B_{2r}(x)$ の外で零であり、Lipschitz 定数 $1/r$ をもつ。§E15.8 命題 2.3と§E15.8 命題 3.1により $\eta^2u\in H^1(B_{4R}(x_0))$ であり、 $D(\eta^2u)=\eta^2Du+2\eta uD\eta$ である。 $\eta^2u$ はコンパクト集合 $\overline{B_{2r}(x)}$ の外で零であるから、 $\mathcal L(u,\eta^2u)=\int f\eta^2u\,dx$ より

\int\eta^2A Du\cdot Du\,dx=-2\int\eta uA Du\cdot D\eta\,dx-\int(b\cdot Du)\eta^2u\,dx-\int c\eta^2u^2\,dx+\int f\eta^2u\,dx

である。Young の不等式により

2\Lambda\eta|u||Du||D\eta|\leq\frac\lambda4\eta^2|Du|^2+\frac{4\Lambda^2}\lambda u^2|D\eta|^2,\qquad\|b\|_{L^\infty}\eta^2|u||Du|\leq\frac\lambda4\eta^2|Du|^2+\frac{\|b\|_{L^\infty}^2}\lambda\eta^2u^2

である。 $B_{2r}(x)$ 上でほとんど至る所 $|u|\leq K_\infty$ であり、 $|D\eta|\leq1/r$ 、 $\|b\|_{L^\infty}^2\leq\kappa_0^2r^{-2}$ 、 $\|c\|_{L^\infty}\leq\kappa_0r^{-2}$ である。Hölder の不等式により $\int_{B_{2r}(x)}|f|\,dx\leq(2^n|B_1|r^n)^{1/q'}\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}$ であり、 $r^{n/q'}=r^{n-2}r^\delta\leq r^{n-2}R^\delta$ である。 $A Du\cdot Du\geq\lambda|Du|^2$ により左辺は $\lambda\int\eta^2|Du|^2$ 以上であり、右辺の二つの $\frac\lambda4\eta^2|Du|^2$ の項を左辺へ移すと、

\frac\lambda2\int_{B_r(x)}|Du|^2\,dx\leq2^n\max\{1,|B_1|\}\Bigl(\Bigl(\frac{4\Lambda^2}\lambda+\frac{\kappa_0^2}\lambda+\kappa_0\Bigr)K_\infty^2+K_\infty R^\delta\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}\Bigr)r^{n-2}

を得る。 $K_\infty\leq C_1\mathcal K$ と $R^\delta\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}\leq\mathcal K$ から、 $\int_{B_r(x)}|Du|^2\,dx\leq C_{13}r^{n-2}\mathcal K^2$ である。

実数値の $h\in H^1_0(B_r(x))$ をとり、 $z\in B_1$ に対して $h_1(z)=h(x+rz)$ とおく。 $h$ を近似する $C_c^\infty(B_r(x))$ の列を変数変換で移すと $h_1\in H^1_0(B_1)$ であり、 $Dh_1(z)=r(Dh)(x+rz)$ である。§E15.8 定理 5.4を $B_1$ と $p=2$ に適用すると、 $n$ のみに依存する定数 $C_P$ について $\|h_1\|_{L^2(B_1)}\leq C_P\|Dh_1\|_{L^2(B_1)}$ である。§E15.8 命題 5.2により $h_1$ の零延長は $H^1(\R^n)$ に属し、その $B_2$ への制限はコンパクト集合 $\overline{B_1}$ の外で零であるから、補題 1.2 (1)により $\|h_1\|_{L^{2\chi}(B_1)}^2\leq C_S(1+C_P^2)\|Dh_1\|_{L^2(B_1)}^2$ である。補題 1.2により $q'<\chi<2\chi$ であるから、Hölder の不等式により $\|h_1\|_{L^{q'}(B_1)}\leq|B_1|^{1/q'-1/(2\chi)}\|h_1\|_{L^{2\chi}(B_1)}$ である。 $0<p<\infty$ について $\|h\|_{L^p(B_r(x))}=r^{n/p}\|h_1\|_{L^p(B_1)}$ であり、 $\|Dh_1\|_{L^2(B_1)}=r^{1-n/2}\|Dh\|_{L^2(B_r(x))}$ であり、 $n/q'+1-n/2=n/2-1+\delta$ であるから、

\|h\|_{L^2(B_r(x))}\leq C_{14}r\|Dh\|_{L^2(B_r(x))},\qquad\|h\|_{L^{q'}(B_r(x))}\leq C_{14}r^{n/2-1+\delta}\|Dh\|_{L^2(B_r(x))}

である。ここで $C_{14}=\max\{C_P,|B_1|^{1/q'-1/(2\chi)}(C_S(1+C_P^2))^{1/2}\}$ とおいた。

§E15.16 定義 1.1の $\Omega$ を $B_r(x)$ 、 $\Gamma_D$ を $\partial B_r(x)$ とすると、§E15.16 命題 1.2により $V=H^1_0(B_r(x);\C)$ である。§E15.16 定義 1.3の形式として、低階の係数をすべて零とした $a(v,\varphi)=\int_{B_r(x)}A Dv\cdot\overline{D\varphi}\,dx$ をとる。 $v\in V$ について、ほとんど至る所 $Dv=\xi+i\zeta$ （ $\xi,\zeta$ は実ベクトル）と書くと、 $A$ が実数値であるから $\Re(A Dv\cdot\overline{Dv})=\xi\cdot A\xi+\zeta\cdot A\zeta\geq\lambda|Dv|^2$ である。§E15.8 定理 5.4を $v$ の実部と虚部に適用すると、 $B_r(x)$ に依存する定数 $C_r$ について $\|v\|_{L^2}\leq C_r\|Dv\|_{L^2}$ であるから、 $\Re a(v,v)\geq\lambda(1+C_r^2)^{-1}\|v\|_{H^1}^2$ である。§E15.16 定理 2.2を $F=0$ 、 $G=u|_{B_r(x)}$ に適用すると、 $w-u\in V$ かつすべての $\varphi\in V$ について $a(w,\varphi)=0$ を満たす $w\in H^1(B_r(x);\C)$ がただ一つ存在する。 $A$ と $u$ は実数値であるから、 $\overline w-u=\overline{w-u}\in V$ であり、すべての $\varphi\in V$ について $a(\overline w,\varphi)=\overline{a(w,\overline\varphi)}=0$ である。一意性により $\overline w=w$ であるから、 $w$ は実数値である。したがって $h=u-w$ は $V$ の実数値の元であり、近似列の実部をとると実数値の $H^1_0(B_r(x))$ の元である。また、すべての実数値の $\varphi\in H^1_0(B_r(x))$ について $\int_{B_r(x)}A Dw\cdot D\varphi\,dx=0$ である。

$B_r(x)$ のあるコンパクト集合の外で零である $\varphi\in H^1(B_r(x))$ は、§E15.8 命題 5.3により $H^1_0(B_r(x))$ に属する。したがって $w$ は、 $B_r(x)=B_{2(r/2)}(x)$ 上の $(\lambda,\Lambda,0)$ 型の係数 $(A,0,0)$ に関して $q=n+1$ 、 $f=0$ とした $Lw=0$ の弱解である。 $w$ の $B_\rho(x)$ 上の平均を $w_{x,\rho}$ と書くと、補題 7.3を $y=x$ 、 $s=r$ で適用して、 $0<\rho\leq r$ について

\int_{B_\rho(x)}|w-w_{x,\rho}|^2\,dx\leq C_0\Bigl(\frac\rho r\Bigr)^{n+2\alpha_0}\int_{B_r(x)}|w-w_{x,r}|^2\,dx

を得る。

実数値の $\varphi\in H^1_0(B_r(x))$ をとる。§E15.8 命題 5.2により $\varphi$ の零延長は $H^1(B_{4R}(x_0))$ に属し、その弱微分は $D\varphi$ の零延長であり、零延長はコンパクト集合 $\overline{B_r(x)}$ の外で零である。 $\mathcal L(u,\varphi)=\int f\varphi\,dx$ から $\int_{B_r(x)}A Dw\cdot D\varphi\,dx=0$ を引くと、

\int_{B_r(x)}A Dh\cdot D\varphi\,dx=\int_{B_r(x)}\bigl(f-b\cdot Du-cu\bigr)\varphi\,dx

である。 $\varphi=h$ とおく。 $A Dh\cdot Dh\geq\lambda|Dh|^2$ 、Hölder の不等式、 $B_r(x)$ 上でほとんど至る所 $|u|\leq K_\infty$ であること、 $|B_r|^{1/2}=|B_1|^{1/2}r^{n/2}$ と上の $\|h\|_{L^2(B_r(x))}$ と $\|h\|_{L^{q'}(B_r(x))}$ の評価を用いると、ノルムを $B_r(x)$ 上でとって

\lambda\|Dh\|_{L^2}^2\leq C_{14}\|Dh\|_{L^2}\Bigl(r^{n/2-1+\delta}\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}+\frac{\kappa_0}Rr\|Du\|_{L^2}+\frac{\kappa_0}{R^2}K_\infty|B_1|^{1/2}r^{n/2+1}\Bigr)

である。 $\|Du\|_{L^2(B_r(x))}\leq C_{13}^{1/2}r^{n/2-1}\mathcal K$ 、 $K_\infty\leq C_1\mathcal K$ 、 $R^\delta\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}\leq\mathcal K$ から、右辺の括弧の中は

r^{n/2-1}\Bigl(\Bigl(\frac rR\Bigr)^\delta+\kappa_0C_{13}^{1/2}\frac rR+\kappa_0C_1|B_1|^{1/2}\Bigl(\frac rR\Bigr)^2\Bigr)\mathcal K

以下である。 $0<r/R\leq1$ と $\alpha<\delta$ 、 $\alpha<1$ から、三つの冪 $(r/R)^\delta$ 、 $r/R$ 、 $(r/R)^2$ はいずれも $(r/R)^\alpha$ 以下である。 $\|Dh\|_{L^2}>0$ のときは両辺を $\|Dh\|_{L^2}$ で割り、 $\|h\|_{L^2}\leq C_{14}r\|Dh\|_{L^2}$ を用いる。 $\|Dh\|_{L^2}=0$ のときは $\|h\|_{L^2}=0$ である。いずれの場合も

\int_{B_r(x)}|h|^2\,dx\leq C_{15}R^{-2\alpha}\mathcal K^2r^{n+2\alpha},\qquad C_{15}=\Bigl(\frac{C_{14}^2}\lambda\bigl(1+\kappa_0C_{13}^{1/2}+\kappa_0C_1|B_1|^{1/2}\bigr)\Bigr)^2

を得る。

$B_r(x)$ 上で $u=w+h$ である。 $0<\rho\leq r$ とする。補題 7.2を $E=B_\rho(x)$ 、 $g=u$ 、 $a=w_{x,\rho}$ に用い、また $E=B_r(x)$ 、 $g=w$ 、 $a=u_{x,r}$ に用いると、

\Phi_x(\rho)\leq2\int_{B_\rho(x)}|w-w_{x,\rho}|^2\,dx+2\int_{B_r(x)}|h|^2\,dx,\qquad\int_{B_r(x)}|w-w_{x,r}|^2\,dx\leq2\Phi_x(r)+2\int_{B_r(x)}|h|^2\,dx

である。この二つの不等式と、上で得た $w$ の評価と、 $(\rho/r)^{n+2\alpha_0}\leq1$ から、すべての $0<\rho\leq r\leq R/2$ について

\Phi_x(\rho)\leq4C_0\Bigl(\frac\rho r\Bigr)^{n+2\alpha_0}\Phi_x(r)+(4C_0+2)C_{15}R^{-2\alpha}\mathcal K^2r^{n+2\alpha}

が成り立つ。

$\Phi_x$ は $(0,R/2]$ 上の非負の非減少関数である。§E15.35 補題 4.1を、同補題の $R$ を $R/2$ 、二つの定数を $4C_0$ と $(4C_0+2)C_{15}R^{-2\alpha}\mathcal K^2$ 、二つの指数を $n+2\alpha_0$ と $n+2\alpha$ として適用する。同補題が二つの指数に要求する大小関係 $n+2\alpha<n+2\alpha_0$ は $\alpha<\alpha_0$ であり、 $4C_0$ と $n+2\alpha_0$ は $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存し、 $\kappa_0$ と $q$ は定数 $(4C_0+2)C_{15}R^{-2\alpha}\mathcal K^2$ にだけ現れる。したがって、 $n,\lambda,\Lambda,\alpha$ のみに依存する同補題の定数 $C_{16}$ について、同補題の結論で $r=R/2$ とすると、 $0<\rho\leq R/2$ について

\Phi_x(\rho)\leq C_{16}\Bigl(\frac{2\rho}R\Bigr)^{n+2\alpha}\Phi_x(R/2)+C_{16}(4C_0+2)C_{15}R^{-2\alpha}\mathcal K^2\rho^{n+2\alpha}

である。補題 7.2を $E=B_{R/2}(x)$ 、 $g=u$ 、 $a=0$ に用いると $\Phi_x(R/2)\leq|B_1|(R/2)^nK_\infty^2\leq|B_1|R^nC_1^2\mathcal K^2$ であり、 $(2\rho/R)^{n+2\alpha}R^n\leq2^{n+2}R^{-2\alpha}\rho^{n+2\alpha}$ であるから、

\Phi_x(\rho)\leq C_{17}R^{-2\alpha}\mathcal K^2\rho^{n+2\alpha},\qquad C_{17}=C_{16}\bigl(2^{n+2}|B_1|C_1^2+(4C_0+2)C_{15}\bigr)

が、すべての $x\in\overline{B_R(x_0)}$ と $0<\rho\leq R/2$ で成り立つ。 $C_{17}$ は $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q,\alpha$ のみに依存する。主張 7.4.1を $\beta=\alpha$ 、 $Q=C_{17}^{1/2}\mathcal K$ で適用し、 $R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_R(x_0))}\leq\mathcal K$ を用いると、 $C=C_{12}(C_{17}^{1/2}+1)$ について主張を得る。

$B_R(x_0)$ 上の連続関数で $u$ とほとんど至る所等しいものは、高々一つである。実際、そのような二つの連続関数の差がある点で零でなければ、その差はその点のある近傍で零でなく、その近傍の測度は正である。主張 (2)の証明は $\alpha=\min\{\alpha_0,\delta\}/2$ について仮定のみから連続な代表を与えるから、連続な代表 $\tilde u$ は存在し、主張 (1)と主張 (2)の評価はこの $\tilde u$ について成り立つ。▨

注意 7.5. $q=\infty$ の場合の外力を含む評価は、 $q=n+1$ の場合から従う。実際、 $\rho'\in\{2R,4R\}$ について、 $f\in L^\infty(B_{\rho'}(x_0))$ ならば Hölder の不等式により $R^{2-n/(n+1)}\|f\|_{L^{n+1}(B_{\rho'}(x_0))}\leq(4^n|B_1|)^{1/(n+1)}R^2\|f\|_{L^\infty(B_{\rho'}(x_0))}$ である。したがって、定理 3.4、定理 6.3、定理 7.1、系 7.4の外力を含む評価は、 $q=\infty$ では項 $R^{2-n/q}\|f\|_{L^q}$ を $R^2\|f\|_{L^\infty}$ で置き換えた形で成り立つ。系 7.4の指数の範囲 $\alpha<\min\{\alpha_0,2-n/q,1\}$ は、 $q=n+1$ で $2-n/q>1\geq\alpha_0$ であるから $\alpha<\alpha_0$ となる。

定義 8.1 (領域上の弱劣解・弱優解・弱解). $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合、 $A:\Omega\to\R^{n\times n}$ を可測、 $b\in L^\infty(\Omega;\R^n)$ 、 $c\in L^\infty(\Omega;\R)$ とし、ある $0<\lambda\leq\Lambda$ について、ほとんどすべての $x\in\Omega$ とすべての $\xi\in\R^n$ で $\xi\cdot A(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2$ かつ $|A(x)\xi|\leq\Lambda|\xi|$ とする。 $u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega;\R)$ の、 $\overline{B_{2R}(x_0)}\subseteq\Omega$ を満たす各球への制限が、 $\kappa_0=R\|b\|_{L^\infty(\Omega)}+R^2\|c\|_{L^\infty(\Omega)}$ とした $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数に関して定義 2.1の意味で $Lu\leq0$ の弱劣解（ $Lu\geq0$ の弱優解、 $Lu=0$ の弱解）であるとき、 $u$ を $\Omega$ 上の弱劣解（弱優解、弱解） (weak subsolution (supersolution, solution) in a domain) という。

系 8.2. $\Omega\subseteq\R^n$ を連結な開集合とし、 $A,b,c$ および $\lambda,\Lambda$ を定義 8.1のとおりとする。このとき、次が成り立つ。

$u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が $u\geq0$ をほとんど至る所で満たす $Lu=0$ の $\Omega$ 上の弱解であり、 $\overline B\subseteq\Omega$ を満たすある球 $B$ について $\operatorname*{ess\,inf}_Bu=0$ ならば、 $\Omega$ でほとんど至る所 $u=0$ である。特に $u$ が連続な代表をもち、それがある点で零ならば、 $\Omega$ でほとんど至る所 $u=0$ である。
$c\geq0$ がほとんど至る所で成り立ち、 $u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が $Lu\leq0$ の $\Omega$ 上の弱劣解であって、 $M=\operatorname*{ess\,sup}_\Omega u$ が $0\leq M<\infty$ を満たし、 $\overline B\subseteq\Omega$ を満たすある球 $B$ について $\operatorname*{ess\,sup}_Bu=M$ ならば、 $\Omega$ でほとんど至る所 $u=M$ である。

証明. $\Omega$ 上の弱優解 $v\geq0$ で $\operatorname*{ess\,inf}_Bv=0$ となる球 $B$ をもつものが、 $\Omega$ でほとんど至る所零であることを示せば足りる。主張 (1)では $v=u$ ととる。主張 (2)では $v=M-u$ ととると、 $v\geq0$ であり、 $\mathcal L(v,\varphi)=\int cM\varphi-\mathcal L(u,\varphi)\geq0$ がすべての非負でコンパクトな台をもつ $\varphi$ で成り立つ（ $c\geq0$ 、 $M\geq0$ 、 $\mathcal L(u,\varphi)\leq0$ による）から、 $v$ は $Lv\geq0$ の弱優解で、 $\operatorname*{ess\,inf}_Bv=0$ である。

$Z$ を、 $B_s(x)\subseteq\Omega$ かつ $B_s(x)$ 上でほとんど至る所 $v=0$ となる $s>0$ が存在する点 $x$ の全体とする。 $Z$ は開集合である。 $\overline B$ はコンパクトで $\Omega$ に含まれるから、 $R_0>0$ と有限個の $y_i\in\overline B$ により $B\subseteq\bigcup_iB_{R_0}(y_i)$ かつ $\overline{B_{2R_0}(y_i)}\subseteq\Omega$ となる。 $0=\operatorname*{ess\,inf}_Bv=\min_i\operatorname*{ess\,inf}_{B\cap B_{R_0}(y_i)}v$ であり、ある $i$ について $\operatorname*{ess\,inf}_{B_{R_0}(y_i)}v\leq\operatorname*{ess\,inf}_{B\cap B_{R_0}(y_i)}v=0$ である。 $v\geq0$ であるから定理 6.3を $B_{2R_0}(y_i)$ に適用すると、 $\int_{B_{R_0}(y_i)}v^{1/2}=0$ となり、 $y_i\in Z$ である。

$x\in\Omega$ が $Z$ の閉包に属するとする。 $\overline{B_{2R}(x)}\subseteq\Omega$ を満たす $R>0$ をとり、 $z\in Z\cap B_{R/2}(x)$ と、 $B_s(z)$ 上で $v=0$ となる $s\leq R/2$ をとる。 $B_s(z)\subseteq B_R(x)$ であり、 $v\geq0$ であるから $\operatorname*{ess\,inf}_{B_R(x)}v=0$ である。定理 6.3により $v=0$ が $B_R(x)$ 上でほとんど至る所成り立ち、 $x\in Z$ である。 $\Omega$ は連結であるから $Z=\Omega$ であり、 $\Omega$ は可算個の球で覆われるから、ほとんど至る所 $v=0$ である。

$u\geq0$ の連続な代表 $\tilde u$ が $\tilde u(x_1)=0$ を満たすならば、 $x_1$ を中心とし閉包が $\Omega$ に含まれる球 $B$ について $\operatorname*{ess\,inf}_Bu=\inf_B\tilde u=0$ であるから、前半に帰着される。▨

注意 8.3. $\Omega$ を有界連結な Lipschitz 開集合とし、 $b=0$ 、 $A$ は有界、 $c\geq0$ 、 $u\in H^1(\Omega)$ は§E15.18 定理 3.1の仮定を実数 $M\geq0$ について満たすとする。このとき§E15.18 定理 3.1により $u\leq M$ がほとんど至る所成り立つ。また、 $\overline{B_{2R}(x_0)}\subseteq\Omega$ を満たす球について、 $B_{2R}(x_0)$ のコンパクト集合の外で零である $\varphi\in H^1(B_{2R}(x_0))$ を $\Omega\setminus B_{2R}(x_0)$ で零とおいて $\Omega$ へ延長した関数は、補題 1.1により $\Omega$ のコンパクト集合の外で零である $H^1(\Omega)$ の関数であり、§E15.8 命題 5.3により $H^1_0(\Omega)$ に属する。したがって $u$ は定義 8.1の意味で $\Omega$ 上の弱劣解である。さらに $\operatorname*{ess\,sup}_Bu=M$ となる球 $B$ （ $\overline B\subseteq\Omega$ ）があれば、系 8.2 (2)により $u=M$ がほとんど至る所成り立つ。この球 $B$ が存在し、かつ $M>0$ である場合には、 $u=M$ であり、 $u$ は§E15.18 定理 3.1の仮定を満たすから、すべての非負な $\varphi\in H^1_0(\Omega)$ について $\mathcal L(M,\varphi)=\int_\Omega cM\varphi\,dx\leq0$ が成り立つ。 $c\geq0$ であるから、 $c=0$ がほとんど至る所成り立つ。

系 8.4 (Liouville の定理). $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とし、 $A:\R^n\to\R^{n\times n}$ を可測で、ほとんどすべての $x$ とすべての $\xi$ について $\xi\cdot A(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2$ かつ $|A(x)\xi|\leq\Lambda|\xi|$ を満たすものとする。 $u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\R^n)$ は有界であり、 $B_{2R}(0)$ に制限したものが、すべての $R>0$ について $-\operatorname{div}(A Du)=0$ の弱解であるとする。このとき、 $u$ はほとんど至る所定数に等しい。

証明.系 7.4 (1)を $x_0=0$ 、半径 $R>0$ に適用する。 $C=C(n,\lambda,\Lambda)$ は $R$ に依存しない。 $\|u\|_{L^2(B_{4R})}\leq|B_{4R}|^{1/2}\|u\|_{L^\infty}$ であるから、 $R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R})}\leq4^{n/2}|B_1|^{1/2}\|u\|_{L^\infty}$ であり、 $|x|,|y|<R$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C'(|x-y|/R)^{\alpha_0}\|u\|_{L^\infty}$ である。連続な代表 $\tilde u$ は、連続であり、ほとんど至る所 $u$ に等しいから、 $\tilde u(x)=\lim_{r\downarrow0}|B_r|^{-1}\int_{B_r(x)}u\,dx$ を満たし、 $R$ によらずに定まる。 $x,y$ を固定して $R\to\infty$ とすると $\tilde u(x)=\tilde u(y)$ を得る。したがって $\tilde u$ は定数であり、 $u=\tilde u$ はほとんど至る所成り立つ。▨

例 9.1. $n\geq1$ とし、 $a:\R\to\R$ を $t<0$ で $a(t)=1$ 、 $t\geq0$ で $a(t)=2$ と定め、 $A(x)=a(x_n)I$ 、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ とする。このとき $A$ は可測であり、 $\lambda=1$ 、 $\Lambda=2$ で楕円性と有界性を満たし、超平面 $\{x_n=0\}$ 上で不連続である。 $g(t)=t$ （ $t<0$ ）、 $g(t)=t/2$ （ $t\geq0$ ）とし、 $u(x)=g(x_n)$ とおく。 $u$ は連続である。

$u$ の弱勾配は $Du(x)=g'(x_n)e_n$ である。ここで $g'(t)=1$ （ $t<0$ ）、 $g'(t)=1/2$ （ $t>0$ ）とする。実際、 $\varphi\in C_c^\infty(\R^n)$ について、 $x_n$ の積分を $\{x_n<0\}$ と $\{x_n>0\}$ に分けて部分積分すると、 $g$ が $x_n=0$ で連続であるから二つの境界項は打ち消し合い、 $\int u\,\partial_n\varphi\,dx=-\int g'(x_n)\varphi\,dx$ を得る。 $i<n$ については、 $u$ が $x_i$ によらないから $\int u\,\partial_i\varphi\,dx=0$ である。したがって $u$ は任意の球で $H^1$ に属する。ほとんど至る所 $a(x_n)g'(x_n)=1$ であるから $A Du=e_n$ であり、 $\varphi\in C_c^\infty(B_{2R}(0))$ について $\int A Du\cdot D\varphi\,dx=\int\partial_n\varphi\,dx=0$ である。 $B_{2R}(0)$ のコンパクト集合の外で零である $\varphi\in H^1(B_{2R}(0))$ は、§E15.8 命題 5.3により $H^1_0(B_{2R}(0))$ に属し、 $C_c^\infty(B_{2R}(0))$ の列 $\varphi_j$ で $H^1$ において $\varphi$ に収束するものがある。 $|A Du|\leq1$ であるから $\int A Du\cdot D\varphi_j\,dx\to\int A Du\cdot D\varphi\,dx$ であり、 $\int A Du\cdot D\varphi\,dx=0$ を得る。したがって $u$ はすべての球 $B_{2R}(0)$ 上で $Lu=0$ の弱解である。

一方、 $\partial_nu$ は $x_n=0$ を境にして $1$ から $1/2$ へ跳び、 $u$ は $x_n=0$ 上の各点で微分可能でない。 $u$ と、ほとんど至る所等しい連続関数は $u$ に限るから、 $u$ の連続な代表は、 $\{x_n=0\}$ 上のどの点の近傍でも $C^1$ 級でない。よって、可測な係数の発散形方程式の弱解について、系 7.4の Hölder 連続性を $C^1$ 級に改めることはできない。 $A Du=e_n$ は連続であり、跳ぶのは勾配 $Du$ だけである。

例 9.2. $n\geq1$ 、 $R>0$ とし、 $B_{2R}(0)$ 上で $A$ を単位行列、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=-1$ とする。このとき、 $u(x)=|x|^2/(2n)$ は $-\Delta u=-1$ を満たす滑らかな非負関数である。 $B_{2R}$ のコンパクト集合の外で零である任意の $\varphi\in H^1(B_{2R})$ について、部分積分により $\int Du\cdot D\varphi\,dx=-\int\varphi\,dx=\int f\varphi\,dx$ が成り立つから、 $u$ は $Lu=f$ の弱解である。 $u(0)=0$ であり $u$ は連続であるから、 $\operatorname*{ess\,inf}_{B_R}u=0$ であり、 $\operatorname*{ess\,sup}_{B_R}u=R^2/(2n)>0$ である。したがって定理 7.1の外力の項を除いた不等式 $\operatorname*{ess\,sup}u\leq C\operatorname*{ess\,inf}u$ は成り立たない。外力の項は $R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R})}=R^{2-n/q}(|B_1|(2R)^n)^{1/q}=|B_1|^{1/q}2^{n/q}R^2$ であり、左辺 $R^2/(2n)$ と同じ $R^2$ に比例する。

例 9.3. $n\geq2$ とし、 $A$ を単位行列、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ とする。 $R>0$ と $\rho'>2R$ をとり、 $y=\rho'e_1$ 、 $h(x)=(\rho'^2-|x|^2)|x-y|^{-n}$ とおく。このとき、 $h$ は $\overline{B_{2R}}$ の近傍で正であり滑らかである。 $z=x-y$ に対して $\Delta|z|^{m}=m(m+n-2)|z|^{m-2}$ であるから、 $\Delta|z|^{-n}=2n|z|^{-n-2}$ であり、

\Delta h=|z|^{-n-2}\bigl(2n(\rho'^2-|x|^2)+4nx\cdot z-2n|z|^2\bigr)=0

である。実際、 $x\cdot z=|x|^2-x\cdot y$ 、 $|z|^2=|x|^2-2x\cdot y+\rho'^2$ を代入すると括弧内は零になる。したがって $h$ は $B_{2R}$ 上の非負弱解である。 $h$ は連続であるから $\operatorname*{ess\,sup}_{B_R}h\geq h(Re_1)=(\rho'^2-R^2)(\rho'-R)^{-n}$ 、 $\operatorname*{ess\,inf}_{B_R}h\leq h(-Re_1)=(\rho'^2-R^2)(\rho'+R)^{-n}$ であり、

\frac{\operatorname*{ess\,sup}_{B_R}h}{\operatorname*{ess\,inf}_{B_R}h}\geq\Bigl(\frac{\rho'+R}{\rho'-R}\Bigr)^n\xrightarrow[\rho'\downarrow2R]{}3^n

である。よって定理 7.1の定数は $A=I$ のとき $C_H\geq3^n$ でなければならない。一方、 $B_{2R}(0)$ 上の非負の古典的な調和関数 $u$ については§E15.30 定理 2.1を半径 $2R$ と $r=R$ に適用すると $\sup_{B_R}u\leq3^n\inf_{B_R}u$ が成り立つ。したがって、古典的な調和関数に対する同じ形の不等式の最良の定数は $3^n$ である。

例 9.4. $n\geq3$ とし、 $A$ を単位行列、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ とする。 $0<\varepsilon\leq1$ に対して $B_2=B_{2R}(0)$ （ $R=1$ ）上で $u_\varepsilon(x)=(|x|^2+\varepsilon^2)^{-(n-2)/2}$ とおく。このとき $u_\varepsilon$ は $\overline{B_2}$ の近傍で正であり滑らかで、 $H^1(B_2)$ に属する。 $m=(n-2)/2$ とすると $\partial_iu_\varepsilon=-2mx_i(|x|^2+\varepsilon^2)^{-m-1}$ であり、 $2(m+1)=n$ に注意すると

-\Delta u_\varepsilon=n(n-2)\varepsilon^2(|x|^2+\varepsilon^2)^{-(n+2)/2}\geq0

である。 $B_2$ のコンパクト集合 $K$ の外で零である非負の $\varphi\in H^1(B_2)$ をとり、 $K$ の近傍で $1$ に等しく台が $B_2$ のコンパクト集合に含まれる $\chi\in C_c^\infty(B_2)$ をとる。 $\varphi$ は開集合 $B_2\setminus K$ でほとんど至る所零であるから、 $C_c^\infty(B_2\setminus K)$ の関数を試験関数とする弱微分の定義により、 $D\varphi$ もそこでほとんど至る所零である。 $\chi\partial_iu_\varepsilon\in C_c^\infty(B_2)$ に弱微分の定義を適用すると、 $\chi$ が $K$ の近傍で $1$ であるから、 $\int Du_\varepsilon\cdot D\varphi\,dx=-\int\varphi\,\Delta u_\varepsilon\,dx\geq0$ を得る。よって $u_\varepsilon$ は $Lu_\varepsilon\geq0$ の非負な弱優解であり、定理 6.3の仮定を $f=0$ で満たす。

$u_\varepsilon$ は連続であるから、 $\operatorname*{ess\,inf}_{B_1}u_\varepsilon=\inf_{B_1}u_\varepsilon\leq(1+\varepsilon^2)^{-(n-2)/2}\leq1$ である。一方、 $p\geq n/(n-2)$ とすると、 $\varepsilon<|x|<1$ で $|x|^2+\varepsilon^2<2|x|^2$ であるから $u_\varepsilon\geq2^{-(n-2)/2}|x|^{2-n}$ であり、 $0<r\leq1$ で $r^{n-1-(n-2)p}\geq r^{-1}$ であるから、

\int_{B_1}u_\varepsilon^p\,dx\geq2^{-(n-2)p/2}\,n|B_1|\int_\varepsilon^1r^{n-1-(n-2)p}\,dr\geq2^{-(n-2)p/2}\,n|B_1|\log\frac1\varepsilon

である。したがって、定理 6.3の左辺の指数 $p_0=1/2$ を $p\geq n/(n-2)$ に置き換えた不等式は、 $\varepsilon\downarrow0$ で左辺が限りなく大きくなる一方で右辺が $\varepsilon$ によらず $C$ で抑えられるから、どのような定数 $C$ についても成り立たない。

例 9.5. $n\geq3$ とし、§E15.18 例 4.2の $u$ を $B_1(0)$ 上で考える。 $u\in H^1_0(B_1)$ であり、ある $f\in L^{n/2}(B_1)$ について、すべての $\varphi\in C_c^\infty(B_1)$ で $\int Du\cdot D\varphi\,dx=\int f\varphi\,dx$ が成り立つ。 $B_1$ のコンパクト集合の外で零である $\varphi\in H^1(B_1)$ は、§E15.8 命題 5.3により $H^1_0(B_1)$ に属するから、 $C_c^\infty(B_1)$ の列 $\varphi_j$ で $\varphi$ に $H^1$ で収束するものがある。さらに $\varphi$ を $B_2$ へ零延長すると、 $2\chi=2n/(n-2)\geq n/(n-2)$ であるから、補題 1.2 (1)と Hölder の不等式により $\bigl|\int f\varphi\bigr|\leq\|f\|_{L^{n/2}}\|\varphi\|_{L^{n/(n-2)}}\leq C\|f\|_{L^{n/2}}\|\varphi\|_{H^1}$ である。したがって等式はこのすべての $\varphi$ で成り立つ。すなわち、 $A=I$ 、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $B_1=B_{2R}(0)$ （ $R=1/2$ ）、 $f\in L^{n/2}(B_1)$ について、定義 2.1の弱解の積分等式が成り立つ。この定義は $q>n/2$ を仮定しているので、以下では、この等式を満たす $u\in H^1(B_1)$ を $q=n/2$ の弱解という。

同例の $u$ は非負であり、 $B_{1/2}$ の外で零であって、 $L^\infty(B_1)$ に属さない。したがって $\operatorname*{ess\,sup}_{B_{1/2}}u=\infty$ である。一方、 $u\in H^1(B_1)$ より $R^{-n/2}\|u^+\|_{L^2(B_1)}$ は有限であり、 $q=n/2$ のとき $R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_1)}=\|f\|_{L^{n/2}(B_1)}$ も有限である。よって定理 3.4の評価は、仮定 $q>n/2$ を $q=n/2$ へ弱めると成り立たない。

例 9.6. $n\geq2$ 、 $n/2<q<n$ とし、 $\delta=2-n/q$ とおく。このとき $0<\delta<1$ である。 $\delta<\gamma<1$ を満たす $\gamma$ に対して $B_2=B_{4R}(0)$ （ $R=1/2$ ）上で $u(x)=|x|^\gamma$ 、 $f(x)=-\gamma(\gamma+n-2)|x|^{\gamma-2}$ とおき、 $A$ を単位行列、 $b=0$ 、 $c=0$ とする。 $\gamma>\delta$ より $(2-\gamma)q<n$ であるから $f\in L^q(B_2)$ である。

$u$ は $B_2\setminus\{0\}$ で滑らかであり、 $Du(x)=\gamma|x|^{\gamma-2}x$ 、 $-\Delta u=f$ である。 $|Du|^2=\gamma^2|x|^{2\gamma-2}$ は、 $2\gamma-2>-n$ により $B_2$ で可積分である。 $\varphi\in C_c^\infty(B_2)$ と $0<\varepsilon<1$ について $B_2\setminus\overline{B_\varepsilon}$ で部分積分すると、 $\partial B_\varepsilon$ 上の項は、 $\|\varphi\|_\infty\varepsilon^\gamma|\partial B_\varepsilon|$ および $\|\varphi\|_\infty\gamma\varepsilon^{\gamma-1}|\partial B_\varepsilon|$ 以下であり、 $\gamma>0$ と $n\geq2$ により $\varepsilon\downarrow0$ で零に収束する。したがって $u$ の弱勾配は $Du$ であり、 $u\in H^1(B_2)$ で $\int Du\cdot D\varphi\,dx=\int f\varphi\,dx$ が成り立つ。 $B_2$ のコンパクト集合の外で零である $\varphi\in H^1(B_2)$ は、§E15.8 命題 5.3により $H^1_0(B_2)$ に属し、 $C_c^\infty(B_2)$ の列 $\varphi_j$ で $H^1$ において $\varphi$ に収束するものがある。 $\varphi_j-\varphi$ は $B_2$ のコンパクト集合の外で零であるから、補題 1.2の $q'<\chi<2\chi$ と補題 1.2 (1)および Hölder の不等式により $\|\varphi_j-\varphi\|_{L^{q'}(B_2)}\to0$ であり、 $\int f\varphi_j\,dx\to\int f\varphi\,dx$ である。 $\int Du\cdot D\varphi_j\,dx\to\int Du\cdot D\varphi\,dx$ であるから、等式はこの $\varphi$ でも成り立つ。よって $u$ は定義 2.1の意味で $Lu=f$ の弱解である。

$\delta<\alpha\leq1$ とし、 $\delta<\gamma<\alpha$ を満たす $\gamma$ をとる。系 7.4 (2)の評価が指数 $\alpha$ で成り立つと仮定する。すなわち、 $u$ とほとんど至る所等しい連続関数 $\tilde u:B_R(0)\to\R$ と定数 $C$ があり、有限な量 $\mathcal K=R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R}(0))}+R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{4R}(0))}$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C(|x-y|/R)^\alpha\mathcal K$ が成り立つとする。 $u$ は $B_R(0)\setminus\{0\}$ で連続であるから、そこで $\tilde u=u$ であり、 $\tilde u$ の連続性から $\tilde u(0)=0$ である。よって $|x|^\gamma=|\tilde u(x)-\tilde u(0)|\leq C'|x|^\alpha$ （ $0<|x|<R$ ）となるが、 $\gamma<\alpha$ であるからこれは $x\to0$ で矛盾する。したがって、系 7.4 (2)の指数の上限 $2-n/q$ は、これより大きい $\alpha$ に改めることはできない。

例 9.7. $n\geq1$ とし、 $A$ を単位行列、 $b=0$ 、 $c=-1$ 、 $f=0$ とする。このとき、 $u(x)=\sin x_1$ は有界であり、 $-\Delta u-u=0$ を満たす滑らかな関数であるから、部分積分によりすべての $R>0$ について $B_{2R}(0)$ 上の弱解である。 $u$ は定数ではない。 $R\to\infty$ のとき $R^2\|c\|_{L^\infty}=R^2$ は有界でないから、すべての $R$ に共通の $\kappa_0$ をとることができず、系 8.4の証明が用いる $R$ によらない定数は得られない。

§E15.39Moser の反復

1 球上の Sobolev 不等式

2 弱劣解・弱優解と尺度変換

3 冪の試験関数と局所有界性

4 Bombieri–Giusti の補題

5 優解の冪と対数の評価

6 弱 Harnack 不等式

7 Harnack 不等式と Hölder 連続性

8 強最大値原理と Liouville の定理

9 係数・外力・指数・定数の限界

前提記事