§E15.44完全非線形方程式の周期解

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トーラス上の周期的な外力ffに対して Poisson 方程式Δu=f\Delta u=fが周期解をもつのは、ffの平均が零であるときに限られる。uuの Hesse 行列に非線形に依存する方程式F(D2u)=fF(D^2u)=fでは、同様に解が存在するとは限らない。解が存在するためのffの条件は、一般には、ffの平均だけで書くことはできない。そこで右辺に未知の定数ccを加えた方程式F(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cを考え、解uuの平均を零と正規化する。FFが滑らかで凹であり一様楕円型であって、ffが滑らかな実数値の周期関数であるとき、この方程式を満たす平均零の滑らかな周期解uuと定数ccの組(u,c)(u,c)はただ一つ存在する。線形の場合F(M)=tr⁡MF(M)=\operatorname{tr}Mにはc=−∫Tnfc=-\int_{\mathbb T^n}fである。しかし、たとえば一次元で0<δ<10<\delta<1に対してF(s)=s−δlog⁡cosh⁡sF(s)=s-\delta\log\cosh sとすると、ccは外力の平均だけでは定まらない。本記事では、この周期問題の解の存在と一意性、および定数ccの基本的な性質や例について解説する。

1 周期的な線形作用素

補題 1.1.n≥1n\geq1を整数とし、u∈C2(Rn)u\in C^2(\R^n)をZn\Z^n周期の実数値関数とする。このとき、uuはRn\R^n上で最大値と最小値をとる。さらに、u(x∗)=sup⁡Rnuu(x^*)=\sup_{\R^n}uを満たす任意のx∗∈Rnx^*\in\R^nとu(x∗)=inf⁡Rnuu(x_*)=\inf_{\R^n}uを満たす任意のx∗∈Rnx_*\in\R^nについてD2u(x∗)≤0≤D2u(x∗)D^2u(x^*)\leq0\leq D^2u(x_*)であり、正半定値な任意のA∈SnA\in\mathcal S^nについてA:D2u(x∗)≤0≤A:D2u(x∗)A:D^2u(x^*)\leq0\leq A:D^2u(x_*)である。

証明.uuは連続であるから、コンパクト集合[0,1]n[0,1]^n上で最大値と最小値をとる。Rn\R^nの各点はZn\Z^nの元による平行移動で[0,1]n[0,1]^nの点へ移り、uuはZn\Z^n周期であるから、[0,1]n[0,1]^n上の最大値と最小値はRn\R^n上の最大値と最小値である。

u(x∗)=sup⁡Rnuu(x^*)=\sup_{\R^n}uとし、ξ∈Rn\xi\in\R^nをとる。s↦u(x∗+sξ)s\mapsto u(x^*+s\xi)はs=0s=0で最大値をとるC2C^2関数であるから、そのs=0s=0での二階微分ξ⋅D2u(x∗)ξ\xi\cdot D^2u(x^*)\xiは00以下である。よってD2u(x∗)≤0D^2u(x^*)\leq0である。A∈SnA\in\mathcal S^nを正半定値とし、A1/2A^{1/2}をその正半定値な平方根とする。N=−D2u(x∗)N=-D^2u(x^*)は正半定値であるから、A1/2NA1/2A^{1/2}NA^{1/2}も正半定値であり、A:N=tr⁡(AN)=tr⁡(A1/2NA1/2)≥0A:N=\operatorname{tr}(AN)=\operatorname{tr}(A^{1/2}NA^{1/2})\geq0である。よってA:D2u(x∗)≤0A:D^2u(x^*)\leq0である。最小点x∗x_*についての主張は、−u-uにこの議論を適用して得られる。▨

補題 1.2.n≥1n\geq1とk≥0k\geq0を整数、0<α≤10<\alpha\leq1とする。このとき、Zn\Z^n周期のv∈C1(Rn)v\in C^1(\R^n)に対して

[v]α;Rn≤sup⁡Rn∣Dv∣+2sup⁡Rn∣v∣[v]_{\alpha;\R^n}\leq\sup_{\R^n}|Dv|+2\sup_{\R^n}|v|

が成り立つ。特に、v∈Ck+1(Tn)v\in C^{k+1}(\mathbb T^n)ならば、v∈Ck,α(Tn)v\in C^{k,\alpha}(\mathbb T^n)かつ∥v∥Ck,α(Tn)≤(n+3)∥v∥Ck+1(Tn)\|v\|_{C^{k,\alpha}(\mathbb T^n)}\leq(n+3)\|v\|_{C^{k+1}(\mathbb T^n)}である。したがって、C∞(Tn)C^\infty(\mathbb T^n)はすべての整数k≥0k\geq0についてCk,α(Tn)C^{k,\alpha}(\mathbb T^n)に含まれる。

証明.x,y∈Rnx,y\in\R^n、x≠yx\neq yとする。∣x−y∣≤1|x-y|\leq1ならば、線分上の平均値の定理により∣v(x)−v(y)∣≤sup⁡Rn∣Dv∣ ∣x−y∣≤sup⁡Rn∣Dv∣ ∣x−y∣α|v(x)-v(y)|\leq\sup_{\R^n}|Dv|\,|x-y|\leq\sup_{\R^n}|Dv|\,|x-y|^\alphaである。∣x−y∣>1|x-y|>1ならば∣v(x)−v(y)∣≤2sup⁡Rn∣v∣≤2sup⁡Rn∣v∣ ∣x−y∣α|v(x)-v(y)|\leq2\sup_{\R^n}|v|\leq2\sup_{\R^n}|v|\,|x-y|^\alphaである。よって第一の不等式が成り立つ。

v∈Ck+1(Tn)v\in C^{k+1}(\mathbb T^n)とする。∣γ∣=k|\gamma|=kを満たす多重指数γ\gammaについて、第一の不等式をDγvD^\gamma vへ適用し、∣Dw∣≤∑i=1n∣Diw∣|Dw|\leq\sum_{i=1}^n|D_iw|を用いると

[Dγv]α;Rn≤∑i=1n∥DiDγv∥∞;Rn+2∥Dγv∥∞;Rn[D^\gamma v]_{\alpha;\R^n}\leq\sum_{i=1}^n\|D_iD^\gamma v\|_{\infty;\R^n}+2\|D^\gamma v\|_{\infty;\R^n}

を得る。∣γ′∣=k+1|\gamma'|=k+1を満たす各γ′\gamma'について、DiDγ=Dγ′D_iD^\gamma=D^{\gamma'}を満たす組(i,γ)(i,\gamma)は高々nn個である。§E15.35 定義 6.1のノルムは∣γ∣≤k|\gamma|\leq kの導関数の上限ノルムと∣γ∣=k|\gamma|=kの導関数のα\alpha半ノルムの和であるから、上の不等式を∣γ∣=k|\gamma|=kについて加えると

∥v∥Ck,α(Tn)≤3∑∣γ∣≤k∥Dγv∥∞;Rn+n∑∣γ′∣=k+1∥Dγ′v∥∞;Rn≤(n+3)∥v∥Ck+1(Tn)\|v\|_{C^{k,\alpha}(\mathbb T^n)}\leq3\sum_{|\gamma|\leq k}\|D^\gamma v\|_{\infty;\R^n}+n\sum_{|\gamma'|=k+1}\|D^{\gamma'}v\|_{\infty;\R^n}\leq(n+3)\|v\|_{C^{k+1}(\mathbb T^n)}

である。v∈C∞(Tn)v\in C^\infty(\mathbb T^n)ならば、各導関数はZn\Z^n周期の連続関数であるから有界であり、v∈Ck+1(Tn)v\in C^{k+1}(\mathbb T^n)である。よって最後の主張が成り立つ。▨

補題 1.3.n≥1n\geq1を整数、0<α<10<\alpha<1、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambda、μ≥0\mu\geq0、Θ≥0\Theta\geq0とする。このとき、n,α,λ,Λ,μ,Θn,\alpha,\lambda,\Lambda,\mu,\Thetaだけで定まる定数CCが存在して、次が成り立つ。a=(aij)a=(a^{ij})を、各成分が実数値でC0,α(Tn)C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)に属して∥aij∥C0,α(Tn)≤Θ\|a^{ij}\|_{C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)}\leq\Thetaを満たし、すべてのx∈Rnx\in\R^nについてλI≤a(x)≤ΛI\lambda I\leq a(x)\leq\Lambda Iを満たすSn\mathcal S^n値関数とし、a:D2u=∑i,jaijDijua:D^2u=\sum_{i,j}a^{ij}D_{ij}uと書く。Zn\Z^n周期の実数値関数u∈C2(Rn)u\in C^2(\R^n)についてg=a:D2u−μug=a:D^2u-\mu uがC0,α(Tn)C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)に属するならば、u∈C2,α(Tn)u\in C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)であり、

∥u∥C2,α(Tn)≤C(∥u∥C0(Tn)+∥g∥C0,α(Tn))\|u\|_{C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)}\leq C\bigl(\|u\|_{C^0(\mathbb T^n)}+\|g\|_{C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)}\bigr)

である。

証明.B=Bn+1(0)B=B_{\sqrt n+1}(0)、B′=B2(n+1)(0)B'=B_{2(\sqrt n+1)}(0)、K=max⁡{Θ,μ}K=\max\{\Theta,\mu\}とおく。aaの成分、定数関数−μ-\mu、ggのB′B'への制限はC0,α(B′)C^{0,\alpha}(B')に属し、それらのC0,α(B′)C^{0,\alpha}(B')ノルムはそれぞれΘ\Theta、μ\mu、∥g∥C0,α(Tn)\|g\|_{C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)}以下である。よって、係数A=aA=a、b=0b=0、c=−μc=-\muの各成分のC0,α(B′)C^{0,\alpha}(B')ノルムはKK以下である。B⋐B′B\Subset B'であるから、§E15.36 定理 2.2をΩ=B′\Omega=B'、Ω′=B\Omega'=B、A=aA=a、b=0b=0、c=−μc=-\mu、f=gf=gと上のKKに適用すると、n,α,λ,Λ,B,B′,Kn,\alpha,\lambda,\Lambda,B,B',Kだけに依存する定数C1C_1について

∥u∥C2,α(B)≤C1(∥u∥C0(B′)+∥g∥C0,α(B′))≤C1(∥u∥C0(Tn)+∥g∥C0,α(Tn))\|u\|_{C^{2,\alpha}(B)}\leq C_1\bigl(\|u\|_{C^0(B')}+\|g\|_{C^{0,\alpha}(B')}\bigr)\leq C_1\bigl(\|u\|_{C^0(\mathbb T^n)}+\|g\|_{C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)}\bigr)

を得る。BB、B′B'はnnだけで定まり、KKはμ,Θ\mu,\Thetaだけで定まるから、C1C_1はn,α,λ,Λ,μ,Θn,\alpha,\lambda,\Lambda,\mu,\Thetaだけで定まる。uuの二階までの導関数はRn\R^n上で連続であるから、それらの上限と二階導関数の Hölder 商の上限はBB上とB‾\overline B上で一致し、∥u∥C2,α(B‾)=∥u∥C2,α(B)\|u\|_{C^{2,\alpha}(\overline B)}=\|u\|_{C^{2,\alpha}(B)}である。§E15.35 命題 6.2により∥u∥C2,α(Rn)≤3∥u∥C2,α(B‾)<∞\|u\|_{C^{2,\alpha}(\R^n)}\leq3\|u\|_{C^{2,\alpha}(\overline B)}<\inftyであるから、u∈C2,α(Tn)u\in C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)であり、C=3C1C=3C_1が結論の不等式を満たす。▨

命題 1.4.n≥1n\geq1を整数、0<α<10<\alpha<1、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambda、μ>0\mu>0とする。a=(aij)a=(a^{ij})を、各成分が実数値でC0,α(Tn)C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)に属し、すべてのx∈Rnx\in\R^nについてλI≤a(x)≤ΛI\lambda I\leq a(x)\leq\Lambda Iを満たすSn\mathcal S^n値関数とする。このとき、次が成り立つ。

  1. Zn\Z^n周期の実数値関数u∈C2(Rn)u\in C^2(\R^n)に対してsup⁡Rn∣u∣≤μ−1sup⁡Rn∣a:D2u−μu∣\sup_{\R^n}|u|\leq\mu^{-1}\sup_{\R^n}|a:D^2u-\mu u|である。
  2. 実数値関数からなるX=C2,α(Tn)X=C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)とY=C0,α(Tn)Y=C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)について、v↦a:D2v−μvv\mapsto a:D^2v-\mu vはIso⁡(X,Y)\operatorname{Iso}(X,Y)に属する。

証明.主張 (1)を示す。g=a:D2u−μug=a:D^2u-\mu uとおき、補題 1.1によりuuの最大点x∗x^*と最小点x∗x_*をとる。a(x∗):D2u(x∗)≤0a(x^*):D^2u(x^*)\leq0であるからμu(x∗)=a(x∗):D2u(x∗)−g(x∗)≤sup⁡Rn∣g∣\mu u(x^*)=a(x^*):D^2u(x^*)-g(x^*)\leq\sup_{\R^n}|g|であり、a(x∗):D2u(x∗)≥0a(x_*):D^2u(x_*)\geq0であるからμu(x∗)≥−sup⁡Rn∣g∣\mu u(x_*)\geq-\sup_{\R^n}|g|である。すべてのxxについてu(x∗)≤u(x)≤u(x∗)u(x_*)\leq u(x)\leq u(x^*)であるから、結論を得る。

主張 (2)を示す。XXとYYは§E15.35 系 6.3 (1)により Banach 空間である。v∈Xv\in Xに対してDijv∈YD_{ij}v\in Yかつ∥Dijv∥Y≤∥v∥X\|D_{ij}v\|_Y\leq\|v\|_Xである。§E15.35 系 6.3 (2)の定数をCPC_Pとすると、各成分がYYに属するSn\mathcal S^n値関数bbについて∥b:D2v∥Y≤CP∑i,j∥bij∥Y∥v∥X\|b:D^2v\|_Y\leq C_P\sum_{i,j}\|b^{ij}\|_Y\|v\|_Xである。補題 1.2により∥v∥Y≤(n+3)∥v∥C1(Tn)≤(n+3)∥v∥X\|v\|_Y\leq(n+3)\|v\|_{C^1(\mathbb T^n)}\leq(n+3)\|v\|_Xであるから、v↦b:D2v−μvv\mapsto b:D^2v-\mu vはXXからYYへの有界線形写像である。

主張 1.4.1.Δ−μ:X→Y\Delta-\mu:X\to Yは全射である。

証明.g∈Yg\in Yとし、ε>0\varepsilon>0に対してgεg_\varepsilonを§E15.35 命題 3.2の平滑化とする。§E15.35 系 6.3 (5)により、gεg_\varepsilonはZn\Z^n周期であり、すべての整数l≥0l\geq0についてCl,α(Tn)C^{l,\alpha}(\mathbb T^n)に属するので、gε∈C∞(Tn)g_\varepsilon\in C^\infty(\mathbb T^n)である。またsup⁡∣gε∣≤sup⁡∣g∣\sup|g_\varepsilon|\leq\sup|g|、[gε]α≤[g]α[g_\varepsilon]_\alpha\leq[g]_\alpha、sup⁡∣gε−g∣≤εα[g]α\sup|g_\varepsilon-g|\leq\varepsilon^\alpha[g]_\alphaであり、∥gε∥Y≤∥g∥Y\|g_\varepsilon\|_Y\leq\|g\|_Yである。§E15.31 定理 3.4により、(Δ−μ)uε=gε(\Delta-\mu)u_\varepsilon=g_\varepsilonを満たすuε∈C∞(Tn)u_\varepsilon\in C^\infty(\mathbb T^n)が存在する。gεg_\varepsilonは実数値であるから、uεu_\varepsilonの複素共役も同じ方程式の滑らかな周期解であり、解の一意性によりuεu_\varepsilonは実数値である。主張 (1)をa=Ia=Iに適用するとsup⁡∣uε∣≤μ−1sup⁡∣g∣\sup|u_\varepsilon|\leq\mu^{-1}\sup|g|である。補題 1.3をa=Ia=I、Θ=1\Theta=1に適用して得る定数をCIC_Iとすると、

∥uε∥X≤CI(μ−1sup⁡∣g∣+∥gε∥Y)≤CI(μ−1+1)∥g∥Y\|u_\varepsilon\|_X\leq C_I\bigl(\mu^{-1}\sup|g|+\|g_\varepsilon\|_Y\bigr)\leq C_I(\mu^{-1}+1)\|g\|_Y

である。εm=1/m\varepsilon_m=1/mとする。§E15.35 系 6.3 (3)の包含C2,α(Tn)⋐C2(Tn)C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)\Subset C^2(\mathbb T^n)により、(uεm)m(u_{\varepsilon_m})_mのある部分列はC2(Tn)C^2(\mathbb T^n)のある元uuへC2(Tn)C^2(\mathbb T^n)のノルムで収束する。uuはZn\Z^n周期のC2C^2関数であり、(Δ−μ)u(\Delta-\mu)uはこの部分列に沿ったgεmg_{\varepsilon_m}の一様極限ggに等しい。補題 1.3をa=Ia=Iに適用するとu∈Xu\in Xである。よって(Δ−μ)u=g(\Delta-\mu)u=gを満たすu∈Xu\in Xが存在する。▨

t∈[0,1]t\in[0,1]に対してat=(1−t)I+taa_t=(1-t)I+ta、Ltv=at:D2v−μvL_tv=a_t:D^2v-\mu vとおく。L0=Δ−μL_0=\Delta-\mu、L1=a:D2−μL_1=a:D^2-\muであり、Lt=(1−t)L0+tL1L_t=(1-t)L_0+tL_1である。

主張 1.4.2. ある定数C>0C>0が存在して、すべてのt∈[0,1]t\in[0,1]とv∈Xv\in Xについて∥v∥X≤C∥Ltv∥Y\|v\|_X\leq C\|L_tv\|_Yが成り立つ。

証明.λ∗=min⁡{1,λ}\lambda_*=\min\{1,\lambda\}、Λ∗=max⁡{1,Λ}\Lambda_*=\max\{1,\Lambda\}、Θ=1+max⁡i,j∥aij∥Y\Theta=1+\max_{i,j}\|a^{ij}\|_Yとおき、IIの成分をδij\delta^{ij}と書く。t∈[0,1]t\in[0,1]について、ata_tの成分はYYに属して∥atij∥Y≤(1−t)∥δij∥Y+t∥aij∥Y≤Θ\|a_t^{ij}\|_Y\leq(1-t)\|\delta^{ij}\|_Y+t\|a^{ij}\|_Y\leq\Thetaを満たし、λ∗I≤at≤Λ∗I\lambda_*I\leq a_t\leq\Lambda_*Iである。補題 1.3をλ∗,Λ∗,μ,Θ\lambda_*,\Lambda_*,\mu,\Thetaに適用して得る定数をCSC_Sとする。t∈[0,1]t\in[0,1]とv∈Xv\in Xに対して、主張 (1)から∥v∥C0(Tn)≤μ−1∥Ltv∥Y\|v\|_{C^0(\mathbb T^n)}\leq\mu^{-1}\|L_tv\|_Yであるから、C=CS(1+μ−1)C=C_S(1+\mu^{-1})について∥v∥X≤C∥Ltv∥Y\|v\|_X\leq C\|L_tv\|_Yが成り立つ。▨

主張 1.4.2により、§E12.22 定理 4.1の仮定がL0,L1L_0,L_1について満たされる。主張 1.4.1によりL0L_0は全射であるから、L1∈Iso⁡(X,Y)L_1\in\operatorname{Iso}(X,Y)である。これで主張 (2)は示された。▨

定理 1.5.n≥1n\geq1を整数、0<α<10<\alpha<1、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとする。a=(aij)a=(a^{ij})を、各成分が実数値でC0,α(Tn)C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)に属し、すべてのx∈Rnx\in\R^nについてλI≤a(x)≤ΛI\lambda I\leq a(x)\leq\Lambda Iを満たすSn\mathcal S^n値関数とする。実数値関数からなるX=C2,α(Tn)X=C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)、Y=C0,α(Tn)Y=C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)とX0={v∈X∣∫Tnv=0}X_0=\{v\in X\mid\int_{\mathbb T^n}v=0\}をとり、実数γ\gammaをYYの定数関数γ\gammaと同一視する。Lv=a:D2vLv=a:D^2vとおく。このとき、次が成り立つ。

  1. L:X→YL:X\to Yは指数00の Fredholm 作用素である。
  2. ker⁡L\ker Lは定数関数全体である。
  3. X0X_0はXXの閉部分空間であり、X0×RX_0\times\Rにノルム∥(v,γ)∥=∥v∥X+∣γ∣\|(v,\gamma)\|=\|v\|_X+|\gamma|を入れると、Φ(v,γ)=Lv−γ\Phi(v,\gamma)=Lv-\gammaはΦ∈Iso⁡(X0×R,Y)\Phi\in\operatorname{Iso}(X_0\times\R,Y)を満たす。
  4. im⁡L\im LはYYの余次元11の閉部分空間であり、Y=im⁡L⊕RY=\im L\oplus\Rである。

証明.主張 (1)を示す。包含をι:X→Y\iota:X\to Yとし、(vm)(v_m)をXXの有界列とする。§E15.35 系 6.3 (3)により、ある部分列はC2(Tn)C^2(\mathbb T^n)で収束する。補題 1.2により∥w∥Y≤(n+3)∥w∥C1(Tn)≤(n+3)∥w∥C2(Tn)\|w\|_Y\leq(n+3)\|w\|_{C^1(\mathbb T^n)}\leq(n+3)\|w\|_{C^2(\mathbb T^n)}であるから、この部分列はYYでも収束する。よってι\iotaはコンパクトである。命題 1.4 (2)をμ=1\mu=1に適用するとL−ι∈Iso⁡(X,Y)L-\iota\in\operatorname{Iso}(X,Y)であり、L−ιL-\iotaは核が零で像がYYに等しいので、指数00の Fredholm 作用素である。L=(L−ι)+ιL=(L-\iota)+\iotaであるから、§E12.39 定理 3.1 (2)によりLLは Fredholm 作用素であり、ind⁡L=ind⁡(L−ι)=0\operatorname{ind}L=\operatorname{ind}(L-\iota)=0である。

主張 (2)を示す。定数関数の Hesse 行列は零であるから、定数関数はker⁡L\ker Lに属する。v∈ker⁡Lv\in\ker Lとし、補題 1.1によりvvの最大点x∗x^*をとる。aaの成分は有界連続であり、ξ⋅a(x)ξ≥λ∣ξ∣2\xi\cdot a(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2であり、−∑i,jaijDijv=−Lv=0-\sum_{i,j}a^{ij}D_{ij}v=-Lv=0である。Rn\R^nは空でない連結な開集合であるから、§E15.18 定理 2.2をA=aA=a、b=0b=0、c=0c=0に適用すると、vvは定数である。

主張 (3)を示す。v∈Xv\in Xに対して∣∫Tnv∣≤∥v∥C0(Tn)≤∥v∥X\bigl|\int_{\mathbb T^n}v\bigr|\leq\|v\|_{C^0(\mathbb T^n)}\leq\|v\|_Xであるから、v↦∫Tnvv\mapsto\int_{\mathbb T^n}vは有界線形汎関数であり、その核X0X_0は閉部分空間である。よってX0×RX_0\times\Rは Banach 空間であり、Φ\Phiは有界線形写像である。

v∈Xv\in Xとγ∈R\gamma\in\RがLv=γLv=\gammaを満たすとする。補題 1.1の最大点x∗x^*と最小点x∗x_*においてγ=a(x∗):D2v(x∗)≤0\gamma=a(x^*):D^2v(x^*)\leq0かつγ=a(x∗):D2v(x∗)≥0\gamma=a(x_*):D^2v(x_*)\geq0であるから、γ=0\gamma=0である。よってim⁡L∩R={0}\im L\cap\R=\{0\}である。(v,γ)∈X0×R(v,\gamma)\in X_0\times\RがΦ(v,γ)=0\Phi(v,\gamma)=0を満たすならば、Lv=γLv=\gammaであるからγ=0\gamma=0であり、主張 (2)によりvvは定数である。∫Tnv=0\int_{\mathbb T^n}v=0であるからv=0v=0である。よってΦ\Phiは単射である。

主張 (1)と主張 (2)によりdim⁡(Y/im⁡L)=dim⁡ker⁡L−ind⁡L=1\dim(Y/\im L)=\dim\ker L-\operatorname{ind}L=1である。im⁡L∩R={0}\im L\cap\R=\{0\}であるから、定数関数11のY/im⁡LY/\im Lにおける類は零でなく、Y/im⁡LY/\im Lを張る。よって任意のg∈Yg\in Yは、あるw∈Xw\in Xとγ∈R\gamma\in\Rによってg=Lw−γg=Lw-\gammaと書ける。v=w−∫Tnwv=w-\int_{\mathbb T^n}wとおくとv∈X0v\in X_0かつLv=LwLv=Lwであるから、Φ(v,γ)=g\Phi(v,\gamma)=gである。よってΦ\Phiは全射である。

X0×RX_0\times\RとYYは Banach 空間であり、Φ\Phiは有界線形な全単射であるから、§E12.21 系 3.2によりΦ−1\Phi^{-1}は有界であり、Φ∈Iso⁡(X0×R,Y)\Phi\in\operatorname{Iso}(X_0\times\R,Y)である。

主張 (4)を示す。主張 (1)によりLLは Fredholm 作用素であるから、§E12.39 定義 1.1によりim⁡L\im LはYYの閉部分空間である。v∈Xv\in Xに対してLv=L(v−∫Tnv)Lv=L(v-\int_{\mathbb T^n}v)であるから、im⁡L=Φ(X0×{0})\im L=\Phi(X_0\times\{0\})である。Φ(0,γ)=−γ\Phi(0,\gamma)=-\gammaであるから、Y=Φ(X0×{0})⊕Φ({0}×R)=im⁡L⊕RY=\Phi(X_0\times\{0\})\oplus\Phi(\{0\}\times\R)=\im L\oplus\Rであり、im⁡L\im Lの余次元は11である。▨

例 1.6.n≥1n\geq1を整数とし、f∈C∞(Tn)f\in C^\infty(\mathbb T^n)を実数値関数とする。k∈Znk\in\Z^nに対して Fourier 係数をf^(k)=∫Tnf(x)e−2πik⋅x dx\widehat f(k)=\int_{\mathbb T^n}f(x)e^{-2\pi ik\cdot x}\,dxと定める。u∈C∞(Tn)u\in C^\infty(\mathbb T^n)とc∈Rc\in\RがΔu=f+c\Delta u=f+cと∫Tnu=0\int_{\mathbb T^n}u=0を満たすとする。このとき、各iiについて、Fubini の定理とDiuD_iuのxix_i方向の周期性から∫[0,1]nDiiu dx=0\int_{[0,1]^n}D_{ii}u\,dx=0であるので、方程式を[0,1]n[0,1]^n上で積分するとc=−∫Tnfc=-\int_{\mathbb T^n}fを得る。したがってf+cf+cの平均は零であり、§E15.31 定理 3.3により、uuは

u^(0)=0,u^(k)=−f^(k)4π2∣k∣2(k≠0)\widehat u(0)=0,\qquad\widehat u(k)=-\frac{\widehat f(k)}{4\pi^2|k|^2}\quad(k\neq0)

で与えられる平均零の解である。逆に、このuuとc=−∫Tnfc=-\int_{\mathbb T^n}fは二つの条件を満たす。f+cf+cは実数値であるから、uuの複素共役もΔu=f+c\Delta u=f+cの平均零の滑らかな解であり、平均零の解の一意性によりuuは実数値である。補題 1.2によりuuは定理 1.5のX0X_0に属し、同定理でa=Ia=IとしたΦ\PhiについてΦ(u,c)=Δu−c=f\Phi(u,c)=\Delta u-c=fである。

2 周期問題の定数と一意性

補題 2.1.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとし、F∈C1(Sn)F\in C^1(\mathcal S^n)がλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型（§E15.42 定義 3.2）であるとする。M∈SnM\in\mathcal S^nに対して、a(M)∈Sna(M)\in\mathcal S^nを、すべてのN∈SnN\in\mathcal S^nについてDF(M)[N]=a(M):NDF(M)[N]=a(M):Nを満たす行列とし、M,M′∈SnM,M'\in\mathcal S^nに対して

aˉ(M,M′)=∫01a(M+s(M′−M)) ds\bar a(M,M')=\int_0^1a\bigl(M+s(M'-M)\bigr)\,ds

を成分ごとの積分で定める。このとき、aˉ(M,M′)∈Sn\bar a(M,M')\in\mathcal S^n、λI≤aˉ(M,M′)≤ΛI\lambda I\leq\bar a(M,M')\leq\Lambda I、

F(M′)−F(M)=aˉ(M,M′):(M′−M)F(M')-F(M)=\bar a(M,M'):(M'-M)

が成り立ち、aˉ\bar aはSn×Sn\mathcal S^n\times\mathcal S^n上で連続である。

証明.§E15.42 命題 3.4 (2)により、各MMについてa(M)a(M)は一意に存在し、λI≤a(M)≤ΛI\lambda I\leq a(M)\leq\Lambda Iである。Eij=12(eiejT+ejeiT)E^{ij}=\frac12(e_ie_j^{\mathsf T}+e_je_i^{\mathsf T})とおくとa(M)ij=a(M):Eij=DF(M)[Eij]a(M)^{ij}=a(M):E^{ij}=DF(M)[E^{ij}]であり、F∈C1(Sn)F\in C^1(\mathcal S^n)であるからM↦a(M)ijM\mapsto a(M)^{ij}は連続である。よってaˉ(M,M′)\bar a(M,M')は定まり、対称行列の積分であるからSn\mathcal S^nに属する。被積分関数は(s,M,M′)∈[0,1]×Sn×Sn(s,M,M')\in[0,1]\times\mathcal S^n\times\mathcal S^nについて連続であるから、aˉ\bar aは連続である。ξ∈Rn\xi\in\R^nに対してξ⋅aˉ(M,M′)ξ=∫01ξ⋅a(M+s(M′−M))ξ ds\xi\cdot\bar a(M,M')\xi=\int_0^1\xi\cdot a(M+s(M'-M))\xi\,dsは[λ∣ξ∣2,Λ∣ξ∣2][\lambda|\xi|^2,\Lambda|\xi|^2]に属する。

φ(s)=F(M+s(M′−M))\varphi(s)=F(M+s(M'-M))とおく。§E12.22 命題 1.4 (3)によりφ\varphiはC1C^1級であり、φ′(s)=DF(M+s(M′−M))[M′−M]=a(M+s(M′−M)):(M′−M)\varphi'(s)=DF(M+s(M'-M))[M'-M]=a(M+s(M'-M)):(M'-M)である。微分積分学の基本定理によりF(M′)−F(M)=∫01φ′(s) ds=aˉ(M,M′):(M′−M)F(M')-F(M)=\int_0^1\varphi'(s)\,ds=\bar a(M,M'):(M'-M)である。▨

命題 2.2.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとし、F:Sn→RF:\mathcal S^n\to\Rをλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型な関数、G:Sn→RG:\mathcal S^n\to\Rを関数とする。実数κ1≤κ2\kappa_1\leq\kappa_2について、すべてのM∈SnM\in\mathcal S^nでF(M)+κ1≤G(M)≤F(M)+κ2F(M)+\kappa_1\leq G(M)\leq F(M)+\kappa_2が成り立つとする。f,g:Rn→Rf,g:\R^n\to\RをZn\Z^n周期の連続関数とし、Zn\Z^n周期の実数値関数u,v∈C2(Rn)u,v\in C^2(\R^n)とc,c′∈Rc,c'\in\RがRn\R^n上でF(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cとG(D2v)=g+c′G(D^2v)=g+c'を満たすとする。このとき

κ1+inf⁡Rn(f−g)≤c′−c≤κ2+sup⁡Rn(f−g)\kappa_1+\inf_{\R^n}(f-g)\leq c'-c\leq\kappa_2+\sup_{\R^n}(f-g)

である。

証明.N≥0N\geq0ならばF(M+N)−F(M)≥λtr⁡N≥0F(M+N)-F(M)\geq\lambda\operatorname{tr}N\geq0であるから、M≤M′M\leq M'ならばF(M)≤F(M′)F(M)\leq F(M')である。w=u−vw=u-vとおき、補題 1.1によりwwの最大点x∗x^*と最小点x∗x_*をとる。

D2w(x∗)≤0D^2w(x^*)\leq0であるからD2u(x∗)≤D2v(x∗)D^2u(x^*)\leq D^2v(x^*)であり、

g(x∗)+c′=G(D2v(x∗))≥F(D2v(x∗))+κ1≥F(D2u(x∗))+κ1=f(x∗)+c+κ1g(x^*)+c'=G(D^2v(x^*))\geq F(D^2v(x^*))+\kappa_1\geq F(D^2u(x^*))+\kappa_1=f(x^*)+c+\kappa_1

である。よってc′−c≥κ1+(f−g)(x∗)≥κ1+inf⁡Rn(f−g)c'-c\geq\kappa_1+(f-g)(x^*)\geq\kappa_1+\inf_{\R^n}(f-g)である。

D2w(x∗)≥0D^2w(x_*)\geq0であるからD2v(x∗)≤D2u(x∗)D^2v(x_*)\leq D^2u(x_*)であり、

g(x∗)+c′=G(D2v(x∗))≤F(D2v(x∗))+κ2≤F(D2u(x∗))+κ2=f(x∗)+c+κ2g(x_*)+c'=G(D^2v(x_*))\leq F(D^2v(x_*))+\kappa_2\leq F(D^2u(x_*))+\kappa_2=f(x_*)+c+\kappa_2

である。よってc′−c≤κ2+(f−g)(x∗)≤κ2+sup⁡Rn(f−g)c'-c\leq\kappa_2+(f-g)(x_*)\leq\kappa_2+\sup_{\R^n}(f-g)である。▨

系 2.3.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとし、F:Sn→RF:\mathcal S^n\to\Rをλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型な関数、f:Rn→Rf:\R^n\to\RをZn\Z^n周期の連続関数とする。このとき、Zn\Z^n周期の実数値関数u∈C2(Rn)u\in C^2(\R^n)とc∈Rc\in\RがF(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cを満たすならば、

−sup⁡Rnf≤c−F(0)≤−inf⁡Rnf-\sup_{\R^n}f\leq c-F(0)\leq-\inf_{\R^n}f

であり、特に∣c−F(0)∣≤sup⁡Rn∣f∣|c-F(0)|\leq\sup_{\R^n}|f|である。

証明. 零関数と定数F(0)F(0)はF(D20)=0+F(0)F(D^2 0)=0+F(0)を満たす。命題 2.2をG=FG=F、κ1=κ2=0\kappa_1=\kappa_2=0とし、第一の組を零関数、外力00、定数F(0)F(0)、第二の組をuu、外力ff、定数ccとして適用すると、inf⁡Rn(−f)≤c−F(0)≤sup⁡Rn(−f)\inf_{\R^n}(-f)\leq c-F(0)\leq\sup_{\R^n}(-f)を得る。▨

命題 2.4.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとし、F∈C1(Sn)F\in C^1(\mathcal S^n)をλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型、f:Rn→Rf:\R^n\to\RをZn\Z^n周期の連続関数とする。このとき、Zn\Z^n周期の実数値関数u1,u2∈C2(Rn)u_1,u_2\in C^2(\R^n)とc1,c2∈Rc_1,c_2\in\RがRn\R^n上でF(D2u1)=f+c1F(D^2u_1)=f+c_1とF(D2u2)=f+c2F(D^2u_2)=f+c_2を満たすならば、c1=c2c_1=c_2であり、u1−u2u_1-u_2は定数である。

証明.命題 2.2をG=FG=F、κ1=κ2=0\kappa_1=\kappa_2=0、g=fg=fに適用すると、0≤c2−c1≤00\leq c_2-c_1\leq0である。よってc1=c2c_1=c_2である。

w=u1−u2w=u_1-u_2とおき、aˉ\bar aを補題 2.1の行列値関数としてA(x)=aˉ(D2u2(x),D2u1(x))A(x)=\bar a(D^2u_2(x),D^2u_1(x))とおく。AAはRn\R^n上の有界連続なSn\mathcal S^n値関数であり、λI≤A≤ΛI\lambda I\leq A\leq\Lambda Iを満たし、

A(x):D2w(x)=F(D2u1(x))−F(D2u2(x))=c1−c2=0A(x):D^2w(x)=F(D^2u_1(x))-F(D^2u_2(x))=c_1-c_2=0

である。補題 1.1によりwwは最大点をもつ。Rn\R^nは空でない連結な開集合であり、−∑i,jAijDijw=0-\sum_{i,j}A^{ij}D_{ij}w=0であるから、§E15.18 定理 2.2をb=0b=0、c=0c=0に適用すると、wwは定数である。▨

3 零階と一階の評価

命題 3.1.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとする。このとき、n,λ,Λn,\lambda,\Lambdaだけに依存する定数C0C_0が存在して、次が成り立つ。F∈C1(Sn)F\in C^1(\mathcal S^n)をλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型、f:Rn→Rf:\R^n\to\RをZn\Z^n周期の連続関数とし、Zn\Z^n周期の実数値関数u∈C2(Rn)u\in C^2(\R^n)とc∈Rc\in\RがF(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cと∫Tnu=0\int_{\mathbb T^n}u=0を満たすならば、sup⁡Rn∣u∣≤C0sup⁡Rn∣f∣\sup_{\R^n}|u|\leq C_0\sup_{\R^n}|f|である。

証明.R=nR=\sqrt nとし、CHC_Hを§E15.42 定理 2.3でβ=γ=0\beta=\gamma=0とした定数、C0=2CHR∣B2R∣1/nC_0=2C_HR|B_{2R}|^{1/n}とおく。C0C_0はn,λ,Λn,\lambda,\Lambdaだけに依存する。

aˉ\bar aを補題 2.1の行列値関数とし、A(x)=aˉ(0,D2u(x))A(x)=\bar a(0,D^2u(x))、h=f+c−F(0)h=f+c-F(0)とおく。AAは連続でλI≤A≤ΛI\lambda I\leq A\leq\Lambda Iを満たし、A:D2u=F(D2u)−F(0)=hA:D^2u=F(D^2u)-F(0)=hである。系 2.3によりsup⁡∣h∣≤sup⁡∣f∣+∣c−F(0)∣≤2sup⁡∣f∣\sup|h|\leq\sup|f|+|c-F(0)|\leq2\sup|f|である。

補題 1.1によりuuの最小点x0x_0をとり、v=u−u(x0)v=u-u(x_0)とおく。v≥0v\geq0であり、A:D2v=hA:D^2v=hである。§E15.42 定理 2.3をB2R(x0)B_{2R}(x_0)上で、主要係数AA、一階と零階の係数00、外力hhに適用すると、inf⁡BR(x0)v=v(x0)=0\inf_{B_R(x_0)}v=v(x_0)=0であるから

sup⁡BR(x0)v≤CHR∥h∥Ln(B2R(x0))≤CHR∣B2R∣1/n⋅2sup⁡∣f∣=C0sup⁡∣f∣\sup_{B_R(x_0)}v\leq C_HR\|h\|_{L^n(B_{2R}(x_0))}\leq C_HR|B_{2R}|^{1/n}\cdot2\sup|f|=C_0\sup|f|

を得る。各x∈Rnx\in\R^nについて、各座標を整数だけずらすことによりx+m∈x0+[0,1)nx+m\in x_0+[0,1)^nを満たすm∈Znm\in\Z^nが存在し、y∈x0+[0,1)ny\in x_0+[0,1)^nならば∣y−x0∣<n=R|y-x_0|<\sqrt n=Rである。vvはZn\Z^n周期であるからsup⁡Rnv=sup⁡BR(x0)v\sup_{\R^n}v=\sup_{B_R(x_0)}vであり、sup⁡u−inf⁡u≤C0sup⁡∣f∣\sup u-\inf u\leq C_0\sup|f|である。

uuは連続で∫[0,1]nu dx=0\int_{[0,1]^n}u\,dx=0を満たすので、inf⁡u≤0≤sup⁡u\inf u\leq0\leq\sup uである。よって各xxについてu(x)≤sup⁡u−inf⁡uu(x)\leq\sup u-\inf uかつu(x)≥inf⁡u−sup⁡uu(x)\geq\inf u-\sup uであり、∣u(x)∣≤C0sup⁡∣f∣|u(x)|\leq C_0\sup|f|である。▨

命題 3.2.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとし、F∈C1(Sn)F\in C^1(\mathcal S^n)をλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型な関数とする。このとき、Zn\Z^n周期の実数値関数f∈C1(Rn)f\in C^1(\R^n)とu∈C3(Rn)u\in C^3(\R^n)、およびc∈Rc\in\RがF(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cを満たすならば、

sup⁡Rn∣Du∣2≤1λ2sup⁡Rn∣Df∣2+(1+nΛ22λ2)sup⁡Rnu2\sup_{\R^n}|Du|^2\leq\frac1{\lambda^2}\sup_{\R^n}|Df|^2+\Bigl(1+\frac{n\Lambda^2}{2\lambda^2}\Bigr)\sup_{\R^n}u^2

である。ここで∣Du∣|Du|と∣Df∣|Df|は Euclid ノルムである。

証明.M∈SnM\in\mathcal S^nに対して、a(M)a(M)を、すべてのN∈SnN\in\mathcal S^nについてDF(M)[N]=a(M):NDF(M)[N]=a(M):Nを満たす行列とし、A(x)=a(D2u(x))A(x)=a(D^2u(x))とおく。§E15.42 命題 3.4 (2)によりλI≤A≤ΛI\lambda I\leq A\leq\Lambda Iである。行列MMに対して∣M∣=(∑i,jMij2)1/2|M|=(\sum_{i,j}M_{ij}^2)^{1/2}とおく。AAの固有値はΛ\Lambda以下であるから∣A∣≤nΛ|A|\leq\sqrt n\Lambdaであり、∣A:M∣≤nΛ∣M∣|A:M|\leq\sqrt n\Lambda|M|である。

u∈C3(Rn)u\in C^3(\R^n)であるからx↦D2u(x)x\mapsto D^2u(x)はC1C^1級であり、§E12.22 命題 1.4 (3)により、k=1,…,nk=1,\ldots,nについて

A:D2(Dku)=DF(D2u)[DkD2u]=DkfA:D^2(D_ku)=DF(D^2u)[D_kD^2u]=D_kf

である。w=∣Du∣2+u2w=|Du|^2+u^2とおくと、w∈C2(Rn)w\in C^2(\R^n)はZn\Z^n周期であり、

A:D2w=2∑k=1nD(Dku)⋅AD(Dku)+2Du⋅Df+2Du⋅ADu+2u A:D2uA:D^2w=2\sum_{k=1}^nD(D_ku)\cdot AD(D_ku)+2Du\cdot Df+2Du\cdot ADu+2u\,A:D^2u

である。右辺の第一項は2λ∣D2u∣22\lambda|D^2u|^2以上、第三項は2λ∣Du∣22\lambda|Du|^2以上である。また

2∣u∣nΛ∣D2u∣≤2λ∣D2u∣2+nΛ22λu2,2∣Du∣∣Df∣≤λ∣Du∣2+1λ∣Df∣22|u|\sqrt n\Lambda|D^2u|\leq2\lambda|D^2u|^2+\frac{n\Lambda^2}{2\lambda}u^2,\qquad 2|Du||Df|\leq\lambda|Du|^2+\frac1\lambda|Df|^2

である。よって

A:D2w≥λ∣Du∣2−1λ∣Df∣2−nΛ22λu2A:D^2w\geq\lambda|Du|^2-\frac1\lambda|Df|^2-\frac{n\Lambda^2}{2\lambda}u^2

である。補題 1.1によりwwの最大点x∗x^*をとると、A(x∗):D2w(x∗)≤0A(x^*):D^2w(x^*)\leq0であるから、

∣Du(x∗)∣2≤1λ2sup⁡∣Df∣2+nΛ22λ2sup⁡u2|Du(x^*)|^2\leq\frac1{\lambda^2}\sup|Df|^2+\frac{n\Lambda^2}{2\lambda^2}\sup u^2

である。各xxについて∣Du(x)∣2≤w(x)≤w(x∗)=∣Du(x∗)∣2+u(x∗)2|Du(x)|^2\leq w(x)\leq w(x^*)=|Du(x^*)|^2+u(x^*)^2であるから、結論を得る。▨

4 二階の評価

命題 4.1.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambda、ϕ0,ϕ1,ϕ2≥0\phi_0,\phi_1,\phi_2\geq0とする。このとき、n,λ,Λ,ϕ0,ϕ1,ϕ2n,\lambda,\Lambda,\phi_0,\phi_1,\phi_2だけに依存する定数C2C_2が存在して、次が成り立つ。F∈C2(Sn)F\in C^2(\mathcal S^n)を凹でλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型な関数とし、Zn\Z^n周期の実数値関数f∈C2(Rn)f\in C^2(\R^n)がsup⁡∣f∣≤ϕ0\sup|f|\leq\phi_0、sup⁡∣Df∣≤ϕ1\sup|Df|\leq\phi_1、sup⁡∣D2f∣≤ϕ2\sup|D^2f|\leq\phi_2を満たすとする。ここで∣D2f∣=(∑i,j(Dijf)2)1/2|D^2f|=(\sum_{i,j}(D_{ij}f)^2)^{1/2}である。Zn\Z^n周期の実数値関数u∈C4(Rn)u\in C^4(\R^n)とc∈Rc\in\RがF(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cを満たすならば、sup⁡Rn∣D2u∣≤C2\sup_{\R^n}|D^2u|\leq C_2である。

証明.C0C_0を命題 3.1の定数とし、

G1=(ϕ12λ2+(1+nΛ22λ2)C02ϕ02)1/2,K+=(ϕ2+2G1ϕ12λ)1/2+G12,C2=nK++2ϕ0+nΛK+λG_1=\Bigl(\frac{\phi_1^2}{\lambda^2}+\Bigl(1+\frac{n\Lambda^2}{2\lambda^2}\Bigr)C_0^2\phi_0^2\Bigr)^{1/2},\qquad K_+=\Bigl(\frac{\phi_2+2G_1\phi_1}{2\lambda}\Bigr)^{1/2}+G_1^2,\qquad C_2=nK_++\frac{2\phi_0+n\Lambda K_+}{\lambda}

とおく。u~=u−∫Tnu\tilde u=u-\int_{\mathbb T^n}uはD2u~=D2uD^2\tilde u=D^2uと∫Tnu~=0\int_{\mathbb T^n}\tilde u=0を満たすので、命題 3.1によりsup⁡∣u~∣≤C0ϕ0\sup|\tilde u|\leq C_0\phi_0であり、命題 3.2をu~\tilde uに適用するとsup⁡∣Du∣≤G1\sup|Du|\leq G_1である。

a(M)a(M)を、すべてのNNについてDF(M)[N]=a(M):NDF(M)[N]=a(M):Nを満たす行列とし、A(x)=a(D2u(x))A(x)=a(D^2u(x))とおく。§E15.42 命題 3.4 (2)によりλI≤A≤ΛI\lambda I\leq A\leq\Lambda Iである。∣ξ∣=1|\xi|=1を満たすξ∈Rn\xi\in\R^nをとり、uξξ=ξ⋅D2u ξu_{\xi\xi}=\xi\cdot D^2u\,\xiとおく。Sn\mathcal S^nは凸な開集合であり、FFはSn\mathcal S^n上のC2C^2の凹関数であり、f+c∈C2(Rn)f+c\in C^2(\R^n)であり、u∈C4(Rn)u\in C^4(\R^n)はすべてのx∈Rnx\in\R^nについてF(D2u(x))−(f(x)+c)=0F(D^2u(x))-(f(x)+c)=0を満たす。Sn×Rn\mathcal S^n\times\R^n上の関数(M,x)↦F(M)−(f(x)+c)(M,x)\mapsto F(M)-(f(x)+c)について、§E15.43 命題 1.4の行列a(M,x)a(M,x)はa(M)a(M)に等しいから、同命題の作用素LLはA:D2A:D^2である。§E15.43 命題 1.4 (3)をC=Sn\mathcal C=\mathcal S^n、F0=FF_0=F、U=Ω=RnU=\Omega=\R^nと、同項のffをf+cf+cとして適用すると、(f+c)ξξ=ξ⋅D2f ξ(f+c)_{\xi\xi}=\xi\cdot D^2f\,\xiであり、∣ξ∣=1|\xi|=1であるから∣ξ⋅D2f ξ∣≤∣D2f∣|\xi\cdot D^2f\,\xi|\leq|D^2f|であるので、Rn\R^n上で

A:D2uξξ≥ξ⋅D2f ξ≥−ϕ2A:D^2u_{\xi\xi}\geq\xi\cdot D^2f\,\xi\geq-\phi_2

である。また、x↦D2u(x)x\mapsto D^2u(x)はC1C^1級であるから、方程式F(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cをxkx_kについて微分すると、§E12.22 命題 1.4 (3)により、k=1,…,nk=1,\ldots,nについてA:D2(Dku)=DF(D2u)[DkD2u]=DkfA:D^2(D_ku)=DF(D^2u)[D_kD^2u]=D_kfである。よって

A:D2(∣Du∣2)=2∑k=1nD(Dku)⋅AD(Dku)+2Du⋅Df≥2λ∣D2u∣2−2G1ϕ1A:D^2(|Du|^2)=2\sum_{k=1}^nD(D_ku)\cdot AD(D_ku)+2Du\cdot Df\geq2\lambda|D^2u|^2-2G_1\phi_1

である。

w(x,ξ)=uξξ(x)+∣Du(x)∣2w(x,\xi)=u_{\xi\xi}(x)+|Du(x)|^2はRn×Sn−1\R^n\times S^{n-1}上の連続関数であり、xxについてZn\Z^n周期である。コンパクト集合[0,1]n×Sn−1[0,1]^n\times S^{n-1}上の最大点を(x∗,ξ∗)(x^*,\xi^*)とすると、(x∗,ξ∗)(x^*,\xi^*)はRn×Sn−1\R^n\times S^{n-1}上の最大点である。x↦w(x,ξ∗)x\mapsto w(x,\xi^*)はZn\Z^n周期のC2C^2関数でx∗x^*において最大値をとるので、補題 1.1と上の二つの不等式により

0≥A(x∗):Dx2w(x∗,ξ∗)≥−ϕ2+2λ∣D2u(x∗)∣2−2G1ϕ10\geq A(x^*):D_x^2w(x^*,\xi^*)\geq-\phi_2+2\lambda|D^2u(x^*)|^2-2G_1\phi_1

である。∣ξ∣=1|\xi|=1のときuξξ≤∣D2u∣u_{\xi\xi}\leq|D^2u|であるから、すべてのxxとξ\xiについて

uξξ(x)≤w(x,ξ)≤w(x∗,ξ∗)≤∣D2u(x∗)∣+G12≤K+u_{\xi\xi}(x)\leq w(x,\xi)\leq w(x^*,\xi^*)\leq|D^2u(x^*)|+G_1^2\leq K_+

である。よってD2u(x)D^2u(x)のすべての固有値はK+K_+以下である。

x∈Rnx\in\R^nを固定し、スペクトル分解によりD2u(x)=P−ND^2u(x)=P-N、P,N≥0P,N\geq0、PN=0PN=0と分ける。PPの固有値はD2u(x)D^2u(x)の正の固有値または00であるから、tr⁡P≤nK+\operatorname{tr}P\leq nK_+である。一様楕円性によりF(D2u(x))−F(−N)≤Λtr⁡PF(D^2u(x))-F(-N)\leq\Lambda\operatorname{tr}PかつF(0)−F(−N)≥λtr⁡NF(0)-F(-N)\geq\lambda\operatorname{tr}Nであるから、系 2.3を用いて

λtr⁡N≤F(0)−F(D2u(x))+Λtr⁡P=F(0)−c−f(x)+Λtr⁡P≤2ϕ0+nΛK+\lambda\operatorname{tr}N\leq F(0)-F(D^2u(x))+\Lambda\operatorname{tr}P=F(0)-c-f(x)+\Lambda\operatorname{tr}P\leq2\phi_0+n\Lambda K_+

を得る。正半定値行列PPについて∣P∣≤tr⁡P|P|\leq\operatorname{tr}Pであるから、∣D2u(x)∣≤∣P∣+∣N∣≤tr⁡P+tr⁡N≤C2|D^2u(x)|\leq|P|+|N|\leq\operatorname{tr}P+\operatorname{tr}N\leq C_2である。▨

命題 4.2.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambda、K0,μ1,μ2≥0K_0,\mu_1,\mu_2\geq0とする。このとき、n,λ,Λ,K0,μ1,μ2n,\lambda,\Lambda,K_0,\mu_1,\mu_2だけに依存するα∗∈(0,1)\alpha_*\in(0,1)と定数C∗C_*が存在して、次が成り立つ。F∈C2(Sn)F\in C^2(\mathcal S^n)を凹でλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型な関数とし、Zn\Z^n周期の実数値関数f∈C2(Rn)f\in C^2(\R^n)がsup⁡∣Df∣≤μ1\sup|Df|\leq\mu_1とsup⁡∣D2f∣≤μ2\sup|D^2f|\leq\mu_2を満たすとする。ここで∣D2f∣=(∑i,j(Dijf)2)1/2|D^2f|=(\sum_{i,j}(D_{ij}f)^2)^{1/2}である。Zn\Z^n周期の実数値関数u∈C4(Rn)u\in C^4(\R^n)とc∈Rc\in\RがF(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cとsup⁡∣D2u∣≤K0\sup|D^2u|\leq K_0を満たすならば、すべてのx,y∈Rnx,y\in\R^nについて

∣D2u(x)−D2u(y)∣≤C∗∣x−y∣α∗|D^2u(x)-D^2u(y)|\leq C_*|x-y|^{\alpha_*}

である。

証明.α\alphaとCCを§E15.43 定理 5.1でn,λ,Λ,K0n,\lambda,\Lambda,K_0、δ=2\delta=2、μ1,μ2\mu_1,\mu_2とした指数と定数とし、α∗=α\alpha_*=\alpha、C∗=max⁡{C,4K0}C_*=\max\{C,4K_0\}とおく。

x0∈Rnx_0\in\R^nを固定し、U=RnU=\R^n、O=Sn×Rn\mathcal O=\mathcal S^n\times\R^n、G(M,y)=F(M)−f(x0+y)−cG(M,y)=F(M)-f(x_0+y)-c、u0(y)=u(x0+y)u_0(y)=u(x_0+y)とおく。O\mathcal Oの各切り口はSn\mathcal S^nであり凸である。G∈C2(O)G\in C^2(\mathcal O)であり、各yyについてG(⋅,y)G(\cdot,y)はFFと定数の差であるから、Sn\mathcal S^n上の凹関数であり、λ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型である。§E15.43 定義 1.1により、GGは行列変数について凹でありO\mathcal O上でλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型であるから、§E15.43 定理 5.1 条件 (a)が成り立つ。u0∈C4(B1)u_0\in C^4(B_1)であり、B1B_1上で∣D2u0∣≤K0|D^2u_0|\leq K_0かつG(D2u0(y),y)=0G(D^2u_0(y),y)=0であるから、§E15.43 定理 5.1 条件 (b)が成り立つ。O=Sn×U\mathcal O=\mathcal S^n\times Uであるから§E15.43 定理 5.1 条件 (c)も成り立つ。DyG=−Df(x0+y)D_yG=-Df(x_0+y)、Dy2G=−D2f(x0+y)D_y^2G=-D^2f(x_0+y)であり、ξ∈Rn\xi\in\R^nについて∂ξG(M,y)=−ξ⋅Df(x0+y)\partial_\xi G(M,y)=-\xi\cdot Df(x_0+y)はMMによらないので、§E15.43 定理 5.1のBξB_\xiは零である。よって§E15.43 定理 5.1 条件 (d)も成り立ち、§E15.43 定理 5.1により、y,z∈B1/2y,z\in B_{1/2}について∣D2u0(y)−D2u0(z)∣≤C∣y−z∣α|D^2u_0(y)-D^2u_0(z)|\leq C|y-z|^\alphaである。

x,y∈Rnx,y\in\R^n、x≠yx\neq yとする。∣x−y∣<1/2|x-y|<1/2ならば、上の評価をx0=xx_0=xと0,y−x∈B1/20,y-x\in B_{1/2}に適用して∣D2u(x)−D2u(y)∣≤C∣x−y∣α|D^2u(x)-D^2u(y)|\leq C|x-y|^\alphaを得る。∣x−y∣≥1/2|x-y|\geq1/2ならば∣D2u(x)−D2u(y)∣≤2K0≤2K0(2∣x−y∣)α≤4K0∣x−y∣α|D^2u(x)-D^2u(y)|\leq2K_0\leq2K_0(2|x-y|)^\alpha\leq4K_0|x-y|^\alphaである。▨

5 連続法による存在

補題 5.1.n≥1n\geq1を整数、0<α<10<\alpha<1とし、F∈C3(Sn)F\in C^3(\mathcal S^n)とする。M∈SnM\in\mathcal S^nに対して、a(M)∈Sna(M)\in\mathcal S^nを、すべてのN∈SnN\in\mathcal S^nについてDF(M)[N]=a(M):NDF(M)[N]=a(M):Nを満たす行列とする。実数値関数からなるX=C2,α(Tn)X=C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)、Y=C0,α(Tn)Y=C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)をとる。このとき、次が成り立つ。

  1. v∈Xv\in Xならば、F(D2v)F(D^2v)とa(D2v)a(D^2v)の各成分はYYに属する。
  2. N(v)=F(D2v)\mathcal N(v)=F(D^2v)で定まる写像N:X→Y\mathcal N:X\to YはC1C^1級であり、v,h∈Xv,h\in Xに対してDN(v)h=a(D2v):D2hD\mathcal N(v)h=a(D^2v):D^2hである。

証明.I={(i,j)∣1≤i≤j≤n}I=\{(i,j)\mid1\leq i\leq j\leq n\}とし、p=(i,j)∈Ip=(i,j)\in Iに対してEp=eieiTE^p=e_ie_i^{\mathsf T}（i=ji=j）、Ep=eiejT+ejeiTE^p=e_ie_j^{\mathsf T}+e_je_i^{\mathsf T}（i<ji<j）とおく。ι(y)=∑p∈IypEp\iota(y)=\sum_{p\in I}y_pE^pはRI\R^IからSn\mathcal S^nへの線形同型であり、ι(y)\iota(y)の(i,j)(i,j)成分はi≤ji\leq jのときy(i,j)y_{(i,j)}である。φ=F∘ι∈C3(RI)\varphi=F\circ\iota\in C^3(\R^I)とおくと、∂pφ(y)=DF(ι(y))[Ep]=a(ι(y)):Ep\partial_p\varphi(y)=DF(\iota(y))[E^p]=a(\iota(y)):E^pであるから、aii(ι(y))=∂(i,i)φ(y)a^{ii}(\iota(y))=\partial_{(i,i)}\varphi(y)、i<ji<jのときaij(ι(y))=aji(ι(y))=12∂(i,j)φ(y)a^{ij}(\iota(y))=a^{ji}(\iota(y))=\frac12\partial_{(i,j)}\varphi(y)である。v∈Xv\in Xに対してσ(v)=(Dijv)(i,j)∈I\sigma(v)=(D_{ij}v)_{(i,j)\in I}とおくと、D2v=ι(σ(v))D^2v=\iota(\sigma(v))であり、各成分について∥σp(v)∥Y≤∥v∥X\|\sigma_p(v)\|_Y\leq\|v\|_Xである。§E15.35 系 6.3 (2)の定数をCPC_Pとする。

主張 5.1.1.m≥1m\geq1を整数、ψ∈C1(Rm)\psi\in C^1(\R^m)とし、W=(W1,…,Wm)W=(W_1,\ldots,W_m)の各成分はYYに属するとする。ρ=∑qsup⁡∣Wq∣\rho=\sum_q\sup|W_q|とし、B‾ρ\overline{B}_\rhoをRm\R^mの原点中心半径ρ\rhoの閉球とする。このときψ∘W∈Y\psi\circ W\in Yであり、

∥ψ∘W∥Y≤sup⁡B‾ρ∣ψ∣+sup⁡B‾ρ∣Dψ∣∑q=1m[Wq]α\|\psi\circ W\|_Y\leq\sup_{\overline{B}_\rho}|\psi|+\sup_{\overline{B}_\rho}|D\psi|\sum_{q=1}^m[W_q]_\alpha

である。

証明.W(x)∈B‾ρW(x)\in\overline{B}_\rhoであり、ψ∘W\psi\circ WはZn\Z^n周期の連続関数である。B‾ρ\overline{B}_\rhoは凸であるから、平均値の定理により∣ψ(W(x))−ψ(W(y))∣≤sup⁡B‾ρ∣Dψ∣ ∣W(x)−W(y)∣≤sup⁡B‾ρ∣Dψ∣∑q[Wq]α∣x−y∣α|\psi(W(x))-\psi(W(y))|\leq\sup_{\overline{B}_\rho}|D\psi|\,|W(x)-W(y)|\leq\sup_{\overline{B}_\rho}|D\psi|\sum_q[W_q]_\alpha|x-y|^\alphaである。YYのノルムは上限ノルムとα\alpha半ノルムの和であるから、主張が従う。▨

主張 (1)を示す。F(D2v)=φ∘σ(v)F(D^2v)=\varphi\circ\sigma(v)であり、a(D2v)a(D^2v)の各成分は∂pφ∘σ(v)\partial_p\varphi\circ\sigma(v)の定数倍である。φ\varphiと∂pφ\partial_p\varphiはC1C^1級であるから、主張 5.1.1により主張が従う。

主張 (2)を示す。p,q∈Ip,q\in Iとy,z∈RIy,z\in\R^Iに対して

ψpq(y,z)=∫01(1−s) ∂p∂qφ(y+sz) ds,χpq(y,z)=∫01∂q∂pφ(y+sz) ds\psi_{pq}(y,z)=\int_0^1(1-s)\,\partial_p\partial_q\varphi(y+sz)\,ds,\qquad \chi_{pq}(y,z)=\int_0^1\partial_q\partial_p\varphi(y+sz)\,ds

とおく。φ∈C3\varphi\in C^3であるから、ψpq\psi_{pq}とχpq\chi_{pq}はRI×RI\R^I\times\R^I上でC1C^1級である。r↦φ(y+rz)r\mapsto\varphi(y+rz)とr↦∂pφ(y+rz)r\mapsto\partial_p\varphi(y+rz)に積分剰余つきの Taylor の公式を適用すると

φ(y+z)−φ(y)−∑p∂pφ(y)zp=∑p,qzpzqψpq(y,z),∂pφ(y+z)−∂pφ(y)=∑qzqχpq(y,z)\varphi(y+z)-\varphi(y)-\sum_p\partial_p\varphi(y)z_p=\sum_{p,q}z_pz_q\psi_{pq}(y,z),\qquad \partial_p\varphi(y+z)-\partial_p\varphi(y)=\sum_qz_q\chi_{pq}(y,z)

である。v∈Xv\in Xに対してTvh=a(D2v):D2hT_vh=a(D^2v):D^2hとおくと、a(D2v):D2h=∑iaiiDiih+2∑i<jaijDijha(D^2v):D^2h=\sum_ia^{ii}D_{ii}h+2\sum_{i<j}a^{ij}D_{ij}hであるからTvh=∑p(∂pφ∘σ(v)) σp(h)T_vh=\sum_p(\partial_p\varphi\circ\sigma(v))\,\sigma_p(h)である。主張 (1)と§E15.35 系 6.3 (2)により、TvT_vはXXからYYへの有界線形写像である。

v∈Xv\in Xを固定し、ρv=∣I∣(∥v∥X+1)\rho_v=|I|(\|v\|_X+1)とおく。∥h∥X≤1\|h\|_X\leq1を満たすh∈Xh\in Xについて、W=(σ(v),σ(h))W=(\sigma(v),\sigma(h))の成分の上限ノルムの和とα\alpha半ノルムの和はともにρv\rho_v以下である。RI×RI\R^I\times\R^Iの原点中心半径ρv\rho_vの閉球をB‾ρv\overline B_{\rho_v}とし、KvK_vを、sup⁡B‾ρv∣ψpq∣+ρvsup⁡B‾ρv∣Dψpq∣\sup_{\overline B_{\rho_v}}|\psi_{pq}|+\rho_v\sup_{\overline B_{\rho_v}}|D\psi_{pq}|とsup⁡B‾ρv∣χpq∣+ρvsup⁡B‾ρv∣Dχpq∣\sup_{\overline B_{\rho_v}}|\chi_{pq}|+\rho_v\sup_{\overline B_{\rho_v}}|D\chi_{pq}|の、すべてのp,qp,qにわたる最大値とする。主張 5.1.1により、∥ψpq(σ(v),σ(h))∥Y≤Kv\|\psi_{pq}(\sigma(v),\sigma(h))\|_Y\leq K_vかつ∥χpq(σ(v),σ(h))∥Y≤Kv\|\chi_{pq}(\sigma(v),\sigma(h))\|_Y\leq K_vである。Taylor の公式と§E15.35 系 6.3 (2)により

∥N(v+h)−N(v)−Tvh∥Y=∥∑p,qσp(h)σq(h)ψpq(σ(v),σ(h))∥Y≤∣I∣2CP2Kv∥h∥X2\|\mathcal N(v+h)-\mathcal N(v)-T_vh\|_Y=\Bigl\|\sum_{p,q}\sigma_p(h)\sigma_q(h)\psi_{pq}(\sigma(v),\sigma(h))\Bigr\|_Y\leq|I|^2C_P^2K_v\|h\|_X^2

である。よってN\mathcal Nはvvで Fréchet 微分可能であり、DN(v)=TvD\mathcal N(v)=T_vである。さらに、∥v′−v∥X≤1\|v'-v\|_X\leq1を満たすv′∈Xv'\in Xについて、h=v′−vh=v'-vに対する上の評価をχpq\chi_{pq}に用いると、

∥(Tv′−Tv)k∥Y=∥∑p,qσq(v′−v)χpq(σ(v),σ(v′−v))σp(k)∥Y≤∣I∣2CP2Kv∥v′−v∥X∥k∥X\|(T_{v'}-T_v)k\|_Y=\Bigl\|\sum_{p,q}\sigma_q(v'-v)\chi_{pq}(\sigma(v),\sigma(v'-v))\sigma_p(k)\Bigr\|_Y\leq|I|^2C_P^2K_v\|v'-v\|_X\|k\|_X

がk∈Xk\in Xについて成り立つ。よってv↦DN(v)v\mapsto D\mathcal N(v)は作用素ノルムについて連続であり、N\mathcal NはC1C^1級である。▨

命題 5.2.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとし、F∈C∞(Sn)F\in C^\infty(\mathcal S^n)を凹でλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型な関数、f∈C∞(Tn)f\in C^\infty(\mathbb T^n)を実数値関数とする。t∈[0,1]t\in[0,1]に対してFt(M)=(1−t)tr⁡M+tF(M)F_t(M)=(1-t)\operatorname{tr}M+tF(M)とおき、Rn\R^n上でFt(D2u)=tf+cF_t(D^2u)=tf+cを満たし∫Tnu=0\int_{\mathbb T^n}u=0である実数値関数u∈C∞(Tn)u\in C^\infty(\mathbb T^n)とc∈Rc\in\Rが存在するようなt∈[0,1]t\in[0,1]の全体をSSとする。このとき、次が成り立つ。

  1. 0∈S0\in Sである。
  2. SSは[0,1][0,1]の開集合である。
  3. SSは[0,1][0,1]の閉集合である。

証明.λ′=min⁡{1,λ}\lambda'=\min\{1,\lambda\}、Λ′=max⁡{1,Λ}\Lambda'=\max\{1,\Lambda\}とおく。t∈[0,1]t\in[0,1]について、FtF_tは滑らかで凹であり、N≥0N\geq0に対してFt(M+N)−Ft(M)=(1−t)tr⁡N+t(F(M+N)−F(M))F_t(M+N)-F_t(M)=(1-t)\operatorname{tr}N+t(F(M+N)-F(M))は[λ′tr⁡N,Λ′tr⁡N][\lambda'\operatorname{tr}N,\Lambda'\operatorname{tr}N]に属するので、FtF_tはλ′,Λ′\lambda',\Lambda'について一様楕円型である。

主張 5.2.1.t∈[0,1]t\in[0,1]、0<β<10<\beta<1、c∈Rc\in\Rとし、実数値関数u∈C2,β(Tn)u\in C^{2,\beta}(\mathbb T^n)がFt(D2u)=tf+cF_t(D^2u)=tf+cを満たすならば、u∈C∞(Tn)u\in C^\infty(\mathbb T^n)である。

証明.O=Sn×Rn\mathcal O=\mathcal S^n\times\R^nとし、G(M,x)=Ft(M)−tf(x)−cG(M,x)=F_t(M)-tf(x)-cとおく。G∈C∞(O)G\in C^\infty(\mathcal O)であり、各xxについてG(⋅,x)G(\cdot,x)はFtF_tと定数の差であるからSn\mathcal S^n上でλ′,Λ′\lambda',\Lambda'について一様楕円型であり、§E15.43 定義 1.1によりGGはO\mathcal O上でλ′,Λ′\lambda',\Lambda'について一様楕円型である。閉包がRn\R^nに含まれる任意の開球BBについて∥u∥C2,β(B‾)≤∥u∥C2,β(Rn)\|u\|_{C^{2,\beta}(\overline B)}\leq\|u\|_{C^{2,\beta}(\R^n)}であるから、u∈C2,β(B‾)u\in C^{2,\beta}(\overline B)である。§E15.43 定理 6.1をΩ=Rn\Omega=\R^nに適用するとu∈C∞(Rn)u\in C^\infty(\R^n)であり、uuはZn\Z^n周期であるからu∈C∞(Tn)u\in C^\infty(\mathbb T^n)である。▨

ϕ0=sup⁡∣f∣\phi_0=\sup|f|、ϕ1=sup⁡∣Df∣\phi_1=\sup|Df|、ϕ2=sup⁡∣D2f∣\phi_2=\sup|D^2f|とし、C0C_0を命題 3.1でλ′,Λ′\lambda',\Lambda'とした定数、G1=(ϕ12/λ′2+(1+nΛ′2/(2λ′2))C02ϕ02)1/2G_1=(\phi_1^2/\lambda'^2+(1+n\Lambda'^2/(2\lambda'^2))C_0^2\phi_0^2)^{1/2}、K0K_0を命題 4.1でλ′,Λ′,ϕ0,ϕ1,ϕ2\lambda',\Lambda',\phi_0,\phi_1,\phi_2とした定数C2C_2とする。α∗\alpha_*とC∗C_*を命題 4.2でλ′,Λ′,K0\lambda',\Lambda',K_0、μ1=ϕ1\mu_1=\phi_1、μ2=ϕ2\mu_2=\phi_2とした指数と定数とし、0<α<α∗0<\alpha<\alpha_*を固定する。実数値関数からなるX=C2,α(Tn)X=C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)、Y=C0,α(Tn)Y=C^{0,\alpha}(\mathbb T^n)、X0={v∈X∣∫Tnv=0}X_0=\{v\in X\mid\int_{\mathbb T^n}v=0\}をとり、E=X0×RE=X_0\times\Rにノルム∥v∥X+∣γ∣\|v\|_X+|\gamma|を入れる。定理 1.5 (3)によりEEは Banach 空間である。t∈Rt\in\RについてもFtF_tを同じ式で定め、

Φ(t,(v,γ))=Ft(D2v)−tf−γ(t∈R, (v,γ)∈E)\Phi(t,(v,\gamma))=F_t(D^2v)-tf-\gamma\qquad(t\in\R,\ (v,\gamma)\in E)

とおく。N\mathcal Nを補題 5.1の写像とすると、Φ(t,(v,γ))=Δv−γ+t(N(v)−Δv−f)\Phi(t,(v,\gamma))=\Delta v-\gamma+t(\mathcal N(v)-\Delta v-f)である。補題 1.2によりf∈Yf\in Yである。(t,(v,γ))↦(t,N(v)−Δv−f)(t,(v,\gamma))\mapsto(t,\mathcal N(v)-\Delta v-f)は補題 5.1 (2)によりR×E\R\times EからR×Y\R\times YへのC1C^1級写像である。(t,w)↦tw(t,w)\mapsto twは、(t+s)(w+k)−tw−(sw+tk)=sk(t+s)(w+k)-tw-(sw+tk)=skと∥sk∥Y≤(∣s∣+∥k∥Y)2\|sk\|_Y\leq(|s|+\|k\|_Y)^2により、微分(s,k)↦sw+tk(s,k)\mapsto sw+tkをもつC1C^1級写像である。§E12.22 命題 1.4 (3)によりΦ:R×E→Y\Phi:\R\times E\to YはC1C^1級であり、a(M)a(M)をDF(M)[N]=a(M):NDF(M)[N]=a(M):Nを満たす行列とすると、

D(v,γ)Φ(t,(v,γ))[(h,s)]=((1−t)I+t a(D2v)):D2h−sD_{(v,\gamma)}\Phi(t,(v,\gamma))[(h,s)]=\bigl((1-t)I+t\,a(D^2v)\bigr):D^2h-s

である。

主張 (1)を示す。F0(D20)=0=0⋅f+0F_0(D^2 0)=0=0\cdot f+0であり、零関数の平均は零であるから、u=0u=0、c=0c=0により0∈S0\in Sである。

主張 (2)を示す。t0∈St_0\in Sとし、(u0,c0)(u_0,c_0)をその解とする。補題 1.2によりu0∈X0u_0\in X_0であり、Φ(t0,(u0,c0))=0\Phi(t_0,(u_0,c_0))=0である。a0=(1−t0)I+t0a(D2u0)a_0=(1-t_0)I+t_0a(D^2u_0)の各成分は補題 5.1 (1)によりYYに属し、§E15.42 命題 3.4 (2)によりλ′I≤a0≤Λ′I\lambda'I\leq a_0\leq\Lambda'Iである。定理 1.5 (3)によりD(v,γ)Φ(t0,(u0,c0))∈Iso⁡(E,Y)D_{(v,\gamma)}\Phi(t_0,(u_0,c_0))\in\operatorname{Iso}(E,Y)である。§E12.22 定理 3.3により、t0t_0の開近傍UR⊆RU_\R\subseteq\Rと、Φ(t,g(t))=Φ(t0,(u0,c0))=0\Phi(t,g(t))=\Phi(t_0,(u_0,c_0))=0をすべてのt∈URt\in U_\Rについて満たす写像g:UR→Eg:U_\R\to Eが存在する。t∈UR∩[0,1]t\in U_\R\cap[0,1]とし、g(t)=(v,γ)g(t)=(v,\gamma)とすると、v∈Xv\in X、Ft(D2v)=tf+γF_t(D^2v)=tf+\gamma、∫Tnv=0\int_{\mathbb T^n}v=0であり、主張 5.2.1によりv∈C∞(Tn)v\in C^\infty(\mathbb T^n)である。よってUR∩[0,1]⊆SU_\R\cap[0,1]\subseteq Sであり、SSは[0,1][0,1]の開集合である。

主張 (3)を示す。tm∈St_m\in Sがt∈[0,1]t\in[0,1]へ収束するとし、(um,cm)(u_m,c_m)をtmt_mの解とする。FtmF_{t_m}は凹でλ′,Λ′\lambda',\Lambda'について一様楕円型であり、tmft_mfはsup⁡∣tmf∣≤ϕ0\sup|t_mf|\leq\phi_0、sup⁡∣D(tmf)∣≤ϕ1\sup|D(t_mf)|\leq\phi_1、sup⁡∣D2(tmf)∣≤ϕ2\sup|D^2(t_mf)|\leq\phi_2を満たす。命題 3.1、命題 3.2、命題 4.1、命題 4.2により、

sup⁡∣um∣≤C0ϕ0,sup⁡∣Dum∣≤G1,sup⁡∣D2um∣≤K0,∣D2um(x)−D2um(y)∣≤C∗∣x−y∣α∗\sup|u_m|\leq C_0\phi_0,\quad\sup|Du_m|\leq G_1,\quad\sup|D^2u_m|\leq K_0,\quad|D^2u_m(x)-D^2u_m(y)|\leq C_*|x-y|^{\alpha_*}

である。Ftm(0)=tmF(0)F_{t_m}(0)=t_mF(0)であるから、系 2.3により∣cm∣≤∣F(0)∣+ϕ0|c_m|\leq|F(0)|+\phi_0である。∣Dium∣≤∣Dum∣|D_iu_m|\leq|Du_m|、∣Dijum∣≤∣D2um∣|D_{ij}u_m|\leq|D^2u_m|であるから、(um)(u_m)はC2,α∗(Tn)C^{2,\alpha_*}(\mathbb T^n)の有界列である。§E15.35 系 6.3 (3)の包含C2,α∗(Tn)⋐C2,α(Tn)C^{2,\alpha_*}(\mathbb T^n)\Subset C^{2,\alpha}(\mathbb T^n)とR\Rの有界集合のコンパクト性により、部分列をとって、umu_mがXXのある元uuへ収束し、cmc_mがc∈Rc\in\Rへ収束するとしてよい。∫Tnu=lim⁡m∫Tnum=0\int_{\mathbb T^n}u=\lim_m\int_{\mathbb T^n}u_m=0であるから(u,c)∈E(u,c)\in Eであり、Φ\Phiの連続性によりΦ(t,(u,c))=lim⁡mΦ(tm,(um,cm))=0\Phi(t,(u,c))=\lim_m\Phi(t_m,(u_m,c_m))=0である。よってFt(D2u)=tf+cF_t(D^2u)=tf+cであり、主張 5.2.1によりu∈C∞(Tn)u\in C^\infty(\mathbb T^n)である。したがってt∈St\in Sである。▨

定理 5.3.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambda、Tn=Rn/Zn\mathbb T^n=\R^n/\Z^nとし、f∈C∞(Tn)f\in C^\infty(\mathbb T^n)を実数値関数とする。F∈C∞(Sn)F\in C^\infty(\mathcal S^n)が凹であり、すべてのM∈SnM\in\mathcal S^nとN≥0N\geq0を満たすすべてのN∈SnN\in\mathcal S^nについて

λtr⁡N≤F(M+N)−F(M)≤Λtr⁡N\lambda\operatorname{tr}N\leq F(M+N)-F(M)\leq\Lambda\operatorname{tr}N

を満たすとする。このとき、Rn\R^n上でF(D2u)=f+cF(D^2u)=f+cを満たし∫Tnu=0\int_{\mathbb T^n}u=0である実数値関数u∈C∞(Tn)u\in C^\infty(\mathbb T^n)とc∈Rc\in\Rが存在する。さらに、Zn\Z^n周期の実数値関数u′∈C2(Rn)u'\in C^2(\R^n)とc′∈Rc'\in\RがF(D2u′)=f+c′F(D^2u')=f+c'と∫Tnu′=0\int_{\mathbb T^n}u'=0を満たすならば、u′=uu'=uかつc′=cc'=cである。

証明.SSを命題 5.2の集合とする。命題 5.2 (1)、命題 5.2 (2)、命題 5.2 (3)により、SSは[0,1][0,1]の空でない開かつ閉な部分集合である。[0,1][0,1]は連結であるから、S=[0,1]S=[0,1]である。F1=FF_1=Fであるから、1∈S1\in Sは解(u,c)(u,c)の存在を与える。(u′,c′)(u',c')が同じ条件を満たすならば、命題 2.4によりc′=cc'=cであり、u′−uu'-uは定数である。∫Tn(u′−u)=0\int_{\mathbb T^n}(u'-u)=0であるから、その定数は00である。▨

例 5.4.n=2n=2とし、F(M)=M11F(M)=M_{11}とおく。このとき、FFは線形であるから滑らかで凹であり、N≥0N\geq0に対してF(M+N)−F(M)=N11F(M+N)-F(M)=N_{11}は00以上tr⁡N\operatorname{tr}N以下である。一方、N=e2e2TN=e_2e_2^{\mathsf T}とするとN≥0N\geq0、tr⁡N=1\operatorname{tr}N=1、F(M+N)−F(M)=0F(M+N)-F(M)=0であるから、どのようなλ>0\lambda>0についてもλtr⁡N≤F(M+N)−F(M)\lambda\operatorname{tr}N\leq F(M+N)-F(M)は成り立たない。このFFについて、定理 5.3の存在の結論は、定数でない実数値関数f2∈C∞(T1)f_2\in C^\infty(\mathbb T^1)によるf(x)=f2(x2)f(x)=f_2(x_2)について成り立たず、一意性の結論はf=0f=0について成り立たない。

f2∈C∞(T1)f_2\in C^\infty(\mathbb T^1)を定数でない実数値関数とし、f(x)=f2(x2)f(x)=f_2(x_2)とおく。Z2\Z^2周期の実数値関数u∈C2(R2)u\in C^2(\R^2)とc∈Rc\in\RがD11u=f+cD_{11}u=f+cを満たすと仮定する。各x2∈Rx_2\in\Rについて、D1uD_1uはx1x_1について周期11であるから∫01D11u(x1,x2) dx1=D1u(1,x2)−D1u(0,x2)=0\int_0^1D_{11}u(x_1,x_2)\,dx_1=D_1u(1,x_2)-D_1u(0,x_2)=0であり、f2(x2)+c=0f_2(x_2)+c=0である。f2(x2)+c=0f_2(x_2)+c=0がすべてのx2x_2について成り立つことは、f2f_2が定数でないことに反する。よって、どのc∈Rc\in\RについてもD11u=f+cD_{11}u=f+cのZ2\Z^2周期のC2C^2解は存在しない。

f=0f=0とする。∫01g=0\int_0^1g=0を満たす実数値関数g∈C∞(T1)g\in C^\infty(\mathbb T^1)に対して、u(x)=g(x2)u(x)=g(x_2)とc=0c=0はD11u=f+cD_{11}u=f+cと∫T2u=0\int_{\mathbb T^2}u=0を満たす。g=0g=0とg(s)=sin⁡2πsg(s)=\sin2\pi sは異なるuuを与えるので、平均零の解は一意でない。

凹性の仮定は、命題 4.1と命題 4.2の証明で用いる。凹性の仮定を外すと、解の二階微分の正則性は一般には得られない。実際、§E15.43 注意 5.3のとおり、Nadirashvili–Vlăduţ は、凹性を仮定しない一様楕円型の関数GGに対する方程式G(D2u)=0G(D^2u)=0について、次元1212でC1,1C^{1,1}に属するがC2C^2に属さない粘性解を構成した。

6 定数の行列変数への依存と非線形の例

命題 6.1.n≥1n\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambdaとし、F∈C∞(Sn)F\in C^\infty(\mathcal S^n)を凹でλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型な関数、f∈C∞(Tn)f\in C^\infty(\mathbb T^n)を実数値関数とする。P∈SnP\in\mathcal S^nに対してFP(M)=F(P+M)F_P(M)=F(P+M)は定理 5.3の仮定を満たすので、FPF_Pとffについて同定理が与える定数をc(P)c(P)とする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべてのP∈SnP\in\mathcal S^nとN≥0N\geq0を満たすすべてのN∈SnN\in\mathcal S^nについてλtr⁡N≤c(P+N)−c(P)≤Λtr⁡N\lambda\operatorname{tr}N\leq c(P+N)-c(P)\leq\Lambda\operatorname{tr}Nである。
  2. c:Sn→Rc:\mathcal S^n\to\Rは凹である。
  3. すべてのP∈SnP\in\mathcal S^nについて−sup⁡f≤c(P)−F(P)≤−inf⁡f-\sup f\leq c(P)-F(P)\leq-\inf fである。

証明.主張 (1)を示す。N≥0N\geq0とすると、すべてのMMについてFP(M)+λtr⁡N≤FP+N(M)≤FP(M)+Λtr⁡NF_P(M)+\lambda\operatorname{tr}N\leq F_{P+N}(M)\leq F_P(M)+\Lambda\operatorname{tr}Nである。命題 2.2をFPF_P、G=FP+NG=F_{P+N}、κ1=λtr⁡N\kappa_1=\lambda\operatorname{tr}N、κ2=Λtr⁡N\kappa_2=\Lambda\operatorname{tr}N、g=fg=fに適用すると、結論を得る。

主張 (2)を示す。P1,P2∈SnP_1,P_2\in\mathcal S^n、0≤θ≤10\leq\theta\leq1とし、P=θP1+(1−θ)P2P=\theta P_1+(1-\theta)P_2とおく。(uk,c(Pk))(u_k,c(P_k))をFPkF_{P_k}とffの解、(u,c(P))(u,c(P))をFPF_Pとffの解とし、u~=θu1+(1−θ)u2\tilde u=\theta u_1+(1-\theta)u_2とおく。FFの凹性により

F(P+D2u~)≥θF(P1+D2u1)+(1−θ)F(P2+D2u2)=f+θc(P1)+(1−θ)c(P2)F(P+D^2\tilde u)\geq\theta F(P_1+D^2u_1)+(1-\theta)F(P_2+D^2u_2)=f+\theta c(P_1)+(1-\theta)c(P_2)

である。補題 1.1によりu~−u\tilde u-uの最大点x∗x^*をとるとD2u~(x∗)≤D2u(x∗)D^2\tilde u(x^*)\leq D^2u(x^*)であり、一様楕円性から従うFFの単調性によりF(P+D2u~(x∗))≤F(P+D2u(x∗))=f(x∗)+c(P)F(P+D^2\tilde u(x^*))\leq F(P+D^2u(x^*))=f(x^*)+c(P)である。よってθc(P1)+(1−θ)c(P2)≤c(P)\theta c(P_1)+(1-\theta)c(P_2)\leq c(P)である。

主張 (3)を示す。FP(0)=F(P)F_P(0)=F(P)であるから、系 2.3をFPF_Pに適用すると結論を得る。▨

例 6.2.n=1n=1とし、S1=R\mathcal S^1=\Rと同一視する。0<δ<10<\delta<1に対してF(s)=s−δlog⁡cosh⁡sF(s)=s-\delta\log\cosh sとおく。このとき、F′(s)=1−δtanh⁡sF'(s)=1-\delta\tanh s、F′′(s)=−δcosh⁡−2s<0F''(s)=-\delta\cosh^{-2}s<0であるから、FFは滑らかで凹であり、1−δ<F′<1+δ1-\delta<F'<1+\deltaである。N≥0N\geq0に対してF(M+N)−F(M)=∫MM+NF′(r) drF(M+N)-F(M)=\int_M^{M+N}F'(r)\,drは[(1−δ)N,(1+δ)N][(1-\delta)N,(1+\delta)N]に属するので、FFは1−δ,1+δ1-\delta,1+\deltaについて一様楕円型である。

f∈C∞(T1)f\in C^\infty(\mathbb T^1)を実数値関数とし、(u,c)(u,c)を定理 5.3がFFとffについて与える解とする。このとき、F′≥1−δ>0F'\geq1-\delta>0であるからFFは狭義単調増加であり、∣F(s)∣≥(1−δ)∣s∣|F(s)|\geq(1-\delta)|s|であるからF:R→RF:\R\to\Rは連続な逆写像F−1F^{-1}をもつ全単射である。u′′=F−1(f+c)u''=F^{-1}(f+c)であり、∫01u′′ dx=u′(1)−u′(0)=0\int_0^1u''\,dx=u'(1)-u'(0)=0であるから

∫01F−1(f(x)+c) dx=0\int_0^1F^{-1}(f(x)+c)\,dx=0

である。左辺のccを実数c~\tilde cに置き換えた式はc~\tilde cについて狭義単調増加であるから、ccはこの方程式を満たすただ一つの実数である。

log⁡cosh⁡s≥0\log\cosh s\geq0であり、等号はs=0s=0のときに限る。f+c=F(u′′)=u′′−δlog⁡cosh⁡u′′f+c=F(u'')=u''-\delta\log\cosh u''を[0,1][0,1]上で積分すると

c=−∫01f dx−δ∫01log⁡cosh⁡u′′(x) dxc=-\int_0^1f\,dx-\delta\int_0^1\log\cosh u''(x)\,dx

を得る。よってc≤−∫01f dxc\leq-\int_0^1f\,dxであり、等号はu′′u''が恒等的に00のときに限る。u′′u''が恒等的に00ならばf+c=F(0)=0f+c=F(0)=0であり、ffは定数である。逆にffが定数f0f_0ならば、零関数と−f0-f_0が解であるから、定理 5.3の一意性によりu=0u=0である。したがって、等号はffが定数であるときに限る。特に、∫01f dx=0\int_0^1f\,dx=0を満たす定数でないffについてc<0c<0であり、f=0f=0についてはc=0c=0である。したがって、例 1.6の線形の場合のc=−∫fc=-\int fと異なり、ccは外力の平均だけでは定まらない。

例 6.3.n≥1n\geq1とm≥1m\geq1を整数、0<λ≤Λ0<\lambda\leq\Lambda、ε>0\varepsilon>0とし、ν=1,…,m\nu=1,\ldots,mについてAν∈SnA_\nu\in\mathcal S^nがλI≤Aν≤ΛI\lambda I\leq A_\nu\leq\Lambda Iを満たし、bν∈Rb_\nu\in\Rとする。ℓν(M)=Aν:M+bν\ell_\nu(M)=A_\nu:M+b_\nuとおき、

Fε(M)=−εlog⁡∑ν=1mexp⁡(−ℓν(M)ε)F_\varepsilon(M)=-\varepsilon\log\sum_{\nu=1}^m\exp\Bigl(-\frac{\ell_\nu(M)}\varepsilon\Bigr)

と定める。このとき、∑νexp⁡(−ℓν/ε)\sum_\nu\exp(-\ell_\nu/\varepsilon)はSn\mathcal S^n上の正の滑らかな関数であるから、FεF_\varepsilonは滑らかである。§E15.43 例 7.3をJ=mJ=m、aν=Aνa_\nu=A_\nuとして用いると、FεF_\varepsilonは凹であり、λ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型であって、すべてのM∈SnM\in\mathcal S^nについてmin⁡νℓν(M)−εlog⁡m≤Fε(M)≤min⁡νℓν(M)\min_\nu\ell_\nu(M)-\varepsilon\log m\leq F_\varepsilon(M)\leq\min_\nu\ell_\nu(M)を満たす。したがって、定理 5.3をFεF_\varepsilonと任意の実数値関数f∈C∞(Tn)f\in C^\infty(\mathbb T^n)に適用することができる。

注意 6.4.例 6.3の記号でF0(M)=min⁡νℓν(M)F_0(M)=\min_\nu\ell_\nu(M)とおくと、§E15.43 例 7.3により、F0F_0は凹でありλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型であるが、n=1n=1、m=2m=2、A1=λ<Λ=A2A_1=\lambda<\Lambda=A_2、b1=b2=0b_1=b_2=0のときには00で微分可能でない。したがって、このときのF0F_0は定理 5.3の仮定F∈C∞(Sn)F\in C^\infty(\mathcal S^n)を満たさない。

注意 6.5.命題 6.1のFF、ff、ccについて、次が成り立つ。有界な滑らかな領域Ω\Omega上でF(D2uε)=f(x/ε)F(D^2u^\varepsilon)=f(x/\varepsilon)と、ε\varepsilonによらない連続な Dirichlet 境界値を満たす粘性解uεu^\varepsilonは、ε→0\varepsilon\to0のときΩ‾\overline\Omega上で一様に収束し、その極限uuは同じ境界値をもつ方程式c(D2u)=0c(D^2u)=0の粘性解である。この性質を、P↦c(P)P\mapsto c(P)が周期均質化の有効作用素であるという。有界な滑らかな領域の Dirichlet 問題に対して§E15.38 定理 1.3を出発点とする同じ連続法を行うには、内部評価に加えて境界までの二階 Hölder 評価が必要であり、凹な一様楕円型方程式に対するこの評価は Krylov が与えた。Monge–Ampère 方程式log⁡det⁡D2u=f\log\det D^2u=fのlog⁡det⁡\log\detは、正定値行列の開錐の上で凹であるが、一様楕円型ではない。一方、0<κ<K0<\kappa<Kについて、§E15.43 例 7.4によりlog⁡det⁡\log\detは{M∈Sn∣κI<M<KI}\{M\in\mathcal S^n\mid\kappa I<M<KI\}の上でK−1,κ−1K^{-1},\kappa^{-1}について一様楕円型である。

7 演習

問題 7.1.例 6.3の記号で、実数値関数f∈C∞(Tn)f\in C^\infty(\mathbb T^n)を固定し、ε>0\varepsilon>0に対して定理 5.3がFεF_\varepsilonとffについて与える定数をcεc_\varepsilonとする。0<ε<ε′0<\varepsilon<\varepsilon'ならば0≤cε−cε′≤(ε′−ε)log⁡m0\leq c_\varepsilon-c_{\varepsilon'}\leq(\varepsilon'-\varepsilon)\log mであることを示し、ε↓0\varepsilon\downarrow0のときcεc_\varepsilonが収束することを示せ。

解答.

M∈SnM\in\mathcal S^nを固定し、ε>0\varepsilon>0の関数としてFε(M)F_\varepsilon(M)を微分する。Zε=∑νexp⁡(−ℓν/ε)Z_\varepsilon=\sum_\nu\exp(-\ell_\nu/\varepsilon)、pν=exp⁡(−ℓν/ε)/Zεp_\nu=\exp(-\ell_\nu/\varepsilon)/Z_\varepsilonとおくと、∂εZε=∑νexp⁡(−ℓν/ε)ℓν/ε2\partial_\varepsilon Z_\varepsilon=\sum_\nu\exp(-\ell_\nu/\varepsilon)\ell_\nu/\varepsilon^2であるから

∂εFε(M)=−log⁡Zε−∑νpνℓνε=∑νpνlog⁡pν\partial_\varepsilon F_\varepsilon(M)=-\log Z_\varepsilon-\sum_\nu p_\nu\frac{\ell_\nu}\varepsilon=\sum_\nu p_\nu\log p_\nu

である。ここでlog⁡pν=−ℓν/ε−log⁡Zε\log p_\nu=-\ell_\nu/\varepsilon-\log Z_\varepsilonを用いた。0<pν≤10<p_\nu\leq1であるから右辺は00以下である。log⁡\logの凹性により∑νpνlog⁡(1/pν)≤log⁡∑νpν(1/pν)=log⁡m\sum_\nu p_\nu\log(1/p_\nu)\leq\log\sum_\nu p_\nu(1/p_\nu)=\log mであるから、右辺は−log⁡m-\log m以上である。平均値の定理により、0<ε<ε′0<\varepsilon<\varepsilon'のとき、すべてのMMについて

Fε′(M)≤Fε(M)≤Fε′(M)+(ε′−ε)log⁡mF_{\varepsilon'}(M)\leq F_\varepsilon(M)\leq F_{\varepsilon'}(M)+(\varepsilon'-\varepsilon)\log m

である。

(uε,cε)(u_\varepsilon,c_\varepsilon)と(uε′,cε′)(u_{\varepsilon'},c_{\varepsilon'})を解とする。例 6.3によりFε′F_{\varepsilon'}はλ,Λ\lambda,\Lambdaについて一様楕円型であるから、命題 2.2をF=Fε′F=F_{\varepsilon'}、G=FεG=F_\varepsilon、κ1=0\kappa_1=0、κ2=(ε′−ε)log⁡m\kappa_2=(\varepsilon'-\varepsilon)\log m、g=fg=fと、第一の組(uε′,cε′)(u_{\varepsilon'},c_{\varepsilon'})、第二の組(uε,cε)(u_\varepsilon,c_\varepsilon)に適用すると、0≤cε−cε′≤(ε′−ε)log⁡m0\leq c_\varepsilon-c_{\varepsilon'}\leq(\varepsilon'-\varepsilon)\log mを得る。

よって、すべてのε,ε′′>0\varepsilon,\varepsilon''>0について∣cε−cε′′∣≤∣ε−ε′′∣log⁡m|c_\varepsilon-c_{\varepsilon''}|\leq|\varepsilon-\varepsilon''|\log mである。εk↓0\varepsilon_k\downarrow0を満たす任意の列について(cεk)(c_{\varepsilon_k})は Cauchy 列であるから収束する。εk↓0\varepsilon_k\downarrow0とεk′′↓0\varepsilon_k''\downarrow0を満たす二つの列について、極限の差の絶対値はlim⁡k∣εk−εk′′∣log⁡m=0\lim_k|\varepsilon_k-\varepsilon_k''|\log m=0以下であるから、極限は列によらない。したがってε↓0\varepsilon\downarrow0のときcεc_\varepsilonは収束する。▨

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