境界値空間 H^{1/2} | 偏微分方程式論 I

定義 1.1. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とし、 $\sigma$ を境界測度とする。 $n\geq2$ のとき、 $g\in L^2(\partial\Omega,\sigma)$ に対して

[g]_{1/2,\partial\Omega}^2 =\iint_{\partial\Omega\times\partial\Omega} \frac{|g(x)-g(y)|^2}{|x-y|^n}\,d\sigma(x)\,d\sigma(y), \qquad \|g\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}^2 =\|g\|_{L^2(\partial\Omega)}^2+[g]_{1/2,\partial\Omega}^2

とおく。二重積分の被積分関数は対角集合上で零と定める。このノルムが有限な関数の空間を半次数の境界 Sobolev 空間 (boundary Sobolev space of order one half) といい、 $H^{1/2}(\partial\Omega)$ と書く。

$n=1$ のときは、有限個の端点からなる $\partial\Omega$ 上のすべての複素数値関数の空間を $H^{1/2}(\partial\Omega)$ とし、ノルムを

\|g\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}^2 =\sum_{a\in\partial\Omega}|g(a)|^2

で定める。

命題 1.2. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とし、 $a$ を $\partial\Omega$ 上の Euclid 距離に関して Lipschitz 連続な複素数値関数とする。このとき、 $a$ による乗算は $H^{1/2}(\partial\Omega)$ 上の有界線形作用素である。 $\Omega$ のみに依存する定数 $C_\Omega$ が存在して、すべての $g\in H^{1/2}(\partial\Omega)$ に対して

\|ag\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)} \leq C_\Omega\bigl(\|a\|_\infty+\operatorname{Lip}(a)\bigr) \|g\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}

が成り立つ。

証明. $n=1$ では各端点における $|a g|\leq\|a\|_\infty|g|$ を二乗して加えればよい。 $n\geq2$ とし、 $\Gamma=\partial\Omega$ とおく。 $\Gamma=\varnothing$ ならば主張は成り立つので、 $\Gamma\ne\varnothing$ とする。

有限個のグラフ表示に§E15.12 補題 1.1を適用する。各グラフ上で $d\sigma\leq C\,dx'$ であり、球 $B(y,r)$ の座標超平面への射影は半径 $r$ の球に含まれる。したがって、すべての $y\in\Gamma$ と $r>0$ について

\sigma(\Gamma\cap B(y,r))\leq C_\Omega r^{n-1}

である。 $D>\operatorname{diam}\Gamma$ として、 $0<|x-y|<D$ を環状領域 $2^{-j-1}D\leq|x-y|<2^{-j}D$ （ $j\geq0$ ）に分けると、

\sup_{y\in\Gamma}\int_\Gamma|x-y|^{2-n}\,d\sigma(x) \leq C_\Omega\sum_{j=0}^\infty 2^{-j}D<\infty

を得る。

等式

a(x)g(x)-a(y)g(y) =a(x)(g(x)-g(y))+(a(x)-a(y))g(y)

の右辺を二項に分けて二乗を評価すると、

[ag]_{1/2,\Gamma}^2 \leq2\|a\|_\infty^2[g]_{1/2,\Gamma}^2 +2\operatorname{Lip}(a)^2 \int_\Gamma |g(y)|^2\left(\int_\Gamma|x-y|^{2-n}\,d\sigma(x)\right)d\sigma(y).

この評価に $\|ag\|_2\leq\|a\|_\infty\|g\|_2$ を合わせれば、所要の不等式を得る。▨

注意 1.3.命題 1.2の Lipschitz 連続性の仮定を、係数の有界性に置き換えることはできない。 $D=\{x\in\R^2:|x|<1\}$ とし、 $\partial D$ 上の関数 $a$ を、 $0<\theta<\pi$ で $a(e^{i\theta})=1$ 、 $\pi\leq\theta\leq2\pi$ で $a(e^{i\theta})=0$ と定める。 $a$ は有界であり、定数関数 $g=1$ は $[g]_{1/2,\partial D}=0$ を満たすので $H^{1/2}(\partial D)$ に属する。一方、§E15.12 補題 1.1の局所表示により、 $\partial D$ の境界測度は角度 $\theta$ に関する測度 $d\theta$ である。 $|e^{i\theta}-e^{i\varphi}|\leq|\theta-\varphi|$ であるから、 $x=e^{it}$ （ $0<t<\pi/2$ ）、 $y=e^{-is}$ （ $0<s<\pi/2$ ）の点対だけの寄与をとると

[ag]_{1/2,\partial D}^2 \geq\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\frac{ds\,dt}{(s+t)^2} =\int_0^{\pi/2}\frac{\pi/2}{t(t+\pi/2)}\,dt \geq\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{2t} =\infty

である。したがって $ag=a\notin H^{1/2}(\partial D)$ であり、有界な係数 $a$ による乗算は $H^{1/2}(\partial D)$ を $H^{1/2}(\partial D)$ へ移さない。

定理 2.1. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とする。 $n\geq2$ の場合、境界を覆う有限個のグラフ近傍 $U_j$ とグラフ表示

\gamma_j:B_j\longrightarrow\partial\Omega\cap U_j, \qquad \gamma_j(y')=(y',\varphi_j(y')) \quad(1\leq j\leq N)

をとる。各表示では直交座標を選び、 $B_j\subseteq\R^{n-1}$ は有界開直方体とする。 $\chi_j\in C_c^\infty(U_j)$ を $\sum_j\chi_j=1$ が境界上で成り立つようにとり、 $g\in L^2(\partial\Omega)$ に対して

h_j(y')=(\chi_jg)(\gamma_j(y'))\quad(y'\in B_j), \qquad h_j(y')=0\quad(y'\notin B_j)

とおく。このとき、 $g\in H^{1/2}(\partial\Omega)$ であることと、すべての $h_j$ が $H^{1/2}(\R^{n-1})$ に属することは同値であり、

\|g\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}^2 \asymp\sum_{j=1}^N\|h_j\|_{H^{1/2}(\R^{n-1})}^2

が成り立つ。同値定数は固定した座標と切断関数に依存する。

すべての $n\geq1$ について、トレースは有界線形全射

T:H^1(\Omega)\longrightarrow H^{1/2}(\partial\Omega)

を定める。さらに、有界線形作用素 $R:H^{1/2}(\partial\Omega)\to H^1(\Omega)$ で $TR=\id$ を満たすものが存在し、 $\ker T=H^1_0(\Omega)$ である。

証明. $n\geq2$ とし、 $\Gamma=\partial\Omega$ 、 $d=n-1$ とおく。空の境界の場合はすべての境界空間が零空間であるから、以下では $\Gamma\ne\varnothing$ とする。有限個のグラフ近傍に§E10.47 定理 2.1を適用すれば、主張の切断関数をとることができる。

$f_j=\chi_jg$ とおく。 $K_j=\supp\chi_j\cap\Gamma$ は $\Gamma\cap U_j$ のコンパクト部分集合である。したがって、 $K_j$ と $\Gamma\setminus U_j$ の距離、および $\gamma_j^{-1}(K_j)$ と $\R^d\setminus B_j$ の距離は、それぞれ正である。空の集合に対応する積分は零として扱う。グラフ上では

|y'-z'|\leq|\gamma_j(y')-\gamma_j(z')| \leq\sqrt{1+\operatorname{Lip}(\varphi_j)^2}\,|y'-z'|, \qquad dx'\leq d\sigma\leq C_j\,dx'

が成り立つ。境界測度の比較には§E15.12 補題 1.1を用いた。したがって、 $L^2$ ノルムと、両方の点が同じ座標近傍にある差分積分は、座標変換によって互いに定数倍で評価される。

差分積分の残りの部分では、一方の点が $K_j$ に属し、他方の点が $U_j$ の外にある。その寄与は、 $\operatorname{dist}(K_j,\Gamma\setminus U_j)>0$ と $\sigma(\Gamma)<\infty$ によって $C_j\|f_j\|_2^2$ 以下である。座標側の零延長についても、 $\delta_j=\operatorname{dist}(\gamma_j^{-1}(K_j),\R^d\setminus B_j)>0$ とすれば、

\int_{\R^d\setminus B_j}\frac{dz'}{|y'-z'|^{d+1}} \leq\int_{|z|\geq\delta_j}\frac{dz}{|z|^{d+1}}<\infty \quad(y'\in\gamma_j^{-1}(K_j))

である。よって§E15.13 命題 3.1を $t=1/2$ に適用すると、

\|h_j\|_{H^{1/2}(\R^d)}^2 \asymp\|f_j\|_{H^{1/2}(\Gamma)}^2

を得る。この比較は、両辺が無限大となる場合を含めて成立する。

命題 1.2により、 $\sum_j\|f_j\|_{H^{1/2}(\Gamma)}^2\leq C\|g\|_{H^{1/2}(\Gamma)}^2$ である。逆向きには、 $g=\sum_j f_j$ と Cauchy–Schwarz の不等式を $L^2$ 項および各差分に適用して

\|g\|_{H^{1/2}(\Gamma)}^2\leq N\sum_j\|f_j\|_{H^{1/2}(\Gamma)}^2

を得る。以上から局所ノルムとの同値性が従う。

$u\in H^1(\Omega)$ とし、§E15.9 定理 2.2による全空間への拡張を $Eu$ とする。各グラフ近傍を

U_j=\Phi_j(B_j\times(-b_j,b_j)),\qquad \Phi_j(y',t)=(y',\varphi_j(y')+t)

の形にとり、 $\Omega\cap U_j$ が $t>0$ に対応するように座標を選ぶ。局所ノルムの同値性は任意の固定した座標系で成立するので、この選択でよい。 $w_j=(\chi_jEu)\circ\Phi_j$ を $B_j\times(-b_j,b_j)$ の外で零に延長する。§E15.9 補題 1.2と積の弱微分公式により、 $w_j$ はこの筒で $H^1$ に属する。 $w_j$ の台は筒の内部にコンパクトに含まれるので、零延長後も $H^1(\R^n)$ に属し、

\|w_j\|_{H^1(\R^n)}\leq C_j\|u\|_{H^1(\Omega)}

である。零延長の弱微分は、台の近傍で $1$ となる切断関数を試験関数に掛けることで、筒内の弱微分の零延長と一致する。

§E15.13 定理 6.1を $s=1$ に適用すると、 $w_j(\cdot,0)$ のトレースは $H^{1/2}(\R^d)$ に属する。このトレースと鉛直方向の端点値は一致する。実際、滑らかな関数では両者が一致し、全空間での滑らかな近似と、上半筒における§E15.12 定理 2.2の連続性により一致が保存される。§E15.12 定理 2.2のグラフ座標における端点表示から、その値は $(\chi_jTu)\circ\gamma_j$ である。局所ノルムの同値性によって

\|Tu\|_{H^{1/2}(\Gamma)}\leq C\|u\|_{H^1(\Omega)}

を得る。

$g\in H^{1/2}(\Gamma)$ に対して、§E15.13 定理 6.1の有界線形右逆を $S:H^{1/2}(\R^d)\to H^1(\R^n)$ とする。各 $j$ について、 $\eta_j\in C_c^\infty(B_j\times(-b_j,b_j))$ を、 $\gamma_j^{-1}(K_j)\times\{0\}$ の近傍で $1$ となるように固定する。 $h_j$ に

V_j=\eta_j S h_j

を対応させる。 $V_j$ の超平面トレースは $h_j$ であり、 $\|V_j\|_{H^1(\R^n)}\leq C_j\|h_j\|_{H^{1/2}(\R^d)}$ である。 $V_j$ を $t>0$ に制限し、 $\Phi_j^{-1}$ と合成して $\Omega\cap U_j$ 上の関数とした後、 $\Omega\setminus U_j$ で零としたものを $R_jg$ とおく。 $V_j$ は筒の側面と上面から正の距離を持つ台をもつので、§E15.9 補題 1.2と先ほどの零延長の議論により

R_jg\in H^1(\Omega),\qquad \|R_jg\|_{H^1(\Omega)}\leq C_j\|h_j\|_{H^{1/2}(\R^d)}

である。鉛直方向の端点表示から $TR_jg=\chi_jg$ を得る。したがって

Rg=\sum_{j=1}^N R_jg

は有界線形作用素であり、 $TRg=\sum_j\chi_jg=g$ を満たす。

$n=1$ では、 $\Omega$ は互いに端点を共有しない有限個の有界開区間 $(a_j,b_j)$ の和である。§E15.12 定理 2.2により端点値への写像は有界である。各区間で

(Rg)(x)=\frac{b_j-x}{b_j-a_j}g(a_j) +\frac{x-a_j}{b_j-a_j}g(b_j)

と定めると、 $TRg=g$ である。関数と導関数の二乗を区間上で積分すれば、

\|Rg\|_{H^1(\Omega)}^2 \leq\sum_j\left(2(b_j-a_j)+\frac{2}{b_j-a_j}\right) \bigl(|g(a_j)|^2+|g(b_j)|^2\bigr)

となり、有界性が従う。すべての $n\geq1$ で、§E15.12 定理 3.3により $\ker T=H^1_0(\Omega)$ である。▨

例 3.1. $D=\{x\in\R^2:|x|<1\}$ とし、 $g\in L^2(\partial D)$ の Fourier 係数を

c_k=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}g(e^{i\theta})e^{-ik\theta}\,d\theta \quad(k\in\Z)

とする。このとき

g\in H^{1/2}(\partial D) \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k\in\Z}(1+|k|)|c_k|^2<\infty.

実際、 $\theta=2\pi t$ として§E14.17 命題 1.2を適用すると、

\int_0^{2\pi}|g(e^{i\theta})|^2\,d\theta =2\pi\sum_{k\in\Z}|c_k|^2,

および、各 $h\in\R$ について

\int_0^{2\pi}|g(e^{i(\theta+h)})-g(e^{i\theta})|^2\,d\theta =2\pi\sum_{k\in\Z}|c_k|^2|e^{ikh}-1|^2

を得る。円周の弦の長さは $|e^{ih}-1|=2|\sin(h/2)|$ であり、 $|h|\leq\pi$ では $2|h|/\pi\leq|e^{ih}-1|\leq|h|$ である。したがって、境界差分ノルムは

[g]_{1/2,\partial D}^2 \asymp 2\pi\sum_{k\in\Z}|c_k|^2 \int_{-\pi}^{\pi}\frac{|e^{ikh}-1|^2}{|h|^2}\,dh

と評価される。和と積分の交換は非負関数に対する Tonelli の定理による。 $k\ne0$ について、変数変換 $q=|k|h$ により

\int_{-\pi}^{\pi}\frac{|e^{ikh}-1|^2}{|h|^2}\,dh =|k|\int_{-|k|\pi}^{|k|\pi}\frac{|e^{iq}-1|^2}{q^2}\,dq \asymp |k|

である。最後の積分は、 $[-1,1]$ 上の正の積分で下から評価され、 $|e^{iq}-1|\leq\min\{|q|,2\}$ によって全実数上の有限な積分で上から評価される。 $k=0$ の項は零であるから、所要の同値性が従う。

$c_k=1/k$ （ $k\geq1$ ）、 $c_k=0$ （ $k\leq0$ ）とする。§E14.17 命題 1.2により、これらを係数にもつ $L^2(\partial D)$ の関数が存在する。しかし $\sum_{k\geq1}k|c_k|^2=\sum_{k\geq1}1/k=\infty$ であるから、 $g\notin H^{1/2}(\partial D)$ である。定理 2.1により、この $g$ は $H^1(D)$ の関数のトレースではない。

例 3.2. $D=\{x\in\R^2:|x|<1\}$ 、 $k\in\Z$ とする。このとき、境界値 $e^{ik\theta}$ の調和な持ち上げは

u_k(r,\theta)=r^{|k|}e^{ik\theta}

で与えられる。実際、 $k>0$ では $u_k(x)= (x_1+ix_2)^k$ 、 $k<0$ では $u_k(x)=(x_1-ix_2)^{|k|}$ であり、直接微分すると $\Delta u_k=0$ である。 $k=0$ では $u_0=1$ である。いずれも閉円板上で滑らかであり、指定したトレースをもつ。

$k\ne0$ について $m=|k|$ とおくと、

\begin{aligned} \int_D|\nabla u_k|^2\,dx &=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \left(|\partial_r u_k|^2+r^{-2}|\partial_\theta u_k|^2\right)r\,dr\,d\theta\\ &=2\pi\int_0^1 2m^2r^{2m-1}\,dr =2\pi |k|. \end{aligned}

$k=0$ の勾配エネルギーは零である。また、すべての $k\in\Z$ について

\int_D|u_k|^2\,dx=\frac{\pi}{|k|+1}.

定義 4.1. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とする。 $H^{1/2}(\partial\Omega)$ 上の連続な反線形汎関数の空間を負の半次数の境界 Sobolev 空間 (boundary Sobolev space of order minus one half) といい、 $H^{-1/2}(\partial\Omega)$ と書く。 $\lambda\in H^{-1/2}(\partial\Omega)$ と $g\in H^{1/2}(\partial\Omega)$ に対して

\langle\lambda,g\rangle=\lambda(g),\qquad \|\lambda\|_{H^{-1/2}}=\sup_{\|g\|_{H^{1/2}}\leq1}|\langle\lambda,g\rangle|

と定める。対合は $\lambda$ について線形、 $g$ について反線形である。 $q\in L^2(\partial\Omega)$ は、 $\langle q,g\rangle=\int_{\partial\Omega}q\overline g\,d\sigma$ によってこの反双対の元を定める。

超関数は試験関数の共役を入れない複素線形双対とする。 $F\in L^2(\Omega;\C^n)$ の超関数としての発散を

\langle\operatorname{div}F,\phi\rangle =-\int_\Omega F\cdot\nabla\phi\,dx \quad(\phi\in C_c^\infty(\Omega))

で定め、

H(\operatorname{div};\Omega) =\{F\in L^2(\Omega;\C^n):\operatorname{div}F\in L^2(\Omega)\}, \qquad \|F\|_{H(\operatorname{div})}^2 =\|F\|_2^2+\|\operatorname{div}F\|_2^2

とおき、 $H(\operatorname{div};\Omega)$ を $H(\operatorname{div})$ 空間 (H(div) space) という。

定理 4.2. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とし、 $R:H^{1/2}(\partial\Omega)\to H^1(\Omega)$ をトレースの有界線形右逆とする。 $F\in H(\operatorname{div};\Omega)$ とする。このとき、

\langle\gamma_\nu F,g\rangle =\int_\Omega\left(F\cdot\overline{\nabla Rg} +\operatorname{div}F\,\overline{Rg}\right)dx \quad(g\in H^{1/2}(\partial\Omega))

と定めると、この値は右逆 $R$ の選択に依存しない。 $\gamma_\nu F\in H^{-1/2}(\partial\Omega)$ であり、 $F\mapsto\gamma_\nu F$ は有界線形作用素である。この $\gamma_\nu F$ を $F$ の弱い法線流束 (weak normal trace) という。

証明. $w\in H^1_0(\Omega)$ とし、 $w_\ell\in C_c^\infty(\Omega)$ を $w_\ell\to w$ が $H^1$ で成り立つようにとる。発散の定義に $\overline{w_\ell}$ を代入して極限をとると、

\int_\Omega\left(F\cdot\overline{\nabla w} +\operatorname{div}F\,\overline w\right)dx=0

を得る。二つの持ち上げ $R_1g,R_2g$ の差は零トレースをもち、定理 2.1により $H^1_0(\Omega)$ に属する。したがって、上の等式を $w=R_1g-R_2g$ に適用すれば独立性が従う。

積空間で Cauchy–Schwarz の不等式を用いると、

|\langle\gamma_\nu F,g\rangle| \leq\|F\|_{H(\operatorname{div})}\|Rg\|_{H^1(\Omega)} \leq\|R\|\|F\|_{H(\operatorname{div})}\|g\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}.

定義式の積分は $g$ について反線形、 $F$ について線形であるから、この評価により $\gamma_\nu:H(\operatorname{div};\Omega)\to H^{-1/2}(\partial\Omega)$ は有界線形作用素である。▨

系 4.3. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とする。このとき、すべての $F\in H(\operatorname{div};\Omega)$ と $v\in H^1(\Omega)$ に対して

\int_\Omega\left(F\cdot\overline{\nabla v} +\operatorname{div}F\,\overline v\right)dx =\langle\gamma_\nu F,Tv\rangle

が成り立つ。 $F$ が $\overline\Omega$ の開近傍で $C^1$ 級である場合、 $\gamma_\nu F$ は $F\cdot\nu\in L^2(\partial\Omega)$ が定める反線形汎関数と一致する。

証明. $v-RTv\in H^1_0(\Omega)$ であるから、定理 4.2の証明における零積分の等式を適用して

\int_\Omega\left(F\cdot\overline{\nabla v} +\operatorname{div}F\,\overline v\right)dx =\int_\Omega\left(F\cdot\overline{\nabla RTv} +\operatorname{div}F\,\overline{RTv}\right)dx =\langle\gamma_\nu F,Tv\rangle

を得る。

$F$ が $\overline\Omega$ の開近傍で $C^1$ 級であるとする。任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対して、§E15.12 命題 3.1に $p=2$ 、 $u=\overline v$ 、 $\psi=F_i$ を代入し、 $i=1,\ldots,n$ について加える。 $T\overline v=\overline{Tv}$ であるから、

\int_\Omega\left(F\cdot\overline{\nabla v} +\operatorname{div}F\,\overline v\right)dx =\int_{\partial\Omega}(F\cdot\nu)\overline{Tv}\,d\sigma

を得る。 $T$ の全射性から、 $\gamma_\nu F$ と $F\cdot\nu$ がすべての境界データに対して一致する。▨

系 4.4. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とし、 $u\in H^1(\Omega)$ の超関数としての Laplace 作用素 $\Delta u$ が $L^2(\Omega)$ に属するとする。このとき

\partial_\nu u:=\gamma_\nu(\nabla u)\in H^{-1/2}(\partial\Omega)

が定まり、すべての $v\in H^1(\Omega)$ に対して

\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla v}\,dx +\int_\Omega\Delta u\,\overline v\,dx =\langle\partial_\nu u,Tv\rangle

が成り立つ。

証明. $\nabla u\in L^2(\Omega;\C^n)$ かつ $\operatorname{div}(\nabla u)=\Delta u\in L^2(\Omega)$ であるから、定理 4.2と系 4.3を $F=\nabla u$ に適用する。▨

注意 4.5. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とする。 $u\in H^1(\Omega)$ のみを仮定した場合、 $\Delta u$ は $H^1_0(\Omega)$ 上に

\langle\Delta u,w\rangle=-\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla w}\,dx

という連続な反線形汎関数を定めるが、 $\Delta u\in L^2(\Omega)$ とは限らない。したがって、 $\Delta u\in H^{-1}(\Omega)$ という条件だけでは、系 4.4における $H(\operatorname{div};\Omega)$ の法線流束の構成を適用することはできない。

実際、 $\Omega=(-1,1)$ 、 $u(x)=|x|$ とする。§E15.2 例 2.2により、 $\R$ 上の超関数として $|x|'=\operatorname{sgn}x$ 、 $|x|''=2\delta_0$ が成り立つ。これらの等式を $(-1,1)$ 上の試験関数に制限すると、 $u\in H^1(-1,1)$ であり、 $(-1,1)$ 上の超関数として $\Delta u=u''=2\delta_0$ である。 $L^2(-1,1)\subseteq L^1_{\mathrm{loc}}(-1,1)$ であり、§E15.1 例 3.2により $\delta_0$ は局所可積分関数から生じないので、 $\Delta u\notin L^2(-1,1)$ である。

§E15.14境界値空間 H^{1/2}

1 境界の差分ノルム

2 局所座標とトレースの像

3 円周の境界値と調和な持ち上げ

4 弱い法線流束

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