§E15.34輸送方程式と特性曲線

証明.$U$上の自律場$B(\tau,x)=(1,b(\tau,x))$の最大流を$\varphi$とする。第一成分の微分は$1$であるから、

である。最大流の定義域は開集合であり、§E13.15 系 2.2 (1)により$\varphi$は$C^1$級である。したがって、$D_{s,A}$は開集合であり、$(t,y)\mapsto X(t;s,y)$は$C^1$級である。

§E13.15 定理 1.3により、$t\in I_{s,y}$ならば$s\in I_{t,X(t;s,y)}$であり、

が成り立つ。よって$\Psi_{s,A}$は単射である。時刻$s$の断面から時刻$t$の断面への写像は、§E13.15 系 2.2 (3)の微分同相写像とその逆を、それぞれの断面へ制限したものである。両断面の接空間はともに$\{0\}\times\R^n$であるから、$D_yX(t;s,y)$は可逆である。したがって、

も可逆である。§E4.7 定理 2.1により$\Psi_{s,A}$は各点の近傍で$C^1$微分同相写像となる。その像$\Omega_{s,A}$は開集合であり、単射性によって各局所逆写像は一つの$C^1$逆写像を定める。合成則で得た等式から、この逆写像は$(t,x)\mapsto(t,X(s;t,x))$である。▨

証明.$(t,y)\in D_{s,A}$に対して、主張の表示式の右辺を$v(t,y)$とする。$I_{s,y}$は$s$を含む区間であるから、表示式の積分に現れる軌道はすべて定義されている。流れと係数は$C^1$級である。各$(t,y)$の積分区間を含む軌道のコンパクト部分を覆う近傍をとると、近傍内の初期点に対しても同じ区間上で被積分関数とその初期点微分が連続である。したがって、積分を初期点について微分することによって$C,v\in C^1(D_{s,A};\R)$を得る。

各$y\in A$について、§E13.3 定理 3.2により$t\mapsto v(t,y)$は$I_{s,y}$上の方程式

の一意な古典解である。$u=v\circ\Psi_{s,A}^{-1}$と定めると、命題 1.2により$u\in C^1(\Omega_{s,A};\R)$である。§E4.3 定理 1.1により、

であるから、$u$は所与の偏微分方程式と初期条件を満たす。

$\widetilde u\in C^1(\Omega_{s,A};\R)$も同じ偏微分方程式と初期条件を満たすとする。連鎖律により$t\mapsto\widetilde u(t,X(t;s,y))$は同じ一次線形方程式と初期条件を満たす。積分因子による一意性から$\widetilde u\circ\Psi_{s,A}=v=u\circ\Psi_{s,A}$であり、$\Psi_{s,A}$の全射性から$\widetilde u=u$である。▨

証明.$G$上の自律場

は$C^1$級である。§E13.4 系 4.4により、各$(s,y,u_0(y))$からの局所解は一意である。その第一成分は$t$、第二成分は$X(t;s,y)$であり、第三成分は$Z(t;y)$である。第二成分が第三成分に依存しないことから、拡大系の最大解の存在区間は、軌道$X(\cdot;s,y)$とその上の反応方程式の解$Z(\cdot;y)$が同時に存在する最大区間$J_y$に等しい。

拡大系の最大流の定義域の開性と§E13.15 系 2.2 (1)により、その流れと$C^1$写像$y\mapsto(s,y,u_0(y))$との合成は開集合$D_F$上で$C^1$級である。特に$Z\in C^1(D_F;\R)$である。命題 1.2の写像$\Psi_{s,A}$を$D_F$へ制限すると、$\Omega_F$への$C^1$微分同相写像となる。したがって$\Omega_F$は開集合であり、

は$C^1$級である。連鎖律により、$u(t,X(t;s,y))=Z(t;y)$を$t$について微分すると、主張の偏微分方程式を得る。$Z(s;y)=u_0(y)$により初期条件も成り立つ。

同じ$\Omega_F$上の別の$C^1$解$\widetilde u$を各軌道へ制限すると、$t\mapsto\widetilde u(t,X(t;s,y))$は$J_y$上で$Z$と同じ反応方程式と初期条件を満たす。両解が一致する時刻の集合は、連続性により$J_y$の閉集合であり、§E13.4 系 4.4の局所一意性により$J_y$の開集合でもある。この集合は$s$を含み、$J_y$は区間であるから、両解は$J_y$全体で一致する。よって$\widetilde u=u$である。任意の局所解の定義域は、$(s,y_0)$のまわりで短い特性曲線の族からなる近傍を含む。その近傍でも同じ反応方程式の一意性が成り立つから、解の芽は一意である。▨

証明.$(x,z)\in\R^{n+1}$にノルム$\|(x,z)\|=|x|+|z|$を入れると、拡大した非自律場$H(t,x,z)=(b(t,x),F(t,x,z))$は

を満たす。$H$は$C^1$級であるから、各コンパクトな時間区間と閉球の積上で連続かつ状態変数について一様に Lipschitz 連続である。§E13.7 定理 4.1を$p=2C$、$q=C$として適用すると、すべての$(y,u_0(y))$からの拡大系の解は$I$全体に存在する。得られた絶対連続解は、連続な右辺をもつ積分方程式を満たすため$C^1$級である。速度場$b$についても同じ定理を正負両方向の時間に適用することによって、各$(t,x)\in I\times\R^n$から時刻$s$へ至る軌道が存在する。したがって定理 2.1の存在領域は$\Omega_F=I\times\R^n$である。同定理により、$I\times\R^n$上の$C^1$解は一意に存在する。▨

証明.$p$の開近傍$V_0$上で$\Sigma\cap V_0=\{x\in V_0:\rho(x)=0\}$と$D\rho(x)\ne0$（$x\in V_0$）を満たす$C^1$定義関数$\rho$をとる。非特性条件は$D\rho(p)a(p)\ne0$と同値である。$V_0$を小さくすると、$D\rho(x)a(x)$は$V_0$上で一定の符号をもち、零にならない。$p$のまわりの$\Sigma$の$C^1$局所パラメータ表示を$\sigma:O\to\Sigma\cap V_0$とし、$O\subset\R^{n-1}$は開集合、$\sigma(y_0)=p$とする。$a$の局所流を$\Phi_r$とおき、

と定める。§E13.15 系 2.2 (1)により$K$は$(0,y_0)$の近傍で$C^1$級である。その微分の列は

である。後ろの$n-1$本は$T_p\Sigma$の基底であるから、非特性条件により$DK(0,y_0)$は可逆である。§E4.7 定理 2.1により、十分小さい$\varepsilon>0$と$y_0$の開近傍$O_0\subset O$を選ぶと、$K$は$(-\varepsilon,\varepsilon)\times O_0$からその像への$C^1$微分同相写像となる。

拡大した自律場$(x,z)\mapsto(a(x),F(x,z))$の、初期値$(\sigma(y),g(\sigma(y)))$から出る流れの第二成分を$Z(r,y)$とする。§E13.4 系 4.4と§E13.15 系 2.2 (1)により、$\varepsilon$と$O_0$を小さくすると$Z$は$(-\varepsilon,\varepsilon)\times O_0$上で$C^1$級であり、

を満たす。

$\varepsilon$と$O_0$を小さくして$W=K((-\varepsilon,\varepsilon)\times O_0)\subset V_0$とし、$u=Z\circ K^{-1}$と定める。$\rho(K(0,y))=0$であり、$\partial_r(\rho(K(r,y)))=D\rho(K(r,y))a(K(r,y))$は一定の符号をもつため、$K(r,y)\in\Sigma$であることと$r=0$であることは同値である。連鎖律により、

であるから、$u$は方程式を満たす。$r=0$では$u(\sigma(y))=Z(0,y)=g(\sigma(y))$である。

同じ初期値をもつ別の局所解$\widetilde u$に対し、$p$の近傍を小さくして各短い軌道$r\mapsto K(r,y)$を両解の定義域に含める。$\widetilde u(K(r,y))$は$Z(r,y)$と同じ反応方程式と初期条件を満たす。$F$の第二変数に関する局所 Lipschitz 連続性と§E13.4 系 4.4により両者は一致するため、$u$と$\widetilde u$は$p$の近傍で一致する。▨