§E15.11Rellich–Kondrachov のコンパクト性

証明.$u$が滑らかな場合、線分上の微積分の基本定理により

が成り立つ。$p<\infty$ならば、確率測度$dt$に関する凸性と変数変換から

を得る。$p=\infty$ならば、線分積分を$|h|\|\nabla u\|_\infty$で評価する。

一般の$u$に対し、§E15.8 命題 4.2の核による$u_\varepsilon=\rho_\varepsilon*u$を取る。$p<\infty$では、凸性と積分順序の交換により$\|\nabla u_\varepsilon\|_p\leq\|\nabla u\|_p$である。同命題の局所収束から、$\varepsilon_j\downarrow0$を選んで$u_{\varepsilon_j}\to u$がほとんど至る所で成り立つようにすることができる。固定した$h$に対し、滑らかな場合の評価に Fatou の補題を適用すると結論を得る。

$p=\infty$では$\|\nabla u_\varepsilon\|_\infty\leq\|\nabla u\|_\infty$である。局所$L^1$収束からほとんど至る所で収束する部分列を選ぶと、各固定$h$について$|u(x+h)-u(x)|\leq |h|\|\nabla u\|_\infty$がほとんどすべての$x$で成り立つ。よって本質的上限を取ると結論を得る。▨

証明.$\mathcal F=\emptyset$ならば結論は成り立つ。以下では$\mathcal F\ne\emptyset$とする。$M=\sup_{u\in\mathcal F}\|u\|_{W^{1,p}(\R^n)}<\infty$とおく。§E15.8 命題 4.2の核$\rho$と$0<\varepsilon<1$に対し、$S_\varepsilon u=\rho_\varepsilon*u$と定める。補題 1.1と確率測度$\rho_\varepsilon(y)\,dy$に関する凸性から

である。したがって平滑化誤差は$\mathcal F$上で一様に$\varepsilon M$以下となる。

$K+\overline{B(0,1)}$を含む閉球$\overline B$を固定する。$p'$を$1/p+1/p'=1$を満たす指数とすると、§E10.22 定理 4.2より

である。固定した$\varepsilon$に対し、$\{S_\varepsilon u:u\in\mathcal F\}$は$\overline B$上で一様有界かつ同程度連続であり、各点での値の集合は$\C$で全有界である。§E2.31 系 4.5により、この族の任意の列は$\overline B$上で一様収束する部分列をもつ。各元は$\overline B$の外で零であり、$\|v\|_p\leq |B|^{1/p}\|v\|_\infty$であるから、平滑化した族は$L^p(\R^n)$で全有界である。

$\delta>0$に対して$\varepsilon M<\delta/2$となる$\varepsilon$を選び、平滑化した族の有限$\delta/2$ネットを取る。三角不等式により、同じ中心の集合は$\mathcal F$の有限$\delta$ネットとなる。よって$\mathcal F$は全有界である。$L^p(\R^n)$の完備性から、その閉包はコンパクトである。▨

証明.$1\leq p<\infty$とし、$(u_j)$を$W^{1,p}(\Omega)$の有界列とする。§E15.9 定理 2.2の拡張$Eu_j$は$W^{1,p}(\R^n)$で有界であり、共通の固定球に台をもつ。命題 1.2により、部分列を選ぶと$(Eu_j)$は$L^p(\R^n)$で収束する。したがって$(u_j)$は$L^p(\Omega)$で収束する。以下ではこの部分列を用いる。

主張 (1)を示す。$1\leq q<p$ならば、§E10.22 定理 4.2より

である。$p<q<p^*$ならば、§E15.10 定理 1.2を拡張に適用して$\sup_j\|u_j\|_{p^*}<\infty$を得る。$1/q=\theta/p+(1-\theta)/p^*$を満たす$0<\theta<1$を取る。Hölder の不等式を$|v|^{\theta q}|v|^{(1-\theta)q}$に適用すると

である。$v=u_j-u_k$とすると右辺は零へ収束する。$q=p$は既に得た収束であり、$L^q(\Omega)$の完備性から結論を得る。

主張 (2)を示す。$n\geq2$の場合、$q\leq n$は有限測度の評価と$L^n$収束から従う。$q>n$に対して有限指数$r>q$を取る。§E15.10 命題 2.1より$\sup_j\|u_j\|_r<\infty$である。上の Hölder 補間を指数$n,q,r$に適用すると、$(u_j)$は$L^q(\Omega)$の Cauchy 列となる。

$n=1$の場合、有界 Lipschitz 開集合は有限個の有界開区間の非交和である。実際、一次元の Lipschitz 境界の各点は境界の孤立点であり、境界のコンパクト性により境界点は有限個である。各区間に§E13.29 命題 2.6を適用し、区間の有限個数だけ部分列を順に選ぶと、$\Omega$全体で$L^q$収束する部分列を得る。

主張 (3)を示す。$(u_j)$を$W^{1,p}(\Omega)$の有界列とする。§E15.10 系 3.3により、各$u_j$は$\overline\Omega$上の一意な連続代表をもち、その$C^{0,\alpha}$ノルムは一様有界である。§E2.31 系 4.5により、これらの代表の部分列は$\overline\Omega$上で連続関数$u$に一様収束する。一様な Hölder 評価の極限を取ると$[u]_{\alpha}\leq\sup_j[u_j]_{\alpha}$である。

$0<\beta<\alpha$を固定する。$v=u_j-u$とおくと、各$x\ne y$について

である。$\min\{A,B\}\leq A^{1-\beta/\alpha}B^{\beta/\alpha}$から

となる。よって部分列は$C^{0,\beta}(\overline\Omega)$でも収束する。▨

証明.$\Omega=\emptyset$ならば対象の空間は零空間であり、結論は成り立つ。以下では$\Omega\ne\emptyset$とする。$n>2$では$2<2n/(n-2)$であるから定理 2.1 (1)を用いる。$n=2$では定理 2.1 (2)を用いる。$n=1$では定理 2.1 (3)により一様収束する部分列を選ぶと、$\Omega$の測度が有限であるから、その部分列は$L^2$でも収束する。$H^1_0(\Omega)$の有界列は$H^1(\Omega)$の有界列でもあるから、同じ結論を満たす。▨

証明. 不等式が成立しないと仮定する。各$j\geq1$に対し、$w_j\in W^{1,p}(\Omega)$を

となるように取り、

と定める。このとき$(v_j)_\Omega=0$、$\|v_j\|_p=1$、$\|\nabla v_j\|_p<1/j$である。

$p<\infty$では定理 2.1により、部分列を選ぶと$v_j\to v$が$L^p(\Omega)$で成り立つ。$p=\infty$では同定理の連続代表が$\overline\Omega$上で一様収束する部分列を選び、その極限を$v$とする。いずれの場合にも$v_j\to v$は$L^1(\Omega)$で成り立つから、$\int_\Omega v=0$である。また、$L^p$ノルムの連続性により$\|v\|_p=1$である。

任意の$\psi\in C_c^\infty(\Omega)$と各$i$に対し、弱微分の定義から

である。最後の極限は Hölder の不等式と$\|D_i v_j\|_p\to0$による。したがって$D_i v=0$であり、§E15.8 系 2.2と連結性により$v$はほとんど至る所定数である。平均零からその定数は零となるが、$\|v\|_p=1$に反する。よって仮定は偽である。▨

証明. Lipschitz 境界の各点の十分小さい座標近傍では、$\Omega$は連結な上側領域であり、その近傍に接する連結成分は一つである。境界のコンパクト性から有限個の座標近傍で境界を覆うことができ、各連結成分は境界をもつから、連結成分の個数は有限である。また、各境界近傍に接する連結成分は一つであるから、各成分も同じ局所表示をもつ有界連結 Lipschitz 開集合である。

各$\Omega_\ell$に定理 4.1を適用し、その定数の最大値を$C$とする。$p<\infty$では

である。$p=\infty$では各成分の評価の最大値を取ると結論を得る。▨