Fourier 変換による H^s | 偏微分方程式論 I

定義 1.1 (実数次数の Sobolev 空間). $n\in\NN$ 、 $s\in\R$ とし、 $\langle\xi\rangle=(1+4\pi^2|\xi|^2)^{1/2}$ とおく。Fourier 変換の指数を $e^{-2\pi ix\cdot\xi}$ とし、超関数の双対作用は複素線形とする。Sobolev 空間 (Sobolev space) $H^s(\R^n)$ を

H^s(\R^n)=\{u\in\mathcal S'(\R^n):\widehat u\text{ は関数で表され、 }\langle\xi\rangle^s\widehat u\in L^2(\R^n)\}

と定める。内積とノルムを

(u,v)_{H^s}=\int_{\R^n}\langle\xi\rangle^{2s}\widehat u(\xi)\overline{\widehat v(\xi)}\,d\xi, \qquad \|u\|_{H^s}^2=(u,u)_{H^s}

と定める。内積は第一変数について線形である。

定理 1.2. $n\in\NN$ 、 $s\in\R$ とする。このとき、写像

J_s:H^s(\R^n)\longrightarrow L^2(\R^n),\qquad J_su=\langle\xi\rangle^s\widehat u

は等長線形全単射である。したがって $H^s(\R^n)$ は Hilbert 空間であり、 $\mathcal S(\R^n)$ は $H^s(\R^n)$ において稠密である。包含 $H^s(\R^n)\to\mathcal S'(\R^n)$ は連続であり、 $s'\le s$ ならば

\|u\|_{H^{s'}}\le\|u\|_{H^s}\qquad(u\in H^s(\R^n))

が成り立つ。

証明. $f\in L^2(\R^n)$ をとる。整数 $N$ を $N+s>n/2$ となるように選ぶと、Cauchy–Schwarz の不等式により

\int\langle\xi\rangle^{-N}|\langle\xi\rangle^{-s}f(\xi)|\,d\xi \le\|f\|_2\left(\int\langle\xi\rangle^{-2(N+s)}\,d\xi\right)^{1/2}<\infty

である。§E15.4 命題 1.4と§E15.4 定理 3.2により、 $u=\mathcal F^{-1}(\langle\xi\rangle^{-s}f)$ は緩増加超関数であり、 $J_su=f$ である。Fourier 変換の単射性から $J_s$ は単射でもある。内積の定義と $L^2$ の完備性により等長性と完備性が従う。

§E10.47 定理 1.4を $d=n$ 、 $\mathbb K=\C$ 、 $p=2$ に対して適用し、 $\|f_j-f\|_2\to0$ を満たす $f_j\in C_c^\infty(\R^n;\C)$ を取る。 $\langle\xi\rangle^{-s}f_j\in C_c^\infty$ であるから、§E15.3 定理 2.1により $u_j=\mathcal F^{-1}(\langle\xi\rangle^{-s}f_j)\in\mathcal S$ であり、 $\|u_j-u\|_{H^s}=\|f_j-f\|_2\to0$ である。

$\varphi\in\mathcal S$ に対して、反転公式と超関数の Fourier 変換の定義から

\langle u,\varphi\rangle=\int\widehat u(\xi)\widehat\varphi(-\xi)\,d\xi, \qquad |\langle u,\varphi\rangle|\le\|u\|_{H^s}\|\langle\xi\rangle^{-s}\widehat\varphi(-\xi)\|_2

である。右辺の第二因子は Schwartz 空間の連続半ノルムで抑えられるので、包含は連続である。 $\langle\xi\rangle\ge1$ により、 $s'\le s$ の場合のノルム評価も従う。▨

命題 1.3. $n\in\NN$ 、 $k\in\N$ とする。このとき $H^k(\R^n)=W^{k,2}(\R^n)$ であり、 $W^{k,2}$ のノルムは $H^k$ の同値なノルムである。任意の $s\in\R$ と $\alpha\in\N^n$ に対して、超関数微分は有界線形写像

D^\alpha:H^s(\R^n)\longrightarrow H^{s-|\alpha|}(\R^n), \qquad \|D^\alpha u\|_{H^{s-|\alpha|}}\le\|u\|_{H^s}

を定める。

証明. 多項式の展開により、 $P_k(\xi)=\sum_{|\alpha|\le k}|(2\pi\xi)^\alpha|^2$ とおくと

P_k(\xi)\le C_{n,k}\langle\xi\rangle^{2k},\qquad \langle\xi\rangle^{2k}=(1+4\pi^2\xi_1^2+\cdots+4\pi^2\xi_n^2)^k\le C'_{n,k}P_k(\xi)

である。§E15.4 命題 3.5と§E15.4 命題 3.3により、 $u\in L^2$ の超関数微分 $D^\alpha u$ が $L^2$ に属することは、 $(2\pi i\xi)^\alpha\widehat u\in L^2$ と同値であり、その $L^2$ ノルムも一致する。弱微分の定義§E15.8 定義 1.1と上の多項式比較から空間の一致を得る。有限個の非負数の和と二乗和の平方根は同値であるから、同じ比較からノルムの同値性が従う。

一般の $s$ に対しては $|(2\pi\xi)^\alpha|\le\langle\xi\rangle^{|\alpha|}$ である。微分の乗数公式を用いて重み付き $L^2$ ノルムを評価すると、主張の不等式を得る。▨

定理 2.1. $n\in\NN$ 、 $s\in\R$ とする。 $f\in H^{-s}(\R^n)$ と $v\in H^s(\R^n)$ に対して

\langle f,v\rangle_{-s,s}=\int_{\R^n}\widehat f(\xi)\overline{\widehat v(\xi)}\,d\xi

とおく。このとき、この対応は、 $H^{-s}(\R^n)$ を $H^s(\R^n)$ の連続反線形汎関数全体と等長線形に同定する。 $\varphi\in\mathcal S$ に対しては

\langle f,\varphi\rangle_{\mathcal S',\mathcal S}=\langle f,\overline\varphi\rangle_{-s,s}

である。特に、 $f,v\in L^2$ の場合には反双対作用は $\int f\overline v$ に等しい。

証明. Cauchy–Schwarz の不等式により

|\langle f,v\rangle_{-s,s}|\le\|\langle\xi\rangle^{-s}\widehat f\|_2\|\langle\xi\rangle^s\widehat v\|_2 =\|f\|_{H^{-s}}\|v\|_{H^s}

である。 $H^s$ 上の連続反線形汎関数 $L$ に対し、 $h\mapsto\overline{L(J_s^{-1}h)}$ は $L^2$ 上の連続線形汎関数である。§E10.5 定理 1.1を適用し、複素共役を取ると、ある一意な $q\in L^2$ によって

L(v)=\int q(\xi)\overline{J_sv(\xi)}\,d\xi,\qquad \|L\|=\|q\|_2

と表される。 $\widehat f=\langle\xi\rangle^s q$ と定めると、定理 1.2により $f\in H^{-s}$ であり、 $L(v)=\langle f,v\rangle_{-s,s}$ 、 $\|f\|_{H^{-s}}=\|L\|$ である。Schwartz 関数に対する等式は $\widehat{\overline\varphi}(\xi)=\overline{\widehat\varphi(-\xi)}$ から従い、 $L^2$ の場合の等式は§E14.15 定理 4.1と§E15.4 命題 3.5から従う。▨

例 2.2. $n\in\NN$ とする。このとき、§E15.4 例 3.6により、原点の Dirac 超関数 $\delta_0$ の Fourier 変換は定数関数 $1$ である。したがって任意の $s\in\R$ について

\delta_0\in H^{-s}(\R^n)\quad\Longleftrightarrow\quad s>n/2

である。実際、原点付近では $\langle\xi\rangle^{-2s}$ は有界であり、無限遠での積分は $\int_1^\infty r^{n-1-2s}\,dr$ と同時に収束する。 $s>n/2$ の場合、 $v\mapsto\overline{v(0)}$ は Schwartz 空間から $H^s$ 全体の連続反線形汎関数へ延長される。 $s\le n/2$ の場合には、この延長は存在しない。存在すれば定理 2.1と Schwartz 空間上での作用の一致から $\delta_0\in H^{-s}$ となり、積分の発散に反する。 $\delta_0$ は局所可積分関数ではないが、超関数としての点での作用はすべての試験関数について定義されている。

命題 2.3. $n\in\NN$ 、 $s_0,s_1\in\R$ 、 $0\le\theta\le1$ とし、 $s=(1-\theta)s_0+\theta s_1$ とおく。このとき、 $u\in H^{s_0}(\R^n)\cap H^{s_1}(\R^n)$ ならば $u\in H^s(\R^n)$ であり、

\|u\|_{H^s}\le\|u\|_{H^{s_0}}^{1-\theta}\|u\|_{H^{s_1}}^\theta

が成り立つ。端点では右辺をそれぞれ $\|u\|_{H^{s_0}}$ 、 $\|u\|_{H^{s_1}}$ と解釈する。

証明. $0<\theta<1$ のとき、§E10.22 定理 4.2を指数 $1/(1-\theta)$ と $1/\theta$ に対して適用すると

\int\langle\xi\rangle^{2s}|\widehat u|^2 =\int(\langle\xi\rangle^{2s_0}|\widehat u|^2)^{1-\theta}(\langle\xi\rangle^{2s_1}|\widehat u|^2)^\theta \le\|u\|_{H^{s_0}}^{2(1-\theta)}\|u\|_{H^{s_1}}^{2\theta}

である。 $\theta=0,1$ では主張は等式である。▨

命題 3.1. $d\in\NN$ 、 $0<t<1$ とする。 $g\in L^2(\R^d)$ に対して

[g]_t^2=\iint_{\R^d\times\R^d}\frac{|g(x)-g(y)|^2}{|x-y|^{d+2t}}\,dx\,dy\in[0,\infty]

とおく。このとき、ある定数 $c_{d,t}\in(0,\infty)$ によって

[g]_t^2=c_{d,t}\int_{\R^d}|\xi|^{2t}|\widehat g(\xi)|^2\,d\xi

が成り立つ。したがって $g\in H^t(\R^d)$ と $[g]_t<\infty$ は同値であり、 $\|g\|_{H^t}$ と $(\|g\|_2^2+[g]_t^2)^{1/2}$ は同値なノルムである。

証明. $g$ の Borel 可測な代表を選び、対角集合上の被積分関数の値を零とする。代表の変更による差は、零集合と $\R^d$ の積およびその転置の中にあり、これらは有界な箱ごとに積測度零である。変数変換 $h=y-x$ 、§E10.19 定理 2.3、§E14.15 定理 4.1により

[g]_t^2=\int_{\R^d}\frac{\|g(\cdot+h)-g\|_2^2}{|h|^{d+2t}}\,dh =\int_{\R^d}|\widehat g(\xi)|^2\left(\int_{\R^d}\frac{|e^{2\pi ih\cdot\xi}-1|^2}{|h|^{d+2t}}\,dh\right)d\xi.

ここで平行移動の Fourier 公式は Schwartz 関数で変数変換によって得られ、 $L^2$ の等長性と稠密性によって全 $L^2$ 関数へ移る。

$\xi\ne0$ に対し、回転と $z=|\xi|h$ によって内側の積分は $c_{d,t}|\xi|^{2t}$ に等しい。ただし

c_{d,t}=\int_{\R^d}\frac{|e^{2\pi iz_1}-1|^2}{|z|^{d+2t}}\,dz.

原点付近では分子が $4\pi^2|z|^2$ 以下であるから半径方向の積分は $\int_0^1r^{1-2t}\,dr$ で抑えられる。無限遠では分子が $4$ 以下であり、 $\int_1^\infty r^{-1-2t}\,dr$ で抑えられる。両積分は有限であり、分子が正となる開集合があるので $c_{d,t}>0$ である。 $\xi=0$ では内側の積分は零である。最後に、 $1+|\xi|^{2t}$ と $\langle\xi\rangle^{2t}$ を $|\xi|\le1$ と $|\xi|>1$ に分けて比較すればノルムの同値性を得る。▨

命題 3.2. $n\in\NN$ 、 $k\in\N$ 、 $0<t<1$ とし、 $u\in H^k(\R^n)$ とする。このとき、すべての $|\alpha|=k$ に対して $[D^\alpha u]_t<\infty$ であることは、 $u\in H^{k+t}(\R^n)$ であるための必要十分条件である。また、

\left(\|u\|_{H^k}^2+\sum_{|\alpha|=k}[D^\alpha u]_t^2\right)^{1/2}

は $H^{k+t}(\R^n)$ の同値なノルムである。

証明.命題 1.3と命題 3.1により、表示された量の二乗は

\int\left(\langle\xi\rangle^{2k}+c_{n,t}|\xi|^{2t}\sum_{|\alpha|=k}|(2\pi\xi)^\alpha|^2\right)|\widehat u(\xi)|^2\,d\xi

に等しい。多項式 $\sum_{|\alpha|=k}|(2\pi\xi)^\alpha|^2$ は $|\xi|^{2k}$ と正定数倍の範囲で比較される。実際、 $|\xi|^{2k}$ の多項式展開の係数は正であり、有限個しかない。 $k=0$ では両者は $1$ である。 $|\xi|\le1$ では括弧内の重みも $\langle\xi\rangle^{2(k+t)}$ も正定数の間にあり、 $|\xi|>1$ では両者とも $|\xi|^{2(k+t)}$ と比較される。▨

定理 4.1. $n\in\NN$ 、 $k\in\N$ 、 $s>k+n/2$ とする。このとき、任意の $u\in H^s(\R^n)$ は一意な $C^k$ 代表をもち、その代表について

\sum_{|\alpha|\le k}\|D^\alpha u\|_\infty\le C_{n,k,s}\|u\|_{H^s}, \qquad \lim_{|x|\to\infty}D^\alpha u(x)=0\quad(|\alpha|\le k)

が成り立つ。したがって $H^s(\R^n)$ は $C_b^k(\R^n)$ に連続に含まれる。

証明. $|\alpha|\le k$ に対して

\|(2\pi i\xi)^\alpha\widehat u\|_1 \le\|u\|_{H^s}\left(\int |(2\pi\xi)^\alpha|^2\langle\xi\rangle^{-2s}\,d\xi\right)^{1/2} \le C_{n,k,s}\|u\|_{H^s}

である。積分の有限性は無限遠での半径方向の指数 $2|\alpha|-2s+n-1<-1$ から従う。定理 1.2によって $u_j\in\mathcal S$ を $H^s$ で $u$ に収束するように取る。上の評価と§E15.3 定理 2.1の反転公式により、各 $D^\alpha u_j$ は一様 Cauchy 列であり、連続関数 $v_\alpha$ へ一様収束する。 $|\alpha|<k$ について線分上の積分公式

D^\alpha u_j(x+he_i)-D^\alpha u_j(x)=\int_0^hD^{\alpha+e_i}u_j(x+te_i)\,dt

を極限へ移すと、 $D_i v_\alpha=v_{\alpha+e_i}$ を得る。したがって $v_0\in C^k$ である。超関数での収束から $v_0=u$ であり、連続関数がほとんど至る所で一致すれば各点で一致するので、代表は一意である。各 $D^\alpha u_j$ は無限遠で零へ収束し、一様極限も同じ性質をもつ。ノルム評価も極限へ移る。▨

例 4.2. $n\in\NN$ 、 $1/2<a\le1$ とし、

f(\xi)=\mathbf1_{\{|\xi|>e\}}|\xi|^{-n}(\log|\xi|)^{-a},\qquad u=\mathcal F^{-1}f

とおく。このとき $u\in H^{n/2}(\R^n)$ であるが、 $u$ は有界な代表をもたない。実際、 $\langle\xi\rangle^n|f(\xi)|^2$ の積分は無限遠で

\int_e^\infty r^{-1}(\log r)^{-2a}\,dr<\infty

と比較される。一方、 $\varepsilon>0$ に対して Gauss 核

G_\varepsilon(x)=(4\pi\varepsilon)^{-n/2}e^{-|x|^2/(4\varepsilon)}

を取る。§E15.3 命題 4.1の尺度を $(4\pi\varepsilon)^{-1}$ とし、正規化係数 $(4\pi\varepsilon)^{-n/2}$ を掛けると、 $\widehat G_\varepsilon(\xi)=e^{-4\pi^2\varepsilon|\xi|^2}$ を得る。また、 $G_\varepsilon\ge0$ であり、 $\int G_\varepsilon=\widehat G_\varepsilon(0)=1$ である。超関数の双対作用の公式により

\langle u,G_\varepsilon(-\cdot)\rangle =\int f(\xi)e^{-4\pi^2\varepsilon|\xi|^2}\,d\xi \longrightarrow\infty\qquad(\varepsilon\downarrow0).

発散は非負関数の単調収束と $\int_e^\infty r^{-1}(\log r)^{-a}\,dr=\infty$ による。 $u$ に有界な代表 $b$ があれば、左辺の絶対値は $\|b\|_\infty\int G_\varepsilon=\|b\|_\infty$ 以下となり、発散に反する。

補題 5.1. $n,r\in\NN$ 、 $s\in\R$ 、 $\chi\in C_c^\infty(\R^n)$ とする。このとき乗算 $u\mapsto\chi u$ は $H^s(\R^n)$ 上の有界線形作用素である。さらに $a\in C_c^\infty(\R^n;\mathrm M_r(\C))$ による乗算は、各成分が $H^s$ に属するベクトルの空間上で、成分のノルムの二乗和に関して有界である。

証明. $\langle\xi\rangle\le\sqrt2\langle\eta\rangle\langle\xi-\eta\rangle$ は $|\xi|^2\le2|\eta|^2+2|\xi-\eta|^2$ から従う。 $\xi$ と $\eta$ を交換した不等式も用いると、すべての $s\in\R$ について

\langle\xi\rangle^s\le2^{|s|/2}\langle\eta\rangle^s\langle\xi-\eta\rangle^{|s|}

である。 $u\in\mathcal S$ に対し、§E15.3 命題 3.1と§E14.7 定理 2.2により

\|\chi u\|_{H^s}\le2^{|s|/2}\|\langle\cdot\rangle^{|s|}\widehat\chi\|_1\|u\|_{H^s}.

$\widehat\chi$ は Schwartz 関数であるから右辺の $L^1$ ノルムは有限である。Schwartz 空間の稠密性によって乗算を $H^s$ 上へ延長する。 $u_j\to u$ が $H^s$ 収束ならば超関数でも収束し、 $\langle\chi u_j,\varphi\rangle=\langle u_j,\chi\varphi\rangle\to\langle u,\chi\varphi\rangle$ であるから、この延長は超関数の積 $\chi u$ に等しい。行列の場合は $(au)_i=\sum_{j=1}^ra_{ij}u_j$ に各成分の評価と有限和の Cauchy–Schwarz の不等式を適用する。▨

補題 5.2. $n\in\NN$ 、 $T\in\mathcal E'(\R^n)$ とする。このとき、ある $N>0$ が存在して $T\in H^{-N}(\R^n)$ である。

証明.§E15.4 命題 4.2により、 $\widehat T$ は滑らかな関数であり、ある $m\in\N$ と $C\ge0$ について $|\widehat T(\xi)|\le C(1+|\xi|)^m$ である。 $N>m+n/2$ を選ぶと $\int\langle\xi\rangle^{-2N}|\widehat T(\xi)|^2\,d\xi<\infty$ となる。▨

定義 5.3 (局所 Sobolev 空間). $n\in\NN$ 、 $s\in\R$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合とする。 $u\in\mathcal D'(\Omega)$ が局所 Sobolev 空間 (local Sobolev space) $H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に属するとは、すべての $\chi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\chi u$ の $\R^n$ への零延長が $H^s(\R^n)$ に属することをいう。この零延長は、 $\varphi\in C_c^\infty(\R^n)$ に対し $\langle\chi u,\varphi\rangle=\langle u,\chi\varphi|_\Omega\rangle$ と定める。

H^s_{\mathrm{comp}}(\Omega)=\{u\in H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega):\supp u\Subset\Omega\}

と定める。ここで $K\Subset\Omega$ は、 $K$ がコンパクトであり $K\subset\Omega$ であることを表す。

命題 5.4. $n\in\NN$ 、 $s\in\R$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合とする。

$u\in\mathcal D'(\Omega)$ が $H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に属することは、各 $K\Subset\Omega$ に対し、有限個の $\chi_j\in C_c^\infty(\Omega)$ が存在し、 $K$ のある近傍で $\sum_j\chi_j=1$ かつ各 $\chi_j u$ の零延長が $H^s(\R^n)$ に属することと同値である。 $u\in H^s_{\mathrm{comp}}(\Omega)$ の零延長は $H^s(\R^n)$ に属する。
$s'<s$ ならば $H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)\subseteq H^{s'}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。 $\alpha\in\N^n$ に対し $D^\alpha H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)\subseteq H^{s-|\alpha|}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ であり、 $a\in C^\infty(\Omega)$ による乗算は $H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ を保つ。
$k\in\N$ ならば $H^k_{\mathrm{loc}}(\Omega)=W^{k,2}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ であり、 $\bigcap_{s\in\R}H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)=C^\infty(\Omega)$ である。また $\mathcal E'(\Omega)\subseteq\bigcup_{s\in\R}H^s_{\mathrm{comp}}(\Omega)$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $u\in H^s_{\mathrm{loc}}$ のとき、§E10.47 定理 2.1をコンパクト集合 $K$ の有限開被覆に適用して $\chi_j$ を選ぶと、定義から各 $\chi_j u$ は $H^s$ に属する。逆に、 $\rho\in C_c^\infty(\Omega)$ に対して $K=\supp\rho$ と置き、仮定の分割を選ぶと、 $\rho u=\sum_j\rho(\chi_j u)$ である。補題 5.1によって各項は $H^s$ に属する。 $\supp u\Subset\Omega$ の場合は、その台の近傍で $1$ となる $\chi\in C_c^\infty(\Omega)$ を選べば、零延長された $u$ は零延長された $\chi u$ に等しい。

主張 (2)を示す。低い次数への包含は定理 1.2を各 $\chi u$ に適用して得る。 $\chi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対し、その台の近傍で $1$ となる $\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ を選ぶと

\chi D^\alpha u=\chi D^\alpha(\psi u),\qquad \chi au=(\chi a)(\psi u).

微分については命題 1.3と補題 5.1を、乗算については補題 5.1を適用する。

主張 (3)を示す。 $u\in W^{k,2}_{\mathrm{loc}}$ と $\chi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対し、試験関数の積を微分することで

D^\alpha(\chi u)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom\alpha\beta(D^\beta\chi)D^{\alpha-\beta}u\qquad(|\alpha|\le k)

を得る。各項はコンパクト台の $L^2$ 関数であり、命題 1.3によって $\chi u\in H^k$ である。逆に $u\in H^k_{\mathrm{loc}}$ ならば、各コンパクト集合の近傍で $u=\chi u\in W^{k,2}$ として局所的な弱微分を得る。

$u$ がすべての $H^s_{\mathrm{loc}}$ に属するとき、各 $\chi u$ に定理 4.1を任意の $k$ と $s>k+n/2$ に適用する。得られた滑らかな代表は重なりの上で同じ超関数を表すので一致し、 $u$ は $\Omega$ 上で滑らかである。逆に $u\in C^\infty(\Omega)$ ならば各 $\chi u\in C_c^\infty\subset\mathcal S\subset H^s$ である。 $T\in\mathcal E'(\Omega)$ は零延長すると $\R^n$ 上でもコンパクト台をもつ。補題 5.2により、この延長はある $H^{-N}$ に属し、乗算補題により $T\in H^{-N}_{\mathrm{comp}}(\Omega)$ である。▨

例 5.5. $n\in\NN$ とする。このとき、定数関数 $1$ は、すべての $s\in\R$ について $H^s_{\mathrm{loc}}(\R^n)$ に属するが、 $H^0(\R^n)=L^2(\R^n)$ には属さない。実際、任意の $\chi\in C_c^\infty$ に対して $\chi\cdot1=\chi\in\mathcal S$ である一方、 $\int_{\R^n}1\,dx=\infty$ である。Dirac 超関数については、 $\chi\delta_0=\chi(0)\delta_0$ と原点付近で $1$ となる切断関数の存在により、例 2.2から

\delta_0\in H^s_{\mathrm{loc}}(\R^n)\quad\Longleftrightarrow\quad s<-n/2

を得る。

定義 5.6 (有限次元ベクトル値の Sobolev 空間). $n,r\in\NN$ 、 $s\in\R$ とする。

H^s(\R^n;\C^r)=\{u=(u_1,\ldots,u_r):u_j\in H^s(\R^n)\},\qquad \|u\|_{H^s(\C^r)}^2=\sum_{j=1}^r\|u_j\|_{H^s}^2

と定め、この空間を実数次数のベクトル値 Sobolev 空間 (vector-valued Sobolev space of real order) という。開集合 $\Omega\subseteq\R^n$ 上の $H^s_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^r)$ と $H^s_{\mathrm{comp}}(\Omega;\C^r)$ も各成分に同じ条件を課して定める。

命題 5.7. $n,r\in\NN$ 、 $s\in\R$ とする。このとき、 $H^s(\R^n;\C^r)$ は Hilbert 空間であり、

\|u\|_{H^s(\C^r)}\le\sum_{j=1}^r\|u_j\|_{H^s}\le\sqrt r\|u\|_{H^s(\C^r)}

が成り立つ。整数 $k\in\N$ について $H^k(\R^n;\C^r)=W^{k,2}(\R^n;\C^r)$ が同値なノルムで成り立つ。微分の有界性、反双対の同定、補間、連続埋め込み、および局所空間の各性質は有限次元ベクトル値についても成り立つ。反双対作用は各成分の作用の和である。

証明. 有限個の Hilbert 空間の直積は内積の和について完備であり、表示された二つの不等式は非負数の有限和に対する Cauchy–Schwarz の不等式から従う。整数次数の一致は命題 1.3と§E15.8 定義 1.3から従う。微分と連続埋め込みの評価は各成分の評価を足せば得られ、補間は $\R^n\times\{1,\ldots,r\}$ の積測度上で同じ Hölder の不等式を用いれば得られる。反線形汎関数は各座標への制限の和であるから、定理 2.1の表示を各座標に適用すると、 $H^{-s}(\R^n;\C^r)$ による等長表示を得る。局所空間では同じ切断関数と有限分割を各成分に用いるので、命題 5.4の各等式と包含も成り立つ。▨

定理 6.1. $n\ge2$ を整数、 $s>1/2$ とする。このとき、Schwartz 関数の制限 $Tu(x')=u(x',0)$ は、一意な有界線形作用素

T:H^s(\R^n)\longrightarrow H^{s-1/2}(\R^{n-1})

へ延長される。 $T$ は全射であり、有界線形右逆 $E:H^{s-1/2}(\R^{n-1})\to H^s(\R^n)$ をもつ。

証明. $u\in\mathcal S(\R^n)$ とする。 $\xi'\in\R^{n-1}$ と $\eta\in\R$ に対し $a=\langle\xi'\rangle$ とおく。Fourier 反転公式により

\widehat{Tu}(\xi')=\int_\R\widehat u(\xi',\eta)\,d\eta.

変数変換 $\eta=az$ により

\int_\R(a^2+4\pi^2\eta^2)^{-s}\,d\eta=C_s a^{1-2s},\qquad C_s=\int_\R(1+4\pi^2z^2)^{-s}\,dz<\infty.

Cauchy–Schwarz の不等式を法方向の積分に用い、接方向について積分すると

\int a^{2s-1}|\widehat{Tu}(\xi')|^2\,d\xi' \le C_s\iint(a^2+4\pi^2\eta^2)^s|\widehat u(\xi',\eta)|^2\,d\eta\,d\xi' =C_s\|u\|_{H^s}^2.

Schwartz 空間の稠密性により一意な有界延長を得る。

$\psi\in\mathcal S(\R)$ を $\int\psi=1$ となるように固定し、 $g\in H^{s-1/2}(\R^{n-1})$ に対して

\widehat{Eg}(\xi',\eta)=\widehat g(\xi')a^{-1}\psi(\eta/a)

と定める。変数変換 $\eta=az$ により

\|Eg\|_{H^s}^2 =\left(\int_\R(1+4\pi^2z^2)^s|\psi(z)|^2\,dz\right)\int a^{2s-1}|\widehat g(\xi')|^2\,d\xi'.

したがって $E$ は有界線形作用素である。 $g\in\mathcal S$ ならば表示された $\widehat{Eg}$ も Schwartz 関数である。実際、 $\widehat{Eg}$ の各導関数は、 $\xi'$ と $\eta/a$ の多項式および $a$ の実数冪を係数とする、 $\widehat g$ の導関数と $\psi$ の導関数との積の有限和である。 $\eta=a(\eta/a)$ であり、 $\widehat g$ と $\psi$ は急減少するので、各導関数に $\xi'$ と $\eta$ の任意の多項式を掛けた関数は有界である。その場合 $\widehat{TEg}=\widehat g\int a^{-1}\psi(\eta/a)\,d\eta=\widehat g$ である。 $g$ を Schwartz 関数で近似し、 $T$ と $E$ の連続性によって $TEg=g$ を全空間へ移す。▨

例 6.2. $n\ge2$ とする。このとき、Schwartz 関数の制限は $H^{1/2}(\R^n)\to L^2(\R^{n-1})$ の有界作用素へ延長されない。実際、 $0\ne b\in C_c^\infty(\R^{n-1})$ を固定する。 $0\le\rho,\sigma\le1$ を満たす滑らかな関数で、 $(-\infty,1]$ 上で $\rho=0$ 、 $\sigma=1$ となり、 $[2,\infty)$ 上で $\rho=1$ 、 $\sigma=0$ となるものを選ぶ。 $R>4$ に対して

q_R(\eta)=(\log R)^{-1/2}\eta^{-1}\rho(\eta)\sigma(\eta/R),\qquad \widehat u_R(\xi',\eta)=b(\xi')q_R(\eta)

とおく。 $q_R$ は $\eta\le1$ では零と定めるので滑らかであり、 $u_R\in\mathcal S$ である。 $b$ の台上で $\langle(\xi',\eta)\rangle\le C_b\langle\eta\rangle$ であるから

\|u_R\|_{H^{1/2}}^2\le\frac{C_b\|b\|_2^2}{\log R}\int_1^{2R}\frac{\langle\eta\rangle}{\eta^2}\,d\eta\le C.

一方、 $q_R\ge0$ であり、 $2\le\eta\le R$ では $\rho(\eta)\sigma(\eta/R)=1$ なので

\|Tu_R\|_2=\|b\|_2\int q_R(\eta)\,d\eta \ge\|b\|_2\frac{\log R-\log2}{\sqrt{\log R}}\longrightarrow\infty.

この列は有界延長の仮定に反する。

定理 7.1. $n\in\NN$ 、 $K\subseteq\R^n$ をコンパクト集合、 $s',s\in\R$ を $s'<s$ を満たす実数とする。このとき

\{u\in H^s(\R^n):\supp u\subseteq K,\ \|u\|_{H^s}\le1\}

は $H^{s'}(\R^n)$ において相対コンパクトである。同じ主張は任意の有限次元ベクトル値についても成り立つ。

証明. $K$ の近傍で $1$ となる $\chi\in C_c^\infty(\R^n)$ を固定する。対象の集合に属する列 $(u_j)$ をとる。§E15.4 命題 4.2により、 $F_j=\widehat u_j$ は滑らかであり、 $|\alpha|\le1$ について

\partial_\xi^\alpha F_j(\xi)=\langle u_j,\chi(x)(-2\pi ix)^\alpha e^{-2\pi ix\cdot\xi}\rangle.

定理 2.1によって、右辺の絶対値は

\|u_j\|_{H^s}\|\overline{\chi(x)(-2\pi ix)^\alpha e^{-2\pi ix\cdot\xi}}\|_{H^{-s}}

以下である。任意の $R>0$ に対し、 $|\xi|\le R$ で第二因子は一様に有界である。実際、試験関数の Fourier 変換は固定した Schwartz 関数の $\xi$ による平行移動であり、重みの比較によりその $H^{-s}$ ノルムは $C\langle\xi\rangle^{|s|}$ 以下である。したがって閉球 $\overline B(0,R)$ 上で $F_j$ は一様に有界であり、一階微分の一様評価から同程度連続である。

§E2.31 系 4.5を $R=1,2,\ldots$ の各閉球と値域 $\C$ に適用し、対角部分列を取る。この部分列は各閉球上で一様収束する。したがって各 $R>0$ について

\int_{|\xi|\le R}\langle\xi\rangle^{2s'}|F_j(\xi)-F_\ell(\xi)|^2\,d\xi\longrightarrow0\qquad(j,\ell\to\infty)

である。一方、 $\|u_j-u_\ell\|_{H^s}\le2$ であるから

\int_{|\xi|>R}\langle\xi\rangle^{2s'}|F_j-F_\ell|^2\,d\xi \le4\sup_{|\xi|>R}\langle\xi\rangle^{2(s'-s)}\longrightarrow0\qquad(R\to\infty)

が $j,\ell$ に一様に成り立つ。低周波の収束と高周波の評価を合わせると、部分列は $H^{s'}$ の Cauchy 列である。定理 1.2の完備性により収束部分列を得る。距離空間では任意の列が収束部分列をもつことは相対コンパクト性と同値である。有限次元ベクトル値の場合には有限回の部分列選択により全成分を同時に収束させる。▨

例 7.2. $n\in\NN$ 、 $s\in\R$ とし、 $0\ne\phi\in C_c^\infty(\R^n)$ を固定する。 $j\in\NN$ に対して

u_j(x)=j^{-s}e^{2\pi ijx_1}\phi(x)

とおく。このとき、すべての $u_j$ は同じコンパクト集合に台をもち、

\|u_j\|_{H^s}^2=j^{-2s}\int\langle\zeta+je_1\rangle^{2s}|\widehat\phi(\zeta)|^2\,d\zeta \longrightarrow(2\pi)^{2s}\|\phi\|_2^2>0.

実際、 $j^{-2s}\langle\zeta+je_1\rangle^{2s}$ は各 $\zeta$ で $(2\pi)^{2s}$ に収束し、重みの比較によって $C_s\langle\zeta\rangle^{2|s|}$ 以下であるため、優収束を適用することができる。同じ計算を $s'<s$ に対して行うと

\|u_j\|_{H^{s'}}^2=j^{2(s'-s)}\left(j^{-2s'}\int\langle\zeta+je_1\rangle^{2s'}|\widehat\phi(\zeta)|^2\,d\zeta\right)\longrightarrow0.

任意の試験関数との積分に $x_1$ 方向の部分積分を任意回施すと、 $u_j\to0$ が超関数として成り立つ。したがって $H^s$ で強収束する部分列があればその極限は零となるが、上の正のノルム極限に反する。必要なら列全体を一定の正数で割って単位球に収めることにより、 $s'=s$ でのコンパクト性が成り立たないことを得る。

固定台の条件を外す場合には、 $v_j(x)=\phi(x-je_1)$ を取る。Fourier 変換に絶対値 $1$ の因子が掛かるので、任意の $q\in\R$ に対して $\|v_j\|_{H^q}=\|\phi\|_{H^q}>0$ である。一方、各コンパクト台の試験関数の台から $\supp v_j$ が離れるので、 $v_j\to0$ が超関数として成り立つ。したがって、この $H^s$ 有界列は $s'<s$ の場合にも $H^{s'}$ で収束部分列をもたない。

§E15.13Fourier 変換による H^s

1 重み付き Fourier ノルム

2 反双対と補間

3 差分による非整数次数の表示

4 点ごとの正則性

5 滑らかな乗算と局所空間

6 超平面へのトレース

7 固定した台とコンパクト性

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