§E15.22内部正則性

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二階発散形楕円型方程式の弱解は、方程式を積分の形で満たす一階の Sobolev 関数として定められる。この定義だけでは、方程式に現れる二階微分を関数として扱うことはできない。係数や外力の正則性から、境界を離れた領域における解の微分可能性を導く理論が内部正則性である。内部正則性は、係数と外力が十分に滑らかなときに、弱解が滑らかな代表をもち、古典解として方程式を満たすことを示す基本的な理論であり、例えば Laplace 方程式の弱解は内部で滑らかな代表をもつ。本記事では、二階発散形楕円型方程式の内部正則性と、その固有関数への応用を扱う。

1 差分商

定義 1.1 (差分商).V⊆RnV\subseteq\R^nを開集合、eje_jを第jj座標方向の単位ベクトルとする。h∈R∖{0}h\in\R\setminus\{0\}とv∈Lloc1(V)v\in L^1_{\mathrm{loc}}(V)に対し、x,x+hej∈Vx,x+he_j\in Vの範囲で

τh,jv(x)=v(x+hej),δh,jv(x)=v(x+hej)−v(x)h\tau_{h,j}v(x)=v(x+he_j),\qquad \delta_{h,j}v(x)=\frac{v(x+he_j)-v(x)}h

と定め、δh,jv\delta_{h,j}vをvvの第jj方向の刻みhhの 差分商 (difference quotient) という。

補題 1.2.U,V⊆RnU,V\subseteq\R^nをU⋐VU\Subset Vを満たす開集合、1≤j≤n1\leq j\leq nとする。このとき、次の二つが成り立つ。

  1. v∈H1(V)v\in H^1(V)ならば、0<∣h∣<dist⁡(U,Rn∖V)0<|h|<\operatorname{dist}(U,\R^n\setminus V)に対して ∥δh,jv∥L2(U)≤∥∂jv∥L2(V)\|\delta_{h,j}v\|_{L^2(U)}\leq\|\partial_jv\|_{L^2(V)} が成り立つ。
  2. v∈L2(V)v\in L^2(V)とし、ある0<h0<dist⁡(U,Rn∖V)0<h_0<\operatorname{dist}(U,\R^n\setminus V)とM<∞M<\inftyに対して0<∣h∣<h00<|h|<h_0ならば∥δh,jv∥L2(U)≤M\|\delta_{h,j}v\|_{L^2(U)}\leq Mとする。このとき∂jv∈L2(U)\partial_jv\in L^2(U)であり、∥∂jv∥L2(U)≤M\|\partial_jv\|_{L^2(U)}\leq Mが成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。§E15.8 定理 2.1と§E13.29 定理 3.4により、ほとんどすべての座標直線上で

δh,jv(x)=∫01∂jv(x+thej) dt\delta_{h,j}v(x)=\int_0^1\partial_jv(x+the_j)\,dt

が成り立つ。線分{x+thej:0≤t≤1}\{x+the_j:0\leq t\leq1\}はx∈Ux\in UならばVVに含まれる。Cauchy–Schwarz の不等式と変数変換により

∫U∣δh,jv∣2 dx≤∫01∫U∣∂jv(x+thej)∣2 dx dt≤∥∂jv∥L2(V)2\int_U|\delta_{h,j}v|^2\,dx \leq\int_0^1\int_U|\partial_jv(x+the_j)|^2\,dx\,dt \leq\|\partial_jv\|_{L^2(V)}^2

となる。

主張 (2)を示す。hν→0h_\nu\to0を満たす非零実数列をとる。§E12.35 系 5.5により、部分列についてδhν,jv⇀g\delta_{h_\nu,j}v\rightharpoonup gがL2(U)L^2(U)で成り立つ。任意のφ∈Cc∞(U;C)\varphi\in C_c^\infty(U;\C)に対して、変数変換により

∫Uδhν,jv φ dx=−∫Vv δ−hν,jφ dx⟶−∫Uv ∂jφ dx\int_U\delta_{h_\nu,j}v\,\varphi\,dx =-\int_Vv\,\delta_{-h_\nu,j}\varphi\,dx \longrightarrow-\int_Uv\,\partial_j\varphi\,dx

となる。ここではφ\varphiを零拡張し、十分大きいν\nuについて積分している。左辺の極限は∫Ugφ dx\int_Ug\varphi\,dxであるから、g=∂jvg=\partial_jvである。さらに、弱収束と Cauchy–Schwarz の不等式から

∥g∥22=lim⁡ν∫Uδhν,jv g‾ dx≤M∥g∥2\|g\|_2^2=\lim_\nu\int_U\delta_{h_\nu,j}v\,\overline g\,dx \leq M\|g\|_2

となり、所要の評価を得る。▨

補題 1.3.h≠0h\ne0、1≤j≤n1\leq j\leq n、v,w∈L2(Rn)v,w\in L^2(\R^n)とする。このとき

∫Rnv δ−h,jw dx=−∫Rnδh,jv w dx\int_{\R^n}v\,\delta_{-h,j}w\,dx =-\int_{\R^n}\delta_{h,j}v\,w\,dx

が成り立つ。また、V⊆RnV\subseteq\R^nを開集合、a,va,vをVV上の複素数値可測関数とすると、x,x+hej∈Vx,x+he_j\in Vの範囲で

δh,j(av)=(τh,ja)δh,jv+(δh,ja)v\delta_{h,j}(av)=(\tau_{h,j}a)\delta_{h,j}v+(\delta_{h,j}a)v

が成り立つ。行列とベクトルの積にも、成分ごとに同じ公式が成り立つ。v∈Hloc1(V)v\in H^1_{\mathrm{loc}}(V)ならば、平行移動した領域との共通部分で∂iδh,jv=δh,j∂iv\partial_i\delta_{h,j}v=\delta_{h,j}\partial_ivが弱微分の意味で成り立つ。

証明. 最初の積分のw(x−hej)w(x-he_j)を含む項でy=x−hejy=x-he_jと変数変換すると、右辺を得る。積則は

a(x+hej)v(x+hej)−a(x)v(x)=a(x+hej)(v(x+hej)−v(x))+(a(x+hej)−a(x))v(x)a(x+he_j)v(x+he_j)-a(x)v(x) =a(x+he_j)(v(x+he_j)-v(x)) +(a(x+he_j)-a(x))v(x)

をhhで割ることで従う。微分との交換は、平行移動した試験関数に弱微分の定義を適用して従う。▨

2 二階の内部正則性

定義 2.1 (内部の弱解).Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、A=(aij)∈Lloc∞(Ω;Cn×n)A=(a^{ij})\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^{n\times n})、b∈Lloc∞(Ω;Cn)b\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^n)、c∈Lloc∞(Ω;C)c\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C)、f∈Lloc2(Ω;C)f\in L^2_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C)とする。u∈Hloc1(Ω;C)u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C)が

∫Ω[A∇u⋅∇φ‾+(b⋅∇u+cu)φ‾]dx=∫Ωfφ‾ dx(φ∈Cc∞(Ω;C))\int_\Omega\bigl[A\nabla u\cdot\overline{\nabla\varphi} +(b\cdot\nabla u+cu)\overline\varphi\bigr]dx =\int_\Omega f\overline\varphi\,dx \qquad(\varphi\in C_c^\infty(\Omega;\C))

を満たすとき、uuをLu=fLu=fの 内部の弱解 (interior weak solution) という。ただしL=−∑i,j∂i(aij∂j)+∑jbj∂j+cL=-\sum_{i,j}\partial_i(a^{ij}\partial_j)+\sum_jb^j\partial_j+cである。Ω\Omegaが有界 Lipschitz 開集合であり、A,b,cA,b,cがΩ\Omega上で有界な場合を考える。§E15.16 定義 1.3の形式aaにおいて発散項の係数ddを零とし、その形式域をVVとする。f∈L2(Ω;C)f\in L^2(\Omega;\C)に対しF(v)=∫Ωfv‾ dxF(v)=\int_\Omega f\overline v\,dx(v∈V)(v\in V)とおき、u∈H1(Ω;C)u\in H^1(\Omega;\C)は、あるG∈H1(Ω;C)G\in H^1(\Omega;\C)についてu−G∈Vu-G\in Vかつa(u,v)=F(v)a(u,v)=F(v)(v∈V)(v\in V)を満たすとする。任意のφ∈Cc∞(Ω;C)\varphi\in C_c^\infty(\Omega;\C)はVVに属し、φ\varphiのトレースTφT\varphiは零であるから、a(u,φ)=F(φ)a(u,\varphi)=F(\varphi)の境界項は消える。したがってuuは上の内部の弱解である。

定理 2.2.Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、A∈Wloc1,∞(Ω;Cn×n)A\in W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^{n\times n})、b∈Lloc∞(Ω;Cn)b\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^n)、c∈Lloc∞(Ω;C)c\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C)とする。任意のV⋐ΩV\Subset\Omegaに対してθV>0\theta_V>0が存在し、ほとんどすべてのx∈Vx\in Vとすべてのξ∈Cn\xi\in\C^nに対して

ℜ(A(x)ξ⋅ξ‾)≥θV∣ξ∣2\Re(A(x)\xi\cdot\overline\xi)\geq\theta_V|\xi|^2

が成り立つとする。このとき、f∈Lloc2(Ω)f\in L^2_{\mathrm{loc}}(\Omega)に対する内部の弱解u∈Hloc1(Ω)u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)はHloc2(Ω)H^2_{\mathrm{loc}}(\Omega)に属する。さらに、任意の開集合U⋐V⋐ΩU\Subset V\Subset\Omegaに対して

∥u∥H2(U)≤C(∥f∥L2(V)+∥u∥H1(V))\|u\|_{H^2(U)}\leq C\bigl(\|f\|_{L^2(V)}+\|u\|_{H^1(V)}\bigr)

が成り立つ。定数CCはn,U,V,θVn,U,V,\theta_VとVV上の係数ノルム∥A∥W1,∞\|A\|_{W^{1,\infty}}、∥b∥∞\|b\|_\infty、∥c∥∞\|c\|_\inftyだけに依存する。

証明.§E10.47 定理 2.1により、0≤η≤10\leq\eta\leq1、η=1\eta=1がU‾\overline Uの近傍で成り立つη∈Cc∞(V;R)\eta\in C_c^\infty(V;\R)をとる。g=f−b⋅∇u−cug=f-b\cdot\nabla u-cuとおくと

∥g∥L2(V)≤C(∥f∥L2(V)+∥u∥H1(V)).\|g\|_{L^2(V)}\leq C\bigl(\|f\|_{L^2(V)}+\|u\|_{H^1(V)}\bigr).

jjを固定し、平行移動したsupp⁡η\supp\etaがVV内に収まるほど小さい∣h∣>0|h|>0をとる。添字jjを省略し、w=δhuw=\delta_hu、z=η2wz=\eta^2wとおく。補題 1.3と§E15.8 命題 3.1により、wwはsupp⁡η\supp\etaの近傍でH1H^1に属する。したがって、zzと−δ−hz-\delta_{-h}zはVV内にコンパクトな台をもつH1H^1関数である。§E15.8 命題 4.2により、これらをCc∞(V)C_c^\infty(V)の関数でH1H^1近似することができる。弱形式の両辺はH1H^1ノルムについて連続であるから、−δ−hz-\delta_{-h}zを試験関数とすることができる。

補題 1.3を弱形式に適用すると

∫V(τhA)∇w⋅∇z‾ dx=−∫V(δhA)∇u⋅∇z‾ dx−∫Vg δ−hz‾ dx.\int_V(\tau_hA)\nabla w\cdot\overline{\nabla z}\,dx =-\int_V(\delta_hA)\nabla u\cdot\overline{\nabla z}\,dx -\int_Vg\,\overline{\delta_{-h}z}\,dx.

すべての平行移動はVV内で行い、台の外の試験関数は零と解釈している。AAの ACL 代表に一次元の積分公式を適用すると、supp⁡η\supp\eta上で∣δhA∣≤Cn∥DA∥L∞(V)|\delta_hA|\leq C_n\|DA\|_{L^\infty(V)}がほとんど至る所で成り立つ。

X=∥η∇w∥2X=\|\eta\nabla w\|_2、M=∥u∥H1(V)M=\|u\|_{H^1(V)}、G=∥g∥L2(V)G=\|g\|_{L^2(V)}とおく。補題 1.2 (1)により、∥w∥L2(supp⁡η)≤M\|w\|_{L^2(\supp\eta)}\leq Mである。また、zzの零拡張はH1(Rn)H^1(\R^n)に属し、同じ差分商評価から

∥δ−hz∥2≤∥∂jz∥2≤C(X+M),∥∇z∥2≤C(X+M)\|\delta_{-h}z\|_2\leq\|\partial_jz\|_2 \leq C(X+M),\qquad \|\nabla z\|_2\leq C(X+M)

となる。左辺の実部は、∇z=η2∇w+2ηw∇η\nabla z=\eta^2\nabla w+2\eta w\nabla\etaと楕円性により

ℜ∫V(τhA)∇w⋅∇z‾ dx≥θVX2−CXM\Re\int_V(\tau_hA)\nabla w\cdot\overline{\nabla z}\,dx \geq\theta_VX^2-CXM

と評価される。したがって

θVX2≤CXM+C(M+G)(X+M).\theta_VX^2\leq CXM+C(M+G)(X+M).

Young の不等式rs≤εr2+s2/(4ε)rs\leq\varepsilon r^2+s^2/(4\varepsilon)を用いてX2X^2の項を左辺へ吸収すると、

∥∇δh,ju∥L2(U)≤X≤C(M+G)\|\nabla\delta_{h,j}u\|_{L^2(U)}\leq X\leq C(M+G)

を得る。定数CCはhhに依存しない。

各iiについてδh,j∂iu=∂iδh,ju\delta_{h,j}\partial_i u=\partial_i\delta_{h,j}uであるから、補題 1.2 (2)を∂iu\partial_i uに適用すると∂j∂iu∈L2(U)\partial_j\partial_i u\in L^2(U)となる。i,ji,jに関して足し合わせると、所要のH2H^2評価を得る。▨

例 2.3.Ω=(−1,1)\Omega=(-1,1)とし、

a(x)={1x<0,2x>0,u(x)={xx≤0,x/2x>0a(x)=\begin{cases}1&x<0,\\2&x>0,\end{cases} \qquad u(x)=\begin{cases}x&x\leq0,\\x/2&x>0\end{cases}

とおき、a(0)=1a(0)=1とする。このとき、aaは有界かつ一様楕円的であるが、Wloc1,∞W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}に属さない。uuは Lipschitz 連続であり、au′=1au'=1がほとんど至る所で成り立つ。したがって、すべてのφ∈Cc∞(−1,1)\varphi\in C_c^\infty(-1,1)に対して

∫−11au′φ′‾ dx=∫−11φ′‾ dx=0\int_{-1}^1au'\overline{\varphi'}\,dx =\int_{-1}^1\overline{\varphi'}\,dx=0

であり、uuは−(au′)′=0-(au')'=0の弱解である。しかし、u′u'の原点における跳びは−1/2-1/2であるから、超関数としてu′′=−12δ0u''=-\tfrac12\delta_0となる。δ0\delta_0は原点の近傍でL2L^2関数によって表されない。実際、φ∈Cc∞(−1,1)\varphi\in C_c^\infty(-1,1)をφ(0)=1\varphi(0)=1となるようにとり、φε(x)=φ(x/ε)\varphi_\varepsilon(x)=\varphi(x/\varepsilon)とすると、∥φε∥2→0\|\varphi_\varepsilon\|_2\to0である一方、δ0(φε)=1\delta_0(\varphi_\varepsilon)=1である。したがってu∉Hloc2(−1,1)u\notin H^2_{\mathrm{loc}}(-1,1)である。

例 2.4.Ω=R\Omega=\R、a(x)=1+x2a(x)=1+x^2、u(x)=arctan⁡xu(x)=\arctan xとする。このとき、u′=1/(1+x2)u'=1/(1+x^2)であるからau′=1au'=1であり、−(au′)′=0-(au')'=0が成り立つ。非発散形に展開すると

−au′′−a′u′=−(1+x2)−2x(1+x2)2−2x1+x2=0-au''-a'u' =-(1+x^2)\frac{-2x}{(1+x^2)^2} -\frac{2x}{1+x^2}=0

となる。一方、−au′′=2x/(1+x2)-au''=2x/(1+x^2)は恒等的に零ではない。

3 高階の内部正則性

定理 3.1.Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、k≥0k\geq0を整数とする。A∈Wlock+1,∞(Ω;Cn×n)A\in W^{k+1,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^{n\times n})、b∈Wlock,∞(Ω;Cn)b\in W^{k,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C^n)、c∈Wlock,∞(Ω;C)c\in W^{k,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C)とし、任意のV⋐ΩV\Subset\Omega上で、あるθV>0\theta_V>0に対してℜ(A(x)ξ⋅ξ‾)≥θV∣ξ∣2\Re(A(x)\xi\cdot\overline\xi)\geq\theta_V|\xi|^2がほとんどすべてのxxとすべてのξ∈Cn\xi\in\C^nについて成り立つとする。このとき、f∈Hlock(Ω)f\in H^k_{\mathrm{loc}}(\Omega)に対する内部の弱解u∈Hloc1(Ω)u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)はHlock+2(Ω)H^{k+2}_{\mathrm{loc}}(\Omega)に属する。任意の開集合U⋐V⋐ΩU\Subset V\Subset\Omegaに対し

∥u∥Hk+2(U)≤C(∥f∥Hk(V)+∥u∥H1(V))\|u\|_{H^{k+2}(U)}\leq C\bigl(\|f\|_{H^k(V)}+\|u\|_{H^1(V)}\bigr)

が成り立つ。CCはn,k,U,V,θVn,k,U,V,\theta_VとVV上の上記係数ノルムだけに依存する。

証明.k=0k=0の主張は定理 2.2である。k≥1k\geq1とし、次数k−1k-1までの主張が成立すると仮定する。U⋐V1⋐V2⋐VU\Subset V_1\Subset V_2\Subset Vととると、帰納法の仮定により

∥u∥Hk+1(V2)≤C(∥f∥Hk−1(V)+∥u∥H1(V))\|u\|_{H^{k+1}(V_2)} \leq C\bigl(\|f\|_{H^{k-1}(V)}+\|u\|_{H^1(V)}\bigr)

となる。∣α∣=k|\alpha|=kに対してv=Dαuv=D^\alpha uとおく。§E15.8 命題 3.1の一次の積則を繰り返すと、超関数として

Lv=Dαf+∑0<β≤α(αβ)div⁡((DβA)∇Dα−βu)−∑0<β≤α(αβ)[(Dβb)⋅∇Dα−βu+(Dβc)Dα−βu].Lv=D^\alpha f +\sum_{0<\beta\leq\alpha}\binom\alpha\beta \operatorname{div}\bigl((D^\beta A)\nabla D^{\alpha-\beta}u\bigr) -\sum_{0<\beta\leq\alpha}\binom\alpha\beta \bigl[(D^\beta b)\cdot\nabla D^{\alpha-\beta}u +(D^\beta c)D^{\alpha-\beta}u\bigr].

主要部の和を発散まで展開すると、各項は

(∂iDβaij)∂jDα−βu+(Dβaij)∂ijDα−βu(\partial_iD^\beta a^{ij})\partial_jD^{\alpha-\beta}u +(D^\beta a^{ij})\partial_{ij}D^{\alpha-\beta}u

の形である。係数の微分次数は高々k+1k+1、解の微分次数は高々k+1k+1である。低階項の和における解の微分次数は高々kkである。したがって、右辺はL2(V2)L^2(V_2)の関数FαF_\alphaであり、

∥Fα∥L2(V2)≤C(∥f∥Hk(V2)+∥u∥Hk+1(V2))\|F_\alpha\|_{L^2(V_2)} \leq C\bigl(\|f\|_{H^k(V_2)}+\|u\|_{H^{k+1}(V_2)}\bigr)

となる。v∈H1(V2)v\in H^1(V_2)であるから、定理 2.2をLv=FαLv=F_\alphaに適用すると

∥Dαu∥H2(V1)≤C(∥f∥Hk(V2)+∥u∥Hk+1(V2))\|D^\alpha u\|_{H^2(V_1)} \leq C\bigl(\|f\|_{H^k(V_2)}+\|u\|_{H^{k+1}(V_2)}\bigr)

を得る。∣α∣=k|\alpha|=kについて足し合わせ、帰納法の評価を代入すると所要の評価が従う。▨

系 3.2.Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、A,b,c,fA,b,c,fはΩ\Omega上で滑らかであるとする。AAは各相対コンパクトな開集合上で一様楕円的であるとする。このときLu=fLu=fの内部の弱解u∈Hloc1(Ω)u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)は滑らかな代表をもつ。特に、滑らかな係数をもつ同じ楕円型作用素について、Lu=λuLu=\lambda uを満たすHloc1H^1_{\mathrm{loc}}関数は内部で滑らかである。

証明.定理 3.1により、すべての整数r≥1r\geq1に対してu∈Hlocr(Ω)u\in H^r_{\mathrm{loc}}(\Omega)である。任意の球B⋐ΩB\Subset\Omegaと整数m≥0m\geq0に対し、r>m+n/2r>m+n/2と選ぶ。§E15.10 系 4.2をBB上でp=2p=2として適用すると、uuはBB上でCmC^mの代表をもつ。連続な代表は重なりの上でほとんど至る所一致するため、各点で一致する。mmは任意であるから、代表は滑らかである。固有関数の場合は、零階係数をc−λc-\lambdaに置き換え、外力を零として同じ結論を適用する。▨

4 第一 Dirichlet 固有関数

定理 4.1.Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを空でない有界連結 Lipschitz 開集合とし、λ1D\lambda_1^Dを Dirichlet Laplace 作用素の第一固有値とする。このとき、第一固有空間は複素一次元であり、その生成元を実数値で、すべてのx∈Ωx\in\Omegaに対してu(x)>0u(x)>0となるように選ぶことができる。

証明. 零でない非負の実数値の第一固有関数q∈H01(Ω)q\in H^1_0(\Omega)を任意にとる。系 3.2によりqqは内部で滑らかな代表をもつ。連続性により、非負性はすべての内点で成り立つ。§E15.19 定理 2.1によりλ1D>0\lambda_1^D>0であり、

−Δ(−q)=−λ1Dq≤0-\Delta(-q)=-\lambda_1^D q\leq0

となる。もしq(x∗)=0q(x_*)=0を満たすx∗∈Ωx_*\in\Omegaがあれば、−q-qは内点x∗x_*で大域最大値零をとる。§E15.18 定理 2.2を主要部II、低階係数零として適用すると、qqは定数である。方程式−Δq=λ1Dq-\Delta q=\lambda_1^D qとλ1D>0\lambda_1^D>0により、その定数は零となり、q≠0q\ne0に反する。したがって、零でない非負の実数値の第一固有関数は、その滑らかな代表が内部で厳密に正である。

§E15.19 命題 2.2により、零でない非負の実数値の第一固有関数uuが存在する。上の結果によりu(x)>0u(x)>0がすべてのx∈Ωx\in\Omegaで成り立つ。

任意の実数値の第一固有関数vvと内点x0∈Ωx_0\in\Omegaに対して

w=v−v(x0)u(x0)uw=v-\frac{v(x_0)}{u(x_0)}u

とおく。wwは実数値で第一固有空間に属し、w(x0)=0w(x_0)=0である。w≠0w\ne0と仮定する。§E15.19 命題 2.2により∣w∣|w|は零でない非負の実数値の第一固有関数であり、上の結果により、∣w∣|w|の滑らかな代表はすべての内点で正である。一方、wwの滑らかな代表を同じ記号で表すと、連続関数∣w∣|w|は∣w∣|w|の滑らかな代表とほとんど至る所一致するため、すべての内点で一致し、∣w∣(x0)=∣w(x0)∣=0|w|(x_0)=|w(x_0)|=0である。これは∣w∣(x0)>0|w|(x_0)>0に反する。よってw=0w=0となる。

したがって、すべての実数値の第一固有関数はuuの実数倍である。任意の複素第一固有関数の実部と虚部は、零であるか実数値の第一固有関数であるから、複素第一固有空間はCu\C uである。▨

前提記事