§E15.18最大値原理

証明.$Lu<0$と仮定する。$u$が正の最大値を内部点$x$でとるならば、$\nabla u(x)=0$であり、$D^2u(x)$は負半定値である。$A(x)$を正規直交基底で対角化すると$-\sum a_{ij}(x)\partial_{ij}u(x)\geq0$となる。$c(x)u(x)\geq0$も成り立つので、$Lu(x)\geq0$となり、$Lu<0$に反する。従って狭義の不等式を満たす関数について主張の評価が成り立つ。

$Lu\leq0$の場合には、$k>0$を十分大きくとると

が$\Omega$全体で成り立つ。実際、括弧内は$-\theta k^2+\|b_1\|_\infty k+\|c\|_\infty$以下である。任意の$\varepsilon>0$に対して$u_\varepsilon=u+\varepsilon e^{kx_1}$は$Lu_\varepsilon<0$を満たす。狭義の場合の評価を$u_\varepsilon$に適用し、$\overline\Omega$上の一様収束$u_\varepsilon\to u$によって$\varepsilon\downarrow0$とすると、主張の評価を得る。

$c=0$の場合には$m=\max_{\partial\Omega}u$とおく。$L(u-m)=Lu\leq0$と境界上の$u-m\leq0$に既に示した評価を適用すると、$u-m\leq0$である。▨

証明.$L(u-v)\leq0$と境界上の$u-v\leq0$に定理 1.1を適用すると$u-v\leq0$である。同じ方程式と境界値を満たす二解には、両方の順序でこの結論を適用することができる。▨

証明.$D=\{x:r/2<|x-y|<r\}$とし、$\alpha>0$に対して

とおく。$z=x-y$と書くと、

$D$上では$|z|\geq r/2$、$0\leq h\leq e^{-\alpha|z|^2}$である。従って

$\alpha$を十分大きく固定すると$Lh<0$となる。

内側の球面上では$u-M$の最大値が負なので、ある$\varepsilon>0$に対して$u-M+\varepsilon h\leq0$が成り立つ。外側の球面上でも、連続性から$u-M\leq0$であり$h=0$なので、同じ不等式が成り立つ。$M\geq0$と$c\geq0$から

である。定理 1.1を$D$上で適用すると$u-M+\varepsilon h\leq0$を得る。$0<t<r/2$に対して

$C^1$延長が存在すれば左辺は$\partial_\nu u(x_0)$に収束する。$c=0$の場合には$L(u-M)=Lu$であるため、$M$の符号によらず同じ議論が成り立つ。▨

証明.$M=u(x_*)$、$S=\{x\in\Omega:u(x)=M\}$とおく。$S$は空でない相対閉集合である。$S\ne\Omega$と仮定すると、連結性により$S$の相対境界に点$z$がある。$\overline{B_{3\rho}(z)}\subseteq\Omega$となる$\rho>0$をとり、$y\in B_\rho(z)\setminus S$をとる。$r=\operatorname{dist}(y,S)$は正であり、$r\leq|y-z|<\rho$である。距離を最小化する列は$\overline{B_{2\rho}(z)}$内にとることができるので、ある$x_0\in S$が$|y-x_0|=r$を満たす。

$B_r(y)\subseteq\Omega\setminus S$であり、$\overline{B_r(y)}\subseteq\Omega$である。$u$を$B_r(y)$に制限して補題 2.1を適用すると、$\nu=(x_0-y)/r$に対して$\partial_\nu u(x_0)>0$を得る。一方、$x_0$は$\Omega$内の最大点なので$\nabla u(x_0)=0$である。この二つの結論は両立しない。従って$S=\Omega$である。$c=0$の場合には、Hopf の補題も$M$の符号によらず適用することができる。▨

証明.$w=(u-M)^+$とおく。§E15.8 命題 3.2と§E15.8 系 3.3により$w\in H^1(\Omega)$であり、$\nabla w=\mathbf1_{\{u>M\}}\nabla u$である。§E15.12 命題 2.5により$Tw=(Tu-M)^+=0$なので、§E15.12 定理 3.3から$w\in H^1_0(\Omega)$となる。試験関数$\varphi=w$を代入すると

ここで$w>0$の点では$u>M\geq0$なので$cuw\geq0$である。従って$\nabla w=0$であり、§E15.8 定理 5.4により$w=0$である。$c=0$の場合には$cuw=0$であるため、$M$の符号によらず同じ結論を得る。▨

証明.$u-v$に定理 3.1を$M=0$として適用する。同じ外力とトレースをもつ二解については、差とその負の両方に適用する。▨

証明.$n\geq3$の場合には$r=2n/(n-2)$とおく。$w\in H^1_0(\Omega)$に対して、$w_j\in C_c^\infty(\Omega)$を$w_j\to w$が$H^1(\Omega)$で成り立つようにとる。このとき、零延長$E_0w_j$は$E_0w$へ$H^1(\R^n)$で収束する。§E15.10 定理 1.2を零延長に適用して

を得る。$n=2$の場合には$r>2$を$r(1-1/q)>2$となる有限指数に選ぶことができる。§E15.10 命題 2.1と§E15.8 定理 5.4により、同じ勾配による評価が成り立つ。どちらの場合も

である。ただし$1/\infty=0$とする。

$k\geq0$に対して$E_k=\{x\in\Omega:u(x)>k\}$、$w=(u-k)^+$とおく。切断とトレースに関する§E15.8 系 3.3、§E15.12 命題 2.5、§E15.12 定理 3.3により、$w\in H^1_0(\Omega)$であり、$\nabla w=\mathbf1_{E_k}\nabla u$である。$uw\geq0$なので、弱等式に$w$を代入し、§E10.22 定理 4.2を用いると

中間の評価は$1/q+1/r+\gamma=1$に対して Hölder の不等式を繰り返して得られる。$\|\nabla w\|_2=0$の場合も含めて

となる。$h>k$に対して$w\geq h-k$が$E_h$上で成り立つので、

$F=\|f\|_q=0$の場合には、弱等式に$u$を代入すると$\theta\|\nabla u\|_2^2\leq0$となり、Poincaré の不等式から$u=0$である。$F>0$とし、$a=r/(\beta-1)$、

とおく。水準集合の測度の不等式に$h=k_{j+1}$、$k=k_j$を代入すると

である。$Y_0\leq|\Omega|$を初期値として帰納すると$Y_j\leq|\Omega|2^{-aj}$となる。実際、この評価を右辺に代入したとき、$j$の指数は$r-a\beta=-a$であり、定数因子は$d$の選び方から$2^{-a}$になる。$E_d\subseteq E_{k_j}$がすべての$j$について成り立つので$|E_d|=0$であり、$u\leq d$を得る。$-u$は外力$-f$に対して同じ弱等式を満たすので、$-u\leq d$も成り立つ。

$n=1$の場合には、$\Omega$を含む有界区間$I$をとり、$u$を零延長する。$H^1_0$の近似により零延長は$H^1_0(I)$に属する。§E13.29 定理 1.2 (2)と§E15.8 定理 5.4から

を得る。弱等式に$u$を代入し、Hölder の不等式を用いると

従って$q=1$を含めて主張の評価が成り立つ。▨