§E15.1超関数

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微分方程式の外力には、領域に分布する局所可積分な密度だけでなく、一点に集中する量も現れる。密度は関数によって表すことができるが、点に集中する量まで含めるには、局所可積分関数より広い対象が必要になる。両者を試験関数との積分や一点での値の評価として捉え、試験関数空間上の連続線形汎関数へ一般化したものが超関数である。Dirac 超関数は点への集中を表す代表例であり、超関数は関数や測度を共通の枠組みで扱う微分方程式論の基本概念である。本記事では、任意の Euclid 空間の開集合上の複素数値超関数について、基本的な性質を解説する。

1 定義と有限階評価

定義 1.1 (超関数).n≥1n\geq1を整数とし、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。試験関数空間D(Ω)=Cc∞(Ω;C)\mathcal D(\Omega)=C_c^\infty(\Omega;\C)には局所凸帰納極限位相を入れる（§E12.16 定義 8.6）。Ω=∅\Omega=\varnothingのときはD(Ω)={0}\mathcal D(\Omega)=\{0\}とする。D(Ω)\mathcal D(\Omega)上の連続な複素線形汎関数をΩ\Omega上の 超関数 (distribution) といい、その全体をD′(Ω)\mathcal D'(\Omega)と書く。T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)のφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)への作用を⟨T,φ⟩\langle T,\varphi\rangleと書く。双対の作用には複素共役を入れない。

命題 1.2.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、T ⁣:D(Ω)→CT\colon\mathcal D(\Omega)\to\Cを複素線形汎関数とする。このとき、TTが超関数であるための必要十分条件は、任意のコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaに対して、定数CK≥0C_K\geq0と非負整数mKm_Kが存在し、supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kを満たすすべてのφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)について

∣⟨T,φ⟩∣≤CKmax⁡∣α∣≤mK∥∂αφ∥∞|\langle T,\varphi\rangle| \leq C_K\max_{|\alpha|\leq m_K}\|\partial^\alpha\varphi\|_\infty

が成り立つことである。ここでα=(α1,…,αn)\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)は非負整数の多重指数、∣α∣=α1+⋯+αn|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n、∂α=∂1α1⋯∂nαn\partial^\alpha=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}である。

証明.Ω=∅\Omega=\varnothingでは線形汎関数は零写像だけであり、評価はCK=0C_K=0、mK=0m_K=0で成り立つ。Ω≠∅\Omega\neq\varnothingとする。§E12.21 系 7.2を値域C\Cと絶対値の半ノルムに適用すると、連続性は各KKについて有限個の微分の上限ノルムによる評価と同値である。有限個の微分の最大階数をmKm_Kとすれば、主張の評価を得る。逆に、∣α∣≤mK|\alpha|\leq m_Kを満たす多重指数は有限個であるから、主張の評価は同じ連続性判定の条件を満たす。▨

定義 1.3 (超関数の位数).n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)とする。非負整数mmに対して、命題 1.2の評価がすべてのコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\OmegaについてmK=mm_K=mとして成り立つとき、TTの位数はmm以下であるという。そのようなmmが存在するとき、最小のmmをTTの 位数 (order) という。固定したKKに対する評価の最小階数はKKに依存してよい。各KK上の有限階評価は、大域的な位数が有限であることを意味しない。

例 1.4.φ∈D(R)\varphi\in\mathcal D(\R)に対して

⟨T,φ⟩=∑k=1∞(−1)kφ(k)(k)\langle T,\varphi\rangle=\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\varphi^{(k)}(k)

と定める。このとき、固定したコンパクト集合K⊆RK\subseteq\Rに属する正整数は有限個である。supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kならば、その正整数以外の項は零であるから、命題 1.2によりTTは超関数である。

任意の非負整数mmに対して整数k>mk>mをとる。§E10.47 定理 2.1の切断関数から、ψ∈Cc∞((−1/4,1/4);R)\psi\in C_c^\infty((-1/4,1/4);\R)でψ(k)(0)=1\psi^{(k)}(0)=1を満たすものをとることができる。実際、零の近傍で11となる切断関数にxk/k!x^k/k!を掛ければよい。0<ε<10<\varepsilon<1に対して

φε(x)=εkψ((x−k)/ε)\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^k\psi((x-k)/\varepsilon)

とおく。台は固定した区間[k−1/4,k+1/4][k-1/4,k+1/4]に含まれ、∣⟨T,φε⟩∣=1|\langle T,\varphi_\varepsilon\rangle|=1である。一方、0≤j≤m0\leq j\leq mについて

∥φε(j)∥∞=εk−j∥ψ(j)∥∞⟶0.\|\varphi_\varepsilon^{(j)}\|_\infty =\varepsilon^{k-j}\|\psi^{(j)}\|_\infty\longrightarrow0.

したがって、この固定した区間上でも階数mmの評価は成立しない。mmは任意であるから、TTの大域的な位数は有限でない。

2 弱収束と点列完備性

定義 2.1 (超関数の弱収束).n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。D′(Ω)\mathcal D'(\Omega)上で、各φ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)による半ノルムT↦∣⟨T,φ⟩∣T\mapsto|\langle T,\varphi\rangle|が定める位相を弱位相σ(D′(Ω),D(Ω))\sigma(\mathcal D'(\Omega),\mathcal D(\Omega))という。超関数列(Tj)(T_j)がTTに 弱収束 (weak convergence) するとは、すべてのφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)に対して⟨Tj,φ⟩→⟨T,φ⟩\langle T_j,\varphi\rangle\to\langle T,\varphi\rangleが成り立つことをいう。

命題 2.2.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とし、(Tj)(T_j)をD′(Ω)\mathcal D'(\Omega)の列とする。このとき、各φ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)について(⟨Tj,φ⟩)(\langle T_j,\varphi\rangle)が Cauchy 列であるならば、

⟨T,φ⟩=lim⁡j→∞⟨Tj,φ⟩\langle T,\varphi\rangle=\lim_{j\to\infty}\langle T_j,\varphi\rangle

は超関数TTを定める。したがってD′(Ω)\mathcal D'(\Omega)は弱位相について点列完備である。

証明.C\Cの完備性により、各φ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)について(⟨Tj,φ⟩)(\langle T_j,\varphi\rangle)は収束し、したがって有界である。Ω≠∅\Omega\neq\varnothingのとき、§E12.20 命題 5.1によりD(Ω)\mathcal D(\Omega)は樽型であり、Ω=∅\Omega=\varnothingのときもD(Ω)={0}\mathcal D(\Omega)=\{0\}は樽型である。C\Cは Hausdorff 局所凸空間であるから、§E12.20 系 3.2により、超関数列(Tj)(T_j)の点ごとの極限TTは連続な線形汎関数である。したがってT∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)である。弱位相に関する Cauchy 列であることは、各試験関数上で Cauchy 列であることと同値であるから、点列完備性が従う。▨

3 関数と測度の埋め込み

命題 3.1.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。このとき、f∈Lloc1(Ω;C)f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega;\C)に対して

⟨Tf,φ⟩=∫Ωf(x)φ(x) dx(φ∈D(Ω))\langle T_f,\varphi\rangle=\int_\Omega f(x)\varphi(x)\,dx \qquad(\varphi\in\mathcal D(\Omega))

と定めると、TfT_fは位数零の超関数である。写像f↦Tff\mapsto T_fは、ほとんど至る所等しい関数を同一視した空間上で複素線形かつ単射である。また、Ω\Omega上の局所有限な正 Radon 測度、および局所全変動が有限な複素 Radon 測度μ\muは、

⟨Tμ,φ⟩=∫Ωφ dμ\langle T_\mu,\varphi\rangle=\int_\Omega\varphi\,d\mu

によって位数零の超関数を定める。測度から超関数への対応も単射である。

証明. コンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaに台をもつφ\varphiに対して

∣⟨Tf,φ⟩∣≤(∫K∣f∣ dx)∥φ∥∞,∣⟨Tμ,φ⟩∣≤∣μ∣(K)∥φ∥∞|\langle T_f,\varphi\rangle|\leq\left(\int_K|f|\,dx\right)\|\varphi\|_\infty, \qquad |\langle T_\mu,\varphi\rangle|\leq |\mu|(K)\|\varphi\|_\infty

である。正測度の場合には∣μ∣=μ|\mu|=\muとする。命題 1.2により両者は位数零の超関数である。

Tμ=TνT_\mu=T_\nuと仮定する。g∈Cc(Ω;R)g\in C_c(\Omega;\R)を零延長してRn\R^n上の連続関数とする。§E10.47 補題 1.3による平滑化grg_rはggに一様収束する。台はsupp⁡g+B(0,r)‾\supp g+\overline{B(0,r)}に含まれるから、小さいrrについてΩ\Omega内の一つのコンパクト集合LLに含まれる。ゆえに

∣∫(gr−g) dμ∣≤∣μ∣(L)∥gr−g∥∞⟶0\left|\int(g_r-g)\,d\mu\right|\leq|\mu|(L)\|g_r-g\|_\infty\longrightarrow0

であり、ν\nuについても同じ評価が成り立つ。grg_rに対する積分は一致するから、ggに対する積分も一致する。正 Radon 測度の単射性は§E10.32 系 4.2から従う。

複素測度の場合には、任意の相対コンパクトな開集合V⊆ΩV\subseteq\Omega上で差μ−ν\mu-\nuの実部と虚部をそれぞれ Jordan 分解する。実部の正部分と負部分はVV上の有限な正 Radon 測度であり、すべてのg∈Cc(V;R)g\in C_c(V;\R)に対する積分が等しい。§E10.32 系 4.2により両者は一致する。虚部にも同じ議論を適用すると、μ=ν\mu=\nuがVV上で従う。Ω\OmegaをそのようなVVの増大列で覆うと、測度はΩ\Omega上でも一致する。

局所可積分関数ffが定める局所的な複素測度f dxf\,dxに単射性を適用すると、Tf=ThT_f=T_hならば(f−h) dx=0(f-h)\,dx=0である。その実部と虚部の正負の部分の積分が零であるから、f=hf=hがほとんど至る所で成り立つ。▨

例 3.2.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、a∈Ωa\in\Omegaとする。

⟨δa,φ⟩=φ(a)\langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)

と定める。このとき、∣φ(a)∣≤∥φ∥∞|\varphi(a)|\leq\|\varphi\|_\inftyによりδa\delta_aは位数零の超関数である。δa\delta_aを点aaにおける Dirac 超関数という。

§E10.47 定理 2.1により、0≤χ≤10\leq\chi\leq1、χ(0)=1\chi(0)=1を満たすχ∈Cc∞(B(0,1);R)\chi\in C_c^\infty(B(0,1);\R)をとる。十分小さいε>0\varepsilon>0に対し、φε(x)=χ((x−a)/ε)\varphi_\varepsilon(x)=\chi((x-a)/\varepsilon)はD(Ω)\mathcal D(\Omega)に属し、⟨δa,φε⟩=1\langle\delta_a,\varphi_\varepsilon\rangle=1である。δa=Tf\delta_a=T_fを満たすf∈Lloc1(Ω)f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)が存在するならば、

1=∣∫fφε dx∣≤∫B(a,ε)∣f∣ dx⟶01=\left|\int f\varphi_\varepsilon\,dx\right| \leq\int_{B(a,\varepsilon)}|f|\,dx\longrightarrow0

となる。最後の収束は、固定したコンパクト近傍上の∣f∣|f|を優関数とする優収束定理による。したがってδa\delta_aは局所可積分関数から生じない。

例 3.3.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、a∈Ωa\in\Omegaとする。§E10.47 補題 1.1により、非負のρ∈Cc∞(Rn;R)\rho\in C_c^\infty(\R^n;\R)で∫ρ dx=1\int\rho\,dx=1を満たすものをとる。このとき、十分小さいε>0\varepsilon>0についてρε,a(x)=ε−nρ((x−a)/ε)\rho_{\varepsilon,a}(x)=\varepsilon^{-n}\rho((x-a)/\varepsilon)はΩ\Omegaにコンパクトな台をもつ。任意のφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)に対して、変数変換により

⟨Tρε,a,φ⟩=∫Rnρ(y)φ(a+εy) dy⟶φ(a)=⟨δa,φ⟩.\langle T_{\rho_{\varepsilon,a}},\varphi\rangle =\int_{\R^n}\rho(y)\varphi(a+\varepsilon y)\,dy \longrightarrow\varphi(a)=\langle\delta_a,\varphi\rangle.

収束はsupp⁡ρ\supp\rho上でのφ(a+εy)→φ(a)\varphi(a+\varepsilon y)\to\varphi(a)の一様収束による。したがって関数から生じる超関数の列でも、弱極限は関数から生じるとは限らない。

4 正の超関数

定義 4.1 (正の超関数).n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)が 正 (positive) であるとは、非負の実数値試験関数φ\varphiのすべてに対して⟨T,φ⟩\langle T,\varphi\rangleが非負の実数であることをいう。

定理 4.2.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。このとき、Ω\Omega上の正の超関数TTに対して、正 Radon 測度μ\muが一意に存在し、すべてのφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)について

⟨T,φ⟩=∫Ωφ dμ\langle T,\varphi\rangle=\int_\Omega\varphi\,d\mu

が成り立つ。逆に、正 Radon 測度が定める超関数は正である。

証明. コンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaに対し、§E10.47 定理 2.1により、KKの近傍で11となる非負のχ∈D(Ω;R)\chi\in\mathcal D(\Omega;\R)をとる。台がKKに含まれる実試験関数φ\varphiについて、M=∥φ∥∞M=\|\varphi\|_\inftyとおくとMχ±φ≥0M\chi\pm\varphi\geq0である。正値性により⟨T,Mχ+φ⟩\langle T,M\chi+\varphi\rangleとM⟨T,χ⟩M\langle T,\chi\rangleは実数であるから、その差⟨T,φ⟩\langle T,\varphi\rangleも実数である。Mχ±φ≥0M\chi\pm\varphi\geq0とTTの正値性から、

∣⟨T,φ⟩∣≤⟨T,χ⟩∥φ∥∞|\langle T,\varphi\rangle|\leq\langle T,\chi\rangle\|\varphi\|_\infty

を得る。

g∈Cc(Ω;R)g\in C_c(\Omega;\R)を零延長して平滑化する。§E10.47 補題 1.3により、ggに一様収束し、台がΩ\Omega内の一つのコンパクト集合LLに含まれる実試験関数列(gj)(g_j)が存在する。台がLLに含まれる実試験関数に対する上限ノルム評価をgj−gkg_j-g_kに適用すると、(⟨T,gj⟩)(\langle T,g_j\rangle)は実数の Cauchy 列である。

Λ(g)=lim⁡j→∞⟨T,gj⟩\Lambda(g)=\lim_{j\to\infty}\langle T,g_j\rangle

とおく。別の近似列を選んだ場合にも、両列の台を含むコンパクト集合に対する同じ評価により極限は一致する。和と実数倍の近似列をとることにより、Λ\Lambdaは実線形である。g≥0g\geq0の場合には非負の平滑化核によるgj≥0g_j\geq0を選ぶことができるから、Λ(g)≥0\Lambda(g)\geq0である。実試験関数gg自身を定数列で近似すれば、Λ(g)=⟨T,g⟩\Lambda(g)=\langle T,g\rangleである。

§E10.33 定理 2.1により、Λ(g)=∫g dμ\Lambda(g)=\int g\,d\muを満たす正 Radon 測度μ\muが一意に存在する。複素試験関数φ\varphiを実部と虚部に分けると、複素線形性から⟨T,φ⟩=∫φ dμ\langle T,\varphi\rangle=\int\varphi\,d\muを得る。表現測度の一意性は命題 3.1の測度の単射性からも従う。逆向きは非負関数の積分が非負であることによる。▨

例 4.3.δ0∈D′(R)\delta_0\in\mathcal D'(\R)は正である。一方、⟨S,φ⟩=−φ′(0)\langle S,\varphi\rangle=-\varphi'(0)は位数11以下の超関数であるが、正でない。実際、零の近傍で11となる非負のχ∈Cc∞((−1/2,1/2);R)\chi\in C_c^\infty((-1/2,1/2);\R)をとると、φ(x)=(1+x)χ(x)\varphi(x)=(1+x)\chi(x)は非負であり、⟨S,φ⟩=−1<0\langle S,\varphi\rangle=-1<0である。

5 制限と貼合せ

定理 5.1.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。開部分集合V⊆ΩV\subseteq\OmegaとT∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)に対して、φ∈D(V)\varphi\in\mathcal D(V)のΩ\Omegaへの零延長をeVφe_V\varphiと書くと、

⟨T∣V,φ⟩=⟨T,eVφ⟩\langle T|_V,\varphi\rangle=\langle T,e_V\varphi\rangle

はVV上の超関数を定める。Ω=⋃i∈IUi\Omega=\bigcup_{i\in I}U_iを開被覆とし、Ti∈D′(Ui)T_i\in\mathcal D'(U_i)がすべてのi,j∈Ii,j\in Iについて

Ti∣Ui∩Uj=Tj∣Ui∩UjT_i|_{U_i\cap U_j}=T_j|_{U_i\cap U_j}

を満たすとする。このとき、T∣Ui=TiT|_{U_i}=T_iをすべてのi∈Ii\in Iについて満たすT∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)が一意に存在する。

証明.φ∈D(V)\varphi\in\mathcal D(V)はVVの境界の近傍で零であるから、零延長eVφe_V\varphiは滑らかである。コンパクト集合K⊆VK\subseteq Vに台をもつφ\varphiについて、零延長は微分の上限ノルムを変えない。TTのKK上の有限階評価と命題 1.2によりT∣VT|_Vは超関数である。零延長の合成から、開集合W⊆VW\subseteq Vに対して(T∣V)∣W=T∣W(T|_V)|_W=T|_Wも従う。

φ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)とし、K=supp⁡φK=\supp\varphiとおく。KKのコンパクト性により、有限個のUi1,…,UiNU_{i_1},\ldots,U_{i_N}がKKを覆う。§E10.47 定理 2.1により、supp⁡θj⊆Uij\supp\theta_j\subseteq U_{i_j}かつKKの近傍で∑jθj=1\sum_j\theta_j=1となる滑らかな有限分割をとる。

⟨T,φ⟩=∑j=1N⟨Tij,θjφ⟩\langle T,\varphi\rangle=\sum_{j=1}^N\langle T_{i_j},\theta_j\varphi\rangle

と定める。別の有限分割(ηℓ)(\eta_\ell)がUhℓU_{h_\ell}に従属するとき、θjηℓφ\theta_j\eta_\ell\varphiの台はUij∩UhℓU_{i_j}\cap U_{h_\ell}内にコンパクトに含まれる。重なりでの一致により

∑j⟨Tij,θjφ⟩=∑j,ℓ⟨Tij,θjηℓφ⟩=∑j,ℓ⟨Thℓ,θjηℓφ⟩=∑ℓ⟨Thℓ,ηℓφ⟩.\sum_j\langle T_{i_j},\theta_j\varphi\rangle =\sum_{j,\ell}\langle T_{i_j},\theta_j\eta_\ell\varphi\rangle =\sum_{j,\ell}\langle T_{h_\ell},\theta_j\eta_\ell\varphi\rangle =\sum_\ell\langle T_{h_\ell},\eta_\ell\varphi\rangle.

したがって定義は分割の選択によらない。二つの試験関数の台の和集合に同じ分割を選ぶことにより、TTの複素線形性が従う。

コンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaを固定し、KKの近傍で和が11となる有限分割(θj)(\theta_j)を固定する。Lj=K∩supp⁡θjL_j=K\cap\supp\theta_jはUijU_{i_j}内のコンパクト集合である。TijT_{i_j}のLjL_j上の評価の階数をmjm_jとし、m=max⁡jmjm=\max_jm_jとおく。Leibniz 則とθj\theta_jの各階微分の有界性により、ある定数Aj≥0A_j\geq0が存在して、supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kのとき

∣⟨Tij,θjφ⟩∣≤Ajmax⁡∣α∣≤m∥∂αφ∥∞|\langle T_{i_j},\theta_j\varphi\rangle| \leq A_j\max_{|\alpha|\leq m}\|\partial^\alpha\varphi\|_\infty

である。有限和をとり、命題 1.2を適用するとTTの連続性が従う。K=∅K=\varnothingでは零関数だけを評価すればよい。

φ∈D(Ui)\varphi\in\mathcal D(U_i)の場合には、被覆をUiU_i一つだけとしてsupp⁡φ\supp\varphi上の分割を選ぶと、⟨T,eUiφ⟩=⟨Ti,φ⟩\langle T,e_{U_i}\varphi\rangle=\langle T_i,\varphi\rangleを得る。ゆえにT∣Ui=TiT|_{U_i}=T_iである。別の超関数SSが同じ制限をもつならば、任意のφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)と、supp⁡φ\supp\varphiの近傍で和が11となり開被覆に従属する有限分割(θj)(\theta_j)に対して

⟨S,φ⟩=∑j⟨S,θjφ⟩=∑j⟨Tij,θjφ⟩=⟨T,φ⟩\langle S,\varphi\rangle =\sum_j\langle S,\theta_j\varphi\rangle =\sum_j\langle T_{i_j},\theta_j\varphi\rangle =\langle T,\varphi\rangle

であるから、S=TS=Tである。Ω=∅\Omega=\varnothingの場合には零超関数が唯一の貼合せである。▨

例 5.2.R\R上の関数f=1(0,∞)f=\mathbf1_{(0,\infty)}とg=1[0,∞)g=\mathbf1_{[0,\infty)}は原点で値が異なるが、ほとんど至る所等しいからTf=TgT_f=T_gである。一方、U=(−∞,1)U=(-\infty,1)とV=(−1,∞)V=(-1,\infty)上でそれぞれ定数関数00と11が定める超関数は貼り合わされない。§E10.47 補題 1.1により、∫φ dx=1\int\varphi\,dx=1を満たすφ∈Cc∞((−1,1);R)\varphi\in C_c^\infty((-1,1);\R)をとると、重なり上で両者の作用はそれぞれ00と11である。したがって、両者を制限としてもつR\R上の超関数は存在しない。

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