熱方程式 | 偏微分方程式論 I

定理 1.1. $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合、 $H=L^2(\Omega;\C)$ 、 $A$ を $H$ 上の非負自己共役作用素とする。内積は第一変数について線形とする。 $u_0\in H$ に対し

u(t)=e^{-tA}u_0\qquad(t\geq0)

とおく。このとき $u\in C([0,\infty);H)$ 、 $u(0)=u_0$ であり、すべての整数 $m\geq0$ と $t>0$ について

u(t)\in D(A^m),\qquad \|A^me^{-tA}\|\leq C_mt^{-m},\qquad C_0=1,\quad C_m=(m/e)^m\ (m\geq1)

が成り立つ。また $u\in C^\infty((0,\infty);H)$ であり、整数 $k\geq0$ に対して

\partial_t^ku(t)=(-A)^ku(t),\qquad \frac12\frac{d}{dt}\|u(t)\|_2^2=-\|A^{1/2}u(t)\|_2^2

が成り立つ。 $u$ は $C([0,\infty);H)\cap C^1((0,\infty);H)$ に属し、正時間に $D(A)$ に値をとる初期値問題 $v'+Av=0$ 、 $v(0)=u_0$ の唯一の解である。

証明. $E$ を $A$ のスペクトル測度、 $\mu(B)=\|E(B)u_0\|_2^2$ とおく。 $\mu$ は $[0,\infty)$ 上の有限測度である。 $|e^{-t\lambda}|\leq1$ と優収束定理により、 $t\mapsto e^{-tA}u_0$ は $[0,\infty)$ で連続であり、 $t=0$ で $u_0$ に等しい。冪の評価と定義域への所属は§E12.25 命題 2.4による。

$0<a<b<\infty$ と整数 $k\geq0$ をとる。 $t\in[a,b]$ に対し $\lambda^{2k}e^{-2t\lambda}$ は $\lambda\geq0$ 上で一様に有界である。差商にも、平均値の積分表示から $C_{a,k}\lambda^{k+1}e^{-a\lambda/2}$ という上界を与えることができる。スペクトル積分で優収束定理を用いると、 $(-A)^ke^{-tA}u_0$ は連続であり、その微分は $(-A)^{k+1}e^{-tA}u_0$ である。作用素積と乗数の一致には§E12.15 定理 1.2 (4)を用いた。特に $u'=-Au$ である。

内積を微分し、スペクトル積分の等式を用いると

\frac12\frac{d}{dt}\|u(t)\|_2^2 =\Re(-Au(t),u(t))_2 =-\int_{[0,\infty)}\lambda\,d\|E(\lambda)u(t)\|_2^2 =-\|A^{1/2}u(t)\|_2^2

を得る。二つの解の差 $w$ に同じ計算を適用すると、 $0<s<t$ に対して $\|w(t)\|_2\leq\|w(s)\|_2$ である。 $s\downarrow0$ とすれば $w(t)=0$ となる。▨

命題 1.2. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 $C^\infty$ 開集合、 $A_D$ をその Dirichlet Laplace 作用素とする。 $u_0\in L^2(\Omega)$ に対し $u(t)=e^{-tA_D}u_0$ とおく。このとき、任意の整数 $k,m\geq0$ について、 $\partial_t^ku$ は正時間で $H^{2m}(\Omega)$ に値をとる連続写像である。 $u$ は $(0,\infty)\times\overline\Omega$ で時間と空間について滑らかであり、すべての整数 $j\geq0$ と $t>0$ について $T\Delta^ju(t)=0$ が成り立つ。

証明.定理 1.1と§E15.23 系 6.1により、 $u(t)\in H^{2m}(\Omega)$ であり、 $0\leq j<m$ について $T\Delta^ju(t)=0$ である。 $A_D^m\partial_t^ku=(-1)^kA_D^{m+k}u$ の $L^2$ 連続性と同じノルム同値により、 $\partial_t^ku$ は $H^{2m}$ で連続である。 $2m>r+n/2$ となる $m$ を選び、高階 Sobolev–Hölder 埋め込み§E15.10 系 4.2を適用すると、すべての時間・空間微分が境界まで連続となる。▨

注意 1.3. 非負自己共役な楕円型実現 $A$ に対しても、作用素冪への所属は定理 1.1により成り立つ。空間正則性への移行には楕円型評価を要する。例えば、整数 $k\geq0$ と $u_0\in L^2(\Omega)$ をとり、 $u(t)=e^{-tA}u_0$ とおく。 $A$ が $L=-\operatorname{div}(a\nabla)+b\cdot\nabla+c$ の斉次 Dirichlet 実現であり、 $\Omega$ が有界 $C^{k+1,1}$ 開集合、 $a\in W^{k+1,\infty}$ 、 $b,c\in W^{k,\infty}$ で、一様楕円性を満たすとする。正時間の $u$ と $Au$ に§E15.23 定理 5.1 (1)を $0$ 階から順に適用することにより $u(t)\in H^{k+2}$ を得る。各段階では $Au(t)$ に対しても、さらに高い作用素冪への所属を用いて一段前の正則性を適用する。係数と境界の正則性が有限の場合には、この議論から無限階の空間正則性は従わない。

注意 1.4. $H=L^2(\Omega;\C)$ 上の非負自己共役作用素 $A$ 、 $\tau>0$ 、 $u_0\in H$ 、可積分な外力 $f\in L^1(0,\tau;H)$ をとる。このとき、非斉次方程式 $u'+Au=f$ 、 $u(0)=u_0$ の軟解 $u(t)=e^{-tA}u_0+\int_0^te^{-(t-s)A}f(s)\,ds$ の連続性、一意性、データの差に対する評価は、§E15.24 定理 2.1を熱の場合（ $\beta=1$ ）に適用すると得られる。

例 1.5. $\Omega=(0,\pi)$ の Dirichlet Laplace 作用素と初期値 $u_0=1$ をとる。このとき、定理 1.1により $u(t)=e^{-tA_D}1$ は $t\downarrow0$ に $L^2(0,\pi)$ で $1$ に収束する。一方、正時間では命題 1.2により $u(t,0)=u(t,\pi)=0$ である。したがって

\sup_{x\in[0,\pi]}|u(t,x)-1|\geq1

であり、閉区間上の一様収束は成立しない。

定理 2.1. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 Lipschitz 開集合、 $B\in\{D,N\}$ 、 $A_B$ を Dirichlet または Neumann Laplace 作用素とする。 $L^2(\Omega;\C)$ の内積を第一変数について線形とし、 $(\lambda_j^B,e_j^B)$ を§E15.19 定理 1.3の完全正規直交固有系とする。このとき、 $u_0\in L^2(\Omega)$ に対して

e^{-tA_B}u_0=\sum_{j=1}^\infty e^{-t\lambda_j^B}(u_0,e_j^B)_2 e_j^B

が成り立つ。級数は $t\geq0$ で $L^2$ 収束し、 $t>0$ ではすべての整数 $m\geq0$ に対して $D(A_B^m)$ のグラフノルムで収束する。

証明. $L^2$ での展開は§E12.25 定理 5.1 (1)による。 $c_j=(u_0,e_j^B)_2$ とおく。 $\sum_j|c_j|^2=\|u_0\|_2^2$ であり、固定した $t>0$ と $m\geq0$ に対して

\sum_j(1+(\lambda_j^B)^{2m})e^{-2t\lambda_j^B}|c_j|^2<\infty

である。実際、 $\lambda^{2m}e^{-2t\lambda}$ は $[0,\infty)$ で有界である。固有基底における作用素の表示§E15.19 定理 1.3を反復すると、 $D(A_B^m)$ は重み $1+(\lambda_j^B)^{2m}$ による二乗可算性で特徴づけられる。したがって級数の尾部はグラフノルムで零に収束する。▨

定理 2.2. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 Lipschitz 開集合、 $B\in\{D,N\}$ 、 $A=A_B$ とし、 $P_0$ を $\ker A$ への直交射影、 $\lambda_+$ を $A$ の最初の正固有値とする。このとき任意の $u_0\in L^2(\Omega)$ と $t\geq0$ について

\|e^{-tA}u_0-P_0u_0\|_2 \leq e^{-\lambda_+t}\|(I-P_0)u_0\|_2

が成り立つ。Dirichlet 条件では $P_0=0$ である。Neumann 条件では、各連結成分 $\Omega_\ell$ 上で

(P_0u_0)|_{\Omega_\ell}=\frac1{|\Omega_\ell|}\int_{\Omega_\ell}u_0(x)\,dx

である。

証明. 固有値列は非負で無限大へ発散するから、零固有空間は有限次元であり、正固有値の最小値 $\lambda_+$ が存在する。定理 2.1と Parseval の等式により

\|e^{-tA}u_0-P_0u_0\|_2^2 =\sum_{\lambda_j>0}e^{-2t\lambda_j}|(u_0,e_j)_2|^2 \leq e^{-2t\lambda_+}\|(I-P_0)u_0\|_2^2.

Dirichlet 条件では、§E15.19 定理 2.1により $\lambda_1^D>0$ であるから $\ker A=\{0\}$ であり、 $P_0=0$ である。Neumann 条件では、§E15.19 定理 2.1により $\ker A$ は各連結成分上で定数となる $H^1(\Omega)$ の関数全体であり、各成分の定数関数が核をなす。成分の指示関数を正規化した正規直交系への射影を計算すると、主張の平均値の式を得る。▨

例 2.3. $\Omega=(0,\pi)$ では $-\partial_x^2\sin x=\sin x$ であり、 $\sin x$ は Dirichlet 条件を満たす。したがって初期値 $\sin x$ の解は $e^{-t}\sin x$ である。Neumann 条件では $1$ と $\cos x$ の固有値がそれぞれ $0$ と $1$ であるから、初期値 $1+\cos x$ の解は $1+e^{-t}\cos x$ であり、極限は平均値 $1$ である。

非負性を外すと減衰は成立しない。一般の空でない有界 Lipschitz 開集合で、 $c>\lambda_1^D$ として $A=A_D-cI$ とおく。このとき、第一固有関数 $e_1^D$ を初期値とする解は

e^{-tA}e_1^D=e^{(c-\lambda_1^D)t}e_1^D

であり、その $L^2$ ノルムは指数的に増大する。

定理 3.1. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界開集合、 $T>0$ とし、実関数

u\in C(\overline\Omega\times[0,T])\cap C^{2,1}(\Omega\times(0,T])

が $u_t-\Delta u\leq0$ を満たすとする。 $C^{2,1}$ の時間微分は $T$ では左微分とする。放物型境界を

\partial_pQ=(\overline\Omega\times\{0\})\cup(\partial\Omega\times[0,T])

とおく。このとき、

\sup_{\overline\Omega\times[0,T]}u\leq\sup_{\partial_pQ}u

が成り立つ。

証明. $\varepsilon>0$ とし、 $v(x,t)=u(x,t)-\varepsilon t$ とおく。 $v_t-\Delta v\leq-\varepsilon$ である。コンパクト集合 $\overline\Omega\times[0,T]$ 上の $v$ の最大点が $(x_0,t_0)\in\Omega\times(0,T]$ にあると仮定する。空間変数について $\Delta v(x_0,t_0)\leq0$ である。時間変数について、 $t_0<T$ なら $v_t(x_0,t_0)=0$ 、 $t_0=T$ なら左微分が非負である。したがって $v_t-\Delta v\geq0$ となり、 $v_t-\Delta v\leq-\varepsilon$ に反する。ゆえに最大点は放物型境界にある。 $v\leq\sup_{\partial_pQ}u$ と $u=v+\varepsilon t$ より、 $u\leq\sup_{\partial_pQ}u+\varepsilon T$ である。 $\varepsilon\downarrow0$ として結論を得る。▨

系 3.2. $T>0$ とし、 $u,v$ を $\R^n\times[0,T]$ 上の有界な実連続関数で、正時間には $C^{2,1}$ に属するものとする。 $u_t-\Delta u\leq v_t-\Delta v$ かつ $u(x,0)\leq v(x,0)$ がすべての $x$ について成り立つとする。このとき、 $u\leq v$ である。特に、有界古典解の初期値問題は一意である。非負初期値の有界古典解は非負であり、実初期値 $u_0$ の有界古典解は $\sup_{x,t}|u(x,t)|\leq\|u_0\|_\infty$ を満たす。

証明. $w=u-v$ とし、 $M=\sup|w|$ とおく。 $\varepsilon>0$ に対し

w_\varepsilon(x,t)=w(x,t)-\varepsilon(|x|^2+2nt+1)

とおくと、 $(\partial_t-\Delta)w_\varepsilon\leq0$ である。 $\varepsilon R^2>M$ となる $R$ をとれば、球 $B_R$ の側面では $w_\varepsilon<0$ 、初期面でも $w_\varepsilon<0$ である。定理 3.1より $B_R\times[0,T]$ で $w_\varepsilon\leq0$ となる。 $R$ は任意に大きくすることができるから、全空間で $w\leq\varepsilon(|x|^2+2nt+1)$ である。各 $(x,t)$ を固定して $\varepsilon\downarrow0$ とすると $w\leq0$ を得る。二つの解の順序を交換すれば一意性が従う。零解との比較から非負性が、定数解 $\pm\|u_0\|_\infty$ との比較からノルム評価が従う。▨

定理 4.1. $n\geq1$ とし、Fourier 変換を $\widehat f(\xi)=\int_{\R^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx$ とする。 $L^2(\R^n;\C)$ 上の非負自己共役作用素 $A=-\Delta$ を、Fourier 変換による乗数 $4\pi^2|\xi|^2$ 、定義域 $\{f\in L^2:|\xi|^2\widehat f\in L^2\}$ によって定める。 $t>0$ に対して

G_t(x)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x|^2/(4t)}

とおく。このとき

\widehat G_t(\xi)=e^{-4\pi^2t|\xi|^2},\qquad G_t*f=e^{-tA}f=e^{t\Delta}f\quad(f\in L^2(\R^n))

が成り立つ。最後の等式は $L^2$ の等式であり、畳込みは正時間に滑らかな代表元を与える。

証明.§E15.3 命題 4.1に $a=(4\pi t)^{-1}$ を代入し、係数 $(4\pi t)^{-n/2}$ を掛けると、主張の変換式を得る。特に $G_t\geq0$ かつ $\int G_t=\widehat G_t(0)=1$ である。

$f\in\mathcal S(\R^n)$ のとき、Fubini の定理により $\widehat{G_t*f}=\widehat G_t\widehat f$ である。Fourier 反転§E15.3 定理 2.1と可測汎関数計算§E12.15 定理 1.2により $G_t*f=e^{-tA}f$ を得る。一般の $f\in L^2$ に対しては $\mathcal S$ による近似をとる。 $G_t\,dx$ は確率測度であるから、Cauchy–Schwarz の不等式と Fubini の定理により

\|G_t*f\|_2^2\leq\int_{\R^n}\int_{\R^n}G_t(y)|f(x-y)|^2\,dy\,dx=\|f\|_2^2.

よって畳込みと半群の両方が $L^2$ 連続に延長され、等式は $L^2$ 全体で成り立つ。固定した正時間の任意の時間・空間微分は、 $G_t$ の微分と $f$ の畳込みである。核の微分は $L^2$ に属し、正時間のコンパクト区間では $L^2$ で連続である。Cauchy–Schwarz の不等式により微分積分交換と各微分の連続性が従う。▨

命題 4.2. $u_0\in C_b(\R^n;\R)$ とする。 $u(x,t)=(G_t*u_0)(x)$ （ $t>0$ ）、 $u(x,0)=u_0(x)$ とおく。このとき、 $u$ は任意の $T>0$ に対し $\R^n\times[0,T]$ 上の唯一の有界古典解である。 $t\downarrow0$ のとき $u(\cdot,t)\to u_0$ は局所一様に成り立つ。 $u_0$ が一様連続ならば全空間で一様に収束する。

証明. $\int G_t=1$ により $|u(x,t)|\leq\|u_0\|_\infty$ である。 $G_t$ の任意の時間・空間微分は、多項式と Gauss 関数の積であり、正時間のコンパクト区間上で共通の可積分な関数により抑えることができる。したがって畳込みを任意階に微分することができる。核を直接微分すると $\partial_tG_t=\Delta G_t$ であるから $u_t=\Delta u$ を得る。

コンパクト集合 $K\subset\R^n$ と $\delta>0$ をとる。 $M=\|u_0\|_\infty$ とおくと

\sup_{x\in K}|u(x,t)-u_0(x)| \leq\sup_{\substack{x\in K\\|y|<\delta}}|u_0(x-y)-u_0(x)| +2M\int_{|y|\geq\delta}G_t(y)\,dy.

第一項は $u_0$ のコンパクト集合上の一様連続性により $\delta\downarrow0$ で零となる。第二項の積分は変数変換 $y=\sqrt t\,z$ により、固定した $\delta$ に対して $t\downarrow0$ で零となる。 $\delta$ を先に選び、次に $t$ を選ぶと局所一様収束を得る。 $u_0$ が一様連続ならば、同じ評価で $K$ を $\R^n$ に置き換えることができる。初期面での連続性と系 3.2により存在と一意性が従う。▨

例 4.3.

\phi(t)=\begin{cases}e^{-1/t^2}&t>0,\\0&t\leq0\end{cases},\qquad u(x,t)=\begin{cases}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\phi^{(k)}(t)\frac{x^{2k}}{(2k)!}&t>0,\\0&t\leq0\end{cases}

とおく。このとき $u\in C^\infty(\R^2;\R)$ であり、 $u_t=u_{xx}$ 、 $u(x,0)=0$ を満たすが、 $u$ は零関数ではない。したがって、空間無限遠における有界性を課さない古典解の初期値問題には一意性がない。

証明. $\theta=1/8$ とする。 $t>0$ と $|z-t|\leq\theta t$ に対し $z=t(1+w)$ と書くと $|w|\leq1/8$ であり、

|(1+w)^{-2}-1| \leq\frac{2|w|+|w|^2}{(1-|w|)^2} \leq\frac{17}{49}<\frac12.

したがって $\Re(z^{-2})\geq1/(2t^2)$ である。 $z\mapsto e^{-1/z^2}$ はこの閉円板の近傍で正則であるから、§E5.6 系 4.2により任意の整数 $r\geq0$ について

|\phi^{(r)}(t)|\leq r!(\theta t)^{-r}e^{-1/(2t^2)}

を得る。

整数 $a,b\geq0$ と $R\geq1$ を固定する。各項を時間に $a$ 回、空間に $b$ 回微分した絶対値は、 $2k\geq b$ のとき

\frac{|\phi^{(k+a)}(t)|\,|x|^{2k-b}}{(2k-b)!} \leq C_{a,b}(\theta t)^{-a}e^{-1/(2t^2)} \frac{(k+1)^{a+b}}{k!} \left(\frac{R^2}{\theta t}\right)^k\qquad(|x|\leq R)

である。実際、 $(k+a)!\leq C_a(k+1)^ak!$ 、 $(2k)!/(2k-b)!\leq(2k)^b$ 、 $(2k)!\geq(k!)^2$ を用いればよい。 $2k<b$ の項の空間微分は零である。

非負整数 $d$ と $z\geq0$ に対し

\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)^dz^k}{k!}\leq C_d(1+z^d)e^z

が成り立つ。この不等式は、 $\sum z^k/k!=e^z$ に作用素 $z\partial_z+1$ を $d$ 回適用すると、左辺が非負係数多項式と $e^z$ の積になることから従う。よって微分級数の絶対値の和は

C_{a,b}(\theta t)^{-a} \left(1+\left(\frac{R^2}{\theta t}\right)^{a+b}\right) \exp\left(-\frac1{2t^2}+\frac{R^2}{\theta t}\right)

以下である。 $0<\delta\leq t\leq T$ では、各項の上界の和を $t=\delta$ の逆冪と $e^{R^2/(\theta\delta)}$ によって抑えることができる。したがって、すべての微分級数は $|x|\leq R$ 、 $\delta\leq t\leq T$ で一様収束し、項別微分が正当化される。

最後の指数評価は、 $t\downarrow0$ ですべての $t$ の冪より速く零に収束する。したがって正時間のすべての混合微分は、 $x$ のコンパクト集合上一様に零へ収束する。各微分を $t\leq0$ で零と延長すると連続である。時間微分の $t=0$ における差商も、さらに $t^{-1}$ を掛けた同じ評価によって零となる。空間微分は $t=0$ で恒等的に零である。微分の次数について帰納することにより $u\in C^\infty(\R^2)$ を得る。

正時間では

u_t=\sum_{k=0}^\infty\phi^{(k+1)}(t)\frac{x^{2k}}{(2k)!},\qquad u_{xx}=\sum_{k=1}^\infty\phi^{(k)}(t)\frac{x^{2k-2}}{(2k-2)!}

であり、添字をずらすと両者は一致する。非正時間では両者は零である。 $u(0,t)=\phi(t)>0$ （ $t>0$ ）であるから $u$ は零解と異なる。系 3.2により、この非零解は任意の $T>0$ に対し $\R\times[0,T]$ 上で有界ではない。▨

定理 5.1. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 $C^\infty$ 開集合、 $A_D$ を Dirichlet Laplace 作用素、 $(\lambda_j,e_j)_{j\in\NN}$ を $L^2(\Omega;\C)$ の完全正規直交固有系とする。内積は第一変数について線形とする。このとき

K_D(t,x,y)=\sum_{j=1}^\infty e^{-t\lambda_j}e_j(x)\overline{e_j(y)}

は $t>0$ 、 $x,y\in\overline\Omega$ に対して定義される。任意の $\varepsilon>0$ に対し、この級数は任意階の時間・空間微分とともに $[\varepsilon,\infty)\times\overline\Omega^2$ 上で一様収束する。任意の $f\in L^2(\Omega)$ 、 $t>0$ 、 $x\in\overline\Omega$ について

(e^{-tA_D}f)(x)=\int_\Omega K_D(t,x,y)f(y)\,dy

が成り立つ。左辺には正時間の滑らかな代表元をとる。また、 $K_D$ は $x\in\partial\Omega$ または $y\in\partial\Omega$ ならば零であり、 $s,t>0$ に対して

K_D(t,x,y)=\overline{K_D(t,y,x)},\qquad K_D(t+s,x,y)=\int_\Omega K_D(t,x,z)K_D(s,z,y)\,dz

が成り立つ。

証明.§E15.23 系 6.2により、各 $e_j$ は境界まで滑らかである。任意の整数 $r\geq0$ に対して $2M_r>r+n/2$ を満たす整数 $M_r$ を選ぶと、同じ評価により、すべての $j\in\NN$ について

\|e_j\|_{C^r(\overline\Omega)}\leq C_r(1+\lambda_j)^{M_r}

を得る。 $e_j\in H_0^1(\Omega)$ であるから、その境界値は零である。

時間微分の次数 $a$ と空間多重指数 $\alpha,\beta$ を固定する。微分後の第 $j$ 項の絶対値は、 $t\geq\varepsilon$ で

C(1+\lambda_j)^M e^{-\varepsilon\lambda_j} \leq C_{M,\varepsilon}e^{-\varepsilon\lambda_j/2}

以下である。§E15.19 系 3.4により $\lambda_j\geq c_\Omega j^{2/n}$ であるから、右辺は $j$ について可算和をもつ。実際、 $j^{2/n}/\log j\to\infty$ により、十分大きい $j$ では $e^{-\varepsilon c_\Omega j^{2/n}/2}\leq j^{-2}$ である。Weierstrass の判定法により、すべての微分級数の一様収束を得る。

$\Omega$ は有限測度であり $f\in L^1(\Omega)$ であるから、核級数を積分の外へ出すことができる。したがって

\int_\Omega K_D(t,x,y)f(y)\,dy =\sum_j e^{-t\lambda_j}(f,e_j)_2 e_j(x).

右辺は $x$ について一様収束し、定理 2.1により $L^2$ では $e^{-tA_D}f$ に等しい。両辺の連続性により、等式は境界を含めて点ごとに成り立つ。

境界での消失と共役対称性は各項について成り立ち、一様収束によって和へ移る。半群則については二つの級数の積を $z$ について積分する。両級数は絶対一様収束するから、積分と二重和を交換することができる。 $\int_\Omega\overline{e_j(z)}e_k(z)\,dz=\delta_{jk}$ により二重和は

\sum_j e^{-(t+s)\lambda_j}e_j(x)\overline{e_j(y)}=K_D(t+s,x,y)

となる。▨

§E15.26熱方程式

1 熱半群と平滑化

2 固有関数展開と長時間挙動

3 放物型最大値原理

4 全空間の Gauss 核

5 有界領域の Dirichlet 熱核

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