Aleksandrov–Bakelman–Pucci の評価 | 偏微分方程式論 I

定義 1.1. $n\geq1$ を整数、 $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合とし、 $u\in C(\overline\Omega)$ を実関数とする。 $x\in\Omega$ に対して

\chi_u(x)=\{p\in\R^n\mid \text{すべての }y\in\overline\Omega\text{ について }u(y)\leq u(x)+p\cdot(y-x)\}

とおき、 $\Omega$ の各点 $x$ に $\R^n$ の部分集合 $\chi_u(x)$ を対応させる写像 $\chi_u$ を $u$ の法写像 (normal mapping) という。 $\chi_u(x)\neq\emptyset$ を満たす $x\in\Omega$ 全体の集合 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合 (upper contact set) という。

補題 1.2. $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合、 $u\in C^1(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ を実関数とし、 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合とする。このとき次が成り立つ。

任意の $x\in\Gamma^+$ に対して $\chi_u(x)=\{Du(x)\}$ である。
$u\in C^2(\Omega)$ ならば、任意の $x\in\Gamma^+$ に対して $D^2u(x)$ は負半定値である。
$\Gamma^+$ は $\Omega$ の相対閉集合であり、 $\R^n$ の可算個のコンパクト集合の和集合である。特に、任意の $t\in\R$ に対して $\Gamma^+\cap\{u>t\}$ は Borel 集合である。

証明.主張 (1)を示す。 $x\in\Gamma^+$ と $p\in\chi_u(x)$ をとり、 $w(y)=u(y)-u(x)-p\cdot(y-x)$ を $y\in\overline\Omega$ について定める。 $w\leq0$ が $\overline\Omega$ 上で成り立ち、 $w(x)=0$ であるから、 $w$ は内点 $x$ で $\overline\Omega$ 上の最大値をとる。 $w\in C^1(\Omega)$ であるから $Dw(x)=Du(x)-p=0$ である。 $p$ は空でない集合 $\chi_u(x)$ の任意の元であったから、 $\chi_u(x)=\{Du(x)\}$ である。

主張 (2)を示す。 $x\in\Gamma^+$ とし、主張 (1)により $Du(x)\in\chi_u(x)$ である。 $w(y)=u(y)-u(x)-Du(x)\cdot(y-x)$ とおくと、 $w\leq0$ が $\overline\Omega$ 上で成り立ち、 $w(x)=0$ である。 $\xi\in\R^n$ を任意にとる。 $\Omega$ は開集合であるから、ある $\delta>0$ が存在して、 $C^2$ 級関数 $t\mapsto w(x+t\xi)$ は $(-\delta,\delta)$ 上で定義される。この関数は $t=0$ で最大値をとるから、その $t=0$ での二階微分係数 $\xi\cdot D^2u(x)\xi$ は $0$ 以下である。したがって $D^2u(x)$ は負半定値である。

主張 (3)を示す。 $\Gamma^+$ の点列 $(x_k)_{k\geq1}$ が $x\in\Omega$ に収束するとする。主張 (1)により、すべての $k$ とすべての $y\in\overline\Omega$ について $u(y)\leq u(x_k)+Du(x_k)\cdot(y-x_k)$ が成り立つ。 $u$ と $Du$ は $x$ で連続であるから、 $k\to\infty$ として $u(y)\leq u(x)+Du(x)\cdot(y-x)$ がすべての $y\in\overline\Omega$ について成り立つ。よって $Du(x)\in\chi_u(x)$ であり、 $x\in\Gamma^+$ である。ゆえに $\Gamma^+$ は $\Omega$ の相対閉集合であり、 $\Gamma^+$ の $\R^n$ における閉包を $C$ とすれば $\Gamma^+=\Omega\cap C$ である。 $u$ は $\Omega$ 上で連続であるから、任意の $t\in\R$ について $\{x\in\Omega\mid u(x)>t\}$ は開集合であり、その開集合と閉集合 $C$ の共通部分 $\Gamma^+\cap\{u>t\}$ は Borel 集合である。 $\Omega$ は有界な開集合であるから、 $\R^n\setminus\Omega\neq\emptyset$ であり、 $\Omega$ は有界閉集合 $K_k=\{x\in\R^n\mid \operatorname{dist}(x,\R^n\setminus\Omega)\geq1/k\}$ （ $k\geq1$ ）の和集合である。よって $\Gamma^+=\bigcup_{k\geq1}(C\cap K_k)$ は可算個のコンパクト集合の和集合である。▨

補題 1.3. $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合、 $d=\operatorname{diam}\Omega$ とし、 $u\in C^1(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ を実関数、 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合とする。このとき、 $u^+=\max\{u,0\}$ とおくと、 $\sup_{\partial\Omega}u$ と $\sup_{\partial\Omega}u^+$ は実数であり、いずれも $\partial\Omega$ 上で $u$ の上界である。 $m$ を、 $\partial\Omega$ 上で $u\leq m$ を満たす任意の実数とし、

M=\sup_\Omega u-m

とおく。このとき、 $M>0$ ならば、 $B_{M/d}(0)=\{p\in\R^n\mid |p|<M/d\}$ について

B_{M/d}(0)\subseteq Du(\Gamma^+\cap\{u>m\})

が成り立つ。

証明. $\R^n$ は連結であり、 $\Omega$ は $\R^n$ と異なる空でない開集合であるから、 $\partial\Omega$ は空でないコンパクト集合である。 $u$ は $\partial\Omega$ 上で連続であるから、 $\sup_{\partial\Omega}u=\max_{\partial\Omega}u$ は実数であり、 $\sup_{\partial\Omega}u^+=\max\{0,\max_{\partial\Omega}u\}$ も実数である。この二つの実数はいずれも $\partial\Omega$ 上で $u$ 以上である。

$m$ を $\partial\Omega$ 上で $u\leq m$ を満たす実数とし、 $M>0$ とする。 $\Omega$ は空でない開集合であるから $d>0$ である。 $u$ は $\overline\Omega$ 上で連続であり、 $\Omega$ は $\overline\Omega$ で稠密であるから、 $u(x_1)=\sup_\Omega u=m+M$ を満たす $x_1\in\overline\Omega$ が存在する。

$p\in\R^n$ が $|p|<M/d$ を満たすとする。 $w(y)=u(y)-p\cdot y$ はコンパクト集合 $\overline\Omega$ 上で連続であるから、 $\overline\Omega$ 上の最大値をある点 $x_0\in\overline\Omega$ でとる。任意の $z\in\partial\Omega$ について、 $u(z)\leq m$ と、 $x_1,z\in\overline\Omega$ と $\operatorname{diam}\overline\Omega=d$ から従う $|x_1-z|\leq d$ により

w(x_1)-w(z)=u(x_1)-u(z)-p\cdot(x_1-z)\geq M-|p|d>0

である。よって $w$ は $\partial\Omega$ の点で最大値をとらず、 $x_0\in\Omega$ である。 $w(y)\leq w(x_0)$ がすべての $y\in\overline\Omega$ について成り立つことは、 $u(y)\leq u(x_0)+p\cdot(y-x_0)$ がすべての $y\in\overline\Omega$ について成り立つことと同値である。したがって $p\in\chi_u(x_0)$ であり、 $x_0\in\Gamma^+$ である。補題 1.2 (1)により $p=Du(x_0)$ である。さらに $w(x_0)\geq w(x_1)$ から

u(x_0)\geq u(x_1)+p\cdot(x_0-x_1)\geq m+M-|p|d>m

である。ゆえに $p=Du(x_0)$ と $x_0\in\Gamma^+\cap\{u>m\}$ が成り立つ。 $p$ は $B_{M/d}(0)$ の任意の元であったから、包含 $B_{M/d}(0)\subseteq Du(\Gamma^+\cap\{u>m\})$ が成り立つ。▨

補題 1.4. $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合、 $d=\operatorname{diam}\Omega$ とし、 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ を実関数、 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合とする。 $m$ を、 $\partial\Omega$ 上で $u\leq m$ を満たす実数とし、 $M=\sup_\Omega u-m$ 、 $A=\Gamma^+\cap\{u>m\}$ とおく。このとき、 $M>0$ ならば、任意の Borel 関数 $g:\R^n\to[0,\infty)$ に対して

\int_{B_{M/d}(0)}g(p)\,dp\leq\int_Ag(Du(x))|\det D^2u(x)|\,dx

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明.補題 1.2 (3)により $A$ は Borel 集合である。 $u\in C^2(\Omega)$ であるから $Du:\Omega\to\R^n$ は $C^1$ 級写像であり、その微分は $D^2u$ である。

主張 1.4.1. 任意の Borel 関数 $g:\R^n\to[0,\infty)$ に対して

\int_{Du(A)}g(p)\,dp\leq\int_Ag(Du(x))|\det D^2u(x)|\,dx

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明. $t>0$ に対して $E_t=\{p\in\R^n\mid g(p)>t\}$ とおく。 $E_t$ は Borel 集合であり、 $Du$ は連続であるから $A\cap(Du)^{-1}(E_t)$ は Borel 集合である。 $Du(A)\cap E_t=Du(A\cap(Du)^{-1}(E_t))$ であるから、§E10.44 定理 3.3を $U=\Omega$ 、 $F=Du$ と Borel 集合 $A\cap(Du)^{-1}(E_t)$ に適用すると

|Du(A)\cap E_t|\leq\int_{A\cap(Du)^{-1}(E_t)}|\det D^2u(x)|\,dx=\int_A\mathbf 1_{E_t}(Du(x))|\det D^2u(x)|\,dx

である。 $(p,t)\mapsto g(p)-t$ と $(x,t)\mapsto g(Du(x))-t$ は Borel 関数であるから、集合 $\{(p,t)\mid g(p)>t\}$ と $\{(x,t)\mid g(Du(x))>t\}$ は積空間の Borel 集合である。 $s\geq0$ について $\int_0^\infty\mathbf 1_{\{s>t\}}\,dt=s$ であるから、Tonelli の定理により、上の不等式を $t\in(0,\infty)$ について積分すると

\int_{Du(A)}g(p)\,dp=\int_0^\infty|Du(A)\cap E_t|\,dt\leq\int_0^\infty\int_A\mathbf 1_{E_t}(Du(x))|\det D^2u(x)|\,dx\,dt=\int_Ag(Du(x))|\det D^2u(x)|\,dx

である。▨

補題 1.3により $B_{M/d}(0)\subseteq Du(A)$ であり、 $g\geq0$ であるから、 $\int_{B_{M/d}(0)}g(p)\,dp\leq\int_{Du(A)}g(p)\,dp$ である。この不等式と主張 1.4.1から主張が従う。▨

補題 1.5. $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合、 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ を実関数とし、 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合とする。 $x\in\Gamma^+$ とし、 $a=(a^{ij})$ を正定値な $n$ 次実対称行列とする。このとき、 $|\det D^2u(x)|=\det(-D^2u(x))$ であり、

n(\det a)^{1/n}|\det D^2u(x)|^{1/n}\leq-a^{ij}D_{ij}u(x)

が成り立つ。ここで繰り返す添字 $i,j$ については $1$ から $n$ まで和をとる。

証明.補題 1.2 (2)により $-D^2u(x)$ は半正定値であるから、 $\det(-D^2u(x))\geq0$ であり、 $|\det D^2u(x)|=|(-1)^n\det(-D^2u(x))|=\det(-D^2u(x))$ である。 $D^2u(x)$ は対称であるから $\operatorname{tr}(a(-D^2u(x)))=-a^{ij}D_{ij}u(x)$ である。§D3.14 命題 5.3を半正定値な実対称行列 $a$ と $-D^2u(x)$ に適用すると、 $\operatorname{tr}(a(-D^2u(x)))\geq n(\det a)^{1/n}\det(-D^2u(x))^{1/n}$ である。この不等式と前の二つの等式から主張が従う。▨

定理 2.1 (Aleksandrov–Bakelman–Pucci の評価). $n\geq1$ を整数、 $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合、 $d=\operatorname{diam}\Omega$ とする。可測集合 $E\subseteq\R^n$ の Lebesgue 測度を $|E|$ と書き、 $\omega_n=|B_1(0)|$ とおく。 $a=(a^{ij})$ を $\Omega$ 上の $n$ 次実対称行列値関数とし、各成分 $a^{ij}$ は Lebesgue 可測であり、すべての $x\in\Omega$ について $a(x)$ は正定値であるとする。 $\mathcal D^*(x)=(\det a(x))^{1/n}$ とおく。 $f:\Omega\to\R$ を Lebesgue 可測関数とし、 $f^-=\max\{-f,0\}$ とおく。実関数 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ が、ほとんどすべての $x\in\Omega$ について

a^{ij}(x)D_{ij}u(x)\geq f(x)

を満たすとする。ここで繰り返す添字 $i,j$ については $1$ から $n$ まで和をとる。 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合とし、 $m$ を、 $\partial\Omega$ 上で $u\leq m$ を満たす実数とする。補題 1.3により、 $u^+=\max\{u,0\}$ として $m=\sup_{\partial\Omega}u$ と $m=\sup_{\partial\Omega}u^+$ はこの条件を満たす。このとき

\sup_\Omega u\leq m+\frac{d}{n\omega_n^{1/n}}\left\|\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right\|_{L^n(\Gamma^+\cap\{u>m\})}

が $(-\infty,\infty]$ において成り立つ。特に、 $\lambda>0$ がすべての $x\in\Omega$ と $\xi\in\R^n$ について $\xi\cdot a(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2$ を満たすならば、

\sup_\Omega u\leq m+\frac{d}{n\omega_n^{1/n}\lambda}\|f^-\|_{L^n(\Omega)}

である。

証明. $M=\sup_\Omega u-m$ とおき、 $A=\Gamma^+\cap\{u>m\}$ とおく。補題 1.2 (3)により $A$ は Borel 集合である。 $M\leq0$ ならば主張は成り立つので、 $M>0$ とする。不等式 $a^{ij}D_{ij}u\geq f$ が成り立たない点の全体を含む Lebesgue 零集合 $N\subseteq\Omega$ をとる。

$x\in A\setminus N$ とする。補題 1.5を正定値な実対称行列 $a(x)$ に適用すると

n\mathcal D^*(x)|\det D^2u(x)|^{1/n}\leq-a^{ij}(x)D_{ij}u(x)\leq-f(x)\leq f^-(x)

である。 $\mathcal D^*(x)>0$ であるから

|\det D^2u(x)|\leq\frac{1}{n^n}\left(\frac{f^-(x)}{\mathcal D^*(x)}\right)^n

が成り立つ。

補題 1.4を $g=1$ に適用し、前段の評価と $|N|=0$ を用いると

\omega_n\left(\frac Md\right)^n=|B_{M/d}(0)|\leq\int_A|\det D^2u(x)|\,dx\leq\frac{1}{n^n}\int_A\left(\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right)^n dx

である。両辺の $n$ 乗根をとると $M\leq d\,(n\omega_n^{1/n})^{-1}\|f^-/\mathcal D^*\|_{L^n(A)}$ である。

$\xi\cdot a(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2$ ならば、 $a(x)$ の固有値はすべて $\lambda$ 以上であり、 $\mathcal D^*(x)\geq\lambda$ である。よって $\|f^-/\mathcal D^*\|_{L^n(A)}\leq\lambda^{-1}\|f^-\|_{L^n(\Omega)}$ である。▨

注意 2.2.§E15.18 定理 4.1を行列 $I$ と零階係数 $0$ に適用すると、空でない有界 Lipschitz 開集合 $\Omega\subseteq\R^n$ と $1\leq q\leq\infty$ 、 $q>n/2$ を満たす $q$ と $f\in L^q(\Omega;\R)$ に対して、 $-\Delta u=f$ の弱解である実関数 $u\in H^1_0(\Omega)$ は $\|u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C\|f\|_{L^q(\Omega)}$ を満たす。ここで $C$ は $\Omega,n,q$ のみに依存する。 $n\geq2$ のとき $n/2<n$ であるから、Laplace 作用素の零境界値の弱解については、定理 2.1の $L^n$ ノルムの代わりに、 $n/2<q<n$ を満たす $q$ についての $L^q$ ノルムで外力を測る上限評価が成り立つ。一方、 $n\geq3$ のとき、§E15.18 例 4.2により、§E15.18 定理 4.1の指数の条件 $q>n/2$ を $q=n/2$ へ弱めることはできない。 $C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ に属する関数についても、例 4.4により、 $n\geq3$ かつ $a=I$ の場合に、定理 2.1の $L^n$ ノルムを $L^q$ ノルム（ $1\leq q\leq n/2$ ）に替えた評価は、どのような定数についても成り立たない。

定理 2.3. $n\geq1$ を整数、 $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合、 $d=\operatorname{diam}\Omega$ とする。可測集合 $E\subseteq\R^n$ の Lebesgue 測度を $|E|$ と書き、 $\omega_n=|B_1(0)|$ とおく。 $a=(a^{ij})$ を $\Omega$ 上の $n$ 次実対称行列値関数とし、各成分 $a^{ij}$ は Lebesgue 可測であり、すべての $x\in\Omega$ について $a(x)$ は正定値であるとする。 $\mathcal D^*(x)=(\det a(x))^{1/n}$ とおく。 $b=(b^1,\ldots,b^n):\Omega\to\R^n$ と $c:\Omega\to\R$ を Lebesgue 可測関数とし、 $c\leq0$ が $\Omega$ 上で成り立つとする。 $f:\Omega\to\R$ を Lebesgue 可測関数とし、 $f^-=\max\{-f,0\}$ とおく。実関数 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ が、ほとんどすべての $x\in\Omega$ について

Lu(x)=a^{ij}(x)D_{ij}u(x)+b^i(x)D_iu(x)+c(x)u(x)\geq f(x)

を満たすとする。ここで繰り返す添字については $1$ から $n$ まで和をとる。 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合とし、 $m$ を、 $\partial\Omega$ 上で $u\leq m$ を満たす非負の実数とし、 $A=\Gamma^+\cap\{u>m\}$ とおく。

\beta=\left\|\frac{|b|}{\mathcal D^*}\right\|_{L^n(A)}

とおく。このとき、 $\beta<\infty$ ならば、

K_\beta=\frac{2^{n-1}}{n^n\omega_n}(1+\beta^n),\qquad C_\beta=(e^{K_\beta}-1)^{1/n}

に対して

\sup_\Omega u\leq m+C_\beta d\left\|\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right\|_{L^n(A)}

が $(-\infty,\infty]$ において成り立つ。

証明. $M=\sup_\Omega u-m$ 、 $\varphi=\|f^-/\mathcal D^*\|_{L^n(A)}$ とおく。補題 1.2 (3)により $A$ は Borel 集合である。 $M\leq0$ または $\varphi=\infty$ ならば主張は成り立つので、 $M>0$ かつ $\varphi<\infty$ とする。不等式 $Lu\geq f$ が成り立たない点の全体を含む Lebesgue 零集合 $N\subseteq\Omega$ をとる。

$x\in A\setminus N$ とする。 $c(x)\leq0$ と $u(x)>m\geq0$ から $c(x)u(x)\leq0$ である。よって補題 1.5を正定値な実対称行列 $a(x)$ に適用し、 $Lu(x)\geq f(x)$ を用いると

n\mathcal D^*(x)|\det D^2u(x)|^{1/n}\leq-a^{ij}(x)D_{ij}u(x)\leq b^i(x)D_iu(x)+c(x)u(x)-f(x)\leq|b(x)||Du(x)|+f^-(x)

である。 $\mu>0$ とする。 $r\mapsto r^n$ は $[0,\infty)$ 上で凸であるから、 $s_1,s_2\geq0$ について $(s_1+s_2)^n\leq2^{n-1}(s_1^n+s_2^n)$ が成り立つ。 $s_1=|b(x)||Du(x)|$ 、 $s_2=f^-(x)$ に適用すると

\bigl(|b(x)||Du(x)|+f^-(x)\bigr)^n\leq2^{n-1}\left(|b(x)|^n|Du(x)|^n+\frac{f^-(x)^n}{\mu^n}\mu^n\right)\leq2^{n-1}\left(|b(x)|^n+\frac{f^-(x)^n}{\mu^n}\right)(|Du(x)|^n+\mu^n)

である。 $p\in\R^n$ について $g_\mu(p)=(|p|^n+\mu^n)^{-1}$ とおく。上の二つの不等式と $\mathcal D^*(x)>0$ により

g_\mu(Du(x))|\det D^2u(x)|\leq\frac{2^{n-1}}{n^n}\cdot\frac{|b(x)|^n+\mu^{-n}f^-(x)^n}{\mathcal D^*(x)^n}

が $x\in A\setminus N$ について成り立つ。

$R>0$ とする。 $0<t<\mu^{-n}$ ならば $\{p\mid g_\mu(p)>t\}$ は半径 $(t^{-1}-\mu^n)^{1/n}$ の開球 $B_{(t^{-1}-\mu^n)^{1/n}}(0)$ であり、 $t\geq\mu^{-n}$ ならば空集合である。 $t_0=(R^n+\mu^n)^{-1}$ とおくと、 $0<t\leq t_0$ のとき $|B_R(0)\cap\{g_\mu>t\}|=\omega_nR^n$ であり、 $t_0<t<\mu^{-n}$ のとき $|B_R(0)\cap\{g_\mu>t\}|=\omega_n(t^{-1}-\mu^n)$ である。Tonelli の定理により

\int_{B_R(0)}g_\mu(p)\,dp=\int_0^\infty|B_R(0)\cap\{g_\mu>t\}|\,dt =\frac{\omega_nR^n}{R^n+\mu^n}+\omega_n\left(\log\frac{R^n+\mu^n}{\mu^n}-\frac{R^n}{R^n+\mu^n}\right) =\omega_n\log\left(1+\frac{R^n}{\mu^n}\right)

である。

$g_\mu$ は $\R^n$ 上の正の連続関数であるから、Borel 関数である。 $\int_{B_R(0)}g_\mu$ の値に $R=M/d$ を代入し、補題 1.4を $g=g_\mu$ に適用し、 $x\in A\setminus N$ での評価と $|N|=0$ を合わせると

\omega_n\log\left(1+\left(\frac{M}{d\mu}\right)^n\right)\leq\int_Ag_\mu(Du(x))|\det D^2u(x)|\,dx\leq\frac{2^{n-1}}{n^n}\left(\beta^n+\frac{\varphi^n}{\mu^n}\right)

である。 $\mu>\varphi$ を満たす $\mu$ をとると $\varphi^n/\mu^n<1$ であるから、両辺を $\omega_n$ で割って

\log\left(1+\left(\frac{M}{d\mu}\right)^n\right)\leq\frac{2^{n-1}}{n^n\omega_n}\left(\beta^n+\frac{\varphi^n}{\mu^n}\right)<K_\beta

を得る。したがって $(M/(d\mu))^n<e^{K_\beta}-1$ であり、 $M<C_\beta d\mu$ である。 $\mu>\varphi$ は任意であったから、 $\mu\downarrow\varphi$ として $M\leq C_\beta d\varphi$ を得る。▨

系 2.4. $n\geq1$ を整数、 $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合、 $d=\operatorname{diam}\Omega$ とする。可測集合 $E\subseteq\R^n$ の Lebesgue 測度を $|E|$ と書き、 $\omega_n=|B_1(0)|$ とおく。 $\lambda>0$ とし、 $a=(a^{ij})$ を $\Omega$ 上の $n$ 次実対称行列値関数で、各成分が Lebesgue 可測であり、すべての $x\in\Omega$ と $\xi\in\R^n$ について $\xi\cdot a(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2$ を満たすものとする。 $\mathcal D^*(x)=(\det a(x))^{1/n}$ とおく。 $b=(b^1,\ldots,b^n):\Omega\to\R^n$ を Lebesgue 可測で $\|b\|_{L^\infty(\Omega)}<\infty$ を満たす関数とする。ここで $\|b\|_{L^\infty(\Omega)}$ は $|b|$ の本質的上限である。 $c:\Omega\to\R$ を Lebesgue 可測で $c\leq0$ を $\Omega$ 上で満たす関数とする。 $f:\Omega\to\R$ を Lebesgue 可測関数とし、 $f^-=\max\{-f,0\}$ とおく。実関数 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ が、ほとんどすべての $x\in\Omega$ について

Lu(x)=a^{ij}(x)D_{ij}u(x)+b^i(x)D_iu(x)+c(x)u(x)\geq f(x)

を満たすとする。ここで繰り返す添字については $1$ から $n$ まで和をとる。 $\Gamma^+$ を $u$ の上接触集合とし、 $u^+=\max\{u,0\}$ 、 $m=\sup_{\partial\Omega}u^+$ とおく。このとき

K=\frac{2^{n-1}}{n^n}\left(\frac1{\omega_n}+\left(\frac{d\|b\|_{L^\infty(\Omega)}}{\lambda}\right)^n\right),\qquad C=(e^K-1)^{1/n}

に対して

\sup_\Omega u\leq m+Cd\left\|\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right\|_{L^n(\Gamma^+\cap\{u>m\})}

が $(-\infty,\infty]$ において成り立つ。

証明. $u^+=\max\{u,0\}$ 、 $m=\sup_{\partial\Omega}u^+$ 、 $A=\Gamma^+\cap\{u>m\}$ とおく。補題 1.3により、 $m$ は $\partial\Omega$ 上で $u\leq m$ を満たす実数であり、 $m\geq0$ である。各 $x\in\Omega$ について $a(x)$ の固有値はすべて $\lambda$ 以上であるから、 $a(x)$ は正定値であり、 $\mathcal D^*(x)\geq\lambda$ である。 $|b|\leq\|b\|_{L^\infty(\Omega)}$ はほとんどすべての点で成り立つ。 $x_*\in\Omega$ を一つ固定すると、任意の $d'>d$ について $\Omega\subseteq B_{d'}(x_*)$ であるから、 $|\Omega|\leq\omega_nd^n$ である。よって $\beta=\||b|/\mathcal D^*\|_{L^n(A)}$ について

\beta^n\leq\left(\frac{\|b\|_{L^\infty(\Omega)}}{\lambda}\right)^n|\Omega|\leq\omega_n\left(\frac{d\|b\|_{L^\infty(\Omega)}}{\lambda}\right)^n<\infty

である。したがって、定理 2.3の $K_\beta$ と $C_\beta$ は

K_\beta\leq\frac{2^{n-1}}{n^n\omega_n}\left(1+\omega_n\left(\frac{d\|b\|_{L^\infty(\Omega)}}{\lambda}\right)^n\right)=K,\qquad C_\beta\leq C

を満たす。定理 2.3により、 $(-\infty,\infty]$ において

\sup_\Omega u\leq m+C_\beta d\left\|\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right\|_{L^n(A)}\leq m+Cd\left\|\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right\|_{L^n(A)}

が成り立つ。▨

注意 2.5.定理 2.1、定理 2.3、系 2.4の結論は、 $a(x)$ の正定値性（不等式 $\xi\cdot a(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2$ を仮定する主張ではその不等式）と $c(x)\leq0$ がほとんどすべての $x\in\Omega$ についてだけ成り立つ場合にも成り立つ。実際、それらが成り立たない点の全体を含む Lebesgue 可測な零集合 $Z$ 上で $a$ を $\lambda I$ （ $\lambda$ が現れない主張では $I$ ）に替え、 $c$ を $0$ に替えると、替えた係数は Lebesgue 可測であってすべての $x\in\Omega$ について仮定を満たし、ほとんどすべての点での不等式 $Lu\geq f$ 、 $\|b\|_{L^\infty(\Omega)}$ 、および $Z$ の外で変わらない関数 $f^-/\mathcal D^*$ と $|b|/\mathcal D^*$ の $L^n$ ノルムは変わらない。

注意 2.6. $\Omega$ 、 $d$ 、 $\lambda$ 、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $L$ 、 $f$ は系 2.4の仮定を満たすとし、 $\mathcal D^*=(\det a)^{1/n}$ とおく。このとき、ある定数 $C'\geq0$ が存在して、ほとんどすべての点 $x\in\Omega$ で $Lu(x)\geq f(x)$ を満たす任意の実関数 $u\in W^{2,n}_{\mathrm{loc}}(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ に対して

\sup_\Omega u\leq\sup_{\partial\Omega}u^++C'd\left\|\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right\|_{L^n(\Omega)}

が $(-\infty,\infty]$ において成り立つ。 $C'$ は $n$ と $d\|b\|_{L^\infty(\Omega)}/\lambda$ だけで定まる。 $W^{2,n}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ の関数は一般に $C^2(\Omega)$ に属さないので、 $C^2(\Omega)$ の関数についての補題 1.2 (2)と補題 1.4は、この拡張にそのまま適用することができない。可測係数の非発散形方程式の弱 Harnack 不等式は、定理 2.1を障壁関数と組み合わせて得られる測度の評価と、二進立方体分解から証明される。強解についての同じ不等式の証明では、定理 2.1の代わりにこの $W^{2,n}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ への拡張が用いられる。

系 3.1. $\Omega$ 、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $L$ は系 2.4の仮定を満たすとする。実関数 $u,v\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ が $Lu\geq Lv$ をほとんどすべての点 $x\in\Omega$ で、 $u\leq v$ を $\partial\Omega$ 上で満たすとする。このとき、 $u\leq v$ が $\Omega$ 上で成り立つ。したがって、Lebesgue 可測関数 $f:\Omega\to\R$ と連続関数 $g:\partial\Omega\to\R$ に対して、 $Lu=f$ をほとんどすべての点 $x\in\Omega$ で、 $u=g$ を $\partial\Omega$ 上で満たす実関数 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ は高々一つである。

証明. $w=u-v$ とおくと $w\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ であり、 $L$ の線形性により $Lw=Lu-Lv\geq0$ がほとんどすべての点 $x\in\Omega$ で成り立つ。系 2.4を $w$ と $f=0$ に適用すると、 $f^-=0$ であるから $\sup_\Omega w\leq\sup_{\partial\Omega}w^+$ である。 $\partial\Omega$ 上で $w\leq0$ であるから $\sup_{\partial\Omega}w^+=0$ であり、 $u\leq v$ が $\Omega$ 上で成り立つ。同じ $f$ と $g$ に対する二つの解 $u_1,u_2$ には、 $(u,v)=(u_1,u_2)$ と $(u,v)=(u_2,u_1)$ の両方についてこの結論を適用することができ、 $u_1=u_2$ を得る。▨

注意 3.2.§E15.18 系 1.2は、係数が有界連続で一様楕円的であり零階係数が非負である作用素 $-a^{ij}D_{ij}+b^iD_i+c$ についての比較原理である。この作用素は、本記事の作用素 $L$ の $b,c$ を $-b,-c$ に替えたものの符号を反転した作用素である。係数が連続ならば $Lu-Lv$ は連続であるから、ほとんどすべての点での不等式 $Lu\geq Lv$ はすべての点での不等式と同値である。係数が可測であるだけのときには、この同値は成り立たない。一方、系 3.1により、ほとんどすべての点での不等式だけから $u\leq v$ が従う。

例 4.1. $\Omega=B_1(0)\subseteq\R^n$ 、 $u(x)=1-|x|^2$ とする。このとき、 $d=2$ 、 $\sup_\Omega u=u(0)=1$ であり、 $\partial\Omega$ 上で $u=0$ であるから $m=\sup_{\partial\Omega}u^+=0$ とおく。 $Du(x)=-2x$ であり、 $x,y\in\overline\Omega$ に対して

u(y)-u(x)-Du(x)\cdot(y-x)=-|y|^2+|x|^2+2x\cdot(y-x)=-|y-x|^2\leq0

であるから、 $Du(x)\in\chi_u(x)$ がすべての $x\in\Omega$ について成り立ち、 $\Gamma^+=\Omega$ である。 $\{u>0\}=\Omega$ であるから $\Gamma^+\cap\{u>m\}=\Omega$ であり、 $Du(\Omega)=B_2(0)$ 、 $|Du(\Omega)|=2^n\omega_n$ である。一方で $-D^2u=2I$ であるから $\det(-D^2u)=2^n$ であり、 $\int_\Omega|\det D^2u|\,dx=2^n\omega_n$ である。よって $F=Du$ 、 $A=\Omega$ について§E10.44 定理 3.3の不等式は等号で成り立つ。

$a=I$ とすると $\mathcal D^*=1$ であり、 $a^{ij}D_{ij}u=\Delta u=-2n$ である。 $f=-2n$ とおく。このとき、 $\operatorname{tr}(a(-D^2u))=2n=n(\det a\det(-D^2u))^{1/n}$ であるから、§D3.14 命題 5.3の不等式も等号で成り立つ。定理 2.1の右辺は

m+\frac{d}{n\omega_n^{1/n}}\|f^-\|_{L^n(\Omega)}=\frac{2}{n\omega_n^{1/n}}\cdot2n\,\omega_n^{1/n}=4

であり、左辺は $1$ である。定理 2.1の証明と、そこで $g=1$ として用いる補題 1.4の証明の不等式のうち、等号が成り立たないのは $|B_{M/d}(0)|\leq|Du(A)|$ だけである。補題 1.3により $Du(A)$ に含まれる球 $B_{1/2}(0)$ の半径と、実際の像 $B_2(0)$ の半径の比 $4$ は、右辺と左辺の比 $4$ に一致する。

例 4.2. $\Omega\subseteq\R^n$ を空でない有界開集合とし、 $u(x)=|x|^2$ とする。このとき、 $D^2u=2I$ はどの点でも負半定値でないから、補題 1.2 (2)により $\Gamma^+=\emptyset$ である。 $Du(\emptyset)=\emptyset$ は正の半径の球を含まないから、補題 1.3を $m=\sup_{\partial\Omega}u$ に適用すると $\sup_\Omega u\leq\sup_{\partial\Omega}u$ である。 $a=I$ とし、Lebesgue 可測関数 $f$ が $f\leq2n$ を満たすとすると、 $\Delta u=2n\geq f$ である。定理 2.1の右辺のノルムは空集合上の積分であるから $0$ である。したがって、 $f$ の負の部分の大きさによらず、定理 2.1を $m=\sup_{\partial\Omega}u$ に適用すると同じ結論 $\sup_\Omega u\leq\sup_{\partial\Omega}u$ が得られる。

例 4.3. $n=1$ 、 $\Omega=(0,\pi)$ とし、 $a=1$ 、 $b=0$ 、 $c=1$ とおくと $Lu=u''+u$ である。この $L$ は§E15.18 例 1.3の作用素 $u\mapsto-u''-u$ の符号を反転したものである。 $u(x)=\sin x$ は $Lu=0$ を $\Omega$ 上で満たし、 $u(0)=u(\pi)=0$ である。 $f=0$ とすると $m=0$ と $f^-=0$ が成り立つが、 $\sup_\Omega u=1$ である。したがって、系 2.4の結論は $c\leq0$ を外すと成り立たない。 $u$ と $0$ は $Lu=0$ と零境界値を満たす相異なる古典解であるから、系 3.1の比較原理と一意性も $c\leq0$ を外すと成り立たない。

$u$ は $[0,\pi]$ 上で凹であるから $\Gamma^+=(0,\pi)$ であり、 $Du(\Gamma^+\cap\{u>0\})=(-1,1)$ は補題 1.3の区間 $B_{1/\pi}(0)=(-1/\pi,1/\pi)$ を含む。一方で、各 $x\in(0,\pi)$ で $-u''(x)=c(x)u(x)=\sin x>0=f^-(x)$ であるから、定理 2.3の証明で $c\leq0$ から導いた不等式 $-a^{ij}D_{ij}u\leq|b||Du|+f^-$ は、この $u$ のどの接触点でも成り立たない。

例 4.4. $n\geq3$ 、 $\Omega=B_1(0)\subseteq\R^n$ とし、 $1\leq q\leq n/2$ とする。このとき、すべての実関数 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ に対して

\sup_\Omega u\leq\sup_{\partial\Omega}u^++C\|(\Delta u)^-\|_{L^q(\Omega)}

を満たす定数 $C\geq0$ は存在しない。 $a=I$ 、 $f=\Delta u$ とすると、 $a^{ij}D_{ij}u\geq f$ と $\mathcal D^*=1$ が成り立つ。 $m=\sup_{\partial\Omega}u^+$ とおくと、 $u$ の上接触集合 $\Gamma^+$ について $\Gamma^+\cap\{u>m\}$ 上の $L^q$ ノルムは $\Omega$ 上の $L^q$ ノルム以下であるから、定理 2.1の $L^n$ ノルムを $L^q$ ノルムに替えた評価も、どのような定数についても成り立たない。

$0<r<e$ に対して $h(r)=\log\log(e/r)$ とおき、 $0<|x|\leq1$ に対して $v(x)=h(|x|)$ とおく。 $v$ は $\{x\in\R^n\mid0<|x|<e\}$ 上の $C^\infty$ 級関数 $x\mapsto h(|x|)$ の制限であり、 $|x|=1$ で $v(x)=0$ である。§E15.18 例 4.2の関数は $B_{1/4}(0)\setminus\{0\}$ 上で $\log\log(e/|x|)$ に等しいから、そこで $v$ と一致する。以下、 $0<|x|\leq1$ について $r=|x|$ 、 $t=\log(e/r)$ と書く。 $t\geq1$ であり、 $h'(r)=-1/(rt)$ 、 $h''(r)=(t-1)/(r^2t^2)$ である。 $D_iv(x)=h'(r)x_i/r$ であるから

|Dv|^2=h'(r)^2=\frac1{r^2t^2},\qquad\Delta v=h''(r)+\frac{n-1}rh'(r)=-\frac{n-2}{r^2t}-\frac1{r^2t^2}

である。

$s\leq0$ で $\psi(s)=1$ 、 $0\leq s\leq1$ で $\psi(s)=1-3s^2+2s^3$ 、 $s\geq1$ で $\psi(s)=0$ と定める。 $\psi$ は $C^1$ 級であり、 $0\leq\psi\leq1$ と $-3/2\leq\psi'\leq0$ を満たし、 $\int_0^1\psi(s)\,ds=1/2$ である。整数 $k\geq1$ に対して $\phi_k(s)=\int_0^s\psi(\sigma-k)\,d\sigma$ とおく。 $\phi_k$ は $C^2$ 級であり、 $0\leq\phi_k'\leq1$ 、 $-3/2\leq\phi_k''\leq0$ 、 $\phi_k(0)=0$ を満たし、 $s\geq k+1$ で $\phi_k(s)=k+1/2$ である。 $0<|x|\leq1$ で $u_k(x)=\phi_k(v(x))$ とおき、 $u_k(0)=k+1/2$ とおく。 $r_k=e^{1-e^{k+1}}$ とおくと、 $0<|x|<r_k$ で $v(x)>k+1$ であるから、 $u_k$ は $B_{r_k}(0)$ 上で定数 $k+1/2$ である。よって $u_k\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ であり、 $\partial\Omega$ 上で $u_k=0$ 、 $\sup_\Omega u_k\geq k+1/2$ である。

$x\in\Omega\setminus\{0\}$ では $\Delta u_k=\phi_k'(v)\Delta v+\phi_k''(v)|Dv|^2$ である。 $\phi_k'\geq0$ 、 $\Delta v<0$ 、 $\phi_k''\leq0$ であるから $\Delta u_k\leq0$ である。 $0\leq\phi_k'\leq1$ と $\phi_k''\geq-3/2$ と $|Dv|^2=1/(r^2t^2)\leq-\Delta v$ により

(\Delta u_k)^-=-\Delta u_k\leq-\Delta v+\frac32|Dv|^2\leq-\frac52\Delta v

である。 $x\in\Omega\setminus\{0\}$ について $G(x)=-\frac52\Delta v(x)$ とおくと、 $0\leq(\Delta u_k)^-\leq G$ が $\Omega\setminus\{0\}$ 上で成り立つ。 $u_k$ は $0$ の近傍で定数であるから、 $\Delta u_k(0)=0$ である。§E15.18 例 4.2により、その例の関数の $-\Delta$ は $L^{n/2}(\Omega)$ に属する。その関数は開集合 $B_{1/4}(0)\setminus\{0\}$ 上で $C^\infty$ 級関数 $v$ と一致するから、そこでの $-\Delta$ は $-\Delta v$ に等しく、 $\int_{B_{1/4}(0)\setminus\{0\}}G^{n/2}\,dx<\infty$ である。 $1/4\leq|x|<1$ では $r^{-2}\leq16$ と $t\geq1$ により $0\leq G(x)\leq\frac52\cdot16\,(n-1)$ であるから、 $\int_{\Omega\setminus B_{1/4}(0)}G^{n/2}\,dx<\infty$ である。よって $\|G\|_{L^{n/2}(\Omega)}<\infty$ である。 $G_q=|\Omega|^{1/q-2/n}\|G\|_{L^{n/2}(\Omega)}$ とおくと、 $G_q$ は $k$ によらない有限の値であり、Hölder の不等式により $\|(\Delta u_k)^-\|_{L^q(\Omega)}\leq G_q$ である。主張の定数 $C$ が存在すれば、すべての整数 $k\geq1$ について $k+1/2\leq\sup_\Omega u_k\leq CG_q$ となる。一方、 $k>CG_q$ を満たす整数 $k\geq1$ が存在する。これは $k+1/2\leq CG_q$ に反する。

§E15.41Aleksandrov–Bakelman–Pucci の評価

1 上接触集合と法写像

2 Aleksandrov–Bakelman–Pucci の評価

3 比較原理

4 例と反例

前提記事