放物型方程式の弱形式 | 偏微分方程式論 I

命題 1.1. $\Omega\subset\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合、 $T>0$ とする。このとき、単純関数に対する対応

\sum_{j=1}^m\mathbf1_{E_j}(t)h_j \longmapsto \left[(t,x)\longmapsto\sum_{j=1}^m\mathbf1_{E_j}(t)h_j(x)\right]

は、線形等長同型

L^2(0,T;L^2(\Omega;\C))\simeq L^2((0,T)\times\Omega;\C)

へ一意に延長される。対応する元を $u$ と $U$ と書くと、ほとんどすべての $t$ について $u(t)=[U(t,\cdot)]$ であり、

\int_0^T\|u(t)\|_2^2\,dt =\int_{(0,T)\times\Omega}|U(t,x)|^2\,dt\,dx

が成り立つ。

証明. 各 $h_j$ の可測代表をとる。有限個の代表の変更は積空間の零集合上の変更にとどまる。単純関数に対するノルムの等式は§E10.19 定理 2.3を二乗絶対値へ適用して得られる。Bochner 単純関数は $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ で稠密であり、両辺は Hilbert 空間であるから§E10.25 定理 5.1、この対応は線形等長写像へ延長され、その像は閉じている。

積空間は有限測度をもつ。可測長方形の有限和で測度について近似することができる集合の族は、補集合と有限和で閉じている。可算和については、有限個までの和と全体の和との測度差を先に小さくしてから、それぞれを近似すればよい。したがって、この族は積 σ-加法族を含む。完備化で加わる集合も零集合の変更を除いて同じ近似をもつ。よって可測長方形の指示関数の有限線形結合は積空間の $L^2$ で稠密である。これらはすべて写像の像に属するので、写像は全射である。

$u$ を Bochner 単純関数 $u_m$ で近似し、対応する時空間関数を $U_m$ とする。部分列をとって

\sum_m\|u_m-u\|_{L^2(0,T;L^2)}^2<\infty, \qquad \sum_m\|U_m-U\|_{L^2((0,T)\times\Omega)}^2<\infty

とする。Tonelli の定理により、ほとんどすべての $t$ で $u_m(t)\to u(t)$ と $U_m(t,\cdot)\to U(t,\cdot)$ がともに $L^2(\Omega)$ で成り立つ。単純関数の切り口は一致するので、極限も一致する。▨

命題 1.2. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 Lipschitz 開集合とし、 $H=L^2(\Omega;\C)$ とおく。 $V$ を $H^1(\Omega;\C)$ の閉部分空間で $H^1_0(\Omega;\C)$ を含むものとし、 $H^1$ ノルムを入れる。内積は第一変数について線形とする。 $V^\dagger$ を $V$ の連続反線形汎関数の空間とし、作用を $\langle F,v\rangle=F(v)$ と書く。このとき

V\subset H\xrightarrow{\ I\ }V^\dagger, \qquad \langle Ih,v\rangle=(h,v)_H=\int_\Omega h\overline v\,dx

は可分 Hilbert 空間の Gelfand 三つ組である。 $I$ は線形で、 $\|Ih\|_{V^\dagger}\leq\|h\|_H$ を満たし、 $I(H)$ は $V^\dagger$ のノルムについて稠密である。

$V=H^1_0(\Omega)$ のとき $V^\dagger=H^{-1}(\Omega)$ である。 $F\in V^\dagger$ に対応する複素線形超関数は

\varphi\longmapsto\langle F,\overline\varphi\rangle \qquad(\varphi\in C_c^\infty(\Omega;\C))

である。

証明. $V\hookrightarrow H$ はノルム $1$ 以下の連続包含である。§E15.19 定理 1.3の Dirichlet 固有関数系は $H^1_0(\Omega)$ に含まれ、 $H$ の完全正規直交系であるから、この包含の像は稠密である。 $H^1(\Omega)$ は $v\mapsto(v,D_1v,\ldots,D_nv)$ によって可分 Hilbert 空間 $L^2(\Omega)^{n+1}$ の閉部分空間と等長に同一視される。したがって $V$ も可分 Hilbert 空間である。

$I$ は§E12.43 定義 1.1の埋め込みであり、Cauchy–Schwarz の不等式から所要のノルム評価を満たす。 $V$ は回帰的であるから、§E12.43 命題 1.2により $I(H)$ は反双対のノルムについて稠密である。 $H^{-1}$ との同一視と超関数への対応は§E15.8 定義 5.6による。一般の $V$ でも $F$ を $H^1_0$ に制限して同じ対応を用いる。▨

注意 1.3. $h\mapsto[v\mapsto(v,h)_H]$ は通常の線形双対への共役線形写像である。一方、反双対への埋め込み $I$ は $h$ について線形であり、時間微分はこの $I$ を用いて定める。

定義 1.4 (発展解空間). $\Omega,H,V,V^\dagger,I$ を命題 1.2のものとし、 $T>0$ とする。 $u\in L^2(0,T;V)$ と $g\in L^2(0,T;V^\dagger)$ が、すべての $\eta\in C_c^\infty(0,T;\C)$ に対して

\int_0^T Iu(t)\eta'(t)\,dt=-\int_0^Tg(t)\eta(t)\,dt \quad\text{in }V^\dagger

を満たすとき、 $u'=g$ と書く。積分は Bochner 積分である。

W(0,T)=\{u\in L^2(0,T;V):u'\in L^2(0,T;V^\dagger)\}, \qquad \|u\|_W^2=\|u\|_{L^2(0,T;V)}^2+\|u'\|_{L^2(0,T;V^\dagger)}^2

と定め、 $W(0,T)$ を発展解空間 (evolution space) という。

命題 1.5.定義 1.4の $W(0,T)$ は Hilbert 空間であり、連続に $C([0,T];H)$ へ埋め込まれる。各元を唯一の $H$ 値連続代表と同一視する。このとき、 $u,v\in W(0,T)$ と $0\leq s\leq t\leq T$ に対して

Iu(t)-Iu(s)=\int_s^t u'(r)\,dr,

(u(t),v(t))_H-(u(s),v(s))_H =\int_s^t\left(\langle u'(r),v(r)\rangle +\overline{\langle v'(r),u(r)\rangle}\right)dr

が成り立つ。特に $t\mapsto\|u(t)\|_H^2$ は絶対連続であり、ほとんどすべての $t$ について

\frac{d}{dt}\|u(t)\|_H^2=2\Re\langle u'(t),u(t)\rangle

である。また、 $L^2(0,T;V)$ の連続反双対は、対応

F\longmapsto\left[u\longmapsto\int_0^T\langle F(t),u(t)\rangle\,dt\right]

によって $L^2(0,T;V^\dagger)$ と等長に同一視される。さらに、 $\eta\in C^1([0,T];\C)$ について $\eta u\in W(0,T)$ であり、 $(\eta u)'=\eta'Iu+\eta u'$ が成り立つ。

証明. 時間微分の定義は、 $Iu$ に対する§E10.48 定義 3.1の弱微分と一致する。命題 1.2の Hilbert 三つ組に§E12.46 命題 1.2を適用すると、完備性と反双対の表示を得る。§E12.46 定理 2.2により、 $H$ 値連続代表が存在し、ノルムの微分公式が成り立つ。 $Iu$ の積分表示は§E10.48 定理 4.2による。反双対値の連続代表は $H$ 値連続代表に $I$ を作用させたものとほとんど至る所で一致し、両方とも連続であるから、全時刻で一致する。二つの関数の部分積分には§E12.46 命題 2.3を適用する。 $\eta$ との積については、 $Iu$ に§E10.48 定理 5.1を適用する。 $\eta,\eta'$ が有界なので、 $\eta u\in L^2(0,T;V)$ と $\eta'Iu+\eta u'\in L^2(0,T;V^\dagger)$ が成り立つ。▨

定義 2.1 (放物型形式). $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 Lipschitz 開集合、 $T>0$ とする。 $a^{ij},b^i,c$ は $(0,T)\times\Omega$ 上の複素数値可測有界関数とし、 $a_0=(a^{ij})_{i,j=1}^n$ 、 $b=(b^i)_{i=1}^n$ と書く。ある $\theta>0$ に対し、ほとんどすべての $(t,x)$ とすべての $\xi\in\C^n$ について

\Re\bigl((a_0(t,x)\xi)\cdot\overline\xi\bigr)\geq\theta|\xi|^2

が成り立つとする。 $V$ は $H^1_0(\Omega)$ を含む $H^1(\Omega)$ の閉部分空間とし、 $H^1$ ノルムを入れる。ほとんどすべての $t$ について

a(t;u,v)=\int_\Omega\left[(a_0(t,x)\nabla u)\cdot\overline{\nabla v} +(b(t,x)\cdot\nabla u)\overline v+c(t,x)u\overline v\right]dx \qquad(u,v\in V)

と定め、 $a$ を放物型形式 (time-dependent sesquilinear form) という。 $a$ は第一変数について線形、第二変数について反線形である。 $\mathcal A(t):V\to V^\dagger$ を $\langle\mathcal A(t)u,v\rangle=a(t;u,v)$ で定める。係数の切り口が定義されない時刻の零集合上では $a$ と $\mathcal A$ を $0$ とする。

補題 2.2.定義 2.1の形式に対して、各 $u,v\in V$ について $t\mapsto a(t;u,v)$ は可測である。さらに、定数 $M,\alpha>0$ 、 $\kappa\geq0$ と一つの零集合 $N\subset(0,T)$ が存在し、すべての $t\notin N$ と $u,v\in V$ に対して

|a(t;u,v)|\leq M\|u\|_V\|v\|_V, \qquad \Re a(t;v,v)+\kappa\|v\|_H^2\geq\alpha\|v\|_V^2

が成り立つ。これらの定数は $\theta$ と係数の時空間 $L^\infty$ ノルムだけから選ぶことができる。

証明. $K_A=\mathop{\mathrm{ess\,sup}}_{(t,x)}\|a_0(t,x)\|$ 、 $K_b=\|\,|b|\,\|_\infty$ 、 $K_c=\|c\|_\infty$ とする。係数の上界と楕円性が成立しない時空間の零集合に§E10.19 定理 2.3を適用すると、一つの時間零集合 $N$ の外では、ほとんどすべての $x$ についてすべての係数の上界とすべての $\xi$ に対する楕円性が成り立つ。

固定した $u,v\in V$ に対し、形式の被積分関数は可測であり、その絶対値は

K_A|\nabla u||\nabla v|+K_b|\nabla u||v|+K_c|u||v|

で抑えられる。この上界の時空間積分は、 $T<\infty$ と Cauchy–Schwarz の不等式から有限である。したがって§E10.20 定理 2.1を $\C$ 値関数に適用すると、空間積分は $t$ の可測関数である。同じ評価から $M=K_A+K_b+K_c$ を有界性の定数にとることができる。

$t\notin N$ と $v\in V$ に対して

\begin{aligned} \Re a(t;v,v) &\geq\theta\|\nabla v\|_2^2-K_b\|\nabla v\|_2\|v\|_2-K_c\|v\|_2^2\\ &\geq\frac\theta2\|\nabla v\|_2^2 -\left(K_c+\frac{K_b^2}{2\theta}\right)\|v\|_2^2. \end{aligned}

よって $\alpha=\theta/2$ 、 $\kappa=K_c+K_b^2/(2\theta)+\theta/2$ をとればよい。これは§E15.16 定理 2.1の評価を、時間によらない係数上界によって具体化したものである。▨

定義 2.3 (放物型方程式の弱解).定義 2.1の係数について、 $V=H^1_0(\Omega)$ 、 $H=L^2(\Omega)$ とする。 $u_0\in H$ 、 $f\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$ に対し、 $u\in W(0,T)$ が

u(0)=u_0,\qquad \langle u'(t),v\rangle+a(t;u(t),v)=\langle f(t),v\rangle \quad(v\in V)

を、すべての $v$ に共通の時間零集合の外で満たすとき、初期境界値問題

u_t-\sum_{i,j=1}^nD_i(a^{ij}D_ju)+\sum_{i=1}^nb^iD_iu+cu=f, \qquad u|_{\partial\Omega}=0,\qquad u(0)=u_0

の弱解 (weak solution) という。初期値は $H$ 値連続代表の値であり、境界条件は $u\in L^2(0,T;H^1_0(\Omega))$ によって課す。方程式の右辺を複素線形超関数として読むときは、 $f(t)$ を $\varphi\mapsto\langle f(t),\overline\varphi\rangle$ に対応させる。

定理 2.4.定義 2.3の仮定の下で、任意の $u_0\in H$ と $f\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$ に対して弱解 $u$ は一意に存在する。 $T,\Omega,\theta$ と係数の $L^\infty$ ノルムだけに依存する定数 $C$ によって

\|u\|_{C([0,T];H)}+\|u\|_{L^2(0,T;V)}+\|u'\|_{L^2(0,T;V^\dagger)} \leq C\left(\|u_0\|_H+\|f\|_{L^2(0,T;V^\dagger)}\right)

が成り立つ。同じ係数に対するデータ $(v_0,g)$ の弱解を $v$ とすると、左辺を $u-v$ の各ノルムに、右辺をデータの差のノルムに替えた評価も成り立つ。また、すべての $0\leq s\leq t\leq T$ について

\frac12\|u(t)\|_H^2+\int_s^t\Re a(r;u(r),u(r))\,dr =\frac12\|u(s)\|_H^2+\Re\int_s^t\langle f(r),u(r)\rangle\,dr

が成り立つ。

証明.命題 1.2と補題 2.2により、Hilbert 三つ組と時間依存形式は§E12.46 定義 3.1の仮定を満たす。§E12.46 定理 4.2から

u'+\mathcal Au=f\quad\text{in }L^2(0,T;V^\dagger),\qquad u(0)=u_0

を満たす $u\in W(0,T)$ が一意に存在する。反双対値の等式は一つの時間零集合の外で成立するので、すべての $v\in V$ に対する弱形式が同時に成立する。

エネルギー等式は命題 1.5のノルムの微分公式に $u'=f-\mathcal Au$ を代入して積分すると得られる。積分の各項は、形式の有界性と時間の Cauchy–Schwarz の不等式により可積分である。ノルム評価は§E12.46 命題 3.3による。その定数が依存する形式の定数は補題 2.2で一様に選んだものであり、包含 $V\hookrightarrow H$ のノルムは $1$ 以下である。差 $u-v$ は初期値 $u_0-v_0$ と外力 $f-g$ に対する同じ方程式を満たすので、同じ評価を適用する。▨

系 2.5.定義 2.1の係数について、 $\Gamma_D\subset\partial\Omega$ を相対開集合、 $\Gamma_N=\partial\Omega\setminus\Gamma_D$ とし、

V=\{v\in H^1(\Omega):v\text{ のトレースが }\Gamma_D\text{ 上で }\sigma\text{ に関してほとんど至る所で零}\}

とする。このとき、 $u_0\in L^2(\Omega)$ 、 $f\in L^2(0,T;V^\dagger)$ に対し、この $V$ 上の弱形式と初期条件を満たす $u\in W(0,T)$ は一意に存在し、定理 2.4と同じエネルギー等式とノルム評価を満たす。 $\Gamma_D=\varnothing$ のとき $V=H^1(\Omega)$ であり、自然境界条件の形式域である。両境界片が空でないときは混合境界条件の形式域である。

証明. $V$ は§E15.16 定義 1.1の形式域である。トレースの連続性から $H^1$ で閉じており、 $H^1_0$ を含む。したがって命題 1.2と補題 2.2がこの $V$ に適用される。§E12.46 定理 4.2と§E12.46 命題 3.3を適用すれば、所要の存在、一意性、等式、評価を得る。▨

注意 2.6.系 2.5において、外力が境界作用をもたない体積外力 $f=If_{\mathrm{vol}}$ （ $f_{\mathrm{vol}}\in L^2(0,T;L^2(\Omega))$ ）であり、係数と解が滑らかで、境界上で外向き単位法線 $\nu$ が定まるとする。このとき、空間の部分積分による境界項は

\int_{\Gamma_N}(a_0\nabla u\cdot\nu)\overline v\,d\sigma

である。したがって自然境界条件は $a_0\nabla u\cdot\nu=0$ を意味する。この流束が Neumann 条件の対象であり、一般の $a_0$ について $\partial_\nu u=0$ と同じ条件にはならない。

一般の $f\in L^2(0,T;V^\dagger)$ は $\Gamma_N$ 上の境界負荷を含みうるので、解の自然流束は零とは限らない。たとえば $\Omega=(0,1)$ 、 $\Gamma_D=\varnothing$ 、 $a_0=1$ 、 $b=c=0$ 、 $u_0(x)=x$ 、 $f(t)(v)=\overline{v(1)}-\overline{v(0)}$ とする。このとき $u(t,x)=x$ が一意な弱解であり、 $a_0\nabla u\cdot\nu$ は $x=1$ で $1$ 、 $x=0$ で $-1$ である。

注意 2.7.定義 2.3の $V=H^1_0(\Omega)$ に対し、Dirichlet Laplace 作用素の固有関数を $e_j^D$ とする。§E15.19 定理 1.3により

V_m=\operatorname{span}\{e_1^D,\ldots,e_m^D\}

の合併は $V$ で稠密である。したがって、変分的存在定理の Galerkin 空間として $V_m$ を選ぶことができる。近似解 $u_m(t)=\sum_{j=1}^m d_j(t)e_j^D$ の係数は

d_i'(t)+\sum_{j=1}^m a(t;e_j^D,e_i^D)d_j(t) =\langle f(t),e_i^D\rangle \qquad(1\leq i\leq m)

を満たす。行列の各成分は補題 2.2によって有界可測である。Laplace 作用素の固有基底であっても、一般の係数から生じる行列の非対角成分は消えない。

定理 3.1.定義 2.1の係数が時間に依存しないとし、 $V$ を零 Dirichlet 条件または系 2.5の形式域とする。 $H=L^2(\Omega)$ とし、形式 $a$ の $H$ 上の実現を

D(A)=\{u\in V:\text{ある }h\in H\text{ がすべての }v\in V\text{ に対し }a(u,v)=(h,v)_H\text{ を満たす}\}, \qquad Au=h

と定める。 $-A$ が生成する半群を $S(t)$ とする。このとき、任意の $u_0\in H$ と $f\in L^2(0,T;H)$ に対し

u(t)=S(t)u_0+\int_0^t S(t-s)f(s)\,ds \qquad(0\leq t\leq T)

は $W(0,T)$ に属し、初期値 $u_0$ 、外力 $If$ に対する弱解に一致する。

証明.補題 2.2の $\alpha,\kappa$ に対して§E15.24 定理 3.1を適用すると、半群 $S(t)$ が存在し、 $\|S(t)\|\leq e^{\kappa t}$ が成り立つ。 $f\in L^2(0,T;H)\subset L^1(0,T;H)$ であるから、積分表示は§E12.26 定理 2.1によって $C([0,T];H)$ の元を定める。

$z\in D(A)$ に対して Gårding 評価から

\alpha\|z\|_V^2 \leq\Re(Az,z)_H+\kappa\|z\|_H^2 \leq\|Az\|_H\|z\|_H+\kappa\|z\|_H^2

を得る。したがって $D(A)$ のグラフノルムから $V$ への包含は連続である。 $u_0\in D(A)$ 、 $f\in C^1([0,T];H)$ ならば、§E12.26 定理 3.1 (2)により積分表示の解は古典解であり、 $u'$ は $H$ 値連続である。 $Au=f-u'$ も $H$ 値連続なので、 $u$ はグラフノルムについて連続であり、 $V$ 値連続である。よって $u\in W(0,T)$ であり、 $Iu'+\mathcal Au=If$ と初期条件を満たす。弱解の一意性により、古典解と弱解は一致する。

任意の $u_0\in H$ に対し

u_{0,m}=m\int_0^{1/m}S(s)u_0\,ds

とおく。§E12.26 定理 2.1の積分方程式による特徴づけを外力 $0$ に適用すると $u_{0,m}\in D(A)$ であり、半群の強連続性から $u_{0,m}\to u_0$ が $H$ で成り立つ。 $f$ を時間について零延長し、§E10.48 命題 1.1により平滑化すると、 $f_m\in C^1([0,T];H)$ で $f_m\to f$ が $L^2(0,T;H)$ で成り立つものを得る。

データ $(u_{0,m},f_m)$ に対する古典解を $u_m$ とする。定理 2.4または系 2.5の差の評価から $u_m$ は $W(0,T)$ で Cauchy 列である。命題 1.5により、ある $w\in W(0,T)$ へ $W$ と $C([0,T];H)$ で収束する。形式の有界性から $\mathcal Au_m\to\mathcal Aw$ が $L^2(0,T;V^\dagger)$ で成り立つので、極限は $w'+\mathcal Aw=If$ と $w(0)=u_0$ を満たす。

一方、§E15.24 系 3.2の軟解の評価から

\|u_m-u\|_{C([0,T];H)} \leq e^{\kappa T}\left(\|u_{0,m}-u_0\|_H +\sqrt T\|f_m-f\|_{L^2(0,T;H)}\right)\longrightarrow0.

したがって $u=w$ である。▨

系 3.2.定理 3.1の時間非依存の形式について、 $u_0\in H$ と $F\in L^2(0,T;V^\dagger)$ をとる。このとき、 $f_m\in L^2(0,T;H)$ を、 $If_m\to F$ が $L^2(0,T;V^\dagger)$ で成り立つように選ぶことができる。そのような任意の近似列に対し、

S(t)u_0+\int_0^tS(t-s)f_m(s)\,ds

は、初期値 $u_0$ 、外力 $F$ の弱解へ $W(0,T)$ で収束し、その極限は近似列の選び方によらない。

証明.命題 1.2により $I(H)$ は $V^\dagger$ で稠密である。 $F$ を $V^\dagger$ 値単純関数で $L^2$ 近似し、各単純関数の有限個の値を $I(H)$ の元で近似する。各時間集合の測度は有限であるから、値の近似誤差を小さくすることで、所要の $f_m$ を得る。定理 3.1によって積分表示の関数は外力 $If_m$ の弱解である。弱解の差の評価を外力 $F$ の弱解との間に適用すると、 $W$ 収束と極限の独立性が従う。▨

注意 3.3. $F(t)\in V^\dagger\setminus I(H)$ の場合、 $H$ 上の作用素 $S(t-s)$ をそのまま $F(s)$ に作用させることはできない。系 3.2の極限は、 $H$ 値の通常の Bochner 積分 $\int_0^tS(t-s)F(s)\,ds$ を意味しない。また、 $L^1(0,T;H)$ 外力に対する軟解の連続性だけから、時間微分の $L^2(0,T;V^\dagger)$ 可積分性は従わない。

例 4.1. $\Omega=(0,\pi)$ 、 $T>0$ 、 $V=H^1_0(0,\pi)$ とし、 $e_k(x)=\sqrt{2/\pi}\sin(kx)$ とおく。このとき、初期値

u_0=\sum_{k=1}^\infty\frac1k e_k\in L^2(0,\pi)

に対する零 Dirichlet 熱方程式 $u_t-u_{xx}=0$ の弱解は

u(t)=\sum_{k=1}^\infty\frac1k e^{-k^2t}e_k

である。この解は $W(0,T)$ と $C([0,T];L^2)$ に属するが、 $L^2(0,T;H^2(0,\pi))$ には属さない。

§E15.19 定理 3.1を $n=1$ 、 $L_1=\pi$ に適用すると、 $(e_k)_{k\geq1}$ は $(0,\pi)$ 上の Dirichlet Laplace 作用素の完全正規直交固有系であり、 $e_k$ の固有値は $k^2$ である。 $\sum k^{-2}<\infty$ であるから $u_0\in L^2$ であり、 $\sum k^2|k^{-1}|^2=\infty$ であるから $u_0\notin H^1_0$ である。各有限和に対する熱方程式の解は表示した級数の有限和である。初期値の $L^2$ 収束と定理 2.4の差の評価により、それらは $W$ と $C([0,T];L^2)$ で弱解へ収束する。

任意の $t>0$ では、指数因子によって級数を空間について任意回微分することができる。正規直交性と§E10.19 定理 2.3から

\int_0^T\|\partial_xu(t)\|_2^2\,dt =\sum_{k=1}^\infty\int_0^T e^{-2k^2t}\,dt =\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{1-e^{-2k^2T}}{k^2}<\infty,

\int_0^T\|\partial_{xx}u(t)\|_2^2\,dt =\sum_{k=1}^\infty\int_0^Tk^2e^{-2k^2t}\,dt =\frac12\sum_{k=1}^\infty(1-e^{-2k^2T})=\infty

を得る。さらに、各 $0\leq t\leq T$ に対して

\frac12\|u(t)\|_2^2+\int_0^t\|\partial_xu(s)\|_2^2\,ds =\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{-2k^2t}+1-e^{-2k^2t}}{k^2} =\frac12\|u_0\|_2^2.

したがって、初期値に $L^2$ 可積分性だけを仮定した場合、弱解のエネルギー等式は成り立つが、二階空間微分が時間について $L^2$ 可積分であるとは限らない。

例 4.2. $0<\tau<T$ 、 $\Omega=(0,\pi)$ とし、

\alpha(t)=\begin{cases}1,&0<t<\tau,\\2,&\tau\leq t<T\end{cases}, \qquad q(t)=\int_0^t\alpha(s)\,ds =\begin{cases}t,&0\leq t\leq\tau,\\2t-\tau,&\tau\leq t\leq T\end{cases}

と定める。このとき、零 Dirichlet 条件と初期値 $u_0(x)=\sin x$ をもつ $u_t-\alpha(t)u_{xx}=0$ の弱解は

u(t,x)=e^{-q(t)}\sin x

である。

係数 $\alpha$ は可測有界で $1\leq\alpha\leq2$ を満たす。 $e^{-q}$ は連続で区分的に $C^1$ であり、その弱微分は $-\alpha e^{-q}$ である。実際、時間試験関数に対し $(0,\tau)$ と $(\tau,T)$ で部分積分すると、 $\tau$ における両側の境界項は連続性によって相殺する。よって $u\in L^2(0,T;H^1_0)$ 、 $u'=-\alpha u\in L^2(0,T;L^2)$ であり、 $u\in W(0,T)$ である。すべての $v\in H^1_0(0,\pi)$ に対し、空間の部分積分によって

\langle u'(t),v\rangle+\alpha(t)\int_0^\pi u_x(t,x)\overline{v_x(x)}\,dx =-\alpha(t)(u(t),v)_2+\alpha(t)(u(t),v)_2=0

となる。 $u(0)=\sin x$ であるから、定理 2.4の一意性より表示した関数は弱解である。 $t=\tau$ で $H$ 値の左右微分はそれぞれ $-e^{-\tau}\sin x$ と $-2e^{-\tau}\sin x$ である。時間の古典微分はこの時刻に存在しないが、解は $H$ 値連続である。

例 4.3. $\Omega=(0,\pi)$ 、 $T>0$ 、 $H=L^2(0,\pi)$ 、 $V=H^1_0(0,\pi)$ とし、 $e_k(x)=\sqrt{2/\pi}\sin(kx)$ とおく。このとき、初期値

u_0=\sum_{k=1}^\infty\frac1k e_k\in H

に対する逆拡散方程式

u_t+u_{xx}=0,\qquad u(t,0)=u(t,\pi)=0,\qquad u(0)=u_0

には、 $u\in W(0,T)$ であって、初期条件と弱形式

\langle u'(t),v\rangle-\int_0^\pi u_x(t,x)\overline{v_x(x)}\,dx=0 \qquad(v\in V)

をほとんどすべての $t$ について満たす解は存在しない。

そのような解 $u$ が存在すると仮定する。例 4.1により $(e_k)$ は $H$ の完全正規直交系であり、 $u_0\in H$ である。各 $k\geq1$ に対し $c_k(t)=(u(t),e_k)_H$ とおく。命題 1.5の部分積分公式を $u$ と時間によらない関数 $e_k$ に適用すると、 $c_k$ は $[0,T]$ 上で絶対連続であり、ほとんどすべての $t$ について $c_k'(t)=\langle u'(t),e_k\rangle$ である。弱形式で $v=e_k$ とし、 $e_k''=-k^2e_k$ と $u(t)\in H^1_0(0,\pi)$ による空間の部分積分を用いると、

c_k'(t)=\int_0^\pi u_x(t,x)\overline{e_k'(x)}\,dx =k^2c_k(t),\qquad c_k(0)=\frac1k

を得る。したがって絶対連続関数 $e^{-k^2t}c_k(t)$ の導関数はほとんど至る所で零であり、すべての $0\leq t\leq T$ について

c_k(t)=\frac1k e^{k^2t}

となる。

任意の $t\in(0,T]$ を固定する。Bessel の不等式によって、すべての $m\geq1$ に対し

\|u(t)\|_H^2\geq\sum_{k=1}^m|c_k(t)|^2 =\sum_{k=1}^m\frac{e^{2k^2t}}{k^2}

である。右辺の各項は $k\to\infty$ で無限大へ発散するので、右辺の部分和も無限大へ発散する。これは $u(t)\in H$ に反する。すなわち、方程式と初期値から定まる正弦係数は、どの正時刻にも $L^2(0,\pi)$ の元の係数にならない。

この方程式の係数は $a^{11}=-1$ 、 $b^1=c=0$ であり、可測有界であるが、 $\Re(a^{11}\xi\overline\xi)=-|\xi|^2$ なので一様な正の楕円性を満たさない。したがって、定理 2.4から一様な正の楕円性の仮定を除くと、 $L^2$ 初期値に対する弱解の存在は保証されない。

§E15.25放物型方程式の弱形式

1 時間変数を含む関数空間

2 可測な係数と弱解

3 半群による解との一致

4 時間依存係数と初期値の例

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