§E15.9拡張と近似

証明.$\Phi$は連続な逆写像$\Phi^{-1}(x',x_n)=(x',x_n-\varphi(x'))$をもつ。Borel 可測な非負関数に対して、§E10.19 命題 3.4と各鉛直直線上の平行移動により

となる。この等式を Borel 零集合の指示関数へ適用すると、$\Phi$と$\Phi^{-1}$は零集合の逆像を零集合へ移す。Lebesgue 可測集合は Borel 集合と零集合の部分集合から表されるから、合成の可測性と積分公式は Lebesgue 可測関数にも成立する。特に$L^p$ノルムは保存される。

$B$内の各開球で§E15.8 命題 2.3を$\varphi$に適用すると、$\varphi$の弱微分が存在し、$|\nabla\varphi|\leq L$がほとんど至る所で成り立つ。$B$の可算な開球被覆を取れば、$|D_i\varphi|\leq L$が$B$のほとんど至る所で成り立つので、$D_i\varphi\in L^\infty(B)$である。

$u\in C^\infty(U)$の場合、各座標切片で§E13.2 定理 3.1 (1)を適用すると、表示した微分公式を得る。その右辺が$L^p(V)$に属する場合には、§E15.8 定理 2.1により公式は弱微分の公式でもある。体積公式と$|D_i\varphi|\leq L$により

を得る。

$p<\infty$と$u\in W^{1,p}(U)$に対し、§E15.8 定理 4.6による滑らかな近似列を取る。微分公式の各項は体積公式により$L^p(V)$で収束する。試験関数との積分で極限を取ると、合成の弱微分は表示した右辺となり、同じ評価が成立する。

$u\in W^{1,\infty}(U)$の場合、各相対コンパクトな開集合$V_0\subseteq V$の像は$U$内に相対コンパクトである。像を含む相対コンパクトな開集合に有限指数の議論を適用すると、$V_0$上で同じ弱微分公式が成立する。右辺の本質的上界は$C(n,L)\|u\|_{W^{1,\infty}(U)}$以下である。$V_0$を増大させると$V$全体で公式と評価を得る。逆写像には$-\varphi$を用いた同じ議論が適用される。▨

証明.§E15.8 定理 2.1と Fubini の公式により、ほとんどすべての$y'$に対し、$u(y',\cdot)$は各有限区間$(0,b)$上で$W^{1,1}$に属する。その絶対連続な代表は$0$に有限な極限をもつ。実際、$0<s<t<b$での値の差は$\int_s^t|D_nu(y',r)|\,dr$以下であり、導関数の可積分性から値は$t\downarrow0$で Cauchy となる。したがって、偶反射の左右の代表は$0$で一致する。§E13.2 命題 2.8により、偶反射した切片は$(-b,b)$上で絶対連続となり、その導関数は表示した関数である。

接線方向の切片は$t>0$または$t<0$の一方に含まれ、反射前に§E15.8 定理 2.1 (2)が与える局所絶対連続な切片に一致する。例外切片の集合は反射によっても零集合である。各右辺の$L^p$評価は$t\mapsto-t$の変数変換から従う。再び§E15.8 定理 2.1を適用すると、表示した関数が$Ru$の弱微分となる。▨

証明.$\partial\Omega$の各点のグラフ座標で、$B\times(-h,h)$より小さい対称な筒を取り、その像を$U_j^0$とする。$\partial\Omega$のコンパクト性により、有限個の$U_j^0$で境界を覆うことができる。残った$\overline\Omega$のコンパクト部分集合を、$\Omega$内に閉包をもつ有界開集合$U_0$で覆う。§E10.47 定理 2.1を$\overline\Omega$とこの有限開被覆に適用し、$\sum_{j=0}^N\theta_j=1$が$\overline\Omega$の近傍で成立し、$\supp\theta_0\subseteq U_0$、$\supp\theta_j\subseteq U_j^0$$(1\leq j\leq N)$となる滑らかな関数を取る。

$\theta_0u$は境界から正の距離をもつ台をもつから、零延長$E_0u$は全空間の$W^{1,p}$関数である。実際、その弱微分を計算する試験関数には、台の近傍で$1$となる$\Omega$内の滑らかな切断を掛けることができる。したがって、$\Omega$内の弱微分公式がそのまま全空間の公式となり、境界項は現れない。

$j\geq1$について、剛体変換を含めたグラフ座標を$\Phi_j$と書く。$v_j=(\theta_j u)\circ\Phi_j$は上半筒上の$W^{1,p}$関数であり、その台は筒の側面と上面から正の距離をもつ。側面と上面の外へ零延長すると、$v_j\in W^{1,p}(H)$となる。ここでも台から離れた人工的な境界での弱微分計算には、前段落と同じ切断を用いる。補題 2.1により$Rv_j$を作る。小さい筒を対称に選んだので、$Rv_j$の台は元の大きい筒の内部に含まれる。逆座標で戻し、座標近傍の外へ零延長した関数を$E_ju$とする。

グラフ座標には補題 1.2を適用する。剛体変換の積分には§E10.44 定理 2.1を適用し、その弱微分の変換は、滑らかな関数の連鎖則を内部近似によって移して得る。切断との積には§E15.8 命題 3.1を適用する。したがって各$j$に対して

となる。$E_ju=\theta_j u$は$\Omega$上で成立する。$E=\sum_{j=0}^NE_j$とおくと、有限和であるため$E$は有界線形作用素であり、$Eu=\sum_j\theta_ju=u$となる。すべての構成の台を含む固定球を$B_*$とすれば、台の結論も従う。▨

証明.定理 2.2による$Eu$はコンパクトな台をもつ。§E15.8 命題 4.2の核$\rho_\varepsilon$に対し、$f_\varepsilon=\rho_\varepsilon*Eu$とおく。したがって、$f_\varepsilon\in C_c^\infty(\R^n)$である。$0<\varepsilon<1$のとき、$f_\varepsilon$と$Eu$の台は共通の固定球に含まれる。その球を含む相対コンパクトな開集合へ§E15.8 命題 4.2を適用すると、$f_\varepsilon\to Eu$は$W^{1,p}(\R^n)$で成立する。$\Omega$への制限を取ると結論を得る。▨

証明.$\varphi$の$k-1$階導関数へ§E15.8 命題 2.3を適用すると、$k$階の弱微分は有界である。従って$D_i\varphi$は$k-1$階までの有界な弱微分をもつ。

$a$とその$r$階までの弱微分が有界であり、$v\in W^{r,p}$ならば、$av\in W^{r,p}$であり、Leibniz 則による各項の評価が成立する。実際、$r=1$は§E15.8 命題 3.1である。$r-1$階までの公式が成立すると仮定し、各項$(D^\beta a)D^\gamma v$をもう一度微分する。$|\beta|+|\gamma|\leq r-1$なので、$D^\beta a\in W^{1,\infty}$、$D^\gamma v\in W^{1,p}$であり、同じ積則を適用することができる。二項を集めると$r$階の公式となる。この議論は局所的に適用し、各項の全体の$L^p$評価によって全領域へ移す。

一次の座標変換は補題 1.2による。$r<k$階までの有界性が成立すると仮定し、$u\in W^{r+1,p}(U)$を取る。各$D_i u$は$W^{r,p}(U)$に属するから、帰納法の仮定により$(D_i u)\circ\Phi\in W^{r,p}(V)$である。一次の公式

の右辺へ前段落の積則を適用すると、右辺は$W^{r,p}(V)$に属し、そのノルムは$C\|u\|_{W^{r+1,p}(U)}$以下となる。法方向の公式にも同じ帰納法を適用する。従って$u\circ\Phi\in W^{r+1,p}(V)$であり、所要の評価を得る。$\Phi^{-1}$には$-\varphi$を用いる。▨

証明.$-1,\ldots,-k$は相異なるから、係数行列は可逆な Vandermonde 行列であり、$a_j$は一意に存在する。$\alpha=(\beta,m)$、$|\alpha|\leq k$に対し、上下の半空間での微分の候補を

とおく。半空間内の弱微分の変数変換は、試験関数の線形変数変換から従う。$t\mapsto-jt$により、$(-j)^mD^\alpha u(y',-jt)$の下半空間での$L^p$ノルムは、有限$p$では$j^{m-1/p}\|D^\alpha u\|_p$であり、$p=\infty$では$j^m\|D^\alpha u\|_\infty$である。各項に$|a_j|$を掛けて加えると、すべての$g_\alpha$に所要の$L^p$評価を得る。

$|\alpha|<k$とする。ほとんどすべての$y'$に対し、$D^\beta u(y',\cdot)$は各有限区間$(0,b)$上の$W^{k-|\beta|,p}$関数である。この事実は、$D^{\beta+\ell e_n}u\in L^p$に Fubini の公式を適用し、弱微分の恒等式を積型の試験関数へ適用して得られる。切片の試験関数は可算な稠密集合から選び、例外零集合を共通にする。§E13.29 定理 7.3 (1)により、$m$階までの切片の微分は$0$で連続な代表をもつ。$g_\alpha$の左右の端点値は

によって一致する。§E13.2 命題 2.8により、$g_\alpha$の法方向切片は境界を越えて局所絶対連続であり、その導関数は$g_{\alpha+e_n}$となる。

接線方向の切片は、$t\ne0$なら一方の半空間に含まれる。その方向微分は$g_{\alpha+e_i}$である。§E15.8 定理 2.1により$g_\alpha\in W^{1,p}(\R^n)$かつ$D_i g_\alpha=g_{\alpha+e_i}$となる。$g_0=R_ku$から微分の次数について帰納すると、$D^\alpha R_ku=g_\alpha$が$|\alpha|\leq k$で成立する。既に得た$L^p$評価から有界性が従う。▨

証明.定理 2.2の証明における、有限個の小さいグラフ座標近傍と滑らかな分割を取る。切断との積は§E15.8 命題 3.1の高階の公式により$W^{k,p}$で有界であり、グラフ座標との合成は補題 4.1により$W^{k,p}$で有界である。局所化した関数を上半空間へ零延長し、偶反射の代わりに補題 4.2の$R_k$を適用する。

局所化した関数の台の法座標が$0\leq t<h_0$に含まれるならば、外側の反射項が零でないときは$0<-jt<h_0$である。従って$-h_0<t<0$であり、反射後の台は元の対称な筒を外れない。逆座標で戻して座標近傍の外へ零延長する。人工的な境界の近傍では関数が零であるから、$k$階までの弱微分にも境界項は現れない。内部項の零延長とこれらの局所項の有限和を$E_ku$とすれば、各合成の有界性と$\sum_j\theta_j=1$により、拡張の恒等式、ノルム評価、固定球内の台を得る。

$p<\infty$の場合、$\rho_\varepsilon*E_ku\in C_c^\infty(\R^n)$とする。§E15.8 命題 4.2を共通の台を含む有界開集合へ適用すると、$\rho_\varepsilon*E_ku\to E_ku$が$W^{k,p}(\R^n)$で成立する。$\Omega$への制限により稠密性が従う。▨