§E15.19楕円型作用素の固有値

証明.$V_B$は$C_c^\infty(\Omega)$を含むので$L^2(\Omega)$で稠密である。形式ノルムは

であり、$V_B$はこのノルムについて完備である。したがって形式は非負かつ閉であり、§E15.16 定理 3.1により$A_B$は非負の自己共役作用素である。§E15.11 定理 2.1を$p=q=2$に適用すると$V_B\Subset L^2(\Omega)$である。ここで$n=2$では臨界の場合、$n=1$では連続関数空間へのコンパクト包含と$C(\overline\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$を用いる。§E12.14 命題 3.1 (2)により$A_B$のレゾルベントはコンパクトである。▨

証明.命題 1.2と§E12.14 定理 2.3を下界$m=0$で適用する。$\Omega$は開球を含み、その球内の互いに素な小球の指示関数は一次独立であるから、$L^2(\Omega)$は無限次元である。したがって固有値列は無限列であり、無限大へ発散する。形式域と形式の表示は§E12.14 命題 3.1 (1)による。展開の有限和を$u^{(M)}$とすると

である。▨

証明.§E15.16 定理 2.1により、ある$\alpha>0$、$\kappa\geq0$に対して

である。§E15.17 命題 1.1により$(A_a+\kappa I)^{-1}$はコンパクトである。形式$a$は対称であるから、§E15.16 定理 3.1により$a$は下半有界な稠密閉形式であり、$A_a$は下半有界な自己共役作用素である。§E12.14 定理 2.3により固有系を得る。§E12.14 命題 3.1 (2)により形式域から$L^2$への包含はコンパクトであるから、§E12.14 定理 4.1により変分表示を得る。▨

証明.§E12.14 定理 4.1を命題 1.2の形式に適用すると最小最大表示を得る。§E15.8 定理 5.4により、ある$C>0$に対し$q(u,u)\geq C^{-2}\|u\|_2^2$が$u\in H^1_0(\Omega)$で成り立つので、$\lambda_1^D\geq C^{-2}>0$である。

$u\in\ker A_N$ならば$\|\nabla u\|_2^2=(A_Nu,u)_2=0$である。§E15.8 系 2.2を各連結成分への制限に適用すると、$u$は各連結成分上で定数である。逆に、各成分上で定数となる$u\in H^1$は$q(u,v)=0$を満たすから$u\in\ker A_N$である。連結な場合の核の同定は§E15.17 定理 2.1の定数を除く一意性とも一致する。

連結な場合は$e_1^N=|\Omega|^{-1/2}$と選ぶ。平均零の$u\in H^1$に対し、$u_j=(u,e_j^N)_2$とおくと、定理 1.3の表示は

となる。$u=e_2^N$で等号が成り立つ。零固有空間は一次元なので$\lambda_2^N>0$である。▨

証明.§E15.8 命題 3.2を$F(s)=|s|$に適用すると、$z=|w|\in H^1(\Omega)$で$|\nabla z|\leq|\nabla w|$である。また$\|z\|_2=\|w\|_2\ne0$である。§E15.12 命題 2.5と§E15.12 定理 3.3により$z\in H^1_0(\Omega)$である。したがって

である。$u\in H^1_0(\Omega)$と$t\in\R$に対し

であり、$t=0$で等号が成り立つので一次の係数は零である。よって$\Re(q(z,u)-\lambda_1^D(z,u)_2)=0$である。$u$を$iu$に置き換えると虚部も零となり、すべての$u\in H^1_0(\Omega)$に対して$q(z,u)=\lambda_1^D(z,u)_2$が成り立つ。すなわち$A_Dz=\lambda_1^Dz$であり、$z\ne0$であるから$z=|w|$は第一固有関数である。

第一固有空間の零でない関数$e$をとる。弱固有方程式を実数値の試験関数に対して実部と虚部に分けると、$\Re e$と$\Im e$はそれぞれ同じ実固有方程式を満たす。少なくとも一方は零でないので、零でない実数値の第一固有関数$w$が得られる。$|w|$は零でない非負の実数値の第一固有関数である。▨

証明.$u\in H^1_0(\Omega_1)$を$C_c^\infty(\Omega_1)$の関数で$H^1$近似し、$\Omega_2$へ零延長すると、§E15.8 命題 5.2により$H^1_0(\Omega_2)$の関数を得る。零延長は単射であり、$L^2$ノルムと勾配の$L^2$ノルムを保つ。したがって$\Omega_1$の$k$次元試験空間は同じ Rayleigh 商をもつ$\Omega_2$の試験空間となり、定理 2.1により領域単調性を得る。$H^1_0(\Omega)\subset H^1(\Omega)$に同じ最小最大表示を適用すると境界条件の比較を得る。

写像$u\mapsto u(\cdot/t)$は$V_B(\Omega)$から$V_B(t\Omega)$への線形全単射であり、変数変換により$L^2$ノルムの二乗を$t^n$倍、勾配のノルムの二乗を$t^{n-2}$倍する。すべての試験空間の Rayleigh 商が$t^{-2}$倍となるので、拡大率の公式が従う。▨

証明. 区間$(0,L_i)$の方程式$-f''=\lambda f$を Dirichlet 条件または Neumann 条件で解くと、それぞれ表示した正弦系、定数を含む余弦系を得る。負の$\lambda$では指数関数の境界条件から零解しかなく、$\lambda=0$では Dirichlet の零解と Neumann の定数解を得る。$\lambda>0$の場合には、境界条件から$\sqrt\lambda L_i\in\pi\NN$を得る。各系の完全性は§E13.27 定理 3.5による。§E12.9 定理 8.1と§E12.9 命題 4.1を有限回適用すると、積関数は$L^2(Q)$の完全正規直交系をなす。

各積関数$e$は$\overline Q$の近傍で滑らかであり、$-\Delta e=(\pi^2\sum_i k_i^2/L_i^2)e$である。Dirichlet の積関数は境界で零なので§E15.12 定理 3.3により$H^1_0(Q)$に属する。Neumann の積関数は各面で法線微分が零である。§E15.12 命題 3.1を$\overline v$と$\partial_i e$に適用して$i$について加えると、$v\in V_B$に対し

を得る。Dirichlet の場合は$Tv=0$であり、Neumann の場合は$\partial_\nu e=0$であるから、いずれの場合も境界積分は零である。したがって各積関数は対応する実現の固有関数である。▨

証明.$\Omega$を含む一辺$L$の立方体$Q$をとる。定理 3.1により、$Q$の固有値が$\lambda$以下となる添字は

を満たす。各$k_i$は$L\sqrt\lambda/\pi$以下なので、その個数$N_Q(\lambda)$は$(L/\pi)^n\lambda^{n/2}$以下である。固有値の重複も添字の個数として数えているので、$j\leq N_Q(\lambda_j^D(Q))$である。したがって

を定理 2.3から得る。▨

証明.$\Omega$に含まれる一辺$L>0$の立方体$Q$をとり、$m=\lceil j^{1/n}\rceil$とする。$1\leq k_i\leq m$の積モードは$m^n\geq j$個あり、各固有値は$n\pi^2m^2/L^2$以下である。$m\leq2j^{1/n}$と定理 2.3により

を得る。▨

証明.§E12.14 定理 2.3により、非零固有値の絶対値は零から離れ、$\lambda_j\to+\infty$である。したがって表示した対角級数は有界作用素を定め、作用素定義域の表示から$AG=I-P$、$GA=I-P$を満たす。対称楕円型実現の場合は§E15.17 定理 3.1の Green 作用素に一致する。零固有値に対する係数を零とした対角列を$\mu_j$と書くと、有限和との作用素ノルムの差は$\sup_{j>M}|\mu_j|\to0$である。

固有係数による$L^2(\Omega)$と$\ell^2$のユニタリ同定に§E12.10 例 6.1 (1)を適用すると、Hilbert–Schmidt 性と二乗可和性の同値およびノルムの公式を得る。積関数$e_j(x)\overline{e_j(y)}$は$L^2(\Omega\times\Omega)$で正規直交系をなすから、二乗可和性の下で核の級数は$L^2$で収束する。各有限核の積分作用素は対応する有限階数和であり、§E12.10 定理 5.1の等長対応により極限の積分作用素は$G$である。▨

証明.系 3.4と系 3.5により

である。級数$\sum_{j\geq1}j^{-4/n}$は$n\leq3$で収束し、$n\geq4$で発散する。定理 4.1から次元の判定が従う。$L^2$核の非存在は§E12.10 定理 5.1による。▨