§E15.35Hölder 空間

証明. 各$v_\gamma$は連続関数の局所一様極限であるから連続である。$x\in\Omega$と$r>0$を$\overline{B_r(x)}\subseteq\Omega$となるように取る。$|\gamma|<k$、$|t|<r$に対して

である。線分上の一様極限を取ると、同じ等式が$v_\gamma,v_{\gamma+e_i}$について成り立つ。$v_{\gamma+e_i}$は連続であるから、$\partial_i v_\gamma=v_{\gamma+e_i}$である。$|\gamma|$について帰納すると、$v_0\in C^k(\Omega)$と各導関数の等式を得る。複素数値の場合も実部と虚部について同じ議論が成り立つ。▨

証明.$(u_j)$をいずれかの空間の Cauchy 列とする。各$|\gamma|\leq k$について、$D^\gamma u_j$の$\overline\Omega$への延長は一様 Cauchy 列である。したがって、有界な連続関数$v_\gamma$へ一様収束する。補題 1.2により、$u=v_0|_\Omega$は$C^k(\Omega)$に属し、$D^\gamma u=v_\gamma|_\Omega$である。よって$u\in C_b^k(\overline\Omega)$であり、上限ノルムの和に関して$u_j\to u$である。

$(u_j)$が$C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$の Cauchy 列であるとする。$\varepsilon>0$に対し、$j,l\geq N$ならば$\|u_j-u_l\|_{C^{k,\alpha}}\leq\varepsilon$となる$N$を取る。$j\geq N$を固定し、異なる$x,y\in\overline\Omega$について$l\to\infty$とすると、各$|\gamma|=k$に対して$[D^\gamma(u_j-u)]_\alpha\leq\varepsilon$である。したがって$u\in C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$である。導関数の数は有限であるから、上限ノルムの収束と合わせて$u_j\to u$が$C^{k,\alpha}$ノルムで成り立つ。$\Omega$が有界ならば$\overline\Omega$はコンパクトであり、その上の連続関数は有界なので$C_b^k(\overline\Omega)=C^k(\overline\Omega)$である。▨

証明.$\Omega$が凸であるとする。$x,y\in\Omega$に対して線分$\{x+t(y-x):0\leq t\leq1\}$は$\Omega$に含まれるので、

であり、Cauchy–Schwarz の不等式により$|v(x)-v(y)|\leq\|\nabla v\|_\infty|x-y|$を得る。$x,y\in\overline\Omega$に対しては、$\Omega$の点列で近似して$v$の$\overline\Omega$上の連続性を用いると、同じ評価が成り立つ。したがって凸の場合は$[v]_{1;\overline\Omega}\leq\|\nabla v\|_\infty$である。開球は凸であるから、以下では$\Omega$が滑らかな場合を考える。

滑らかな境界の各点には、$\Omega$の閉包を半球に移す滑らかな境界座標が存在する。座標近傍を小さく取ると、座標写像と逆写像の一階微分は有界であり、半球内の線分を戻した曲線の長さは端点間の距離の定数倍以下となる。内部の点には閉包が$\Omega$に含まれる球を取り、その球では凸の場合の評価を用いる。$\overline\Omega$のコンパクト性により、これらの小さい近傍を有限個選ぶことができる。

前段落で選んだ$\overline\Omega$の有限被覆の Lebesgue 数を$d>0$とする。$|x-y|<d$の二点は一つの近傍に含まれるから、前段の曲線上の積分と境界への連続性により$|v(x)-v(y)|\leq C\|\nabla v\|_\infty|x-y|$となる。$|x-y|\geq d$の場合には$|v(x)-v(y)|\leq2d^{-1}\|v\|_\infty|x-y|$である。

$D^\gamma u$、$|\gamma|<k$に第一の評価を適用し、$[w]_\alpha\leq(\operatorname{diam}\Omega)^{1-\alpha}[w]_1$を用いて有限個の導関数について加えると、

を得る。凸の場合には$[D^\gamma u]_{\alpha}\leq(\operatorname{diam}\Omega)^{1-\alpha}\|\nabla D^\gamma u\|_\infty\leq(\operatorname{diam}\Omega)^{1-\alpha}\sum_{i=1}^n\|D^{\gamma+e_i}u\|_\infty$である。$1\leq|\eta|\leq k$の各多重指数$\eta$は$\gamma+e_i$の形で高々$n$回現れる。よって$|\gamma|<k$について加えると、$\sum_{|\gamma|<k}[D^\gamma u]_\alpha\leq n(\operatorname{diam}\Omega)^{1-\alpha}\|u\|_{C^k}$である。上限ノルムの和が$\|u\|_{C^k}$以下であることと合わせると、凸の場合の定数を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。有界な Hölder 関数$f,g$に対して、差を二項に分けると

である。$k=0$では、この評価から結論を得る。$k\geq1$では Leibniz 則の各項$D^\eta u\,D^{\gamma-\eta}v$に同じ評価を適用する。低階導関数の Hölder 半ノルムは補題 1.5で抑えることができるので、有限個の項を加えると所要の評価となる。$\Omega$が凸のときは、この補題の定数が$n,\alpha,\operatorname{diam}\Omega$だけで決まるので、$C$は$n,k,\alpha,\operatorname{diam}\Omega$だけに依存する。

主張 (2)を示す。Lipschitz 写像$\Phi$に対して

である。$k\geq1$では補題 1.5により$\Phi$は Lipschitz である。連鎖律を繰り返すと、$D^\gamma(u\circ\Phi)$は$(D^\eta u)\circ\Phi$と$\Phi$の導関数との積の有限和となる。前段の合成の半ノルム評価、補題 1.5、積の評価を各項に用いると、$\|u\circ\Phi\|_{C^{k,\alpha}}\leq C_\Phi\|u\|_{C^{k,\alpha}}$を得る。導関数の境界への連続延長も同じ式から従う。$\Omega,\Omega'$がともに凸のときは、補題 1.5により$\operatorname{Lip}(\Phi)$は$n$と$\|\Phi\|_{C^{k,\alpha}(\overline\Omega)}$だけで抑えられ、各項に用いた補題と積の評価の定数は$n,k,\alpha,\operatorname{diam}\Omega,\operatorname{diam}\Omega'$だけで決まる。したがって$C_\Phi$は主張に挙げた量だけに依存する。$k=0$では$\|u\circ\Phi\|_{C^{0,\alpha}}\leq\max\{1,\operatorname{Lip}(\Phi)^\alpha\}\|u\|_{C^{0,\alpha}}$である。▨

証明.$D$は連結であり、$h$は零にならないので、$h$の符号は一定である。任意の正整数$j$と$x,y\in\overline D$に対して、冪の差の因数分解により

である。$m=0$では$\|h^{-1}\|_\infty\leq\mu^{-1}$、$[h^{-1}]_\alpha\leq\mu^{-2}[h]_\alpha\leq\mu^{-2}H$であるから、結論を得る。

$m\geq1$とする。補題 1.5により、$|\gamma|<m$の各$D^\gamma h$の$C^{0,\alpha}$ノルムは$n,m,\alpha,\operatorname{diam}D,H$だけで抑えられる。$|\gamma|=m$の場合も$C^{m,\alpha}$ノルムの定義により同じことが成り立つ。微分を繰り返すと、$1\leq|\gamma|\leq m$の$D^\gamma(h^{-1})$は、正整数$j$と$|\gamma_i|\geq1$、$\sum_i\gamma_i=\gamma$に対する

の定数倍の有限和である。$j\leq|\gamma|\leq m$であり、冪の差の評価から

を得る。$[h]_{\alpha;\overline D}$と各導関数の$C^{0,\alpha}$ノルムは$n,m,\alpha,\operatorname{diam}D,H$だけで抑えられる。積の評価命題 1.6 (1)を$k=0$で用いると、有限和の上限と、$|\gamma|=m$の半ノルムは$n,m,\alpha,\operatorname{diam}D,\mu,H$だけに依存する定数で抑えられる。微分の式の各項は$\overline D$へ連続に延びるので、$1/h\in C^{m,\alpha}(\overline D)$である。▨

証明.$S=\varnothing$の場合は結論が成り立つ。$S\ne\varnothing$とする。$\Psi(\overline S)\subseteq\overline T$であり、$m=0$ならば$x,y\in\overline S$に対して

である。上限ノルムと合わせると$m=0$の評価を得る。

$m\geq1$とし、$P=\|\Psi\|_{C^{m,\alpha}(\overline D)}$、$G=\|g\|_{C^{m,\alpha}(\overline T)}$とおく。$\Psi$の各成分に補題 1.5を適用すると、$\Psi$は$\overline D$上で Lipschitz 連続であり、$L=\operatorname{Lip}(\Psi|_{\overline D})$は$C_nP$以下である。また、各$1\leq|\gamma|\leq m$に対して$D^\gamma\Psi$の$C^{0,\alpha}(\overline D)$ノルムは$n,m,\alpha,\operatorname{diam}D,P$だけで抑えられる。

$|\eta|=m$ならば、$D^\eta g$の Hölder 評価と$\Psi$の Lipschitz 評価から、

である。$|\eta|<m$とし、$\Psi(D)\subseteq T$とする。連鎖律により$(D^\eta g)\circ\Psi$の$D$上の一次導関数は$C_nGP$で抑えられる。$D$の凸性と線分積分を用いると、

を得る。一方、$T$が有界凸ならば、補題 1.5と$\Psi$の Lipschitz 評価から

である。

連鎖律により、$D^\gamma(g\circ\Psi)$（$1\leq|\gamma|\leq m$）は$(D^\eta g)\circ\Psi$と$\Psi$の導関数の積の有限和である。$\overline S$上の有界な Hölder 関数$f_1,f_2$については、積の差を二項に分けると

である。この評価を連鎖律の各項に繰り返すと、各項の上限と Hölder 半ノルムは、$n,m,\alpha,\operatorname{diam}D,P$だけに依存する定数の$G$倍で抑えられる。ただし、$T$が有界凸であることを用いた場合は、定数はさらに$\operatorname{diam}T$に依存する。連鎖律の各項は$\overline S$へ連続に延びるので、所要の包含とノルム評価を得る。▨

証明. 連鎖律から$D^\gamma u_r(x)=r^{|\gamma|}(D^\gamma u)(rx)$である。二点の差商の分母を$|rx-ry|^\alpha=r^\alpha|x-y|^\alpha$と書き換え、全単射$x\mapsto rx$によって上限を取ると、二つの等式を得る。▨

証明. 異なる$x,y\in A$に対して

である。非負の$a,b$と$0<\theta<1$に対する$\min\{a,b\}\leq a^{1-\theta}b^\theta$を$\theta=\beta/\alpha$で用い、$|x-y|^\beta$で割って上限を取る。▨

証明.$(u_m)$を$C^{k,\alpha}$の有界列とする。最高階の導関数は共通の Hölder 定数をもち、低階の導関数は補題 1.5により共通の Lipschitz 定数をもつ。各導関数は各点で有界である。したがって§E2.31 系 4.5を有限個の導関数に順次適用すると、部分列上で各$D^\gamma u_m$が$\overline\Omega$上一様収束する。補題 1.2により、極限は$\Omega$上のある$C^k$関数の各導関数である。各極限は$\overline\Omega$上で連続なので、この関数は$C^k(\overline\Omega)$に属する。

$\beta=0$ならば$C^k$収束を既に得ている。$0<\beta<\alpha$ならば、各$|\gamma|=k$について$D^\gamma(u_m-u_l)$に補題 2.1を適用する。一様誤差は零へ収束し、$\alpha$半ノルムは一様に有界なので、列は$C^{k,\beta}$で Cauchy となる。定理 1.4により、この空間で$u$へ収束する。

$j<k$とする。補題 1.5を$D^\gamma(u_m-u)$、$|\gamma|\leq j$に適用すると、$C^k$収束により各 Lipschitz 半ノルムも零へ収束する。$\beta<1$の場合には領域の直径の$1-\beta$乗を掛ければよく、$C^{j,\beta}$収束を得る。▨

証明. ある$\varepsilon>0$に対して結論が成立しないと仮定する。各整数$m\geq1$に対して

を満たす$u_m$を取り、$v_m=u_m/\|u_m\|_{C^{j,\beta}}$とおく。このとき$\|v_m\|_{C^{j,\beta}}=1$、$\|v_m\|_{C^{k,\alpha}}<1/\varepsilon$、$\|v_m\|_{C^0}<1/m$である。指数条件から$j<k$、または$j=k$かつ$\beta<\alpha$である。定理 2.2により、部分列上で$v_m$は$C^{j,\beta}$の元$v$へ収束する。$C^0$ノルムの評価から$v=0$であるが、$C^{j,\beta}$ノルムの連続性から$\|v\|_{C^{j,\beta}}=1$でもある。したがって仮定は偽である。▨

証明.命題 1.9により、$|\gamma|\leq k$に対して$\|D^\gamma u_r\|_\infty=r^{k+\alpha-|\gamma|}\|D^\gamma\psi\|_\infty$である。$|\gamma|=k$の半ノルムは$[D^\gamma\psi]_{\alpha;B(0,2/r)}$に等しく、全空間の半ノルム以下である。一方、$|\gamma|=k$かつ$D^\gamma\psi$が非定数となる多重指数$\gamma$が存在する。その導関数の値が異なる二点を固定すると、十分小さい$r$に対して半ノルムに共通の正の下界を得る。したがって定理 2.3の厳密な指数差を等号に置き換えることはできない。▨

証明.$L=[u]_{\alpha;A}$、$M=\|u\|_{\infty;A}$とおき、

と定める。$V(x)$は$-M$以上であり、任意の固定した$a\in A$によって有限な上界をもつ。$0<\alpha\leq1$では$|x-a|^\alpha\leq|x-y|^\alpha+|y-a|^\alpha$なので、下限を取ると$V(x)\leq V(y)+L|x-y|^\alpha$となる。$x,y$を交換して$[V]_\alpha\leq L$を得る。$x\in A$では$u(a)+L|x-a|^\alpha\geq u(x)$であり、$a=x$が等号を与えるから$V(x)=u(x)$である。区間$[-M,M]$への切断は差を増加させない。したがって$U$は所要の延長である。ノルムと半ノルムの逆向きの不等式は$A$への制限から従う。▨

証明. 核の各導関数はコンパクトな台をもち、$U$は有界なので、積分を微分することにより滑らかさを得る。核の非負性と積分が$1$であることから、上限ノルムの評価が従う。また、

である。同じ積分表示で$U(x-z)-U(x)$を評価すると、核の台が$|z|\leq\varepsilon$に含まれるので最後の評価を得る。領域上の結論は命題 3.1の延長を平滑化して制限すると従う。▨

証明. 異なる$x,y\in A$を固定すると、各$m$について$|u_m(x)-u_m(y)|/|x-y|^\alpha\leq[u_m]_{\alpha;A}$である。左辺の極限を取ると$|u(x)-u(y)|/|x-y|^\alpha\leq\liminf_m[u_m]_{\alpha;A}$となる。二点について上限を取る。▨

証明. 境界座標$\Psi$において$\Omega$が$t_n>0$に対応するように取る。座標近傍を小さくして

が定義されるようにすると、$P$は Lipschitz であり、$\overline\Omega$上で恒等写像となる。内部の近傍では$P(x)=x$とする。コンパクト性により、このような近傍$U_l$と写像$P_l$を有限個選び、$\overline\Omega$の近傍で和が$1$となる滑らかな関数$\chi_l$を$\operatorname{supp}\chi_l\Subset U_l$となるように取る。この有限個の関数は、小さい球上で正となる滑らかな非負関数を§E10.47 補題 1.1によって選び、その和で割り、和が正である集合内の切断関数を掛けることによって構成することができる。

$U=\sum_l\chi_l(u\circ P_l)$とし、各項を$U_l$の外で零とする。$U|_{\overline\Omega}=u$であり、$U$の台はコンパクトである。各台と$U_l$の外との距離は正なので、十分小さい$\delta$に対して、差が非零となる近い二点は同じ$U_l$内にある。$L$を$P_l$の Lipschitz 定数の共通上界とすると、積の差を二項に分けることにより

を得る。右辺の各項は零へ収束する。大きい距離での差商は$2\|U\|_\infty\delta^{-\alpha}$以下なので、$U\in C^{0,\alpha}(\R^n)$でもある。▨

証明.$g\in C^\infty(\overline\Omega)$は補題 1.5により Lipschitz であり、$\omega_g(\delta)\leq[g]_1\delta^{1-\alpha}\to0$である。$g_m\to u$が$C^{0,\alpha}$で成り立つならば、$\omega_u(\delta)\leq[u-g_m]_\alpha+\omega_{g_m}(\delta)$である。$\delta\downarrow0$、次に$m\to\infty$として小距離条件を得る。

逆に、$u$が小距離条件を満たすとする。補題 3.4の延長を$U$、命題 3.2の平滑化を$U_\varepsilon$とする。$|x-y|<\delta$では、積分表示から$\omega_{U_\varepsilon}(\delta)\leq\omega_U(\delta)$なので、$U_\varepsilon-U$の差商は$2\omega_U(\delta)$以下である。$|x-y|\geq\delta$では、その差商は$2\delta^{-\alpha}\|U_\varepsilon-U\|_\infty$以下である。$\delta$を小さく選んだ後に$\varepsilon\downarrow0$とすると、$[U_\varepsilon-U]_\alpha\to0$を得る。上限ノルムも零へ収束するので、制限により$u$は所要の閉包に属する。

関数$f(x)=|x-x_0|^\alpha$は$|a^\alpha-b^\alpha|\leq|a-b|^\alpha$により Hölder である。$y=x_0+te_1$、$x=x_0$の差商は、十分小さい$t>0$について$1$である。したがって$\omega_f(\delta)$は零へ収束しない。▨