Krylov–Safonov の Harnack 不等式 | 偏微分方程式論 I

定義 1.1. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta,\gamma\geq0$ を実数とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $r>0$ とする。 $U$ 上の可測関数の組 $(a,b,c)$ が $U$ 上の尺度 $r$ の $(\lambda,\Lambda,\beta,\gamma)$ 型の係数 (coefficients of type (lambda, Lambda, beta, gamma)) であるとは、 $a=(a^{ij})$ が実対称行列値であってすべての $x\in U$ について $\lambda I\leq a(x)\leq\Lambda I$ を満たし、 $b=(b^i)$ が $\R^n$ 値であって $r\|b\|_{L^\infty(U)}\leq\beta$ を満たし、 $c$ が実数値であって $r^2\|c\|_{L^\infty(U)}\leq\gamma$ を満たすことをいう。このとき、 $u\in C^2(U)$ に $Lu=a^{ij}D_{ij}u+b^iD_iu+cu$ を対応させる作用素 $L$ を、 $(a,b,c)$ に対応する作用素という。ここで繰り返す添字 $i,j$ については $1$ から $n$ まで和をとる。

補題 1.2. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とし、 $s>0$ に対して $Q_s=[-s/2,s/2)^n$ 、 $P=(-\tfrac52\sqrt n,\tfrac52\sqrt n)^n$ とおく。可測集合 $E\subseteq\R^n$ の Lebesgue 測度を $|E|$ と書き、実数値関数 $f$ に対して $f^+=\max\{f,0\}$ とおく。このとき、 $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存する定数 $0<\delta_0\leq1$ 、 $\varepsilon_0>0$ 、 $M>1$ 、 $0<\mu<1$ が存在して、次が成り立つ。

$z\in\R^n$ 、 $r>0$ とし、 $U=z+rP$ とおく。 $(a,b,c)$ を $U$ 上の尺度 $r$ の $(\lambda,\Lambda,\delta_0,\delta_0)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(U)$ 、 $\tau>0$ とする。 $u\in C^2(U)$ が $U$ 上で $u\geq0$ を満たし、ほとんどすべての $x\in U$ について $Lu(x)\leq f(x)$ を満たし、さらに

\inf_{z+rQ_3}u\leq\tau,\qquad r\|f^+\|_{L^n(U)}\leq\varepsilon_0\tau

を満たすならば、

|\{x\in z+rQ_1:u(x)\leq M\tau\}|\geq\mu r^n

である。

証明. $y\in P$ に対して $\tilde u(y)=u(z+ry)/\tau$ 、 $\tilde a(y)=a(z+ry)$ 、 $\tilde b(y)=rb(z+ry)$ 、 $\tilde c(y)=r^2c(z+ry)$ 、 $\tilde f(y)=r^2f(z+ry)/\tau$ とおく。 $D_{ij}\tilde u(y)=r^2D_{ij}u(z+ry)/\tau$ 、 $D_i\tilde u(y)=rD_iu(z+ry)/\tau$ であるから、ほとんどすべての $y\in P$ について $\tilde a^{ij}D_{ij}\tilde u+\tilde b^iD_i\tilde u+\tilde c\tilde u\leq\tilde f$ が成り立つ。変数変換により $\|\tilde f^+\|_{L^n(P)}=r\|f^+\|_{L^n(U)}/\tau\leq\varepsilon_0$ であり、 $\|\tilde b\|_{L^\infty(P)}\leq\delta_0$ 、 $\|\tilde c\|_{L^\infty(P)}\leq\delta_0$ 、 $\inf_{Q_3}\tilde u\leq1$ である。また $|\{y\in Q_1:\tilde u(y)\leq M\}|=r^{-n}|\{x\in z+rQ_1:u(x)\leq M\tau\}|$ である。したがって $z=0$ 、 $r=1$ 、 $\tau=1$ の場合に主張を示せばよい。以下では $z=0$ 、 $r=1$ 、 $\tau=1$ とする。

$\rho>0$ に対して $B_\rho=B_\rho(0)$ と書く。 $\kappa=n\Lambda/\lambda$ 、 $s_0=1/16$ とし、 $(0,\infty)$ 上の関数 $g(s)=s^{-\kappa/2}$ の $s_0$ における二次の Taylor 多項式を $T$ とする。 $g'(s_0)<0$ 、 $g''(s_0)>0$ であるから、 $0\leq s\leq s_0$ に対して

T(s)=g(s_0)+g'(s_0)(s-s_0)+\tfrac12g''(s_0)(s-s_0)^2\geq g(s_0)=4^\kappa

である。 $[0,\infty)$ 上の関数 $G$ を $0\leq s\leq s_0$ で $G(s)=T(s)$ 、 $s\geq s_0$ で $G(s)=g(s)$ と定める。 $T$ と $g$ は $s_0$ で二階までの微分係数が一致するので、 $G\in C^2([0,\infty))$ である。

M_2=\frac{2}{(3\sqrt n/2)^{-\kappa}-(2\sqrt n)^{-\kappa}},\qquad M_1=M_2(2\sqrt n)^{-\kappa}

とおき、 $\varphi(x)=M_1-M_2G(|x|^2)$ と定める。 $|x|<1/4$ では $\varphi$ は $|x|^2$ の多項式であるから、 $\varphi\in C^2(\R^n)$ である。 $|x|=2\sqrt n$ ならば $\varphi(x)=0$ である。 $1/4\leq|x|\leq3\sqrt n/2$ ならば

\varphi(x)=M_2\bigl((2\sqrt n)^{-\kappa}-|x|^{-\kappa}\bigr)\leq M_2\bigl((2\sqrt n)^{-\kappa}-(3\sqrt n/2)^{-\kappa}\bigr)=-2

である。 $|x|<1/4$ ならば $G(|x|^2)\geq4^\kappa\geq1>(3\sqrt n/2)^{-\kappa}$ であるから、 $\varphi(x)<-2$ である。 $Q_3$ の点 $x$ は $|x|\leq3\sqrt n/2$ を満たすので、 $Q_3$ 上で $\varphi\leq-2$ である。

$A$ を $\lambda I\leq A\leq\Lambda I$ を満たす実対称行列とし、 $A:S=\operatorname{tr}(AS)$ と書く。 $|x|\geq1/4$ ならば

D_{ij}\bigl(|x|^{-\kappa}\bigr)=\kappa|x|^{-\kappa-2}\Bigl((\kappa+2)\frac{x_ix_j}{|x|^2}-\delta_{ij}\Bigr)

であるから、 $\hat x=x/|x|$ として

A:D^2\varphi(x)=-M_2\kappa|x|^{-\kappa-2}\bigl((\kappa+2)\,\hat x\cdot A\hat x-\operatorname{tr}A\bigr)\leq-M_2\kappa|x|^{-\kappa-2}\bigl((\kappa+2)\lambda-n\Lambda\bigr)<0

である。実対称行列 $S$ を $S=\sum_ks_k\xi_k\xi_k^{\mathsf T}$ と正規直交固有ベクトル $\xi_k$ で分解すると、 $A:S=\sum_ks_k\,\xi_k\cdot A\xi_k\leq n\Lambda\|S\|$ である。ここで $\|S\|$ は作用素ノルムである。そこで

C_1=1+n\Lambda\max_{|x|\leq1/4}\|D^2\varphi(x)\|,\qquad C_2=\max_{|x|\leq2\sqrt n}|D\varphi(x)|,\qquad C_\varphi=\max_{|x|\leq2\sqrt n}\bigl(-\varphi(x)\bigr)

とおくと、これらは $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存し、 $C_\varphi\geq2$ であり、すべての $x\in\R^n$ と上の $A$ について $A:D^2\varphi(x)\leq C_1\mathbf 1_{B_{1/4}}(x)$ が成り立つ。ここで $\mathbf 1_{B_{1/4}}$ は $B_{1/4}$ の指示関数である。

$\Omega=B_{2\sqrt n}$ とおき、 $\omega_n=|B_1(0)|$ 、 $C_3=4\sqrt n\,e^{C_\varphi}/(n\omega_n^{1/n}\lambda)$ とする。 $0<\delta_0\leq1$ と $\varepsilon_0>0$ を

C_3\Bigl(\varepsilon_0+\delta_0\Bigl(\frac1{4\lambda}+C_2+C_\varphi\Bigr)|\Omega|^{1/n}\Bigr)\leq\frac{e-1}2

を満たすようにとり、 $M=C_\varphi$ 、 $\mu=\min\{((e-1)/(2C_1C_3))^n,1/2\}$ とおく。これらは $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存し、 $M>1$ 、 $0<\mu<1$ である。

$P$ 上で $v=-(u+\varphi)$ 、 $w=e^v-1$ とおく。 $\overline\Omega\subseteq P$ であるから $w\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ である。 $\partial\Omega$ 上では $u\geq0$ 、 $\varphi=0$ であるから $v\leq0$ であり、 $w\leq0$ である。任意の $\eta>0$ に対して $u(x)<1+\eta$ を満たす $x\in Q_3$ が存在し、 $Q_3\subseteq\Omega$ 上で $\varphi\leq-2$ であるから $v(x)>1-\eta$ である。したがって $\sup_\Omega v\geq1$ であり、 $\sup_\Omega w\geq e-1$ である。 $\{v>0\}$ 上では $u\geq0$ により $v\leq-\varphi\leq C_\varphi$ であり、 $0\leq u<-\varphi\leq C_\varphi$ である。

$x\in\Omega\cap\{v>0\}$ を、 $Lu(x)\leq f(x)$ 、 $|b(x)|\leq\delta_0$ 、 $|c(x)|\leq\delta_0$ が成り立つ点とする。ほとんどすべての $x\in\Omega\cap\{v>0\}$ はこの条件を満たす。 $D_{ij}w=e^v(D_{ij}v+D_ivD_jv)$ と $a\geq\lambda I$ から

a^{ij}D_{ij}w\geq e^v\bigl(a^{ij}D_{ij}v+\lambda|Dv|^2\bigr)

である。 $Lu\leq f$ から $-a^{ij}D_{ij}u\geq b^iD_iu+cu-f$ であり、 $Du=-Dv-D\varphi$ であるから $b^iD_iu\geq-|b||Dv|-|b||D\varphi|$ である。 $|b||Dv|\leq\lambda|Dv|^2+|b|^2/(4\lambda)$ 、 $\delta_0^2\leq\delta_0$ 、 $0\leq u\leq C_\varphi$ を用いると、

a^{ij}D_{ij}v+\lambda|Dv|^2\geq-f-\frac{|b|^2}{4\lambda}-|b||D\varphi|-|c|u-a^{ij}D_{ij}\varphi\geq-(f^++h)

が成り立つ。ここで $h=\delta_0\bigl(1/(4\lambda)+C_2+C_\varphi\bigr)+C_1\mathbf 1_{B_{1/4}}$ である。 $0<e^v\leq e^{C_\varphi}$ であるから、 $a^{ij}D_{ij}w(x)\geq-e^{C_\varphi}(f^+(x)+h(x))$ である。

$\Omega$ 上の可測関数 $\tilde g$ を、 $\{v>0\}$ 上で $\tilde g=-e^{C_\varphi}(f^++h)$ 、 $\Omega\setminus\{v>0\}$ 上で $\tilde g=a^{ij}D_{ij}w$ と定める。前段により、ほとんどすべての $x\in\Omega$ について $a^{ij}D_{ij}w(x)\geq\tilde g(x)$ である。 $w$ の上接触集合を $\Gamma^+$ とし、 $E=\Gamma^+\cap\{w>0\}$ とおく。 $\sup_{\partial\Omega}w^+=0$ 、 $\operatorname{diam}\Omega=4\sqrt n$ 、 $(\det a)^{1/n}\geq\lambda$ であり、 $E\subseteq\{v>0\}$ 上で $\tilde g^-=e^{C_\varphi}(f^++h)$ であるから、§E15.41 定理 2.1と Minkowski の不等式により

e-1\leq\sup_\Omega w\leq C_3\|f^++h\|_{L^n(E)}\leq C_3\Bigl(\|f^+\|_{L^n(P)}+\delta_0\Bigl(\frac1{4\lambda}+C_2+C_\varphi\Bigr)|\Omega|^{1/n}+C_1|E\cap B_{1/4}|^{1/n}\Bigr)

が成り立つ。 $\|f^+\|_{L^n(P)}\leq\varepsilon_0$ と $\delta_0,\varepsilon_0$ のとり方により $(e-1)/2\leq C_1C_3|E\cap B_{1/4}|^{1/n}$ であり、 $|E\cap B_{1/4}|\geq\mu$ である。 $E\subseteq\{v>0\}\subseteq\{u<M\}$ 、 $B_{1/4}\subseteq Q_1$ であるから、 $|\{x\in Q_1:u(x)\leq M\}|\geq\mu$ である。▨

補題 1.3. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とし、 $Q_s$ 、 $P$ 、 $\delta_0$ 、 $\varepsilon_0$ を補題 1.2のものとする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存する定数 $d_0\geq1$ と $\varepsilon>0$ が存在して、次が成り立つ。

$z\in\R^n$ 、 $r>0$ とし、 $U=z+rP$ とおく。 $(a,b,c)$ を $U$ 上の尺度 $r$ の $(\lambda,\Lambda,\delta_0,\delta_0)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(U)$ 、 $\tau>0$ とする。 $u\in C^2(U)$ が $U$ 上で $u\geq0$ を満たし、ほとんどすべての $x\in U$ について $Lu(x)\leq f(x)$ を満たし、さらに $\inf_{z+rQ_3}u\leq\tau$ 、 $r\|f^+\|_{L^n(U)}\leq\varepsilon_0\tau$ を満たすならば、すべての $t>0$ について

|\{x\in z+rQ_1:u(x)>t\}|\leq d_0\Bigl(\frac\tau t\Bigr)^{\varepsilon}r^n

である。

証明. $M$ 、 $\mu$ を補題 1.2の定数とし、 $\delta=1-\mu$ 、 $d_0=1/\delta$ 、 $\varepsilon=\log(1/\delta)/\log M$ とおく。 $y\in P$ に対して $\tilde u(y)=u(z+ry)/\tau$ とし、係数と右辺を $\tilde a(y)=a(z+ry)$ 、 $\tilde b(y)=rb(z+ry)$ 、 $\tilde c(y)=r^2c(z+ry)$ 、 $\tilde f(y)=r^2f(z+ry)/\tau$ に替えると、 $\tilde u$ は $z=0$ 、 $r=1$ 、 $\tau=1$ の場合の仮定を満たし、 $|\{y\in Q_1:\tilde u(y)>t/\tau\}|=r^{-n}|\{x\in z+rQ_1:u(x)>t\}|$ である。したがって $z=0$ 、 $r=1$ 、 $\tau=1$ の場合に主張を示せばよい。以下では $z=0$ 、 $r=1$ 、 $\tau=1$ とする。

整数 $k\geq0$ に対して $A_k=\{x\in Q_1:u(x)>M^k\}$ とおく。 $|A_0|\leq|Q_1|=1$ である。補題 1.2を $z=0$ 、 $r=1$ 、 $\tau=1$ として適用すると $|A_1|\leq1-\mu=\delta$ である。 $k\geq2$ とし、 $|A_{k-1}|\leq\delta^{k-1}$ を仮定する。

$h=(1/2,\ldots,1/2)$ 、 $Q_0=Q_1+h=[0,1)^n$ とおくと、 $Q_0$ は第 $0$ 世代の二進立方体である。 $A=A_k+h$ 、 $B=A_{k-1}+h$ とおくと、 $M>1$ により $A\subseteq B\subseteq Q_0$ であり、 $|A|\leq|A_1|\leq\delta|Q_0|$ である。 $Q\in\mathcal D(Q_0)$ が $|A\cap Q|>\delta|Q|$ を満たすとする。 $|A\cap Q_0|\leq\delta|Q_0|$ であるから $Q\neq Q_0$ である。 $\ell=\ell(Q)$ とおくと $\ell^n=|Q|\leq1$ であり、 $\ell=1$ ならば $Q$ と $Q_0$ はともに第 $0$ 世代の交わる二進立方体であるから§E10.46 命題 1.2により $Q=Q_0$ となる。したがって $\ell\leq1/2$ である。 $\widehat Q$ と $Q_0$ はともに $Q$ を含むので交わり、§E10.46 命題 1.2により一方が他方を含む。 $Q_0\subseteq\widehat Q$ ならば $1\leq(2\ell)^n\leq1$ であるから $\widehat Q$ は $Q_0$ と同じ世代に属し、 $\widehat Q=Q_0$ である。いずれの場合にも $\widehat Q\subseteq Q_0$ である。

$Q-h=\prod_{i=1}^n[t_i,t_i+\ell)$ と書き、その中心を $x_Q$ とする。 $\widehat Q-h$ は辺長 $2\ell$ の半開立方体 $\prod_i[t_i',t_i'+2\ell)$ で $Q-h$ を含むから、各 $i$ について $t_i-\ell\leq t_i'\leq t_i$ であり、 $\widehat Q-h\subseteq\prod_i[t_i-\ell,t_i+2\ell)=x_Q+\ell Q_3$ である。 $\widehat Q\not\subseteq B$ と仮定する。このとき $\widehat Q-h\subseteq Q_1$ の点 $x$ で $x\notin A_{k-1}$ となるものが存在し、 $u(x)\leq M^{k-1}$ であるから、 $\inf_{x_Q+\ell Q_3}u\leq M^{k-1}$ である。 $x_Q$ の各座標の絶対値は $1/2$ 未満であり、 $\ell\leq1/2$ であるから、 $x_Q+\ell P$ の点の各座標の絶対値は $1/2+\tfrac54\sqrt n\leq\tfrac52\sqrt n$ 未満であり、 $x_Q+\ell P\subseteq P$ である。 $\ell\|b\|_{L^\infty}\leq\delta_0$ 、 $\ell^2\|c\|_{L^\infty}\leq\delta_0$ 、 $\ell\|f^+\|_{L^n(x_Q+\ell P)}\leq\varepsilon_0\leq\varepsilon_0M^{k-1}$ であるから、補題 1.2を $z=x_Q$ 、 $r=\ell$ 、 $\tau=M^{k-1}$ として適用することができ、 $|\{x\in Q-h:u(x)\leq M^k\}|\geq\mu\ell^n$ を得る。これは $|A\cap Q|=|A_k\cap(Q-h)|\leq(1-\mu)\ell^n=\delta|Q|$ を意味し、 $|A\cap Q|>\delta|Q|$ に反する。したがって $\widehat Q\subseteq B$ である。

以上により§E10.46 補題 3.1の仮定が満たされ、 $|A_k|=|A|\leq\delta|B|=\delta|A_{k-1}|\leq\delta^k$ である。帰納法により、すべての整数 $k\geq0$ について $|A_k|\leq\delta^k$ である。

$t\geq M$ ならば、 $M^k\leq t<M^{k+1}$ を満たす整数 $k\geq1$ をとると、 $\delta^k=M^{-k\varepsilon}=M^{\varepsilon}M^{-(k+1)\varepsilon}$ 、 $M^\varepsilon=d_0$ であるから

|\{x\in Q_1:u(x)>t\}|\leq|A_k|\leq\delta^k\leq d_0t^{-\varepsilon}

である。 $0<t<M$ ならば $|\{x\in Q_1:u(x)>t\}|\leq1=d_0M^{-\varepsilon}<d_0t^{-\varepsilon}$ である。▨

補題 1.4. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta,\gamma\geq0$ とし、 $\varepsilon$ を補題 1.3の指数として $p_0=\varepsilon/2$ とおく。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,\beta,\gamma$ だけに依存する定数 $C_E>0$ が存在して、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $\rho>0$ に対して $B_\rho=B_\rho(x_0)$ と書く。 $(a,b,c)$ を $B_{2R}$ 上の尺度 $R$ の $(\lambda,\Lambda,\beta,\gamma)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(B_{2R})$ とし、 $u\in C^2(B_{2R})$ が $B_{2R}$ 上で $u\geq0$ を満たし、ほとんどすべての $x\in B_{2R}$ について $Lu(x)\leq f(x)$ を満たすとする。実数 $\tau$ が

\inf_{B_{3R/2}}u+R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}\leq\tau

を満たすならば、 $\tau\geq0$ であり、次の二つが成り立つ。

すべての $t>0$ について $|\{x\in B_{3R/2}:u(x)>t\}|\leq C_ER^n(\tau/t)^{\varepsilon}$ である。
$\displaystyle\int_{B_{3R/2}}u^{p_0}\leq C_ER^n\tau^{p_0}$ である。

証明. $y\in B_2(0)$ に対して $\tilde u(y)=u(x_0+Ry)$ とし、係数と右辺を $\tilde a(y)=a(x_0+Ry)$ 、 $\tilde b(y)=Rb(x_0+Ry)$ 、 $\tilde c(y)=R^2c(x_0+Ry)$ 、 $\tilde f(y)=R^2f(x_0+Ry)$ に替えると、 $\|\tilde b\|_{L^\infty}\leq\beta$ 、 $\|\tilde c\|_{L^\infty}\leq\gamma$ 、 $\|\tilde f^+\|_{L^n(B_2(0))}=R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}$ であり、 $\tilde u$ の水準集合の測度と積分は $u$ のものの $R^{-n}$ 倍である。したがって $x_0=0$ 、 $R=1$ の場合に示せばよい。以下では $x_0=0$ 、 $R=1$ とする。

$Q_s$ 、 $P$ 、 $\delta_0$ 、 $\varepsilon_0$ を補題 1.2のもの、 $d_0$ を補題 1.3の定数とし、 $x\in\R^n$ に対して $|x|_\infty=\max_i|x_i|$ と書く。

\rho=\min\Bigl\{\frac1{15n},\ \frac{\delta_0}{3(\beta+1)},\ \Bigl(\frac{\delta_0}{9(\gamma+1)}\Bigr)^{1/2}\Bigr\},\qquad F=\frac{3\rho}{\varepsilon_0}\|f^+\|_{L^n(B_2)}

とおき、 $y\in B_{3/2}$ に対して $\sigma(y)=\inf_{y+\rho Q_3}u+F$ とおく。

主張 1.4.1. すべての $y\in B_{3/2}$ と $t>0$ について $|\{x\in y+\rho Q_3:u(x)>t\}|\leq3^nd_0\rho^n(\sigma(y)/t)^{\varepsilon}$ である。

証明. $y+3\rho P$ の点は $y$ から距離 $\tfrac{15}2n\rho\leq\tfrac12$ 未満にあり、 $|y|<3/2$ であるから、 $y+3\rho P\subseteq B_2$ である。 $3\rho\|b\|_{L^\infty}\leq3\rho\beta\leq\delta_0$ 、 $(3\rho)^2\|c\|_{L^\infty}\leq9\rho^2\gamma\leq\delta_0$ である。 $\eta>0$ とし、 $\tau'=\sigma(y)+\eta$ とおく。 $y+\rho Q_3\subseteq y+3\rho Q_3$ であるから $\inf_{y+3\rho Q_3}u\leq\tau'$ であり、 $3\rho\|f^+\|_{L^n(y+3\rho P)}\leq\varepsilon_0F\leq\varepsilon_0\tau'$ である。補題 1.3を $z=y$ 、 $r=3\rho$ とし、その補題の $\tau$ を $\tau'$ として適用し、 $y+3\rho Q_1=y+\rho Q_3$ を用いると、 $|\{x\in y+\rho Q_3:u(x)>t\}|\leq3^nd_0\rho^n(\tau'/t)^\varepsilon$ を得る。 $\eta\downarrow0$ とすればよい。▨

$A=(2\cdot3^nd_0)^{1/\varepsilon}$ とおく。

主張 1.4.2. $y,y'\in B_{3/2}$ が $|y-y'|_\infty\leq\rho$ を満たすならば、 $\sigma(y')\leq(A+1)\sigma(y)$ である。

証明. $\eta>0$ とする。 $|y-y'|_\infty\leq\rho$ であるから $y'+\rho Q_1\subseteq y+\rho Q_3$ である。主張 1.4.1を $t=A(\sigma(y)+\eta)$ として用いると

|\{x\in y'+\rho Q_1:u(x)>A(\sigma(y)+\eta)\}|\leq3^nd_0\rho^nA^{-\varepsilon}=\frac{\rho^n}2<|y'+\rho Q_1|

である。したがって $u(x')\leq A(\sigma(y)+\eta)$ を満たす $x'\in y'+\rho Q_1\subseteq y'+\rho Q_3$ が存在し、 $\inf_{y'+\rho Q_3}u\leq A(\sigma(y)+\eta)$ である。 $\eta\downarrow0$ とすると、 $F\leq\sigma(y)$ により $\sigma(y')\leq A\sigma(y)+F\leq(A+1)\sigma(y)$ を得る。▨

$N=\lceil3/\rho\rceil$ とおく。 $x,y\in B_{3/2}$ とし、 $j=0,\ldots,N$ に対して $x_j=x+(j/N)(y-x)$ とおく。 $x_j\in B_{3/2}$ であり、 $|x_{j+1}-x_j|_\infty\leq|y-x|/N<3/N\leq\rho$ である。主張 1.4.2を $N$ 回用いると $\sigma(y)\leq(A+1)^N\sigma(x)$ であり、 $x\in x+\rho Q_3$ であるから $\sigma(x)\leq u(x)+F$ である。 $x\in B_{3/2}$ は任意であるから、 $\rho\leq1$ を用いて、すべての $y\in B_{3/2}$ について

\sigma(y)\leq(A+1)^N\Bigl(\inf_{B_{3/2}}u+F\Bigr)\leq K\tau,\qquad K=(A+1)^N\max\{1,3/\varepsilon_0\}

が成り立つ。 $u\geq0$ により $\tau\geq\inf_{B_{3/2}}u\geq0$ である。

$m\in\Z^n$ に対する半開立方体 $\rho m+\rho Q_1$ は互いに素であり、 $\R^n$ を覆う。 $J$ を $(\rho m+\rho Q_1)\cap B_{3/2}\neq\emptyset$ を満たす $m\in\Z^n$ 全体の集合とし、各 $m\in J$ に対して $y_m\in(\rho m+\rho Q_1)\cap B_{3/2}$ を一つとる。 $\rho m+\rho Q_1$ の直径は $\sqrt n\rho\leq1/2$ であるから $\rho m+\rho Q_1\subseteq B_2$ であり、互いに素であることから $(\#J)\rho^n\leq|B_2|=2^n\omega_n$ である。ここで $\omega_n=|B_1(0)|$ である。また $|y_m-\rho m|_\infty\leq\rho/2$ であるから $\rho m+\rho Q_1\subseteq y_m+\rho Q_3$ である。主張 1.4.1により、すべての $t>0$ について

|\{x\in B_{3/2}:u(x)>t\}|\leq\sum_{m\in J}|\{x\in y_m+\rho Q_3:u(x)>t\}|\leq(\#J)3^nd_0\rho^n\Bigl(\frac{K\tau}t\Bigr)^{\varepsilon}\leq6^n\omega_nd_0K^\varepsilon\Bigl(\frac\tau t\Bigr)^{\varepsilon}

である。 $C'=6^n\omega_nd_0K^\varepsilon$ とおき、 $C_E=(3/2)^n\omega_n+C'$ とおく。 $C_E$ は $n,\lambda,\Lambda,\beta,\gamma$ だけに依存し、主張 (1)が成り立つ。

$\tau=0$ ならば、主張 (1)によりすべての $t>0$ について $|\{x\in B_{3/2}:u(x)>t\}|=0$ であるから、 $B_{3/2}$ のほとんどすべての点で $u=0$ であり、 $\int_{B_{3/2}}u^{p_0}=0$ である。以下では $\tau>0$ とする。Tonelli の定理により $\int_{B_{3/2}}u^{p_0}=\int_0^\infty p_0t^{p_0-1}|\{x\in B_{3/2}:u(x)>t\}|\,dt$ である。 $0<t<\tau$ では測度を $|B_{3/2}|$ で抑え、 $t\geq\tau$ では主張 (1)を用いると、 $p_0/(\varepsilon-p_0)=1$ により

\int_{B_{3/2}}u^{p_0}\leq|B_{3/2}|\tau^{p_0}+C'\tau^{\varepsilon}\int_\tau^\infty p_0t^{p_0-1-\varepsilon}\,dt=\bigl((3/2)^n\omega_n+C'\bigr)\tau^{p_0}=C_E\tau^{p_0}

である。これで主張 (2)は示された。▨

補題 1.5. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta,\gamma\geq0$ 、 $0<\theta\leq1$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,\beta,\gamma,\theta$ だけに依存する定数 $c_\theta>0$ が存在して、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $B_\rho=B_\rho(x_0)$ と書く。 $(a,b,c)$ を $B_{2R}$ 上の尺度 $R$ の $(\lambda,\Lambda,\beta,\gamma)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(B_{2R})$ とする。 $u\in C^2(B_{2R})$ が $B_{2R}$ 上で $u\geq0$ を満たし、ほとんどすべての $x\in B_{2R}$ について $Lu(x)\leq f(x)$ を満たし、さらに $|\{x\in B_R:u(x)\geq1\}|\geq\theta|B_R|$ を満たすならば、

\inf_{B_R}u\geq c_\theta-R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}

である。

証明. $C_E$ 、 $\varepsilon$ を補題 1.4のものとし、 $\omega_n=|B_1(0)|$ 、 $c_\theta=\tfrac12(\theta\omega_n/C_E)^{1/\varepsilon}$ 、 $T=\inf_{B_{3R/2}}u+R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}$ とおく。補題 1.4 (1)を $\tau=T$ 、 $t=1/2$ として用いると

\theta\omega_nR^n\leq|\{x\in B_R:u(x)\geq1\}|\leq|\{x\in B_{3R/2}:u(x)>1/2\}|\leq C_ER^n(2T)^{\varepsilon}

であり、 $T\geq c_\theta$ である。 $B_R\subseteq B_{3R/2}$ であるから、 $\inf_{B_R}u\geq\inf_{B_{3R/2}}u=T-R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}\geq c_\theta-R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}$ を得る。▨

定理 2.1. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta,\gamma\geq0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存する $p_0>0$ と、 $n,\lambda,\Lambda,\beta,\gamma$ だけに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $B_\rho=B_\rho(x_0)$ と書く。 $(a,b,c)$ を $B_{2R}$ 上の尺度 $R$ の $(\lambda,\Lambda,\beta,\gamma)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(B_{2R})$ とし、 $u\in C^2(B_{2R})$ が $B_{2R}$ 上で $u\geq0$ を満たし、ほとんどすべての $x\in B_{2R}$ について $Lu(x)\leq f(x)$ を満たすならば、

\Bigl(\frac1{|B_R|}\int_{B_R}u^{p_0}\Bigr)^{1/p_0}\leq C\Bigl(\inf_{B_R}u+R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}\Bigr)

である。

証明. $p_0$ と $C_E$ を補題 1.4のものとし、 $\omega_n=|B_1(0)|$ 、 $C=(C_E/\omega_n)^{1/p_0}$ 、 $T=\inf_{B_{3R/2}}u+R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}$ とおく。 $B_R\subseteq B_{3R/2}$ と、 $\tau=T$ とした補題 1.4 (2)により

\Bigl(\frac1{|B_R|}\int_{B_R}u^{p_0}\Bigr)^{1/p_0}\leq\Bigl(\frac{C_ER^nT^{p_0}}{\omega_nR^n}\Bigr)^{1/p_0}=CT

である。 $\inf_{B_{3R/2}}u\leq\inf_{B_R}u$ であるから、 $T\leq\inf_{B_R}u+R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}$ であり、主張を得る。▨

定理 2.2. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta,\gamma\geq0$ 、 $p>0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,p,\beta,\gamma$ だけに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $B_\rho=B_\rho(x_0)$ と書く。 $(a,b,c)$ を $B_R$ 上の尺度 $R$ の $(\lambda,\Lambda,\beta,\gamma)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(B_R)$ とし、 $f^-=\max\{-f,0\}$ 、 $u^+=\max\{u,0\}$ とおく。 $u\in C^2(B_R)$ がほとんどすべての $x\in B_R$ について $Lu(x)\geq f(x)$ を満たすならば、

\sup_{B_{R/2}}u\leq C\Bigl(R^{-n/p}\|u^+\|_{L^p(B_R)}+R\|f^-\|_{L^n(B_R)}\Bigr)

である。ここで $\|u^+\|_{L^p(B_R)}=(\int_{B_R}(u^+)^p)^{1/p}$ であり、右辺は $+\infty$ であってもよい。

証明. $\omega_n=|B_1(0)|$ とする。 $p>n$ ならば、Hölder の不等式により $R^{-1}\|u^+\|_{L^n(B_R)}\leq\omega_n^{1/n-1/p}R^{-n/p}\|u^+\|_{L^p(B_R)}$ であるから、 $p=n$ の場合に帰着する。以下では $0<p\leq n$ とし、 $q=2n/p\geq2$ とおく。

$0<\rho<R$ とする。 $\rho\|b\|_{L^\infty(B_\rho)}\leq\beta$ 、 $\rho^2\|c\|_{L^\infty(B_\rho)}\leq\gamma$ である。 $\overline{B_\rho}$ 上で $\zeta(x)=1-|x-x_0|^2/\rho^2$ 、 $\eta=\zeta^q$ 、 $v=\eta u$ とおくと、 $v\in C^2(B_\rho)\cap C(\overline{B_\rho})$ であり、 $\partial B_\rho$ 上で $v=0$ である。 $B_{\rho/2}$ 上で $u\leq0$ ならば、下で示す $\sup_{B_{\rho/2}}u$ の評価の左辺は $0$ 以下であり、右辺は非負であるから、その評価は成り立つ。以下では $u$ が $B_{\rho/2}$ のある点で正の値をとるとする。このとき $V=\sup_{B_\rho}v$ は正の有限値である。 $B_\rho$ 上で

|D\eta|\leq\frac{2q}\rho\zeta^{q-1},\qquad\|D^2\eta\|\leq\frac{2q}{\rho^2}\zeta^{q-1}+\frac{4q(q-1)}{\rho^2}\zeta^{q-2}\leq\frac{4q^2}{\rho^2}\zeta^{q-2}

である。ここで $\|\cdot\|$ は作用素ノルムである。

$v$ の上接触集合を $\Gamma^+$ とし、 $x\in\Gamma^+$ 、 $v(x)>0$ とする。 $p'$ を $x$ における法写像の元とすると、すべての $y\in\overline{B_\rho}$ について $v(y)\leq v(x)+p'\cdot(y-x)$ である。 $v$ は $x$ で微分可能であるから、 $y=x\pm se_i$ として $s\downarrow0$ とすると $p'=Dv(x)$ を得る。 $Dv(x)\neq0$ のとき、 $x$ から $-Dv(x)$ の向きに進んで $\partial B_\rho$ に達する点を $y$ とすると、 $|y-x|\geq\rho-|x-x_0|$ であり、 $0=v(y)\leq v(x)-|y-x||Dv(x)|$ である。 $\rho-|x-x_0|\geq\rho\zeta(x)/2$ であるから、

|Dv(x)|\leq\frac{v(x)}{\rho-|x-x_0|}\leq\frac{2u(x)\zeta(x)^{q-1}}\rho

である。 $S=\{x\in B_\rho:v(x)>0,\ |Dv(x)|(\rho-|x-x_0|)\leq v(x)\}$ とおくと、 $S$ は Borel 集合であり、 $\Gamma^+\cap\{v>0\}\subseteq S$ である。

$x\in S$ を、 $Lu(x)\geq f(x)$ 、 $|b(x)|\leq\beta/\rho$ 、 $|c(x)|\leq\gamma/\rho^2$ が成り立つ点とする。ほとんどすべての $x\in S$ はこの条件を満たし、 $u(x)>0$ である。 $\eta Du=Dv-uD\eta$ と $D_{ij}v=\eta D_{ij}u+D_i\eta D_ju+D_j\eta D_iu+uD_{ij}\eta$ から

a^{ij}D_{ij}v=\eta a^{ij}D_{ij}u+\frac2\eta\bigl(aD\eta\cdot Dv-u\,aD\eta\cdot D\eta\bigr)+u\,a^{ij}D_{ij}\eta

であり、 $Lu\geq f$ から $\eta a^{ij}D_{ij}u\geq\eta f-b\cdot Dv+u\,b\cdot D\eta-\eta cu$ である。 $|aD\eta\cdot Dv|\leq\Lambda|D\eta||Dv|$ 、 $a:D^2\eta\geq-n\Lambda\|D^2\eta\|$ 、 $\zeta\leq1$ 、 $B_\rho$ 上の $|D\eta|$ と $\|D^2\eta\|$ の評価、 $|b(x)|\leq\beta/\rho$ 、 $|c(x)|\leq\gamma/\rho^2$ 、および $x\in S$ と $\rho-|x-x_0|\geq\rho\zeta(x)/2$ から従う $|Dv(x)|\leq2u(x)\zeta(x)^{q-1}/\rho$ を用いると、

a^{ij}D_{ij}v(x)\geq-f^-(x)-\frac{K}{\rho^2}u(x)\zeta(x)^{q-2},\qquad K=2(1+q)\beta+\gamma+(8q+8q^2+4nq^2)\Lambda

が成り立つ。 $u\zeta^{q-2}=v^{1-2/q}u^{2/q}\leq V^{1-2/q}(u^+)^{2/q}$ である。

$B_\rho$ 上の可測関数 $g$ を、 $S$ 上で $g=-f^--K\rho^{-2}V^{1-2/q}(u^+)^{2/q}$ 、 $B_\rho\setminus S$ 上で $g=a^{ij}D_{ij}v$ と定める。ほとんどすべての $x\in B_\rho$ について $a^{ij}D_{ij}v(x)\geq g(x)$ であり、 $\Gamma^+\cap\{v>0\}\subseteq S$ である。 $C_5=2/(n\omega_n^{1/n}\lambda)$ とおく。§E15.41 定理 2.1を $\Omega=B_\rho$ 、 $\operatorname{diam}B_\rho=2\rho$ 、 $\sup_{\partial B_\rho}v^+=0$ 、 $(\det a)^{1/n}\geq\lambda$ として適用すると、

V\leq C_5\rho\Bigl(\|f^-\|_{L^n(B_\rho)}+\frac{K}{\rho^2}V^{1-2/q}\|(u^+)^{2/q}\|_{L^n(B_\rho)}\Bigr)

を得る。 $\|(u^+)^{2/q}\|_{L^n(B_\rho)}=\|u^+\|_{L^p(B_\rho)}^{2/q}$ である。 $0\leq\vartheta<1$ と $s,t\geq0$ に対する $s^\vartheta t^{1-\vartheta}\leq\vartheta s+(1-\vartheta)t$ を $\vartheta=1-2/q$ 、 $s=V/2$ 、 $t=(2^\vartheta C_5K\rho^{-1})^{q/2}\|u^+\|_{L^p(B_\rho)}$ として用いると、 $q/2=n/p$ により

C_5K\rho^{-1}V^{1-2/q}\|u^+\|_{L^p(B_\rho)}^{2/q}\leq\frac V2+(2C_5K)^{n/p}\rho^{-n/p}\|u^+\|_{L^p(B_\rho)}

である。 $V<\infty$ であるから、 $V\leq2C_5\rho\|f^-\|_{L^n(B_\rho)}+2(2C_5K)^{n/p}\rho^{-n/p}\|u^+\|_{L^p(B_\rho)}$ を得る。 $B_{\rho/2}$ 上では $\eta\geq(3/4)^q$ であり、 $u>0$ を満たす点では $u=v/\eta\leq(4/3)^qV$ であるから、

\sup_{B_{\rho/2}}u\leq C\Bigl(\rho^{-n/p}\|u^+\|_{L^p(B_R)}+\rho\|f^-\|_{L^n(B_R)}\Bigr),\qquad C=2(4/3)^{2n/p}\max\{C_5,(2C_5K)^{n/p}\}

である。 $C$ は $n,\lambda,\Lambda,p,\beta,\gamma$ だけに依存する。 $\rho\uparrow R$ とすると $\sup_{B_{\rho/2}}u\to\sup_{B_{R/2}}u$ であり、主張を得る。▨

定理 2.3 (Krylov–Safonov の Harnack 不等式). $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta,\gamma\geq0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,\beta,\gamma$ だけに依存する定数 $C_H\geq1$ が存在して、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $B_\rho=B_\rho(x_0)$ と書く。 $(a,b,c)$ を $B_{2R}$ 上の尺度 $R$ の $(\lambda,\Lambda,\beta,\gamma)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(B_{2R})$ とし、 $u\in C^2(B_{2R})$ が $B_{2R}$ 上で $u\geq0$ を満たし、ほとんどすべての $x\in B_{2R}$ について $Lu(x)=f(x)$ を満たすならば、

\sup_{B_R}u\leq C_H\Bigl(\inf_{B_R}u+R\|f\|_{L^n(B_{2R})}\Bigr)

である。

証明. $p_0$ と $C_E$ を補題 1.4のもの、 $C_L$ を定理 2.2の $p=p_0$ に対する定数とする。 $T=\inf_{B_{3R/2}}u+R\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}$ とおくと、 $\tau=T$ とした補題 1.4 (2)により $\|u\|_{L^{p_0}(B_{3R/2})}\leq C_E^{1/p_0}R^{n/p_0}T$ である。 $y\in B_R$ とすると $B_{R/2}(y)\subseteq B_{3R/2}$ であり、 $(R/2)\|b\|_{L^\infty}\leq\beta$ 、 $(R/2)^2\|c\|_{L^\infty}\leq\gamma$ である。定理 2.2を球 $B_{R/2}(y)$ と $p=p_0$ に適用すると

u(y)\leq\sup_{B_{R/4}(y)}u\leq C_L\Bigl(\Bigl(\frac R2\Bigr)^{-n/p_0}\|u\|_{L^{p_0}(B_{3R/2})}+\frac R2\|f^-\|_{L^n(B_{2R})}\Bigr)\leq C_L\bigl(2^{n/p_0}C_E^{1/p_0}T+R\|f\|_{L^n(B_{2R})}\bigr)

である。 $C_H=C_L(2^{n/p_0}C_E^{1/p_0}+1)+1$ とおく。 $y\in B_R$ は任意であり、 $\inf_{B_{3R/2}}u\leq\inf_{B_R}u$ と $\|f^+\|_{L^n(B_{2R})}\leq\|f\|_{L^n(B_{2R})}$ により $T\leq\inf_{B_R}u+R\|f\|_{L^n(B_{2R})}$ であるから、主張を得る。▨

系 3.1. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta,\gamma\geq0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存する $0<\alpha<1$ と、 $n,\lambda,\Lambda,\beta,\gamma$ だけに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $B_\rho=B_\rho(x_0)$ と書く。 $(a,b,c)$ を $B_{2R}$ 上の尺度 $R$ の $(\lambda,\Lambda,\beta,\gamma)$ 型の係数とし、 $L$ を $(a,b,c)$ に対応する作用素とする。 $f\in L^n(B_{2R})$ とする。 $u\in C^2(B_{2R})$ が $B_{2R}$ 上で有界であり、ほとんどすべての $x\in B_{2R}$ について $Lu(x)=f(x)$ を満たすならば、すべての $x,y\in B_R$ について

|u(x)-u(y)|\leq C\Bigl(\frac{|x-y|}R\Bigr)^{\alpha}\Bigl(\sup_{B_{2R}}|u|+R\|f\|_{L^n(B_{2R})}\Bigr)

である。

証明. $C_H$ を定理 2.3の $\beta=\gamma=1$ に対する定数とし、 $\theta=C_H/(C_H+1)$ 、 $\alpha=\log_2\bigl(1+1/(2C_H)\bigr)$ とおく。 $C_H\geq1$ であるから、 $1/2\leq\theta<1$ 、 $0<\alpha\leq\log_2(3/2)<1$ 、 $2^\alpha\theta=(2C_H+1)/(2C_H+2)<1$ であり、 $\theta$ と $\alpha$ は $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存する。 $S=\sup_{B_{2R}}|u|$ 、 $\omega_n=|B_1(0)|$ 、 $r_1=R\min\{1/2,1/\beta,\gamma^{-1/2}\}$ とおく。ここで $\beta=0$ または $\gamma=0$ のときは対応する項を除く。

$y\in B_R$ とする。 $2r_1\leq R$ であるから $B_{2r_1}(y)\subseteq B_{2R}$ であり、 $0<r\leq2r_1$ に対して $\omega(r)=\sup_{B_r(y)}u-\inf_{B_r(y)}u$ とおくと、 $\omega$ は $(0,2r_1]$ 上の単調非減少な関数であって $0\leq\omega\leq2S$ を満たす。 $0<r\leq r_1$ とする。 $B_{2r}(y)\subseteq B_{2R}$ であり、 $r\|b\|_{L^\infty}\leq r_1\beta/R\leq1$ 、 $r^2\|c\|_{L^\infty}\leq1$ である。 $M_2=\sup_{B_{2r}(y)}u$ 、 $m_2=\inf_{B_{2r}(y)}u$ 、 $M_1=\sup_{B_r(y)}u$ 、 $m_1=\inf_{B_r(y)}u$ とおく。 $M_2-u$ と $u-m_2$ は $B_{2r}(y)$ 上で非負であり、ほとんどすべての点で $L(M_2-u)=cM_2-f$ 、 $L(u-m_2)=f-cm_2$ を満たす。 $|M_2|,|m_2|\leq S$ であるから、

G=r\|f\|_{L^n(B_{2R})}+2\omega_n^{1/n}r^2\|c\|_{L^\infty(B_{2R})}S

とおくと、両者の右辺の $L^n(B_{2r}(y))$ ノルムの $r$ 倍は $G$ 以下である。定理 2.3を $B_{2r}(y)$ 上の $M_2-u$ と $u-m_2$ に適用すると

M_2-m_1\leq C_H(M_2-M_1+G),\qquad M_1-m_2\leq C_H(m_1-m_2+G)

である。二式を加えると $(1+C_H)\omega(r)\leq(C_H-1)\omega(2r)+2C_HG$ であり、 $\omega(2r)\geq0$ により $\omega(r)\leq\theta\omega(2r)+2G$ である。 $r\leq R$ により $G\leq(r/R)K_0$ 、 $K_0=R\|f\|_{L^n(B_{2R})}+2\omega_n^{1/n}\gamma S$ であるから、 $0<r\leq r_1$ について $\omega(r)\leq\theta\omega(2r)+(2K_0/R)r$ が成り立つ。

$0<\alpha\leq1$ と $2^\alpha\theta<1$ により、§E15.40 補題 3.3を、その補題の関数 $\varepsilon$ と $\theta,A,\gamma,\rho_0$ をそれぞれ $\omega$ と $\theta$ 、 $2K_0/R$ 、 $1$ 、 $2r_1$ として、指数 $\alpha$ に適用することができる。 $C_\alpha=2^\alpha\max\{1,(1-2^\alpha\theta)^{-1}\}$ とおくと、 $C_\alpha\geq1$ は $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存し、 $\omega(2r_1)\leq2S$ と $r_1\leq R/2$ により、 $0<r\leq2r_1$ について

\omega(r)\leq C_\alpha\Bigl(\frac r{2r_1}\Bigr)^\alpha\Bigl(\omega(2r_1)+\frac{4K_0r_1}R\Bigr)\leq C_\alpha\Bigl(\frac r{2r_1}\Bigr)^\alpha D,\qquad D=2S+2K_0

である。

$x,y\in B_R$ とする。 $0<|x-y|<2r_1$ ならば、 $|x-y|<r\leq2r_1$ を満たす任意の $r$ について $x\in B_r(y)$ であるから、 $|u(x)-u(y)|\leq\omega(r)\leq C_\alpha(r/(2r_1))^\alpha D$ であり、 $r\downarrow|x-y|$ とすると $|u(x)-u(y)|\leq C_\alpha(|x-y|/(2r_1))^\alpha D$ を得る。 $|x-y|\geq2r_1$ ならば $|u(x)-u(y)|\leq2S\leq C_\alpha(|x-y|/(2r_1))^\alpha D$ である。 $R/(2r_1)=\max\{1,\beta/2,\gamma^{1/2}/2\}$ と $0<\alpha\leq1$ により、

|u(x)-u(y)|\leq C_\alpha\max\Bigl\{1,\frac\beta2,\frac{\gamma^{1/2}}2\Bigr\}\Bigl(\frac{|x-y|}R\Bigr)^\alpha D

であり、 $D\leq2(1+2\omega_n^{1/n}\gamma)\bigl(S+R\|f\|_{L^n(B_{2R})}\bigr)$ であるから、主張を得る。▨

定義 3.2. $n\geq1$ を整数とし、 $n$ 次実対称行列全体の集合を $\mathcal S^n$ と書く。 $A,N\in\mathcal S^n$ に対して $A:N=\operatorname{tr}(AN)=\sum_{i,j}A^{ij}N_{ij}$ とおき、 $N\in\mathcal S^n$ が正半定値であることを $N\geq0$ と書く。 $0<\lambda\leq\Lambda$ とする。関数 $F:\mathcal S^n\to\R$ が、 $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型 (uniformly elliptic) であるとは、すべての $M\in\mathcal S^n$ と $N\geq0$ を満たすすべての $N\in\mathcal S^n$ について

\lambda\operatorname{tr}N\leq F(M+N)-F(M)\leq\Lambda\operatorname{tr}N

が成り立つことをいう。

注意 3.3. $\operatorname{tr}N$ の代わりに作用素ノルム $\|N\|$ を用いて、 $N\geq0$ を満たすすべての $M,N\in\mathcal S^n$ について $\lambda\|N\|\leq F(M+N)-F(M)\leq\Lambda\|N\|$ が成り立つことを一様楕円性とよぶ流儀もある。 $N\geq0$ の固有値を $\nu_1,\ldots,\nu_n\geq0$ とすると、 $\|N\|=\max_k\nu_k\leq\sum_k\nu_k=\operatorname{tr}N\leq n\|N\|$ である。したがって、 $\|N\|$ による条件を $\lambda,\Lambda$ について満たす $F$ は定義 3.2の意味で $\lambda/n,\Lambda$ について一様楕円型であり、定義 3.2の意味で $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型である $F$ は $\|N\|$ による条件を $\lambda,n\Lambda$ について満たす。

命題 3.4. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とする。このとき、次の二つが成り立つ。

$U\subseteq\R^n$ を開集合とし、 $\mathcal O\subseteq\mathcal S^n\times U$ を、各 $x\in U$ について切り口 $\mathcal O_x=\{M\in\mathcal S^n:(M,x)\in\mathcal O\}$ が凸であるような開集合とする。 $F\in C^1(\mathcal O)$ とし、 $(M,x)\in\mathcal O$ と $N\in\mathcal S^n$ に対して $D_MF(M,x)[N]=\frac{d}{dt}F(M+tN,x)\big|_{t=0}$ とおく。このとき、各 $(M,x)\in\mathcal O$ に対して、すべての $N\in\mathcal S^n$ について $D_MF(M,x)[N]=a(M,x):N$ を満たす $a(M,x)\in\mathcal S^n$ が一意に存在する。さらに、すべての $x\in U$ と、 $M\in\mathcal O_x$ 、 $M+N\in\mathcal O_x$ 、 $N\geq0$ を満たすすべての $M,N\in\mathcal S^n$ について $\lambda\operatorname{tr}N\leq F(M+N,x)-F(M,x)\leq\Lambda\operatorname{tr}N$ が成り立つことは、すべての $(M,x)\in\mathcal O$ について $\lambda I\leq a(M,x)\leq\Lambda I$ が成り立つための必要十分条件である。
$F\in C^1(\mathcal S^n)$ とする。このとき、各 $M\in\mathcal S^n$ に対して、すべての $N\in\mathcal S^n$ について $DF(M)[N]=a(M):N$ を満たす $a(M)\in\mathcal S^n$ が一意に存在する。さらに、 $F$ が $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型であることは、すべての $M\in\mathcal S^n$ について $\lambda I\leq a(M)\leq\Lambda I$ が成り立つための必要十分条件である。

証明.主張 (1)を示す。 $\mathcal S^n$ 上の双線形形式 $(A,N)\mapsto A:N$ は対称であり、 $A:A=\sum_{i,j}(A^{ij})^2$ であるから内積である。 $F\in C^1(\mathcal O)$ であるから、 $N\mapsto D_MF(M,x)[N]$ は $F$ の $(M,x)$ における微分を $\mathcal S^n\times\{0\}$ へ制限した線形汎関数である。 $\mathcal S^n$ は有限次元であるから、この線形汎関数を表す $a(M,x)\in\mathcal S^n$ が一意に存在する。また、 $\lambda I\leq A\leq\Lambda I$ を満たす $A\in\mathcal S^n$ と $N\geq0$ について、 $N=\sum_k\nu_ke_ke_k^{\mathsf T}$ を正規直交固有ベクトルによる分解とすると $\nu_k\geq0$ であり、 $A:N=\sum_k\nu_k\,e_k\cdot Ae_k$ は $\lambda\operatorname{tr}N$ 以上 $\Lambda\operatorname{tr}N$ 以下である。

必要性を示す。すべての $(M,x)\in\mathcal O$ について $\lambda I\leq a(M,x)\leq\Lambda I$ が成り立つとする。 $x\in U$ とし、 $M,N\in\mathcal S^n$ が $M\in\mathcal O_x$ 、 $M+N\in\mathcal O_x$ 、 $N\geq0$ を満たすとする。 $\mathcal O_x$ は凸であるから、 $s\in[0,1]$ について $M+sN\in\mathcal O_x$ である。 $F\in C^1(\mathcal O)$ であるから、 $s\mapsto F(M+sN,x)$ は $[0,1]$ 上で連続微分可能であり、その導関数は $a(M+sN,x):N$ である。したがって

F(M+N,x)-F(M,x)=\int_0^1a(M+sN,x):N\,ds

であり、被積分関数は $\lambda\operatorname{tr}N$ 以上 $\Lambda\operatorname{tr}N$ 以下であるから、 $\lambda\operatorname{tr}N\leq F(M+N,x)-F(M,x)\leq\Lambda\operatorname{tr}N$ を得る。

十分性を示す。 $\lambda\operatorname{tr}N\leq F(M+N,x)-F(M,x)\leq\Lambda\operatorname{tr}N$ が主張の範囲のすべての $x,M,N$ について成り立つとする。 $(M,x)\in\mathcal O$ 、 $\xi\in\R^n$ とし、 $N=\xi\xi^{\mathsf T}$ とおくと、 $N\geq0$ 、 $\operatorname{tr}N=|\xi|^2$ 、 $a(M,x):N=\xi\cdot a(M,x)\xi$ である。 $\mathcal O_x$ は $\mathcal S^n$ の開集合であるから、ある $t_0>0$ が存在して、 $0<t<t_0$ について $M+tN\in\mathcal O_x$ であり、 $\lambda t|\xi|^2\leq F(M+tN,x)-F(M,x)\leq\Lambda t|\xi|^2$ である。 $t$ で割って $t\downarrow0$ とすると $\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot a(M,x)\xi\leq\Lambda|\xi|^2$ を得る。

主張 (2)を示す。 $U=\R^n$ 、 $\mathcal O=\mathcal S^n\times\R^n$ とし、 $(M,x)\in\mathcal O$ に対して $\tilde F(M,x)=F(M)$ とおく。 $\mathcal O$ は開集合であり、各切り口 $\mathcal O_x=\mathcal S^n$ は凸であり、 $\tilde F\in C^1(\mathcal O)$ 、 $D_M\tilde F(M,x)[N]=DF(M)[N]$ である。主張 (1)を $\tilde F$ に適用すると、各 $M\in\mathcal S^n$ に対して $a(M)=a(M,0)$ は $DF(M)[N]=a(M):N$ をすべての $N\in\mathcal S^n$ について満たす唯一の行列であり、すべての $x\in\R^n$ について $a(M,x)=a(M)$ である。 $\mathcal O_x=\mathcal S^n$ であるから、主張 (1)の $\tilde F$ についての不等式の条件は、 $F$ が $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型であることと一致する。したがって、 $F$ が $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型であることは、すべての $M\in\mathcal S^n$ について $\lambda I\leq a(M)\leq\Lambda I$ が成り立つための必要十分条件である。▨

注意 3.5. $M$ の成分 $(M_{ij})_{i\leq j}$ を独立な座標として $F$ を偏微分すると、 $i<j$ については $N=E_{ij}+E_{ji}$ の方向の微分になるので $\partial F/\partial M_{ij}=2a^{ij}(M)$ であり、 $\partial F/\partial M_{ii}=a^{ii}(M)$ である。ここで $E_{ij}$ は $(i,j)$ 成分だけが $1$ である行列である。したがって、命題 3.4 (2)の条件 $\lambda I\leq a(M)\leq\Lambda I$ は、 $(i,j)$ 成分に偏微分 $\partial F/\partial M_{ij}$ （ $i\leq j$ ）を対称に並べた行列についての条件ではなく、その非対角成分を $1/2$ 倍し対角成分を保った行列 $a(M)$ についての条件である。

系 3.6. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とし、 $\alpha$ を系 3.1の指数とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。

$F\in C^1(\mathcal S^n)$ は $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型であるとし、 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ 、 $B_\rho=B_\rho(x_0)$ とする。連続関数 $w$ と集合 $E$ に対して $[w]_{\alpha;E}=\sup\{|w(x)-w(y)|/|x-y|^\alpha:x,y\in E,\ x\neq y\}$ と書く。 $u\in C^2(B_{2R})$ が $B_{2R}$ 上で有界であり、すべての $x\in B_{2R}$ について $F(D^2u(x))=0$ を満たすならば、

R\sup_{B_R}|Du|+R^{1+\alpha}\sum_{i=1}^n[D_iu]_{\alpha;B_R}\leq C\sup_{B_{2R}}|u|

である。

証明. $F_R(N)=R^2F(R^{-2}N)$ 、 $\tilde u(y)=u(x_0+Ry)$ とおく。 $F_R(M+N)-F_R(M)=R^2(F(R^{-2}M+R^{-2}N)-F(R^{-2}M))$ であるから、 $F_R\in C^1(\mathcal S^n)$ は $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型である。 $\tilde u\in C^2(B_2(0))$ は $F_R(D^2\tilde u)=R^2F(D^2u(x_0+R\,\cdot))=0$ を満たし、 $\sup_{B_2(0)}|\tilde u|=\sup_{B_{2R}}|u|$ 、 $\sup_{B_1(0)}|D\tilde u|=R\sup_{B_R}|Du|$ 、 $[D_i\tilde u]_{\alpha;B_1(0)}=R^{1+\alpha}[D_iu]_{\alpha;B_R}$ である。したがって $x_0=0$ 、 $R=1$ の場合に示せばよい。以下では $x_0=0$ 、 $R=1$ とし、 $B_\rho=B_\rho(0)$ 、 $S=\sup_{B_2}|u|$ 、 $1\leq s<2$ に対して $\Phi(s)=\sup_{B_s}|Du|$ とおく。 $\overline{B_s}\subseteq B_2$ であるから $\Phi(s)<\infty$ である。 $C_0$ を系 3.1の $\beta=\gamma=0$ に対する定数とし、 $a(M)$ を命題 3.4 (2)の行列とする。

主張 3.6.1. $z\in\R^n$ 、 $r>0$ が $\overline{B_{3r}(z)}\subseteq B_2$ を満たすならば、すべての $x,y\in B_r(z)$ と $i$ について

|D_iu(x)-D_iu(y)|\leq C_0\Bigl(\frac{|x-y|}r\Bigr)^\alpha\sup_{B_{3r}(z)}|Du|

である。

証明. $0<|h|<r$ とし、 $x\in B_{2r}(z)$ に対して $v_h(x)=(u(x+he_i)-u(x))/h$ とおく。 $x+he_i\in B_{3r}(z)$ であるから $v_h\in C^2(B_{2r}(z))$ であり、平均値の定理により $\sup_{B_{2r}(z)}|v_h|\leq\sup_{B_{3r}(z)}|Du|<\infty$ である。 $x\in B_{2r}(z)$ に対して $X_s=D^2u(x)+s(D^2u(x+he_i)-D^2u(x))$ とおくと、 $F(D^2u(x+he_i))=F(D^2u(x))=0$ であるから

0=\int_0^1DF(X_s)[D^2u(x+he_i)-D^2u(x)]\,ds=h\,a_h(x):D^2v_h(x),\qquad a_h(x)=\int_0^1a(X_s)\,ds

である。 $F\in C^1$ であるから $a$ は連続であり、 $a_h$ は $B_{2r}(z)$ 上の連続な実対称行列値関数であり、命題 3.4 (2)により $\lambda I\leq a_h\leq\Lambda I$ である。系 3.1を $B_{2r}(z)$ 、係数 $a_h$ 、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ 、 $\beta=\gamma=0$ に適用すると、 $x,y\in B_r(z)$ について $|v_h(x)-v_h(y)|\leq C_0(|x-y|/r)^\alpha\sup_{B_{3r}(z)}|Du|$ である。 $h\to0$ とすると $v_h\to D_iu$ が各点で成り立つので、主張を得る。▨

$C_2=\max\{C_0,2\}$ 、 $\varepsilon_1=\min\{1/2,1/(8nC_2)\}$ とし、 $C_{\varepsilon_1}$ を、§E15.35 定理 2.3で $\Omega=B_1(0)$ とし、その定理の $j,\beta,k,\alpha,\varepsilon$ をそれぞれ $1,0,1,\alpha,\varepsilon_1$ としたときの定数とする。 $C_{\varepsilon_1}$ は $n,\lambda,\Lambda$ だけに依存する。

主張 3.6.2. $z\in\R^n$ 、 $r>0$ が $B_{4r}(z)\subseteq B_{7/4}$ を満たすならば、 $\sup_{B_r(z)}|Du|\leq\frac14\sup_{B_{4r}(z)}|Du|+2C_{\varepsilon_1}S/r$ である。

証明. $x,y\in B_r(z)$ とする。 $|x-y|<r$ ならば $B_{3r}(x)\subseteq B_{4r}(z)$ であり、 $\overline{B_{3r}(x)}\subseteq\overline{B_{7/4}}\subseteq B_2$ であるから、主張 3.6.1を中心 $x$ 、半径 $r$ に適用して $|D_iu(x)-D_iu(y)|\leq C_0(|x-y|/r)^\alpha\sup_{B_{4r}(z)}|Du|$ を得る。 $|x-y|\geq r$ ならば $|D_iu(x)-D_iu(y)|\leq2(|x-y|/r)^\alpha\sup_{B_{4r}(z)}|Du|$ である。したがって $r^\alpha[D_iu]_{\alpha;B_r(z)}\leq C_2\sup_{B_{4r}(z)}|Du|$ である。

$y\in\overline{B_1(0)}$ に対して $w(y)=u(z+ry)$ とおく。 $u$ は $\overline{B_r(z)}$ の近傍で $C^2$ 級であるから $w\in C^{1,\alpha}(\overline{B_1(0)})$ である。 $u$ と $D_iu$ は $\overline{B_r(z)}$ 上で連続であるから、 $\overline{B_r(z)}$ 上の上限と半ノルムは $B_r(z)$ 上のものに等しい。§E15.35 定理 2.3とノルムの定義により

\sup|w|+\sum_i\sup|D_iw|\leq\varepsilon_1\Bigl(\sup|w|+\sum_i\sup|D_iw|+\sum_i[D_iw]_{\alpha}\Bigr)+C_{\varepsilon_1}\sup|w|

であり、 $\varepsilon_1\leq1/2$ により $\sum_i\sup|D_iw|\leq2\varepsilon_1\sum_i[D_iw]_\alpha+2C_{\varepsilon_1}\sup|w|$ である。 $D_iw(y)=rD_iu(z+ry)$ 、 $[D_iw]_{\alpha;B_1(0)}=r^{1+\alpha}[D_iu]_{\alpha;B_r(z)}$ 、 $\sup|w|\leq S$ を代入すると

r\sup_{B_r(z)}|Du|\leq r\sum_i\sup_{B_r(z)}|D_iu|\leq2n\varepsilon_1C_2\,r\sup_{B_{4r}(z)}|Du|+2C_{\varepsilon_1}S

である。 $2n\varepsilon_1C_2\leq1/4$ であるから、 $r$ で割ればよい。▨

$1\leq s<t\leq7/4$ とし、 $r=(t-s)/4$ とおく。 $z\in B_s$ ならば $B_{4r}(z)\subseteq B_t$ であるから、主張 3.6.2により

\Phi(s)\leq\frac14\Phi(t)+\frac{8C_{\varepsilon_1}S}{t-s}

である。 $\Phi$ は単調非減少であり $\Phi(7/4)<\infty$ であるから、 $[1,7/4]$ 上の非負の有界関数である。§E15.35 補題 4.2を、その補題の $\Theta,s_0,t_0,\theta,q,P,Q$ をそれぞれ $[1,7/4]$ 上の $\Phi$ と $1$ 、 $7/4$ 、 $1/4$ 、 $1$ 、 $8C_{\varepsilon_1}S$ 、 $0$ として適用し、 $s=3/2$ 、 $t=7/4$ とする。その補題の $\theta=1/4$ 、 $q=1$ に対する定数を $C_A$ とすると、 $C_A$ は数値の定数であり、 $\Phi(3/2)\leq C_A\cdot8C_{\varepsilon_1}S\cdot(1/4)^{-1}=32C_AC_{\varepsilon_1}S$ を得る。

$x,y\in B_1$ とする。 $|x-y|<1/8$ ならば、主張 3.6.1を $z=x$ 、 $r=1/8$ に適用すると、 $B_{3/8}(x)\subseteq B_{3/2}$ により $|D_iu(x)-D_iu(y)|\leq C_08^\alpha|x-y|^\alpha\Phi(3/2)$ である。 $|x-y|\geq1/8$ ならば $|D_iu(x)-D_iu(y)|\leq2\Phi(1)\leq2\cdot8^\alpha|x-y|^\alpha\Phi(3/2)$ である。したがって $[D_iu]_{\alpha;B_1}\leq8C_2\Phi(3/2)$ であり、

\sup_{B_1}|Du|+\sum_{i=1}^n[D_iu]_{\alpha;B_1}\leq(1+8nC_2)\Phi(3/2)\leq32C_A(1+8nC_2)C_{\varepsilon_1}S

である。 $C=32C_A(1+8nC_2)C_{\varepsilon_1}$ とおけばよい。▨

例 4.1. $n\geq2$ 、 $0<\epsilon<1$ とし、 $a_\epsilon=\operatorname{diag}(\epsilon,1,\ldots,1)$ 、 $u_\epsilon(x)=e^{x_1/\sqrt\epsilon}\cos x_2$ とおく。このとき、 $u_\epsilon$ は $\R^n$ 上の滑らかな関数であり、 $D_{11}u_\epsilon=u_\epsilon/\epsilon$ 、 $D_{22}u_\epsilon=-u_\epsilon$ であるから $a_\epsilon^{ij}D_{ij}u_\epsilon=0$ を満たす。 $B_1(0)$ の点では $|x_2|<1<\pi/2$ であるから $u_\epsilon>0$ である。 $0<t<1/2$ について $\pm te_1\in B_{1/2}(0)$ であり、 $u_\epsilon(te_1)=e^{t/\sqrt\epsilon}$ 、 $u_\epsilon(-te_1)=e^{-t/\sqrt\epsilon}$ であるから、

\sup_{B_{1/2}(0)}u_\epsilon\geq e^{1/(2\sqrt\epsilon)},\qquad\inf_{B_{1/2}(0)}u_\epsilon\leq e^{-1/(2\sqrt\epsilon)}

である。係数 $a_\epsilon$ 、 $b=0$ 、 $c=0$ は $\lambda=\epsilon$ 、 $\Lambda=1$ として定理 2.3の仮定を $R=1/2$ 、 $\beta=\gamma=0$ で満たし、 $f=0$ である。したがって、 $\lambda=\epsilon$ 、 $\Lambda=1$ 、 $\beta=\gamma=0$ に対する定理 2.3の定数 $C_H$ は $e^{1/\sqrt\epsilon}=e^{\sqrt{\Lambda/\lambda}}$ 以上である。楕円率 $\Lambda/\lambda$ を一つの値で抑える仮定を外すと、非負解の上限と下限の比を一様に抑えることはできない。

例 4.2. $n\geq2$ 、 $R>0$ とし、 $u$ を $B_{2R}(0)$ 上の非負の調和関数とする。このとき、 $a=I$ 、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ として定理 2.3を適用すると、 $n$ だけに依存する定数 $C_H$ について $\sup_{B_R(0)}u\leq C_H\inf_{B_R(0)}u$ が成り立つ。§E15.30 定理 2.1を半径 $2R$ と $r=R$ に適用すると、同じ不等式が定数 $3^n$ で成り立つ。

定数 $3^n$ はこれより小さくすることができない。 $\xi=2Re_1$ とし、 $x\in B_{2R}(0)$ に対して $v(x)=(4R^2-|x|^2)|x-\xi|^{-n}$ とおく。 $|\xi|=2R$ であるから $B_{2R}(0)$ 上で $x\neq\xi$ であり、 $v$ は $B_{2R}(0)$ 上の正の滑らかな関数である。 $y=x-\xi$ と書くと、 $D_{ij}|y|^{-n}=n|y|^{-n-2}\bigl((n+2)y_iy_j/|y|^2-\delta_{ij}\bigr)$ により $\Delta|y|^{-n}=2n|y|^{-n-2}$ であり、 $D|y|^{-n}=-n|y|^{-n-2}y$ 、 $D(4R^2-|x|^2)=-2x$ 、 $\Delta(4R^2-|x|^2)=-2n$ であるから、

\Delta v=2n|y|^{-n-2}\bigl(4R^2-|x|^2+2x\cdot y-|y|^2\bigr)=2n|y|^{-n-2}\bigl(4R^2-|x-y|^2\bigr)=2n|y|^{-n-2}\bigl(4R^2-|\xi|^2\bigr)=0

である。 $0<t<R$ について $\pm te_1\in B_R(0)$ であり、 $v(te_1)=(2R+t)(2R-t)^{1-n}$ 、 $v(-te_1)=(2R-t)(2R+t)^{1-n}$ であるから、

\sup_{B_R(0)}v\geq v(te_1)=\Bigl(\frac{2R+t}{2R-t}\Bigr)^nv(-te_1)\geq\Bigl(\frac{2R+t}{2R-t}\Bigr)^n\inf_{B_R(0)}v

である。 $t\uparrow R$ とすると $\sup_{B_R(0)}v\geq3^n\inf_{B_R(0)}v$ を得る。 $v$ は $\overline{B_R(0)}$ 上で連続かつ正であるから $\inf_{B_R(0)}v>0$ であり、 $3^n$ より小さい定数 $c$ について $\sup_{B_R(0)}v\leq c\inf_{B_R(0)}v$ は成り立たない。特に、 $\lambda=\Lambda=1$ 、 $\beta=\gamma=0$ に対する定理 2.3の定数 $C_H$ は $3^n$ 以上である。

例 4.3. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda<\Lambda$ とし、 $s\in\R$ に対して $\psi(s)=\frac{\lambda+\Lambda}2s+\frac{\Lambda-\lambda}2\sin s$ とおく。 $F:\mathcal S^n\to\R$ を $F(M)=\sum_{i=1}^n\psi(M_{ii})$ と定める。このとき、 $F\in C^1(\mathcal S^n)$ であり、 $M,N\in\mathcal S^n$ について $DF(M)[N]=\sum_{i=1}^n\psi'(M_{ii})N_{ii}$ であるから、命題 3.4 (2)の行列は $a(M)=\operatorname{diag}(\psi'(M_{11}),\ldots,\psi'(M_{nn}))$ である。 $\psi'(s)=\frac{\lambda+\Lambda}2+\frac{\Lambda-\lambda}2\cos s$ は $\lambda$ 以上 $\Lambda$ 以下であるから、すべての $M\in\mathcal S^n$ について $\lambda I\leq a(M)\leq\Lambda I$ であり、命題 3.4 (2)により $F$ は $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型である。

$\psi'(0)=\Lambda$ 、 $\psi'(\pi)=\lambda$ であるから、 $a(0)=\Lambda I$ 、 $a(\pi I)=\lambda I$ である。したがって、 $0<\lambda'\leq\Lambda'$ を満たす $\lambda',\Lambda'$ について $F$ が一様楕円型であれば、命題 3.4 (2)により $\lambda'\leq\lambda$ と $\Lambda\leq\Lambda'$ が成り立つ。 $E_{11}$ を $(1,1)$ 成分だけが $1$ である行列とすると、 $\psi(0)=0$ であるから、 $t\in\R$ について $F(tE_{11})=\psi(t)$ である。 $\psi''(s)=-\frac{\Lambda-\lambda}2\sin s$ は $s=\pi/2$ で負、 $s=-\pi/2$ で正であるから、 $\psi$ は凹でも凸でもなく、 $F$ も凹でも凸でもない。 $F$ は $C^1$ 級で $\lambda,\Lambda$ について一様楕円型であるから、凹でも凸でもないこの $F$ についても、 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ と、 $F(D^2u)=0$ を $B_{2R}(x_0)$ 上で満たす有界な $u\in C^2(B_{2R}(x_0))$ に系 3.6を適用することができる。

問題 5.1. $\Omega\subseteq\R^n$ を連結な開集合、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とし、 $a=(a^{ij})$ を $\Omega$ 上の実対称行列値可測関数で $\lambda I\leq a\leq\Lambda I$ を満たすもの、 $b=(b^i)$ 、 $c$ を $\Omega$ 上の有界可測関数とする。 $c$ の符号は仮定しない。 $u\in C^2(\Omega)$ が $\Omega$ 上で $u\geq0$ を満たし、ほとんどすべての $x\in\Omega$ について $a^{ij}D_{ij}u+b^iD_iu+cu\leq0$ を満たすとする。ある $x_1\in\Omega$ で $u(x_1)=0$ ならば $\Omega$ 上で $u=0$ であることを示せ。

問題 5.2. $\Omega\subseteq\R^n$ を連結な開集合、 $K\subseteq\Omega$ を空でないコンパクト集合、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\beta_1,\gamma_0\geq0$ とする。 $\Omega$ 上の実対称行列値可測関数 $a$ で $\lambda I\leq a\leq\Lambda I$ を満たすもの、 $\Omega$ 上の可測関数 $b,c$ で $\|b\|_{L^\infty(\Omega)}\leq\beta_1$ 、 $\|c\|_{L^\infty(\Omega)}\leq\gamma_0$ を満たすもの、および $u\in C^2(\Omega)$ で $\Omega$ 上 $u\geq0$ かつほとんどすべての点で $a^{ij}D_{ij}u+b^iD_iu+cu=0$ を満たすものの組全体を $\mathcal A$ とする。 $n,\lambda,\Lambda,\beta_1,\gamma_0,K,\Omega$ だけに依存する定数 $C$ が存在して、 $\mathcal A$ のすべての組について $\sup_Ku\leq C\inf_Ku$ が成り立つことを示せ。

§E15.42Krylov–Safonov の Harnack 不等式

1 水準集合の測度の減衰

2 弱 Harnack 不等式・局所最大値原理と Harnack 不等式

3 内部 Hölder 評価と完全非線形方程式

4 楕円性定数に関する例

5 演習

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