§E15.29Poisson 方程式と Newton ポテンシャル

証明. 任意の有界集合$U\subset\R^n$に対し、$x\in U$と$y\in\supp f$の差をすべて含む球$B_M$をとる。$\Phi_n\mathbf1_{B_M}\in L^1$なので、§E14.7 定理 2.2を$|\Phi_n|\mathbf1_{B_M}$と$|f|$に適用すると、定義の積分は$U$のほとんど至る所で絶対収束し、$Nf\in L^2(U)$となる。$f$はコンパクト台の超関数でもあるから、§E15.6 定理 2.2と§E15.6 命題 1.2により$-\Delta Nf=f$である。§E15.21 定理 2.2を次数$2$、$s=0$で用いると$Nf\in H^2_{\mathrm{loc}}$を得る。

$f\in C_c^\infty$ならば、畳み込みの微分を$f$に移すことにより$\partial^\alpha Nf=\Phi_n*(\partial^\alpha f)$となり、§E15.6 命題 1.2により$Nf$は滑らかである。$\supp f\subset B_R$とし、$|x|>2R$とする。$n\geq3$では$|x-y|\geq|x|/2$なので

$n=2$では、$|y|\leq R$に関して一様に

である。両辺に$f(y)$を掛けて積分すると、二次元の展開を得る。▨

証明.$\nabla\chi_y$と$\Delta\chi_y$は$y$の近傍で零なので、$\rho_y\in C_c^\infty(\Omega;\R)$である。§E15.8 定理 5.4により、$H^1_0(\Omega)$上の形式

は強圧的である。内積と形式は第一変数について線形とし、外力は$v\mapsto\int\rho_y\overline v$という反線形汎関数として扱う。§E15.16 定理 2.2により$v_y$が一意に存在する。係数と外力が実数値なので、共役をとった方程式の一意性により$v_y$は実数値である。

基本解の等式§E15.6 定理 2.2に積の微分を適用すると

したがって定義した$K$は二条件を満たす。同じ切断に対して二条件を満たす二つの超関数の差は、$H^1_0(\Omega)$に属する調和関数である。その弱方程式に差自身を代入すると勾配が零となり、Poincaré 不等式により差は零である。二つの切断$\chi_y,\widetilde\chi_y$の差と$\Phi_n(\cdot-y)$との積は$C_c^\infty(\Omega)$に属するので、切断を替えても同じ一意性を適用することができる。

$w_y=(1-\chi_y)\Phi_n(\cdot-y)$は$\overline\Omega$の近傍で滑らかであり、$-\Delta w_y=\rho_y$である。したがって$h_y=w_y-v_y\in H^1(\Omega)$は調和的であり、§E15.21 定理 2.2により内部で滑らかである。

$y_0\in\Omega$を固定し、$y_0$のある近傍$V\Subset\Omega$全体で$1$となる切断$\chi$を一つ選ぶ。$y\in V$に対してこの切断を用いると、$y\mapsto\rho_y$は各整数$k\geq0$について$H^k(\Omega)$のノルムで連続である。実際、$\chi$の微分の台と$V$を正の距離だけ離して選べば、$\rho_y$の各微分は共通のコンパクト台上で$y$に関して一様に連続となる。解写像の評価から

内部の球$U\Subset U'\Subset\Omega$において、§E15.22 定理 3.1を差の方程式へ適用すると

$k+2>n/2$とし、滑らかな球上の埋め込み§E15.10 系 4.2を用いると、$y\mapsto v_y$は$C(\overline U)$のノルムで連続となる。$w_y(x)$は$(x,y)\in U\times V$の滑らかな関数なので、$h_y(x)=w_y(x)-v_y(x)$は同時に連続である。$x$と$y_0$は任意であったから、$h$の連続性と$K$の対角線外での連続性を得る。▨

証明.$y\in\Omega$を固定する。$h_y$は$y$の近傍で有界であり、$\Phi_n(x-y)\to+\infty$であるから、十分小さい$\varepsilon>0$について$K(x,y)>0$が$|x-y|=\varepsilon$上で成り立つ。$\Omega\setminus\overline{B(y,\varepsilon)}$上の$K(\cdot,y)$は$H^1$に属する調和関数であり、外側の境界のトレースは零である。内側の境界のトレースは非負なので、§E15.18 定理 3.1を$-K(\cdot,y)$に適用すると$K(\cdot,y)\geq0$を得る。内部の連続性により、不等式は$\Omega\setminus\overline{B(y,\varepsilon)}$の各点で成り立つ。$\varepsilon$を任意に小さくすると、すべての$x\in\Omega\setminus\{y\}$について$K(x,y)\geq0$を得る。

$n\geq3$ならば、$h_y$の境界トレースは$\Phi_n(\cdot-y)\geq0$である。§E15.18 定理 3.1を$-h_y$に適用すると$h_y\geq0$となり、$K=\Phi_n-h_y\leq\Phi_n$を得る。▨

証明.§E15.8 定理 5.4と§E15.16 定理 2.2により、各$f\in L^2$に対して$a(u,v)=(f,v)_{L^2}$を満たす$u\in H^1_0$が一意に存在する。§E15.16 定理 3.1により$A_D$は自己共役であり、その逆$G$は有界な自己共役作用素である。$\ker A_D=\{0\}$なので、$G$は§E15.17 定理 3.1の Green 作用素に一致する。

実関数$f\in C_c^\infty(\Omega)$に対して$u=Gf$とおくと、§E15.21 定理 2.2により$u$は内部で滑らかである。$q_y=\chi_y\Phi_n(\cdot-y)$とおき、$\supp\chi_y$の近傍で$1$となる$\eta\in C_c^\infty(\Omega)$をとる。$-\Delta q_y=\delta_y-\rho_y$を試験関数$\eta u$に適用すると

一方、$u,v_y\in H^1_0(\Omega)$の弱方程式に互いを代入すると

二式を加え、$K(\cdot,y)=q_y+v_y$を代入すると結論を得る。▨

証明.$0\leq\psi_j\leq1$、$\psi_j\in C_c^\infty(\Omega)$を、各点で十分大きい$j$に対して$\psi_j=1$となるように選び、$f_m=1-\prod_{j=1}^m(1-\psi_j)$とおく。このとき$f_m\in C_c^\infty(\Omega)$、$0\leq f_m\uparrow1$である。$B(x)=(R^2-|x-x_0|^2)/(2n)$とおくと$-\Delta B=1$であり、$B>0$が$\overline\Omega$上で成り立つ。§E15.18 定理 3.1を$-Gf_m$と$Gf_m-B$に適用すると

となる。各関数の内部での連続性により、不等式は各点で成立する。補題 3.1と$K\geq0$より、単調収束定理を適用して

を得る。▨

証明.補題 3.2と$\Omega$の有界性から$K\in L^1(\Omega\times\Omega)$である。任意の実関数$f,g\in C_c^\infty(\Omega)$に対して、$K(x,y)f(x)g(y)$は絶対可積分なので、§E10.19 定理 3.2と補題 3.1により

中央の等式は$G$の自己共役性による。

$L(x,y)=K(x,y)-K(y,x)$とおく。任意の積試験関数との$L$の積分は零である。非負の$\rho\in C_c^\infty(B(0,1/2))$を$\int\rho=1$となるようにとり、$\rho_\varepsilon(z)=\varepsilon^{-n}\rho(z/\varepsilon)$とおく。$\R^{2n}$上で積型の平滑化核$\rho_\varepsilon(x)\rho_\varepsilon(y)$を用いると、$\Omega\times\Omega$の各内部点で、十分小さい$\varepsilon$に対する$L$の平滑化は零となる。§E15.2 定理 4.5により平滑化は超関数として$L$に収束するので、$L=0$が超関数として、したがってほとんど至る所で成り立つ。対角線外での連続性により、$K(x,y)=K(y,x)$は$x\ne y$のすべてで成り立つ。

対称性と補題 3.2から両側の積分上界を得る。§E10.22 定理 8.1により

は$L^2(\Omega;\C)$上の有界作用素を定める。補題 3.1と対称性により$T_Kf=Gf$が実数値の$C_c^\infty$上で成り立つ。複素線形性と$C_c^\infty(\Omega)$の$L^2$における稠密性から、すべての$f\in L^2$に対して等式が成り立つ。$\Omega$は有界なので$1\in L^2(\Omega)$であり、$f=1$を代入すると最後の等式を得る。▨

証明.$n\leq3$ならば、§E15.19 系 4.2と§E15.19 定理 4.1により、表示された級数は$L^2$核$K_2$に収束し、$G$を表す。$K-K_2\in L^1(\Omega\times\Omega)$であり、二つの核が同じ作用素を表すことから、$K-K_2$と任意の積試験関数との積分は零である。定理 3.3の証明と同じ積型の平滑化により$K=K_2$がほとんど至る所で成り立つ。

$n\geq4$で$K\in L^2$と仮定すると、§E12.10 定理 5.1により$G=T_K$は Hilbert–Schmidt 作用素となる。これは§E15.19 系 4.2に反する。▨

証明.$|y^*|=R^2/|y|>R$なので、表示式の補正項は球の閉包の近傍で滑らかである。動径関数の公式$\Delta F(|x|)=F''(|x|)+(n-1)F'(|x|)/|x|$を$F(r)=r^{2-n}$または$F(r)=\log r$に用いると、補正項は調和的である。$|x|=R$のとき

なので、両次元の表示式は境界上で零となる。$y=0$の補正項は定数であり、同じ境界条件を満たす。

任意の切断$\chi_y$に対して、表示式から$\chi_y\Phi_n(\cdot-y)$を引いた関数は閉球の近傍で滑らかであり、球面上で零となる。§E15.12 定理 3.3により、この差は$H^1_0(B_R)$に属する。定理 2.1の一意性により、表示式は$B_R$の Green 関数である。対称性は定理 3.3から従う。▨

証明.$y^*\notin\overline H$なので、$\Phi_n(x-y^*)$は$H$で滑らかかつ調和的である。基本解の等式から超関数の意味での方程式が従う。$x_n=0$ならば$|x-y|=|x-y^*|$なので境界値は零である。$x,y\in H$では

$\Phi_n$は半径に関して狭義単調減少であるから$G_H>0$となる。$|x-y^*|^2=|x'-y'|^2+(x_n+y_n)^2$は$x,y$について対称なので、$G_H$も対称である。▨

証明.$x\in B_R$を固定し、$|x|+\varepsilon<s<R$に対して$D_{s,\varepsilon}=B_s\setminus\overline{B(x,\varepsilon)}$とおく。この領域において$F=u\nabla_yG_R(x,\cdot)-G_R(x,\cdot)\nabla u$とおく。$u$と$G_R(x,\cdot)$は$D_{s,\varepsilon}$の閉包の近傍でそれぞれ$C^2$級、滑らかであり、$G_R(x,\cdot)$は調和的なので、§E15.12 定理 1.3により

$s\uparrow R$とすると、$u,\nabla u$の境界までの連続性と$G_R|_{\partial B_R}=0$により、外側の境界積分は$\int_{\partial B_R}u\partial_\nu G_R\,d\sigma$に収束する。内側の球面の法線は$-(y-x)/\varepsilon$であり、基本解の動径微分は$\Phi_n'(r)=-1/(\sigma_{n-1}r^{n-1})$である。$G_R(x,y)-\Phi_n(y-x)$は$x$の近傍で滑らかなので

他方、内側の球面における$G_R\partial_\nu u$の積分の絶対値は、$n\geq3$では$O(\varepsilon)$、$n=2$では$O(\varepsilon|\log\varepsilon|)$となり、零へ収束する。$G_R$の特異性は局所可積分なので、体積積分にも$\varepsilon\to0$の極限をとることができる。極限の等式を$u(x)$について解くと表示式を得る。▨

証明.命題 4.1の表示を、対称性を用いて第二変数について書く。$x\ne0$と$|\zeta|=R$に対して$|\zeta-x^*|=(R/|x|)|\zeta-x|$であり、全次元で

球面の法線$\zeta/R$に沿って微分すると

二次元では対数の定数項の微分が零となるので、同じ式が成り立つ。$x=0$では$G_R(0,y)=\Phi_n(y)-\Phi_n(R)$を微分すると同じ表示を得る。正値性は表示式から従い、質量が$1$であることは命題 4.3に$u=1$を代入して従う。

$x$が$B_R$のコンパクト部分集合を動くとき、$P_R$の$x$に関する各微分は$\zeta$に関して一様に有界である。また$G_R(x,y)$は、$y$が球面の近傍にあるとき、内部の$x$に関して調和的である。したがって$\Delta_xP_R(x,\zeta)=0$であり、積分の下で微分することにより$u\in C^\infty(B_R)$と$\Delta u=0$を得る。

$\zeta_0\in\partial B_R$と$\epsilon>0$をとる。$g$の連続性により、ある$\delta>0$に対して$|\zeta-\zeta_0|<\delta$ならば$|g(\zeta)-g(\zeta_0)|<\epsilon$である。核の正値性と質量の等式から

$x\to\zeta_0$のとき、最後の積分では分母が正の定数で下から抑えられ、分子$R^2-|x|^2$は零へ収束する。よって$u(x)\to g(\zeta_0)$である。一意性は§E15.18 系 1.2を二つの解の差の実部と虚部に適用して従う。▨

証明. 半空間の外向き法線は$-e_n$なので、命題 4.2の表示を第二変数で微分すると

$P_H$は$x$に関して滑らかかつ調和的であり、表示式から正値である。$t=x_n$、$\eta=(\zeta-x')/t$と置換すると

最後の積分は、極座標と$r=\tan\theta$によって

となる。$n=2$では$\sigma_0=2$とする。

$g$は有界かつコンパクト台をもつので、内部のコンパクト集合上で積分を任意回微分することができ、$u$は滑らかかつ調和的である。$p_t(z)=2t/(\sigma_{n-1}(|z|^2+t^2)^{n/2})$とおく。任意の$\delta>0$について、極座標積分から

$g$の一様連続性により、任意の$\epsilon>0$に対して$\delta>0$を選び、$|z|<\delta$ならばすべての$x'$で$|g(x'-z)-g(x')|<\epsilon$とすることができる。したがって

これにより閉半空間への連続拡張を得る。

$\supp g\subset\{|\zeta|\leq M\}$とし、$|x|>2M$とする。$|x-(\zeta,0)|\geq|x|/2$かつ$x_n\leq|x|$なので

境界上でも$g$は無限遠で零であるから$u\in C_0(\overline H)$となる。

二つの拡張の差の実部を$w$とする。任意の$\epsilon>0$に対して、十分大きい$R$では$|w|\leq\epsilon$が$\overline H\cap\{|x|\geq R\}$上で成り立つ。半球$H\cap B_R$の平らな境界で$w=0$、球面部分で$|w|\leq\epsilon$なので、§E15.18 系 1.2により$|w|\leq\epsilon$が半球全体で成り立つ。$R$を任意の固定点を含むように選び、$\epsilon\downarrow0$とすると$w=0$を得る。虚部にも同じ議論を適用すると一意性が従う。▨