§E15.33熱核と波動の明示解

証明. 正値性は式から従う。位相因子$e^{-2\pi ix\cdot\xi}$による Fourier 変換について、§E15.26 定理 4.1により

が成り立つ。$\xi=0$とすれば$\int G_t=1$である。$G_s\in L^2$に対する$e^{t\Delta}$の Fourier 乗数は$e^{-4\pi^2t|\xi|^2}$なので、$G_t*G_s$の Fourier 変換は$e^{-4\pi^2(t+s)|\xi|^2}=\widehat G_{t+s}$である。したがって$G_t*G_s=G_{t+s}$を$L^2$で得る。両辺は連続関数であるから、各点でも等しい。

$1\leq p<\infty$とする。§E14.7 定理 2.2の Bochner 積分表示とノルム評価により

§E14.7 定理 1.2により、任意の$\varepsilon>0$に対して、$|y|<\delta$ならば$\|f(\cdot-y)-f\|_p<\varepsilon$となる$\delta>0$が存在する。したがって

$y=\sqrt t\,z$と変数変換すると、最後の積分は$\int_{|z|\geq\delta/\sqrt t}G_1(z)\,dz$であり、$t\downarrow0$で零へ収束する。$\varepsilon$は任意なので、$L^p$収束を得る。

$f\in L^1$のとき、$\iint G_t(y)|f(x-y)|\,dx\,dy=\|f\|_1$である。Fubini の定理により積分順序を交換すると、質量保存の等式を得る。▨

証明. 核の拡大縮小から

である。$D^\alpha G_1$は多項式と Gauss 関数との積なので、任意の$1\leq r\leq\infty$に対して

$p<\infty$のとき、§E14.7 定理 2.2により

$1/p+1/p'=1$とおく。§E10.22 定理 4.2を各$x$で適用すると、端点を含む任意の$p$について

$p<q<\infty$のとき、$h=(D^\alpha G_t)*f$に対して

である。二つの端の評価を代入すると、主張の$t$の指数を得る。$p=q=\infty$のときは

を積分から直接得る。

核の任意の時間・空間微分は、正時間では多項式と Gauss 関数との積である。$t$が正のコンパクト区間を動き、$x$がコンパクト集合を動くとき、$y\mapsto\partial_t^kD_x^\alpha G_t(x-y)$とその差商は、$L^{p'}$に属する共通の減衰関数で支配される。$p'=\infty$の場合にも同じ減衰関数による一様評価が成り立つ。Hölder の不等式と優収束により、畳込みの下で任意階の微分を行うことができ、各微分は連続である。直接微分による$\partial_tG_t=\Delta G_t$から$u_t=\Delta u$を得る。▨

証明.$f>0$となる集合は正の測度をもち、$G_t(x-y)>0$はすべての$y$で成り立つ。したがって非負関数$G_t(x-y)f(y)$の積分は正である。積分の有限性と連続性は定理 1.2による。▨

証明.主張 (1)を示す。§E15.32 定理 3.1により$x\in Q$に対して$K_t(x)=\sum_{m\in\Z^n}G_t(x+m)$であるから、$K_t(x)-G_t(x)=\sum_{m\ne0}G_t(x+m)>0$である。$m\ne0$の最大ノルムを$j=|m|_\infty\geq1$とすると、$|x+m|\geq|x+m|_\infty\geq j-\tfrac12\geq j/2$であるから$G_t(x+m)\leq(4\pi t)^{-n/2}e^{-j^2/(16t)}$である。$0<t\leq1$では$j^2/(16t)\geq1/(32t)+j^2/32$が成り立つ。$|m|_\infty=j$を満たす$m$の個数は$(2j+1)^n-(2j-1)^n\leq2n(2j+1)^{n-1}$であるから

である。右辺の級数は収束するので、その値を$C_n$とすればよい。$t^{-n/2}e^{-1/(32t)}\to0$により後半を得る。

主張 (2)を示す。§E15.32 定理 3.1により$K_t(x)=1+\sum_{k\ne0}e^{-4\pi^2t|k|^2}e^{2\pi ik\cdot x}$である。$k\in\Z^n\setminus\{0\}$と$t\geq1$に対して$t|k|^2\geq(t-1)+|k|^2$であるから

となり、$C_n'=e^{4\pi^2}\sum_{k\ne0}e^{-4\pi^2|k|^2}$とおけばよい。$G_t(x)\leq G_t(0)=(4\pi t)^{-n/2}$は式から従う。最後の評価は、$\int_{\mathbb T^n}K_t(x-y)\,dy=1$により

と書き、被積分関数の核の部分を上の評価で抑えれば従う。▨

証明.$r=x+t$、$s=x-t$と変数変換すると、$u_{tt}-u_{xx}=-4u_{rs}$である。$u_{rs}=0$を積分すると、各古典解は$u(t,x)=a(x+t)+b(x-t)$の形をもつ。初期条件から$a+b=f$、$a'-b'=g$である。よって$a'=(f'+g)/2$、$b'=(f'-g)/2$を積分して主張の式を得る。逆に、その式を微分すると方程式と両初期条件が成り立つ。

$t>0$のとき$S_1(t)$の畳込み核は$\frac12\mathbf1_{[-t,t]}$である。§E15.6 命題 4.2により、この核は因果的波動基本解の時刻$t$における空間核と一致する。積分端を微分すると$\partial_tS_1(t)f=(f(\cdot+t)+f(\cdot-t))/2$を得る。▨

証明.$\tau_a h(x)=h(x+a)$とおく。$L^2$における平行移動の等長性と連続性§E14.7 定理 1.2、および積分表示から

が成り立つ。後二式の空間微分は弱微分、時間微分は$L^2$ノルム微分である。空間微分の式は試験関数に対する積分端の計算から従い、時間微分の式は平行移動の連続性と積分の基本定理から従う。

$H^1$と$L^2$でそれぞれ$f,g$を滑らかなコンパクトな台をもつ関数で近似する。$S_1(t)$とその時間・空間微分の$L^2$評価を近似解の差に適用すると、近似解は$C([0,T];H^1)\cap C^1([0,T];L^2)$で主張の式による関数へ収束する。近似解の方程式を試験関数と組み合わせて極限を取ると、極限も弱方程式と初期条件を満たす。§E15.27 定理 2.2を$A=-\partial_x^2$に適用すれば一意性を得る。

$F\in C^1$の場合、積分端と時間を微分すると

したがって方程式と零初期条件が成り立つ。$F\in L_t^1L_x^2$のときは$w(t)=\int_0^tS_1(t-s)F(s)\,ds$が$H^1$値の Bochner 積分となる。$t>0$のとき$S_1(t)$は核$\frac12\mathbf1_{[-t,t]}$との畳込みであり、この核は§E15.6 命題 4.2により因果的波動基本解の時刻$t$における空間核である。その Fourier 変換は

であり、これは$A=-\partial_x^2$の Fourier 乗数$\lambda=4\pi^2\xi^2$に対する$S_A(t)$の乗数$\sin(t\sqrt\lambda)/\sqrt\lambda$に等しい。有界な乗数が等しいから$S_1(t)=S_A(t)$である。したがって$w(t)=\int_0^tS_A(t-s)F(s)\,ds$は§E15.27 定理 2.2の Duhamel 公式の外力項であり、この積分はエネルギー解である。▨

証明.$n\geq2$のとき、§E15.6 補題 2.1を$U=\R^n$、$f=h$、$a=x$として適用すると、$0<r$に対して

が成り立つ。右辺を極座標で表すと$\sigma_{n-1}\int_0^rs^{n-1}M_s\Delta h(x)\,ds$であり、被積分関数は$s$について連続であるから、$r$で微分して

を得る。$r^{n-1}$で割れば最初の等式を得る。$n=1$では$M_rh(x)=(h(x+r)+h(x-r))/2$の二回微分から同じ式を得る。$x$に関する微分と球面積分の交換から$\Delta_xM_rh=M_r\Delta h$である。$r=0$での微分は$\nabla h(x)\cdot\sigma_{n-1}^{-1}\int_{S^{n-1}}\omega\,d\sigma=0$である。▨

証明.$e=(|v_t|^2+|\nabla v|^2)/2$、$J=\Re(\overline{v_t}\nabla v)$とおくと、方程式から$\partial_te=\operatorname{div}J$、$|J|\leq e$である。$0\leq t<\min\{T,R\}$に対し、球面での積分と Gauss の公式から

初期エネルギーは零なので、$v_t=0$は縮小する球の中で成り立つ。$|x-x_0|<R-t$ならば、すべての$0\leq s\leq t$で$x\in B(x_0,R-s)$である。よって$v(t,x)=v(0,x)+\int_0^tv_s(s,x)\,ds=0$となる。端の時刻は連続性で扱う。同じ初期値をもつ解の差に適用し、各点について$R>t$を選べば一意性を得る。▨

証明.$h\in C^2(\R^3)$に対し$v(t,x)=tM_th(x)$とおく。補題 3.1により、$t>0$では

同じ補題により$v(0)=0$、$v_t(0)=h$、$v_{tt}(0)=0$である。$h=f\in C^3$の場合、$v$の方程式を時間微分して$\partial_tv$も波動方程式を満たす。$h=g\in C^2$の場合の$v$と加えると、主張の$u$は$C^2$級であり、方程式と初期条件を満たす。一意性は補題 3.2による。

$t>0$のとき、$tM_t$の畳込み核は球面$|y|=t$上の測度$(4\pi t)^{-1}d\sigma(y)$である。§E15.6 命題 4.2により、この球面測度は因果的波動基本解の時刻$t$における空間核と一致する。▨

証明.$h$を第三座標に依存しない関数$H(x_1,x_2,x_3)=h(x_1,x_2)$に延長する。半径$t$の球面の上下半球を$z=(z_1,z_2)$の円板へ射影すると、それぞれのグラフ$z_3=\pm\sqrt{t^2-|z|^2}$の面積要素は

である。したがって、二つの半球を加えることにより

特異因子は可積分である。実際、$z=tw$と変数変換すれば

固定した円板上の表示では、データの許す次数まで積分の下で微分することができる。

延長した初期値に定理 3.3を適用する。得られる解は第三座標に依存しないので、三次元の Laplace 作用素は二次元の Laplace 作用素に等しい。よって主張の式が二次元の方程式と初期条件を満たす。一意性は補題 3.2による。第三座標に一定な延長を全空間の$L^2$データと見なす必要はない。有限な依存領域で延長を切断した場合にも、§E15.27 定理 5.1により同じ局所解を得る。▨

証明. 球面はコンパクトであるから、ある$\varepsilon>0$が存在して、$|r-t|<\varepsilon$ならば球面$|y-x|=r$上で$f=g=0$となる。したがって$M_rf(x)=M_rg(x)=0$がその$r$の範囲で成り立つ。定理 3.3の二項は、ともに零である。▨