§E15.4緩増加超関数

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各座標に関する Schwartz 関数の偏微分の Fourier 変換は、元の関数の Fourier 変換に、その座標に対応する周波数変数の2πi2\pi i倍を掛けたものに等しい。しかし、定数関数11は可積分でなく、Dirac 超関数δ0\delta_0は通常の関数ではないため、可積分関数に対する Fourier 変換の積分表示を両者にそのまま用いることはできない。Schwartz 関数上の連続線形汎関数として定める緩増加超関数は、これらの対象を含む、Fourier 解析における基本的な超関数のクラスである。Fourier 変換は緩増加超関数の空間上の同型であり、緩増加超関数の等式として表された定数係数の線形微分方程式を、周波数変数の多項式による乗算を含む等式に変換する。そのため、緩増加超関数の解の存在や一意性を、変換後の等式を用いて調べることができる。本記事では、緩増加超関数とその Fourier 変換の基本的な性質を解説する。

1 緩増加超関数の定義

定義 1.1.n∈N≥1n\in\NNとする。Schwartz 空間S(Rn)\mathcal S(\R^n)の連続な複素線形双対をS′(Rn)\mathcal S'(\R^n)と書き、その元を 緩増加超関数 (tempered distribution) という。双対の作用⟨T,φ⟩\langle T,\varphi\rangleには複素共役を入れない。S′\mathcal S'には、すべてのφ∈S\varphi\in\mathcal Sに対する写像T↦⟨T,φ⟩T\mapsto\langle T,\varphi\rangleが定める弱位相を入れる。

命題 1.2.n∈N≥1n\in\NNとし、T ⁣:S(Rn)→CT\colon\mathcal S(\R^n)\to\Cを複素線形写像とする。このとき、T∈S′(Rn)T\in\mathcal S'(\R^n)であるための必要十分条件は、あるN∈N≥0N\in\NとC≥0C\geq0が存在し、すべてのφ∈S(Rn)\varphi\in\mathcal S(\R^n)に対して

∣⟨T,φ⟩∣≤CpN(φ),pN(φ)=∑∣α∣≤Nsup⁡x∈Rn(1+∣x∣)N∣∂αφ(x)∣|\langle T,\varphi\rangle|\leq C p_N(\varphi), \qquad p_N(\varphi)=\sum_{|\alpha|\leq N}\sup_{x\in\R^n}(1+|x|)^N|\partial^\alpha\varphi(x)|

が成り立つことである。

証明.∣xβ∣≤(1+∣x∣)∣β∣|x^\beta|\leq(1+|x|)^{|\beta|}であり、各NNについて(1+∣x∣)N≤CN∑∣β∣≤N∣xβ∣(1+|x|)^N\leq C_N\sum_{|\beta|\leq N}|x^\beta|となる定数CNC_Nが存在する。したがって、半ノルム族(pN)N∈N≥0(p_N)_{N\in\N}は Schwartz 位相を定める。φ↦∣⟨T,φ⟩∣\varphi\mapsto|\langle T,\varphi\rangle|は半ノルムであるから、§E12.16 命題 2.4 (4)により、TTの連続性は有限個のpNp_Nによる評価と同値である。pN≤pN+1p_N\leq p_{N+1}なので、その有限個の評価を一つのpNp_Nにまとめることができる。▨

命題 1.3.n∈N≥1n\in\NNとする。このとき、制限写像S′(Rn)→D′(Rn)\mathcal S'(\R^n)\to\mathcal D'(\R^n)は単射である。また、コンパクトな台をもつ任意の超関数は一意に緩増加超関数へ延長され、E′(Rn)⊆S′(Rn)⊆D′(Rn)\mathcal E'(\R^n)\subseteq\mathcal S'(\R^n)\subseteq\mathcal D'(\R^n)と同一視することができる。

証明. コンパクト集合K⊆RnK\subseteq\R^nとN∈N≥0N\in\Nを固定する。supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kならば

pN(φ)≤sup⁡x∈K(1+∣x∣)N∑∣α∣≤Nsup⁡x∈K∣∂αφ(x)∣p_N(\varphi)\leq \sup_{x\in K}(1+|x|)^N\sum_{|\alpha|\leq N}\sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi(x)|

である。よって命題 1.2により、緩増加超関数の制限は超関数である。

原点の単位閉球の近傍で11となるχ∈D(Rn)\chi\in\mathcal D(\R^n)をとり、χR(x)=χ(x/R)\chi_R(x)=\chi(x/R)とする。φ∈S\varphi\in\mathcal S、R≥1R\geq1に対して Leibniz 則を用いると

pN((1−χR)φ)≤CN,χR−1pN+1(φ)p_N((1-\chi_R)\varphi)\leq C_{N,\chi}R^{-1}p_{N+1}(\varphi)

となる。実際、φ\varphiのみを微分した項では∣x∣≥R|x|\geq R上で重みを一つ増やし、χR\chi_Rの正階微分を含む項ではさらにR−∣β∣≤1R^{-|\beta|}\leq1を用いる。したがってχRφ→φ\chi_R\varphi\to\varphiがS\mathcal Sで成り立つ。ゆえにD\mathcal DはS\mathcal Sで稠密である。この稠密性により、制限写像は単射である。

T∈E′T\in\mathcal E'とする。§E15.2 定理 3.4により、TTはC∞(Rn)C^\infty(\R^n)上の連続線形汎関数へ延長される。あるコンパクト集合KK、m∈N≥0m\in\N、C≥0C\geq0による評価

∣⟨T,f⟩∣≤C∑∣α∣≤msup⁡x∈K∣∂αf(x)∣|\langle T,f\rangle|\leq C\sum_{|\alpha|\leq m}\sup_{x\in K}|\partial^\alpha f(x)|

が成り立つので、f∈Sf\in\mathcal Sに対する右辺はCpm(f)Cp_m(f)以下である。ゆえにT∈S′T\in\mathcal S'であり、延長の一意性は単射性から従う。▨

命題 1.4.n∈N≥1n\in\NNとし、f∈Lloc1(Rn)f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^n)が、あるN∈N≥0N\in\Nに対して

∫Rn(1+∣x∣)−N∣f(x)∣ dx<∞\int_{\R^n}(1+|x|)^{-N}|f(x)|\,dx<\infty

を満たすとする。このとき、⟨Tf,φ⟩=∫f(x)φ(x) dx\langle T_f,\varphi\rangle=\int f(x)\varphi(x)\,dxは緩増加超関数を定める。複素 Radon 測度μ\muについても、あるN∈N≥0N\in\Nに対して∫(1+∣x∣)−N d∣μ∣(x)<∞\int(1+|x|)^{-N}\,d|\mu|(x)<\inftyならば、⟨Tμ,φ⟩=∫φ dμ\langle T_\mu,\varphi\rangle=\int\varphi\,d\muは緩増加超関数を定める。

証明. いずれの場合も、ν=∣f∣ dx\nu=|f|\,dxまたはν=∣μ∣\nu=|\mu|とおくと

∣⟨T,φ⟩∣≤(∫Rn(1+∣x∣)−N dν(x))sup⁡x(1+∣x∣)N∣φ(x)∣|\langle T,\varphi\rangle|\leq\left(\int_{\R^n}(1+|x|)^{-N}\,d\nu(x)\right)\sup_x(1+|x|)^N|\varphi(x)|

である。積分の絶対収束と命題 1.2による連続性が従う。▨

例 1.5.n∈N≥1n\in\NNとする。このとき、多項式増大する可測関数は命題 1.4により緩増加超関数を定める。とくに、有界関数と多項式は緩増加超関数を定める。一方、f(x)=e∣x∣2f(x)=e^{|x|^2}は局所可積分であるが、その超関数TfT_fは緩増加ではない。実際、ψ∈D(Rn)\psi\in\mathcal D(\R^n)を非負かつ零でない関数とし、supp⁡ψ⊆{x:∣x∣≤r}\supp\psi\subseteq\{x:|x|\leq r\}とする。e1=(1,0,…,0)e_1=(1,0,\ldots,0)、ψR(x)=ψ(x−Re1)\psi_R(x)=\psi(x-Re_1)とおくと、R>rR>rに対して

⟨Tf,ψR⟩≥e(R−r)2∫ψ(x) dx,pN(ψR)≤CN,ψ(1+R)N\langle T_f,\psi_R\rangle\geq e^{(R-r)^2}\int\psi(x)\,dx, \qquad p_N(\psi_R)\leq C_{N,\psi}(1+R)^N

となる。どのNNとCCに対しても前者はCpN(ψR)Cp_N(\psi_R)を最終的に上回るので、命題 1.2の評価は成り立たない。

命題 1.6.n∈N≥1n\in\NNとし、(Tj)j∈N≥1(T_j)_{j\in\NN}をS′(Rn)\mathcal S'(\R^n)の列とする。すべてのφ∈S(Rn)\varphi\in\mathcal S(\R^n)について(⟨Tj,φ⟩)j(\langle T_j,\varphi\rangle)_jが Cauchy 列であるとする。このとき

⟨T,φ⟩=lim⁡j→∞⟨Tj,φ⟩\langle T,\varphi\rangle=\lim_{j\to\infty}\langle T_j,\varphi\rangle

は緩増加超関数を定め、Tj→TT_j\to Tが弱位相で成り立つ。したがってS′(Rn)\mathcal S'(\R^n)は弱位相について点列完備である。

証明.C\Cの完備性により、各φ∈S\varphi\in\mathcal Sについて極限⟨T,φ⟩=lim⁡j⟨Tj,φ⟩\langle T,\varphi\rangle=\lim_j\langle T_j,\varphi\rangleが存在する。§E12.16 例 8.3と§E12.20 系 1.5によりS\mathcal Sは樽型であるから、§E12.20 系 3.2によりTTは連続な複素線形汎関数である。各φ∈S\varphi\in\mathcal S上の収束はTj→TT_j\to Tの弱収束を意味する。▨

2 緩増加超関数の乗算

命題 2.1.n∈N≥1n\in\NN、a∈C∞(Rn)a\in C^\infty(\R^n)とする。すべてのβ∈N≥0n\beta\in\N^nに対し、あるCβ≥0C_\beta\geq0とmβ∈N≥0m_\beta\in\Nが存在して∣∂βa(x)∣≤Cβ(1+∣x∣)mβ|\partial^\beta a(x)|\leq C_\beta(1+|x|)^{m_\beta}がすべてのx∈Rnx\in\R^nで成り立つとする。このときφ↦aφ\varphi\mapsto a\varphiはS(Rn)\mathcal S(\R^n)上の連続線形作用素であり、T∈S′T\in\mathcal S'に対して⟨aT,φ⟩=⟨T,aφ⟩\langle aT,\varphi\rangle=\langle T,a\varphi\rangleは緩増加超関数を定める。

証明.N∈N≥0N\in\Nを固定し、m=max⁡∣β∣≤Nmβm=\max_{|\beta|\leq N}m_\betaとおく。Leibniz 則によりpN(aφ)≤CNpN+m(φ)p_N(a\varphi)\leq C_Np_{N+m}(\varphi)である。したがって乗算作用素は連続であり、その転置も連続線形汎関数を連続線形汎関数へ移す。▨

例 2.2.n∈N≥1n\in\NNとし、a(x)=e∣x∣2a(x)=e^{|x|^2}とする。このとき、aaは滑らかであり、T1T_1は緩増加であるが、aT1=Te∣x∣2aT_1=T_{e^{|x|^2}}は例 1.5により緩増加ではない。したがって、滑らかさだけでは乗算による緩増加性の保存を結論することができない。

3 緩増加超関数の Fourier 変換

定義 3.1.n∈N≥1n\in\NN、T∈S′(Rn)T\in\mathcal S'(\R^n)とする。φ∈S(Rn)\varphi\in\mathcal S(\R^n)の Fourier 変換を

φ^(ξ)=∫Rnφ(x)e−2πix⋅ξ dx\widehat\varphi(\xi)=\int_{\R^n}\varphi(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx

とする。TTの Fourier 変換 (Fourier transform) を、Schwartz 空間上の Fourier 変換との合成

⟨T^,φ⟩=⟨T,φ^⟩\langle\widehat T,\varphi\rangle=\langle T,\widehat\varphi\rangle

で定める。§E15.3 定理 2.1により、T^∈S′(Rn)\widehat T\in\mathcal S'(\R^n)である。

定理 3.2.n∈N≥1n\in\NNとする。このとき Fourier 変換F ⁣:S′(Rn)→S′(Rn)\mathcal F\colon\mathcal S'(\R^n)\to\mathcal S'(\R^n)は弱位相に関する連続線形同型である。原点反転を⟨RT,φ⟩=⟨T,φ(−⋅)⟩\langle RT,\varphi\rangle=\langle T,\varphi(-\cdot)\rangleとすると、F2T=RT\mathcal F^2T=RT、F−1T=RFT\mathcal F^{-1}T=R\mathcal FTが成り立つ。

証明.§E15.3 定理 2.1により

⟨F2T,φ⟩=⟨T,F2φ⟩=⟨T,φ(−⋅)⟩\langle\mathcal F^2T,\varphi\rangle=\langle T,\mathcal F^2\varphi\rangle=\langle T,\varphi(-\cdot)\rangle

である。Schwartz 関数上でFR=RF\mathcal F R=R\mathcal FかつR2=idR^2=\mathrm{id}であるから、転置後も同じ等式が成り立ち、RFR\mathcal FはF\mathcal Fの逆写像である。固定したφ\varphi上でT↦⟨FT,φ⟩=⟨T,φ^⟩T\mapsto\langle\mathcal FT,\varphi\rangle=\langle T,\widehat\varphi\rangleは弱連続である。RFR\mathcal Fについても同じ議論が成り立つので、F\mathcal Fとその逆写像は弱連続である。▨

命題 3.3.n∈N≥1n\in\NN、T∈S′(Rn)T\in\mathcal S'(\R^n)、α∈N≥0n\alpha\in\N^nとする。このとき、超関数の微分∂αT\partial^\alpha Tと多項式との積xαTx^\alpha Tは緩増加であり、

∂αT^=(2πiξ)αT^,xαT^=(−2πi)−∣α∣∂αT^\widehat{\partial^\alpha T}=(2\pi i\xi)^\alpha\widehat T, \qquad \widehat{x^\alpha T}=(-2\pi i)^{-|\alpha|}\partial^\alpha\widehat T

が成り立つ。したがって、定数係数微分作用素P(∂)=∑∣α∣≤mcα∂αP(\partial)=\sum_{|\alpha|\leq m}c_\alpha\partial^\alphaについてP(∂)T^=P(2πiξ)T^\widehat{P(\partial)T}=P(2\pi i\xi)\widehat Tである。

証明. 任意のN∈N≥0N\in\Nとφ∈S(Rn)\varphi\in\mathcal S(\R^n)に対してpN(∂αφ)≤pN+∣α∣(φ)p_N(\partial^\alpha\varphi)\leq p_{N+|\alpha|}(\varphi)が成り立つから、微分は Schwartz 空間の連続作用素である。多項式による乗算も命題 2.1により連続である。したがって、これらの転置はS′\mathcal S'を保つ。任意のφ∈S(Rn)\varphi\in\mathcal S(\R^n)に対して、§E15.3 命題 1.4を用いると

⟨∂αT^,φ⟩=(−1)∣α∣⟨T,∂αφ^⟩=⟨T,(2πiξ)αφ^⟩,⟨∂αT^,φ⟩=(−1)∣α∣⟨T,∂αφ^⟩=(−2πi)∣α∣⟨T,xαφ^⟩\begin{aligned} \langle\widehat{\partial^\alpha T},\varphi\rangle &=(-1)^{|\alpha|}\langle T,\partial^\alpha\widehat\varphi\rangle =\langle T,\widehat{(2\pi i\xi)^\alpha\varphi}\rangle,\\ \langle\partial^\alpha\widehat T,\varphi\rangle &=(-1)^{|\alpha|}\langle T,\widehat{\partial^\alpha\varphi}\rangle =(-2\pi i)^{|\alpha|}\langle T,x^\alpha\widehat\varphi\rangle \end{aligned}

となり、二つの公式が従う。最後の公式は線形性による。▨

命題 3.4.n∈N≥1n\in\NN、f∈L1(Rn)f\in L^1(\R^n)とし、f^(ξ)=∫f(x)e−2πix⋅ξ dx\widehat f(\xi)=\int f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dxとする。このときTf^=Tf^\widehat{T_f}=T_{\widehat f}である。

証明.∣f^∣≤∥f∥1|\widehat f|\leq\|f\|_1なので、命題 1.4によりTf^T_{\widehat f}は緩増加である。φ∈S\varphi\in\mathcal Sに対して∫∫∣f(x)φ(ξ)∣ dx dξ=∥f∥1∥φ∥1<∞\int\int|f(x)\varphi(\xi)|\,dx\,d\xi=\|f\|_1\|\varphi\|_1<\inftyであるから、§E10.19 命題 3.4により

⟨Tf^,φ⟩=∫f(x)∫φ(ξ)e−2πix⋅ξ dξ dx=∫f^(ξ)φ(ξ) dξ\langle\widehat{T_f},\varphi\rangle =\int f(x)\int\varphi(\xi)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,d\xi\,dx =\int\widehat f(\xi)\varphi(\xi)\,d\xi

となる。▨

命題 3.5.n∈N≥1n\in\NN、f∈L2(Rn)f\in L^2(\R^n)とし、F2f\mathcal F_2fを同じ指数e−2πix⋅ξe^{-2\pi ix\cdot\xi}と Lebesgue 測度による Plancherel 変換とする。このとき、ffは緩増加超関数TfT_fを定め、Tf^=TF2f\widehat{T_f}=T_{\mathcal F_2f}が成り立つ。

証明.M>n/2M>n/2を満たす整数MMをとる。Cauchy–Schwarz の不等式により

∣⟨Tf,φ⟩∣≤∥f∥2∥φ∥2≤∥f∥2(∫(1+∣x∣)−2M dx)1/2pM(φ)|\langle T_f,\varphi\rangle|\leq\|f\|_2\|\varphi\|_2 \leq\|f\|_2\left(\int(1+|x|)^{-2M}\,dx\right)^{1/2}p_M(\varphi)

である。したがってTf∈S′T_f\in\mathcal S'であり、L2L^2収束はS′\mathcal S'の弱収束を与える。§E10.47 定理 1.4によりfj∈D⊆Sf_j\in\mathcal D\subseteq\mathcal Sを∥fj−f∥2→0\|f_j-f\|_2\to0となるようにとる。§E15.3 定理 2.1と命題 3.4によりTfj^=TF2fj\widehat{T_{f_j}}=T_{\mathcal F_2 f_j}である。§E14.15 定理 4.1によりF2fj→F2f\mathcal F_2f_j\to\mathcal F_2fがL2L^2で成り立つ。一方、定理 3.2によりTfj^→Tf^\widehat{T_{f_j}}\to\widehat{T_f}が弱位相で成り立つ。各φ∈S\varphi\in\mathcal S上で極限をとると、求める一致を得る。▨

例 3.6.n∈N≥1n\in\NN、a∈Rna\in\R^nとする。このとき

δa^=Te−2πia⋅ξ,T1^=δ0,Te2πia⋅x^=δa\widehat{\delta_a}=T_{e^{-2\pi ia\cdot\xi}}, \qquad \widehat{T_1}=\delta_0, \qquad \widehat{T_{e^{2\pi ia\cdot x}}}=\delta_a

である。実際、⟨δa^,φ⟩=φ^(a)\langle\widehat{\delta_a},\varphi\rangle=\widehat\varphi(a)より最初の等式が従う。F2δa=δ−a\mathcal F^2\delta_a=\delta_{-a}より三つ目が従い、a=0a=0とすれば二つ目を得る。n=1n=1の場合は、命題 3.3によりδ0′^=T2πiξ\widehat{\delta_0'}=T_{2\pi i\xi}である。

4 コンパクト台をもつ超関数の Fourier 変換と畳み込み

補題 4.1.n,p∈N≥1n,p\in\NN、T∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)とし、V⊆RnV\subseteq\R^nをsupp⁡T\supp Tの有界な開近傍とする。f ⁣:Rn×Rp→Cf\colon\R^n\times\R^p\to\Cはxxについて滑らかであり、すべてのxx微分∂xβf\partial_x^\beta fは(x,ξ)(x,\xi)について連続であるとする。各β∈N≥0n\beta\in\N^nに対して、ある可積分関数gβ ⁣:Rp→[0,∞]g_\beta\colon\R^p\to[0,\infty]が存在し、すべてのξ∈Rp\xi\in\R^pについて

sup⁡x∈V‾∣∂xβf(x,ξ)∣≤gβ(ξ)\sup_{x\in\overline V}|\partial_x^\beta f(x,\xi)|\leq g_\beta(\xi)

が成り立つとする。このときF(x)=∫Rpf(x,ξ) dξF(x)=\int_{\R^p}f(x,\xi)\,d\xiはVV上で滑らかであり、ξ↦⟨T,f(⋅,ξ)⟩\xi\mapsto\langle T,f(\cdot,\xi)\rangleは可積分で、

⟨T,F⟩=∫Rp⟨T,f(⋅,ξ)⟩ dξ\langle T,F\rangle=\int_{\R^p}\langle T,f(\cdot,\xi)\rangle\,d\xi

が成り立つ。左辺はsupp⁡T\supp Tの近傍で11となりVVに台をもつ滑らかな切断をFFに掛けて定める。

証明.V=∅V=\emptysetならばT=0T=0であり、結論は成り立つ。以下ではV≠∅V\ne\emptysetとする。

各β∈N≥0n\beta\in\N^nに対して、Nβ={ξ∈Rp:gβ(ξ)=∞}N_\beta=\{\xi\in\R^p:g_\beta(\xi)=\infty\}は零集合である。gβg_\betaのNβN_\beta上の値を00に替えた関数をg~β\widetilde g_\betaとすると、g~β ⁣:Rp→[0,∞)\widetilde g_\beta\colon\R^p\to[0,\infty)は可積分である。仮定の評価は、ξ∉Nβ\xi\notin N_\betaでgβg_\betaをg~β\widetilde g_\betaに替えても成り立つ。

x∈Vx\in V、β∈N≥0n\beta\in\N^nとし、eje_jを第jj標準基底ベクトルとする。十分小さいh≠0h\ne0に対して、xxとx+hejx+he_jを結ぶ線分はVVに含まれ、

∂xβf(x+hej,ξ)−∂xβf(x,ξ)h=∫01∂xβ+ejf(x+thej,ξ) dt\frac{\partial_x^\beta f(x+he_j,\xi)-\partial_x^\beta f(x,\xi)}{h} =\int_0^1\partial_x^{\beta+e_j}f(x+the_j,\xi)\,dt

である。差分商はξ∉Nβ+ej\xi\notin N_{\beta+e_j}でg~β+ej(ξ)\widetilde g_{\beta+e_j}(\xi)に支配され、h→0h\to0で∂xβ+ejf(x,ξ)\partial_x^{\beta+e_j}f(x,\xi)へ収束する。各∂xβf\partial_x^\beta fの連続性とg~β\widetilde g_\betaによるほとんど至る所での評価を用いて、§E10.11 定理 3.1と微分についての帰納法を適用すると

∂xβF(x)=∫Rp∂xβf(x,ξ) dξ(x∈V)\partial_x^\beta F(x)=\int_{\R^p}\partial_x^\beta f(x,\xi)\,d\xi \qquad(x\in V)

が成り立ち、各導関数は連続である。したがってF∈C∞(V)F\in C^\infty(V)である。

supp⁡T\supp Tの近傍で11となる零でないχ∈D(V)\chi\in\mathcal D(V)を取り、K=supp⁡χK=\supp\chiとする。§E15.2 定理 3.4により、TTはC∞(Rn)C^\infty(\R^n)上の連続線形汎関数に延長される。TTの連続性により、C∞(Rn)C^\infty(\R^n)の位相を定める半ノルムのうち有限個と定数が存在し、すべてのu∈C∞(Rn)u\in C^\infty(\R^n)について∣⟨T,u⟩∣|\langle T,u\rangle|は半ノルムの和の定数倍で抑えられる。対応するコンパクト集合の和集合と微分の最大階数を取ると、TTのみに依存するコンパクト集合L⊆RnL\subseteq\R^n、m∈N≥0m\in\N、C0≥0C_0\geq0が存在し、すべてのu∈C∞(Rn)u\in C^\infty(\R^n)について

∣⟨T,u⟩∣≤C0∑∣α∣≤msup⁡x∈L∣∂xαu(x)∣|\langle T,u\rangle|\leq C_0\sum_{|\alpha|\leq m}\sup_{x\in L}|\partial_x^\alpha u(x)|

が成り立つ。h∈C∞(V)h\in C^\infty(V)に対して、χh\chi hをVVの外で零と定めてRn\R^n上へ延長し、⟨T,h⟩=⟨T,χh⟩\langle T,h\rangle=\langle T,\chi h\rangleとする。Leibniz 則により、∣α∣≤m|\alpha|\leq mに対して

∂xα(χh)(x)=∑β≤α(αβ)∂xα−βχ(x) ∂xβh(x)(x∈V)\partial_x^\alpha(\chi h)(x) =\sum_{\beta\leq\alpha}\binom{\alpha}{\beta}\partial_x^{\alpha-\beta}\chi(x)\,\partial_x^\beta h(x) \qquad(x\in V)

が成り立ち、χh\chi hの各微分はKKの外で零である。よってTTとχ\chiのみに依存するC≥0C\geq0が存在し、すべてのh∈C∞(V)h\in C^\infty(V)について

∣⟨T,h⟩∣≤C0∑∣α∣≤msup⁡x∈L∣∂xα(χh)(x)∣≤C∑∣β∣≤msup⁡x∈K∣∂xβh(x)∣\begin{aligned} |\langle T,h\rangle| &\leq C_0\sum_{|\alpha|\leq m}\sup_{x\in L}|\partial_x^\alpha(\chi h)(x)|\\ &\leq C\sum_{|\beta|\leq m}\sup_{x\in K}|\partial_x^\beta h(x)| \end{aligned}

が成り立つ。有限階評価と∂xβf\partial_x^\beta fの連続性から、ξ↦⟨T,f(⋅,ξ)⟩\xi\mapsto\langle T,f(\cdot,\xi)\rangleは連続である。さらに、ξ∉⋃∣β∣≤mNβ\xi\notin\bigcup_{|\beta|\leq m}N_\betaに対して

∣⟨T,f(⋅,ξ)⟩∣≤C∑∣β∣≤mg~β(ξ)|\langle T,f(\cdot,\xi)\rangle| \leq C\sum_{|\beta|\leq m}\widetilde g_\beta(\xi)

である。有限個のNβN_\betaの和集合は零集合であり、右辺は可積分であるから、ξ↦⟨T,f(⋅,ξ)⟩\xi\mapsto\langle T,f(\cdot,\xi)\rangleは可積分である。

R>0R>0に対してQR=[−R,R]pQ_R=[-R,R]^pとし、FR(x)=∫QRf(x,ξ) dξF_R(x)=\int_{Q_R}f(x,\xi)\,d\xiとおく。各∂xβf\partial_x^\beta fはコンパクト集合K×QRK\times Q_R上で一様連続である。したがってFRF_Rの Riemann 和のxx微分は、対応する∂xβFR\partial_x^\beta F_RにKK上で一様に収束する。有限階評価を用いてTTの作用を Riemann 和の極限へ移すと

⟨T,FR⟩=∫QR⟨T,f(⋅,ξ)⟩ dξ\langle T,F_R\rangle=\int_{Q_R}\langle T,f(\cdot,\xi)\rangle\,d\xi

を得る。一方、∣β∣≤m|\beta|\leq mに対して

sup⁡x∈K∣∂xβ(F−FR)(x)∣≤∫Rp∖QRgβ(ξ) dξ⟶0(R→∞)\sup_{x\in K}|\partial_x^\beta(F-F_R)(x)| \leq\int_{\R^p\setminus Q_R}g_\beta(\xi)\,d\xi\longrightarrow0 \qquad(R\to\infty)

である。両辺の積分の裾は可積分な支配関数によって零へ収束するから、有限階評価を用いてR→∞R\to\inftyとすれば結論を得る。▨

命題 4.2.n∈N≥1n\in\NN、T∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)とする。このとき、TTの Fourier 変換は滑らかな関数

FT(ξ)=⟨Tx,e−2πix⋅ξ⟩F_T(\xi)=\langle T_x,e^{-2\pi ix\cdot\xi}\rangle

が定める緩増加超関数に等しい。指数関数への作用にはTTのC∞C^\infty上への延長を用いる。あるm∈N≥0m\in\Nが存在し、すべてのα∈N≥0n\alpha\in\N^nに対してあるCα≥0C_\alpha\geq0が存在して、すべてのξ∈Rn\xi\in\R^nについて

∂ξαFT(ξ)=⟨Tx,(−2πix)αe−2πix⋅ξ⟩,∣∂ξαFT(ξ)∣≤Cα(1+∣ξ∣)m\partial_\xi^\alpha F_T(\xi)=\langle T_x,(-2\pi ix)^\alpha e^{-2\pi ix\cdot\xi}\rangle, \qquad |\partial_\xi^\alpha F_T(\xi)|\leq C_\alpha(1+|\xi|)^m

が成り立つ。

証明.supp⁡T\supp Tの空でない有界な開近傍VVを取り、supp⁡T\supp Tの近傍で11となる零でないχ∈D(V)\chi\in\mathcal D(V)を固定する。K=supp⁡χK=\supp\chiとする。§E15.2 定理 3.4の有限階評価により、あるm∈N≥0m\in\NとC≥0C\geq0に対して

∣⟨T,f⟩∣≤C∑∣β∣≤msup⁡x∈K∣∂xβf(x)∣|\langle T,f\rangle|\leq C\sum_{|\beta|\leq m}\sup_{x\in K}|\partial_x^\beta f(x)|

がすべてのf∈C∞(Rn)f\in C^\infty(\R^n)について成り立つ。χ(x)e−2πix⋅ξ\chi(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}はxxについて固定したコンパクト台KKをもつ滑らかな族であるから、§E15.2 補題 4.1によりFT∈C∞F_T\in C^\inftyであり、表示した微分公式が成り立つ。∂xβ[(−2πix)αe−2πix⋅ξ]\partial_x^\beta[(-2\pi ix)^\alpha e^{-2\pi ix\cdot\xi}]は、xxの多項式とξ\xiの高々∣β∣|\beta|次の多項式と指数関数の積の有限和である。x∈Kx\in Kではxxの多項式が有界であり、∣β∣≤m|\beta|\leq mなので、すべてのα\alphaに共通する増大次数mmを得る。特にFTF_Tは多項式増大するから、命題 1.4により緩増加超関数TFTT_{F_T}を定める。

φ∈S\varphi\in\mathcal Sとし、f(x,ξ)=φ(ξ)e−2πix⋅ξf(x,\xi)=\varphi(\xi)e^{-2\pi ix\cdot\xi}とおく。すべてのx∈V‾x\in\overline Vとξ∈Rn\xi\in\R^nに対して

∣∂xβf(x,ξ)∣≤(2π)∣β∣∣ξβφ(ξ)∣|\partial_x^\beta f(x,\xi)|\leq(2\pi)^{|\beta|}|\xi^\beta\varphi(\xi)|

であり、右辺は§E15.3 補題 1.1により可積分である。したがって補題 4.1により

⟨T^,φ⟩=⟨T,φ^⟩=∫φ(ξ)⟨Tx,e−2πix⋅ξ⟩ dξ=⟨TFT,φ⟩\langle\widehat T,\varphi\rangle =\langle T,\widehat\varphi\rangle =\int\varphi(\xi)\langle T_x,e^{-2\pi ix\cdot\xi}\rangle\,d\xi =\langle T_{F_T},\varphi\rangle

となる。▨

定理 4.3.n∈N≥1n\in\NN、S∈S′(Rn)S\in\mathcal S'(\R^n)、T∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)とする。このとき、超関数の畳み込みS∗TS*Tは緩増加であり、

S∗T^=FTS^=S^ T^\widehat{S*T}=F_T\widehat S=\widehat S\,\widehat T

が成り立つ。右辺は命題 4.2の関数FTF_Tによる乗算である。

証明.supp⁡T\supp Tの空でない有界な開近傍VVを取り、supp⁡T\supp Tの近傍で11となる零でないχ∈D(V)\chi\in\mathcal D(V)を固定する。K=supp⁡χK=\supp\chiとする。§E15.2 定理 3.4により、KK上のmm階以下の微分による有限階評価を取る。φ∈S\varphi\in\mathcal Sに対して

ATφ(x)=⟨Ty,χ(y)φ(x+y)⟩A_T\varphi(x)=\langle T_y,\chi(y)\varphi(x+y)\rangle

とおく。χ(y)φ(x+y)\chi(y)\varphi(x+y)のyyに関する台はxxによらずKKに含まれるから、§E15.2 補題 4.1によりATφA_T\varphiは滑らかであり、

∂xαATφ(x)=⟨Ty,χ(y)∂αφ(x+y)⟩=⟨Ty,∂αφ(x+y)⟩\partial_x^\alpha A_T\varphi(x) =\langle T_y,\chi(y)\partial^\alpha\varphi(x+y)\rangle =\langle T_y,\partial^\alpha\varphi(x+y)\rangle

である。y∈Ky\in Kでは1+∣x∣≤CK(1+∣x+y∣)1+|x|\leq C_K(1+|x+y|)なので、有限階評価を用いると、各N∈N≥0N\in\Nに対して

pN(ATφ)≤CN,TpN+m(φ)p_N(A_T\varphi)\leq C_{N,T}p_{N+m}(\varphi)

となる。したがってATA_TはS\mathcal Sの連続作用素であり、φ↦⟨S,ATφ⟩\varphi\mapsto\langle S,A_T\varphi\rangleは緩増加超関数を定める。φ∈D\varphi\in\mathcal D上では§E15.2 定理 4.3の作用式に一致するので、命題 1.3により、その超関数はS∗TS*Tの一意な緩増加延長である。

命題 4.2と命題 2.1によりFTφ∈SF_T\varphi\in\mathcal Sである。x∈Rnx\in\R^nを固定し、f(y,ξ)=φ(ξ)e−2πi(x+y)⋅ξf(y,\xi)=\varphi(\xi)e^{-2\pi i(x+y)\cdot\xi}とおく。各yy微分はV‾\overline V上で§E15.3 補題 1.1による可積分関数(2π)∣β∣∣ξβφ(ξ)∣(2\pi)^{|\beta|}|\xi^\beta\varphi(\xi)|に支配される。補題 4.1により

FTφ^(x)=∫φ(ξ)e−2πix⋅ξ⟨Ty,e−2πiy⋅ξ⟩ dξ=⟨Ty,∫φ(ξ)e−2πi(x+y)⋅ξ dξ⟩=ATφ^(x)\begin{aligned} \widehat{F_T\varphi}(x) &=\int\varphi(\xi)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\langle T_y,e^{-2\pi iy\cdot\xi}\rangle\,d\xi\\ &=\left\langle T_y,\int\varphi(\xi)e^{-2\pi i(x+y)\cdot\xi}\,d\xi\right\rangle =A_T\widehat\varphi(x) \end{aligned}

を得る。両辺は既に Schwartz 関数であるから、SSを適用して

⟨S∗T^,φ⟩=⟨S,ATφ^⟩=⟨S,FTφ^⟩=⟨S^,FTφ⟩\langle\widehat{S*T},\varphi\rangle =\langle S,A_T\widehat\varphi\rangle =\langle S,\widehat{F_T\varphi}\rangle =\langle\widehat S,F_T\varphi\rangle

となる。▨

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