§E15.31定常問題の Fourier 級数解

証明. 円周の完全系§E14.17 命題 1.2に、積測度の$L^2$との同定§E12.9 定理 8.1とテンソル積の完全系§E12.9 命題 4.1を有限回適用する。各因子の測度は有限であるから、積測度の同定のσ-有限性の仮定を満たす。得られる積関数は$e_k$であり、完全性と Parseval の等式が従う。

周期性によって部分積分の境界項が消えるので、任意の$M\in\N$について

である。したがって Fourier 係数は任意の次数で減衰する。

$2^j\leq1+|k|<2^{j+1}$を満たす格子点の個数は$C_n2^{jn}$以下であるから、$s>n$ならば$\sum_k(1+|k|)^{-s}<\infty$である。急減少する列$(a_k)$と任意の多重指数$\alpha$に対して、$N>|\alpha|+n$を選ぶと

を得る。各階の導関数の級数が絶対一様収束するため、その和は滑らかであり、積分と和を交換すると Fourier 係数は$a_k$となる。$a_k=\widehat\varphi(k)$の場合には、完全性により和と$\varphi$が$L^2$で一致する。両者は連続であるから各点でも一致する。▨

証明.$T$の零における連続性により、ある$m\in\N$と$C\geq0$に対して$|\langle T,\varphi\rangle|\leq Cp_m(\varphi)$が成り立つ。$p_m(e_{-k})\leq C_{m,n}(1+|k|)^m$を代入すれば係数の多項式増大を得る。

$|c_k|\leq C(1+|k|)^m$とし、$2M>m+n$を選ぶ。命題 1.2の証明中の評価により

である。したがって定義式は連続な複素線形汎関数を定める。$\varphi=e_{-j}$を代入すると$\widehat T(j)=c_j$となる。滑らかな試験関数の Fourier 級数は命題 1.2により$C^\infty$で収束するから、任意の周期超関数$S$について

である。係数は$S$を一意に定める。上の絶対収束する和の末尾を評価すれば部分和の超関数収束も従う。微分の定義へ$e_{-k}$を代入すると微分の係数公式を得る。

$\psi\in\mathcal S(\R^n)$とし、整数$N>n$を選ぶ。$x\in[0,1]^n$について$1+|x+\ell|$と$1+|\ell|$の比は$\ell$によらず上下から正の定数で抑えられるので、任意の$r\in\N$に対して

各階の導関数の級数は基本領域で一様収束するので、$P\psi$は滑らかな周期関数となる。$r=m$として$T$の有限階評価を適用し、§E15.4 命題 1.2を用いると$\widetilde T\in\mathcal S'(\R^n)$を得る。$P(\psi(\cdot+\ell))=P\psi$であるから$\widetilde T$は整数平行移動で不変である。

非負関数$\rho\in C_c^\infty(\R^n)$を$[0,1]^n$上で正となるように選ぶ。$h(x)=\sum_\ell\rho(x+\ell)$は正の滑らかな周期関数であり、$\eta=\rho/h$とおくと$\eta\in C_c^\infty(\R^n)$かつ$P\eta=1$となる。整数平行移動で不変な$S\in\mathcal D'(\R^n)$に対して

と定める。右辺では$\varphi$を周期関数として持ち上げる。固定された台$\supp\eta$に§E15.1 命題 1.2を適用し、積の微分を評価すると$|\langle T_S,\varphi\rangle|\leq C p_r(\varphi)$を得るので、$T_S$は周期超関数である。

$\psi\in C_c^\infty(\R^n)$に対して、$\supp\eta$上で周期化の和に寄与する項は有限個である。$S$の平行移動不変性により

したがって$\widetilde{T_S}=S$が$\mathcal D'(\R^n)$で成り立つ。他方、周期的な$\varphi$に対して$P(\eta\varphi)=\varphi$であるから、$T_{\widetilde T}=T$である。したがって二つの構成は互いに逆である。逆写像は一意であるから、$T_S$は$\eta$の選択にもよらない。▨

証明.$T\in H^m$ならば、定理 1.3の微分の係数公式と命題 1.2の Parseval の等式から

を得る。$W_m(k)$の各項は$C(1+4\pi^2|k|^2)^m$以下である。逆向きには、$1$と各$(2\pi k_j)^{2m}$が$W_m(k)$に含まれることから

となる。$m=0$の場合には両辺の重みは$1$である。

重み付き平方和が有限ならば、各列$((2\pi i k)^\alpha\widehat T(k))_k$は$|\alpha|\leq m$に対して平方可算である。完全正規直交系により、この列を係数にもつ$L^2$関数が存在する。定理 1.3の一意性によって、その関数は$\partial^\alpha T$に一致する。従って$T\in H^m$である。ノルムの等式の末尾を評価すれば$H^m$収束も従う。

Fourier 係数への写像は$L^2(\mathbb T^n)$から$\ell^2(\Z^n)$へのユニタリ写像である。この写像の下で$-\Delta$は$a_k\mapsto\lambda_ka_k$となり、その最大定義域は$\sum_k\lambda_k^2|a_k|^2<\infty$である。$a\in\ell^2$の下では、この条件は$\sum_k(1+\lambda_k)^2|a_k|^2<\infty$と同値であるから、作用素域は$H^2$となる。

対角作用素を$M$と書く。$b\in D(M^*)$ならば、各座標の単位ベクトルを随伴の定義へ代入することによって$(M^*b)_k=\lambda_kb_k$を得る。従って$(\lambda_kb_k)_k\in\ell^2$であり、$b\in D(M)$となる。逆に$b\in D(M)$ならば Cauchy–Schwarz の不等式により$(Ma,b)=(a,Mb)$がすべての$a\in D(M)$について成り立つので、$b\in D(M^*)$である。従って$M=M^*$であり、$(Ma,a)=\sum_k\lambda_k|a_k|^2\geq0$である。

非負の対角作用素の平方根は対角成分$\sqrt{\lambda_k}$をもち、その定義域は$\sum_k\lambda_k|a_k|^2<\infty$である。$a\in\ell^2$の下では、この条件は$H^1$の重み付き条件と同値である。各一次微分への Parseval の等式から$q$の積分表示と級数表示が一致する。形式の級数の絶対収束は、$\sum_k\lambda_k|\widehat u(k)\widehat v(k)|\leq q(u,u)^{1/2}q(v,v)^{1/2}$による。▨

証明. 固有系と固有値は§E15.19 定理 3.1による。作用素域と形式域の係数表示は§E15.19 定理 1.3による。$u\in L^2$の下では$\sum_k(1+\lambda_k)|u_k|^2<\infty$と$\sum_k\lambda_k|u_k|^2<\infty$は同値である。

$A_Bu=f$の各固有関数に沿う係数は$\lambda_ku_k=f_k$である。Dirichlet の場合は$\lambda_k\geq\pi^2\sum_iL_i^{-2}>0$なので$u_k=f_k/\lambda_k$と一意に決まる。Parseval の等式により

従って級数は作用素域の元を定め、$A_Du=f$を満たす。

Neumann の零固有値は$k=0$だけであり、$e_0^N=|Q|^{-1/2}$である。係数方程式が$k=0$で成立する条件は$f_0=|Q|^{-1/2}\int_Q f=0$である。$k\ne0$ならば$\lambda_k\geq\pi^2\min_i L_i^{-2}>0$であるから、$u_0=0$、$u_k=f_k/\lambda_k$と定めると、Dirichlet の場合と同じ二つの平方和評価を得る。従って平均零の解が存在する。二つの解の差の係数は零モード以外で零となるので、その差は定数である。各平方和の末尾は零へ収束するため、両級数はグラフノルムで収束する。▨

証明.定理 2.2により係数方程式は$4\pi^2|k|^2\widehat u(k)=\widehat f(k)$である。$k=0$の方程式が必要条件を与える。$k\ne0$に対する$4\pi^2|k|^2\geq4\pi^2$と Parseval の等式から

を得る。従って与えた級数は$H^2$の解を定める。係数方程式は零モード以外のすべての係数を一意に定めるから、解の差は定数である。▨

証明.命題 3.2を外力$-f$に適用すると、可解条件、平均零の$H^2$解の係数表示、一意性を得る。命題 1.2により$\widehat f(k)$は急減少するので、与えた$\widehat u(k)$も急減少する。同じ命題により、その Fourier 級数は各階の導関数まで一様収束し、滑らかな解を与える。滑らかな解は$H^2$に属するから、一意性も既に得た結論から従う。▨

証明. 分母はすべての$k$について$\mu$以上であるから、命題 1.2により与えた係数列は急減少する。その級数は滑らかな関数$u$を定め、二階までの項別微分により$(\Delta-\mu)u$の係数は$\widehat f(k)$となる。Fourier 係数の一意性から方程式が成立する。任意の滑らかな解の係数は$-(4\pi^2|k|^2+\mu)\widehat u(k)=\widehat f(k)$を満たすので、解は一意である。▨

証明.$|\widehat g(k)|\leq\|g\|_\infty$である。$z=re^{2\pi i\theta}$とおくと、$k\geq1$の項の$r^ke^{2\pi ik\theta}$は$z^k$、$k\leq-1$の項は$\overline z^{|k|}$である。実変数の$q$階の任意の導関数について、$k\geq q$の場合に$z^k$と$\overline z^k$の導関数の絶対値は$k^q\rho^{k-q}$以下となる。$0<\rho<1$ならば$\sum_{k\geq q}k^q\rho^{k-q}<\infty$であるから、各階の導関数の級数は閉じた部分円板上で絶対一様収束する。$\rho=0$の場合は正の$\rho$の場合に含まれる。§E15.14 例 3.2により各項は調和多項式であるから、級数の和は$D$上で滑らかな調和関数となる。

$0\leq r<1$と$s\in\mathbb T$に対して、二つの幾何級数を足すと

となる。固定した$r<1$での絶対一様収束により、$s=\theta-t$を代入し、$g(t)$を掛けて積分することができる。その積分は主張の級数に一致する。

§E15.29 定理 5.1の$n=2$、$R=1$において、$z=re^{2\pi i\theta}$、$\zeta=e^{2\pi it}$とおく。$\sigma_1=2\pi$、$d\sigma(\zeta)=2\pi\,dt$であるから

従って級数の和は既出の Poisson 積分と一致し、閉円板へ境界値$g$をもって連続に延長され、調和拡張は一意である。閉円板上の連続関数$u$は一様連続であるため、$|re^{2\pi i\theta}-e^{2\pi i\theta}|=1-r$から主張の境界への一様収束が従う。▨