調和関数 | 偏微分方程式論 I

定義 1.1 (調和関数). $n\geq1$ 、 $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合とする。関数 $u\in C^2(\Omega;\C)$ が

\Delta u=\sum_{j=1}^n\partial_{x_j}^2u=0

を満たすとき、 $u$ を $\Omega$ 上の調和関数 (harmonic function) という。実数値関数についても同じ定義を用いる。

定理 1.2 (平均値の性質). $n\geq2$ 、 $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合、 $u\in C(\Omega;\C)$ とする。 $\sigma_{n-1}=|S^{n-1}|$ とおく。このとき、次の条件は同値である。

$u$ は調和関数である。
$\overline{B_r(x)}\subseteq\Omega$ を満たす任意の $x\in\Omega$ と $r>0$ に対して、 $u(x)=\frac{1}{\sigma_{n-1}r^{n-1}}\int_{\partial B_r(x)}u(y)\,d\sigma(y)$ が成り立つ。
$\overline{B_r(x)}\subseteq\Omega$ を満たす任意の $x\in\Omega$ と $r>0$ に対して、 $u(x)=\frac{1}{|B_r|}\int_{B_r(x)}u(y)\,dy$ が成り立つ。

いずれかの条件を満たす $u$ は $C^\infty(\Omega)$ に属する。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $\overline{B_r(x)}\subseteq\Omega$ とする。§E15.29 定理 5.1を平行移動して適用し、境界値 $u|_{\partial B_r(x)}$ の Poisson 積分 $h\in C^\infty(B_r(x))\cap C(\overline{B_r(x)})$ をとる。 $u-h$ の実部と虚部は $C^2(B_r(x))\cap C(\overline{B_r(x)})$ に属し、球内で調和的で、球面上で零である。 $-\Delta$ に対する§E15.18 系 1.2をそれぞれの関数とその負に適用すると、実部と虚部はともに零となる。従って $u=h$ であり、 $u$ は $B_r(x)$ 内部で滑らかである。中心における核は $1/(\sigma_{n-1}r^{n-1})$ であるから、球面平均の等式を得る。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。極座標積分により

\int_{B_r(x)}u(y)\,dy =\int_0^r\int_{\partial B_t(x)}u(y)\,d\sigma(y)\,dt =\frac{\sigma_{n-1}r^n}{n}u(x)=|B_r|u(x)

が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。球平均の等式を $r$ で微分すると、極座標積分と $u$ の連続性により

\int_{\partial B_r(x)}u(y)\,d\sigma(y) =\frac{d}{dr}\bigl(|B_r|u(x)\bigr) =\sigma_{n-1}r^{n-1}u(x)

を得る。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。非負の放射対称関数 $\eta\in C_c^\infty(B_1)$ を $\int\eta=1$ となるようにとり、 $\eta_\varepsilon(y)=\varepsilon^{-n}\eta(y/\varepsilon)$ とおく。 $\overline{B_{2\varepsilon}(a)}\subseteq\Omega$ とする。各 $x\in B_\varepsilon(a)$ に対して、球面平均の等式を半径について積分すると

\int\eta_\varepsilon(y)u(x-y)\,dy=u(x)\int\eta_\varepsilon(y)\,dy=u(x)

を得る。 $B_{2\varepsilon}(a)$ の近傍で $1$ となる $\chi\in C_c^\infty(\Omega)$ をとり、 $\chi u$ を零で全空間へ延長する。 $B_\varepsilon(a)$ 上で $u=\eta_\varepsilon*(\chi u)$ であるから、§E15.2 命題 4.4により $u$ は滑らかである。

§E4.5 系 3.1を $u$ の実部と虚部へ適用する。球面上での座標の奇対称性と回転対称性により、

\frac{1}{\sigma_{n-1}}\int_{S^{n-1}}\omega_i\,d\sigma=0, \qquad \frac{1}{\sigma_{n-1}}\int_{S^{n-1}}\omega_i\omega_j\,d\sigma=\frac{\delta_{ij}}{n}

である。従って、球面平均と Taylor 展開から

0=\frac{1}{\sigma_{n-1}}\int_{S^{n-1}}\bigl(u(x+r\omega)-u(x)\bigr)\,d\sigma(\omega) =\frac{r^2}{2n}\Delta u(x)+o(r^2)

を得る。 $r^2$ で割って $r\downarrow0$ とすれば $\Delta u(x)=0$ である。▨

系 1.3. $n\geq2$ 、 $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合とし、 $T\in\mathcal D'(\Omega)$ が $\Delta T=0$ を満たすとする。このとき、 $T$ は一意の滑らかな調和関数 $u$ によって与えられ、 $u$ は定理 1.2 (2)と定理 1.2 (3)の等式を満たす。

証明.§E15.21 系 2.3により、 $T$ は滑らかな調和関数 $u$ によって与えられる。定理 1.2を $u$ へ適用する。二つの連続な代表はほとんど至る所で一致し、連続性により至る所で一致する。▨

例 1.4. $n\geq2$ とし、 $u(x)=x_1^2-x_2^2$ 、 $v(x)=|x|^2$ とおく。このとき、 $\Delta u=2-2=0$ である一方、 $\Delta v=2n$ である。球 $B_r(0)$ 上では各座標の積分が零であり、回転対称性と極座標積分から

\frac{1}{|B_r|}\int_{B_r(0)}y_j^2\,dy =\frac{1}{n|B_r|}\int_{B_r(0)}|y|^2\,dy =\frac{r^2}{n+2}

となる。従って任意の $x\in\R^n$ に対して

\frac{1}{|B_r|}\int_{B_r(x)}u(y)\,dy=u(x), \qquad \frac{1}{|B_r|}\int_{B_r(x)}v(y)\,dy=v(x)+\frac{nr^2}{n+2}

である。

命題 1.5. $n\geq1$ と $m\geq0$ を整数、 $r>0$ を実数とし、 $h\in L^2(B_r(x_0);\C)$ を調和関数とする。このとき、 $n,m$ だけに依存する定数 $C_{n,m}$ が存在し、

\|D^m h\|_{L^\infty(B_{r/2}(x_0))} \leq C_{n,m}r^{-m-n/2}\|h\|_{L^2(B_r(x_0))}

が成り立つ。ここで $D^m h$ は $|\alpha|=m$ の偏導関数の族であり、そのノルムは各成分のノルムの最大値とする。 $m=0$ では $D^0h=h$ とする。

証明. 非負の放射対称関数 $\eta\in C_c^\infty(B_{1/2})$ を $\int\eta=1$ となるように固定し、 $\eta_r(y)=r^{-n}\eta(y/r)$ とおく。 $n\geq2$ では定理 1.2 (2)と極座標積分により、各 $x\in B_{r/2}(x_0)$ に対して

h(x)=\int_{B_r(x_0)}\eta_r(x-y)h(y)\,dy

が成り立つ。 $n=1$ では $h''=0$ より $h$ はアフィン関数であり、 $\eta_r$ の偶対称性と積分の正規化から同じ等式を得る。

$h$ の球外への零延長と $\eta_r$ の畳み込みに§E15.2 命題 4.4を適用し、 $|\alpha|=m$ とすると、Cauchy–Schwarz の不等式により

|\partial^\alpha h(x)| \leq\|\partial^\alpha\eta_r\|_{L^2(\R^n)}\|h\|_{L^2(B_r(x_0))} =r^{-m-n/2}\|\partial^\alpha\eta\|_{L^2(\R^n)}\|h\|_{L^2(B_r(x_0))}

となる。有限個の多重指数について最大値をとれば結論を得る。▨

定理 2.1 (Harnack の不等式). $n\geq2$ とする。このとき、 $u$ が $B_R(0)\subseteq\R^n$ 上の非負の実数値調和関数ならば、任意の $0<r<R$ に対して

\sup_{B_r(0)}u\leq\left(\frac{R+r}{R-r}\right)^n\inf_{B_r(0)}u

が成り立つ。また、 $\Omega\subseteq\R^n$ が連結な開集合、 $K\subseteq\Omega$ が空でないコンパクト集合ならば、 $K,\Omega$ だけに依存する定数 $C_{K,\Omega}\geq1$ が存在し、 $\Omega$ 上の任意の非負の実数値調和関数 $u$ に対して

\sup_Ku\leq C_{K,\Omega}\inf_Ku

が成り立つ。

\frac{\rho^{n-2}(\rho-r)}{(\rho+r)^{n-1}} \leq\frac{P_\rho(x,\zeta)}{P_\rho(0,\zeta)} \leq\frac{\rho^{n-2}(\rho+r)}{(\rho-r)^{n-1}}

となる。境界値 $u(\zeta)$ は非負であるから、積分して

\frac{\rho^{n-2}(\rho-r)}{(\rho+r)^{n-1}}u(0) \leq u(x)\leq \frac{\rho^{n-2}(\rho+r)}{(\rho-r)^{n-1}}u(0)

を得る。任意の $x,y\in B_r(0)$ に対して両側の評価を組み合わせると

u(x)\leq\left(\frac{\rho+r}{\rho-r}\right)^n u(y)

である。 $\rho\uparrow R$ としてから上限と下限をとる。

各 $a\in\Omega$ に対し、 $\overline{B_{2s_a}(a)}\subseteq\Omega$ となる $s_a>0$ を一つ固定する。球 $B_{s_a}(a)$ 内の任意の二点の値は、既に示した不等式により係数 $3^n$ で比較される。基点 $a_0\in\Omega$ を固定し、球族 $\{B_{s_a}(a):a\in\Omega\}$ の有限個の球で、隣り合う球が交わる鎖によって $a_0$ と結ばれる点の集合を $E$ とする。 $E$ は空でなく開集合である。 $x\notin E$ ならば、 $B_{s_x}(x)$ は $E$ と交わらない。交われば鎖へ $B_{s_x}(x)$ を付け加えて $x\in E$ となるためである。従って $\Omega\setminus E$ も開集合であり、連結性から $E=\Omega$ である。

$K$ を有限個の球 $B_{s_{a_j}}(a_j)$ で覆い、各球を $a_0$ と結ぶ有限の鎖を選ぶ。交点を介して球内の比較を反復すると、有限な定数 $A\geq1$ が存在して、任意の $x\in K$ に対し

A^{-1}u(a_0)\leq u(x)\leq Au(a_0)

となる。従って $u(x)\leq A^2u(y)$ が任意の $x,y\in K$ に対して成り立ち、 $C_{K,\Omega}=A^2$ とすればよい。▨

系 2.2 (Liouville の定理). $n\geq1$ とする。このとき、 $\R^n$ 上の実数値調和関数 $u$ が上に有界または下に有界ならば、 $u$ は定数である。 $\R^n$ 上の複素数値調和関数 $v$ が $\sup_{\R^n}|v|<\infty$ を満たす場合も、 $v$ は定数である。

証明. $n\geq2$ とし、 $u\geq M$ とする。 $w=u-M$ は非負の調和関数である。 $x,y\in\R^n$ を固定し、 $x,y\in B_r(0)$ となる $r>0$ をとる。任意の $R>r$ に対して定理 2.1より

w(x)\leq\left(\frac{R+r}{R-r}\right)^nw(y)

である。 $R\to\infty$ とすれば $w(x)\leq w(y)$ となる。 $x,y$ を交換すれば等号を得る。上に有界な場合は $-u$ に同じ議論を適用する。 $n=1$ では $u''=0$ より $u$ はアフィン関数であり、一側有界性からその傾きは零である。複素数値の場合は $v$ の実部と虚部がともに有界な実数値調和関数なので、それぞれ定数である。▨

例 2.3. $n\geq2$ とし、 $u(x)=x_1$ とおく。このとき、 $\Delta u=0$ であるが、任意の $r>0$ に対し $\sup_{B_r(0)}u=r$ 、 $\inf_{B_r(0)}u=-r$ である。従って、非負性を外した Harnack 不等式は成り立たない。また $u$ は $\R^n$ 全体で調和的で非定数であるから、一側有界性を外した Liouville の結論も成り立たない。

定理 3.1 (除去可能特異点定理). $n\geq2$ 、 $\Omega\subseteq\R^n$ を開集合、 $a\in\Omega$ とする。このとき、 $u\colon\Omega\setminus\{a\}\to\C$ が調和関数であり、 $x\to a$ のとき

u(x)= \begin{cases} o(|x-a|^{2-n}),&n\geq3,\\ o(\log(1/|x-a|)),&n=2 \end{cases}

を満たすならば、 $u$ は $\Omega$ 上の調和関数に一意に延長される。特に、 $a$ のある穿孔近傍で有界な調和関数の特異点は除去可能である。

証明. 実数値の場合を考え、 $\overline{B_R(a)}\subseteq\Omega$ となる $R>0$ をとる。§E15.29 定理 5.1により、境界値 $u|_{\partial B_R(a)}$ の調和拡張 $h\in C^\infty(B_R(a))\cap C(\overline{B_R(a)})$ が存在する。 $w=u-h$ とおくと、 $w$ は穿孔球上で調和的であり、外側の球面上で零である。 $h$ は有界であるから、 $w$ も $u$ と同じ little-o 条件を満たす。

§E15.6 定理 2.2の Newton 核を用い、 $\sigma_{n-1}=|S^{n-1}|$ 、 $0<s\leq R$ に対して

q(s)=\Phi_n(se_1)-\Phi_n(Re_1) =\begin{cases} \displaystyle\frac{s^{2-n}-R^{2-n}}{(n-2)\sigma_{n-1}},&n\geq3,\\[4pt] \displaystyle\frac{1}{2\pi}\log\frac{R}{s},&n=2 \end{cases}

とおく。 $q(|x-a|)$ は穿孔球上で調和的で、 $0<|x-a|<R$ では正である。任意の $\varepsilon>0$ に対し、little-o 条件から、十分小さい任意の $\delta>0$ について

|w(x)|\leq\varepsilon q(\delta)\qquad(|x-a|=\delta)

が成り立つ。滑らかな有界領域 $B_R(a)\setminus\overline{B_\delta(a)}$ 上で $-\Delta$ に§E15.18 系 1.2を適用すると、内外両方の境界で成立する $\pm w\leq\varepsilon q(|x-a|)$ が領域内部でも成立する。

$0<|x-a|<R$ を固定して $\delta\downarrow0$ とすれば、 $|w(x)|\leq\varepsilon q(|x-a|)$ を得る。次に $\varepsilon\downarrow0$ とすると $w(x)=0$ である。従って $u=h$ が穿孔球上で成立し、 $u(a)=h(a)$ と定めれば調和拡張を得る。複素数値の場合は実部と虚部に同じ議論を適用する。二つの拡張は $a$ 以外で一致するため、連続性から $a$ でも一致する。 $n\geq3$ では $|x-a|^{2-n}\to\infty$ 、 $n=2$ では $\log(1/|x-a|)\to\infty$ であるから、有界な関数は各次元の little-o 条件を満たす。▨

例 3.2. $n\geq2$ とする。このとき、§E15.6 定理 2.2の基本解 $u(x)=\Phi_n(x-a)$ は $\R^n\setminus\{a\}$ 上で調和的であり、 $x\to a$ のとき、 $n\geq3$ では $O(|x-a|^{2-n})$ 、 $n=2$ では $O(\log(1/|x-a|))$ である。しかし $u(x)\to+\infty$ であるから、連続に延長することはできない。従って定理 3.1の little-o 条件を big-O 条件へ弱めることはできない。

$\Phi_n$ は局所可積分であるが、§E15.6 定理 2.2を平行移動すると、超関数の意味で

\Delta u=-\delta_a

となる。穿孔領域で調和的かつ特異点の近傍で局所可積分であることだけから、全領域で超関数的に調和的であるとは結論することができない。

§E15.30調和関数

1 平均値による特徴づけ

2 Harnack の不等式と Liouville の定理

3 孤立特異点の除去

前提記事