§E15.3Schwartz 空間上の Fourier 変換

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Fourier 変換は、空間変数についての微分を周波数変数の乗算に対応させる。この対応を繰り返し用いるには、関数の可積分性だけでなく、導関数と多項式を掛けた関数の可積分性も必要となる。すべての導関数が任意の次数のべき減衰より速く減衰する Schwartz 関数は、この要請を満たす Fourier 解析の基本的な関数のクラスであり、Gauss 関数がその代表例である。Schwartz 空間では Fourier 変換と逆変換がともに同じ空間を保つため、空間変数と周波数変数を対等に扱うことができる。本記事では、Schwartz 空間上の Fourier 変換の基本的な性質と代表的な例を解説する。

1 微分と乗算の交換

補題 1.1.n∈N≥1n\in\NNとし、S(Rn)\mathcal S(\R^n)を Schwartz 空間とする。多重指数γ,δ∈N≥0n\gamma,\delta\in\N^nに対して

qγ,δ(f)=sup⁡x∈Rn∣xγ∂δf(x)∣q_{\gamma,\delta}(f)=\sup_{x\in\R^n}|x^\gamma\partial^\delta f(x)|

と書く。このとき、ある定数Cn>0C_n>0が存在し、すべてのf∈S(Rn)f\in\mathcal S(\R^n)について

∥f∥1≤Cn∑∣γ∣≤n+1qγ,0(f)\|f\|_1\leq C_n\sum_{|\gamma|\leq n+1}q_{\gamma,0}(f)

が成り立つ。特にS(Rn)⊂L1(Rn)∩L2(Rn)\mathcal S(\R^n)\subset L^1(\R^n)\cap L^2(\R^n)である。また、任意の多重指数α,β\alpha,\betaについてxα∂βf∈S(Rn)x^\alpha\partial^\beta f\in\mathcal S(\R^n)である。

証明.∣x∣≤∑j=1n∣xj∣|x|\leq\sum_{j=1}^n|x_j|と多項定理により、ある定数An>0A_n>0が存在し、

(1+∣x∣)n+1∣f(x)∣≤An∑∣γ∣≤n+1qγ,0(f)(1+|x|)^{n+1}|f(x)| \leq A_n\sum_{|\gamma|\leq n+1}q_{\gamma,0}(f)

が成り立つ。∫Rn(1+∣x∣)−n−1 dx<∞\int_{\R^n}(1+|x|)^{-n-1}\,dx<\inftyなので、積分して所要の評価を得る。さらに∥f∥22≤q0,0(f)∥f∥1<∞\|f\|_2^2\leq q_{0,0}(f)\|f\|_1<\inftyである。

Leibniz の公式により、∂δ(xα∂βf)\partial^\delta(x^\alpha\partial^\beta f)は、η≤δ\eta\leq\delta、η≤α\eta\leq\alphaを満たす多重指数η\etaに対するxα−η∂β+δ−ηfx^{\alpha-\eta}\partial^{\beta+\delta-\eta}fの有限線形結合である。各項にxγx^\gammaを掛けた関数は有界なので、xα∂βf∈S(Rn)x^\alpha\partial^\beta f\in\mathcal S(\R^n)である。▨

定義 1.2 (Fourier 変換).n∈N≥1n\in\NNとする。f∈S(Rn)f\in\mathcal S(\R^n)の Fourier 変換 (Fourier transform) を

Ff(ξ)=f^(ξ)=∫Rnf(x)e−2πix⋅ξ dx,ξ∈Rn,\mathcal Ff(\xi)=\widehat f(\xi) =\int_{\R^n}f(x)e^{-2\pi i x\cdot\xi}\,dx, \qquad \xi\in\R^n,

で定める。積分には Lebesgue 測度を用いる。

注意 1.3.n∈N≥1n\in\NNとする。実数加法群の双対の同定を§E14.13 補題 1.3によって有限積へ拡張すると、周波数ξ∈Rn\xi\in\R^nは指標x↦e2πix⋅ξx\mapsto e^{2\pi i x\cdot\xi}に対応する。§E14.15 例 3.1により、双対 Haar 測度も Lebesgue 測度である。したがって、上の積分は群上の Fourier 変換と一致する。

命題 1.4.n∈N≥1n\in\NN、f∈S(Rn)f\in\mathcal S(\R^n)とする。このとき、f^\widehat fはC∞C^\infty級であり、すべての多重指数α,β∈N≥0n\alpha,\beta\in\N^nについて

∂ξαf^=(−2πix)αf^,∂xβf^(ξ)=(2πiξ)βf^(ξ)\partial_\xi^\alpha\widehat f =\widehat{(-2\pi i x)^\alpha f}, \qquad \widehat{\partial_x^\beta f}(\xi) =(2\pi i\xi)^\beta\widehat f(\xi)

が成り立つ。

証明.f∈L1f\in L^1なので、§E10.11 定理 3.1を支配関数∣f∣|f|に適用するとf^\widehat fの連続性を得る。eje_jを第jj標準基底ベクトルとする。h≠0h\ne0に対して

∣e−2πihxj−1h∣≤2π∣xj∣\left|\frac{e^{-2\pi i h x_j}-1}{h}\right|\leq2\pi|x_j|

であり、xjf∈L1x_jf\in L^1である。差商に同じ優収束定理を適用すると

∂ξjf^(ξ)=∫Rn(−2πixj)f(x)e−2πix⋅ξ dx\partial_{\xi_j}\widehat f(\xi) =\int_{\R^n}(-2\pi i x_j)f(x)e^{-2\pi i x\cdot\xi}\,dx

を得る。補題 1.1により、任意のα\alphaについてxαfx^\alpha fとxjxαfx_jx^\alpha fは可積分である。微分の反復と各段階での優収束により、第一の公式と各導関数の連続性が従う。

他の座標を固定すると、xjx_jの関数としてのf(x)f(x)はxj→±∞x_j\to\pm\inftyで零に収束する。一変数の部分積分により

∫R∂xjf(x)e−2πixjξj dxj=2πiξj∫Rf(x)e−2πixjξj dxj\int_\R\partial_{x_j}f(x)e^{-2\pi i x_j\xi_j}\,dx_j =2\pi i\xi_j\int_\R f(x)e^{-2\pi i x_j\xi_j}\,dx_j

である。ffと∂xjf\partial_{x_j}fは可積分なので、§E10.19 命題 3.4によって残りの変数で積分すると、∂xjf^=2πiξjf^\widehat{\partial_{x_j}f}=2\pi i\xi_j\widehat fを得る。各導関数も Schwartz 関数であるから、この等式を反復して第二の公式を得る。▨

命題 1.5.n∈N≥1n\in\NNとする。このとき、任意の多重指数α,β∈N≥0n\alpha,\beta\in\N^nに対して、ある定数Cn,α,β>0C_{n,\alpha,\beta}>0が存在し、すべてのf∈S(Rn)f\in\mathcal S(\R^n)について

qβ,α(f^)≤Cn,α,β∑η≤α, η≤β∣γ∣≤n+1qγ+α−η, β−η(f)q_{\beta,\alpha}(\widehat f) \leq C_{n,\alpha,\beta} \sum_{\substack{\eta\leq\alpha,\ \eta\leq\beta\\|\gamma|\leq n+1}} q_{\gamma+\alpha-\eta,\,\beta-\eta}(f)

が成り立つ。したがって、F ⁣:S(Rn)→S(Rn)\mathcal F\colon\mathcal S(\R^n)\to\mathcal S(\R^n)は連続線形写像である。

証明.命題 1.4をxαfx^\alpha fに適用すると

(2πiξ)β∂ξαf^(ξ)=(−2πi)∣α∣∂β(xαf)^(ξ)(2\pi i\xi)^\beta\partial_\xi^\alpha\widehat f(\xi) =(-2\pi i)^{|\alpha|}\widehat{\partial^\beta(x^\alpha f)}(\xi)

である。積分の絶対値を評価して

qβ,α(f^)≤(2π)∣α∣−∣β∣∥∂β(xαf)∥1q_{\beta,\alpha}(\widehat f) \leq(2\pi)^{|\alpha|-|\beta|}\|\partial^\beta(x^\alpha f)\|_1

を得る。Leibniz の公式により

∂β(xαf)=∑η≤αη≤β(βη)α!(α−η)!xα−η∂β−ηf\partial^\beta(x^\alpha f) =\sum_{\substack{\eta\leq\alpha\\\eta\leq\beta}} \binom\beta\eta\frac{\alpha!}{(\alpha-\eta)!} x^{\alpha-\eta}\partial^{\beta-\eta}f

が成り立つ。各項に補題 1.1の評価を適用すると、主張の半ノルム評価が従う。

Schwartz 空間の位相は、§E12.16 例 8.3により、重み付き微分半ノルムの族で定まる Fréchet 位相である。滑らかな関数では偏微分の順序が交換するため、上で用いた多重指数による半ノルムは、その族と同じ半ノルム族を与える。各出力半ノルムが入力の有限個の半ノルムの和で抑えられるので、F\mathcal Fは連続である。線形性は積分の線形性による。▨

2 反転と Plancherel の定理

定理 2.1.n∈N≥1n\in\NNとする。このとき、Fourier 変換はS(Rn)\mathcal S(\R^n)の連続線形自己同型であり、任意のf∈S(Rn)f\in\mathcal S(\R^n)とx∈Rnx\in\R^nについて

f(x)=∫Rnf^(ξ)e2πix⋅ξ dξ,F2f(x)=f(−x)f(x)=\int_{\R^n}\widehat f(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi}\,d\xi, \qquad \mathcal F^2f(x)=f(-x)

が成り立つ。また、F\mathcal FはL2(Rn)L^2(\R^n)上の Plancherel のユニタリ同型の制限である。L2(Rn)L^2(\R^n)の内積を第一変数について線形とし、( , )2(\ ,\ )_2と書く。任意のf,g∈S(Rn)f,g\in\mathcal S(\R^n)に対して

(f^,g^)2=(f,g)2,∫Rnf^(ξ)g(ξ) dξ=∫Rnf(x)g^(x) dx(\widehat f,\widehat g)_2 =(f,g)_2, \qquad \int_{\R^n}\widehat f(\xi)g(\xi)\,d\xi =\int_{\R^n}f(x)\widehat g(x)\,dx

が成り立つ。

証明.Rh(x)=h(−x)Rh(x)=h(-x)とおく。qβ,α(Rh)=qβ,α(h)q_{\beta,\alpha}(Rh)=q_{\beta,\alpha}(h)なので、RRは Schwartz 空間の連続自己同型である。G=RFG=R\mathcal Fとおくと、命題 1.5によりGGは連続であり、

Gg(x)=∫Rng(ξ)e2πix⋅ξ dξGg(x)=\int_{\R^n}g(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi}\,d\xi

である。

§E14.15 定理 4.1のユニタリ同型をUUと書く。Schwartz 関数はL1∩L2L^1\cap L^2に属するので、Uf=f^Uf=\widehat fである。f,g∈Sf,g\in\mathcal Sに対して、二重積分の被積分関数の絶対積分は∥f∥1∥g∥1<∞\|f\|_1\|g\|_1<\inftyである。§E10.19 命題 3.4により

(Uf,g)2=∫Rn∫Rnf(x)e−2πix⋅ξg(ξ)‾ dx dξ=(f,Gg)2(Uf,g)_2 =\int_{\R^n}\int_{\R^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot\xi}\overline{g(\xi)}\,dx\,d\xi =(f,Gg)_2

を得る。Cc∞(Rn)⊂S(Rn)C_c^\infty(\R^n)\subset\mathcal S(\R^n)であり、§E10.47 定理 1.4をp=2p=2に適用すると、S\mathcal SはL2L^2で稠密である。したがって、任意のg∈Sg\in\mathcal SについてU∗g=GgU^*g=GgがL2L^2で成り立つ。UUはユニタリなのでU∗=U−1U^*=U^{-1}であり、GFf=fG\mathcal Ff=fとFGf=f\mathcal FGf=fがほとんど至る所で成り立つ。

両辺は Schwartz 関数であるから連続である。連続な二つの関数の差がある点で零でなければ、その絶対値はその点のある開球上で正の定数以上となる。開球の Lebesgue 測度は正なので、ほとんど至る所の一致に反する。よってGFf=fG\mathcal Ff=fとFGf=f\mathcal FGf=fは各点で成り立ち、反転公式と連続な逆写像GGを得る。GF=RF2G\mathcal F=R\mathcal F^2とR2=idR^2=\mathrm{id}からF2=R\mathcal F^2=Rである。

内積の公式はUUのユニタリ性による。双線形積分の公式は、絶対積分が∥f∥1∥g∥1\|f\|_1\|g\|_1で抑えられる二重積分に§E10.19 命題 3.4を適用して積分順序を交換すると従う。▨

3 積と畳み込み

命題 3.1.n∈N≥1n\in\NN、f,g∈S(Rn)f,g\in\mathcal S(\R^n)とする。このとき、fgfgと

(f∗g)(x)=∫Rnf(x−y)g(y) dy(f*g)(x)=\int_{\R^n}f(x-y)g(y)\,dy

は Schwartz 関数であり、すべてのξ∈Rn\xi\in\R^nについて

f∗g^(ξ)=f^(ξ)g^(ξ),fg^(ξ)=(f^∗g^)(ξ)\widehat{f*g}(\xi)=\widehat f(\xi)\widehat g(\xi), \qquad \widehat{fg}(\xi)=(\widehat f*\widehat g)(\xi)

が成り立つ。

証明. Leibniz の公式と

qβ,α(fg)≤∑δ≤α(αδ)qβ,δ(f)q0,α−δ(g)q_{\beta,\alpha}(fg) \leq\sum_{\delta\leq\alpha}\binom\alpha\delta q_{\beta,\delta}(f)q_{0,\alpha-\delta}(g)

により、fg∈Sfg\in\mathcal Sである。

任意の多重指数α\alphaについて∂αf\partial^\alpha fは有界であり、g∈L1g\in L^1である。eje_jを第jj標準基底ベクトルとすると、差商はsup⁡∣∂α+ejf∣ ∣g(y)∣\sup|\partial^{\alpha+e_j}f|\,|g(y)|によって支配されるので、§E10.11 定理 3.1による微分の反復から、f∗gf*gは滑らかであり、∂α(f∗g)=(∂αf)∗g\partial^\alpha(f*g)=(\partial^\alpha f)*gである。x=(x−y)+yx=(x-y)+yを用いてxβx^\betaを展開すると

qβ,α(f∗g)≤∑η≤β(βη)qη,α(f)∥yβ−ηg(y)∥1<∞q_{\beta,\alpha}(f*g) \leq\sum_{\eta\leq\beta}\binom\beta\eta q_{\eta,\alpha}(f)\|y^{\beta-\eta}g(y)\|_1<\infty

を得る。したがってf∗g∈Sf*g\in\mathcal Sである。f,g∈L1f,g\in L^1なので、§E14.13 命題 3.2を適用すると、畳み込みの Fourier 変換の公式が従う。

h=f^∗g^h=\widehat f*\widehat gとおき、Ru(x)=u(−x)Ru(x)=u(-x)と書く。既に示した公式と定理 2.1により

Fh=(F2f)(F2g)=(Rf)(Rg)=R(fg)=F2(fg)\mathcal Fh=(\mathcal F^2f)(\mathcal F^2g) =(Rf)(Rg)=R(fg)=\mathcal F^2(fg)

である。F\mathcal Fは Schwartz 空間上で単射なので、h=F(fg)h=\mathcal F(fg)である。▨

4 Gauss 関数と矩形関数

命題 4.1.n∈N≥1n\in\NN、a>0a>0とし、fa(x)=e−πa∣x∣2f_a(x)=e^{-\pi a|x|^2}（x∈Rnx\in\R^n）とおく。このとき、fa∈S(Rn)f_a\in\mathcal S(\R^n)であり、

fa^(ξ)=a−n/2e−π∣ξ∣2/a\widehat{f_a}(\xi)=a^{-n/2}e^{-\pi|\xi|^2/a}

が成り立つ。任意の多重指数α∈N≥0n\alpha\in\N^nに対して

F(xαfa)(ξ)=(−12πi)∣α∣∂ξα(a−n/2e−π∣ξ∣2/a)\mathcal F(x^\alpha f_a)(\xi) =\left(-\frac{1}{2\pi i}\right)^{|\alpha|} \partial_\xi^\alpha\left(a^{-n/2}e^{-\pi|\xi|^2/a}\right)

である。

証明.faf_aの各導関数はfaf_aの多項式倍であり、任意の多項式PPに対してP(x)e−πa∣x∣2P(x)e^{-\pi a|x|^2}は有界である。したがってfa∈Sf_a\in\mathcal Sである。§E14.15 例 3.1により、f1f_1の Fourier 変換はf1f_1である。変数変換y=a xy=\sqrt a\,xによって

fa^(ξ)=a−n/2∫Rne−π∣y∣2e−2πiy⋅ξ/a dy=a−n/2e−π∣ξ∣2/a\widehat{f_a}(\xi) =a^{-n/2}\int_{\R^n}e^{-\pi|y|^2}e^{-2\pi i y\cdot\xi/\sqrt a}\,dy =a^{-n/2}e^{-\pi|\xi|^2/a}

を得る。多項式倍の公式は命題 1.4による。▨

例 4.2.a>0a>0、fa(x)=e−πax2f_a(x)=e^{-\pi ax^2}（x∈Rx\in\R）とする。このとき、命題 4.1の右辺を二回微分すると

F(x2fa)(ξ)=a−1/2(12πa−ξ2a2)e−πξ2/a\mathcal F(x^2f_a)(\xi) =a^{-1/2}\left(\frac{1}{2\pi a}-\frac{\xi^2}{a^2}\right)e^{-\pi\xi^2/a}

を得る。一般の多項式PPに対しても、F(Pfa)\mathcal F(Pf_a)は Gauss 関数e−πξ2/ae^{-\pi\xi^2/a}の多項式倍となる。

例 4.3.h=1[−1/2,1/2]∈L1(R)h=\mathbf1_{[-1/2,1/2]}\in L^1(\R)とする。このとき、ξ≠0\xi\ne0に対して

h^(ξ)=∫−1/21/2e−2πixξ dx=sin⁡(πξ)πξ,\widehat h(\xi)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i x\xi}\,dx =\frac{\sin(\pi\xi)}{\pi\xi},

であり、h^(0)=1\widehat h(0)=1である。ξk=k+12\xi_k=k+\tfrac12（k∈N≥1k\in\NN）とおくと、

∣ξk∣2∣h^(ξk)∣=∣ξk∣π⟶∞|\xi_k|^2|\widehat h(\xi_k)|=\frac{|\xi_k|}{\pi}\longrightarrow\infty

となるので、h^\widehat hは Schwartz 関数でない。したがって、可積分な関数の Fourier 変換は、すべての多項式重みに対して有界になるとは限らない。

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