§E15.5Paley–Wiener–Schwartz の定理

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コンパクトな台をもつ超関数の Fourier 変換は、複素周波数の整関数へ延長される。しかし、整関数への延長が存在するという性質だけでは、超関数の台がどこに含まれるかを判定するには足りない。Fourier–Laplace 変換はこの延長を与え、その虚部方向の指数型増大は、台を含むコンパクト凸集合の支持関数によって記述される。たとえば、一点に集中する Dirac の超関数の変換では、その点の位置が指数因子に現れる。Paley–Wiener–Schwartz の定理は、実空間における台の制約と複素周波数における増大条件を結ぶ基本的な定理である。本記事では、この対応による台の特徴づけを解説する。

1 Fourier–Laplace 変換と支持関数

定義 1.1 (支持関数と Fourier–Laplace 変換).n∈N≥1n\in\NN、K⊆RnK\subseteq\R^nを空でないコンパクト集合とする。KKの 支持関数 (support function) を

HK(η)=sup⁡x∈Kx⋅η(η∈Rn)H_K(\eta)=\sup_{x\in K}x\cdot\eta\qquad(\eta\in\R^n)

で定める。T∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)の Fourier–Laplace 変換 (Fourier–Laplace transform) を

FT(z)=⟨Tx,e−2πix⋅z⟩(z∈Cn)F_T(z)=\langle T_x,e^{-2\pi ix\cdot z}\rangle\qquad(z\in\C^n)

で定める。超関数の作用は共役を入れない複素線形双対とし、指数関数への作用には§E15.2 定理 3.4のC∞C^\infty上への延長を用いる。

命題 1.2.n∈N≥1n\in\NN、K⊆RnK\subseteq\R^nを空でないコンパクト集合、T∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)とする。このときFTF_TはCn\C^n上の整関数であり、実軸上のFTF_TはTTの Fourier 変換を表す。supp⁡T⊆K\supp T\subseteq Kならば、あるC>0C>0とN∈N≥0N\in\Nが存在し、すべてのz∈Cnz\in\C^nに対して

∣FT(z)∣≤C(1+∣z∣)Ne2πHK(ℑz)|F_T(z)|\leq C(1+|z|)^N e^{2\pi H_K(\Im z)}

が成り立つ。

証明.z0∈Cnz_0\in\C^nを固定し、指数関数を

e−2πix⋅z=e−2πix⋅z0∑α∈N≥0n(−2πix)αα!(z−z0)αe^{-2\pi ix\cdot z} =e^{-2\pi ix\cdot z_0}\sum_{\alpha\in\N^n} \frac{(-2\pi ix)^\alpha}{\alpha!}(z-z_0)^\alpha

と展開する。この級数は、zzの各コンパクト集合上で、xxの任意のコンパクト集合上の全微分について一様収束する。実際、各項をxxについて微分して得る級数は、xxとzzの各コンパクト集合上で、階乗を分母にもつ絶対収束級数によって支配される。§E15.2 定理 3.4の連続性によって項別にTTを作用させると、FTF_Tはz0z_0の近傍で収束べき級数をもつ。実軸上の一致は§E15.4 命題 4.2による。

supp⁡T⊆K\supp T\subseteq Kとする。C∞C^\infty上の作用の連続性から、あるコンパクト集合L⊆RnL\subseteq\R^nとm∈N≥0m\in\N、A>0A>0が存在して

∣⟨T,f⟩∣≤Amax⁡∣α∣≤msup⁡x∈L∣∂αf(x)∣(f∈C∞(Rn))|\langle T,f\rangle|\leq A\max_{|\alpha|\leq m}\sup_{x\in L}|\partial^\alpha f(x)| \qquad(f\in C^\infty(\R^n))

が成り立つ。§E10.47 補題 1.1により、非負で積分が11、台がB‾(0,1)\overline B(0,1)に含まれるρ∈Cc∞(Rn)\rho\in C_c^\infty(\R^n)をとる。0<ε≤10<\varepsilon\leq1に対し、Kr=K+rB‾(0,1)K_r=K+r\overline B(0,1)とおき、

χε=1Kε/2∗ρε/4,ρr(x)=r−nρ(x/r)\chi_\varepsilon=\mathbf1_{K_{\varepsilon/2}}*\rho_{\varepsilon/4}, \qquad \rho_r(x)=r^{-n}\rho(x/r)

と定める。χε∈Cc∞(Rn)\chi_\varepsilon\in C_c^\infty(\R^n)であり、Kε/4K_{\varepsilon/4}上で11となる。また0≤χε≤10\leq\chi_\varepsilon\leq1、supp⁡χε⊆K3ε/4\supp\chi_\varepsilon\subseteq K_{3\varepsilon/4}である。実際、x∈Kε/4x\in K_{\varepsilon/4}ならばx−supp⁡ρε/4⊆Kε/2x-\supp\rho_{\varepsilon/4}\subseteq K_{\varepsilon/2}であり、xxとKKの距離が3ε/43\varepsilon/4より大きければ(x−supp⁡ρε/4)∩Kε/2=∅(x-\supp\rho_{\varepsilon/4})\cap K_{\varepsilon/2}=\varnothingである。畳込みを核の側で微分すると、ε\varepsilonに依存しない定数AαA_\alphaに対して

∥∂αχε∥∞≤∥∂αρε/4∥1≤Aαε−∣α∣\|\partial^\alpha\chi_\varepsilon\|_\infty \leq\|\partial^\alpha\rho_{\varepsilon/4}\|_1 \leq A_\alpha\varepsilon^{-|\alpha|}

を得る。χε\chi_\varepsilonはKKの近傍で11であるから、§E15.2 定理 3.4と Leibniz の公式によって、zzとε\varepsilonに依存しない定数CCに対して

∣FT(z)∣=∣⟨T,χεe−2πix⋅z⟩∣≤Cε−m(1+∣z∣)me2πHK(ℑz)+2πε∣ℑz∣\begin{aligned} |F_T(z)| &=|\langle T,\chi_\varepsilon e^{-2\pi ix\cdot z}\rangle|\\ &\leq C\varepsilon^{-m}(1+|z|)^m e^{2\pi H_K(\Im z)+2\pi\varepsilon|\Im z|} \end{aligned}

を得る。ここではx∈Kεx\in K_\varepsilonならばx⋅ℑz≤HK(ℑz)+ε∣ℑz∣x\cdot\Im z\leq H_K(\Im z)+\varepsilon|\Im z|であることを用いた。ε=(1+∣z∣)−1\varepsilon=(1+|z|)^{-1}とおくと、e2πε∣ℑz∣≤e2πe^{2\pi\varepsilon|\Im z|}\leq e^{2\pi}である。したがってN=2mN=2mとすることができる。▨

例 1.3.n∈N≥1n\in\NN、a∈Rna\in\R^n、α∈N≥0n\alpha\in\N^nとする。このとき、すべてのz∈Cnz\in\C^nについて

F∂αδa(z)=(−1)∣α∣∂xαe−2πix⋅z∣x=a=(2πiz)αe−2πia⋅z.F_{\partial^\alpha\delta_a}(z) =(-1)^{|\alpha|}\partial_x^\alpha e^{-2\pi ix\cdot z}\big|_{x=a} =(2\pi iz)^\alpha e^{-2\pi ia\cdot z}.

指数因子の絶対値はe2πa⋅ℑze^{2\pi a\cdot\Im z}であり、微分は次数∣α∣|\alpha|の多項式因子を与える。

2 滑らかな関数の台の特徴づけ

定理 2.1 (Paley–Wiener の定理).n∈N≥1n\in\NN、K⊆RnK\subseteq\R^nを空でないコンパクト凸集合、FFをCn\C^n上の整関数とする。このとき、次の増大条件が成り立つことは、続く台に関する条件が成り立つための必要十分条件である。

  1. すべてのM∈N≥0M\in\Nに対してあるCM>0C_M>0が存在し、すべてのz∈Cnz\in\C^nについて ∣F(z)∣≤CM(1+∣z∣)−Me2πHK(ℑz)|F(z)|\leq C_M(1+|z|)^{-M}e^{2\pi H_K(\Im z)} が成り立つ。
  2. あるφ∈Cc∞(Rn)\varphi\in C_c^\infty(\R^n)が存在し、supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq KかつF=FφF=F_\varphiとなる。

このときφ\varphiは一意であり、

φ(x)=∫RnF(ξ)e2πix⋅ξ dξ\varphi(x)=\int_{\R^n}F(\xi)e^{2\pi ix\cdot\xi}\,d\xi

で与えられる。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。RK=max⁡y∈K∣y∣R_K=\max_{y\in K}|y|とおく。ξ∈Rn\xi\in\R^nを中心とする半径11の多重円板上では、∣ℑz∣≤n|\Im z|\leq\sqrt n、HK(ℑz)≤RKnH_K(\Im z)\leq R_K\sqrt nであり、1+∣z∣1+|z|と1+∣ξ∣1+|\xi|はξ\xiに依存しない定数倍の範囲で比較される。§E5.6 系 4.2を各変数について順に適用すると、任意のα∈N≥0n\alpha\in\N^nとM∈N≥0M\in\Nに対して、ξ\xiに依存しない定数Cα,M>0C_{\alpha,M}>0が存在し、

∣∂αF(ξ)∣≤Cα,M(1+∣ξ∣)−M|\partial^\alpha F(\xi)|\leq C_{\alpha,M}(1+|\xi|)^{-M}

がすべてのξ∈Rn\xi\in\R^nについて成り立つ。したがってF∣Rn∈S(Rn)F|_{\R^n}\in\mathcal S(\R^n)である。§E15.3 定理 2.1により、定理に表示した逆変換はφ∈S(Rn)\varphi\in\mathcal S(\R^n)を定め、φ^=F∣Rn\widehat\varphi=F|_{\R^n}となる。実軸上の急減少により、任意のα∈N≥0n\alpha\in\N^nについて逆変換を積分下で微分することもできる。

x∉Kx\notin Kをとり、xxからの距離を最小にするy∈Ky\in Kを選ぶ。任意のv∈Kv\in Kと0<s≤10<s\leq1に対してy+s(v−y)∈Ky+s(v-y)\in Kであるから、

∣x−y∣2≤∣x−y−s(v−y)∣2|x-y|^2\leq|x-y-s(v-y)|^2

が成り立つ。両辺から∣x−y∣2|x-y|^2を引き、ssで割ってs↓0s\downarrow0とすると(x−y)⋅(v−y)≤0(x-y)\cdot(v-y)\leq0を得る。η=(x−y)/∣x−y∣\eta=(x-y)/|x-y|とおくと

x⋅η−HK(η)=∣x−y∣>0.x\cdot\eta-H_K(\eta)=|x-y|>0.

η\etaを第一座標方向とする実直交座標をとり、同じ直交変換を複素変数にも施す。内積、ノルム、実積分の体積要素は保たれるので、この座標でη=e1\eta=e_1として計算する。t>0t>0、ξ′∈Rn−1\xi'\in\R^{n-1}を固定し、R>0R>0に対して整関数

w⟼F(w,ξ′)e2πi(x1w+x′⋅ξ′)w\longmapsto F(w,\xi')e^{2\pi i(x_1w+x'\cdot\xi')}

を頂点−R,R,R+it,−R+it-R,R,R+it,-R+itの長方形の境界上で積分する。長方形の境界はC\C内で零ホモローグであるから、§E5.5 定理 6.6により積分は零である。0≤s≤t0\leq s\leq tとすると、垂直辺上の被積分関数の絶対値は

CM,t,x,K(1+R2+∣ξ′∣2)−MC_{M,t,x,K}(1+\sqrt{R^2+|\xi'|^2})^{-M}

以下となる。ここでCM,t,x,KC_{M,t,x,K}はRRとξ′\xi'に依存しない。各垂直辺上の線積分をξ′\xi'について積分した値の絶対値は、M>nM>nのとき

CM,t,x,K(1+R)n−1−MC_{M,t,x,K}(1+R)^{n-1-M}

以下となり、R→∞R\to\inftyのとき零に収束する。n=1n=1ではξ′\xi'の積分を省く。虚部が00およびttの各水平線上の被積分関数は、第一変数の実部とξ′\xi'について絶対可積分である。したがって、§E10.19 命題 3.4を用いてξ′\xi'について積分し、R→∞R\to\inftyとすると、

φ(x)=∫RnF(ξ+itη)e2πix⋅(ξ+itη) dξ\varphi(x)=\int_{\R^n}F(\xi+it\eta)e^{2\pi ix\cdot(\xi+it\eta)}\,d\xi

を得る。M>nM>nを固定すると、∣ξ+itη∣≥∣ξ∣|\xi+it\eta|\geq|\xi|およびHK(tη)=tHK(η)H_K(t\eta)=tH_K(\eta)により

∣φ(x)∣≤CM(∫Rn(1+∣ξ∣)−M dξ)e−2πt(x⋅η−HK(η)).|\varphi(x)|\leq C_M\left(\int_{\R^n}(1+|\xi|)^{-M}\,d\xi\right) e^{-2\pi t(x\cdot\eta-H_K(\eta))}.

t→∞t\to\inftyとしてφ(x)=0\varphi(x)=0を得る。したがってsupp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kである。

FFとFφF_\varphiは整関数であり、実軸上で一致する。残りの座標を実数に固定して第一変数に§E5.8 定理 3.1を適用すると、第一変数が複素数で残りの座標が実数の点で一致する。n≥2n\geq2の場合は、第一変数を任意の複素数に固定して第二変数に同じ定理を適用する。必要に応じて同じ操作を残りの変数について反復するとF=FφF=F_\varphiを得る。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kとすると、supp⁡∂jMφ⊆K\supp\partial_j^M\varphi\subseteq Kであり、部分積分によって

(2πizj)MFφ(z)=∫Rn∂jMφ(x)e−2πix⋅z dx(2\pi iz_j)^M F_\varphi(z) =\int_{\R^n}\partial_j^M\varphi(x)e^{-2\pi ix\cdot z}\,dx

を得る。右辺の絶対値は∥∂jMφ∥1e2πHK(ℑz)\|\partial_j^M\varphi\|_1e^{2\pi H_K(\Im z)}以下である。∣z∣≥1|z|\geq1ならば∣zj∣≥∣z∣/n|z_j|\geq|z|/\sqrt nを満たすjjを選び、∣z∣<1|z|<1ならば∣Fφ(z)∣≤∥φ∥1e2πHK(ℑz)|F_\varphi(z)|\leq\|\varphi\|_1e^{2\pi H_K(\Im z)}を用いると、求める評価を得る。一意性は§E15.3 定理 2.1の単射性による。▨

3 超関数の台の特徴づけ

定理 3.1 (Paley–Wiener–Schwartz の定理).n∈N≥1n\in\NN、K⊆RnK\subseteq\R^nを空でないコンパクト凸集合、FFをCn\C^n上の整関数とする。このとき、次の増大条件が成り立つことは、続く台に関する条件が成り立つための必要十分条件である。

  1. あるC>0C>0とN∈N≥0N\in\Nが存在し、すべてのz∈Cnz\in\C^nに対して ∣F(z)∣≤C(1+∣z∣)Ne2πHK(ℑz)|F(z)|\leq C(1+|z|)^N e^{2\pi H_K(\Im z)} が成り立つ。
  2. supp⁡T⊆K\supp T\subseteq KかつF=FTF=F_Tを満たすT∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)がただ一つ存在する。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。実軸上では∣F(ξ)∣≤C(1+∣ξ∣)N|F(\xi)|\leq C(1+|\xi|)^Nであり、F∣RnF|_{\R^n}は連続である。(1+∣ξ∣)−N−n−1F(ξ)(1+|\xi|)^{-N-n-1}F(\xi)は可積分であるから、§E15.4 命題 1.4によりF∣RnF|_{\R^n}は緩増加超関数UUを定める。§E15.4 定理 3.2を用いてT=F−1UT=\mathcal F^{-1}Uとおく。

§E10.47 補題 1.1により、非負で積分が11、台がB‾(0,1)\overline B(0,1)に含まれるρ∈Cc∞(Rn)\rho\in C_c^\infty(\R^n)を選ぶ。0<ε≤10<\varepsilon\leq1に対しρε(x)=ε−nρ(x/ε)\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)とおく。定理 2.1 (2)⇒\Rightarrow(1)をρε\rho_\varepsilonに適用すると、任意のL∈N≥0L\in\Nに対して

∣Fρε(z)∣≤CL,ε(1+∣z∣)−Le2πε∣ℑz∣|F_{\rho_\varepsilon}(z)|\leq C_{L,\varepsilon}(1+|z|)^{-L} e^{2\pi\varepsilon|\Im z|}

を得る。ただしB‾=B‾(0,1)\overline B=\overline B(0,1)とする。K+εB‾K+\varepsilon\overline Bは空でないコンパクト凸集合であり、HK+εB‾(η)=HK(η)+ε∣η∣H_{K+\varepsilon\overline B}(\eta)=H_K(\eta)+\varepsilon|\eta|である。したがって整関数FFρεFF_{\rho_\varepsilon}は定理 2.1 (1)の評価をK+εB‾K+\varepsilon\overline Bについて満たす。定理 2.1により、

φε^=F∣Rnρ^ε,φε∈Cc∞(Rn),supp⁡φε⊆K+εB‾\widehat{\varphi_\varepsilon}=F|_{\R^n}\widehat\rho_\varepsilon, \qquad \varphi_\varepsilon\in C_c^\infty(\R^n), \qquad \supp\varphi_\varepsilon\subseteq K+\varepsilon\overline B

を満たすφε\varphi_\varepsilonが存在する。

任意のξ∈Rn\xi\in\R^nについて

ρ^ε(ξ)=∫ρ(y)e−2πiεy⋅ξ dy⟶1,∣ρ^ε(ξ)∣≤1\widehat\rho_\varepsilon(\xi) =\int\rho(y)e^{-2\pi i\varepsilon y\cdot\xi}\,dy\longrightarrow1, \qquad |\widehat\rho_\varepsilon(\xi)|\leq1

である。収束にはρ\rhoの可積分性と§E10.11 定理 3.1を用いた。任意のψ∈S(Rn)\psi\in\mathcal S(\R^n)に対してC(1+∣ξ∣)N∣ψ(ξ)∣C(1+|\xi|)^N|\psi(\xi)|は可積分である。したがって、任意の数列0<εj≤10<\varepsilon_j\leq1、εj→0\varepsilon_j\to0に対して再び§E10.11 定理 3.1を用いると、Fρ^εj→FF\widehat\rho_{\varepsilon_j}\to FがS′\mathcal S'の弱位相で成り立つ。§E15.4 定理 3.2の逆変換の連続性からφεj→T\varphi_{\varepsilon_j}\to Tが同じ位相で成り立つ。

ψ∈Cc∞(Rn∖K)\psi\in C_c^\infty(\R^n\setminus K)をとる。supp⁡ψ\supp\psiとKKは互いに素なコンパクト集合であるから、十分大きいjjに対して⟨φεj,ψ⟩=0\langle\varphi_{\varepsilon_j},\psi\rangle=0となる。極限をとると⟨T,ψ⟩=0\langle T,\psi\rangle=0を得る。したがってsupp⁡T⊆K\supp T\subseteq Kであり、§E15.4 命題 1.3によりT∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)と同一視することができる。命題 1.2によってFTF_Tは整関数であり、§E15.4 命題 4.2によって実軸上のFTF_TとFFは緩増加超関数として一致する。両者は連続関数なので、各実点でも一致する。各変数について§E5.8 定理 3.1を反復してFT=FF_T=Fを得る。FT1=FT2F_{T_1}=F_{T_2}ならば実軸上の Fourier 変換が一致するので、§E15.4 定理 3.2の単射性からT1=T2T_1=T_2となる。

(2)⇒\Rightarrow(1)は命題 1.2による。▨

例 3.2.n∈N≥1n\in\NN、a,b∈Rna,b\in\R^n、a≠ba\neq bとし、T=δa+δbT=\delta_a+\delta_b、K={a,b}K=\{a,b\}とおく。このときsupp⁡T=K\supp T=Kであり、命題 1.2によりHKH_Kによる増大評価が成り立つ。実際、すべてのz∈Cnz\in\C^nに対して

FT(z)=e−2πia⋅z+e−2πib⋅z,∣FT(z)∣≤2e2πmax⁡{a⋅ℑz,b⋅ℑz}.F_T(z)=e^{-2\pi ia\cdot z}+e^{-2\pi ib\cdot z}, \qquad |F_T(z)|\leq2e^{2\pi\max\{a\cdot\Im z,b\cdot\Im z\}}.

すべてのη∈Rn\eta\in\R^nについてHK(η)=H[a,b](η)=max⁡{a⋅η,b⋅η}H_K(\eta)=H_{[a,b]}(\eta)=\max\{a\cdot\eta,b\cdot\eta\}である。FTF_Tがある空でないコンパクト凸集合LLに対応する指数型評価を満たすならば、定理 3.1と Fourier 変換の単射性により{a,b}⊆L\{a,b\}\subseteq Lとなり、凸性から[a,b]⊆L[a,b]\subseteq Lとなる。したがって指数型評価を与える最小のコンパクト凸集合は[a,b][a,b]である。一方、開線分(a,b)(a,b)の各点はsupp⁡T\supp Tに属さない。

c=(a+b)/2c=(a+b)/2とすると、c∉Kc\notin Kであり、S=δcS=\delta_cはsupp⁡S={c}⊈K\supp S=\{c\}\not\subseteq Kを満たす。一方、任意のz∈Cnz\in\C^nに対して

∣FS(z)∣=e2πc⋅ℑz≤e2πHK(ℑz)|F_S(z)|=e^{2\pi c\cdot\Im z} \leq e^{2\pi H_K(\Im z)}

である。Fourier 変換の単射性により、FSF_Sと同じ Fourier–Laplace 変換をもつE′(Rn)\mathcal E'(\R^n)の元はSSに限られる。よってKKに台をもつ超関数は同じ変換をもたない。この例は、定理 3.1の増大評価から台を判定する向きにおいて、KKの凸性を除くことができないことを示す。

例 3.3.n=1n=1とし、F(z)=e−πz2F(z)=e^{-\pi z^2}とおく。このときFFは整関数であり、実軸上では急減少する。しかし、空でないコンパクト集合K⊆RK\subseteq\Rに対しR=max⁡x∈K∣x∣R=\max_{x\in K}|x|とおくと、

F(iy)=eπy2,HK(y)≤R∣y∣.F(iy)=e^{\pi y^2},\qquad H_K(y)\leq R|y|.

任意のC>0C>0とN∈N≥0N\in\Nに対して∣y∣→∞|y|\to\inftyのときeπy2/(C(1+∣y∣)Ne2πR∣y∣)→∞e^{\pi y^2}/\bigl(C(1+|y|)^N e^{2\pi R|y|}\bigr)\to\inftyであるから、有限の指数型評価は成り立たない。§E15.3 命題 4.1と§E15.3 定理 2.1によりF∣RF|_\Rの逆変換はe−πx2e^{-\pi x^2}であり、その台はR\R全体である。

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