§E15.38連続法と Dirichlet 問題

証明.$\Omega$は有界であり、$w$と$\nabla w$は$\overline\Omega$上で有界連続であるから、$w\in H^1(\Omega)$であり、その弱勾配は古典的な勾配に等しい。§E15.12 定理 2.2の局所表示において、連続関数$w$の鉛直方向の絶対連続代表は$w$自身であるから、$Tw$の局所表示は$w$の境界値に等しい。$n=1$では、$\Omega$の各連結成分は開区間$I=(a,b)$であり、境界点$a,b$の十分小さい近傍では、$\Omega$は片側の開区間として$I$と一致する。したがって、$a,b$における$Tw$は$w|_I\in W^{1,2}(a,b)$のトレースに等しく、§E15.12 例 4.2により$Tw=(w(a),w(b))$であり、これも$w$の境界値に等しい。したがって$Tw=w|_{\partial\Omega}$が$\sigma$-ほとんど至る所で成り立つ。§E15.12 定理 3.3により、$w\in H^1_0(\Omega)$であることは$Tw=0$が$\sigma$-ほとんど至る所で成り立つことと同値である。

$w|_{\partial\Omega}=0$ならば$Tw=0$である。逆に$Tw=0$が$\sigma$-ほとんど至る所で成り立つとし、$w(x_0)\neq0$を満たす$x_0\in\partial\Omega$が存在すると仮定する。$w|_{\partial\Omega}$の連続性により、$x_0$を含む$\partial\Omega$の相対開集合$N$で$w\neq0$となるものがある。§E15.12 補題 1.1の局所表示$d\sigma=\sqrt{1+|\nabla\varphi|^2}\,dx'\geq dx'$により$\sigma(N)>0$である（$n=1$では$\sigma$は計数測度である）。これは$Tw=0$に反する。▨

証明.$\Gamma_D=\partial\Omega$、$A=I$、$b=d=0$、$c=0$として§E15.16 定義 1.3の形式$a(u,w)=\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla w}\,dx$を取る。§E15.16 命題 1.2により$V=H^1_0(\Omega)$である。§E15.8 定理 5.4の定数を$C_P$とすると、$v\in V$について

が成り立つから、$a$は$V$上で強圧的である。$F(w)=-\int_\Omega g\overline w\,dx$は§E15.16 命題 1.4により$V^\dagger$の元である。§E15.16 定理 2.2を$G=0$として適用すると、すべての$w\in V$について$a(v,w)=F(w)$を満たす$v\in H^1_0(\Omega)$がただ一つ存在する。実数値の$w\in C_c^\infty(\Omega)$に対して$a(v,w)=-\langle\Delta v,w\rangle$であるから、$\Omega$上で超関数として$\Delta v=g$が成り立つ。$g$が実数値であるから、$\overline v$も同じ弱問題を解く。解の一意性により$v=\overline v$であり、$v$は実数値である。

$k=n+2$とおく。$\Omega$は有界$C^{k+1,1}$開集合であり、$A=I$の成分は$W^{k+1,\infty}$に属する。$g$の各階の導関数はコンパクト集合$\overline\Omega$上で連続、したがって有界であり、$\Omega$は有界であるから、$-g\in H^k(\Omega)$である。$v\in H^1(\Omega)$は$-\Delta v=-g$を超関数として満たし、$Tv=0\in H^{k+3/2}(\partial\Omega)$である。§E15.23 定理 5.1の Dirichlet 条件$Tv=0$の場合により$v\in H^{k+2}(\Omega)=H^{n+4}(\Omega)$を得る。

§E15.10 系 4.2を階数$n+4$、$p=2$に適用する。$s=(n+4)-n/2=n/2+4\geq4.5$であるから、$s$が整数でなければ$v\in C^{m,\alpha'}(\overline\Omega)$（$m\geq4$）であり、整数ならば$v\in C^{m-1,\alpha'}(\overline\Omega)$（$m-1\geq4$）である。いずれの場合も$v$の連続代表は$C^3(\overline\Omega)$に属する。$C^2(\Omega)$の関数$\Delta v$と$g$は連続で超関数として等しいから、$\Omega$上のすべての点で$\Delta v=g$が成り立つ。最後に、$v\in C^1(\overline\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$であるから、補題 1.1により$v|_{\partial\Omega}=0$である。▨

証明.$u_1,u_2\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$がともに解であるとし、$w=u_1-u_2$とおく。$w\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$であり、$\Omega$上で$\Delta w=0$、$\partial\Omega$上で$w=0$が成り立つ。§E15.37 系 3.3を$a^{ij}=\delta^{ij}$、$b=0$、$c=0$、$\lambda=\Lambda=1$、$f=0$、$\varphi=0$として適用すると、$\|w\|_{C^0(\overline\Omega)}\leq0$を得る。よって$w=0$であり、解は高々一つである。

$g=f-\Delta\varphi$とおくと、$g\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$である。$\Omega$上で$\Delta v=g$を満たし、$\partial\Omega$上で$v=0$を満たす$v\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$が存在すれば、$u=\varphi+v$が求める解である。

§E15.35 命題 3.1により、$G|_{\overline\Omega}=g$、$[G]_{\alpha;\R^n}=[g]_{\alpha;\overline\Omega}$、$\|G\|_{\infty;\R^n}=\|g\|_{\infty;\overline\Omega}$を満たす$G\in C^{0,\alpha}(\R^n)$が存在する。§E15.35 命題 3.2の核$\rho_\varepsilon$により$G_\varepsilon=\rho_\varepsilon*G$とおき、$g_m=G_{1/m}|_{\overline\Omega}$（$m\geq1$）とおく。$G_{1/m}\in C^\infty(\R^n)$であるから$g_m\in C^\infty(\overline\Omega)$であり、§E15.35 命題 3.2により

が成り立つ。補題 1.2により、各$m$について$\Omega$上で$\Delta v_m=g_m$を満たし、$\partial\Omega$上で$v_m=0$を満たす$v_m\in C^3(\overline\Omega)$が存在する。§E15.35 補題 1.5により$C^3(\overline\Omega)\subseteq C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$であるから、§E15.37 系 3.3を$L=\Delta$、$f=g_m$、$\varphi=0$として適用して

を得る。定数$C$は$n,\alpha,\Omega$だけに依存し、$m$に依存しない。

§E15.35 定理 2.2により包含$C^{2,\alpha}(\overline\Omega)\Subset C^2(\overline\Omega)$はコンパクトである。したがって有界列$(v_m)$は、$C^2(\overline\Omega)$のノルムで$v\in C^2(\overline\Omega)$へ収束する部分列$(v_{m_j})$をもつ。一様収束により$\partial\Omega$上で$v=0$であり、$\Omega$上で$\Delta v=\lim_j\Delta v_{m_j}=\lim_jg_{m_j}=g$である。$|\gamma|=2$に対して$D^\gamma v_{m_j}$は$D^\gamma v$へ各点収束するから、§E15.35 命題 3.3により

である。$v\in C^2(\overline\Omega)$の二階以下の導関数は有界であるから、$v\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$である。▨

証明.§E15.35 命題 1.6 (1)を$k=0$として適用すると、$\Omega$と$\alpha$だけに依存する定数$C_0$について、$F,G\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$に対する$\|FG\|_{C^{0,\alpha}}\leq C_0\|F\|_{C^{0,\alpha}}\|G\|_{C^{0,\alpha}}$が成り立つ。$v\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$について、$\|D_{ij}v\|_{C^{0,\alpha}}\leq\|v\|_{C^{2,\alpha}}$である。また§E15.35 補題 1.5により、$\Omega$だけに依存する定数$C$に対して$\|D_iv\|_{C^{0,\alpha}}+\|v\|_{C^{0,\alpha}}\leq C\|v\|_{C^2}\leq C\|v\|_{C^{2,\alpha}}$である。したがって

を得る。

$X$の列$v_k$が$C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$で$v$へ収束すれば、$\sup_{\partial\Omega}|v|\leq\|v-v_k\|_{C^{2,\alpha}}\to0$であるから$v|_{\partial\Omega}=0$であり、$v\in X$である。$C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$と$C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$は§E15.35 定理 1.4により実 Banach 空間である。したがって、$C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$の閉部分空間$X$も実 Banach 空間である。▨

証明.$\Delta=\delta^{ij}D_{ij}$であるから、$(1-t)\Delta+tL$の二階の係数は$(1-t)\delta^{ij}+ta^{ij}=a_t^{ij}$、一階の係数は$tb^i=b_t^i$、零次の係数は$tc=c_t$であり、$L_t=(1-t)\Delta+tL$である。$a_t$は実対称行列の凸結合として実対称である。$\xi\cdot a_t(x)\xi=(1-t)|\xi|^2+t\,\xi\cdot a(x)\xi$であり、仮定により

である。$(1-t)+t\lambda\geq\min\{1,\lambda\}$、$(1-t)+t\Lambda\leq\max\{1,\Lambda\}$であるから、楕円性の評価を得る。定数関数$\delta^{ij}$の$C^{0,\alpha}$ノルムは$1$以下であるから、$\|a_t^{ij}\|_{C^{0,\alpha}}\leq(1-t)+tM\leq M$であり、$\|b_t^i\|_{C^{0,\alpha}}\leq tM\leq M$、$\|c_t\|_{C^{0,\alpha}}\leq M$である。$c\leq0$ならば$c_t=tc\leq0$である。▨

証明.主張 (1)を示す。補題 2.1により$X$と$Y$は実 Banach 空間であり、$L_0=\Delta|_X$と$L_1=L|_X$は$B(X,Y)$に属する。補題 2.2の$L_t$は$L_t=(1-t)L_0+tL_1$を満たす。$M\geq1$を$\|a^{ij}\|_{C^{0,\alpha}},\|b^i\|_{C^{0,\alpha}},\|c\|_{C^{0,\alpha}}$の上界とする。各$t\in[0,1]$について、補題 2.2により$L_t$の係数は実対称な$a_t^{ij}$と$b_t^i,c_t\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$であり、楕円性定数$\min\{1,\lambda\}$、$\max\{1,\Lambda\}$、係数の上界$M$をもち、$c_t\leq0$を満たす。$v\in X$に対して§E15.37 系 3.3を$L_t$、$f=L_tv$、$\varphi=0$に適用すると

を得る。定数$C_*$は$n,\alpha,\min\{1,\lambda\},\max\{1,\Lambda\},\Omega,M$だけに依存し、$t$と$v$に依存しない。

$L_0=\Delta|_X$は全射である。実際、$g\in Y$に対して定理 1.3を$f=g$、$\varphi=0$として適用すると、$\Delta u=g$と$u|_{\partial\Omega}=0$を満たす$u\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$が存在し、$u\in X$である。よって§E12.22 定理 4.1により、$L_1=L|_X$は全射であり、$L|_X\in\operatorname{Iso}(X,Y)$である。

主張 (2)を示す。補題 2.1により$L\varphi\in Y$である。主張 (1)により$w=(L|_X)^{-1}(f-L\varphi)\in X$が存在し、$u=\varphi+w$は$Lu=f$と$u|_{\partial\Omega}=\varphi|_{\partial\Omega}$を満たす。$u_1,u_2$がともに解ならば、$u_1-u_2\in X$かつ$L(u_1-u_2)=0$であるから、$L|_X$の単射性により$u_1=u_2$である。▨

証明.$\mu=\max_{\overline\Omega}c$とおく。$c-\mu\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$であり、$\Omega$上で$c-\mu\leq0$である。定理 2.3 (1)を係数$a^{ij},b^i,c-\mu$に適用すると、$T=(L-\mu)|_X$は有界同型である。$T$は$\ker T=0$かつ$\operatorname{coker}T=0$であるから、指数$0$の Fredholm 作用素である。$\iota\colon X\to Y$を包含とすると、$L|_X=T+\mu\iota$である。$\iota$は、$X$から$C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$への包含と、§E15.35 定理 2.2の包含$C^{2,\alpha}(\overline\Omega)\Subset C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$の合成であるから、コンパクトである。§E12.39 定理 3.1 (2)により、$L|_X=T+\mu\iota$は Fredholm 作用素であり、$\operatorname{ind}(L|_X)=\operatorname{ind}T=0$である。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。主張 (1)により$\dim\ker(L|_X)=\dim\operatorname{coker}(L|_X)<\infty$である。したがって$\ker(L|_X)=0$であることは$\operatorname{coker}(L|_X)=Y/L(X)=0$と同値であり、これは$L(X)=Y$と同値である。

主張 (3)を示す。$\ker(L|_X)=0$とし、$f,\varphi$を与える。補題 2.1により$L\varphi\in Y$であり、主張 (2)により$L|_X$は全射であるから、$Lw=f-L\varphi$を満たす$w\in X$が存在し、$u=\varphi+w$が解となる。$u_1,u_2$がともに解ならば、$u_1-u_2\in X$かつ$L(u_1-u_2)=0$であるから、$L|_X$の単射性により$u_1=u_2$である。逆に、すべての$f,\varphi$について解が一意であるとする。$f=0$、$\varphi=0$の解は$u=0$であるから、$v\in\ker(L|_X)$は$Lv=0$と$v|_{\partial\Omega}=0$を満たす解として$v=0$に等しい。▨

証明.$b^j=D_ia^{ij}$とおく。$a^{ij}\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$であるから$b^j\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$であり、$u\in C^2(\Omega)$に対して$D_i(a^{ij}D_ju)+cu=a^{ij}D_{ij}u+b^jD_ju+cu$である。この右辺の作用素$L$の係数は実数値である。$f_1=\Re f$、$f_2=\Im f$とおくと$f_1,f_2\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$であるから、定理 2.3により、$m=1,2$について、$\Omega$上で$Lu_m=f_m$を満たし$\partial\Omega$上で$u_m=0$となる実数値関数$u_m\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$がただ一つ存在する。$u_c=u_1+iu_2$は古典解である。$L$の係数が実数値であるから、古典解の実部と虚部はそれぞれ$f_1,f_2$に対する実数値の古典解であり、一意性により古典解は$u_c$に限られる。

複素数値関数$u\in H^1_0(\Omega)$に対して、$p=\Re u$、$q=\Im u$とおく。$a$が実対称であるから$a^{ij}D_ju\,\overline{D_iu}$の虚部は$a\nabla q\cdot\nabla p-a\nabla p\cdot\nabla q=0$であり、

が成り立つ。$-c\geq0$であるから、弱形式の左辺の形式$a_w$は§E15.8 定理 5.4の定数$C_P$に対して$\Re a_w(u,u)\geq\lambda(1+C_P^2)^{-1}\|u\|_{H^1}^2$を満たし、$H^1_0(\Omega)$上で強圧的である。§E15.16 定理 2.2を定義 3.2の設定に適用すると、零 Dirichlet 弱解がただ一つ存在する。

$u_c\in C^2(\overline\Omega)$かつ$u_c|_{\partial\Omega}=0$であるから、補題 1.1により$u_c\in H^1_0(\Omega)$である。実数値または複素数値の$w\in C_c^\infty(\Omega)$に対して、$a^{ij}D_ju_c\in C^1(\Omega)$であるから部分積分により

である。これと$D_i(a^{ij}D_ju_c)+cu_c=f$から、弱形式の左辺は$-\int_\Omega(D_i(a^{ij}D_ju_c)+cu_c)\overline w\,dx=-\int_\Omega f\overline w\,dx$に等しい。両辺は$w$について$H^1$ノルムで連続であり、$C_c^\infty(\Omega)$は$H^1_0(\Omega)$で稠密であるから、弱形式の等式はすべての$w\in H^1_0(\Omega)$について成り立つ。弱解の一意性により、零 Dirichlet 弱解は$u_c$に等しい。$f=0$のときは、古典解も弱解もともに$u_c=0$である。▨