発展方程式の Fourier 級数解 | 偏微分方程式論 I

定理 1.1. $n\in\NN$ 、 $L_1,\ldots,L_n>0$ 、 $Q=\prod_{i=1}^n(0,L_i)$ とし、 $B\in\{D,N\}$ に対して $A_B=-\Delta_B$ を斉次 Dirichlet または斉次 Neumann Laplace 作用素とする。 $L^2(Q;\C)$ の内積は

(u,v)_2=\int_Q u\overline v\,dx

とし、第一変数について線形とする。 $V_D=H^1_0(Q)$ 、 $V_N=H^1(Q)$ とおく。§E15.19 定理 3.1の正弦の積または定数を含む余弦の積を $e_k^B$ とし、添字集合をそれぞれ $I_D=\NN^n$ 、 $I_N=\N^n$ とする。このとき、対応する固有値は

\lambda_k=\pi^2\sum_{i=1}^n\frac{k_i^2}{L_i^2}

である。

$T>0$ 、 $u_0\in L^2(Q)$ 、 $a_k=(u_0,e_k^B)_2$ に対して、熱解は

u(t)=e^{-tA_B}u_0=\sum_{k\in I_B}e^{-t\lambda_k}a_ke_k^B.

級数は $C([0,T];L^2(Q))$ で収束し、 $0<\varepsilon<T$ と整数 $m\geq0$ に対して $C([\varepsilon,T];D(A_B^m))$ でも収束する。作用素域にはグラフノルムを入れる。

$T>0$ 、 $(u_0,u_1)\in V_B\times L^2(Q)$ 、 $a_k=(u_0,e_k^B)_2$ 、 $b_k=(u_1,e_k^B)_2$ に対して、外力のない波動方程式のエネルギー解は

w(t)=\sum_{k\in I_B} \left[\cos(t\sqrt{\lambda_k})a_k+s_t(\lambda_k)b_k\right]e_k^B, \qquad s_t(\lambda)= \begin{cases} \sin(t\sqrt\lambda)/\sqrt\lambda,&\lambda>0,\\ t,&\lambda=0. \end{cases}

部分和は $C([0,T];V_B)$ で、時間微分した部分和は $C([0,T];L^2(Q))$ で収束する。Neumann 条件の零モードは $a_0+tb_0$ である。さらに

E(t)=\frac12\left(\|w_t(t)\|_2^2+\|\nabla w(t)\|_2^2\right) =\frac12\sum_{k\in I_B}\left(|b_k|^2+\lambda_k|a_k|^2\right)

が成り立つ。

証明.§E15.19 定理 3.1の完全正規直交固有系を§E15.26 定理 2.1に代入すると熱解の表示を得る。有限集合 $F\subset I_B$ の外の部分について、Parseval の等式により

\sup_{0\leq t\leq T}\sum_{k\notin F}e^{-2t\lambda_k}|a_k|^2 \leq\sum_{k\notin F}|a_k|^2

である。正時間では

\sup_{\varepsilon\leq t\leq T} \sum_{k\notin F}(1+\lambda_k^{2m})e^{-2t\lambda_k}|a_k|^2 \leq C_{m,\varepsilon}\sum_{k\notin F}|a_k|^2,

なぜなら $(1+\lambda^{2m})e^{-2\varepsilon\lambda}$ は $\lambda\geq0$ 上で有界だからである。右辺は $F$ が添字集合を尽くすと零に収束する。

§E15.27 定理 3.1に外力 $f=0$ を代入すると、波動解の表示と二つの収束を得る。Neumann の場合に限り $k=0$ が含まれ、 $\lambda_0=0$ である。§E15.27 定理 2.3によりエネルギーは保存される。 $t=0$ の運動エネルギーには Parseval の等式を、位置エネルギーには形式域の固有関数展開を適用すると、表示した平方和を得る。▨

注意 1.2.定理 1.1の Dirichlet 波動解は各時刻に $H^1_0(Q)$ に属するので、そのトレースは零である。一方、Neumann 波動解では、境界条件は形式

q(u,v)=\int_Q\nabla u\cdot\overline{\nabla v}\,dx \qquad(u,v\in H^1(Q))

を用いた弱方程式に含まれる。エネルギー解の初期データだけから法線微分の点ごとの値を要求することはできない。一方、熱解は正時間に $D(A_B)$ に属するので、対応する作用素の境界条件を満たす。

定理 2.1. $n\in\NN$ 、 $T>0$ とし、 $\mathbb T^n=(\R/\Z)^n$ に全測度 $1$ の測度を入れる。内積を $(u,v)_2=\int_{\mathbb T^n}u\overline v\,dx$ とし、

e_k(x)=e^{2\pi ik\cdot x},\qquad \widehat u(k)=(u,e_k)_2,\qquad \lambda_k=4\pi^2|k|^2

とおく。このとき、周期 Laplace 作用素 $A=-\Delta$ の定義域は $H^2(\mathbb T^n)$ 、形式域は $V=H^1(\mathbb T^n)$ である。

$u_0\in L^2(\mathbb T^n)$ に対する熱解は

u(t,x)=\sum_{k\in\Z^n}e^{-t\lambda_k}\widehat u_0(k)e_k(x)=e^{-tA}u_0.

級数は $C([0,T];L^2)$ で収束する。任意の $0<\varepsilon<T$ について、各階の時間・空間微分の級数は $[\varepsilon,T]\times\mathbb T^n$ 上で絶対一様収束する。特に正時間の解は滑らかであり、 $u_t-\Delta u=0$ を点ごとに満たす。

$(u_0,u_1)\in H^1(\mathbb T^n)\times L^2(\mathbb T^n)$ に対する外力のない波動解は

w(t,x)=\sum_{k\in\Z^n} \left[\cos(t\sqrt{\lambda_k})\widehat u_0(k) +s_t(\lambda_k)\widehat u_1(k)\right]e_k(x),

ただし $s_t$ は定理 1.1の関数である。級数は $C([0,T];H^1)$ で、時間微分した級数は $C([0,T];L^2)$ で収束する。解は $w_{tt}-\Delta w=0$ を $V$ の反双対 $V^\dagger$ に値をとる時間の超関数として満たす。ここで $V^\dagger$ は連続な共役線形汎関数の空間であり、 $-\Delta:V\to V^\dagger$ は $(-\Delta z)(v)=\int_{\mathbb T^n}\nabla z\cdot\overline{\nabla v}\,dx$ で定める。熱解の平均と波動解の平均はそれぞれ

\widehat u(t,0)=\widehat u_0(0),\qquad \widehat w(t,0)=\widehat u_0(0)+t\widehat u_1(0)

であり、波動エネルギーは

\frac12\left(\|w_t(t)\|_2^2+\|\nabla w(t)\|_2^2\right) =\frac12\sum_{k\in\Z^n} \left(|\widehat u_1(k)|^2+\lambda_k|\widehat u_0(k)|^2\right)

である。

証明.§E15.31 定理 2.2により、Fourier 係数への写像は $A$ を対角作用素 $a_k\mapsto\lambda_ka_k$ に移し、 $D(A^{1/2})=H^1$ である。基本領域 $(0,1)^n$ によって $L^2(\mathbb T^n)$ を $L^2((0,1)^n)$ と同一視し、§E15.26 定理 1.1を周期実現 $A$ に適用すると、熱解の存在と一意性を得る。対角作用素の汎関数計算は各座標で $e^{-t\lambda_k}$ を掛けるので、表示した級数は作用素解に一致する。 $L^2$ 収束は定理 1.1の証明の平方和評価と同じ評価による。

非負整数 $r$ と多重指数 $\alpha$ を固定する。微分した各項の絶対値の和は、 $t\geq\varepsilon$ に対して

\sum_k\lambda_k^r |(2\pi k)^\alpha|e^{-t\lambda_k}|\widehat u_0(k)| \leq\|u_0\|_2 \left(\sum_k\lambda_k^{2r}|(2\pi k)^\alpha|^2e^{-2\varepsilon\lambda_k}\right)^{1/2}<\infty

で抑えられる。格子点を $j\leq|k|<j+1$ に分けると、その個数は高々 $(2j+3)^n$ であり、右辺の級数は多項式と Gauss 型減衰の積の級数により収束する。従って項別微分が成立し、各項の熱方程式から解の熱方程式を得る。

§E15.27 定理 2.2を同じ $A$ に適用し、対角汎関数計算により波動解の各係数を得る。Fourier 射影で切った初期データは§E15.31 定理 2.2によりそれぞれ $H^1$ と $L^2$ で収束する。解の連続依存性から、部分和は主張の二つの時間連続関数空間で収束する。 $k=0$ の係数を取ると平均の公式を得る。§E15.27 定理 2.3と§E15.31 定理 2.2の形式の表示からエネルギーの公式が従う。▨

定理 3.1. $n\in\NN$ 、 $t>0$ 、 $x\in\mathbb T^n$ とする。このとき、トーラスの熱核は

K_t(x)=\sum_{k\in\Z^n}e^{-4\pi^2t|k|^2}e^{2\pi ik\cdot x} =\sum_{m\in\Z^n}(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x+m|^2/(4t)}

で与えられる。右辺では $x$ の任意の持上げを用いる。両方の級数と各階の時間・空間微分の級数は、任意の $0<a<b<\infty$ に対して $[a,b]\times[0,1]^n$ 上で絶対一様収束する。 $K_t>0$ 、 $\int_{\mathbb T^n}K_t\,dx=1$ であり、任意の $u_0\in L^2(\mathbb T^n)$ について

(K_t*u_0)(x)=\int_{\mathbb T^n}K_t(x-y)u_0(y)\,dy =e^{-tA}u_0(x),\qquad A=-\Delta

が成り立つ。右辺は正時間の滑らかな代表元をとる。

証明. $g_t(y)=(4\pi t)^{-1/2}e^{-y^2/(4t)}$ とおく。§E15.26 定理 4.1の一次元の変換式は $\widehat g_t(\xi)=e^{-4\pi^2t\xi^2}$ である。 $0\leq y\leq1$ と $|m|\geq2$ に対して $|y+m|\geq|m|-1$ であるから、 $\sum_m g_t(y+m)$ は基本区間で絶対一様収束する。また $\sum_k|\widehat g_t(k)|<\infty$ である。従って§E14.17 命題 4.3により

\sum_{m\in\Z}g_t(y+m)=\sum_{k\in\Z}e^{-4\pi^2tk^2}e^{2\pi iky}.

この等式を $n$ 個の座標について掛ける。各級数は絶対収束するので、有限積を多重級数に展開することができる。 $\prod_{i=1}^ng_t(x_i+m_i)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x+m|^2/(4t)}$ であるから、主張の二つの表示を得る。

Fourier 側の任意の微分項は、 $t\in[a,b]$ 上で $C(1+|k|)^Ne^{-4\pi^2a|k|^2}$ により抑えられる。Gauss 側の微分項は $t$ の負冪と $x+m$ の多項式を掛けた Gauss 関数である。 $t\in[a,b]$ 、 $x\in[0,1]^n$ では、ある $C,c>0$ と整数 $N$ により $C(1+|m|)^Ne^{-c|m|^2}$ で抑えられる。いずれの優級数も格子点を球殻に分ける評価で収束する。従って各階の微分まで絶対一様収束する。

Gauss 側の表示から $K_t>0$ であり、Fourier 側を積分すると零モードだけが残るので積分は $1$ である。 $u_0\in L^2(\mathbb T^n)$ は $L^1$ に属する。核の Fourier 級数の絶対一様収束により積分と和を交換すると

K_t*u_0=\sum_ke^{-4\pi^2t|k|^2}\widehat u_0(k)e_k.

定理 2.1により、この級数は熱解に一致する。▨

例 4.1. $\mathbb T=\R/\Z$ 上で $h(x)=\operatorname{sgn}(\sin2\pi x)$ とし、零点での値を $0$ とする。このとき、 $h$ は $L^2(\mathbb T)$ に属する。正弦係数は

2\int_0^1h(x)\sin(2\pi\ell x)\,dx =\frac{2(1-(-1)^\ell)}{\pi\ell} \qquad(\ell\in\NN)

であり、平均と余弦係数は零である。従って定理 2.1により熱解は

u(t,x)=\frac4\pi\sum_{j=0}^\infty \frac{e^{-4\pi^2(2j+1)^2t}}{2j+1}\sin(2\pi(2j+1)x).

解は $t\downarrow0$ で $h$ へ $L^2$ 収束するが、一様収束しない。実際、周期熱核は $K_t(-y)=K_t(y)$ を満たし、 $h(-y)=-h(y)$ がほとんど至る所で成り立つので、 $u(t,0)=0$ である。固定した $t>0$ に対して $u(t,x)\to0$ が $x\downarrow0$ で成立する一方、 $0<x<1/2$ では $h(x)=1$ である。従って各 $t>0$ について $\sup_x|u(t,x)-h(x)|\geq1$ である。

例 4.2. 区間 $(0,\pi)$ に斉次 Dirichlet 条件を課し、初期変位を $u_0=0$ 、初期速度を $u_1=1$ とする。このとき、 $u_0\in H^1_0(0,\pi)$ 、 $u_1\in L^2(0,\pi)$ である。初期速度の正弦係数は

\frac2\pi\int_0^\pi\sin(\ell x)\,dx =\frac{2(1-(-1)^\ell)}{\pi\ell}.

定理 1.1によりエネルギー解は

u(t,x)=\frac4\pi\sum_{j=0}^\infty \frac{\sin((2j+1)t)\sin((2j+1)x)}{(2j+1)^2}.

変位の級数は $\sum_{j\geq0}(2j+1)^{-2}<\infty$ により $(t,x)\in\R\times[0,\pi]$ で絶対一様収束する。有限の $T>0$ に対し、同じ部分和は $C([0,T];H^1_0(0,\pi))$ でも収束し、時間微分した部分和は

u_t(t,x)=\frac4\pi\sum_{j=0}^\infty \frac{\cos((2j+1)t)\sin((2j+1)x)}{2j+1}

へ $C([0,T];L^2(0,\pi))$ で収束する。特に $u_t(t)\to1$ は $t\downarrow0$ に $L^2$ で成立する。 $t=0$ の時間微分の部分和は端点で零であるため、 $1$ へ $[0,\pi]$ 上で一様収束しない。初期速度 $1$ は $H^1_0(0,\pi)$ に属さないが、波動のエネルギー解の仮定は満たす。エネルギーは

E(t)=E(0)=\frac12\int_0^\pi1\,dx=\frac\pi2

である。

§E15.32発展方程式の Fourier 級数解

1 矩形の熱解と波動解

2 トーラスの級数解

3 Gauss 核の周期化

4 不連続な初期温度と有限エネルギーの波動

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