§E15.8弱微分と Sobolev 空間

証明.$A=\{\alpha\in\N^n:|\alpha|\leq k\}$とし、有限直積$X=\prod_{\alpha\in A}L^p(\Omega)$にノルム$\sum_\alpha\|g_\alpha\|_p$を入れる。§E10.23 定理 1.1により$X$は完備である。写像$Ju=(D^\alpha u)_{\alpha\in A}$は線形等長写像である。

$Ju_m\to(g_\alpha)_\alpha$が$X$で成り立つとする。$f_m\to f$が$L^p(\Omega)$で成り立つならば、各$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$に対し、Hölder の不等式により

である。$u_m\to g_0$と$D^\alpha u_m\to g_\alpha$にこの評価を適用し、弱微分の恒等式の極限を取ると$D^\alpha g_0=g_\alpha$を得る。したがって$J$の像は閉じており、$W^{k,p}$は完備である。$p=2$の場合、$X$の直積内積は表示した内積を誘導する。有限個の非負数の二乗和の平方根と和は同値であるから、内積ノルムについても完備である。▨

証明.$|z|\leq\sum_{j=1}^r|z_j|$と$|z_j|\leq|z|$に$L^p$ノルムを適用すると、

となる。完備性は定理 1.2と有限直積の完備性から従い、積分恒等式は各成分で成立する。▨

証明.$n=1$の場合は、各相対コンパクトな区間で§E13.29 定理 3.4を適用し、代表の連続性による一意性で貼り合わせれば従う。$n\geq2$とする。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。第一方向について、$\overline Q\subseteq\Omega$を満たす有界直方体$Q=I\times V$をとる。$\psi\in C_c^\infty(I)$、$\eta\in C_c^\infty(V)$に対し、弱微分の恒等式と§E10.19 命題 3.4により

である。内側の積分は$y$の局所可積分関数であるから、§E15.1 命題 3.1により、ほとんどすべての$y$について零である。

$I$のコンパクトな部分区間による可算な疲弊をとる。各部分区間に台をもつ試験関数の集合から$C^1$ノルムで稠密な可算族をとり、これらの族の和集合を$\mathcal S$とする。このような族は、$C^1$ノルムをもつ空間が$C(K)\times C(K)$の部分空間であり、コンパクトな区間上の$C(K)$が可分であることから存在する。Fubini による切片の可積分性の例外集合と、各$\psi\in\mathcal S$に対応する例外零集合の和を除く。残ったすべての$y$について、積分の$C^1$ノルムに関する連続性により

となる。§E13.29 定理 3.4により切片は局所絶対連続な代表をもち、導関数は$g_1$の切片である。

$\Omega$を、閉包が$\Omega$に含まれる有理端点の直方体で可算に覆う。各直方体の例外零集合を一つにまとめると、残った横座標について局所絶対連続な代表を得る。重なった区間では二つの代表はほとんど至る所等しく、連続性により全点で等しいから、各成分区間で貼り合う。他の方向についても座標を入れ替えて同じ議論を適用する。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$\overline Q\subseteq\Omega$である直方体と$\varphi\in C_c^\infty(Q)$をとる。ほとんどすべての横座標で一次元の部分積分を行い、Fubini により積分すると、$\int_Q u\partial_i\varphi=-\int_Qg_i\varphi$となる。一般の試験関数の台は有限個のそのような直方体で覆われる。§E10.47 定理 2.1で試験関数を分解し、各部分に恒等式を適用して加えると、$\Omega$全体で弱微分の恒等式を得る。▨

証明.$\overline Q\subseteq\Omega$を満たす直方体$Q$上で$u\in W^{1,1}(Q)$である。定理 2.1により、$u$の切片はほとんどすべての座標直線で定数である。したがって、Fubini により各座標についての区間平均を順に取っても$u$はほとんど至る所で変わらず、全座標の平均後には$Q$上の定数を得る。重なりをもつ直方体の定数は一致する。ある一点を含む直方体から、有限個の重なった直方体で到達することができる点の集合と、その補集合は開集合であるから、連結性により定数は$\Omega$全体で一致する。可算な直方体被覆を用いれば、例外集合の和も零集合である。区間上の一致は§E13.29 定理 3.4の全指数に対する特徴づけから従う。▨

証明.$u$が Lipschitz 定数$L$をもつ球の内部では、各座標切片は Lipschitz 連続であるから絶対連続であり、ほとんど至る所の導関数の絶対値は$L$以下である。導関数を差分商の極限として選ぶと可測であり、定理 2.1により弱微分を得る。球内の相対コンパクトな集合上では$u$自身も有界である。局所 Lipschitz 性の近傍を有限個ずつ用いて、$u\in W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$を得る。

球$B$上の Lipschitz 定数を$L$とし、単位ベクトル$e$と実数値の$\varphi\in C_c^\infty(B)$をとる。十分小さい$h\ne0$について

変数変換して$h\to0$とすると、左辺は$|\int_B(e\cdot\nabla u)\varphi|$に収束する。ゆえに$|e\cdot\nabla u|\leq L$がほとんど至る所で成り立つ。実際、非負の試験関数について$q=(e\cdot\nabla u)-L$と$q=-(e\cdot\nabla u)-L$の積分が非正である。§E10.47 補題 1.1の半径$1$の非負核$\rho$を選び、$\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$とおく。この核を試験関数に取ると、各相対コンパクトな球上で$\rho_\varepsilon*q\leq0$となる。局所的な零延長に§E10.47 命題 3.1を$p=1$で適用し、$\|\rho_\varepsilon*q-q\|_1\leq\sup_{|h|\leq\varepsilon}\|\tau_hq-q\|_1\to0$を用いると、$\|q^+\|_1\leq\|q-\rho_\varepsilon*q\|_1\to0$となる。したがって$q\leq0$がほとんど至る所で成り立つ。単位球面の可算稠密集合のすべての$e$について例外零集合をまとめ、$e$に関する連続性を用いると$|\nabla u|=\sup_{|e|=1}|e\cdot\nabla u|\leq L$となる。▨

証明.定理 2.1により、ほとんどすべての座標切片で$a,u$は局所絶対連続な代表をもつ。一次元の絶対連続関数の積の微分則により、積の切片の導関数は$aD_i u+uD_i a$である。$a,D_i a\in L^\infty$により積と導関数は$L^p$に属するから、再び定理 2.1により結論を得る。高階の公式は§E15.2 命題 1.2の Leibniz 則による。右辺の各項は係数の有界性によって$L^p$に属する。▨

証明.$|F(u)|\leq|F(0)|+\Lambda|u|$により、仮定のいずれの場合にも$F(u)\in L^p(\Omega)$である。定理 2.1の切片を相対コンパクトな区間に制限し、§E13.29 定理 6.2を適用すると、$F(u)$の切片は局所絶対連続であり、各$i$について切片の導関数は絶対値で$\Lambda|D_i u|$以下である。導関数を差分商の極限として選べば可測であり、$L^p$に属する。定理 2.1の逆向きにより弱微分を得る。各成分の評価を二乗して加えると、表示した勾配の評価となる。▨

証明.定理 2.1の切片に§E13.29 定理 6.2の$C^1$合成の公式と水準集合上の導関数の消滅を適用し、Fubini により全領域での等式を得る。正部の公式も同じ一次元の結果による。$T_M$は Lipschitz 定数$1$をもち、$T_M(0)=0$であるから命題 3.2により$T_M(u)\in W^{1,p}$である。切片上で$|u|<M$ならば$T_M(u)=u$、$|u|>M$ならば$T_M(u)$は局所的に定数である。水準集合$u=\pm M$上では$u$の導関数はほとんど至る所零であり、Lipschitz 合成の導関数の評価から$T_M(u)$の導関数も零である。Fubini により切断の公式を得る。▨

証明.$g$は局所可積分であるから、$\rho_\varepsilon*g(x)=\int_{\R^n}\rho_\varepsilon(y)g(x-y)\,dy$は各$x\in\R^n$で定まる。核は非負で積分が$1$であり、その台は$\overline{B(0,\varepsilon)}$に含まれる。Hölder の不等式（$p=1$では積分の三角不等式）と§E10.19 命題 3.4により、

となる。第一行の等式は$L^p$ノルムの平行移動不変性による。§E10.47 命題 3.1により、第二行の右辺は$\varepsilon\downarrow0$で零に収束する。▨

証明. 核の微分はコンパクトな台をもち、$u$は局所可積分であるから、積分の微分により$u_\varepsilon$は滑らかである。固定した$x$について、$y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$は$\Omega$内に台をもつ試験関数である。弱微分の恒等式をこの関数に適用すると、

となる。

$V\subseteq\Omega$を相対コンパクトな開集合とする。各$|\alpha|\leq k$に対して$D^\alpha u$を$\Omega$の外で零とした関数を$g_\alpha$とおくと、$g_\alpha\in L^p(\R^n)$である。十分小さい$\varepsilon$について$D^\alpha u_\varepsilon=\rho_\varepsilon*g_\alpha$が$V$上で成り立つから、補題 4.1により$D^\alpha u_\varepsilon\to D^\alpha u$が$L^p(V)$で成り立つ。有限個の$\alpha$について加えれば$u_\varepsilon\to u$が$W^{k,p}(V)$で成り立つ。

$u\in W^{k,\infty}(\Omega)$と$1\leq q<\infty$を任意にとる。$\overline V\subset U$を満たす相対コンパクトな開集合$U\subseteq\Omega$をとる。各$|\alpha|\leq k$について、$g_\alpha$を$U$では$D^\alpha u$、$U$の外では$0$と定めると、$g_\alpha\in L^q(\R^n)$である。十分小さい$\varepsilon$について$D^\alpha u_\varepsilon=\rho_\varepsilon*g_\alpha$が$V$上で成り立つから、補題 4.1により$u_\varepsilon\to u$が$W^{k,q}(V)$で成り立つ。また、十分小さい$\varepsilon$について、核の非負性と積分が$1$であることにより、$\|D^\alpha u_\varepsilon\|_{L^\infty(V)}\leq\|D^\alpha u\|_{L^\infty(\Omega)}$が成り立つ。▨

証明.命題 4.2を$\Omega=\R^n$に適用すると、$\rho_\varepsilon*u$は滑らかであり、表示した微分の交換則が成立する。各$|\alpha|\leq k$について補題 4.1を$g=D^\alpha u$に適用すると、$\rho_\varepsilon*D^\alpha u\in L^p(\R^n)$であり、$\rho_\varepsilon*D^\alpha u\to D^\alpha u$が$L^p(\R^n)$で成り立つ。したがって、微分の交換則により$\rho_\varepsilon*u\in W^{k,p}(\R^n)$であり、$\rho_\varepsilon*u\to u$が$W^{k,p}(\R^n)$で成り立つ。▨

証明.$u\in W^{k,p}(\R^n)$とする。§E10.47 定理 2.1により、$0\leq\chi\leq1$であって$\overline{B(0,1)}$の近傍で$1$となる$\chi\in C_c^\infty(\R^n)$をとる。$R\geq1$に対し、$\chi_R(x)=\chi(x/R)$、$u_R=\chi_Ru$とおく。命題 3.1により$u_R\in W^{k,p}(\R^n)$であり、$|\alpha|\leq k$に対して

$D^\alpha u\in L^p(\R^n)$であり、$B(0,R)$上で$\chi_R=1$であるから、第一項は$R\to\infty$で$L^p$において零に収束する。$0<|\beta|\leq k$について$\|D^\beta\chi_R\|_\infty=R^{-|\beta|}\|D^\beta\chi\|_\infty$であるから、残りの各項も$L^p$において零に収束する。従って$u_R\to u$が$W^{k,p}(\R^n)$で成り立つ。

§E10.47 補題 1.1の半径$1$の核を$\rho$とし、$\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$とおく。各$R$について命題 4.3により、$\rho_\varepsilon*u_R\to u_R$が$W^{k,p}(\R^n)$で成り立つ。$u_R$は$\supp\chi_R$の外でほとんど至る所零であり、$\rho_\varepsilon$の台は$\overline{B(0,\varepsilon)}$に含まれるから、$\rho_\varepsilon*u_R$はコンパクトな台をもつ。各整数$m\geq1$について、$\|\rho_{\varepsilon_m}*u_m-u_m\|_{W^{k,p}(\R^n)}<1/m$となる$\varepsilon_m>0$をとると、$\rho_{\varepsilon_m}*u_m\in C_c^\infty(\R^n)$は$u$に$W^{k,p}(\R^n)$で収束する。▨

証明.$|\alpha|\leq k$と$\varphi\in C_c^\infty(\Omega\setminus K)$に対し、弱微分の定義と$\Omega\setminus K$のほとんど至る所で$u=0$であることにより$\int_{\Omega\setminus K}D^\alpha u\,\varphi=0$である。§E15.1 命題 3.1の単射性により、$D^\alpha u=0$が$\Omega\setminus K$のほとんど至る所で成り立つ。

§E10.47 定理 2.1により、$K$の近傍で$1$となる$\chi\in C_c^\infty(\Omega)$をとる。$K=\varnothing$の場合は$\chi=0$とする。$\varphi\in C_c^\infty(\R^n)$に対し、$\chi\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$であり、$\chi=1$が$K$の近傍で成り立つから

$E_0u$と$E_0(D^\alpha u)$は$L^p(\R^n)$に属するから、弱微分の定義により結論を得る。▨

証明.$u\in W^{k,p}(\Omega)$と$\delta>0$をとる。$K_j\subseteq\tpint{K_{j+1}}$、$\bigcup_{j\geq1}K_j=\Omega$を満たすコンパクト集合の疲弊を選ぶ。たとえば、$K_j=\{x\in\Omega:|x|\leq2^j,\ \operatorname{dist}(x,\R^n\setminus\Omega)\geq2^{-j}\}$とすることができる。補集合が空の場合、距離を$\infty$とする。$K_j=\varnothing$$(j\leq0)$とおく。

§E10.47 定理 2.1により、$0\leq\chi_j\leq1$、$\supp\chi_j\subseteq\tpint{K_{j+1}}$を満たし、$K_j$のある近傍で$1$となる$\chi_j\in C_c^\infty(\Omega)$を選ぶ。

とおくと、$\psi_j\geq0$であり、$\sum_{j=1}^N\psi_j=1-\prod_{j=1}^N(1-\chi_j)$である。各$K_m$のある近傍では$j>m$の$\psi_j$は零であるから、この和は局所有限であり、$\sum_{j\geq1}\psi_j=1$である。

$w_j=\psi_j u$を零延長して$\R^n$上の関数とする。命題 3.1により$\psi_j u\in W^{k,p}(\Omega)$であり、$\supp\psi_j$の外では零である。補題 4.5により$w_j\in W^{k,p}(\R^n)$である。$w_j$は$\supp\psi_j$の外でほとんど至る所零であり、$\supp\psi_j\subseteq\tpint{K_{j+1}}$は$K_{j-1}$のある近傍と交わらない。

§E10.47 補題 1.1の半径$1$の核を$\rho$とし、$\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$とおく。命題 4.3により、各$j$について十分小さい$0<\varepsilon_j<1$を選んで

とし、さらに$\supp z_j\subseteq\tpint{K_{j+2}}$、$\supp z_j\cap K_{j-2}=\varnothing$とする。$\supp\psi_j\ne\varnothing$のとき、$\supp\psi_j$から$\R^n\setminus\tpint{K_{j+2}}$および$K_{j-2}$までの距離は正である。ただし、$K_{j-2}=\varnothing$の場合の距離は$\infty$とする。核の台は半径$\varepsilon_j$の閉球に含まれるから、台の条件を満たすように$\varepsilon_j$を選ぶことができる。$\supp\psi_j=\varnothing$のときは$z_j=0$である。したがって$v=\sum_jz_j$は$\Omega$上で局所有限な和であり、滑らかである。定理 1.2により$\sum_j(z_j-w_j)$は$W^{k,p}(\R^n)$で収束する。$\Omega$内ではこの和は局所有限な和$v-u$と一致するから、

ゆえに$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$であり、結論を得る。▨

証明.$\varphi_j\in C_c^\infty(\Omega)$を$u$に$W^{1,p}$で収束する列とする。各零延長$E_0\varphi_j$は$C_c^\infty(\R^n)$に属し、$D_i(E_0\varphi_j)=E_0(D_i\varphi_j)$である。零延長は$L^p$ノルムを保つから、これらの関数と微分はそれぞれ$E_0u$と$E_0(D_i u)$に$L^p(\R^n)$で収束する。任意の$\eta\in C_c^\infty(\R^n)$に対して、$E_0\varphi_j$の弱微分の恒等式の両辺は Hölder の不等式により極限へ移る。従って$D_i(E_0u)=E_0(D_i u)$であり、零延長が$L^p$ノルムを保つことから表示したノルムの等式も従う。▨