楕円型方程式の弱形式 | 偏微分方程式論 I

定義 1.1 (形式域). $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合、 $\Gamma_D\subseteq\partial\Omega$ を相対開集合とし、 $\Gamma_N=\partial\Omega\setminus\Gamma_D$ とおく。境界測度を $\sigma$ 、トレースを $T$ と書き、

V=\{v\in H^1(\Omega;\C):Tv=0\quad\sigma\text{-ほとんど至る所で }\Gamma_D\text{ 上}\}

と定め、 $V$ を形式域 (form domain) という。 $V$ には $H^1$ の内積を入れる。内積は第一変数について線形とする。 $V^\dagger$ は $V$ の連続反線形汎関数の空間とする。

境界試験空間 $T(V)$ には商ノルム

\|g\|_{T(V)}=\inf\{\|v\|_{H^1}:v\in V,\ Tv=g\}

を入れ、その連続反線形汎関数の空間を $T(V)^\dagger$ と書く。

命題 1.2.定義 1.1の $V$ は $H^1(\Omega)$ の閉部分空間であり、 $C_c^\infty(\Omega)\subseteq H^1_0(\Omega)\subseteq V$ である。 $T(V)$ は上の商ノルムについて Hilbert 空間である。 $\Gamma_D=\partial\Omega$ ならば $V=H^1_0(\Omega)$ 、 $\Gamma_D=\varnothing$ ならば $V=H^1(\Omega)$ である。

証明.§E15.12 定理 2.2により $v\mapsto (Tv)|_{\Gamma_D}$ は $H^1(\Omega)\to L^2(\Gamma_D)$ の有界線形写像であるから、その核 $V$ は閉じている。§E15.14 定理 2.1により $\ker T=H^1_0(\Omega)$ であるから、包含と両端の場合の同定が従う。写像 $v+H^1_0(\Omega)\mapsto Tv$ は $V/H^1_0(\Omega)$ から $T(V)$ への全射等長線形写像である。閉部分空間による Hilbert 空間の商は完備であるから、 $T(V)$ は Hilbert 空間である。▨

定義 1.3 (楕円型方程式の弱形式). $\Omega,\Gamma_D,\Gamma_N,V$ を定義 1.1のものとする。 $A\in L^\infty(\Omega;\C^{n\times n})$ 、 $b,d\in L^\infty(\Omega;\C^n)$ 、 $c\in L^\infty(\Omega;\C)$ 、 $\beta\in L^\infty(\Gamma_N;\C)$ に対して

\begin{aligned} a(u,v)={}&\int_\Omega\bigl[(A\nabla u)\cdot\overline{\nabla v} +(b\cdot\nabla u)\overline v+u d\cdot\overline{\nabla v}+cu\overline v\bigr]dx\\ &+\int_{\Gamma_N}\beta Tu\overline{Tv}\,d\sigma \qquad(u,v\in H^1(\Omega)) \end{aligned}

と定める。 $a$ は第一変数について線形、第二変数について反線形な形式である。

$G\in H^1(\Omega)$ と $F\in V^\dagger$ に対し、 $u\in H^1(\Omega)$ が

u-G\in V,\qquad a(u,v)=F(v)\quad(v\in V)

を満たすとき、 $u$ を境界値 $TG$ に対する弱解 (weak solution) という。 $\Gamma_D=\partial\Omega$ の場合を Dirichlet 条件、 $\Gamma_D=\varnothing,\beta=0$ の場合を Neumann 条件、 $\Gamma_D=\varnothing$ の場合を Robin 条件という。 $\Gamma_D$ と $\Gamma_N$ の両方が空でない場合は混合境界条件である。

命題 1.4.定義 1.3の形式 $a$ は $H^1(\Omega)\times H^1(\Omega)$ 上で有界である。 $f\in L^2(\Omega)$ 、 $h\in T(V)^\dagger$ に対して

F(v)=\int_\Omega f\overline v\,dx+\langle h,Tv\rangle

は $V^\dagger$ の元である。

証明. 各体積項に Cauchy–Schwarz の不等式を適用すると、その絶対値は係数の $L^\infty$ ノルムと $\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$ の積で抑えられる。境界項は§E15.12 定理 2.2により同じ積の定数倍で抑えられる。また $\|Tv\|_{T(V)}\leq\|v\|_{H^1}$ であるから、 $|F(v)|\leq(\|f\|_2+\|h\|_{T(V)^\dagger})\|v\|_{H^1}$ である。▨

注意 1.5. $\Gamma_D=\partial\Omega$ ならば、§E15.14 定理 2.1により、任意の $g\in H^{1/2}(\partial\Omega)$ に対して $TG=g$ を満たす $G\in H^1(\Omega)$ が存在する。部分境界上の値を指定する場合は、指定値がある $G\in H^1(\Omega)$ のトレースの制限であることを要する。 $G_1-G_2\in V$ ならば $G_1+V=G_2+V$ となるので、弱問題は持ち上げの選択に依存しない。零 Dirichlet 条件の外力空間 $V^\dagger$ は§E15.8 定義 5.6の $H^{-1}(\Omega)$ である。

命題 1.6.定義 1.3の領域・形式域と有界可測係数による形式 $a$ に対し、 $f\in L^2(\Omega)$ 、 $h\in T(V)^\dagger$ 、 $G,u\in H^1(\Omega)$ とする。 $Q=A\nabla u+du$ とおき、超関数として

Lu=-\operatorname{div}Q+b\cdot\nabla u+cu

と定める。このとき、

u-G\in V,\qquad a(u,v)=\int_\Omega f\overline v\,dx+\langle h,Tv\rangle \quad(v\in V)

が成り立つための必要十分条件は、

\begin{gathered} Lu=f\quad\text{超関数として }\Omega\text{ 上},\\ T(u-G)=0\quad\sigma\text{-ほとんど至る所で }\Gamma_D\text{ 上},\\ \gamma_\nu Q+\beta Tu=h\quad\text{$T(V)$ 上} \end{gathered}

が成り立つことである。内部方程式が成り立つとき、 $Q\in H(\operatorname{div};\Omega)$ となる。最後の等式は、任意の $g\in T(V)$ に対して

\langle\gamma_\nu Q,g\rangle +\int_{\Gamma_N}\beta Tu\overline g\,d\sigma=\langle h,g\rangle

が成り立つことを意味する。

証明. 必要性を示す。任意の $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対し、 $v=\overline\varphi\in V$ を弱形式へ代入すると

\int_\Omega\bigl[Q\cdot\nabla\varphi+(b\cdot\nabla u+cu)\varphi\bigr]dx =\int_\Omega f\varphi\,dx

となり、 $Lu=f$ が超関数として成り立つ。係数の有界性と $u\in H^1(\Omega)$ から $Q\in L^2(\Omega;\C^n)$ であり、

\operatorname{div}Q=b\cdot\nabla u+cu-f\in L^2(\Omega)

なので $Q\in H(\operatorname{div};\Omega)$ である。§E15.14 系 4.3により、任意の $v\in V$ に対して

a(u,v)=\int_\Omega f\overline v\,dx +\langle\gamma_\nu Q,Tv\rangle +\int_{\Gamma_N}\beta Tu\overline{Tv}\,d\sigma

となる。弱形式と比較し、 $Tv$ が $T(V)$ 全体を動くことを用いると、自然境界条件を得る。 $u-G\in V$ の定義から Dirichlet 部分のトレース条件も成り立つ。

十分性を示す。内部方程式から $\operatorname{div}Q=b\cdot\nabla u+cu-f\in L^2(\Omega)$ となるので、 $Q\in H(\operatorname{div};\Omega)$ である。Dirichlet 部分のトレース条件により、 $u-G\in V$ である。§E15.14 系 4.3に自然境界条件を代入すると、すべての $v\in V$ に対して求める弱形式を得る。▨

命題 1.7.定義 1.3の設定で、さらに $A,d\in W^{1,\infty}(\Omega)$ とする。 $f\in L^2(\Omega)$ 、 $h\in T(V)^\dagger$ 、 $G\in H^1(\Omega)$ を固定する。このとき、 $u\in H^2(\Omega)$ に対して、

u-G\in V,\qquad a(u,v)=\int_\Omega f\overline v\,dx+\langle h,Tv\rangle\quad(v\in V)

が成り立つための必要十分条件は、

\begin{gathered} Lu=-\operatorname{div}(A\nabla u+du)+b\cdot\nabla u+cu=f \quad\text{ほとんど至る所で }\Omega\text{ 上},\\ T(u-G)=0\quad\sigma\text{-ほとんど至る所で }\Gamma_D\text{ 上},\\ \gamma_\nu(A\nabla u+du)+\beta Tu=h\quad\text{$T(V)$ 上} \end{gathered}

が成り立つことである。最後の等式は、任意の $g\in T(V)$ に対する

\langle\gamma_\nu(A\nabla u+du),g\rangle +\int_{\Gamma_N}\beta Tu\overline g\,d\sigma=\langle h,g\rangle

を意味する。

証明. $Q=A\nabla u+du$ とおく。§E15.8 命題 3.1により $Q\in H^1(\Omega;\C^n)$ であり、 $Lu\in L^2(\Omega)$ である。したがって $Lu=f$ が超関数として成り立つことと、ほとんど至る所で成り立つことは同値である。命題 1.6を適用すると、主張の同値が従う。▨

例 1.8. $\Omega=(0,1)$ 、 $\Gamma_D=\varnothing$ 、 $A=1$ 、 $b=d=c=0$ とする。端点の境界測度を数え上げ測度とし、 $\beta(0)=\beta_0$ 、 $\beta(1)=\beta_1$ とする。このとき、 $u\in H^2(0,1)$ に対して部分積分すると

a(u,v)=\int_0^1(-u'')\overline v\,dx +[-u'(0)+\beta_0u(0)]\overline{v(0)} +[u'(1)+\beta_1u(1)]\overline{v(1)}.

任意の二つの端点値は一次関数のトレースである。したがって外力を $F(v)=\int_0^1f\overline v+h_0\overline{v(0)}+h_1\overline{v(1)}$ とすると、弱形式は $-u''=f$ と

-u'(0)+\beta_0u(0)=h_0,\qquad u'(1)+\beta_1u(1)=h_1

に同値である。外向き法線は左端で $-1$ 、右端で $1$ である。

定理 2.1 (Gårding の不等式).定義 1.3の設定で、 $A$ が§E15.15 定義 3.2の意味で定数 $\theta>0$ に対して一様に強楕円的であるとする。このとき、ある $\alpha>0$ 、 $\kappa\geq0$ が存在して、すべての $v\in V$ について

\Re a(v,v)+\kappa\|v\|_2^2\geq\alpha\|v\|_{H^1}^2

が成り立つ。

証明. $B=\|b\|_\infty+\|d\|_\infty$ 、 $M=\|\beta\|_\infty$ とおく。強楕円性と Young の不等式により

\Re a(v,v)\geq\frac{3\theta}{4}\|\nabla v\|_2^2 -\left(\|c\|_\infty+\frac{B^2}{\theta}\right)\|v\|_2^2 -M\|Tv\|_{L^2(\partial\Omega)}^2.

§E15.12 命題 2.4で $M\varepsilon\leq\theta/4$ となる $\varepsilon>0$ を選ぶと、ある $K\geq0$ に対し

\Re a(v,v)\geq\frac\theta2\|\nabla v\|_2^2-K\|v\|_2^2

となる。 $\kappa=K+\theta/2$ 、 $\alpha=\theta/2$ とすれば結論を得る。▨

定理 2.2.定義 1.3の形式 $a$ が、ある $\alpha>0$ に対して

\Re a(v,v)\geq\alpha\|v\|_{H^1}^2\quad(v\in V)

を満たすとする。この性質を $V$ 上の強圧性という。このとき、任意の $F\in V^\dagger$ と $G\in H^1(\Omega)$ に対して弱解 $u\in G+V$ がただ一つ存在し、

\|u-G\|_{H^1}\leq\alpha^{-1}\|F-a(G,\cdot)\|_{V^\dagger}

を満たす。

特に定理 2.1の仮定の下では、 $a_\kappa(u,v)=a(u,v)+\kappa(u,v)_{L^2}$ に対する弱問題は、任意の $F,G$ について一意な解をもつ。ここで $(u,v)_{L^2}=\int_\Omega u\overline v\,dx$ である。

証明. $\ell(v)=F(v)-a(G,v)$ 、 $a^\dagger(v,w)=\overline{a(w,v)}$ とおく。 $v\mapsto\overline{\ell(v)}$ は $V$ 上の有界線形汎関数である。 $a^\dagger$ は有界であり、 $\Re a^\dagger(v,v)\geq\alpha\|v\|_{H^1}^2$ である。§E10.5 定理 2.2 (2)を適用すると、

a^\dagger(v,w)=\overline{\ell(v)}\quad(v\in V),\qquad \|w\|_{H^1}\leq\alpha^{-1}\|\ell\|_{V^\dagger}

を満たす $w\in V$ がただ一つ存在する。複素共役をとると $a(w,v)=\ell(v)$ となるので、 $u=G+w$ が求める弱解である。 $a_\kappa$ には定理 2.1により同じ結論を適用することができる。▨

補題 2.3. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とし、 $V$ を定義 1.1の空間とする。 $\rho\in L^\infty(\Gamma_N;\R)$ 、 $\rho\geq0$ とする。 $\Omega$ の各連結成分 $U$ について、 $\sigma(\partial U\cap\Gamma_D)>0$ 、または $\int_{\partial U\cap\Gamma_N}\rho\,d\sigma>0$ の少なくとも一方が成り立つと仮定する。このとき、ある $C>0$ が存在して

\|v\|_2^2\leq C\left(\|\nabla v\|_2^2+ \int_{\Gamma_N}\rho|Tv|^2\,d\sigma\right)\quad(v\in V)

が成り立つ。

証明. 結論が偽ならば、 $v_k\in V$ を

\|v_k\|_2=1,\qquad \|\nabla v_k\|_2^2+ \int_{\Gamma_N}\rho|Tv_k|^2\,d\sigma\longrightarrow0

となるように選ぶことができる。 $(v_k)$ は $H^1$ で有界であり、§E15.11 定理 2.1により、部分列をとると $v_k\to v$ が $L^2$ で成り立つ。実際、 $n>2$ では劣臨界の場合、 $n=2$ では臨界の場合、 $n=1$ では連続代表へのコンパクト包含を用いる。試験関数に対する弱微分の恒等式の極限から $D_iv=0$ を得る。したがって、 $v_k\to v$ は $H^1$ でも成り立つ。したがって $v\in V$ 、 $\|v\|_2=1$ であり、トレースの連続性から $\int_{\Gamma_N}\rho|Tv|^2=0$ である。

§E15.8 系 2.2により、各連結成分 $U$ 上で $v$ は定数 $c_U$ である。トレースの局所表示から $Tv=c_U$ が $\partial U$ 上でほとんど至る所成り立つ。 $\partial U\cap\Gamma_D$ の測度が正ならば $Tv=0$ により $c_U=0$ である。もう一方の条件が成り立つならば $|c_U|^2\int_{\partial U\cap\Gamma_N}\rho=0$ により $c_U=0$ である。したがって $v=0$ が $\Omega$ 上でほとんど至る所成り立ち、 $\|v\|_2=1$ に反する。▨

命題 2.4.定義 1.3の設定で、 $A$ は一様に強楕円的であり、 $b=d=0$ 、 $\Re c\geq0$ 、 $\Re\beta\geq0$ とする。このとき、次のいずれの場合にも $a$ は $V$ 上で強圧的である。

各連結成分 $U$ について $\sigma(\partial U\cap\Gamma_D)>0$ である。
$\Gamma_D=\varnothing$ 、 $\beta=0$ であり、ある $c_0>0$ に対して $\Re c\geq c_0$ である。
$\Gamma_D=\varnothing$ であり、各連結成分 $U$ について正測度の可測集合 $E_U\subseteq\partial U$ と $\beta_U>0$ が存在して、 $E_U$ 上で $\Re\beta\geq\beta_U$ である。

証明. 強楕円性により

\Re a(v,v)\geq\theta\|\nabla v\|_2^2 +\int_\Omega\Re c|v|^2\,dx +\int_{\Gamma_N}\Re\beta|Tv|^2\,d\sigma.

主張 (1)には補題 2.3を $\rho=0$ として適用する。特に全境界が Dirichlet の場合は§E15.8 定理 5.4からも従う。主張 (2)では右辺は $\min(\theta,c_0)\|v\|_{H^1}^2$ 以上である。主張 (3)には補題 2.3を $\rho=\Re\beta$ として適用する。いずれも $\|v\|_{H^1}^2$ は $\Re a(v,v)$ の定数倍で抑えられる。▨

例 2.5. $\Omega$ を空でない有界 Lipschitz 開集合とし、 $a(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla v}$ を $V=H^1(\Omega)$ 上で考える。このとき、任意の定数関数 $u$ は $a(u,v)=0$ を満たす。したがって零外力の純粋 Neumann 問題の解は一意でない。また弱解が存在するならば、試験関数 $v=1$ を代入して $F(1)=0$ を得る。

例 2.6. $\Omega=(0,1)$ 、 $V=H^1_0(0,1)$ とし、 $a(u,v)=\int_0^1u'\overline{v'}-\pi^2\int_0^1u\overline v$ とする。このとき、 $a(v,v)+(\pi^2+1)\|v\|_2^2=\|v\|_{H^1}^2$ である。しかし $u(x)=\sin(\pi x)$ は $V$ に属し、 $-u''-\pi^2u=0$ であるから、部分積分と $C_c^\infty$ の $V$ における稠密性により $a(u,v)=0$ が任意の $v\in V$ について成り立つ。零関数も解であるので、Gårding の評価だけではシフトしない問題の一意性は従わない。

定理 3.1.定義 1.3の設定で、 $A$ は一様に強楕円的であり、 $a(u,v)=\overline{a(v,u)}$ がすべての $u,v\in V$ について成り立つとする。このとき、 $a|_{V\times V}$ は $L^2(\Omega)$ 上の稠密に定義された下半有界閉形式である。

D(A_a)=\{u\in V:\text{ある }f\in L^2(\Omega)\text{ がすべての }v\in V \text{ に対して }a(u,v)=(f,v)_{L^2}\text{ を満たす}\}

に対して $A_a u=f$ と定めると、 $A_a$ は下半有界な自己共役作用素である。

証明.命題 1.2により $V$ は $L^2(\Omega)$ で稠密な $C_c^\infty(\Omega)$ を含む。定理 2.1の $\kappa$ に対して $a(v,v)\geq-\kappa\|v\|_2^2$ であり、

\alpha\|v\|_{H^1}^2\leq a(v,v)+(\kappa+1)\|v\|_2^2 \leq C\|v\|_{H^1}^2

が命題 1.4と合わせて成り立つ。中央の平方根は下界 $-\kappa$ に対する形式ノルムである。 $V$ は $H^1$ で閉じているので形式ノルムについて完備である。§E12.13 定理 2.1により、表示された定義域と作用をもつ下半有界自己共役作用素を得る。▨

命題 3.2.定理 3.1の仮定の下で $u\in D(A_a)$ 、 $f=A_a u$ とする。このとき $Q=A\nabla u+du$ は $H(\operatorname{div};\Omega)$ に属し、 $Lu=f$ が超関数として成り立つ。また

\gamma_\nu Q+\beta Tu=0\quad\text{$T(V)$ 上}

である。

証明. 実現の定義から $u\in V$ であり、すべての $v\in V$ に対して $a(u,v)=(f,v)_{L^2}$ である。命題 1.6を $G=0$ 、 $h=0$ として適用すると、 $Q\in H(\operatorname{div};\Omega)$ 、 $Lu=f$ と同次自然境界条件を得る。▨

命題 3.3. $\Omega\subseteq\R^n$ を有界 Lipschitz 開集合とする。このとき、 $H^1_0(\Omega)$ 上の形式

q(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla v}\,dx

に対応する Dirichlet Laplace 作用素は、 $L^2(\Omega)$ において定義域 $C_c^\infty(\Omega)$ をもつ作用素 $S=-\Delta$ の Friedrichs 拡張に一致する。

証明. $u,v\in C_c^\infty(\Omega)$ について部分積分すると $(Su,v)_{L^2}=q(u,v)$ である。したがって $S$ は非負対称作用素であり、定義域は $L^2$ で稠密である。形式ノルム $[q(u,u)+\|u\|_2^2]^{1/2}$ は $H^1$ ノルムに等しい。§E15.8 定義 5.1により、その完備化は $H^1_0(\Omega)$ である。ゆえに $q$ は $S$ の形式の閉包であり、§E12.13 定理 3.1により対応する作用素は $S$ の Friedrichs 拡張である。▨

定理 4.1 (Dirichlet 原理).定義 1.3の $a$ が $V$ 上で対称かつ強圧的であり、 $F\in V^\dagger$ とする。このとき $a(u,v)=F(v)$ $(v\in V)$ を満たす唯一の $u\in V$ は、実数値汎関数

J(v)=\frac12a(v,v)-\Re F(v)\quad(v\in V)

の唯一の最小点である。逆に $J$ の最小点は弱形式を満たす。

$G\in H^1(\Omega)$ を与えた場合は、 $\ell=F-a(G,\cdot)$ とおくと、 $u\in G+V$ が弱解であるための必要十分条件は、 $u-G$ が $w\mapsto a(w,w)/2-\Re\ell(w)$ の $V$ 上の最小点であることである。

証明.定理 2.2により弱解 $u\in V$ が存在する。 $a$ の強圧性定数を $\alpha>0$ とする。任意の $h\in V$ に対し、対称性と $a(u,h)=F(h)$ により

J(u+h)-J(u)=\Re a(u,h)+\frac12a(h,h)-\Re F(h) =\frac12a(h,h)\geq\frac\alpha2\|h\|_{H^1}^2.

したがって $u$ は唯一の最小点である。

$z\in V$ が最小点ならば、任意の $v\in V$ について実変数 $t$ の関数 $J(z+tv)$ は $t=0$ で最小となる。微分して $\Re[a(z,v)-F(v)]=0$ を得る。 $v$ を $iv$ で置き換えると、反線形性により $\Im[a(z,v)-F(v)]=0$ を得る。したがって $a(z,v)=F(v)$ である。非斉次境界値の場合は $u=G+w$ を代入すると $a(w,v)=\ell(v)$ となるので、既に示した同値を $\ell$ に適用する。▨

例 4.2. 実空間 $V=H^1_0(0,1;\R)$ 上で

a(u,v)=\int_0^1u'v'\,dx+\int_0^1u'v\,dx,\qquad F(v)=\int_0^12v\,dx

とする。このとき、 $u\in V$ について $\int_0^1u'u=[u^2/2]_0^1=0$ であるから、 $a(u,u)=\int_0^1|u'|^2$ である。したがって対角値から作った $J$ の唯一の最小点は $z(x)=x(1-x)$ である。実際、 $-z''=2$ と部分積分により、任意の $h\in V$ に対して $J(z+h)-J(z)=\|h'\|_2^2/2$ である。

一方、 $z'=1-2x$ であるから、 $a(z,v)-F(v)=\int_0^1(1-2x)v\,dx$ である。 $v=x(1-x)(1-2x)\in V$ を代入すると右辺は $\int_0^1x(1-x)(1-2x)^2\,dx>0$ となる。ゆえに $z$ は非対称な弱方程式の解ではない。対角値の最小化はこの drift 項を復元しない。

§E15.16楕円型方程式の弱形式

1 境界条件と形式域

2 Gårding の評価と弱解の存在

3 対称形式と自己共役作用素

4 Dirichlet 原理

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