§E15.23境界正則性

証明.$r<\rho<R$を取り、$r_0$を$\Gamma_\rho$上で変えずに、$\Gamma_R$の縁の近傍で零となるように切断する。切断後の関数を$\partial Q_R$の残りの部分で零とすると、境界の$H^{1/2}$ノルムは$C\|r_0\|_{H^{1/2}(\Gamma_R)}$以下である。実際、切断関数の差を積の差に分けると、切断の微分を含む項の核は対角集合の近傍で可積分となり、異なる面の間の積分では台と縁の距離が正である。§E15.14 定理 2.1によって、$\Gamma_\rho$上で$TW=-r_0e_n$となる$W\in H^1(Q_R;\C^n)$を

を満たすように取ることができる。$H^1$ベクトル場の弱い法線流束は$(TW)\cdot\nu$である。これは滑らかな近似に§E15.14 系 4.3を適用し、$H^1$トレースの連続性で極限を取ることから従う。したがって$\Gamma_\rho$に局在する試験関数に対して

である。$F_0$を$F_0+\operatorname{div}W$、$F$を$F+W$に置き換えると、$r_0=0$の場合に帰着する。Dirichlet 条件の場合にはこの置換を行わない。

$Q_r$上で$1$、上面と側面の近傍で$0$となる実数値切断関数$\eta$を取り、その台を$Q_\rho\cup\Gamma_\rho$に含める。$1\leq\ell<n$と小さい$h\ne0$に対して

とおく。接方向の平行移動は$\Gamma_R$を保つ。Dirichlet 条件の場合には$T\delta_hv=\delta_hTv=0$であるから、$\psi$は許された試験関数である。Robin 条件の場合には零トレースを課す必要がない。

平行移動による変数変換と積の差の公式により、次の二式が成り立つ。

$X=\|\eta\nabla\delta_hv\|_2$、$M=\|v\|_{H^1(Q_R)}$とおく。線分上の積分表示

から、切断関数の台を含む固定した半直方体上で$\|\delta_hv\|_2\leq M$である。この表示は$H^1$関数について、ほとんどすべての接方向の直線上で成り立つ。

一様楕円性により、弱形式の主要項の実部は$\theta X^2$以上である。$\nabla\eta$と$\delta_hA$を含む残りの項の絶対値は$C M(X+M)$以下である。また、右辺は

を満たす。最初の不等式には、同じ線分上の積分表示を$\eta^2\delta_hv$に適用した。

Robin の境界項は差分による部分積分の後に

となる。その絶対値は

以下である。最後の評価では§E15.12 命題 2.4を$\eta\delta_hv$に適用し、$v$にはトレースの有界性を用いた。$\varepsilon$と Young の不等式の定数を小さく取って主要項へ吸収すると、

を得る。

§E15.22 補題 1.2 (2)を$Q_r$の内部の各相対コンパクト開集合に適用する。評価の右辺が境界まで一様であるから、内部からの増大列で極限を取ると、$\partial_\ell\partial_jv\in L^2(Q_r)$がすべての$\ell<n$と$j\leq n$について従う。内部の試験関数に対する方程式を展開すると、超関数として

である。右辺は$L^2(Q_r)$に属する。$\Re A^{nn}\geq\theta$であり、$1/A^{nn}\in W^{1,\infty}$であるから、$\partial_n^2v$も$L^2(Q_r)$に属し、同じ右辺による評価を満たす。▨

証明.$n\geq2$の場合、境界近傍で$\Omega$を$x_n>\varphi(x')$と表し、

とおく。$\det J=1$であり、変換後の主要係数は

である。$\varphi\in C^{1,1}$であるから$\widetilde A\in W^{1,\infty}$であり、

が、座標近傍に依存する$\widetilde\theta>0$に対して成り立つ。零トレースは座標変換で保たれる。変換後の方程式に補題 1.1を$F=0$、

として適用すると、各小さい境界近傍で$v$の$H^2$ノルムが$\|f\|_2+\|u\|_{H^1}$によって抑えられる。§E15.9 補題 4.1により、同じ評価が元の座標の$u$に対して成り立つ。境界の有限被覆と、残る内部のコンパクト集合に対する§E15.22 定理 2.2を合わせると、

を得る。$n=1$の場合には、有限個の区間上で

と$|A|\geq\theta$を用いると同じ評価を得る。

$H^1_0$における弱形式で$u$自身を試験関数に取る。§E15.16 定理 2.1により、ある$\alpha>0$と$\kappa\geq0$に対して

である。得られた$H^1$評価を$H^2$評価に代入する。▨

証明.$u\in D(A_D)$ならば、$u\in H^1_0(\Omega)$と$-\Delta u=A_Du\in L^2$が成り立つ。定理 2.1から$u\in H^2$である。逆に$u\in H^2\cap H^1_0$ならば、§E15.16 命題 1.7を$A=I$、低階係数を零、$\Gamma_D=\partial\Omega$として適用することにより、

を得る。これは$u\in D(A_D)$と$A_Du=-\Delta u$を意味する。▨

証明. 双 Lipschitz な座標変換$\Psi$に対し、距離の比較と積分の変数変換により、次の不等式が成り立つ。

積$aw$の差を$a(x)(w(x)-w(y))+(a(x)-a(y))w(y)$に分けると、$a$が有界 Lipschitz 関数である場合の$H^{1/2}$乗算評価を得る。

$m\geq1$の場合、§E15.13 命題 3.2によって$H^{m+1/2}$ノルムを$H^m$ノルムと$m$階微分の$H^{1/2}$半ノルムで表す。$D^m(w\circ\Psi)$の連鎖律の各項は、$(D^jw)\circ\Psi$と、$\Psi$の$m$階までの微分の積である。$\Psi\in C^{m,1}$ならば後者は有界 Lipschitz 関数であり、前者には上の$H^{1/2}$座標変換評価を適用することができる。逆座標にも同じ評価を適用する。積の Leibniz 公式では、$D^\alpha(aw)$の各係数$D^\gamma a$は$|\gamma|\leq m$のとき Lipschitz 連続であるから、同じ乗算評価が各項を抑える。

座標の重なりごとに切断関数を挿入してこれらの評価を足すと、二つの有限座標系のノルムが互いを抑える。$s=1/2$の境界差分ノルムとの同値は§E15.14 定理 2.1による。$n=1$の場合は有限次元のノルムの比較と成分ごとの乗算である。▨

証明.$\Omega$が$x_n>\varphi(x')$で表される座標では、

である。$\nabla\varphi$は Lipschitz 連続であり、分母は$1$以上である。$A\circ\Phi$は半直方体上の$W^{1,\infty}$関数であるから、その Lipschitz 連続な代表を底面へ制限することができる。積の差の公式によって$\nu\cdot A$と$a_\nu$の Lipschitz 連続性が従う。楕円性を境界へ連続に延長し、実単位ベクトル$\nu$を代入すると$\Re a_\nu\geq\theta$である。したがって

となる。有限被覆を用いると境界全体での Lipschitz 評価を得る。乗算の主張は§E15.14 命題 1.2による。$n=1$の場合には各端点で$\nu=\pm1$として同じ結論を得る。▨

証明.$n\geq2$とする。半空間で接方向 Fourier 変換を

と定め、$a=(1+4\pi^2|\xi'|^2)^{1/2}$とおく。境界値$h\in H^{k+3/2}(\R^{n-1})$と垂直微分$d\in H^{k+1/2}(\R^{n-1})$に対して

と定める。二つのプロファイルは$t=0$でそれぞれ値と微分が$(1,0)$、$(0,1)$となる。接方向と垂直方向を合わせた$j$階微分の二乗積分は、$t$の積分で$s=at$と置くと、

以下である。$a\geq1$であるから、$0\leq j\leq k+2$の和は

以下となる。滑らかなデータでトレースを計算し、データの近似とトレースの連続性で一般のデータへ延長する。

局所座標$\Phi(y',t)=(y',t+\varphi(y'))$で$s=(1+|\nabla\varphi|^2)^{1/2}$とおく。$Tu=h$かつ$T\partial_t(u\circ\Phi)=d$ならば、連鎖律から

である。所与の法微分$q$に対して

と選ぶ。$\nabla\varphi,s^{-1}\in W^{k+1,\infty}$であるから、補題 3.2により$\|d\|_{H^{k+1/2}}$は$\|h\|_{H^{k+3/2}}+\|q\|_{H^{k+1/2}}$によって抑えられる。局所化したデータ$(\chi_jh,\chi_jq)$に半空間の構成を適用し、データの台の近傍で$1$となる空間切断関数を掛けて元の座標へ戻す。§E15.9 補題 4.1によって$H^{k+2}$ノルムが保たれる。局所解を足すと、トレースの対が$(h,q)$となる有界線形右逆を得る。

トレースの有界性は、§E15.9 定理 4.3による整数階の拡張、§E15.9 補題 4.1による平坦化、§E15.13 定理 6.1による値と一階微分のトレース評価から従う。法線の乗算には補題 3.2を用いる。滑らかな近似によって$\nabla_\tau Tu=T\nabla_\tau u$も成り立つ。$n=1$の場合には、各端点の近傍で値と一階微分を指定する一次多項式に、端点の近傍で$1$となる切断関数を掛け、互いに素な台をもつように足せばよい。トレースの評価は区間上の一次元の積分表示を各導関数に適用して得る。

零 Dirichlet トレースを課すと$T\nabla w=\nu\partial_\nu w$である。したがって余法線条件は$a_\nu\partial_\nu w=g$となる。$a_\nu^{-1}\in W^{k+1,\infty}(\partial\Omega)$は、補題 3.3の逆数の計算を$k+1$階まで微分することによって従う。境界データの対$(0,a_\nu^{-1}g)$に既に構成した右逆を適用する。▨

証明.補題 3.4により、$Tw=h$と$\|w\|_{H^2}\leq C\|h\|_{H^{3/2}}$を満たす$w$を取る。§E15.14 定理 2.1により$u-w\in H^1_0$であり、$L(u-w)=f-Lw\in L^2$である。定理 2.1を$u-w$に適用し、$\|Lw\|_2\leq C\|w\|_{H^2}$を用いる。▨

証明.$\operatorname{div}(A\nabla u)=b\cdot\nabla u+cu-f\in L^2$であるから、弱い流束は§E15.14 定理 4.2によって定まる。仮定と§E15.14 系 4.3により、次の弱形式が成り立つ。

境界座標$\Phi(y',t)=(y',t+\varphi(y'))$に移ると、主要係数は定理 2.1の証明と同じ$\widetilde A$となる。境界積分では$s=(1+|\nabla\varphi|^2)^{1/2}$が掛かるので、Robin 係数とデータは

となる。$\widetilde\beta\in W^{1,\infty}$であり、局所化した$\widetilde g$は補題 3.2によって$H^{1/2}$に属する。補題 1.1を適用し、有限個の境界近傍と内部評価§E15.22 定理 2.2を合わせると、

となる。$n=1$の場合は$A u''=-f+(b-A')u'+cu$による評価を用いる。

$v=u$として§E15.16 定理 2.1を適用すると、

を得る。Young の不等式で$\|u\|_{H^1}^2$の小さい倍を左辺へ移すと、$H^1$ノルムも$\|f\|_2+\|g\|_{H^{1/2}}+\|u\|_2$によって抑えられる。▨

証明.$u\in D(A_N)$ならば、弱形式から$-\Delta u=A_Nu\in L^2$と$\gamma_\nu(\nabla u)=0$を得る。定理 4.1によって$u\in H^2$である。$\nabla u\in H^1$に対する滑らかな近似と§E15.14 系 4.3により、$\gamma_\nu(\nabla u)=\nu\cdot T\nabla u=\partial_\nu u$である。逆に$u\in H^2$と$\partial_\nu u=0$が成り立つならば、§E15.16 命題 1.7を$A=I$、低階係数と$\beta$を零、$\Gamma_D=\emptyset$として適用すると、$q(u,v)=\int(-\Delta u)\overline v$がすべての$v\in H^1$に対して成り立つ。▨

証明.補題 3.4によって、Dirichlet の場合には$Tw=h$、Robin の場合には$Tw=0$と$\nu\cdot A T\nabla w=g$を満たす$w\in H^{k+2}$を取る。$\|w\|_{H^{k+2}}$はそれぞれの境界データのノルムで抑えられる。$Lw\in H^k$であるから、$u-w$の方程式に移ると境界条件は斉次になる。以下の斉次問題の評価を$u-w$に適用すれば、二つの主張が従う。

$k=0$の評価は定理 2.1と定理 4.1である。$k\geq1$とし、次数$k-1$までの結論が成り立つと仮定する。帰納法の仮定により$u\in H^{k+1}$であり、

である。境界を$C^{k+1,1}$グラフで平坦化し、$v=u\circ\Phi$とおく。変換後の係数は

であり、Robin 係数は$\widetilde\beta=s(\beta\circ\gamma)$である。主要係数と Robin 係数は$W^{k+1,\infty}$、低階係数は$W^{k,\infty}$、外力は$H^k$に属する。これらの事実は連鎖律と§E15.9 補題 4.1から従う。

接方向の多重指数$\alpha$を$|\alpha|=k$として固定し、$z=D_\tau^\alpha v$とおく。$v\in H^{k+1}$であるから$z\in H^1$である。局所弱形式を接方向に$\alpha$回微分すると、