§E15.28Schrödinger 方程式

証明.§E12.25 命題 3.2を$-A$に適用すると、$U$は生成作用素$-iA$をもつ強連続ユニタリ群である。$v\in D(A)$に対して

を微分すると、第二変数の共役線形性から

を得る。したがって$U(t)u_0$は弱解であり、ユニタリ性からノルムを保存する。

$E$を$A$のスペクトル測度、$P_N=E([-N,N])$、$N\in\NN$とする。初期値零の弱解$w$に対して、任意の$h\in H$について$P_Nh\in D(A)$であるから

右辺は$t$の連続関数であり、$AP_N$は有界である。スカラーの積分等式をすべての$h$について用いると

となる。ゆえに$P_Nw$は$H$のノルムに関して連続微分可能である。有界自己共役作用素$A|_{P_NH}$の指数関数を掛けて微分すると

初期値が零なので$P_Nw(t)=0$である。$P_N\to1$の強収束から$w(t)=0$を得る。

$u_0\in D(A)$の場合、生成作用素の定義と群の法則から$u'(t)=-iU(t)Au_0$となる。§E12.15 定理 1.2の積の公式により$AU(t)u_0=U(t)Au_0$であり、$u$と$Au$の強連続性からグラフノルムについての連続性が従う。▨

証明. スペクトル汎関数計算から$U(t)e_j=e^{-it\lambda_j}e_j$である。初期値の正規直交展開に有界作用素$U(t)$を作用させると表示を得る。第$N$部分和との差のノルムの二乗は$\sum_{j>N}|(u_0,e_j)|^2$であり、$t$によらず零へ収束する。▨

証明.$E$を$A$のスペクトル測度とする。汎関数計算の積の公式§E12.15 定理 1.2と$|e^{-it\lambda}|=1$により

よって定義域への所属と$A^m$のノルムは保存される。同じ積の公式から可換性を得る。時刻$-t$の作用で逆包含を得る。$e^{-itA}v$と$e^{-itA}A^mv$はともに$H$で連続なので、グラフノルムに関する連続性も従う。▨

証明. スペクトル積分における定義域の条件は$\int_{[0,\infty)}\lambda\,d(E(\lambda)v,v)<\infty$である。絶対値一の乗数$e^{-it\lambda}$はこの積分を変えない。時刻$-t$によって全射性も従う。形式との一致は§E15.24 命題 1.1、全空間の勾配ノルムとの一致は§E15.24 命題 1.4による。▨

証明.§E15.23 系 6.1によって表示された空間は$D(A_D^m)$に等しく、その$H^{2m}$ノルムはグラフノルムと同値である。命題 2.1を適用すると所属と評価を得る。▨

証明.§E15.13 定理 1.2の等長同型$J_s$により、表示された作用素は$L^2$上の絶対値一の乗数と共役である。群の法則と等長性は乗数の積と絶対値から従う。$t\to t_0$のとき、乗数の差の絶対値は$2$以下で各点零へ収束するので、優収束定理から強連続性を得る。§E15.24 命題 1.4による$A$の Fourier 表示と汎関数計算から$s=0$の一致が従う。▨

証明.§E15.24 定理 2.1を Schrödinger の場合（$\beta=i$）に外力$g=-if$として適用する。$u'+iAu=-if$は$iu'=Au+f$と同じ方程式であり、表示された$u$は同定理の積分表示に等しい。したがって$u\in C([0,T];H)$であり、$u$はすべての$v\in D(A)$と$t\in[0,T]$について

を満たす唯一の連続な$H$値関数である。

連続関数$w\colon[0,T]\to H$と$v\in D(A)$について、$s\mapsto(w(s),Av)+(f(s),v)$は$[0,T]$上で可積分である。したがって、$u$を$w$に替えた上の等式がすべての$t\in[0,T]$で成り立つことは、$(w(0),v)=(u_0,v)$であり、$(w(\cdot),v)$が絶対連続であって、ほとんどすべての$t$で$i\frac{d}{dt}(w(t),v)=(w(t),Av)+(f(t),v)$が成り立つことと同値である。$D(A)$は$H$で稠密であるから、すべての$v\in D(A)$について$(w(0),v)=(u_0,v)$であることは$w(0)=u_0$と同値である。ゆえに$u$は唯一の$C([0,T];H)$弱解である。ほとんど至る所で等しい二つの可積分関数の Bochner 積分は等しいので、表示は$f$の代表元によらない。

$0<t\leq T$とし、同定理を区間$[0,t]$上でデータ$(u_0,-if)$と$(0,0)$に適用する。後者の軟解は零であるから、データの差に対する評価により$\|u(t)\|\le\|u_0\|+\int_0^t\|f(s)\|\,ds$を得る。$t=0$では評価は自明である。▨

証明.命題 2.1により$e^{-itA}$はグラフノルムをもつ Banach 空間$D(A^m)$上の強連続等長群でもある。§E12.26 定理 2.1をこの空間に適用すると、積分表示は$D(A^m)$で連続となる。$A^m:D(A^m)\to H$は有界なので Bochner 積分と交換し、表示と評価を得る。

古典解の主張は、§E15.24 系 2.2を$\beta=i$と外力$g=-if$に適用したものである。$g$は$f$と同じ正則性をもち、$u'+iAu=-if$は$iu'=Au+f$と同じ方程式である。▨

証明. 乗数の表示は命題 2.4による。$\Re z>0$とし、$z^{-n/2}$はこの右半平面で正実軸上の正の値から定める。§E15.3 命題 4.1と Fourier 反転§E15.3 定理 2.1により、正実数$z$について

左辺は右半平面の任意のコンパクト集合上で、被積分関数と$z$微分が可積分な Gauss 関数に支配される。したがって左辺は$z$について正則である。右辺も正則なので、正則関数の一致の定理から等式は$\Re z>0$で成立する。

$\varepsilon>0$とし、$z=\varepsilon+it$を代入した核を$K_{\varepsilon,t}$とおく。$u_0\in\mathcal S$ならば、Fourier 反転と Fubini の定理により

実際、Fubini の適用に要る絶対積分は$\|u_0\|_1\int e^{-4\pi^2\varepsilon|\xi|^2}\,d\xi<\infty$である。$\varepsilon\downarrow0$のとき、左辺は$\widehat u_0\in L^1$による優収束で各点$e^{it\Delta}u_0(x)$へ収束し、Plancherel の定理によって$L^2$でも同じ極限をもつ。

右辺では$K_{\varepsilon,t}(x)\to K_t(x)$であり、

したがって$|u_0|$による優収束から核表示を得る。複素べきの極限は$\arg(\varepsilon+it)\to\operatorname{sgn}(t)\pi/2$なので、表示された位相係数となる。▨

証明.$|K_t(x-y)|=(4\pi|t|)^{-n/2}$なので、$u_0\in L^1$に対する積分は絶対収束し、端点評価を満たす。$x\to x_0$のとき被積分関数は各点収束し、定数倍の$|u_0|$に支配されるので、積分は連続である。

$u_0\in L^1\cap L^2$に対して、$u_j\in\mathcal S$を$L^1$と$L^2$の両方で$u_0$に収束するように取る。この同時近似は、$u_0$を有界な球と有界な値で切断してから滑らかな近似恒等核で畳み込むことで得られる。定理 4.1により二つの作用素は$u_j$上で一致する。端点評価から核積分の像は一様収束し、ユニタリ性から群の像は$L^2$で収束する。$L^2$収束列のほとんど至る所収束する部分列を取ると、二つの極限は一致する。

二つの作用素が共通部分で一致するので、$L^1+L^2$上に$T_t(g+h)=K_t*g+e^{it\Delta}h$と定めることができる。二つの分解の差は$L^1\cap L^2$に属するので、値は分解によらない。$T_t$の端点ノルムは$L^1\to L^\infty$で$(4\pi|t|)^{-n/2}$以下、$L^2\to L^2$で一である。Lebesgue 測度は半有限なので§E12.36 定理 2.1を適用することができる。$1/p=1-\theta/2$とおくと$1/p'=\theta/2$となり、補間定数は

である。$p=1,2$は端点評価そのものである。▨