Schauder の境界評価 | 偏微分方程式論 I

定義 1.1 ( $C^{k,\alpha}$ 開集合). $k\geq1$ を整数、 $0<\alpha\leq1$ とする。 $n\geq2$ のとき、有界開集合 $\Omega\subseteq\R^n$ が $C^{k,\alpha}$ 開集合 ( $C^{k,\alpha}$ domain) であるとは、各 $a\in\partial\Omega$ に対して、剛体変換 $M$ 、開直方体 $B\subseteq\R^{n-1}$ 、 $h>0$ 、 $\psi\in C^{k,\alpha}(\overline B)$ が存在し、

U=\{(y',\psi(y')+\tau):y'\in B,\ |\tau|<h\},\qquad M(\Omega)\cap U=\{(y',\psi(y')+\tau):y'\in B,\ 0<\tau<h\}

が $M(a)\in U$ とともに成り立つことをいう。 $n=1$ のとき、各 $a\in\partial\Omega$ に対して $h>0$ が存在し、 $\Omega\cap(a-h,a+h)$ が $(a-h,a)$ または $(a,a+h)$ に等しくなる有界開集合 $\Omega\subseteq\R$ を $C^{k,\alpha}$ 開集合という。

注意 1.2. $k\geq1$ とする。定義 1.1の意味の $C^{k,1}$ 開集合は、§E15.9 定義 1.1の意味の $C^{k,1}$ 開集合と一致する。実際、 $\psi\in C^{k,1}(\overline B)$ ならば、 $\psi$ は凸集合 $B$ 上で有界な勾配をもつので Lipschitz 連続であり、 $k$ 階導関数は Lipschitz 連続である。逆に、§E15.9 定義 1.1の剛体変換 $M$ とグラフ関数 $\varphi$ に対し、 $M(a)\in U$ の最初の $n-1$ 個の成分を $a'\in B$ とする。 $a'\in B'$ と $\overline{B'}\subseteq B$ を満たす開直方体 $B'$ へ $B$ を縮小しても二つの集合等式は保たれる。 $\varphi$ の $k$ 階までの導関数は $\overline{B'}$ 上で連続である。 $k$ 階導関数は $\overline{B'}$ の各点の近傍で Lipschitz 連続であり、 $\overline{B'}$ はコンパクトであるから、有限個のそのような近傍が $\overline{B'}$ を覆う。 $\overline{B'}$ は凸であるから、 $\overline{B'}$ の二点を結ぶ線分をこの被覆の Lebesgue 数より短い線分に分割すると、 $k$ 階導関数は $\overline{B'}$ 上で Lipschitz 連続である。よって $\varphi|_{B'}\in C^{k,1}(\overline{B'})$ である。 $n=1$ の場合の二つの定義は同じである。

補題 1.3. $m\geq0$ を整数、 $0<\alpha\leq1$ とし、 $D\subseteq\R^n$ を空でない有界凸開集合とする。関数は実数値、写像は $\R^n$ 値とする。このとき、次が成り立つ。

$h\in C^{m,\alpha}(\overline D)$ について、 $D$ 上で $|h|\geq\mu$ を満たす $\mu>0$ が存在するならば、 $1/h\in C^{m,\alpha}(\overline D)$ であり、そのノルムは $n,m,\alpha$ 、 $D$ の直径、 $\mu$ と $\|h\|_{C^{m,\alpha}(\overline D)}$ の上界だけに依存する定数以下である。
$S\subseteq D$ と $T\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Psi\in C^{m,\alpha}(\overline D;\R^n)$ とし、 $\Psi(S)\subseteq T$ とする。 $m=0$ の場合は、 $\Psi$ が $D$ 上で Lipschitz 連続であるとする。さらに、 $S=D$ であるか、 $T$ が有界凸であるとする。このとき、 $g\in C^{m,\alpha}(\overline T)$ に対して $g\circ\Psi\in C^{m,\alpha}(\overline S)$ であり、 $\|g\circ\Psi\|_{C^{m,\alpha}(\overline S)}\leq C\|g\|_{C^{m,\alpha}(\overline T)}$ である。定数 $C$ は、 $n,m,\alpha$ 、 $D$ の直径、 $\Psi$ の $C^{m,\alpha}(\overline D)$ ノルムと Lipschitz 定数、および $T$ が有界凸である場合の $T$ の直径だけに依存する。

証明. $E\subseteq\R^n$ を凸集合とし、 $w$ を $E$ を含む開集合上の $C^1$ 級関数で勾配の Euclid ノルムの上限 $\|Dw\|_{\infty;E}$ が有限であるものとする。 $x,y\in E$ を結ぶ線分は $E$ に含まれるから、線分上の評価 $|w(x)-w(y)|\leq\|Dw\|_{\infty;E}|x-y|$ が成り立ち、 $E$ が有界ならば、直径による評価

[w]_{\alpha;E}\leq(\operatorname{diam}E)^{1-\alpha}\|Dw\|_{\infty;E}

が成り立つ。また、任意の集合 $E$ 上の有界関数 $F,G$ に対して、 $F(x)G(x)-F(y)G(y)=F(x)(G(x)-G(y))+(F(x)-F(y))G(y)$ から、積の評価

[FG]_{\alpha;E}\leq\|F\|_{\infty;E}[G]_{\alpha;E}+[F]_{\alpha;E}\|G\|_{\infty;E}

が従う。

主張 (1)を示す。 $D$ は連結であり $h$ は連続であるから、 $h$ の符号は $D$ 上で一定である。 $1\leq|\gamma|\leq m$ に対し、 $D^\gamma(1/h)$ は $h^{-1-p}\prod_{i=1}^pD^{\beta_i}h$ （ $1\leq p\leq|\gamma|$ 、 $\beta_1+\cdots+\beta_p=\gamma$ 、各 $|\beta_i|\geq1$ ）の整数係数の一次結合である。実際、この形の項を $x_j$ で微分すると、 $h^{-1-p}$ の微分からは因子が一つ増えた同じ形の項が生じ、 $D^{\beta_i}h$ の微分からは $\beta_i$ を $\beta_i+e_j$ に替えた項が生じる。 $h$ の値は区間 $[\mu,\infty)$ と $(-\infty,-\mu]$ の一方に含まれるから、平均値の定理により $[h^{-q}]_{\alpha;D}\leq q\mu^{-q-1}[h]_{\alpha;D}$ （ $q\geq1$ ）である。したがって、 $|\gamma|=m$ のとき、 $h^{-1-p}$ は有界かつ $\alpha$ 次 Hölder 連続であり、 $D^{\beta_i}h$ は $|\beta_i|=m$ ならば仮定により、 $|\beta_i|<m$ ならば§E15.35 補題 1.5を凸集合 $D$ と $k=m$ に適用して有界かつ $\alpha$ 次 Hölder 連続であるから、積の評価から結論を得る。

主張 (2)を示す。 $\ell$ を $\Psi$ の $D$ 上の Lipschitz 定数とする。 $m\geq1$ ならば、線分上の評価（ $E=D$ ）により $\ell\leq\|D\Psi\|_{\infty;D}$ である。 $m=0$ の場合は $[g\circ\Psi]_{\alpha;S}\leq\ell^\alpha[g]_{\alpha;T}$ である。 $m\geq1$ とする。 $1\leq|\gamma|\leq m$ に対し、 $D^\gamma(g\circ\Psi)$ は

\bigl((D^\beta g)\circ\Psi\bigr)\prod_{i=1}^{|\beta|}D^{\gamma_i}\Psi^{k_i} \qquad(1\leq|\beta|\leq|\gamma|,\ \gamma_1+\cdots+\gamma_{|\beta|}=\gamma,\ |\gamma_i|\geq1)

の整数係数の一次結合である。実際、連鎖律 $D_j\bigl((D^\beta g)\circ\Psi\bigr)=\sum_k\bigl((D^{\beta+e_k}g)\circ\Psi\bigr)D_j\Psi^k$ と Leibniz 則により、この形の項を微分すると同じ形の項の和になる。各因子は $S$ 上で有界である。 $|\gamma|=m$ のとき、各因子は $S$ 上で $\alpha$ 次 Hölder 連続である。実際、 $|\beta|=m$ ならば $[(D^\beta g)\circ\Psi]_{\alpha;S}\leq\ell^\alpha[D^\beta g]_{\alpha;T}$ である。 $|\beta|<m$ の場合、 $S=D$ ならば $(D^\beta g)\circ\Psi$ は $D$ 上で $C^1$ 級であり、勾配の大きさは $n\max_k\|D^{\beta+e_k}g\|_{\infty;T}\|D\Psi\|_{\infty;D}$ 以下であるので、直径による評価を適用することができる。 $T$ が有界凸ならば、線分上の評価により $D^\beta g$ は $T$ 上で Lipschitz 連続であり、 $\Psi$ との合成は $S$ 上で Lipschitz 連続である。 $D^{\gamma_i}\Psi^{k_i}$ は、 $|\gamma_i|<m$ ならば直径による評価により、 $|\gamma_i|=m$ ならば仮定により $\alpha$ 次 Hölder 連続である。積の評価から $[D^\gamma(g\circ\Psi)]_{\alpha;S}$ の評価を得る。 $|\gamma|<m$ のとき、 $D^\gamma(g\circ\Psi)$ （ $\gamma=0$ では $g\circ\Psi$ ）は $|\beta|<m$ の因子 $(D^\beta g)\circ\Psi$ と $|\gamma_i|<m$ の因子 $D^{\gamma_i}\Psi^{k_i}$ の積の一次結合であり、これらの因子は上の議論により $S$ 上で有界かつ $\alpha$ 次 Hölder 連続であるから、 $D^\gamma(g\circ\Psi)$ は $S$ 上で $\alpha$ 次 Hölder 連続である。したがって、 $m=0$ の場合も含めて、各 $D^\gamma(g\circ\Psi)$ （ $|\gamma|\leq m$ ）は $S$ 上で一様連続であるから $\overline S$ へ連続に延びる。これで主張 (2)は示された。▨

補題 1.4. $n\geq1$ 、 $k\geq1$ を整数、 $0<\alpha\leq1$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を $C^{k,\alpha}$ 開集合、 $a\in\partial\Omega$ とする。 $\R^n_+=\{y\in\R^n:y_n>0\}$ とおく。このとき、 $0\in D$ を満たす有界凸開集合 $D$ 、有界凸開集合 $D^*$ 、写像 $\Phi\in C^{k,\alpha}(\overline D;\R^n)$ と $\Psi\in C^{k,\alpha}(\overline{D^*};\R^n)$ が存在して、次を満たす。 $\Phi(0)=a$ であり、 $\Phi$ は $D$ から開集合 $\Phi(D)\subseteq D^*$ への同相写像で、その逆写像は $\Psi|_{\Phi(D)}$ である。 $D$ 上で $|\det D\Phi|=1$ であり、

\Phi(D\cap\R^n_+)=\Phi(D)\cap\Omega,\qquad \Phi(D\cap\partial\R^n_+)=\Phi(D)\cap\partial\Omega

が成り立つ。

証明. $n=1$ の場合、 $\Omega\cap(a-h,a+h)=(a,a+h)$ ならば $\sigma=1$ 、 $\Omega\cap(a-h,a+h)=(a-h,a)$ ならば $\sigma=-1$ とし、 $D=(-h,h)$ 、 $D^*=(a-h,a+h)$ 、 $\Phi(y)=a+\sigma y$ 、 $\Psi(x)=\sigma(x-a)$ とおけばよい。 $\partial\Omega\cap(a-h,a+h)=\{a\}$ であるから、二つの等式が成り立つ。

$n\geq2$ とし、定義 1.1の $M$ 、 $B$ 、 $h$ 、 $\psi$ をとる。 $U$ の点 $(y',\psi(y')+\tau)$ のうち、 $\tau>0$ の点全体は $M(\Omega)$ に含まれる開集合であり、 $\tau<0$ の点全体は $M(\Omega)$ と交わらない開集合である。 $\tau=0$ の点は $\tau>0$ の点の極限であり、 $M(\Omega)$ に属さない。したがって $M(\partial\Omega)\cap U$ は $\tau=0$ の点全体に等しい。特に、 $M(a)=(a',\psi(a'))$ を満たす $a'\in B$ が存在する。この $a'$ をとり、 $H=h+\|\psi\|_{\infty;B}$ とし、

D=(B-a')\times(-h,h),\qquad D^*=M^{-1}\bigl(B\times(-H,H)\bigr),

\Phi(y)=M^{-1}\bigl(y'+a',\ \psi(y'+a')+y_n\bigr),\qquad \Psi(x)=\bigl(z'-a',\ z_n-\psi(z')\bigr)\quad(z=M(x))

とおく。 $D$ 、 $D^*$ は有界凸開集合であり、 $\psi\in C^{k,\alpha}(\overline B)$ と $M$ がアフィン等長写像であることから $\Phi$ 、 $\Psi$ は $C^{k,\alpha}$ 級である。 $\Phi(D)=M^{-1}(U)\subseteq D^*$ は開集合であり、 $\Psi\circ\Phi$ は $D$ 上の恒等写像、 $\Phi\circ\Psi$ は $\Phi(D)$ 上の恒等写像である。 $M(x)=Qx+p$ （ $Q$ は直交行列）と書くと、 $D\Phi$ は $Q^{-1}$ と行列式 $1$ の下三角行列の積であるから $|\det D\Phi|=1$ である。最後に、 $\Phi(D\cap\R^n_+)=M^{-1}(M(\Omega)\cap U)=\Omega\cap\Phi(D)$ であり、前段の $M(\partial\Omega)\cap U$ の記述から $\Phi(D\cap\partial\R^n_+)=\partial\Omega\cap\Phi(D)$ である。▨

命題 1.5. $n\geq1$ 、 $m\geq0$ を整数、 $0<\alpha\leq1$ 、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $\mu>0$ とする。 $D\subseteq\R^n$ を空でない有界凸開集合、 $\Omega'\subseteq\R^n$ を開集合とし、 $\Phi\in C^{m+2,\alpha}(\overline D;\R^n)$ は $\Phi(D)\subseteq\Omega'$ と、 $D$ 上の $|\det D\Phi|\geq\mu$ を満たすとする。実数値関数 $a^{ij}=a^{ji}$ 、 $b^i$ 、 $c$ （ $1\leq i,j\leq n$ ）は $C^{m,\alpha}(\overline{\Omega'})$ に属し、 $A=(a^{ij})$ は

\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot A(x)\xi\leq\Lambda|\xi|^2 \qquad(x\in\Omega',\ \xi\in\R^n)

を満たすとする。 $Lu=A:D^2u+b\cdot Du+cu$ とする。ここで $A:X=\sum_{i,j}a^{ij}X_{ij}$ である。 $J=D\Phi$ （ $J_{ik}=D_k\Phi^i$ ）、 $J^{-t}=(J^{-1})^t$ 、 $\hat A=A\circ\Phi$ 、 $\hat b=b\circ\Phi$ とおき、 $D$ 上で

\tilde A=J^{-1}\hat AJ^{-t},\qquad \tilde b=J^{-1}(\hat b-\tau),\quad \tau_i=\tilde A:D^2\Phi^i,\qquad \tilde c=c\circ\Phi

と定める。このとき、次が成り立つ。

任意の $u\in C^2(\Omega')$ に対して、 $v=u\circ\Phi$ は $D$ 上で $(Lu)\circ\Phi=\tilde A:D^2v+\tilde b\cdot Dv+\tilde cv$ を満たす。
$\tilde A$ 、 $\tilde b$ 、 $\tilde c$ の成分は $C^{m,\alpha}(\overline D)$ に属し、そのノルムは $n,m,\alpha,\mu$ 、 $D$ の直径、 $\|\Phi\|_{C^{m+2,\alpha}(\overline D)}$ と係数の $C^{m,\alpha}(\overline{\Omega'})$ ノルムの上界だけに依存する定数以下である。
$\tilde A$ は対称であり、作用素ノルムについて $\kappa_1=\sup_D\|J\|$ 、 $\kappa_2=\sup_D\|J^{-1}\|$ とおくと、 $\lambda\kappa_1^{-2}|\xi|^2\leq\xi\cdot\tilde A(y)\xi\leq\Lambda\kappa_2^2|\xi|^2 \qquad(y\in D,\ \xi\in\R^n)$ が成り立つ。

$\Phi$ が逆写像 $\Psi$ をもつならば $J^{-1}=(D\Psi)\circ\Phi$ であり、 $\kappa_2$ は逆写像の一階微分の上界である。

証明. $y\in D$ 、 $x=\Phi(y)$ とする。連鎖律により $Dv(y)=J^t(Du)(x)$ であり、

D^2v(y)=J^t(D^2u)(x)J+\sum_{i=1}^n(D_iu)(x)\,D^2\Phi^i(y)

である。 $(Du)(x)=J^{-t}Dv(y)$ をこれに代入すると

(D^2u)(x)=J^{-t}\Bigl(D^2v(y)-\sum_{i=1}^n\bigl(J^{-t}Dv(y)\bigr)_iD^2\Phi^i(y)\Bigr)J^{-1}

を得る。対称行列 $X$ に対して $\hat A:(J^{-t}XJ^{-1})=\operatorname{tr}(\hat AJ^{-t}XJ^{-1})=\operatorname{tr}(J^{-1}\hat AJ^{-t}X)=\tilde A:X$ であるから、

(A:D^2u)(x)=\tilde A:D^2v-\sum_i\bigl(J^{-t}Dv\bigr)_i\tau_i=\tilde A:D^2v-(J^{-1}\tau)\cdot Dv

である。また $(b\cdot Du)(x)=\hat b\cdot J^{-t}Dv=(J^{-1}\hat b)\cdot Dv$ である。これらを加えると主張 (1)を得る。

$J$ の成分は $C^{m+1,\alpha}(\overline D)$ に属し、§E15.35 補題 1.5により $C^{m,\alpha}(\overline D)$ に属する。 $J^{-1}=(\det J)^{-1}\operatorname{adj}J$ であり、余因子行列 $\operatorname{adj}J$ と $\det J$ の成分は $J$ の成分の多項式であるから、§E15.35 命題 1.6 (1)と補題 1.3 (1)により $J^{-1}$ の成分は $C^{m,\alpha}(\overline D)$ に属する。 $\Phi$ は $D$ 上で Lipschitz 連続であるから、補題 1.3 (2)（ $S=D$ 、 $T=\Omega'$ ）により $\hat A$ 、 $\hat b$ 、 $\tilde c$ の成分は $C^{m,\alpha}(\overline D)$ に属する。 $D^2\Phi^i$ の成分も $C^{m,\alpha}(\overline D)$ に属するので、§E15.35 命題 1.6 (1)により主張 (2)を得る。

$\tilde A$ の対称性は $\hat A$ の対称性から従う。 $\xi\cdot\tilde A\xi=(J^{-t}\xi)\cdot\hat A(J^{-t}\xi)$ であり、 $|\xi|=|J^tJ^{-t}\xi|\leq\kappa_1|J^{-t}\xi|$ と $|J^{-t}\xi|\leq\kappa_2|\xi|$ が成り立つから、主張 (3)を得る。▨

例 1.6. $n\geq2$ 、 $B\subseteq\R^{n-1}$ を開直方体、 $h>0$ 、 $\psi\in C^2(\overline B)$ とし、 $D=B\times(-h,h)$ 上で $\Phi(y)=(y',y_n+\psi(y'))$ とおく。このとき、 $\Phi$ は $D$ から開集合 $\Phi(D)$ への全単射であり、逆写像は $\Psi(x)=(x',x_n-\psi(x'))$ である。 $u\in C^2(\Phi(D))$ 、 $v=u\circ\Phi$ とすると $u(x)=v(x',x_n-\psi(x'))$ である。 $i<n$ に対して、 $v$ の導関数を $\Psi(x)$ で、 $\psi$ の導関数を $x'$ で評価すると

D_iu=D_iv-D_i\psi\,D_nv,\qquad D_nu=D_nv,

D_{ii}u=D_{ii}v-2D_i\psi\,D_{in}v+(D_i\psi)^2D_{nn}v-D_{ii}\psi\,D_nv,\qquad D_{nn}u=D_{nn}v

である。 $\Delta'=\sum_{i<n}D_{ii}$ 、 $D'\psi=(D_1\psi,\ldots,D_{n-1}\psi)$ とおき、 $\Phi$ と合成すると、 $D$ 上で

(\Delta u)\circ\Phi=\Delta'v-2\sum_{i<n}D_i\psi\,D_{in}v+(1+|D'\psi|^2)D_{nn}v-(\Delta'\psi)D_nv

が成り立つ。したがって、変換後の係数は

\tilde a^{ij}=\delta_{ij}\ (i,j<n),\qquad \tilde a^{in}=\tilde a^{ni}=-D_i\psi\ (i<n),\qquad \tilde a^{nn}=1+|D'\psi|^2,\qquad \tilde b=-(\Delta'\psi)e_n,\qquad \tilde c=0

である。この結果は命題 1.5の公式と一致する。実際、 $J^{-1}$ の第 $i$ 行（ $i<n$ ）は $e_i$ 、第 $n$ 行は $(-D'\psi,1)$ であるから $\tilde A=J^{-1}J^{-t}$ の成分は上の $\tilde a^{ij}$ に一致し、 $D^2\Phi^i=0$ （ $i<n$ ）と $D^2\Phi^n=D^2\psi$ から $\tau=(\Delta'\psi)e_n$ 、 $\tilde b=-J^{-1}\tau=-(\Delta'\psi)e_n$ である。

$J^{-t}$ の第 $i$ 列が $J^{-1}$ の第 $i$ 行であることから $J^{-t}\xi=(\xi'-\xi_nD'\psi,\xi_n)$ であり、二次形式は

\xi\cdot\tilde A\xi=|J^{-t}\xi|^2=|\xi'-\xi_nD'\psi|^2+\xi_n^2

である。 $J\xi=\xi+(D'\psi\cdot\xi')e_n$ 、 $J^{-1}\xi=\xi-(D'\psi\cdot\xi')e_n$ から $\|J\|,\|J^{-1}\|\leq1+\sup_B|D'\psi|$ である。 $|\xi|=|J^tJ^{-t}\xi|\leq\|J\||J^{-t}\xi|$ と $|J^{-t}\xi|\leq\|J^{-1}\||\xi|$ により

(1+\sup_B|D'\psi|)^{-2}|\xi|^2\leq\xi\cdot\tilde A\xi\leq(1+\sup_B|D'\psi|)^2|\xi|^2

を得る。主要係数は $D'\psi$ だけを含み、一階の係数 $\tilde b$ は $\psi$ の二階導関数を含む。特に、 $\tilde b\in C^{0,\alpha}(\overline D)$ であることは $\Delta'\psi\in C^{0,\alpha}(\overline B)$ と同値である。

補題 2.1. $n\geq1$ 、 $0<\alpha<1$ 、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $r>0$ 、 $K\geq0$ とし、 $A_0$ を $\lambda I\leq A_0\leq\Lambda I$ を満たす実対称定数行列とする。 $\R^n_+=\{x\in\R^n:x_n>0\}$ 、 $B^+_r(x_0)=B_r(x_0)\cap\R^n_+$ とおき、 $(F)_E=|E|^{-1}\int_EF$ とし、行列には成分の Euclid ノルムを用いる。このとき、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ とし、実数値関数 $v\in C^2(\overline{B_r(x_0)})$ に対して $g=A_0:D^2v$ が $|g(x)-g(x_0)|\leq K|x-x_0|^\alpha$ （ $x\in B_r(x_0)$ ）を満たすとする。このとき、 $0<\rho\leq r$ に対して $\int_{B_\rho(x_0)}|D^2v-(D^2v)_{B_\rho(x_0)}|^2 \leq C\left(\frac\rho r\right)^{n+2\alpha}\int_{B_r(x_0)}|D^2v-(D^2v)_{B_r(x_0)}|^2+CK^2\rho^{n+2\alpha}$ が成り立つ。
$x_0\in\partial\R^n_+$ とし、実数値関数 $v\in C^2(\overline{B^+_r(x_0)})$ は $\overline{B^+_r(x_0)}\cap\partial\R^n_+$ 上で $v=0$ を満たし、 $g=A_0:D^2v$ は $|g(x)-g(x_0)|\leq K|x-x_0|^\alpha$ （ $x\in B^+_r(x_0)$ ）を満たすとする。このとき、 $0<\rho\leq r$ に対して $\int_{B^+_\rho(x_0)}|D^2v-(D^2v)_{B^+_\rho(x_0)}|^2 \leq C\rho^{n+2\alpha}\Bigl(r^{-2\alpha}\|D^2v\|_{L^\infty(B^+_r(x_0))}^2+K^2\Bigr)$ が成り立つ。

定数 $C$ は $n,\alpha,\lambda,\Lambda$ だけに依存する。

証明.主張 (1)を示す。 $\operatorname{tr}A_0\geq n\lambda>0$ であり、 $w(x)=v(x)-g(x_0)|x-x_0|^2/(2\operatorname{tr}A_0)$ とおくと、 $w\in C^2(\overline{B_r(x_0)})\subseteq H^2(B_r(x_0))$ は $B_r(x_0)$ 上で $A_0:D^2w=g-g(x_0)$ と $|A_0:D^2w(x)|\leq K|x-x_0|^\alpha$ を満たす。 $D^2w$ と $D^2v$ は定数行列だけ異なるので、平均からの偏差 $D^2w-(D^2w)_{B_\rho(x_0)}$ と $D^2v-(D^2v)_{B_\rho(x_0)}$ は一致する。§E15.36 補題 1.2を $A=A_0$ 、 $s=r$ として $w$ に適用すると結論を得る。

主張 (2)を示す。内積 $\langle\xi,\eta\rangle=\xi\cdot A_0\eta$ に関する正規直交基底 $t_1,\ldots,t_n$ を $t_n=(e_n\cdot A_0e_n)^{-1/2}e_n$ となるようにとり、第 $k$ 行が $t_k$ である行列を $T$ とする。 $(TA_0T^t)_{kl}=\langle t_k,t_l\rangle=\delta_{kl}$ であるから $TA_0T^t=I$ 、すなわち $A_0=T^{-1}T^{-t}$ である。 $(Tx)_n=(e_n\cdot A_0e_n)^{-1/2}x_n$ であるから、 $T$ は $\R^n_+$ と $\partial\R^n_+$ をそれぞれ自身の上へ写す。 $|\xi|^2=(T^t\xi)\cdot A_0(T^t\xi)$ から $\lambda|T^t\xi|^2\leq|\xi|^2\leq\Lambda|T^t\xi|^2$ であり、 $\|T\|\leq\lambda^{-1/2}$ 、 $\|T^{-1}\|\leq\Lambda^{1/2}$ である。

$s=\Lambda^{-1/2}r$ とし、 $\hat v(y)=v(x_0+T^{-1}y)$ 、 $\hat g(y)=g(x_0+T^{-1}y)$ とおく。 $|y|\leq s$ ならば $|T^{-1}y|\leq r$ であり、 $T^{-1}$ は $\R^n_+$ を自身の上へ写すから、 $\hat v$ は $\overline{B^+_s(0)}$ 上で定義される。連鎖律により $D^2\hat v(y)=T^{-t}D^2v(x)T^{-1}$ （ $x=x_0+T^{-1}y$ ）であり、 $\Delta\hat v(y)=\operatorname{tr}(T^{-1}T^{-t}D^2v(x))=A_0:D^2v(x)=\hat g(y)$ である。また $|\hat g(y)-\hat g(0)|\leq K\Lambda^{\alpha/2}|y|^\alpha$ である。 $|T^tXT|\leq\|T\|^2|X|$ と $|\det T|^{-1}\leq\|T^{-1}\|^n$ から、可測集合 $E\subseteq B^+_r(x_0)$ と定数行列 $M$ に対して

\int_E|D^2v-T^tMT|^2dx\leq\lambda^{-2}\Lambda^{n/2}\int_{T(E-x_0)}|D^2\hat v-M|^2dy

である。また $T(B^+_\rho(x_0)-x_0)\subseteq B^+_{\lambda^{-1/2}\rho}(0)$ である。

$\overline{B^+_s(0)}$ 上で $w(y)=\hat v(y)-\hat g(0)y_n^2/2$ とおく。 $x_0+T^{-1}y\in\partial\R^n_+$ （ $y\in\partial\R^n_+$ ）であるから $w$ は $\overline{B^+_s(0)}\cap\partial\R^n_+$ 上で $0$ であり、 $\Delta w=\hat g-\hat g(0)$ である。 $B_s(0)$ 上で、 $y_n\geq0$ では $\tilde w(y)=w(y)$ 、 $y_n<0$ では $\tilde w(y)=-w(y',-y_n)$ と定める。 $w(\cdot,0)=0$ から $i<n$ について $D_iw(y',0)=0$ であり、 $y_n<0$ では $D_i\tilde w(y)=-D_iw(y',-y_n)$ 、 $D_n\tilde w(y)=D_nw(y',-y_n)$ である。よって、二つの開半球で計算した $\tilde w$ の一階導関数は $B_s(0)$ 上の連続関数を定め、二階導関数は各開半球で有界かつ連続である。座標軸に平行な直線上で一変数の部分積分を開半球ごとに行うと、超平面上の境界項は連続性により打ち消し合う。したがって、開半球ごとに計算した一階および二階導関数は $\tilde w$ の弱導関数であり、 $\tilde w\in W^{2,\infty}(B_s(0))\subseteq H^2(B_s(0))$ である。 $y_n<0$ では $D^2\tilde w(y)=-RD^2w(y',-y_n)R$ （ $R=\operatorname{diag}(1,\ldots,1,-1)$ ）であるから、ほとんどすべての $y\in B_s(0)$ で $|\Delta\tilde w(y)|\leq K\Lambda^{\alpha/2}|y|^\alpha$ である。

§E15.36 補題 1.2を係数行列 $I$ （楕円性の二つの定数はともに $1$ ）、中心 $0$ として $\tilde w$ に適用し、 $\int_{B_s(0)}|D^2\tilde w-(D^2\tilde w)_{B_s(0)}|^2\leq\int_{B_s(0)}|D^2\tilde w|^2=2\int_{B^+_s(0)}|D^2w|^2$ を用いる。 $|\hat g(0)|=|\Delta\hat v(0)|\leq\sqrt n|D^2\hat v(0)|$ と $\|D^2\hat v\|_{L^\infty(B^+_s(0))}\leq\|T^{-1}\|^2\|D^2v\|_{L^\infty(B^+_r(x_0))}\leq\Lambda\|D^2v\|_{L^\infty(B^+_r(x_0))}$ から、 $0<\sigma\leq s$ に対して

\int_{B_\sigma(0)}|D^2\tilde w-(D^2\tilde w)_{B_\sigma(0)}|^2\leq C\sigma^{n+2\alpha}\Bigl(s^{-2\alpha}\|D^2v\|_{L^\infty(B^+_r(x_0))}^2+K^2\Bigr)

を得る。 $B^+_s(0)$ 上で $D^2\hat v=D^2w+\hat g(0)e_n\otimes e_n$ であるから、 $M_\sigma=(D^2\tilde w)_{B_\sigma(0)}+\hat g(0)e_n\otimes e_n$ に対して $\int_{B^+_\sigma(0)}|D^2\hat v-M_\sigma|^2$ はこの不等式の左辺以下である。 $\rho\leq(\lambda/\Lambda)^{1/2}r$ ならば $\sigma=\lambda^{-1/2}\rho\leq s$ であり、

\int_{B^+_\rho(x_0)}|D^2v-(D^2v)_{B^+_\rho(x_0)}|^2\leq\int_{B^+_\rho(x_0)}|D^2v-T^tM_\sigma T|^2\leq\lambda^{-2}\Lambda^{n/2}\int_{B^+_\sigma(0)}|D^2\hat v-M_\sigma|^2

である。 $s=\Lambda^{-1/2}r$ であるから、この場合に結論が成り立つ。 $\rho>(\lambda/\Lambda)^{1/2}r$ ならば、単位球の体積を $\omega_n$ として

\int_{B^+_\rho(x_0)}|D^2v-(D^2v)_{B^+_\rho(x_0)}|^2\leq\omega_n\rho^n\|D^2v\|_{L^\infty(B^+_r(x_0))}^2\leq\omega_n(\Lambda/\lambda)^\alpha\rho^{n+2\alpha}r^{-2\alpha}\|D^2v\|_{L^\infty(B^+_r(x_0))}^2

である。▨

補題 2.2. $n\geq1$ 、 $0<\alpha<1$ とし、 $t>0$ に対して $B^+_t=B_t(0)\cap\{x\in\R^n:x_n>0\}$ とおく。このとき、 $n,\alpha$ だけに依存する定数 $C$ が存在し、 $t>0$ 、 $0<\rho\leq t$ 、実数値関数 $v\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_t})$ に対して

\rho^2\|D^2v\|_{L^\infty(B^+_t)}+\rho\|Dv\|_{L^\infty(B^+_t)}+\rho^{1+\alpha}[Dv]_{\alpha;\overline{B^+_t}} \leq C\Bigl(\rho^{2+\alpha}[D^2v]_{\alpha;\overline{B^+_t}}+\|v\|_{C^0(\overline{B^+_t})}\Bigr)

が成り立つ。

証明. $B^+_1$ は空でない有界凸開集合である。 $v\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_1})$ とする。 $|\gamma|=2$ を満たす多重指数は $n^2$ 個以下であり、各成分の Hölder 半ノルムは $[D^2v]_{\alpha;\overline{B^+_1}}$ 以下であるから、 $\|v\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_1})}\leq\|v\|_{C^2(\overline{B^+_1})}+n^2[D^2v]_{\alpha;\overline{B^+_1}}$ である。また $[Dv]_{\alpha;\overline{B^+_1}}\leq\|v\|_{C^{1,\alpha}(\overline{B^+_1})}$ である。§E15.35 定理 2.3を $\Omega=B^+_1$ 、 $k=2$ 、 $\varepsilon=1/(4n^2)$ と $(j,\beta)=(2,0)$ 、 $(j,\beta)=(1,\alpha)$ について $v$ に適用し、二つの不等式を加えると

\|v\|_{C^2(\overline{B^+_1})}+[Dv]_{\alpha;\overline{B^+_1}}\leq\frac12\Bigl(\|v\|_{C^2(\overline{B^+_1})}+[D^2v]_{\alpha;\overline{B^+_1}}\Bigr)+C\|v\|_{C^0(\overline{B^+_1})}

を得る。左辺の各項は有限であるから、

\|v\|_{C^2(\overline{B^+_1})}+[Dv]_{\alpha;\overline{B^+_1}}\leq[D^2v]_{\alpha;\overline{B^+_1}}+2C\|v\|_{C^0(\overline{B^+_1})}

である。

$t>0$ 、 $0<\rho\leq t$ 、 $v\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_t})$ 、 $x\in\overline{B^+_t}$ とする。 $z=(1-\rho/t)x$ とおくと、 $z+\overline{B^+_\rho}=\{(1-\rho/t)x+(\rho/t)y:y\in\overline{B^+_t}\}$ は凸性により $\overline{B^+_t}$ に含まれ、 $x=z+\rho(x/t)$ を含む。 $v_x(y)=v(z+\rho y)$ （ $y\in\overline{B^+_1}$ ）に前段の不等式を適用し、§E15.35 命題 1.9と平行移動により尺度を戻すと

\rho^2|D^2v(x)|+\rho|Dv(x)|\leq C\Bigl(\rho^{2+\alpha}[D^2v]_{\alpha;\overline{B^+_t}}+\|v\|_{C^0(\overline{B^+_t})}\Bigr)

を得る。 $x$ について上限をとる。 $x,y\in\overline{B^+_t}$ が $|x-y|\geq\rho$ を満たすならば $|Dv(x)-Dv(y)|\leq2\rho^{-\alpha}\|Dv\|_{L^\infty}|x-y|^\alpha$ である。 $|x-y|<\rho$ ならば、線分は $\overline{B^+_t}$ に含まれるので $|Dv(x)-Dv(y)|\leq\|D^2v\|_{L^\infty}|x-y|\leq\rho^{1-\alpha}\|D^2v\|_{L^\infty}|x-y|^\alpha$ である。よって $\rho^{1+\alpha}[Dv]_{\alpha;\overline{B^+_t}}\leq2\rho\|Dv\|_{L^\infty}+\rho^2\|D^2v\|_{L^\infty}$ であり、結論を得る。▨

定理 2.3 (Schauder の境界評価). $n\geq1$ 、 $0<\alpha<1$ 、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $R>0$ 、 $K_0>0$ とし、 $\R^n_+=\{x\in\R^n:x_n>0\}$ 、 $B^+_R=B_R(0)\cap\R^n_+$ 、 $\Gamma_R=B_R(0)\cap\partial\R^n_+$ とおく。実数値関数 $a^{ij}=a^{ji}$ 、 $b^i$ 、 $c$ （ $1\leq i,j\leq n$ ）は $C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})$ に属してそのノルムが $K_0$ 以下であり、 $A=(a^{ij})$ は

\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot A(x)\xi\leq\Lambda|\xi|^2 \qquad(x\in B^+_R,\ \xi\in\R^n)

を満たすとする。 $Lu=A:D^2u+b\cdot Du+cu$ とする。実数値関数 $f\in C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})$ 、 $\varphi\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_R})$ 、 $u\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_R})$ が、 $B^+_R$ 上で $Lu=f$ 、 $\Gamma_R$ 上で $u=\varphi$ を満たすとする。このとき

\|u\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{R/2}})}\leq C\Bigl(\|u\|_{C^0(\overline{B^+_R})}+\|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})}+\|\varphi\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_R})}\Bigr)

が成り立つ。定数 $C$ は $n,\alpha,\lambda,\Lambda,R,K_0$ だけに依存する。

証明. $u_0=u-\varphi$ 、 $f_0=f-L\varphi$ とおくと、 $u_0\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_R})$ は $B^+_R$ 上で $Lu_0=f_0$ を満たし、連続性により $\overline{\Gamma_R}$ 上で $u_0=0$ である。§E15.35 命題 1.6 (1)により $\|L\varphi\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})}\leq C\|\varphi\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_R})}$ である。 $\|u\|_{C^{2,\alpha}}\leq\|u_0\|_{C^{2,\alpha}}+\|\varphi\|_{C^{2,\alpha}}$ と $\|u_0\|_{C^0}\leq\|u\|_{C^0}+\|\varphi\|_{C^0}$ が成り立つから、 $u_0$ 、 $f_0$ について $\varphi=0$ の場合の評価を示せばよい。以下では $u$ 、 $f$ をそれぞれ $u_0$ 、 $f_0$ に置き換え、 $\overline{\Gamma_R}$ 上で $u=0$ とする。また、 $B^+_r(x_0)=B_r(x_0)\cap\R^n_+$ と書く。

$R/2\leq s<t\leq R$ とし、 $\delta=t-s$ 、 $r_1=\delta/4$ 、 $N(t)=\|u\|_{C^2(\overline{B^+_t})}+[Du]_{\alpha;\overline{B^+_t}}$ とおく。 $z\in\overline{B^+_t}$ に対して

g_z=A(z):D^2u=f-(A-A(z)):D^2u-b\cdot Du-cu

とおく。 $|(A(x)-A(z)):D^2u(x)|\leq nK_0|x-z|^\alpha\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}$ であり、§E15.35 命題 1.6 (1)（ $k=0$ ）と§E15.35 補題 1.5により $[b\cdot Du+cu]_{\alpha;\overline{B^+_t}}\leq CK_0N(t)$ である。よって、 $x\in\overline{B^+_t}$ に対して $|g_z(x)-g_z(z)|\leq K|x-z|^\alpha$ が

K=[f]_{\alpha;\overline{B^+_t}}+C_0N(t)

について成り立つ。ここで $C_0$ は $n,R,K_0$ だけに依存する。

$\Xi=\delta^{-2\alpha}\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}^2+K^2$ とおく。 $D^2u$ の成分 $F$ 、 $x_0\in\overline{B^+_s}$ 、 $0<\rho\leq s$ をとり、 $E=B_\rho(x_0)\cap B^+_s$ 、 $d=x_{0,n}$ 、 $\bar x_0=(x_0',0)$ とおく。可測集合 $E\subseteq E'\subseteq B^+_t$ と定数行列 $M$ に対して $\int_E|F-(F)_E|^2\leq\int_{E'}|D^2u-M|^2$ が成り立つ。以下の $C$ は $n,\alpha,\lambda,\Lambda$ だけに依存し、 $r_1=\delta/4$ により $r_1^{-2\alpha}\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}^2+K^2\leq4^{2\alpha}\Xi$ である。

$r_1<\rho$ ならば、 $\int_E|F-(F)_E|^2\leq\omega_n\rho^n\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}^2\leq\omega_n\rho^{n+2\alpha}r_1^{-2\alpha}\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}^2\leq C\rho^{n+2\alpha}\Xi$ である。ここで $\omega_n$ は単位球の体積である。

$\rho\leq r_1\leq d$ ならば、 $|x_0|+r_1<t$ と $d\geq r_1$ から $B_{r_1}(x_0)\subseteq B^+_t$ である。補題 2.1 (1)を $A_0=A(x_0)$ 、 $v=u$ 、半径 $r_1$ として適用し、 $\int_{B_{r_1}(x_0)}|D^2u-(D^2u)_{B_{r_1}(x_0)}|^2\leq\omega_nr_1^n\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}^2$ を用いると、 $\int_E|F-(F)_E|^2\leq\int_{B_\rho(x_0)}|D^2u-(D^2u)_{B_\rho(x_0)}|^2\leq C\rho^{n+2\alpha}\Xi$ である。

$d<r_1$ とする。 $|\bar x_0|\leq s$ から $B^+_{2r_1}(\bar x_0)\subseteq B^+_t$ であり、 $B^+_{2r_1}(\bar x_0)$ の平坦部は $\Gamma_R$ に含まれる。 $A$ は $\overline{B^+_R}$ 上で連続であるから、 $B^+_R$ の点からの極限により、一様楕円性の不等式は $\bar x_0\in\overline{B^+_R}$ でも成り立つ。補題 2.1 (2)を $A_0=A(\bar x_0)$ 、 $v=u$ 、半径 $2r_1$ として適用すると、 $0<\sigma\leq2r_1$ に対して

\int_{B^+_\sigma(\bar x_0)}|D^2u-(D^2u)_{B^+_\sigma(\bar x_0)}|^2\leq C\sigma^{n+2\alpha}\Xi

である。 $d\leq\rho\leq r_1$ ならば $E\subseteq B^+_{2\rho}(\bar x_0)$ であり、この不等式を $\sigma=2\rho$ として $\int_E|F-(F)_E|^2\leq C\rho^{n+2\alpha}\Xi$ を得る。 $\rho<d$ ならば、 $B_d(x_0)\subseteq B^+_{2d}(\bar x_0)\subseteq B^+_t$ である。補題 2.1 (1)を $A_0=A(x_0)$ 、 $v=u$ 、半径 $d$ として適用し、 $\int_{B_d(x_0)}|D^2u-(D^2u)_{B_d(x_0)}|^2\leq\int_{B^+_{2d}(\bar x_0)}|D^2u-(D^2u)_{B^+_{2d}(\bar x_0)}|^2$ と前の不等式（ $\sigma=2d$ ）を用いると、

\int_E|F-(F)_E|^2\leq C\left(\frac\rho d\right)^{n+2\alpha}d^{n+2\alpha}\Xi+CK^2\rho^{n+2\alpha}\leq C\rho^{n+2\alpha}\Xi

を得る。 $r_1<\rho$ の場合、 $\rho\leq r_1\leq d$ の場合、 $\rho\leq r_1$ かつ $d<r_1$ の場合は、 $x_0\in\overline{B^+_s}$ と $0<\rho\leq s$ のすべての組を尽くすから、すべての $x_0\in\overline{B^+_s}$ と $0<\rho\leq s$ に対して $\int_E|F-(F)_E|^2\leq C\rho^{n+2\alpha}\Xi$ が成り立つ。

$U(y)=F(sy)$ （ $y\in\overline{B^+_1}$ ）とおく。 $B^+_1$ は球 $B_{1/2}(e_n/2)$ を含む直径 $2$ の凸集合である。 $x\in\overline{B^+_1}$ 、 $0<r\leq1$ に対し、相似写像 $y\mapsto x+\frac r4(y-x)$ は $B_{1/2}(e_n/2)$ を $B_r(x)\cap B^+_1$ の中へ写すから、 $|B_r(x)\cap B^+_1|\geq\omega_n8^{-n}r^n$ である。 $B_r(x)\cap B^+_1$ は $B_{sr}(sx)\cap B^+_s$ の $s^{-1}$ 倍であるから、§E15.35 定理 5.1の $\mathcal M_\alpha$ を $B^+_1$ 、 $r_0=1$ について用いると、前段の評価を $x_0=sx$ 、 $\rho=sr$ に適用して

\mathcal M_\alpha(U)\leq Cs^\alpha\Xi^{1/2}\leq Cs^\alpha\Bigl(\delta^{-\alpha}\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}+K\Bigr)

を得る。 $U$ は $\overline{B^+_1}$ 上で連続であるから、§E15.35 定理 5.1の代表は $U$ 自身であり、 $\|U\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_1})}\leq C(\|U\|_{L^2(B^+_1)}+\mathcal M_\alpha(U))$ である。§E15.35 命題 1.9により $[U]_{\alpha;\overline{B^+_1}}=s^\alpha[F]_{\alpha;\overline{B^+_s}}$ であり、 $\|U\|_{L^2(B^+_1)}\leq\omega_n^{1/2}\|D^2u\|_{L^\infty(B^+_t)}$ である。 $s\geq R/2$ 、 $\delta\leq R/2$ と $D^2u$ の成分について加えることにより、 $\Theta(s)=[D^2u]_{\alpha;\overline{B^+_s}}$ に対して

\Theta(s)\leq C_1\Bigl(\delta^{-\alpha}N(t)+\|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})}\Bigr)

を得る。 $C_1$ は $n,\alpha,\lambda,\Lambda,R,K_0$ だけに依存する。

補題 2.2を $B^+_t$ 上で用いると、 $0<\rho\leq\min\{1,t\}$ に対して

N(t)\leq C_2\Bigl(\rho^\alpha\Theta(t)+\rho^{-2}\|u\|_{C^0(\overline{B^+_R})}\Bigr)

である。 $C_2$ は $n,\alpha$ だけに依存する。 $\mu=\min\{1,2/R,(2C_1C_2)^{-1/\alpha}\}$ 、 $\rho=\mu\delta$ とおくと、 $\delta\leq R/2\leq t$ から $\rho\leq\min\{1,t\}$ であり、

\Theta(s)\leq\frac12\Theta(t)+C_1C_2\mu^{-2}\delta^{-2-\alpha}\|u\|_{C^0(\overline{B^+_R})}+C_1\|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})}

を得る。 $\Theta$ は $[D^2u]_{\alpha;\overline{B^+_R}}$ 以下で有界であるから、§E15.35 補題 4.2を $\theta=1/2$ 、 $s_0=R/2$ 、 $t_0=R$ 、 $q=2+\alpha$ として適用すると、 $\Theta(R/2)\leq C(\|u\|_{C^0(\overline{B^+_R})}+\|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})})$ である。最後に補題 2.2を $B^+_{R/2}$ 上で $\rho=\min\{1,R/2\}$ として用いると、 $\|u\|_{C^2(\overline{B^+_{R/2}})}\leq C(\Theta(R/2)+\|u\|_{C^0(\overline{B^+_R})})$ であり、結論を得る。▨

補題 3.1. $n\geq1$ 、 $k\geq0$ を整数、 $0<\alpha<1$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を $C^{k+2,\alpha}$ 開集合とする。 $\R^n_+=\{x\in\R^n:x_n>0\}$ とし、 $r>0$ に対して $B^+_r=B_r(0)\cap\R^n_+$ 、 $\Gamma_r=B_r(0)\cap\partial\R^n_+$ とおく。このとき、次が成り立つ。

各 $a\in\partial\Omega$ に対して、 $\rho>0$ 、写像 $\Phi\in C^{k+2,\alpha}(\overline{B_\rho(0)};\R^n)$ と $\kappa\geq1$ が存在して、次を満たす。 $\Phi(0)=a$ であり、 $0<r\leq\rho$ に対して $\Phi(B_r(0))$ は $a$ の開近傍で、 $\Phi(B^+_r)=\Phi(B_r(0))\cap\Omega$ と $\Phi(\Gamma_r)\subseteq\partial\Omega$ が成り立つ。 $0\leq i\leq k+2$ と $g\in C^{i,\alpha}(\overline\Omega)$ に対して、 $g\circ\Phi\in C^{i,\alpha}(\overline{B^+_\rho})$ と $\|g\circ\Phi\|_{C^{i,\alpha}(\overline{B^+_\rho})}\leq\kappa\|g\|_{C^{i,\alpha}(\overline\Omega)}$ が成り立つ。 $0<r\leq\rho$ に対して定数 $\kappa_r$ が存在し、 $u\circ\Phi\in C^{k+2,\alpha}(\overline{B^+_r})$ を満たす $\Omega$ 上の実数値関数 $u$ について、 $u|_{\Phi(B^+_r)}\in C^{k+2,\alpha}(\overline{\Phi(B^+_r)})$ と $\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline{\Phi(B^+_r)})}\leq\kappa_r\|u\circ\Phi\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline{B^+_r})}$ が成り立つ。さらに、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $K\geq0$ とし、 $C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$ に属する実数値関数 $a^{ij}=a^{ji}$ 、 $b^i$ 、 $c$ （ $1\leq i,j\leq n$ ）のノルムが $K$ 以下で、 $A=(a^{ij})$ が $\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot A(x)\xi\leq\Lambda|\xi|^2 \qquad(x\in\Omega,\ \xi\in\R^n)$ を満たすとし、 $Lu=A:D^2u+b\cdot Du+cu$ とする。このとき、 $C^{k,\alpha}(\overline{B^+_\rho})$ に属する実数値関数 $\tilde a^{ij}=\tilde a^{ji}$ 、 $\tilde b^i$ 、 $\tilde c$ が存在して、次を満たす。それらのノルムは $n,k,\alpha,\rho,\Phi,K$ だけに依存する定数以下であり、 $\tilde A=(\tilde a^{ij})$ は $\kappa^{-2}\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot\tilde A(y)\xi\leq\kappa^2\Lambda|\xi|^2 \qquad(y\in B^+_\rho,\ \xi\in\R^n)$ を満たし、任意の $u\in C^2(\Omega)$ と $v=u\circ\Phi$ に対して $B^+_\rho$ 上で $(Lu)\circ\Phi=\tilde A:D^2v+\tilde b\cdot Dv+\tilde cv$ が成り立つ。
$\R^n$ の開集合の族 $(N_\iota)_{\iota\in I}$ が $\overline\Omega$ を覆い、各 $\iota\in I$ に定数 $C_\iota\geq0$ が与えられているとする。このとき、 $n,k,\alpha$ 、 $\Omega$ と族 $(N_\iota,C_\iota)_{\iota\in I}$ だけに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。 $M\geq0$ とし、 $\Omega$ 上の実数値関数 $u$ が、各 $\iota\in I$ について $u|_{N_\iota\cap\Omega}\in C^{k+2,\alpha}(\overline{N_\iota\cap\Omega})$ と $\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline{N_\iota\cap\Omega})}\leq C_\iota M$ を満たすならば、 $u\in C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)$ であり、 $\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)}\leq CM$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $a\in\partial\Omega$ とする。補題 1.4を $k+2$ について適用して $D$ 、 $D^*$ 、 $\Phi$ 、 $\Psi$ をとり、 $B_\rho(0)\subseteq D$ を満たす $\rho>0$ をとる。 $\Phi$ は $D$ から開集合 $\Phi(D)$ への同相写像であるから、 $0<r\leq\rho$ に対して $\Phi(B_r(0))$ は $\Phi(0)=a$ を含む開集合である。 $\Phi$ は単射であるから、 $\Phi(B^+_r)=\Phi(B_r(0))\cap\Phi(D\cap\R^n_+)=\Phi(B_r(0))\cap\Omega$ であり、 $\Phi(\Gamma_r)\subseteq\Phi(D\cap\partial\R^n_+)\subseteq\partial\Omega$ である。

$\Phi$ と $\Psi$ は、それぞれ有界凸開集合 $D$ 、 $D^*$ の上で有界な一階導関数をもつので Lipschitz 連続である。§E15.35 補題 1.5により、 $0\leq i\leq k+2$ に対して $\Phi$ の $C^{i,\alpha}(\overline{B^+_\rho})$ ノルムは有限である。 $B^+_\rho$ は有界凸開集合であり、 $\Phi(B^+_\rho)\subseteq\Omega$ であるから、補題 1.3 (2)を $m=i$ 、凸集合 $B^+_\rho$ 上の写像 $\Phi$ 、 $S=B^+_\rho$ 、 $T=\Omega$ として適用すると、 $g\circ\Phi$ についての主張が、 $n,i,\alpha,\rho$ と $\Phi$ だけに依存する定数について成り立つ。 $0<r\leq\rho$ とし、 $u\circ\Phi\in C^{k+2,\alpha}(\overline{B^+_r})$ とする。 $\Psi\circ\Phi$ は $D$ 上の恒等写像であるから、 $\Phi(B^+_r)$ 上で $u=(u\circ\Phi)\circ\Psi$ であり、 $\Psi(\Phi(B^+_r))=B^+_r$ である。 $\Phi(B^+_r)$ は $D^*$ に含まれる開集合であり、 $B^+_r$ は有界凸開集合であるから、補題 1.3 (2)を $m=k+2$ 、凸集合 $D^*$ 上の写像 $\Psi$ 、 $S=\Phi(B^+_r)$ 、 $T=B^+_r$ として適用すると、 $u$ についての主張を得る。

$J=D\Phi$ とおく。 $J^{-1}=(D\Psi)\circ\Phi$ であるから、 $\kappa_1=\sup_{B^+_\rho}\|J\|$ と $\kappa_2=\sup_{B^+_\rho}\|J^{-1}\|$ は有限である。 $\kappa$ を、 $1$ 、 $\kappa_1$ 、 $\kappa_2$ と、 $0\leq i\leq k+2$ に対する前段の $g\circ\Phi$ の定数の最大値とする。係数が仮定を満たすとする。補題 1.4により $B^+_\rho$ 上で $|\det J|=1$ であるから、命題 1.5を $m=k$ 、 $D=B^+_\rho$ 、 $\Omega'=\Omega$ 、 $\mu=1$ として適用することができる。その変換後の係数を $\tilde a^{ij}$ 、 $\tilde b^i$ 、 $\tilde c$ とすると、命題 1.5 (1)、命題 1.5 (2)、命題 1.5 (3)と $\kappa_1,\kappa_2\leq\kappa$ により、係数についての主張が成り立つ。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。 $\overline\Omega$ はコンパクトであるから、 $\overline\Omega\subseteq N_{\iota_1}\cup\cdots\cup N_{\iota_p}$ を満たす $\iota_1,\ldots,\iota_p\in I$ が存在する。これらを一つ選んで固定し、 $N_q=N_{\iota_q}$ 、 $C'=\max_qC_{\iota_q}$ とおき、 $\overline\Omega$ の開被覆 $\{N_q\cap\overline\Omega\}_{q=1}^p$ の Lebesgue 数 $\delta$ を $0<\delta\leq1$ の範囲でとる。 $u$ が仮定を満たすとする。開集合 $N_q\cap\Omega$ （ $1\leq q\leq p$ ）は $\Omega$ を覆うから $u\in C^{k+2}(\Omega)$ である。 $N_q$ は開集合であるから $N_q\cap\overline\Omega\subseteq\overline{N_q\cap\Omega}$ である。 $|\gamma|\leq k+2$ とし、 $D^\gamma u|_{N_q\cap\Omega}$ の $\overline{N_q\cap\Omega}$ 上への連続な延長を $N_q\cap\overline\Omega$ へ制限した関数を $F_q$ とする。 $N_q\cap N_{q'}\cap\overline\Omega$ の各点は $N_q\cap N_{q'}\cap\Omega$ の点の極限であり、 $N_q\cap N_{q'}\cap\Omega$ 上で $F_q=F_{q'}=D^\gamma u$ であるから、 $F_q$ と $F_{q'}$ は $N_q\cap N_{q'}\cap\overline\Omega$ 上で一致する。よって $F_1,\ldots,F_p$ は $D^\gamma u$ の $\overline\Omega$ 上への連続な延長を定め、その絶対値は $C'M$ 以下である。 $|\gamma|=k+2$ とし、 $x,y\in\overline\Omega$ とする。 $|x-y|<\delta$ ならば、 $x,y$ を共に含む $N_q\cap\overline\Omega$ が存在し、 $N_q\cap\overline\Omega\subseteq\overline{N_q\cap\Omega}$ であるから、 $|D^\gamma u(x)-D^\gamma u(y)|\leq C'M|x-y|^\alpha$ である。 $|x-y|\geq\delta$ ならば $|D^\gamma u(x)-D^\gamma u(y)|\leq2C'M\delta^{-\alpha}|x-y|^\alpha$ である。 $\delta\leq1$ から $C'M\leq2C'M\delta^{-\alpha}$ であるので、 $[D^\gamma u]_{\alpha;\overline\Omega}\leq2C'M\delta^{-\alpha}$ である。 $|\gamma|\leq k+2$ を満たす多重指数 $\gamma$ の個数を $P$ とすると、 $\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)}\leq P(1+2\delta^{-\alpha})C'M$ である。これで主張 (2)は示された。▨

定理 3.2 (Schauder の大域評価). $n\geq1$ 、 $0<\alpha<1$ 、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を $C^{2,\alpha}$ 開集合とする。実数値関数 $a^{ij}=a^{ji}$ 、 $b^i$ 、 $c$ （ $1\leq i,j\leq n$ ）は $C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$ に属し、 $A=(a^{ij})$ は

\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot A(x)\xi\leq\Lambda|\xi|^2 \qquad(x\in\Omega,\ \xi\in\R^n)

を満たすとする。 $Lu=A:D^2u+b\cdot Du+cu$ とする。実数値関数 $f\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$ 、 $\varphi\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$ 、 $u\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$ が、 $\Omega$ 上で $Lu=f$ 、 $\partial\Omega$ 上で $u=\varphi$ を満たすとする。このとき

\|u\|_{C^{2,\alpha}(\overline\Omega)}\leq C\Bigl(\|u\|_{C^0(\overline\Omega)}+\|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline\Omega)}+\|\varphi\|_{C^{2,\alpha}(\overline\Omega)}\Bigr)

が成り立つ。定数 $C$ は $n,\alpha,\lambda,\Lambda,\Omega$ と係数の $C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$ ノルムの上界だけに依存する。

証明. $\mathcal D=\|u\|_{C^0(\overline\Omega)}+\|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline\Omega)}+\|\varphi\|_{C^{2,\alpha}(\overline\Omega)}$ とおき、 $K$ を係数の $C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$ ノルムの上界とする。 $\R^n_+=\{x\in\R^n:x_n>0\}$ とし、 $r>0$ に対して $B^+_r=B_r(0)\cap\R^n_+$ 、 $\Gamma_r=B_r(0)\cap\partial\R^n_+$ と書く。

$a\in\partial\Omega$ に対し、補題 3.1 (1)を $k=0$ として適用して $\rho_a$ 、 $\Phi_a$ 、 $\kappa_a$ と変換後の係数を一つずつ選んで固定し、変換後の作用素を $\tilde L_a$ と書く。 $v_a=u\circ\Phi_a$ とおくと、 $v_a$ と $\varphi\circ\Phi_a$ は $C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a}})$ に、 $f\circ\Phi_a$ は $C^{0,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a}})$ に属し、 $\|v_a\|_{C^0(\overline{B^+_{\rho_a}})}\leq\|u\|_{C^0(\overline\Omega)}$ であり、 $\varphi\circ\Phi_a$ と $f\circ\Phi_a$ のノルムは $\kappa_a\mathcal D$ 以下である。 $B^+_{\rho_a}$ 上で $\tilde L_av_a=f\circ\Phi_a$ であり、 $\Phi_a(\Gamma_{\rho_a})\subseteq\partial\Omega$ であるから、 $\Gamma_{\rho_a}$ 上で $v_a=\varphi\circ\Phi_a$ である。定理 2.3を $R=\rho_a$ と楕円性の定数 $\kappa_a^{-2}\lambda$ 、 $\kappa_a^2\Lambda$ について適用すると、 $\|v_a\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a/2}})}\leq C_a\mathcal D$ である。ここで $C_a$ は $n,\alpha,\lambda,\Lambda,K$ 、 $\rho_a$ と $\Phi_a$ だけに依存する。 $N_a=\Phi_a(B_{\rho_a/2}(0))$ は $a$ の開近傍であり、 $N_a\cap\Omega=\Phi_a(B^+_{\rho_a/2})$ であるから、補題 3.1 (1)の $r=\rho_a/2$ に対する評価により $\|u\|_{C^{2,\alpha}(\overline{N_a\cap\Omega})}\leq C'_a\mathcal D$ である。ここで $C'_a$ は $n,\alpha,\lambda,\Lambda,K$ と、 $a$ に対して固定した選択だけに依存する。

$x\in\Omega$ に対し、 $B_{2r_x}(x)\subseteq\Omega$ を満たす $r_x>0$ を一つ選んで固定し、 $N_x=B_{r_x}(x)$ とおく。§E15.36 定理 2.2を $\Omega'=N_x$ として適用すると、 $u$ 、 $f$ 、 $\varphi$ によらない定数 $C_x$ に対して $\|u\|_{C^{2,\alpha}(N_x)}\leq C_x\mathcal D$ である。 $\overline{N_x}\subseteq\Omega$ であるから、連続性により $\|u\|_{C^{2,\alpha}(\overline{N_x})}=\|u\|_{C^{2,\alpha}(N_x)}$ である。

族 $(N_a)_{a\in\partial\Omega}\cup(N_x)_{x\in\Omega}$ は $\overline\Omega$ を覆う。各 $N_a$ に定数 $C'_a$ を、各 $N_x$ に定数 $C_x$ を対応させる。 $\rho_a$ 、 $\Phi_a$ 、 $r_x$ は $\Omega$ に対して選んで固定するので、この族と定数は $\Omega$ と $n,\alpha,\lambda,\Lambda,K$ だけで定まる。補題 3.1 (2)を $k=0$ 、 $M=\mathcal D$ として適用すると、結論を得る。▨

系 3.3.定理 3.2の仮定の下で、さらに $\Omega$ 上で $c\leq0$ とする。 $d$ を $\Omega$ の直径とし、 $\gamma=1+\lambda^{-1}\sup_\Omega|b|$ とおく。このとき

\|u\|_{C^0(\overline\Omega)}\leq\max_{\partial\Omega}|\varphi|+\lambda^{-1}e^{\gamma d}\|f\|_{C^0(\overline\Omega)}

であり、定理 3.2と同じ量だけに依存する定数 $C$ に対して

\|u\|_{C^{2,\alpha}(\overline\Omega)}\leq C\Bigl(\|f\|_{C^{0,\alpha}(\overline\Omega)}+\|\varphi\|_{C^{2,\alpha}(\overline\Omega)}\Bigr)

が成り立つ。

証明. $m_1=\inf_{x\in\Omega}x_1$ 、 $M_0=\max_{\partial\Omega}|\varphi|$ 、 $F_0=\sup_\Omega|f|$ とし、

w(x)=M_0+\lambda^{-1}F_0\bigl(e^{\gamma d}-e^{\gamma(x_1-m_1)}\bigr)

とおく。 $\overline\Omega$ 上で $0\leq x_1-m_1\leq d$ であるから $w\geq M_0\geq0$ である。 $a^{11}\gamma^2+b^1\gamma\geq\gamma(\lambda\gamma-|b|)\geq\lambda\gamma\geq\lambda$ と $e^{\gamma(x_1-m_1)}\geq1$ から $A:D^2w+b\cdot Dw=-\lambda^{-1}F_0(a^{11}\gamma^2+b^1\gamma)e^{\gamma(x_1-m_1)}\leq-F_0$ であり、 $c\leq0$ 、 $w\geq0$ から $Lw\leq-F_0$ である。

§E15.36 注意 2.3により、 $\mathcal L=-L$ は§E15.18 定理 1.1の作用素で $(a_{ij},b,c)$ を $(a^{ij},-b,-c)$ としたものであり、零次の係数 $-c$ は非負である。その係数は $\overline\Omega$ 上で有界連続で、 $\theta=\lambda$ について一様楕円性を満たす。 $u-w\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ は $\mathcal L(u-w)=-f+Lw\leq-f-F_0\leq0$ を満たす。 $\partial\Omega$ 上で $u-w=\varphi-w\leq M_0-M_0=0$ であるから、§E15.18 定理 1.1により $\overline\Omega$ 上で $u\leq w\leq M_0+\lambda^{-1}e^{\gamma d}F_0$ である。 $-u$ 、 $-f$ 、 $-\varphi$ に同じ議論を適用すると、第一の不等式を得る。これを定理 3.2の右辺に代入すると、第二の不等式を得る。▨

補題 3.4. $n\geq1$ 、 $k\geq1$ を整数、 $0<\alpha<1$ 、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $R>0$ 、 $K_k>0$ とし、 $r>0$ に対して $\R^n_+=\{x\in\R^n:x_n>0\}$ 、 $B^+_r=B_r(0)\cap\R^n_+$ 、 $\Gamma_r=B_r(0)\cap\partial\R^n_+$ とおく。実数値関数 $a^{ij}=a^{ji}$ 、 $b^i$ 、 $c$ 、 $g$ は $C^{k,\alpha}(\overline{B^+_R})$ に属し、 $a^{ij}$ 、 $b^i$ 、 $c$ のノルムは $K_k$ 以下であり、 $A=(a^{ij})$ は

\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot A(x)\xi\leq\Lambda|\xi|^2 \qquad(x\in B^+_R,\ \xi\in\R^n)

を満たすとする。実数値関数 $w\in C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_R})$ が、 $B^+_R$ 上で $A:D^2w+b\cdot Dw+cw=g$ 、 $\Gamma_R$ 上で $w=0$ を満たすとする。このとき、 $w\in C^{k+2,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ であり、

\|w\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})}\leq C\Bigl(\|w\|_{C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_R})}+\|g\|_{C^{k,\alpha}(\overline{B^+_R})}\Bigr)

が成り立つ。定数 $C$ は $n,k,\alpha,\lambda,\Lambda,R,K_k$ だけに依存する。

証明. $Lw=A:D^2w+b\cdot Dw+cw$ と書き、 $\mathcal D_k=\|w\|_{C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_R})}+\|g\|_{C^{k,\alpha}(\overline{B^+_R})}$ とおく。 $l<n$ とする。

$k=1$ とする。 $0<|h|\leq R/2$ と $\overline{B^+_R}$ 上の関数 $F$ に対し、 $x\in\overline{B^+_{R/2}}$ で $\Delta_hF(x)=(F(x+he_l)-F(x))/h$ と定める。 $F\in C^{1,\alpha}(\overline{B^+_R})$ ならば $\Delta_hF(x)=\int_0^1D_lF(x+\theta he_l)\,d\theta$ であるから、 $\|\Delta_hF\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_{R/2}})}\leq\|D_lF\|_{C^{0,\alpha}(\overline{B^+_R})}$ である。 $w_h=\Delta_hw$ とおくと、 $w_h\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{R/2}})$ は $\Gamma_{R/2}$ 上で $0$ であり、 $B^+_{R/2}$ 上で

Lw_h=\Delta_hg-(\Delta_hA):(D^2w)(\cdot+he_l)-(\Delta_hb)\cdot(Dw)(\cdot+he_l)-(\Delta_hc)\,w(\cdot+he_l)

を満たす。§E15.35 命題 1.6 (1)により右辺の $C^{0,\alpha}(\overline{B^+_{R/2}})$ ノルムは $C\mathcal D_1$ 以下である。また $\|w_h\|_{C^0}\leq\|D_lw\|_{L^\infty(B^+_R)}$ であり、§E15.35 補題 1.5により係数の $C^{0,\alpha}(\overline{B^+_{R/2}})$ ノルムは $CK_1$ 以下である。定理 2.3を半径 $R/2$ 、 $\varphi=0$ として適用すると、 $|h|$ によらない $M\leq C\mathcal D_1$ に対して $\|w_h\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})}\leq M$ である。 $h_m\to0$ とし、 $D^2w_{h_m}$ の $\overline{B^+_{R/4}}$ への制限を $\mathcal G_m(x)=D^2w_{h_m}(x',|x_n|)$ によって $\overline{B_{R/4}(0)}$ へ延長する。 $x_n\geq0\geq y_n$ ならば $|x-(y',-y_n)|\leq|x-y|$ であるから、 $\mathcal G_m$ の $C^{0,\alpha}(\overline{B_{R/4}(0)})$ ノルムは $M$ 以下である。§E15.35 定理 2.2により部分列が一様収束し、その極限の $\overline{B^+_{R/4}}$ への制限 $G$ は§E15.35 命題 3.3により $\|G\|_{C^{0,\alpha}}\leq M$ を満たす。 $x\in B^+_{R/4}$ 、 $1\leq j,q\leq n$ と $x+\theta e_q\in B^+_{R/4}$ を満たす $\theta$ に対し

D_jw_{h}(x+\theta e_q)-D_jw_{h}(x)=\int_0^\theta D_qD_jw_{h}(x+\sigma e_q)\,d\sigma

である。 $w\in C^2$ から $D_jw_h=\Delta_hD_jw\to D_lD_jw=D_jD_lw$ であるので、部分列について極限をとると $D_jD_lw(x+\theta e_q)-D_jD_lw(x)=\int_0^\theta G_{jq}(x+\sigma e_q)\,d\sigma$ を得る。したがって $D_qD_jD_lw=G_{jq}$ であり、 $D_lw\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ 、 $\|D_lw\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})}\leq C\mathcal D_1$ である。

$k\geq2$ とし、 $k-1$ の場合の主張を仮定する。 $w\in C^3(\overline{B^+_R})$ であるから、 $D_lw\in C^{k,\alpha}(\overline{B^+_R})$ は $\Gamma_R$ 上で $0$ であり、 $Lw=g$ を $x_l$ で微分して

L(D_lw)=D_lg-(D_lA):D^2w-(D_lb)\cdot Dw-(D_lc)w

を満たす。§E15.35 補題 1.5と§E15.35 命題 1.6 (1)により、右辺は $C^{k-1,\alpha}(\overline{B^+_R})$ に属してノルムが $C\mathcal D_k$ 以下であり、係数の $C^{k-1,\alpha}(\overline{B^+_R})$ ノルムは $CK_k$ 以下である。帰納法の仮定を $D_lw$ に適用すると、 $D_lw\in C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ と $\|D_lw\|_{C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})}\leq C\mathcal D_k$ を得る。

いずれの場合にも、 $l<n$ を満たすすべての $l$ について $D_lw\in C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ と $\|D_lw\|_{C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})}\leq C\mathcal D_k$ が成り立つ。したがって、 $j<n$ に対して $D_j(D_nw)=D_n(D_jw)$ は $C^{k,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ に属する。 $(i,j)\ne(n,n)$ ならば $i<n$ または $j<n$ であり、 $D_{ij}w=D_j(D_iw)=D_i(D_jw)$ は $C^{k,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ に属する。 $a^{nn}=e_n\cdot Ae_n\geq\lambda$ であるから、 $B^+_{R/4}$ 上で

D_n(D_nw)=\frac1{a^{nn}}\Bigl(g-\sum_{(i,j)\ne(n,n)}a^{ij}D_{ij}w-b\cdot Dw-cw\Bigr)

は、§E15.35 補題 1.5、§E15.35 命題 1.6 (1)、補題 1.3 (1)により $C^{k,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ に属し、ノルムは $C\mathcal D_k$ 以下である。よって $D_nw\in C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ である。すべての $D_jw$ が $C^{k+1,\alpha}(\overline{B^+_{R/4}})$ に属してノルムが $C\mathcal D_k$ 以下であるから、結論を得る。▨

定理 3.5. $n\geq1$ 、 $k\geq1$ を整数、 $0<\alpha<1$ 、 $0<\lambda\leq\Lambda$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を $C^{k+2,\alpha}$ 開集合とする。実数値関数 $a^{ij}=a^{ji}$ 、 $b^i$ 、 $c$ （ $1\leq i,j\leq n$ ）は $C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$ に属し、 $A=(a^{ij})$ は

\lambda|\xi|^2\leq\xi\cdot A(x)\xi\leq\Lambda|\xi|^2 \qquad(x\in\Omega,\ \xi\in\R^n)

を満たすとする。 $Lu=A:D^2u+b\cdot Du+cu$ とする。実数値関数 $f\in C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$ 、 $\varphi\in C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)$ 、 $u\in C^{2,\alpha}(\overline\Omega)$ が、 $\Omega$ 上で $Lu=f$ 、 $\partial\Omega$ 上で $u=\varphi$ を満たすとする。このとき、 $u\in C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)$ であり、

\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)}\leq C\Bigl(\|u\|_{C^0(\overline\Omega)}+\|f\|_{C^{k,\alpha}(\overline\Omega)}+\|\varphi\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)}\Bigr)

が成り立つ。定数 $C$ は $n,k,\alpha,\lambda,\Lambda,\Omega$ と係数の $C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$ ノルムの上界だけに依存する。

証明. $\mathcal D=\|u\|_{C^0(\overline\Omega)}+\|f\|_{C^{k,\alpha}(\overline\Omega)}+\|\varphi\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline\Omega)}$ とおき、 $K$ を係数の $C^{k,\alpha}(\overline\Omega)$ ノルムの上界とする。 $\R^n_+=\{x\in\R^n:x_n>0\}$ とし、 $r>0$ に対して $B^+_r=B_r(0)\cap\R^n_+$ 、 $\Gamma_r=B_r(0)\cap\partial\R^n_+$ と書く。

$a\in\partial\Omega$ に対し、補題 3.1 (1)を適用して $\rho_a$ 、 $\Phi_a$ 、 $\kappa_a$ と変換後の係数を一つずつ選んで固定し、変換後の作用素を $\tilde L$ と書く。変換後の係数は $C^{k,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a}})$ に属してノルムが $n,k,\alpha,\rho_a,\Phi_a,K$ だけに依存する定数以下であり、楕円性の定数 $\kappa_a^{-2}\lambda$ 、 $\kappa_a^2\Lambda$ について一様楕円性を満たす。 $v=u\circ\Phi_a$ 、 $\tilde\varphi=\varphi\circ\Phi_a$ 、 $\tilde f=f\circ\Phi_a$ とおくと、 $v\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a}})$ 、 $\tilde\varphi\in C^{k+2,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a}})$ 、 $\tilde f\in C^{k,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a}})$ であり、 $\|v\|_{C^0}\leq\|u\|_{C^0}$ で、 $\tilde\varphi$ 、 $\tilde f$ のノルムは $\kappa_a\mathcal D$ 以下である。 $B^+_{\rho_a}$ 上で $\tilde Lv=\tilde f$ であり、 $\Phi_a(\Gamma_{\rho_a})\subseteq\partial\Omega$ であるから、 $\Gamma_{\rho_a}$ 上で $v=\tilde\varphi$ である。定理 2.3を $R=\rho_a$ として適用し、§E15.35 補題 1.5を用いると、 $\|v\|_{C^{2,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a/2}})}\leq C\mathcal D$ である。 $w=v-\tilde\varphi$ は $\Gamma_{\rho_a}$ 上で $0$ であり、 $\tilde Lw=\tilde f-\tilde L\tilde\varphi=:g$ は§E15.35 命題 1.6 (1)により $C^{k,\alpha}(\overline{B^+_{\rho_a}})$ に属してノルムが $C\mathcal D$ 以下である。 $r_j=4^{-j}\rho_a/2$ とおく。 $j=1,\ldots,k$ の順に補題 3.4を $k=j$ 、半径 $r_{j-1}$ として適用すると、§E15.35 補題 1.5により $C^{j,\alpha}$ ノルムは $C^{k,\alpha}$ ノルムの定数倍以下であるので、 $w\in C^{j+2,\alpha}(\overline{B^+_{r_j}})$ と $\|w\|_{C^{j+2,\alpha}(\overline{B^+_{r_j}})}\leq C\mathcal D$ を得る。したがって $v=w+\tilde\varphi\in C^{k+2,\alpha}(\overline{B^+_{r_k}})$ であり、ノルムは $C\mathcal D$ 以下である。 $N_a=\Phi_a(B_{r_k}(0))$ は $a$ の開近傍であり、 $N_a\cap\Omega=\Phi_a(B^+_{r_k})$ であるから、補題 3.1 (1)の $r=r_k$ に対する評価により $\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline{N_a\cap\Omega})}\leq C'_a\mathcal D$ である。ここで $C'_a$ は $n,k,\alpha,\lambda,\Lambda,K$ と、 $a$ に対して固定した選択だけに依存する。

$x\in\Omega$ に対し、 $B_{2r_x}(x)\subseteq\Omega$ を満たす $r_x>0$ を一つ選んで固定し、 $N_x=B_{r_x}(x)$ とおく。§E15.36 定理 3.1を開集合 $B_{2r_x}(x)$ に適用すると、 $u\in C^{k+2,\alpha}_{\mathrm{loc}}(B_{2r_x}(x))$ であり、 $u$ 、 $f$ 、 $\varphi$ によらない定数 $C_x$ に対して $\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(N_x)}\leq C_x\mathcal D$ である。 $\overline{N_x}\subseteq B_{2r_x}(x)$ であるから $u|_{N_x}\in C^{k+2,\alpha}(\overline{N_x})$ であり、連続性により $\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(\overline{N_x})}=\|u\|_{C^{k+2,\alpha}(N_x)}$ である。

族 $(N_a)_{a\in\partial\Omega}\cup(N_x)_{x\in\Omega}$ は $\overline\Omega$ を覆う。各 $N_a$ に定数 $C'_a$ を、各 $N_x$ に定数 $C_x$ を対応させる。 $\rho_a$ 、 $\Phi_a$ 、 $r_x$ は $\Omega$ に対して選んで固定するので、この族と定数は $\Omega$ と $n,k,\alpha,\lambda,\Lambda,K$ だけで定まる。補題 3.1 (2)を $M=\mathcal D$ として適用すると、結論を得る。▨

例 4.1. $\pi<\omega<2\pi$ 、 $\beta=\pi/\omega$ とし（§E15.23 例 2.3の指数 $\alpha$ を $\beta$ と書く）、その扇形 $\Omega=\{(r\cos\vartheta,r\sin\vartheta):0<r<1,\ 0<\vartheta<\omega\}$ 、 $r<1/4$ で $1$ 、 $r>1/2$ で $0$ となる $\chi\in C^\infty([0,1])$ 、および $u(r,\vartheta)=\chi(r)r^\beta\sin(\beta\vartheta)$ をとり、原点で $u=0$ と定める。 $f=\Delta u$ とおく。このとき、 $u\in C^\infty(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ は $\partial\Omega$ 上で $0$ であり、 $f$ は $C_c^\infty(\R^2)$ の関数の $\Omega$ への制限であって、特に任意の $0<\alpha<1$ に対して $f\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$ である。しかし、 $\Omega$ 上で $\Delta\hat u=f$ 、 $\partial\Omega$ 上で $\hat u=0$ を満たす $\hat u\in C^2(\overline\Omega)$ は存在しない。いずれの $0<\alpha<1$ についても、 $\Omega$ は $C^{2,\alpha}$ 開集合ではない。

実際、 $r<1/4$ では $|u|\leq r^\beta$ であり、 $\vartheta=0,\omega$ では $\sin(\beta\vartheta)=0$ 、 $r>1/2$ では $\chi=0$ であるから、 $u$ は $\overline\Omega$ 上で連続で $\partial\Omega$ 上で $0$ である。§E15.23 例 2.3により

f=\bigl(\chi''r^\beta+(2\beta+1)\chi'r^{\beta-1}\bigr)\sin(\beta\vartheta)

であり、これは $1/4\leq r\leq1/2$ の外で $0$ である。 $\omega+2\varepsilon<2\pi$ を満たす $\varepsilon>0$ をとると、右辺の式は極座標 $(r,\vartheta)\in(0,\infty)\times(-\varepsilon,\omega+\varepsilon)$ の上で滑らかである。この式に、 $[0,\omega]$ 上で $1$ 、 $(-\varepsilon,\omega+\varepsilon)$ の外で $0$ となる滑らかな関数 $\eta(\vartheta)$ を掛けて零延長すると、 $\Omega$ 上で $f$ に一致する $C_c^\infty(\R^2)$ の関数を得る。

$\hat u\in C^2(\overline\Omega)$ が条件を満たすとすると、 $\hat u-u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ は $\Omega$ 上で $\Delta(\hat u-u)=0$ 、 $\partial\Omega$ 上で $0$ である。§E15.18 定理 1.1を係数 $I,0,0$ として $\pm(\hat u-u)$ に適用すると $\hat u=u$ を得る。一方、§E15.23 例 2.3により頂点の近傍で $|D^2u|^2=2\beta^2(\beta-1)^2r^{2\beta-4}$ であり、 $2\beta-4<0$ であるから $D^2u$ は $\Omega$ 上で有界でない。これは $\hat u\in C^2(\overline\Omega)$ に反する。

最後に、 $\Omega$ が $C^{2,\alpha}$ 開集合となる $0<\alpha<1$ が存在すると仮定する。原点 $0\in\partial\Omega$ に補題 1.4を $k=2$ として適用し、 $D$ と $\Phi$ をとる。小さい $t>0$ に対して $p_\pm(t)=\Phi(\pm te_1)$ は $\partial\Omega$ の点である。 $\Phi(0)=0$ であり、 $|\det D\Phi(0)|=1$ から $D\Phi(0)e_1\ne0$ であるので、 $t\to0$ のとき

\frac{p_\pm(t)}{|p_\pm(t)|}\longrightarrow\pm\frac{D\Phi(0)e_1}{|D\Phi(0)e_1|}

である。一方、原点の十分小さい近傍では $\partial\Omega$ は二つの線分 $\{r(1,0):r\geq0\}$ 、 $\{r(\cos\omega,\sin\omega):r\geq0\}$ の和に含まれるから、二つの極限は $(1,0)$ と $(\cos\omega,\sin\omega)$ のいずれかである。二つの極限は互いに逆向きであるから $(\cos\omega,\sin\omega)=-(1,0)$ となり、 $\omega=\pi$ を得る。これは $\pi<\omega$ に反する。

例 4.2. $n\geq2$ 、 $0<\beta<\alpha<1$ とし、 $B^+_1=B_1(0)\cap\{x\in\R^n:x_n>0\}$ 、 $\Gamma_1=B_1(0)\cap\{x_n=0\}$ 、 $\overline{B^+_1}$ 上で $\varphi(x)=|x_1|^{2+\beta}$ とおく。このとき $\varphi\in C^{2,\beta}(\overline{B^+_1})$ であるが、 $\Gamma_1$ 上で $u=\varphi$ を満たす $u\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_1})$ は存在しない。したがって、任意の作用素 $L$ と外力 $f$ について、境界値 $\varphi$ に対する定理 2.3の形の問題は $C^{2,\alpha}(\overline{B^+_1})$ に解をもたない。

実際、 $D_1\varphi=(2+\beta)|x_1|^{1+\beta}\operatorname{sgn}x_1$ 、 $D_{11}\varphi=(2+\beta)(1+\beta)|x_1|^\beta$ であり、他の二階導関数は $0$ である。 $\bigl||s|^\beta-|t|^\beta\bigr|\leq|s-t|^\beta$ から $\varphi\in C^{2,\beta}(\overline{B^+_1})$ である。 $u\in C^{2,\alpha}(\overline{B^+_1})$ が $\Gamma_1$ 上で $u=\varphi$ を満たすとする。 $x=x_1e_1+x_ne_n$ 、 $|x_1|<1/2$ 、 $0<x_n<1/4$ 、 $|s|<1/4$ について、 $x+\sigma e_1\in B^+_1$ （ $|\sigma|\leq|s|$ ）であり、

u(x+se_1)-u(x)-sD_1u(x)=\int_0^s(s-\sigma)D_{11}u(x+\sigma e_1)\,d\sigma

である。 $x_n\to0$ とすると、 $x=x_1e_1$ でも同じ等式が成り立つ。 $\psi(t)=|t|^{2+\beta}$ とおくと $\psi\in C^2(\R)$ であり、 $\Gamma_1$ 上で $u=\varphi$ であるから $u((x_1+s)e_1)=\psi(x_1+s)$ である。 $x=x_1e_1$ の等式の両辺を $s$ で割って $s\to0$ とすると、 $D_{11}u$ の有界性により $D_1u(x_1e_1)=\psi'(x_1)$ を得る。Taylor の公式 $\psi(x_1+s)-\psi(x_1)-s\psi'(x_1)=\int_0^s(s-\sigma)\psi''(x_1+\sigma)\,d\sigma$ と比べると

\int_0^s(s-\sigma)\bigl(D_{11}u((x_1+\sigma)e_1)-\psi''(x_1+\sigma)\bigr)\,d\sigma=0

である。 $\int_0^s(s-\sigma)\,d\sigma=s^2/2$ であるから、両辺を $s^2/2$ で割って $s\to0$ とすると、 $D_{11}u$ と $\psi''$ の連続性により $D_{11}u(x_1e_1)=\psi''(x_1)=(2+\beta)(1+\beta)|x_1|^\beta$ を得る。よって、 $0<s<1/4$ に対して

(2+\beta)(1+\beta)s^\beta=|D_{11}u(se_1)-D_{11}u(0)|\leq[D^2u]_{\alpha;\overline{B^+_1}}s^\alpha

である。 $s\to0$ のとき $s^{\beta-\alpha}\to\infty$ であるから、これは矛盾である。

§E15.37Schauder の境界評価

1 境界の平坦化

2 半球の二階評価

3 大域評価と高階正則性

4 境界と境界値の仮定に関する例

前提記事