§E15.10Sobolev の埋め込み定理

証明.$n=2$では、左辺は$f_1(x_2)f_2(x_1)$の積分であり、§E10.19 命題 3.4によって右辺に等しい。$n\geq3$とし、次元$n-1$の主張を仮定する。$x'=(x_1,\ldots,x_{n-1})$とし、$i<n$について

とおく。切片と反復積分は§E10.19 命題 3.4により、例外零集合の外で定まる。$x_n$に関する Hölder の不等式§E10.22 定理 4.2を$n-1$個の因子へ反復適用すると、左辺は

以下である。指数$n-1$と$(n-1)/(n-2)$の Hölder の不等式により、この積分は

以下である。帰納法の仮定を最後の積分に適用し、$\int F_i=\int f_i$を用いると結論を得る。▨

証明.$u\in C_c^\infty(\R^n)$とする。各座標方向の微積分の基本定理から

である。したがって補題 1.1により

両辺の$(n-1)/n$乗を取ると

を得る。この議論は$C_c^1$関数にも適用することができる。

$1<p<n$とし、$\gamma=p(n-1)/(n-p)>1$とおく。$\delta>0$に対して

は滑らかなコンパクト台をもつ関数であり、

$1<\gamma<2$の場合、右辺は$\gamma|u|^{\gamma-1}|\nabla u|$以下である。$\gamma\geq2$の場合には、$0<\delta\leq1$で右辺は固定したコンパクト集合上の有界関数で抑えられる。零点では$\nabla v_\delta=0$である。したがって$p=1$の評価を$v_\delta$へ適用し、優収束によって$\delta\downarrow0$とすると、

を得る。最後の評価は§E10.22 定理 4.2による。$p'=p/(p-1)$とすると、$\gamma n/(n-1)=(\gamma-1)p'=p^*$である。$u\ne0$の場合に共通のノルムの冪を割ると、$\|u\|_{p^*}\leq\gamma\|\nabla u\|_p$を得る。$u=0$の場合にも評価は成り立つ。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$とする。$\chi\in C_c^\infty(\R^n)$を$B(0,1)$上で$1$、$0\leq\chi\leq1$となるように取り、$\chi_R(x)=\chi(x/R)$とおく。積の弱微分を試験関数への部分積分で計算すると

尾部の積分が零に収束し、$\|u\nabla\chi_R\|_p\leq R^{-1}\|\nabla\chi\|_\infty\|u\|_p$であるから、$\chi_Ru\to u$が$W^{1,p}$で成り立つ。§E15.8 命題 4.2をコンパクト台をもつ$\chi_Ru$に適用すると、$C_c^\infty(\R^n)$の列$(u_j)$で$u_j\to u$が$W^{1,p}$で成り立つものを得る。既に証明した評価を$u_j-u_l$に適用すると、この列は$L^{p^*}$でも Cauchy 列である。$L^p$収束からほとんど至る所収束する部分列を取り、二つの極限を同定すると、$u\in L^{p^*}$と所要の評価を得る。▨

証明.§E15.9 定理 2.2の拡張$Eu$に定理 1.2を適用すると、$\|u\|_{p^*}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}$を得る。§E10.22 定理 4.2により$\|u\|_q\leq|\Omega|^{1/q-1/p^*}\|u\|_{p^*}$である。▨

証明.$1\leq p_0<n$を$np_0/(n-p_0)\geq q$となるように取る。§E10.22 定理 4.2により$W^{1,n}(\Omega)\hookrightarrow W^{1,p_0}(\Omega)$は連続であり、系 1.3を適用すると有限指数の結論を得る。$L^\infty$への包含の反例は例 2.2で与える。▨

証明. 一次元の Sobolev 関数の絶対連続代表に§E13.29 定理 1.2 (2)を$p=1$として適用する。連続な二つの代表がほとんど至る所一致するなら、その差が非零となる点の近傍は正測度をもつため、二つの代表はすべての点で一致する。▨

証明.$n<p<\infty$、$u\in C_c^\infty(\R^n)$とし、$p'=p/(p-1)$、$\sigma_{n-1}$を単位球面の面積とする。$B$を半径$R$の球とし、$x\in B$とする。$u_B=|B|^{-1}\int_Bu$とおく。$x$を始点とする極座標で球を積分すると、球の凸性と線分積分により

ここで$\theta_z=(z-x)/|z-x|$である。最後の評価では、各方向の積分区間を$0<s<\ell(\theta)\leq2R$と書き、積分順序を交換して$\int_t^{\ell(\theta)}s^{n-1}ds\leq(2R)^n/n$を用いた。Hölder の不等式§E10.22 定理 4.2と

から、$|u(x)-u_B|\leq C_{n,p}R^{1-n/p}\|\nabla u\|_{L^p(B)}$を得る。分母は$p>n$によって正である。

$x\ne y$、$r=|x-y|$に対して$B=B(x,2r)$を取る。$x,y\in B$なので、同じ平均$u_B$との差を加えると所要の二点評価を得る。また$B=B(x,1)$を用いれば、$|u_B|\leq|B(0,1)|^{-1/p}\|u\|_p$であるから、上限ノルムの評価も得る。

$u\in W^{1,p}(\R^n)$とする。定理 1.2の証明における切断のノルム評価と§E15.8 命題 4.2による平滑化は、すべての有限$p$で成立するので、$u$を$C_c^\infty$関数$u_j$で近似することができる。既に証明した上限ノルムと半ノルムの評価を$u_j-u_l$に適用すると、一様極限$\widetilde u$が存在し、極限へ移して二点評価とノルム評価を得る。$L^p$極限との同定により$\widetilde u=u$がほとんど至る所成り立つ。

$p=\infty$の場合には、§E15.8 命題 4.2の平滑化を$u_\varepsilon$とする。線分積分により

各コンパクト球上で平滑化は$L^1$収束する。この$L^1$収束と共通の Lipschitz 定数から、その球の内部の任意のコンパクト集合上で$(u_\varepsilon)$は一様 Cauchy となる。実際、差の絶対値がある点で$\delta>0$以上なら、Lipschitz 定数の評価により固定した正の半径の小球上で差が$\delta/2$以上となり、$L^1$Cauchy 性に反する。したがって局所一様極限を貼り合わせて連続代表を得る。極限へ移すと$p=\infty$の評価を得る。いずれの指数でも、連続な代表の差がある点で非零なら開球上で非零となるため、ほとんど至る所の一致から一意性が従う。▨

証明.§E15.9 定理 2.2の$Eu$に定理 3.2を適用し、連続代表を$\overline\Omega$へ制限する。二つの代表は$\Omega$でほとんど至る所一致するため$\Omega$のすべての点で一致し、連続性によって$\overline\Omega$でも一致する。▨

証明.$\overline{B(a,2r)}\subseteq\Omega$を満たす球を取る。平滑化$u_\varepsilon$について、$B(a,r)$内の線分積分から

を得る。§E15.8 命題 4.2による$L^1$収束と、定理 3.2の証明の一様 Cauchy 性の議論により、$B(a,r)$上で Lipschitz 代表を得る。球が重なる部分では連続代表の一意性により一致するため、代表を貼り合わせることができる。逆向きは§E15.8 命題 2.3による。▨

証明.$d=k-m$とおく。$dp<n$の場合、$p_j$を

で定める。$j<d$では$p_j<n$である。系 1.3を各$|\beta|\leq k-j-1$の弱微分$D^\beta u\in W^{1,p_j}(\Omega)$に適用すると

を得る。$j=0,\ldots,d-1$を反復すると$W^{m,p_d}$の評価を得る。$q\leq p_d$の評価は有限測度上の Hölder の不等式による。

$dp=n$、$n\geq2$の場合、$d=1$なら$p=n$なので、各$|\beta|\leq m$の弱微分に命題 2.1を適用する。$d>1$ならば、前段の反復を$d-1$回行う。$p_{d-1}=n$であるから、反復によって$u\in W^{m+1,n}(\Omega)$を得る。各$D^\beta u$に同じ臨界指数の命題を適用して結論を得る。$n=1$、$dp=1$の場合には$d=p=1$であり、一次元の有界$C^{k-1,1}$開集合は有限個の有界区間の和である。各区間で系 2.3を$D^\beta u$に適用すると、上限ノルム、したがって各有限指数の評価を得る。▨

証明.$k-n/p=m+\alpha$、$0<\alpha<1$とする。$d=k-m-1$とおくと$d\geq0$であり、$dp<n$である。$d>0$の場合には定理 4.1により

を得る。$d=0$の場合にも$r=p$として同じ結論が成り立つ。$r>n$であるから、各$|\beta|\leq m$の$D^\beta u$に系 3.3を適用すると、連続代表と$m$階の Hölder 評価を得る。

$k-n/p=m\geq1$の場合には、定理 4.1の臨界の場合から$u\in W^{m,r}(\Omega)$が任意の有限$r$に対して成り立つ。$r>n/(1-\alpha)$を選び、各$|\beta|\leq m-1$の$D^\beta u$に系 3.3を適用する。得られる指数$1-n/r$は$\alpha$より大きく、$\Omega$が有界なので$\alpha$の評価も得る。

$k=1$では§E15.9 定理 2.2と平滑化、$k\geq2$では§E15.9 定理 4.3により、全空間の滑らかな関数の制限$u_j$が$W^{k,p}(\Omega)$で$u$へ収束する。前段の評価を$u_j-u_l$に適用すると、必要な各導関数は$\overline\Omega$上で一様収束する。$\Omega$内の球で

の極限を取ると、極限の連続関数が古典的な偏導関数であることを得る。各階でこの等式を用いると、主張した$C^{m,\alpha}$または$C^{m-1,\alpha}$の正則性を得る。▨

証明.$u\in C_c^\infty(\R^n)$に対して、各座標方向の基本定理を反復すると

であり、絶対値を取って全空間へ積分範囲を広げると所要の上限評価を得る。

一般の$u\in W^{n,1}(\R^n)$に対して、$\chi\in C_c^\infty(\R^n)$を$B(0,1)$上で$1$、$0\leq\chi\leq1$となるように取り、$\chi_R(x)=\chi(x/R)$とおく。このとき、切断$\chi_Ru$は$W^{n,1}$で$u$へ収束する。実際、試験関数への部分積分を反復して得られる Leibniz の公式のうち、切断関数を微分した項は、定数倍を除いて$R^{-|\gamma|}(D^\gamma\chi)(x/R)D^{\beta-\gamma}u$の形であり、その$L^1$ノルムは$R^{-|\gamma|}\|D^\gamma\chi\|_\infty\|D^{\beta-\gamma}u\|_1$以下である。切断関数を微分しない項は尾部の可積分性によって収束する。§E15.8 命題 4.2でさらに平滑化すると、$C_c^\infty$の近似列を得る。前段の上限評価により、この列は全空間で一様収束する。コンパクト台をもつ連続関数の一様極限は連続で無限遠で零に収束し、$L^1$極限との同定によって$u$の代表となる。極限へ移して上限評価を得る。一意性は連続関数のほとんど至る所の一致による。

領域上では、$n=1$の場合に§E15.9 定理 2.2、$n\geq2$の場合に§E15.9 定理 4.3を使って$u$を全空間へ拡張し、前段の評価を適用する。▨

証明.$k=1$では§E15.9 定理 2.2、$k\geq2$では§E15.9 定理 4.3を用いて、$u$を$U\in W^{k,\infty}(\R^n)$へ有界に拡張する。各$|\beta|\leq k-1$に対して定理 3.2を$D^\beta U$に適用すると、Lipschitz 代表と所要のノルム評価を得る。平滑化は各コンパクト集合上で各導関数の代表へ一様収束する。球内の線分積分の等式を極限へ移すと、これらの代表は古典的な導関数となる。$\overline\Omega$へ制限して第一の埋め込みを得る。

$k\geq n$、$u\in W^{k,1}(\Omega)$とする。各$|\beta|\leq k-n$について$D^\beta u\in W^{n,1}(\Omega)$であるから、命題 4.3により連続代表と上限評価を得る。$k=1$の拡張と平滑化、または$k\geq2$の§E15.9 定理 4.3による滑らかな近似列に、この上限評価を適用すると、各導関数が一様収束する。球内の線分積分の等式を極限へ移すと、$k-n$階まで古典的な導関数が存在し、所要の連続埋め込みを得る。▨