De Giorgi の振動評価 | 偏微分方程式論 I

定義 1.1 (弱解). 本記事では関数をすべて実数値とし、可測集合 $E\subseteq\R^n$ の Lebesgue 測度を $|E|$ 、 $\omega_n=|B_1(0)|$ と書く。開球を $B_\rho(x_0)=\{x\in\R^n:|x-x_0|<\rho\}$ と書き、中心が定まっているときは $B_\rho$ と略記する。ベクトル値関数 $b$ について $\|b\|_{L^\infty}$ は $|b|$ の本質的上限を表し、ベクトル値関数 $Dw$ について $\|Dw\|_{L^p}$ は $|Dw|$ の $L^p$ ノルムを表す。

$n\geq1$ を整数とする。実数 $q$ が許容指数 (admissible exponent) であるとは、 $1<q<\infty$ かつ $q>n/2$ が成り立つことをいう。 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $D\subseteq\R^n$ を有界開集合とし、 $A\colon D\to\R^{n\times n}$ を可測な行列値関数、 $b\in L^\infty(D;\R^n)$ 、 $c\in L^\infty(D)$ 、 $f\in L^q(D)$ とする。ほとんどすべての $x\in D$ とすべての $\xi\in\R^n$ について $\xi\cdot A(x)\xi\geq\lambda|\xi|^2$ かつ $|A(x)\xi|\leq\Lambda|\xi|$ が成り立つとき、組 $(D;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ (data) という。このデータに対して、 $u\in H^1(D)$ がすべての $\varphi\in C_c^\infty(D)$ について

\int_D\bigl(A\,Du\cdot D\varphi+(b\cdot Du)\varphi+cu\varphi\bigr)\,dx=\int_Df\varphi\,dx

を満たすとき、 $u$ をこのデータの弱解 (weak solution) という。ここで $A\,Du\cdot D\varphi$ は $A\,Du$ と $D\varphi$ の内積であり、弱解は方程式 $-\operatorname{div}(A\,Du)+b\cdot Du+cu=f$ の $D$ における解を表す。

注意 1.2. $n\geq3$ のとき、弱解の局所有界性は、許容指数の条件 $q>n/2$ を端点 $q=n/2$ まで緩めると成り立たない。実際、§E15.18 例 4.2の $u$ は $H^1_0(B_1(0))$ に属し、 $-\Delta u\in L^{n/2}(B_1(0))$ を満たすが、 $B_{1/4}(0)$ 上で $u=\log\log(e/|x|)$ であるから原点の近くで有界でない。この $u$ が $q=n/2$ の外力に対して弱解の等式を満たすことは、§E15.39 例 9.5で確かめられている。

注意 1.3. $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ 、 $\kappa_0\geq0$ とし、 $(A,b,c)$ が $B_{2R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数（§E15.39 定義 2.1）、 $f\in L^q(B_{2R}(x_0))$ 、 $q$ が許容指数であるとき、 $u\in H^1(B_{2R}(x_0))$ が本記事の意味で弱解であることと、§E15.39 定義 2.1の意味で $Lu=f$ の弱解であることは同値である。実際、後者は前者の試験関数を $B_{2R}(x_0)$ のコンパクト集合の外で零の $H^1$ 関数へ広げた条件であり、この関数は§E15.8 命題 5.3により $H^1_0(B_{2R}(x_0))$ に属するから、補題 1.6 (1)により前者から後者が従う。逆は、 $\varphi\in C_c^\infty(B_{2R}(x_0))$ を $\varphi_+-\varphi_-$ と書き、 $\varphi_\pm$ に対する弱劣解と弱優解の両方の不等式を用いて従う。

定義 1.4 (本質的振動). $E\subseteq\R^n$ を正測度の可測集合、 $u\colon E\to\R$ を可測関数とする。 $u$ の $E$ における本質的振動 (essential oscillation) を

\operatorname*{ess\,osc}_Eu=\operatorname*{ess\,sup}_Eu-\operatorname*{ess\,inf}_Eu\in[0,\infty]

と定める。

補題 1.5. $n\geq1$ を整数、 $q$ を許容指数とし、 $q'=q/(q-1)$ とおく。 $n\geq3$ のとき $\chi=n/(n-2)$ 、 $n\in\{1,2\}$ のとき $\chi=2q'$ と定め、 $\sigma=1+n/(2\chi)-n/2$ とおく。このとき、次が成り立つ。

$\chi>1$ であり、 $1/q+1/\chi<1$ である。
$n,q$ のみに依存する定数 $C_S$ が存在して、すべての $x_0\in\R^n$ 、 $\rho>0$ と、 $B_\rho(x_0)$ の外でほとんど至る所零であるすべての $w\in H^1(\R^n)$ について $\|w\|_{L^{2\chi}(\R^n)}\leq C_S\rho^\sigma\|Dw\|_{L^2(\R^n)}$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。 $n\geq3$ のとき $1/\chi=1-2/n$ であり、 $q>n/2$ から $1/q<2/n=1-1/\chi$ である。 $n\in\{1,2\}$ のとき $1/\chi=(1-1/q)/2$ であるから $1/q+1/\chi=(1+1/q)/2<1$ である。いずれの場合にも $1/\chi<1-1/q<1$ であるから $\chi>1$ である。

主張 (2)を示す。 $n\geq3$ のとき、 $2\chi=2n/(n-2)$ は§E15.10 定理 1.2の $p=2$ に対する指数 $p^*$ であり、 $\sigma=0$ であるから、 $C_S=C_{n,2}$ とすればよい。

$n=2$ のとき、 $p=2\chi/(1+\chi)\in(1,2)$ とおくと $2p/(2-p)=2\chi$ であり、 $1/p-1/2=1/(2\chi)$ である。 $w$ は $B_\rho(x_0)$ の外で零であるから、Hölder の不等式§E10.22 定理 4.2により $\|w\|_{L^p}\leq|B_\rho|^{1/p-1/2}\|w\|_{L^2}$ と $\|Dw\|_{L^p}\leq|B_\rho|^{1/p-1/2}\|Dw\|_{L^2}$ が成り立ち、 $w\in W^{1,p}(\R^2)$ である。§E15.10 定理 1.2により

\|w\|_{L^{2\chi}}\leq C_{2,p}\|Dw\|_{L^p}\leq C_{2,p}(\omega_2\rho^2)^{1/(2\chi)}\|Dw\|_{L^2}

を得る。 $\sigma=1/\chi$ であるから、 $C_S=C_{2,p}\omega_2^{1/(2\chi)}$ とすればよい。

$n=1$ のとき、 $I=(x_0-2\rho,x_0+2\rho)$ とおく。§E15.8 系 2.2により $w|_I$ は $[x_0-2\rho,x_0+2\rho]$ 上の絶対連続な代表をもち、 $w=0$ がほとんど至る所 $(x_0-2\rho,x_0-\rho)$ で成り立つから、この代表は $x_0-2\rho$ で零である。§E13.29 定理 1.2 (1)を $p=2$ に適用すると、すべての $x\in I$ について $|w(x)|\leq\|Dw\|_{L^2}(4\rho)^{1/2}$ を得る。 $w$ は $I$ の外で零であるから $\|w\|_{L^\infty}\leq2\rho^{1/2}\|Dw\|_{L^2}$ であり、

\|w\|_{L^{2\chi}}\leq|B_\rho|^{1/(2\chi)}\|w\|_{L^\infty}\leq2^{1+1/(2\chi)}\rho^{1/(2\chi)+1/2}\|Dw\|_{L^2}

である。 $\sigma=1/2+1/(2\chi)$ であるから、 $C_S=2^{1+1/(2\chi)}$ とすればよい。▨

補題 1.6. $q$ を許容指数、 $(D;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ、 $u$ をその弱解とする。このとき、次が成り立つ。

すべての $\varphi\in H^1_0(D)$ について $f\varphi\in L^1(D)$ であり、弱解の等式が $\varphi$ に対して成り立つ。
$\varphi\in H^1_0(D)$ と $\psi\in C_c^\infty(\R^n)$ について、 $\psi\varphi\in H^1_0(D)$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $D\subseteq B_\rho(x_0)$ を満たす開球をとる。 $\varphi\in H^1_0(D)$ の零延長は§E15.8 命題 5.2により $H^1(\R^n)$ に属し、 $B_\rho(x_0)$ の外で零であるから、補題 1.5 (2)により $\|\varphi\|_{L^{2\chi}(D)}\leq C_S\rho^\sigma\|D\varphi\|_{L^2(D)}$ である。補題 1.5 (1)により $1/q'=1-1/q>1/\chi>1/(2\chi)$ であるから、Hölder の不等式§E10.22 定理 4.2を 2 回用いて

\Bigl|\int_Df\varphi\,dx\Bigr|\leq\|f\|_{L^q}\|\varphi\|_{L^{q'}}\leq\|f\|_{L^q}|D|^{1/q'-1/(2\chi)}\|\varphi\|_{L^{2\chi}}\leq C\|f\|_{L^q}\|\varphi\|_{H^1(D)}

を得る。 $A\,Du\cdot D\varphi$ 、 $(b\cdot Du)\varphi$ 、 $cu\varphi$ の積分も $\varphi$ の $H^1(D)$ ノルムに関して連続である。したがって弱解の等式の両辺は $H^1_0(D)$ 上の連続線形汎関数であり、稠密な部分空間 $C_c^\infty(D)$ 上で一致するから、 $H^1_0(D)$ 上で一致する。

主張 (2)を示す。 $\varphi_j\in C_c^\infty(D)$ を $\varphi$ に $H^1(D)$ で収束する列とする。 $\psi\varphi_j\in C_c^\infty(D)$ であり、§E15.8 命題 3.1により $D(\psi\varphi_j)=\psi D\varphi_j+\varphi_jD\psi$ であるから、 $\psi\varphi_j\to\psi\varphi$ が $H^1(D)$ で成り立つ。▨

定義 1.7 (切断可能). $D\subseteq\R^n$ を有界開集合、 $u\in H^1(D)$ 、 $B_\rho(x_0)$ を開球、 $k_*\in[-\infty,\infty)$ とする。すべての $k\geq k_*$ とすべての $\eta\in C_c^\infty(B_\rho(x_0))$ について $(u-k)_+\eta\in H^1_0(D)$ が成り立つとき、 $u$ は $B_\rho(x_0)$ 上で水準 $k_*$ 以上において切断可能 (truncatable) であるという。ここで $(u-k)_+=\max\{u-k,0\}$ であり、 $D$ が有界であるから、§E15.8 命題 3.2により $(u-k)_+\in H^1(D)$ である。

補題 1.8. $D\subseteq\R^n$ を有界開集合、 $u\in H^1(D)$ とする。このとき、次が成り立つ。

$v\in H^1(D)$ が $D$ のあるコンパクト部分集合の外でほとんど至る所零ならば、 $v\in H^1_0(D)$ である。
$B_\rho(x_0)\subseteq D$ ならば、 $u$ は $B_\rho(x_0)$ 上で水準 $-\infty$ 以上において切断可能である。
$\varphi\in H^1(D)\cap C(\overline D)$ が $u-\varphi\in H^1_0(D)$ を満たし、 $x_0\in\R^n$ 、 $\rho>0$ ならば、 $u$ は $B_\rho(x_0)$ 上で水準 $\sup_{\partial D\cap B_\rho(x_0)}\varphi$ 以上において切断可能である。ただし $\partial D\cap B_\rho(x_0)=\emptyset$ のときは上限を $-\infty$ とする。

証明.主張 (1)を示す。§E15.8 命題 5.3を $U=D$ 、 $p=2$ に適用すればよい。

主張 (2)を示す。 $k\in\R$ と $\eta\in C_c^\infty(B_\rho(x_0))$ をとる。§E15.8 命題 3.1により $(u-k)_+\eta\in H^1(D)$ であり、この関数はコンパクト集合 $\operatorname{supp}\eta\subseteq B_\rho(x_0)\subseteq D$ の外で零であるから、主張 (1)により $H^1_0(D)$ に属する。

主張 (3)を示す。 $k_*=\sup_{\partial D\cap B_\rho(x_0)}\varphi$ とおき、 $k\geq k_*$ 、 $\eta\in C_c^\infty(B_\rho(x_0))$ とする。 $\varepsilon>0$ に対して $K_\varepsilon=\{x\in\overline D\cap\operatorname{supp}\eta:\varphi(x)\geq k+\varepsilon\}$ とおく。 $\varphi$ は連続であるから $K_\varepsilon$ はコンパクトである。 $x\in\partial D\cap\operatorname{supp}\eta$ ならば $x\in\partial D\cap B_\rho(x_0)$ であるから $\varphi(x)\leq k_*\leq k<k+\varepsilon$ であり、 $K_\varepsilon\cap\partial D=\emptyset$ すなわち $K_\varepsilon\subseteq D$ である。

$v_j\in C_c^\infty(D)$ を $u-\varphi$ に $H^1(D)$ で収束する列とし、 $z_j=v_j+\varphi$ とおく。 $z_j\to u$ が $H^1(D)$ で成り立つ。 $\zeta_j=(z_j-k-\varepsilon)_+\eta$ とおくと、§E15.8 命題 3.2と§E15.8 命題 3.1により $\zeta_j\in H^1(D)$ である。 $x\in D$ で $\zeta_j(x)\neq0$ ならば $x\in\operatorname{supp}\eta$ かつ $v_j(x)+\varphi(x)>k+\varepsilon$ であり、 $x\notin\operatorname{supp}v_j$ ならば $\varphi(x)>k+\varepsilon$ であるから $x\in K_\varepsilon$ である。したがって $\zeta_j$ はコンパクト集合 $\operatorname{supp}v_j\cup K_\varepsilon\subseteq D$ の外で零であり、主張 (1)により $\zeta_j\in H^1_0(D)$ である。

$|a_+-b_+|\leq|a-b|$ により、 $\zeta_j\to(u-k-\varepsilon)_+\eta$ が $L^2(D)$ で成り立つ。§E15.8 命題 3.2により $\|D(z_j-k-\varepsilon)_+\|_{L^2}\leq\|Dz_j\|_{L^2}$ であるから、 $(\zeta_j)$ は $H^1(D)$ で有界である。 $H^1_0(D)$ は Hilbert 空間 $H^1(D)$ の閉部分空間であるから（§E15.8 定義 5.1）弱閉であり、有界列 $(\zeta_j)$ の弱収束部分列の極限は $H^1_0(D)$ に属する。この極限は $L^2(D)$ の極限と一致するから、 $(u-k-\varepsilon)_+\eta\in H^1_0(D)$ である。

$\varepsilon\downarrow0$ のとき、 $|(u-k-\varepsilon)_+\eta-(u-k)_+\eta|\leq\varepsilon|\eta|$ により $(u-k-\varepsilon)_+\eta\to(u-k)_+\eta$ が $L^2(D)$ で成り立ち、 $H^1(D)$ ノルムは $\varepsilon$ について有界である。同じ弱閉性の議論により $(u-k)_+\eta\in H^1_0(D)$ を得る。▨

補題 1.9. $q$ を許容指数、 $(D;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ、 $u$ をその弱解とする。 $x_0\in\R^n$ 、 $\rho>0$ 、 $k\in\R$ とし、 $u$ は $B_\rho(x_0)$ 上で水準 $k$ 以上において切断可能であるとする。 $a\geq0$ と可測関数 $g\colon D\cap B_\rho(x_0)\to[0,\infty)$ について、 $D\cap B_\rho(x_0)\cap\{u>k\}$ でほとんど至る所 $|f-cu|\leq g+a(u-k)$ が成り立つと仮定する。 $w=(u-k)_+$ 、 $\beta_b=\|b\|_{L^\infty(D\cap B_\rho(x_0))}$ とおく。このとき、すべての $\eta\in C_c^\infty(B_\rho(x_0))$ について

\int_D\eta^2|Dw|^2dx\leq\frac{8\Lambda^2}{\lambda^2}\int_Dw^2|D\eta|^2dx+\frac2\lambda\Bigl(a+\frac{\beta_b^2}\lambda\Bigr)\int_D\eta^2w^2dx+\frac2\lambda\int_{D\cap B_\rho(x_0)}g\,w\,\eta^2dx

が成り立つ。ただし右辺は $+\infty$ であってもよい。

証明. 右辺が $+\infty$ ならば不等式は成り立つから、右辺は有限であるとする。切断可能性により $\eta w\in H^1_0(D)$ であり、補題 1.6 (2)により $\varphi=\eta^2w=\eta(\eta w)\in H^1_0(D)$ である。§E15.8 系 3.3を $u-k\in H^1(D)$ に適用すると $Dw=\mathbf 1_{\{u>k\}}Du$ を得る。§E15.8 命題 3.1により $D\varphi=\eta^2Dw+2\eta wD\eta$ である。 $w$ と $Dw$ は $\{u\leq k\}$ でほとんど至る所零であり、 $\{u>k\}$ では $Du=Dw$ であるから、ほとんど至る所

A\,Du\cdot D\varphi=\eta^2A\,Dw\cdot Dw+2\eta w\,A\,Dw\cdot D\eta,\qquad(b\cdot Du)\varphi=\eta^2w\,b\cdot Dw

が成り立つ。補題 1.6 (1)により弱解の等式は $\varphi$ に対して成り立つから、

\int_D\eta^2A\,Dw\cdot Dw\,dx=\int_D(f-cu)\eta^2w\,dx-2\int_D\eta w\,A\,Dw\cdot D\eta\,dx-\int_D\eta^2w\,b\cdot Dw\,dx

である。左辺は $\lambda\int_D\eta^2|Dw|^2$ 以上である。 $\eta^2w$ は $D\cap B_\rho(x_0)\cap\{u>k\}$ の外で零であるから、右辺の第一項は $\int_D(g+aw)\eta^2w$ 以下である。第二項の被積分関数は $2\Lambda\eta w|Dw||D\eta|$ 以下であり、第三項の被積分関数は $\beta_b\eta^2w|Dw|$ 以下である。Young の不等式により

2\Lambda\eta w|Dw||D\eta|\leq\frac\lambda4\eta^2|Dw|^2+\frac{4\Lambda^2}\lambda w^2|D\eta|^2,\qquad\beta_b\eta^2w|Dw|\leq\frac\lambda4\eta^2|Dw|^2+\frac{\beta_b^2}\lambda\eta^2w^2

であるから、

\lambda\int_D\eta^2|Dw|^2\leq\int_Dg\,w\eta^2+\Bigl(a+\frac{\beta_b^2}\lambda\Bigr)\int_D\eta^2w^2+\frac{4\Lambda^2}\lambda\int_Dw^2|D\eta|^2+\frac\lambda2\int_D\eta^2|Dw|^2

を得る。 $\int_D\eta^2|Dw|^2$ は有限であるから、右辺の最後の項を左辺へ移して $\lambda/2$ で割ればよい。▨

補題 1.10. $x_0\in\R^n$ 、 $0<s<t$ とする。このとき、 $\zeta\in C_c^\infty(B_t(x_0))$ で、 $0\leq\zeta\leq1$ であり、 $B_s(x_0)$ 上で $\zeta=1$ であり、 $|D\zeta|\leq4/(t-s)$ を満たすものが存在する。

証明. $g=t-s$ とし、 $\phi(x)=\min\{1,(t-g/4-|x-x_0|)^+/(g/2)\}$ とおく。 $\phi$ は Lipschitz 定数 $2/g$ の関数であり、 $|x-x_0|\leq t-3g/4$ で $\phi=1$ 、 $|x-x_0|\geq t-g/4$ で $\phi=0$ である。 $\phi$ を半径 $g/8$ の軟化核で軟化したものを $\zeta$ とする。このとき $\zeta$ は $|x-x_0|\leq t-7g/8$ で $1$ であり、 $B_s(x_0)=B_{t-g}(x_0)$ はこの集合に含まれる。 $\zeta$ の台は $\overline{B_{t-g/8}(x_0)}$ に含まれ、 $0\leq\zeta\leq1$ と $|D\zeta|\leq2/g\leq4/g$ が成り立つ。▨

補題 2.1. $n\geq1$ を整数とする。このとき、 $n$ のみに依存する定数 $C_1$ が存在して、次が成り立つ。 $B=B_\rho(x_0)$ を開球、 $v\in H^1(B)$ 、 $h<k$ を実数とする。このとき、 $B$ の部分集合 $\{v\geq k\}$ 、 $\{v\leq h\}$ 、 $\{h<v<k\}$ について

(k-h)\,|\{v\geq k\}|\,|\{v\leq h\}|\leq C_1\rho\,|B|\int_{\{h<v<k\}}|Dv|\,dx

が成り立つ。

証明.§E15.11 定理 4.1を $\Omega=B_1(0)$ 、 $p=1$ に適用したときの定数を $C_1$ とする。 $z\in W^{1,1}(B)$ に対して $\tilde z(y)=z(x_0+\rho y)$ は $W^{1,1}(B_1(0))$ に属し、 $D\tilde z(y)=\rho(Dz)(x_0+\rho y)$ である。§E15.11 定理 4.1を $\tilde z$ に適用し、 $x=x_0+\rho y$ で書き直すと、 $z_B=|B|^{-1}\int_Bz$ について

\int_B|z-z_B|\,dx\leq C_1\rho\int_B|Dz|\,dx

を得る。

$z=(v-h)_+-(v-k)_+$ とおく。§E15.8 系 3.3により $z\in H^1(B)$ であり、 $Dz=\mathbf 1_{\{v>h\}}Dv-\mathbf 1_{\{v>k\}}Dv=\mathbf 1_{\{h<v\leq k\}}Dv$ である。同じ補題により $Dv=0$ がほとんど至る所 $\{v=k\}$ で成り立つから、 $|Dz|=\mathbf 1_{\{h<v<k\}}|Dv|$ である。 $0\leq z\leq k-h$ であり、 $\{v\leq h\}$ 上で $z=0$ 、 $\{v\geq k\}$ 上で $z=k-h$ である。したがって $z_B\geq(k-h)|\{v\geq k\}|/|B|$ であり、 $\{v\leq h\}$ 上で $|z-z_B|=z_B$ であるから

\frac{(k-h)|\{v\geq k\}||\{v\leq h\}|}{|B|}\leq z_B|\{v\leq h\}|\leq\int_B|z-z_B|\,dx\leq C_1\rho\int_{\{h<v<k\}}|Dv|\,dx

である。両辺に $|B|$ を掛ければよい。▨

補題 2.2. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $M_0\geq0$ 、 $E\geq1$ 、 $t_0\geq1$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,q,M_0,E,t_0$ のみに依存する定数 $C_*\geq1$ が存在して、次が成り立つ。 $(D;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ、 $u$ をその弱解とし、 $x_0\in\R^n$ と $0<r<\rho$ は $\rho\leq t_0(\rho-r)$ を満たすとする。 $k_0\in\R$ について $u$ は $B_\rho(x_0)$ 上で水準 $k_0$ 以上において切断可能であるとする。 $a\geq0$ 、 $d>0$ と可測関数 $g\colon D\cap B_\rho(x_0)\to[0,\infty)$ は、次の四条件を満たすと仮定する。

$\rho\|b\|_{L^\infty(D\cap B_\rho)}\leq M_0$ かつ $a\rho^2\leq M_0$ である。
すべての $k\in[k_0,k_0+d]$ について、 $D\cap B_\rho\cap\{u>k\}$ でほとんど至る所 $|f-cu|\leq g+a(u-k)$ である。
$\rho^{2-n/q}\|g\|_{L^q(D\cap B_\rho)}\leq Ed$ である。
$\rho^{-n/2}\|(u-k_0)_+\|_{L^2(D\cap B_\rho)}\leq d/C_*$ である。

このとき、 $D\cap B_r(x_0)$ でほとんど至る所 $u\leq k_0+d$ が成り立つ。

証明. $j\geq0$ に対して $\rho_j=r+(\rho-r)2^{-j}$ 、 $k_j=k_0+d(1-2^{-j})$ 、 $\kappa_j=k_j+d2^{-j-2}$ とおく。 $\rho_0=\rho$ であり、 $\rho_j\downarrow r$ 、 $k_j\uparrow k_0+d$ 、 $k_j<\kappa_j<k_{j+1}$ である。 $Y_j=\int_{D\cap B_{\rho_j}}(u-k_j)_+^2dx$ 、 $y_j=Y_j/(d^2\rho^n)$ とおく。 $\chi,\sigma,C_S$ を補題 1.5のとおりとし、 $q'=q/(q-1)$ 、 $\gamma=1/q'-1/(2\chi)$ とおく。補題 1.5 (1)により $\gamma>0$ であり、 $\delta=\min\{1-1/\chi,\,2-2/q-2/\chi\}>0$ である。

$j\geq0$ を固定し、 $w=(u-\kappa_j)_+$ 、 $A_j=\{x\in D\cap B_{\rho_j}:u(x)>\kappa_j\}$ とおく。 $\zeta\in C_c^\infty(B_{\rho_j})$ を、補題 1.10を $s=\rho_{j+1}$ 、 $t=\rho_j$ として適用して、 $0\leq\zeta\leq1$ 、 $B_{\rho_{j+1}}$ 上で $\zeta=1$ 、 $|D\zeta|\leq4/(\rho_j-\rho_{j+1})=2^{j+3}/(\rho-r)\leq2^{j+3}t_0/\rho$ を満たすようにとる。 $\kappa_j\in[k_0,k_0+d]$ であるから、条件 (b)により補題 1.9を水準 $\kappa_j$ と $\eta=\zeta$ に適用することができる。 $w\leq(u-k_j)_+$ であり、条件 (a)により $a+\|b\|_{L^\infty(D\cap B_\rho)}^2/\lambda\leq\rho^{-2}(M_0+M_0^2/\lambda)$ であるから、

\int_D\zeta^2|Dw|^2\leq C_1'4^j\rho^{-2}Y_j+\frac2\lambda\int_Dg\,w\zeta^2,\qquad C_1'=\frac{512\Lambda^2t_0^2}{\lambda^2}+\frac2\lambda\Bigl(M_0+\frac{M_0^2}\lambda\Bigr)

を得る。 $\zeta w\in H^1_0(D)$ の零延長は $H^1(\R^n)$ に属し、 $B_{\rho_j}$ の外で零である。 $D(\zeta w)=\zeta Dw+wD\zeta$ により

\int_D|D(\zeta w)|^2\leq2\int_D\zeta^2|Dw|^2+2\int_Dw^2|D\zeta|^2\leq C_2'4^j\rho^{-2}Y_j+\frac4\lambda G,\qquad C_2'=2C_1'+128t_0^2,\quad G=\int_Dg\,w\zeta^2

である。 $X=\|\zeta w\|_{L^{2\chi}}$ とおく。 $\zeta w$ は $A_j$ の外で零であり $0\leq\zeta\leq1$ であるから、Hölder の不等式§E10.22 定理 4.2を 2 回用いて

G\leq\int_{A_j}g\,\zeta w\,dx\leq\|g\|_{L^q(D\cap B_\rho)}\|\zeta w\|_{L^{q'}(A_j)}\leq\|g\|_{L^q(D\cap B_\rho)}X|A_j|^\gamma

を得る。補題 1.5 (2)により $X^2\leq C_S^2\rho^{2\sigma}\int_D|D(\zeta w)|^2$ であるから、 $P=C_S^2C_2'\rho^{2\sigma-2}4^jY_j$ 、 $Q=4C_S^2\rho^{2\sigma}\lambda^{-1}\|g\|_{L^q(D\cap B_\rho)}|A_j|^\gamma$ について $X^2\leq P+QX$ であり、したがって $X^2\leq2P+Q^2$ である。

$A_j$ 上では $u-k_j>\kappa_j-k_j=d2^{-j-2}$ であるから、 $|A_j|\leq4^{j+2}Y_j/d^2=4^{j+2}\rho^ny_j$ である。 $D\cap B_{\rho_{j+1}}$ 上で $\zeta=1$ であり $(u-k_{j+1})_+\leq w$ 、 $\{u>k_{j+1}\}\subseteq\{u>\kappa_j\}$ であるから、Hölder の不等式により

Y_{j+1}\leq\int_{A_j}(\zeta w)^2dx\leq X^2|A_j|^{1-1/\chi}\leq(2P+Q^2)|A_j|^{1-1/\chi}

である。条件 (c)により $\|g\|_{L^q(D\cap B_\rho)}\leq Ed\rho^{n/q-2}$ であるから、 $d^2\rho^n$ で割ると

y_{j+1}\leq2C_S^2C_2'4^j(4^{j+2})^{1-1/\chi}\rho^{2\sigma-2+n(1-1/\chi)}y_j^{2-1/\chi}+\frac{16C_S^4E^2}{\lambda^2}(4^{j+2})^{3-2/q-2/\chi}\rho^{4\sigma-4+2n/q+n(3-2/q-2/\chi)-n}y_j^{3-2/q-2/\chi}

である。ここで $2\sigma-2=n/\chi-n$ により第一項の $\rho$ の指数は $0$ であり、第二項の $\rho$ の指数は $2n/\chi-2n+2n/q+3n-2n/q-2n/\chi-n=0$ である。 $2-1/\chi\geq1+\delta$ 、 $3-2/q-2/\chi\geq1+\delta$ であり、 $3-2/q-2/\chi<3$ であるから、 $y_j\leq1$ のとき

y_{j+1}\leq C_364^jy_j^{1+\delta},\qquad C_3=\max\Bigl\{1,\;32C_S^2C_2'+\frac{65536C_S^4E^2}{\lambda^2}\Bigr\}

が成り立つ。

$y_0\leq C_3^{-1/\delta}64^{-1/\delta^2}$ ならば、すべての $j\geq0$ について $y_j\leq64^{-j/\delta}y_0$ である。実際、 $j=0$ では等号が成り立ち、 $y_j\leq64^{-j/\delta}y_0\leq1$ ならば

y_{j+1}\leq C_364^j\bigl(64^{-j/\delta}y_0\bigr)^{1+\delta}=C_364^{-j/\delta}y_0^{1+\delta}\leq64^{-(j+1)/\delta}y_0

である。最後の不等式は $C_3y_0^\delta\leq64^{-1/\delta}$ による。 $C_*=\max\{1,C_3^{1/(2\delta)}64^{1/(2\delta^2)}\}$ とおくと、条件 (d)から $y_0\leq C_*^{-2}\leq C_3^{-1/\delta}64^{-1/\delta^2}$ である。したがって $y_j\to0$ であり、 $Y_j\to0$ である。 $k_0+d>k_j$ かつ $r<\rho_j$ であるから、すべての $j$ について $\int_{D\cap B_r}(u-k_0-d)_+^2\leq Y_j$ であり、この積分は零である。よって $D\cap B_r(x_0)$ でほとんど至る所 $u\leq k_0+d$ である。▨

命題 2.3. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $M_1\geq0$ 、 $0<m\leq1$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,q,M_1,m$ のみに依存する整数 $J\geq1$ が存在して、次が成り立つ。 $(D;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ、 $u$ をその弱解とし、 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ 、 $k_*\in[-\infty,\infty)$ について、 $u$ は $B_{2R}(x_0)$ 上で水準 $k_*$ 以上において切断可能であり、 $R\|b\|_{L^\infty(D\cap B_{2R})}\leq M_1$ であるとする。実数 $H$ と $\delta>0$ は $H-\delta\geq k_*$ を満たし、 $D\cap B_{2R}$ でほとんど至る所 $u\leq H$ であるとする。可測関数 $g\colon D\cap B_{2R}\to[0,\infty)$ は $D\cap B_{2R}$ でほとんど至る所 $|f-cu|\leq g$ を満たすとする。さらに、 $v\in H^1(B_{3R/2}(x_0))$ は次の二条件を満たすと仮定する。

$H-\delta$ 以上のすべての実数 $h$ について、 $(v-h)_+$ は $D\cap B_{3R/2}$ でほとんど至る所 $(u-h)_+$ に等しく、 $B_{3R/2}\setminus D$ でほとんど至る所零である。
$|\{x\in B_{3R/2}:v(x)\leq H-\delta\}|\geq m|B_{3R/2}|$ である。

$t_*=R^{2-n/q}\|g\|_{L^q(D\cap B_{2R})}$ とおく。このとき、 $t_*\leq2^{-J}\delta$ ならば、 $D\cap B_R(x_0)$ でほとんど至る所 $u\leq H-2^{-J-1}\delta$ が成り立つ。

証明. $d_j=2^{-j}\delta$ 、 $h_j=H-d_j$ 、 $w_j=(u-h_j)_+$ とおく。 $h_j\geq h_0=H-\delta\geq k_*$ であり、 $D\cap B_{2R}$ で $0\leq w_j\leq d_j$ である。 $B=B_{3R/2}(x_0)$ 、 $A_j=\{x\in B:v(x)>h_j\}$ とおく。整数 $J\geq1$ は後で定める。 $t_*\leq2^{-J}\delta$ を仮定する。このとき、 $0\leq j\leq J$ について $t_*\leq2^{-J}\delta\leq d_j$ である。

$\eta_0\in C_c^\infty(B_{2R})$ を、補題 1.10を $s=3R/2$ 、 $t=2R$ として適用して、 $0\leq\eta_0\leq1$ 、 $B$ 上で $\eta_0=1$ 、 $|D\eta_0|\leq8/R$ を満たすようにとる。補題 1.9を水準 $h_j$ 、 $\rho=2R$ 、 $a=0$ 、 $\eta=\eta_0$ に適用すると、 $\|b\|_{L^\infty(D\cap B_{2R})}\leq M_1/R$ と $|B_{2R}|=2^n\omega_nR^n$ により

\int_{D\cap B}|Dw_j|^2\leq\frac{8\Lambda^2}{\lambda^2}\frac{64}{R^2}d_j^2|B_{2R}|+\frac{2M_1^2}{\lambda^2R^2}d_j^2|B_{2R}|+\frac2\lambda d_j\|g\|_{L^q(D\cap B_{2R})}|B_{2R}|^{1-1/q}

である。 $\|g\|_{L^q(D\cap B_{2R})}|B_{2R}|^{1-1/q}=t_*(2^n\omega_n)^{1-1/q}R^{n-2}$ と $t_*\leq d_j$ により、 $n,\lambda,\Lambda,q,M_1$ のみに依存する定数 $\Gamma$ が存在して $\int_{D\cap B}|Dw_j|^2\leq\Gamma R^{n-2}d_j^2$ である。

条件 (a)により、 $A_j=\{x\in D\cap B:u(x)>h_j\}$ であり、 $(v-h_j)_+$ は $D\cap B$ で $w_j$ に等しく、 $B\setminus D$ で零である。§E15.8 系 3.3により $D(v-h_j)_+=\mathbf 1_{\{v>h_j\}}Dv$ であり、同じ補題により $D(v-h_j)_+$ は $\{(v-h_j)_+=0\}\supseteq B\setminus D$ でほとんど至る所零である。したがって

\int_{B\cap\{v>h_j\}}|Dv|^2dx=\int_{D\cap B}|Dw_j|^2dx\leq\Gamma R^{n-2}d_j^2

である。 $0\leq j\leq J-1$ に対して補題 2.1を $v$ 、 $(h,k)=(h_j,h_{j+1})$ に適用する。 $h_{j+1}-h_j=d_j/2$ 、 $\{v\geq h_{j+1}\}\supseteq A_{j+1}$ 、条件 (b)により $|\{v\leq h_j\}|\geq|\{v\leq h_0\}|\geq m|B|$ であり、Cauchy–Schwarz の不等式により $\int_{\{h_j<v<h_{j+1}\}}|Dv|\leq|A_j\setminus A_{j+1}|^{1/2}\Gamma^{1/2}R^{n/2-1}d_j$ であるから、

\frac{d_j}2m|B||A_{j+1}|\leq C_1\frac{3R}2|B||A_j\setminus A_{j+1}|^{1/2}\Gamma^{1/2}R^{n/2-1}d_j

すなわち $|A_{j+1}|\leq(3C_1\Gamma^{1/2}/m)R^{n/2}|A_j\setminus A_{j+1}|^{1/2}$ を得る。 $A_J\subseteq A_{j+1}$ であるから、 $|A_J|^2\leq(3C_1\Gamma^{1/2}/m)^2R^n|A_j\setminus A_{j+1}|$ である。 $0\leq j\leq J-1$ について和を取ると、 $A_j\setminus A_{j+1}$ は互いに素な $B$ の部分集合であるから $J|A_J|^2\leq(3C_1\Gamma^{1/2}/m)^2R^n|B|$ であり、 $R^n=(2/3)^n|B|/\omega_n$ により

|A_J|\leq C_4m^{-1}J^{-1/2}|B|,\qquad C_4=3C_1\Gamma^{1/2}(2/3)^{n/2}\omega_n^{-1/2}

を得る。

補題 2.2を、 $D$ 、 $u$ 、 $x_0$ 、 $\rho=3R/2$ 、 $r=R$ 、 $t_0=3$ 、 $k_0=h_J$ 、 $a=0$ 、 $d=d_J/2$ 、 $M_0=2M_1$ 、 $E=5$ 、 $g|_{D\cap B}$ に適用する。 $h_J\geq k_*$ であり $C_c^\infty(B)\subseteq C_c^\infty(B_{2R})$ であるから、 $u$ は $B$ 上で水準 $h_J$ 以上において切断可能である。補題 2.2 条件 (a)は $\rho\|b\|\leq3M_1/2$ による。補題 2.2 条件 (b)は $|f-cu|\leq g$ による。補題 2.2 条件 (c)については、 $0<2-n/q<2$ により $\rho^{2-n/q}\leq(9/4)R^{2-n/q}$ であるから、 $\rho^{2-n/q}\|g\|_{L^q(D\cap B)}\leq(9/4)t_*\leq(9/4)2^{-J}\delta=(9/2)d\leq5d$ である。補題 2.2 条件 (d)については、 $(u-h_J)_+$ は $D\cap B_{2R}$ で $d_J$ 以下であり $A_J$ の外で零であるから、

\rho^{-n/2}\|(u-h_J)_+\|_{L^2(D\cap B)}\leq\rho^{-n/2}d_J|A_J|^{1/2}=2d\Bigl(\omega_n\frac{|A_J|}{|B|}\Bigr)^{1/2}\leq2d\bigl(\omega_nC_4m^{-1}J^{-1/2}\bigr)^{1/2}

である。 $C_*=C_*(n,\lambda,\Lambda,q,2M_1,5,3)$ を補題 2.2の定数とし、 $J\geq1$ を $4\omega_nC_4C_*^2/m\leq J^{1/2}$ を満たす最小の整数とすると、右辺は $d/C_*$ 以下である。 $J$ は $n,\lambda,\Lambda,q,M_1,m$ のみに依存する。補題 2.2により $D\cap B_R(x_0)$ でほとんど至る所 $u\leq h_J+d_J/2=H-2^{-J-1}\delta$ である。▨

系 3.1. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $M\geq0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,q,M$ のみに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $(B_{4R}(x_0);A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータで $R\|b\|_{L^\infty}\leq M$ 、 $R^2\|c\|_{L^\infty}\leq M$ を満たすものとし、 $u$ をその弱解とする。このとき、 $u\in L^\infty(B_{2R}(x_0))$ であり

\|u\|_{L^\infty(B_{2R}(x_0))}\leq C\bigl(R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R}(x_0))}+R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}\bigr)

が成り立つ。

証明. $\kappa_0=4M$ とおく。 $2R\|b\|_{L^\infty}\leq2M\leq\kappa_0$ 、 $(2R)^2\|c\|_{L^\infty}\leq4M=\kappa_0$ であるから、 $(A,b,c)$ は $B_{4R}(x_0)=B_{2\cdot2R}(x_0)$ 上の $(\lambda,\Lambda,\kappa_0)$ 型の係数（§E15.39 定義 2.1）である。注意 1.3を $R$ を $2R$ として適用すると、 $u$ は同定義の意味で $Lu=f$ の弱解であり、 $-u$ は $L(-u)=-f$ の弱解である。特に $u$ と $-u$ はそれぞれ $Lu\leq f$ 、 $L(-u)\leq-f$ の弱劣解である。§E15.39 定理 3.4を半径 $2R$ 、 $p=2$ として $u$ と $-u$ に適用すると、 $n,\lambda,\Lambda,\kappa_0,q$ のみに依存する定数 $C'$ について

\operatorname*{ess\,sup}_{B_{2R}(x_0)}(\pm u)^+\leq C'\bigl((2R)^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R}(x_0))}+(2R)^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{4R}(x_0))}\bigr)

である。 $|u|=\max\{u^+,(-u)^+\}$ であり、 $(2R)^{-n/2}\leq R^{-n/2}$ 、 $(2R)^{2-n/q}\leq4R^{2-n/q}$ であるから、 $C=4C'$ について主張を得る。 $C$ は $n,\lambda,\Lambda,q,M$ のみに依存する。▨

補題 3.2. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $M\geq0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,q,M$ のみに依存する定数 $\theta\in(0,1)$ と $C>0$ が存在して、次が成り立つ。

$x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $(B_{2R}(x_0);A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータで $R\|b\|_{L^\infty}\leq M$ を満たすものとし、 $u\in L^\infty(B_{2R}(x_0))$ をその弱解とする。このとき $\operatorname*{ess\,osc}_{B_R}u\leq\theta\operatorname*{ess\,osc}_{B_{2R}}u+C\bigl(R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R})}+R^2\|c\|_{L^\infty(B_{2R})}\|u\|_{L^\infty(B_{2R})}\bigr)$ が成り立つ。
$(B_{2R}(x_0);A,0,0,0)$ が $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータで、 $u\in H^1(B_{2R}(x_0))$ がその弱解ならば、 $u\in L^\infty(B_{2R}(x_0))$ を仮定せずに $\operatorname*{ess\,osc}_{B_R}u\leq\theta\operatorname*{ess\,osc}_{B_{2R}}u$ が成り立ち、 $\theta$ を $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する定数にとることができる。右辺が $+\infty$ のときは不等式は成り立つ。
$(B_{4R}(x_0);A,b,c,f)$ が $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータで $R\|b\|_{L^\infty}\leq M$ 、 $R^2\|c\|_{L^\infty}\leq M$ を満たし、 $u$ がその弱解ならば、 $u\in L^\infty(B_{2R}(x_0))$ であり、主張 (1)の評価が成り立つ。この評価の定数 $\theta,C$ は主張 (1)のものであり、 $R\|b\|_{L^\infty}$ の上界 $M$ と $n,\lambda,\Lambda,q$ のみに依存し、 $R^2\|c\|_{L^\infty}$ の上界には依存しない。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.3の整数 $J$ を $(n,\lambda,\Lambda,q,M_1=M,m=1/2)$ に対して定め、 $\theta=1-2^{-J-2}$ 、 $C=2^{J+1}\max\{1,(2^n\omega_n)^{1/q}\}$ とおく。 $\omega=\operatorname*{ess\,osc}_{B_{2R}}u$ とおくと、 $u\in L^\infty(B_{2R})$ により $\omega<\infty$ である。 $\omega=0$ ならば左辺が零であるから結論が成り立つ。 $\omega>0$ とする。 $m_+=\operatorname*{ess\,sup}_{B_{2R}}u$ 、 $m_-=\operatorname*{ess\,inf}_{B_{2R}}u$ 、 $\mu=(m_++m_-)/2$ とおき、 $g=|f|+\|c\|_{L^\infty(B_{2R})}\|u\|_{L^\infty(B_{2R})}$ とおく。 $|f-cu|\leq g$ であり、

t_*=R^{2-n/q}\|g\|_{L^q(B_{2R})}\leq T=R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R})}+(2^n\omega_n)^{1/q}R^2\|c\|_{L^\infty(B_{2R})}\|u\|_{L^\infty(B_{2R})}

である。 $E_1=\{x\in B_{3R/2}:u(x)\leq\mu\}$ 、 $E_2=\{x\in B_{3R/2}:u(x)\geq\mu\}$ とおくと $|E_1|+|E_2|\geq|B_{3R/2}|$ であるから、 $|E_1|\geq|B_{3R/2}|/2$ と $|E_2|\geq|B_{3R/2}|/2$ の少なくとも一方が成り立つ。

$|E_1|\geq|B_{3R/2}|/2$ とする。補題 1.8 (2)により $u$ は $B_{2R}$ 上で水準 $-\infty$ 以上において切断可能である。命題 2.3を $D=B_{2R}(x_0)$ 、 $k_*=-\infty$ 、 $H=m_+$ 、 $\delta=\omega/2$ 、 $v=u|_{B_{3R/2}}$ 、 $m=1/2$ に適用する。 $H-\delta=\mu$ であり、 $D\cap B_{3R/2}=B_{3R/2}$ であり $v=u$ であるから命題 2.3 条件 (a)が成り立ち、命題 2.3 条件 (b)は $|E_1|\geq|B_{3R/2}|/2$ である。 $t_*\leq2^{-J}\delta=2^{-J-1}\omega$ ならば、 $B_R$ でほとんど至る所 $u\leq m_+-2^{-J-2}\omega$ であり、 $\operatorname*{ess\,osc}_{B_R}u\leq(1-2^{-J-2})\omega=\theta\omega$ である。 $t_*>2^{-J-1}\omega$ ならば $\omega<2^{J+1}t_*\leq2^{J+1}T$ であり、 $\operatorname*{ess\,osc}_{B_R}u\leq\omega<2^{J+1}T$ である。 $T\leq\max\{1,(2^n\omega_n)^{1/q}\}\bigl(R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{2R})}+R^2\|c\|_{L^\infty(B_{2R})}\|u\|_{L^\infty(B_{2R})}\bigr)$ であるから、いずれの場合にも評価が成り立つ。

$|E_2|\geq|B_{3R/2}|/2$ とする。 $-u$ はデータ $(B_{2R};A,b,c,-f)$ の弱解であり、 $-u$ の $B_{2R}$ における本質的振動、 $g$ 、 $T$ は $u$ のものと同じ値をとる。 $\{-u\leq-\mu\}\cap B_{3R/2}=E_2$ であり、 $-\mu$ は $-u$ の $B_{2R}$ における上限と下限の平均であるから、 $-u$ に対して前段の議論を適用すると同じ評価を得る。

主張 (2)を示す。 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ のデータは任意の許容指数について $(\lambda,\Lambda,q)$ 型であり、 $R\|b\|_{L^\infty}\leq M=0$ を満たす。 $q=n+1$ ととると、主張 (1)の $\theta=\theta(n,\lambda,\Lambda,n+1,0)$ は $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する。 $\operatorname*{ess\,osc}_{B_{2R}}u=\infty$ ならば不等式は成り立つ。有限ならば、 $u$ はほとんど至る所有限な実数値であるから $\operatorname*{ess\,sup}_{B_{2R}}u$ と $\operatorname*{ess\,inf}_{B_{2R}}u$ はともに有限であり、 $u\in L^\infty(B_{2R})$ である。このとき主張 (1)の右辺の第二項は零であるから、結論を得る。

主張 (3)を示す。系 3.1により $u\in L^\infty(B_{2R})$ である。 $u|_{B_{2R}}$ はデータ $(B_{2R};A,b,c,f)$ の弱解であり、 $R\|b\|_{L^\infty(B_{2R})}\leq M$ であるから、主張 (1)が適用される。主張 (1)の仮定は $R\|b\|_{L^\infty}\leq M$ だけであり $c$ の上界を含まないから、定数 $\theta,C$ は主張のとおりに依存する。▨

補題 3.3. $0<\theta<1$ 、 $A\geq0$ 、 $\gamma>0$ 、 $\rho_0>0$ とし、 $\varepsilon\colon(0,\rho_0]\to[0,\infty)$ は単調非減少で、 $0<r\leq\rho_0/2$ について $\varepsilon(r)\leq\theta\varepsilon(2r)+Ar^\gamma$ を満たすとする。このとき、 $0<\alpha\leq\gamma$ かつ $2^\alpha\theta<1$ を満たすすべての $\alpha$ について、 $0<r\leq\rho_0$ で

\varepsilon(r)\leq C_\alpha\Bigl(\frac r{\rho_0}\Bigr)^\alpha\bigl(\varepsilon(\rho_0)+A\rho_0^\gamma\bigr),\qquad C_\alpha=2^\alpha\max\{1,(1-2^\alpha\theta)^{-1}\}

が成り立つ。

証明. $r_m=2^{-m}\rho_0$ 、 $e_m=\varepsilon(r_m)$ 、 $\Lambda_0=\max\{e_0,A\rho_0^\gamma/(1-2^\alpha\theta)\}$ とおく。 $e_m\leq\Lambda_02^{-m\alpha}$ を $m$ についての帰納法で示す。 $m=0$ では $e_0\leq\Lambda_0$ による。 $e_m\leq\Lambda_02^{-m\alpha}$ ならば、 $\alpha\leq\gamma$ により

e_{m+1}\leq\theta\Lambda_02^{-m\alpha}+A\rho_0^\gamma2^{-(m+1)\gamma}\leq2^{-(m+1)\alpha}\bigl(2^\alpha\theta\Lambda_0+A\rho_0^\gamma\bigr)\leq2^{-(m+1)\alpha}\Lambda_0

である。最後の不等式は $A\rho_0^\gamma\leq(1-2^\alpha\theta)\Lambda_0$ による。 $0<r\leq\rho_0$ に対して $r_{m+1}<r\leq r_m$ を満たす $m\geq0$ をとると、 $\varepsilon$ の単調性により $\varepsilon(r)\leq e_m\leq\Lambda_02^{-m\alpha}=2^\alpha2^{-(m+1)\alpha}\Lambda_0\leq2^\alpha(r/\rho_0)^\alpha\Lambda_0$ である。 $\Lambda_0\leq\max\{1,(1-2^\alpha\theta)^{-1}\}(e_0+A\rho_0^\gamma)$ であるから結論を得る。▨

補題 3.4. $U\subseteq\R^n$ を開集合とし、 $u\in L^1_{\mathrm{loc}}(U)$ の代表を一つ固定する。 $L$ を、 $u(x)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}|B_\varepsilon|^{-1}\int_{B_\varepsilon(x)}u\,dy$ が成り立つ $x\in U$ の全体とする。このとき、次が成り立つ。

$U\setminus L$ は零集合であり、 $L$ は $U$ で稠密である。
$B\subseteq U$ が開集合ならば、すべての $x\in L\cap B$ について $\operatorname*{ess\,inf}_Bu\leq u(x)\leq\operatorname*{ess\,sup}_Bu$ である。したがって $x,y\in L\cap B$ ならば $|u(x)-u(y)|\leq\operatorname*{ess\,osc}_Bu$ である。
$S\subseteq L$ が部分集合で、 $C\geq0$ 、 $0<\alpha\leq1$ について $|u(x)-u(y)|\leq C|x-y|^\alpha$ がすべての $x,y\in S$ で成り立つならば、 $\overline S$ 上の連続関数 $\tilde u$ で、 $S$ 上で $u$ に等しく、 $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C|x-y|^\alpha$ $(x,y\in\overline S)$ を満たすものがただ一つ存在する。

証明.主張 (1)を示す。§E10.45 定理 3.2により $U\setminus L$ は零集合である。開集合 $V\subseteq U$ が空でなければ $|V|>0$ であるから $V\cap L\neq\emptyset$ であり、 $L$ は $U$ で稠密である。

主張 (2)を示す。 $x\in L\cap B$ をとる。十分小さい $\varepsilon$ について $B_\varepsilon(x)\subseteq B$ であり、 $u$ の $B_\varepsilon(x)$ における平均は $\operatorname*{ess\,inf}_Bu$ 以上 $\operatorname*{ess\,sup}_Bu$ 以下である。 $\varepsilon\downarrow0$ で平均は $u(x)$ に収束するから結論を得る。

主張 (3)を示す。 $x\in\overline S$ に対して $S$ の点列 $x_j\to x$ をとると、 $(u(x_j))$ は $|u(x_i)-u(x_j)|\leq C|x_i-x_j|^\alpha$ により Cauchy 列であり、その極限は点列の選び方によらない。この極限を $\tilde u(x)$ とすると、 $\tilde u$ は $S$ 上で $u$ に等しく、Hölder 評価は極限へ移る。連続関数は稠密な部分集合 $S\subseteq\overline S$ 上の値で定まるから、一意性も成り立つ。▨

定理 3.5 (De Giorgi の定理). $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $M\geq0$ とし、 $\theta=\theta(n,\lambda,\Lambda,q,M)\in(0,1)$ を補題 3.2の定数として、 $\alpha_0=\min\{1,\tfrac12\log_2(1/\theta)\}$ とおく。 $x_0\in\R^n$ 、 $R>0$ とし、 $(B_{4R}(x_0);A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータで $R\|b\|_{L^\infty}\leq M$ 、 $R^2\|c\|_{L^\infty}\leq M$ を満たすものとし、 $u$ をその弱解とする。 $\mathcal K=R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R})}+R^{2-n/q}\|f\|_{L^q(B_{4R})}$ とおく。このとき、ほとんど至る所 $\tilde u=u$ を満たす連続関数 $\tilde u\colon B_R(x_0)\to\R$ が存在して、次が成り立つ。

$0<\alpha\leq\min\{\alpha_0,2-n/q\}$ ならば、 $n,\lambda,\Lambda,q,M,\alpha$ のみに依存する定数 $C$ が存在して、 $x,y\in B_R(x_0)$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C(|x-y|/R)^\alpha\mathcal K$ が成り立つ。
$b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ ならば、 $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する $\alpha_*\in(0,1]$ と $C$ が存在して、 $x,y\in B_R(x_0)$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C(|x-y|/R)^{\alpha_*}R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_{4R})}$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。以下、 $C_1,C_2,\dots$ は $n,\lambda,\Lambda,q,M,\alpha$ のみに依存する定数である。 $\gamma=2-n/q$ とおき、 $K=\|u\|_{L^\infty(B_{2R}(x_0))}$ とおく。系 3.1により $K\leq C_1\mathcal K$ である。 $x\in B_R(x_0)$ に対して $\varepsilon_x(r)=\operatorname*{ess\,osc}_{B_r(x)}u$ $(0<r\leq R)$ とおく。 $0<r\leq R/2$ ならば $B_{2r}(x)\subseteq B_{2R}(x_0)$ であり、 $u|_{B_{2r}(x)}$ はデータ $(B_{2r}(x);A,b,c,f)$ の弱解で、 $r\|b\|\leq R\|b\|\leq M$ である。補題 3.2 (1)により

\varepsilon_x(r)\leq\theta\varepsilon_x(2r)+C_2\bigl(r^\gamma\|f\|_{L^q(B_{4R})}+r^2\|c\|_{L^\infty}K\bigr)

である。 $r^2\|c\|_{L^\infty}K\leq r^\gamma R^{n/q}MR^{-2}K=(r/R)^\gamma MK$ であり、 $r^\gamma\|f\|_{L^q}\leq(r/R)^\gamma\mathcal K$ であるから、第二項は $A_1r^\gamma$ 以下である。ここで $A_1=C_2(1+MC_1)R^{-\gamma}\mathcal K$ とおいた。 $0<\alpha\leq\min\{\alpha_0,\gamma\}$ ならば $2^\alpha\theta\leq\theta^{1/2}<1$ であるから、補題 3.3を $\rho_0=R$ に適用して、 $\varepsilon_x(R)\leq2K$ により

\varepsilon_x(r)\leq C_\alpha(r/R)^\alpha\bigl(2K+A_1R^\gamma\bigr)\leq C_3(r/R)^\alpha\mathcal K\qquad(0<r\leq R)

を得る。

$u$ の代表を固定し、 $U=B_{2R}(x_0)$ に対する補題 3.4の $L$ をとり、 $S=L\cap B_R(x_0)$ とおく。 $x,y\in S$ で $s=|x-y|\leq R/2$ ならば、 $x,y\in B_{2s}(x)\subseteq B_{2R}(x_0)$ であるから、補題 3.4 (2)により $|u(x)-u(y)|\leq\varepsilon_x(2s)\leq C_32^\alpha(s/R)^\alpha\mathcal K$ である。 $s>R/2$ ならば、補題 3.4 (2)を $B=B_{2R}(x_0)$ に適用して $|u(x)-u(y)|\leq2K\leq2C_1(2s/R)^\alpha\mathcal K$ である。 $S$ は $B_R(x_0)$ で稠密であるから（補題 3.4 (1)）、補題 3.4 (3)により、 $\overline{B_R(x_0)}$ 上の連続関数で $S$ 上 $u$ に等しく同じ評価を満たすものがある。その $B_R(x_0)$ への制限を $\tilde u$ とする。 $S$ は $B_R(x_0)$ の全測度の部分集合であるから、 $\tilde u=u$ がほとんど至る所で成り立つ。

主張 (2)を示す。 $q=n+1$ 、 $M=0$ ととる。 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ のデータは $R\|b\|=0$ 、 $R^2\|c\|=0$ を満たし、 $\mathcal K=R^{-n/2}\|u\|_{L^2}$ である。 $\theta=\theta(n,\lambda,\Lambda,n+1,0)$ は補題 3.2 (2)により $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存し、 $\alpha_*=\min\{1,\tfrac12\log_2(1/\theta)\}\leq1<2-n/(n+1)$ である。主張 (1)を $\alpha=\alpha_*$ に適用すればよい。▨

定義 4.1 (外部測度密度条件). $\Omega\subseteq\R^n$ を有界開集合、 $0<\kappa\leq1$ 、 $r_0>0$ とする。すべての $x_0\in\partial\Omega$ とすべての $0<r\leq r_0$ について $|B_r(x_0)\setminus\Omega|\geq\kappa|B_r(x_0)|$ が成り立つとき、 $\Omega$ は外部測度密度条件 (exterior measure density condition) を $(\kappa,r_0)$ で満たすという。

命題 4.2. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $M\geq0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,q,M$ のみに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。 $(\Omega;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータとし、 $d_\Omega=\operatorname{diam}\Omega$ について $d_\Omega\|b\|_{L^\infty}\leq M$ 、 $d_\Omega^2\|c\|_{L^\infty}\leq M$ とする。 $u$ をその弱解、 $\varphi\in H^1(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ を $u-\varphi\in H^1_0(\Omega)$ を満たす関数とする。このとき

\|u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C\bigl(d_\Omega^{-n/2}\|u\|_{L^2(\Omega)}+\|\varphi\|_{L^\infty(\Omega)}+d_\Omega^{2-n/q}\|f\|_{L^q(\Omega)}\bigr)

が成り立つ。

証明. $x_1\in\Omega$ をとり、 $\rho=4d_\Omega$ 、 $r=2d_\Omega$ とおく。 $\Omega\subseteq B_r(x_1)$ であり、 $\rho/(\rho-r)=2$ である。 $k_0=\max\{\sup_{\partial\Omega}\varphi,0\}$ とおくと $0\leq k_0\leq\|\varphi\|_{L^\infty}$ である。補題 1.8 (3)により $u$ は $B_\rho(x_1)$ 上で水準 $k_0$ 以上において切断可能である。 $a=\|c\|_{L^\infty}$ 、 $M_0=16M$ 、 $E=1+32\omega_n^{1/q}M$ とおき、 $C_*=C_*(n,\lambda,\Lambda,q,M_0,E,2)$ を補題 2.2の定数として

d=\max\bigl\{k_0,\;\rho^{2-n/q}\|f\|_{L^q(\Omega)},\;C_*\rho^{-n/2}\|u\|_{L^2(\Omega)}\bigr\}

とおく。 $d=0$ ならば $u=0$ であるから、 $d>0$ とする。

$g=|f|+a(k_0+d)$ とおく。 $k\in[k_0,k_0+d]$ と $\{u>k\}$ 上では $0<u=(u-k)+k\leq(u-k)+k_0+d$ であるから、 $|f-cu|\leq g+a(u-k)$ である。 $\rho\|b\|\leq4M\leq M_0$ 、 $a\rho^2=16d_\Omega^2\|c\|\leq M_0$ であり、 $|\Omega|\leq|B_\rho|$ 、 $d\geq k_0$ 、 $d\geq\rho^{2-n/q}\|f\|_{L^q}$ により

\rho^{2-n/q}\|g\|_{L^q(\Omega)}\leq\rho^{2-n/q}\|f\|_{L^q(\Omega)}+\omega_n^{1/q}a\rho^2(k_0+d)\leq(1+32\omega_n^{1/q}M)d=Ed

である。 $\rho^{-n/2}\|(u-k_0)_+\|_{L^2(\Omega)}\leq\rho^{-n/2}\|u\|_{L^2(\Omega)}\leq d/C_*$ であるから、補題 2.2により $\Omega=\Omega\cap B_r(x_1)$ でほとんど至る所 $u\leq k_0+d\leq2\|\varphi\|_{L^\infty}+\rho^{2-n/q}\|f\|_{L^q}+C_*\rho^{-n/2}\|u\|_{L^2}$ である。 $-u$ はデータ $(\Omega;A,b,c,-f)$ の弱解であり、 $u-\varphi$ に対して $(-u)-(-\varphi)\in H^1_0(\Omega)$ であるから、 $-u$ にも同じ評価が成り立つ。 $\rho=4d_\Omega$ を代入すればよい。▨

命題 4.3. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $M_1\geq0$ 、 $0<\kappa\leq1$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,q,M_1,\kappa$ のみに依存する整数 $J\geq1$ が存在して、 $\theta_\partial=1-2^{-J-1}$ について次が成り立つ。 $\Omega$ を外部測度密度条件を $(\kappa,r_0)$ で満たす有界開集合、 $(\Omega;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ、 $u\in L^\infty(\Omega)$ をその弱解とする。 $0<\beta\leq1$ とし、 $\varphi\in H^1(\Omega)\cap C^{0,\beta}(\overline\Omega)$ は $u-\varphi\in H^1_0(\Omega)$ を満たすとする。 $x_0\in\partial\Omega$ 、 $0<r\leq r_0/2$ は $r\|b\|_{L^\infty(\Omega\cap B_{2r})}\leq M_1$ を満たすとし、 $0<s\leq r_0$ に対して $E(s)=\operatorname*{ess\,sup}_{\Omega\cap B_s(x_0)}|u-\varphi(x_0)|$ とおく。このとき

E(r)\leq\theta_\partial E(2r)+[\varphi]_{\beta;\overline\Omega}(2r)^\beta+2^J\Bigl(r^{2-n/q}\|f\|_{L^q(\Omega\cap B_{2r})}+(2^n\omega_n)^{1/q}r^2\|c\|_{L^\infty(\Omega\cap B_{2r})}\|u\|_{L^\infty(\Omega\cap B_{2r})}\Bigr)

が成り立つ。ここで $[\varphi]_{\beta;\overline\Omega}$ は§E15.10 定義 3.1の Hölder 半ノルムである。

証明.命題 2.3の整数 $J$ を $(n,\lambda,\Lambda,q,M_1,m=\kappa)$ に対して定める。 $\varphi_0=\varphi(x_0)$ 、 $\omega_0=[\varphi]_\beta(2r)^\beta$ 、 $k_0=\varphi_0+\omega_0$ とおく。 $x\in\partial\Omega\cap B_{2r}(x_0)$ ならば $\varphi(x)\leq\varphi_0+[\varphi]_\beta|x-x_0|^\beta\leq k_0$ であるから、補題 1.8 (3)により $u$ は $B_{2r}(x_0)$ 上で水準 $k_*=\sup_{\partial\Omega\cap B_{2r}}\varphi\leq k_0$ 以上において切断可能である。 $g=|f|+\|c\|_{L^\infty(\Omega\cap B_{2r})}\|u\|_{L^\infty(\Omega\cap B_{2r})}$ とおくと、 $\Omega\cap B_{2r}$ で $|f-cu|\leq g$ であり、 $t_*=r^{2-n/q}\|g\|_{L^q(\Omega\cap B_{2r})}$ は結論の右辺の括弧の中の量 $T$ 以下である。

$S=\operatorname*{ess\,sup}_{\Omega\cap B_{2r}}u$ とおく。 $S\leq k_0$ ならば、 $\Omega\cap B_r$ でほとんど至る所 $u-\varphi_0\leq\omega_0$ である。 $S>k_0$ とし、 $d_0=S-k_0>0$ とおく。 $d_0\leq S-\varphi_0\leq E(2r)$ である。 $\eta_1\in C_c^\infty(B_{2r})$ を $B_{3r/2}$ 上で $\eta_1=1$ となるようにとり、 $v$ を $(u-k_0)_+\eta_1\in H^1_0(\Omega)$ の零延長（§E15.8 命題 5.2）に定数 $k_0$ を加えた関数の $B_{3r/2}$ への制限とする。 $v\in H^1(B_{3r/2})$ であり、 $\Omega\cap B_{3r/2}$ では $v=\max\{u,k_0\}$ 、 $B_{3r/2}\setminus\Omega$ では $v=k_0$ である。 $h\geq k_0$ ならば $(\max\{u,k_0\}-h)_+=(u-h)_+$ であり、 $(k_0-h)_+=0$ であるから、命題 2.3 条件 (a)が $H=S$ 、 $\delta=d_0$ について成り立つ。 $B_{3r/2}\setminus\Omega\subseteq\{v\leq k_0\}$ であり、 $3r/2\leq r_0$ と外部測度密度条件により $|B_{3r/2}\setminus\Omega|\geq\kappa|B_{3r/2}|$ であるから、命題 2.3 条件 (b)が $m=\kappa$ で成り立つ。

$t_*\leq2^{-J}d_0$ ならば、命題 2.3により $\Omega\cap B_r$ でほとんど至る所 $u\leq S-2^{-J-1}d_0$ であり、 $u-\varphi_0\leq\omega_0+d_0-2^{-J-1}d_0\leq\omega_0+\theta_\partial E(2r)$ である。 $t_*>2^{-J}d_0$ ならば $d_0<2^Jt_*\leq2^JT$ であり、 $u-\varphi_0\leq S-\varphi_0=\omega_0+d_0<\omega_0+2^JT$ である。いずれの場合にも、 $\Omega\cap B_r$ で $u-\varphi_0\leq\theta_\partial E(2r)+\omega_0+2^JT$ である。

$-u$ はデータ $(\Omega;A,b,c,-f)$ の弱解であり、 $(-u)-(-\varphi)\in H^1_0(\Omega)$ 、 $-\varphi\in H^1(\Omega)\cap C^{0,\beta}(\overline\Omega)$ である。 $-u$ と $-\varphi$ に前段を適用すると、 $\Omega\cap B_r$ で $\varphi_0-u\leq\theta_\partial E(2r)+\omega_0+2^JT$ を得る。 $|u-\varphi_0|=\max\{u-\varphi_0,\varphi_0-u\}$ であるから結論を得る。▨

命題 4.4. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $0<\kappa\leq1$ 、 $0<\beta\leq1$ 、 $M\geq0$ とする。このとき、 $n,\lambda,\Lambda,q,\kappa,M$ のみに依存する $\theta_*\in(0,1)$ が存在し、 $\alpha_0=\min\{1,\tfrac12\log_2(1/\theta_*)\}$ とおくと、 $0<\alpha\leq\min\{\alpha_0,\beta,2-n/q\}$ を満たすすべての $\alpha$ について、 $n,\lambda,\Lambda,q,\kappa,M,\beta,\alpha$ のみに依存する定数 $C$ が存在して、次が成り立つ。 $(\Omega;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ、 $u$ をその弱解とし、 $\Omega$ は外部測度密度条件を $(\kappa,r_0)$ で満たし、 $r_0\leq d_\Omega=\operatorname{diam}\Omega$ であるとする。 $d_\Omega\|b\|_{L^\infty}\leq M$ 、 $d_\Omega^2\|c\|_{L^\infty}\leq M$ とし、 $\varphi\in H^1(\Omega)\cap C^{0,\beta}(\overline\Omega)$ は $u-\varphi\in H^1_0(\Omega)$ を満たすとする。 $\mathcal N=d_\Omega^{-n/2}\|u\|_{L^2(\Omega)}+\|\varphi\|_{L^\infty}+d_\Omega^\beta[\varphi]_{\beta;\overline\Omega}+d_\Omega^{2-n/q}\|f\|_{L^q(\Omega)}$ とおく。このとき、ほとんど至る所 $\tilde u=u$ を満たす連続関数 $\tilde u\colon\overline\Omega\to\R$ が存在して、 $\partial\Omega$ 上で $\tilde u=\varphi$ であり、 $\sup_{\overline\Omega}|\tilde u|\leq C\mathcal N$ 、かつすべての $x,y\in\overline\Omega$ について $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C(|x-y|/r_0)^\alpha\mathcal N$ が成り立つ。

証明. $\theta_i=\theta(n,\lambda,\Lambda,q,M)$ を補題 3.2の定数、 $\theta_\partial=\theta_\partial(n,\lambda,\Lambda,q,M,\kappa)$ を命題 4.3の $M_1=M$ に対する定数とし、 $\theta_*=\max\{\theta_i,\theta_\partial\}$ とおく。 $\alpha\leq\alpha_0$ ならば $2^\alpha\theta_*\leq\theta_*^{1/2}<1$ である。 $\gamma_1=\min\{\beta,2-n/q\}$ 、 $\gamma_2=2-n/q$ とおく。以下、 $C_1,C_2,\dots$ は許された量のみに依存する定数である。

命題 4.2により $K_0=\|u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C_1\mathcal N$ である。

$x_0\in\partial\Omega$ と、 $E(s)=\operatorname*{ess\,sup}_{\Omega\cap B_s(x_0)}|u-\varphi(x_0)|$ $(0<s\leq r_0)$ をとる。 $0<r\leq r_0/2$ ならば $r\|b\|_{L^\infty}\leq d_\Omega\|b\|_{L^\infty}/2\leq M$ であるから、命題 4.3により $E(r)\leq\theta_\partial E(2r)+A_\partial r^{\gamma_1}$ である。ここで、 $r\leq r_0\leq d_\Omega$ と $\|c\|_{L^\infty}\leq Md_\Omega^{-2}$ により、

A_\partial=2[\varphi]_\beta r_0^{\beta-\gamma_1}+2^J\bigl(r_0^{2-n/q-\gamma_1}\|f\|_{L^q}+(2^n\omega_n)^{1/q}r_0^{2-\gamma_1}\|c\|_{L^\infty}K_0\bigr)

とおけばよく、 $A_\partial r_0^{\gamma_1}\leq C_2\mathcal N$ である。 $E$ は単調非減少であり、 $E(r_0)\leq K_0+\|\varphi\|_{L^\infty}\leq C_3\mathcal N$ であるから、補題 3.3により

E(s)\leq C_4(s/r_0)^\alpha\mathcal N\qquad(0<s\leq r_0)

\text{(4.4.1)}

を得る。

$x\in\Omega$ と $\rho_x=\min\{\operatorname{dist}(x,\partial\Omega),r_0/2\}$ をとり、 $\varepsilon_x(s)=\operatorname*{ess\,osc}_{B_s(x)}u$ $(0<s\leq\rho_x)$ とおく。 $0<s\leq\rho_x/2$ ならば $B_{2s}(x)\subseteq\Omega$ であり、補題 3.2 (1)により $\varepsilon_x(s)\leq\theta_i\varepsilon_x(2s)+A_is^{\gamma_2}$ である。ここで $s^2\leq s^{\gamma_2}d_\Omega^{n/q}$ と $\|c\|_{L^\infty}\leq Md_\Omega^{-2}$ により $A_i=C_5(\|f\|_{L^q}+d_\Omega^{-\gamma_2}K_0)$ とおけばよく、 $A_id_\Omega^{\gamma_2}\leq C_6\mathcal N$ である。補題 3.3により

\varepsilon_x(s)\leq C_7(s/\rho_x)^\alpha\bigl(\varepsilon_x(\rho_x)+A_i\rho_x^{\gamma_2}\bigr)\qquad(0<s\leq\rho_x)

\text{(4.4.2)}

を得る。

$u$ の代表を固定し、 $U=\Omega$ と補題 3.4の $L$ をとる。 $x,y\in L$ をとり $s=|x-y|$ とおく。 $\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)=d_x$ とし、 $\hat x\in\partial\Omega$ を $|x-\hat x|=d_x$ を満たす点とする。

$s>r_0/6$ ならば、補題 3.4 (2)により $|u(x)-u(y)|\leq2K_0\leq2(6s/r_0)^\alpha K_0$ である。

$s\leq r_0/6$ かつ $s\geq d_x/2$ ならば、 $d_x\leq2s$ であり、 $|y-\hat x|\leq s+d_x\leq3s$ であるから $x,y\in B_{4s}(\hat x)\cap\Omega$ であり、 $4s<r_0$ である。補題 3.4 (2)を $u-\varphi(\hat x)$ と $B=\Omega\cap B_{4s}(\hat x)$ に適用すると、式 (4.4.1)により $|u(x)-u(y)|\leq2E_{\hat x}(4s)\leq2C_4(4s/r_0)^\alpha\mathcal N$ である。ここで $E_{\hat x}$ は $x_0=\hat x$ に対する $E$ である。

$s\leq r_0/6$ かつ $s<d_x/2$ ならば、 $2s<\rho_x$ であり、 $x,y\in B_{2s}(x)\subseteq\Omega$ であるから、補題 3.4 (2)と式 (4.4.2)により $|u(x)-u(y)|\leq\varepsilon_x(2s)\leq C_7(2s/\rho_x)^\alpha(\varepsilon_x(\rho_x)+A_i\rho_x^{\gamma_2})$ である。 $\rho_x=r_0/2$ ならば $\varepsilon_x(\rho_x)\leq2K_0$ であり、 $A_i\rho_x^{\gamma_2}\leq A_id_\Omega^{\gamma_2}$ であるから、 $|u(x)-u(y)|\leq C_8(s/r_0)^\alpha\mathcal N$ である。 $\rho_x=d_x<r_0/2$ ならば、 $B_{d_x}(x)\subseteq B_{2d_x}(\hat x)\cap\Omega$ であり、 $B_{d_x}(x)$ でほとんど至る所 $|u-\varphi(\hat x)|\leq E_{\hat x}(2d_x)$ が成り立つから、 $\varepsilon_x(d_x)\leq2E_{\hat x}(2d_x)\leq2C_4(2d_x/r_0)^\alpha\mathcal N$ である。また、 $\gamma_2\geq\alpha$ と $r_0\leq d_\Omega$ により $A_id_x^{\gamma_2}=A_id_x^{\gamma_2-\alpha}d_x^\alpha\leq A_ir_0^{\gamma_2}(d_x/r_0)^\alpha\leq C_6(d_x/r_0)^\alpha\mathcal N$ である。したがって

|u(x)-u(y)|\leq C_7\Bigl(\frac{2s}{d_x}\Bigr)^\alpha\Bigl(2C_4\Bigl(\frac{2d_x}{r_0}\Bigr)^\alpha+C_6\Bigl(\frac{d_x}{r_0}\Bigr)^\alpha\Bigr)\mathcal N\leq C_8\Bigl(\frac s{r_0}\Bigr)^\alpha\mathcal N

を得る。

$s>r_0/6$ 、 $s\leq r_0/6$ かつ $s\geq d_x/2$ 、 $s\leq r_0/6$ かつ $s<d_x/2$ のいずれの場合にも、すべての $x,y\in L$ について $|u(x)-u(y)|\leq C_9(|x-y|/r_0)^\alpha\mathcal N$ が成り立つ。 $L$ は $\Omega$ で稠密であり $\overline L=\overline\Omega$ であるから、補題 3.4 (3)を $S=L$ に適用すると、 $\overline\Omega$ 上の連続関数 $\tilde u$ で $L$ 上 $u$ に等しく同じ評価を満たすものがある。補題 3.4 (1)により $\tilde u=u$ はほとんど至る所で成り立ち、補題 3.4 (2)により $|\tilde u|\leq K_0\leq C_1\mathcal N$ である。 $\hat x\in\partial\Omega$ と $x\in L\cap B_s(\hat x)$ について、補題 3.4 (2)を $u-\varphi(\hat x)$ に適用して $|u(x)-\varphi(\hat x)|\leq E_{\hat x}(s)$ を得るから、式 (4.4.1)により $s\downarrow0$ で $\tilde u(\hat x)=\lim_{L\ni x\to\hat x}u(x)=\varphi(\hat x)$ である。▨

定理 4.5. $n\geq1$ を整数、 $0<\lambda\leq\Lambda$ 、 $q$ を許容指数、 $0<\kappa\leq1$ 、 $r_0>0$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を外部測度密度条件を $(\kappa,r_0)$ で満たす空でない有界開集合とする。 $(\Omega;A,b,c,f)$ を $(\lambda,\Lambda,q)$ 型のデータ、 $u$ をその弱解とし、 $0<\beta\leq1$ と $\varphi\in H^1(\Omega)\cap C^{0,\beta}(\overline\Omega)$ について $u-\varphi\in H^1_0(\Omega)$ であるとする。このとき、 $u$ は境界値 $\varphi$ を取る Hölder 連続な代表をもつ。すなわち、ほとんど至る所 $\tilde u=u$ を満たす $\tilde u\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$ がある指数 $\alpha\in(0,1]$ について存在し、 $\partial\Omega$ 上で $\tilde u=\varphi$ である。

証明. $d_\Omega=\operatorname{diam}\Omega$ とおく。外部測度密度条件は半径の縮小で保たれるから、 $r_0$ を $\min\{r_0,d_\Omega\}$ に置き換えて $r_0\leq d_\Omega$ としてよい。 $M=\max\{d_\Omega\|b\|_{L^\infty},d_\Omega^2\|c\|_{L^\infty}\}$ とおく。命題 4.4の $\alpha_0$ について $\alpha=\min\{\alpha_0,\beta,2-n/q\}\in(0,1]$ とおくと、命題 4.4により、 $\overline\Omega$ 上の連続関数 $\tilde u$ で、 $\tilde u=u$ がほとんど至る所で成り立ち、 $\partial\Omega$ 上で $\tilde u=\varphi$ であり、 $|\tilde u(x)-\tilde u(y)|\leq C(|x-y|/r_0)^\alpha\mathcal N$ を満たすものがある。 $\tilde u$ は有界であるから、 $\tilde u\in C^{0,\alpha}(\overline\Omega)$ である。▨

系 4.6.定理 4.5の仮定のもとで、 $d_\Omega=\operatorname{diam}\Omega$ 、 $\bar r_0=\min\{r_0,d_\Omega\}$ とし、 $M_0\geq0$ は $r_0\|b\|_{L^\infty}\leq M_0$ と $r_0^2\|c\|_{L^\infty}\leq M_0$ を満たすとする。 $\theta_*$ を命題 4.4の $M=(d_\Omega/\bar r_0)^2M_0$ に対する定数とし、 $\alpha_0=\min\{1,\tfrac12\log_2(1/\theta_*)\}$ とおく。このとき、 $0<\alpha\leq\min\{\alpha_0,\beta,2-n/q\}$ ならば、 $n,\lambda,\Lambda,\kappa,q,\beta,\alpha,d_\Omega,r_0,M_0$ のみに依存する定数 $C$ が存在して

\|\tilde u\|_{C^{0,\alpha}(\overline\Omega)}\leq C\bigl(\|u\|_{L^2(\Omega)}+\|\varphi\|_{C^{0,\beta}(\overline\Omega)}+\|f\|_{L^q(\Omega)}\bigr)

が成り立つ。ここで $\tilde u$ は定理 4.5の代表である。

証明. $\bar r_0\leq r_0$ であるから、外部測度密度条件は $(\kappa,\bar r_0)$ でも成り立ち、 $\bar r_0\|b\|_{L^\infty}\leq M_0$ 、 $\bar r_0^2\|c\|_{L^\infty}\leq M_0$ である。また $\bar r_0\leq d_\Omega$ である。 $d_\Omega\|b\|_{L^\infty}\leq(d_\Omega/\bar r_0)M_0\leq M$ 、 $d_\Omega^2\|c\|_{L^\infty}\leq(d_\Omega/\bar r_0)^2M_0=M$ であるから、命題 4.4が $r_0$ を $\bar r_0$ として $M$ に対して適用される。 $\mathcal N\leq\max\{d_\Omega^{-n/2},1,d_\Omega^\beta,d_\Omega^{2-n/q}\}\bigl(\|u\|_{L^2}+\|\varphi\|_{C^{0,\beta}}+\|f\|_{L^q}\bigr)$ であり、命題 4.4により $\|\tilde u\|_{C^{0,\alpha}}=\sup|\tilde u|+[\tilde u]_{\alpha;\overline\Omega}\leq C(1+\bar r_0^{-\alpha})\mathcal N$ である。ここで命題 4.4の $\tilde u$ は、定理 4.5の代表と一致する。実際、ともに $\overline\Omega$ 上の連続関数であり、 $\Omega$ 上でほとんど至る所 $u$ に等しい。零集合の補集合は $\Omega$ で稠密であるから、両者は $\Omega$ 上で一致し、 $\Omega$ が $\overline\Omega$ で稠密であることから $\overline\Omega$ 上で一致する。▨

注意 4.7.§E15.39 系 7.4では、Moser の反復による非負弱解の Harnack 不等式から、定理 3.5と同じ形の内部 Hölder 評価が導かれる。そこでは $b=c=f=0$ の場合の Harnack 不等式の定数 $C_H^0(n,\lambda,\Lambda)$ から $\theta_0=(C_H^0-1)/(C_H^0+1)$ と $\alpha_0=\min\{1,\log_2(1/\theta_0)\}$ が定まり、純粋な場合の指数は $\alpha_0$ であり、低階項と $L^q$ の外力がある場合の指数も $\alpha<\min\{\alpha_0,2-n/q,1\}$ を満たす任意の $\alpha$ である。一方、定理 3.5の証明は Harnack 不等式も弱 Harnack 不等式も用いず、指数の上限 $\min\{1,\tfrac12\log_2(1/\theta)\}$ は補題 3.2の減衰率 $\theta$ から定まる。この $\theta$ は低階項の尺度 $M$ に依存する形で得られ、 $b=c=f=0$ の場合には $q=n+1$ 、 $M=0$ ととることによって $n,\lambda,\Lambda$ のみに依存する。補題 3.2の証明では、 $u$ の符号を仮定せず、 $B_{2R}$ における本質的上限 $m_+$ と本質的振動 $\omega$ について水準 $m_+-2^{-j-1}\omega$ $(j=0,1,\dots,J)$ を順にとる。上方の水準集合の測度は $J^{-1/2}$ に比例する上界まで小さくなり、上限が $2^{-J-2}\omega$ だけ下がるので、減衰率 $\theta=1-2^{-J-2}$ が得られる。境界では、水準以下の集合の測度の下界として、零延長した切断関数が零である外部の集合の測度が使われるので、同じ証明が境界の評価（命題 4.3）に延びる。

例 5.1. $n\geq2$ とし、 $\Omega\subseteq\R^n$ を Lipschitz 開集合（§E15.9 定義 1.1）とする。このとき、 $\Omega$ は外部測度密度条件をある $(\kappa,r_0)$ で満たす。

まず、各 $x_1\in\partial\Omega$ に対して、 $r_1>0$ 、 $L_1\geq0$ 、座標軸の剛体運動で定まる座標 $x=(x',x_n)$ 、 $L_1$ -Lipschitz 関数 $\gamma\colon\R^{n-1}\to\R$ が存在して $\Omega\cap B_{r_1}(x_1)=\{x\in B_{r_1}(x_1):x_n>\gamma(x')\}$ であることを示す。§E15.9 定義 1.1の座標で、開直方体 $B\subseteq\R^{n-1}$ 、 $h>0$ 、Lipschitz 関数 $\varphi\colon B\to\R$ について、 $x_1\in U=\{(y',\varphi(y')+t):y'\in B,\ |t|<h\}$ であり $\Omega\cap U=\{(y',\varphi(y')+t):y'\in B,\ 0<t<h\}$ である。 $U$ は開集合であり、 $U$ の点で $t<0$ のものは $\Omega$ と交わらない近傍をもつから、 $x_1\in\partial\Omega$ の $t$ は $0$ である。 $B_{r_1}(x_1)\subseteq U$ となる $r_1>0$ をとり、 $L_1$ を $\varphi$ の Lipschitz 定数とし、 $\gamma$ を $\gamma(x')=\inf_{y'\in B}\{\varphi(y')+L_1|x'-y'|\}$ で定める。 $\gamma$ は $\R^{n-1}$ 上の $L_1$ -Lipschitz 関数であり、 $B$ 上で $\varphi$ に等しい。 $x\in B_{r_1}(x_1)$ について $x'\in B$ であり、 $x\in\Omega$ と $x_n>\varphi(x')=\gamma(x')$ は同値であるから、局所表示を得る。

この局所表示を用いる。コンパクト集合 $\partial\Omega$ を有限個の球 $B_{r_i/2}(x_i)$ $(1\leq i\leq N)$ で覆い、 $r_0=\min_ir_i/2$ 、 $L=\max_iL_i$ 、 $\kappa=(2\sqrt{1+L^2})^{-n}$ とおく。 $x_0\in\partial\Omega$ と $0<r\leq r_0$ に対して、 $x_0\in B_{r_i/2}(x_i)$ を満たす $i$ をとる。 $B_r(x_0)\subseteq B_{r_i}(x_i)$ であり、 $\Omega$ は開集合であるから $x_0\notin\Omega$ である。 $x_0\in B_{r_i}(x_i)$ であるから、 $i$ に対応する座標で $x_{0,n}\leq\gamma(x_0')$ である。また $x_0$ は $\Omega\cap B_{r_i}(x_i)=\{x_n>\gamma(x')\}\cap B_{r_i}(x_i)$ の点列の極限であるから $x_{0,n}\geq\gamma(x_0')$ であり、 $x_{0,n}=\gamma(x_0')$ である。 $y\in B_r(x_0)$ が $y_n<x_{0,n}-L|y'-x_0'|$ を満たすならば、 $y_n<\gamma(x_0')-L|y'-x_0'|\leq\gamma(y')$ であるから $y\notin\Omega$ である。球 $B_{r'}(x_0-\tfrac r2e_n)$ 、 $r'=r/(2\sqrt{1+L^2})$ の点 $y=x_0-\tfrac r2e_n+z$ $(|z|<r')$ は、 $z_n+L|z'|\leq\sqrt{1+L^2}|z|<r/2$ により $y_n-x_{0,n}=-r/2+z_n<-L|z'|=-L|y'-x_0'|$ を満たし、 $|y-x_0|<r/2+r'\leq r$ であるから、この球は $B_r(x_0)\setminus\Omega$ に含まれる。したがって $|B_r(x_0)\setminus\Omega|\geq|B_{r'}|=\kappa|B_r|$ である。

例 5.2. $\Omega=B_1(0)\setminus\{0\}\subseteq\R^2$ とし、 $A=I$ 、 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ とする。このとき、原点では $|B_r(0)\setminus\Omega|=0$ であり、外部測度密度条件は原点で成り立たない。 $\chi\in C_c^\infty(B_1(0))$ を $B_{1/2}(0)$ 上で $\chi=1$ となるようにとり、 $\varphi=1-\chi$ とおく。 $\varphi\in C^\infty(\overline\Omega)$ であり、 $\varphi(0)=0$ である。定数関数 $u=1$ はデータ $(\Omega;I,0,0,0)$ の弱解であり、 $u-\varphi=\chi$ である。

$\chi\in H^1_0(\Omega)$ である。実際、 $\psi\in C^\infty(\R)$ を単調非減少で $t\leq0$ のとき $\psi(t)=0$ 、 $t\geq1$ のとき $\psi(t)=1$ となるようにとり、 $0<\varepsilon<1/2$ に対して $\psi_\varepsilon(x)=\psi\bigl(2+\log|x|/\log(1/\varepsilon)\bigr)$ とおく。 $\psi_\varepsilon$ は $|x|\leq\varepsilon^2$ で零、 $|x|\geq\varepsilon$ で $1$ であり、 $\chi\psi_\varepsilon\in C_c^\infty(\Omega)$ である。 $|D\psi_\varepsilon|\leq\|\psi'\|_\infty/(|x|\log(1/\varepsilon))$ は $\varepsilon^2\leq|x|\leq\varepsilon$ の外で零であるから、

\int|D\psi_\varepsilon|^2dx\leq\frac{2\pi\|\psi'\|_\infty^2}{\log^2(1/\varepsilon)}\int_{\varepsilon^2}^\varepsilon\frac{dr}r=\frac{2\pi\|\psi'\|_\infty^2}{\log(1/\varepsilon)}\to0

である。 $\psi_\varepsilon-1$ は $|x|\geq\varepsilon$ で零であるから、 $\|\chi\psi_\varepsilon-\chi\|_{L^2}\leq\|\chi\|_\infty|B_\varepsilon|^{1/2}\to0$ であり、 $D(\chi\psi_\varepsilon-\chi)=(\psi_\varepsilon-1)D\chi+\chi D\psi_\varepsilon$ について $\|(\psi_\varepsilon-1)D\chi\|_{L^2}\leq\|D\chi\|_\infty|B_\varepsilon|^{1/2}\to0$ 、 $\|\chi D\psi_\varepsilon\|_{L^2}\to0$ であるから、 $\chi\psi_\varepsilon\to\chi$ が $H^1(\Omega)$ で成り立つ。

$\varphi\in H^1(\Omega)\cap C^{0,1}(\overline\Omega)$ であり、 $u-\varphi\in H^1_0(\Omega)$ である。 $u=1$ であるから、 $u$ のどの代表も、 $\overline\Omega$ 上の連続関数ならば $\Omega$ 上で恒等的に $1$ であり、 $0\in\overline\Omega$ でも値 $1$ をとる。しかし $\varphi(0)=0$ であるから、定理 4.5の結論は、外部測度密度条件が原点で成り立たないこの例では成り立たない。

例 5.3. $n=2$ とし、 $0<\gamma<1$ に対して、極座標 $x=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ の単位ベクトル $e_r=x/|x|$ 、 $e_\theta=(-x_2,x_1)/|x|$ を用い、 $x\neq0$ で $A(x)=e_r\otimes e_r+\gamma^2e_\theta\otimes e_\theta$ 、 $A(0)=I$ とおく。このとき、 $\xi\cdot A(x)\xi=(\xi\cdot e_r)^2+\gamma^2(\xi\cdot e_\theta)^2$ であるから、 $A$ は有界可測で $\gamma^2|\xi|^2\leq\xi\cdot A(x)\xi$ 、 $|A(x)\xi|\leq|\xi|$ を満たす。すなわち $\lambda=\gamma^2$ 、 $\Lambda=1$ である。 $u(x)=r^\gamma\cos\theta=|x|^{\gamma-1}x_1$ $(x\neq0)$ 、 $u(0)=0$ とおく。このとき、 $u$ はデータ $(B_1(0);A,0,0,0)$ の弱解であり、 $\alpha>\gamma$ のどの指数についても原点で $C^{0,\alpha}$ に属さない。

$u$ は $x\neq0$ で $C^\infty$ であり、 $|u|\leq r^\gamma$ 、 $Du=\gamma r^{\gamma-1}\cos\theta\,e_r-r^{\gamma-1}\sin\theta\,e_\theta$ であるから、 $|Du|\leq r^{\gamma-1}$ であり、 $\int_{B_1}|Du|^2dx\leq2\pi\int_0^1r^{2\gamma-1}dr=\pi/\gamma<\infty$ である。 $\varphi\in C_c^\infty(B_1)$ と $0<\varepsilon<1$ に対し、 $\{|x|>\varepsilon\}$ で部分積分すると、境界項は $\bigl|\int_{|x|=\varepsilon}u\varphi\nu_i\,dS\bigr|\leq2\pi\varepsilon^{1+\gamma}\|\varphi\|_\infty\to0$ であるから、 $u$ の弱微分は $x\neq0$ での古典的な導関数であり、 $u\in H^1(B_1)$ である。

極座標で $Dv=v_re_r+r^{-1}v_\theta e_\theta$ であるから、 $\varphi\in C_c^\infty(B_1)$ について $A\,Du\cdot D\varphi=u_r\varphi_r+\gamma^2r^{-2}u_\theta\varphi_\theta$ であり、 $u_r=\gamma r^{\gamma-1}\cos\theta$ 、 $u_\theta=-r^\gamma\sin\theta$ により

\int_{\{|x|>\varepsilon\}}A\,Du\cdot D\varphi\,dx=\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\bigl(\gamma r^\gamma\cos\theta\,\varphi_r-\gamma^2r^{\gamma-1}\sin\theta\,\varphi_\theta\bigr)\,dr\,d\theta

である。第二項の $\theta$ についての積分は、部分積分により $\int_0^{2\pi}\gamma^2r^{\gamma-1}\cos\theta\,\varphi\,d\theta$ に等しい。第一項の $r$ についての積分は、部分積分により $-\gamma\varepsilon^\gamma\cos\theta\,\varphi(\varepsilon,\theta)-\int_\varepsilon^1\gamma^2r^{\gamma-1}\cos\theta\,\varphi\,dr$ に等しい。ここで $\varphi(1,\theta)=0$ を用いた。したがって右辺は $-\gamma\varepsilon^\gamma\int_0^{2\pi}\cos\theta\,\varphi(\varepsilon,\theta)\,d\theta$ に等しく、その絶対値は $2\pi\gamma\varepsilon^\gamma\|\varphi\|_\infty$ 以下である。 $|A\,Du||D\varphi|\in L^1(B_1)$ であるから、 $\varepsilon\downarrow0$ として $\int_{B_1}A\,Du\cdot D\varphi\,dx=0$ を得る。 $b=0$ 、 $c=0$ 、 $f=0$ であるから、 $u$ は弱解である。

$u$ は $B_1(0)$ 上で連続であり、 $B_1(0)$ 上で $u$ とほとんど至る所等しい連続関数は $u$ 自身であるから、 $u(t,0)-u(0)=t^\gamma$ $(t>0)$ により、 $u$ はどの $\alpha>\gamma$ についても原点で $C^{0,\alpha}$ に属さない。 $u$ は $R=1/4$ に対するデータ $(B_1(0);A,0,0,0)$ の弱解であるから、定理 3.5 (2)の指数 $\alpha_*(2,\lambda,\Lambda)$ は $(\lambda,\Lambda)=(\gamma^2,1)$ に対して $\gamma$ 以下でなければならない。すなわち $0<\lambda<1$ について $\alpha_*(2,\lambda,1)\leq\sqrt\lambda$ であり、 $\Lambda=1$ を固定して $\lambda\downarrow0$ とすると、この指数は $0$ に収束する。

注意 5.4. ベクトル値の楕円型の連立系 $-\operatorname{div}(A\,Du)=0$ では、有界可測で一様楕円な係数に対して、定理 3.5の内部 Hölder 連続性は成り立たない。 $n\geq3$ のとき、原点で不連続な $H^1$ 弱解をもつ例が De Giorgi（1968）により与えられている。本記事の証明は、スカラー関数 $u$ の切断 $(u-k)_+$ に切断関数の平方を掛けたものを方程式の試験関数に用いることに依存している。連立系の第 $i$ 成分の切断に切断関数の平方を掛けたものを試験関数に用いると、ほかの成分の勾配を含む項が残り、補題 1.9の形の不等式が得られない。ここでは例の構成を証明しない。

§E15.40De Giorgi の振動評価

1 弱解と水準切断

2 水準集合の反復

3 内部の振動減衰と Hölder 連続性

4 境界の測度密度と Hölder 連続性

5 境界の条件と楕円性に関する例

前提記事