§E15.36Schauder の内部評価

証明.$x=x_0+A^{1/2}y$と変換すると、$H(y)=h(x_0+A^{1/2}y)$は楕円体$A^{-1/2}B_r(0)$上で弱い意味で調和的である。$H\in H^1_{\mathrm{loc}}$は$-\Delta H=0$を満たすので、§E15.22 系 3.2により滑らかな代表をもつ。したがって$h$も球の内部で滑らかな代表をもつ。

$x\in B_{r/2}(x_0)$の像を中心とする半径$r/(2\sqrt\Lambda)$の球は変換後の楕円体に含まれる。各$|\beta|=m$と任意の定数$q$に対して、$(D^\beta h-q)\circ(x_0+A^{1/2}\,\cdot)$も調和的である。§E15.30 命題 1.5と変数変換から

を得る。$q=(D^\beta h)_{x_0,r}$とし、$x,y\in B_\rho(x_0)$を結ぶ線分上で積分すると

$y$について平均し、$x$について二乗積分して、有限個の成分を足し合わせると結論を得る。▨

証明.$\Phi(\rho)=\int_{B_\rho(x_0)}|D^2w-(D^2w)_{x_0,\rho}|^2$とおく。平均は二乗誤差を最小にするので、$0<\rho\leq r\leq s$に対して

であり、$\Phi$は非減少である。

$0<r\leq s$を固定する。$H^1_0(B_r(x_0))$上では、零延長した関数を座標方向に積分することにより$\|\varphi\|_2\leq2r\|D\varphi\|_2$となる。したがって$\int AD\varphi\cdot D\psi$は$H^1_0(B_r(x_0))$上で強圧的であり、§E15.16 定理 2.2によって

の弱解が存在する。弱形式で$v$を試験関数にすると

球を単位球へ変換して§E15.23 定理 2.1を用いると

$h=w-v\in H^2(B_r(x_0))$はほとんどいたるところで$A:D^2h=0$を満たし、部分積分によって弱い意味でもこの方程式を満たす。平均が二乗誤差を最小にすることと補題 1.1の$m=2$の場合から、$0<\rho\leq r/2$に対して

を得る。ここで$\int_{B_r(x_0)}|D^2h-(D^2h)_{x_0,r}|^2\leq2\Phi(r)+2\int_{B_r(x_0)}|D^2v|^2$を用いた。$r/2<\rho\leq r$では$\Phi(\rho)\leq\Phi(r)\leq2^{n+2}(\rho/r)^{n+2}\Phi(r)$であるから、定数を大きくすると同じ評価がすべての$0<\rho\leq r\leq s$で成り立つ。§E15.35 補題 4.1を$R=s$、$a=n+2$、$b=n+2\alpha$、$B=CK^2$として用い、$r=s$とすると結論を得る。▨

証明.$\mathcal P_m$を$\R^n$上の次数$m$以下の実多項式の空間とする。$\psi\in C_c^\infty(B_1)$を、$\psi\geq0$であり$B_{1/2}$上で$\psi>0$となるように取る。$B_{1/2}$上で零となる多項式は零であるから、$(P,P')\mapsto\int\psi PP'$は$\mathcal P_m$上の内積であり、単項式$y^\gamma$（$|\gamma|\leq m$）の Gram 行列$G=\bigl(\int\psi y^\gamma y^\delta\,dy\bigr)_{\gamma,\delta}$は正定値で可逆である。$|\beta|\leq m$に対して

とおく。$|\delta|\leq m$に対して$\int\kappa_\beta y^\delta=\beta!\sum_\gamma(G^{-1})_{\beta\gamma}G_{\gamma\delta}=\beta!\,\delta_{\beta\delta}$であるから、すべての$P\in\mathcal P_m$に対して$\int\kappa_\beta P=D^\beta P(0)$が成り立つ。$\kappa_\beta$は$B_1$に台をもつ有界関数であり、$n,m$だけで定まる。

$s<t$、$0<h<(t-s)/2$、$x\in B_s$とし、$T_x$を$u$の$x$における次数$m$の Taylor 多項式とする。$\kappa_{\beta,h}(y)=h^{-n-|\beta|}\kappa_\beta((y-x)/h)$とおくと、変数変換により、すべての$P\in\mathcal P_m$に対して$\int\kappa_{\beta,h}P=D^\beta P(x)$である。$B_h(x)\subseteq B_t$であり、積分形の剰余により$|u(y)-T_x(y)|\leq C|y-x|^{m+\alpha}[D^mu]_{\alpha;B_t}$（$y\in B_h(x)$）である。$p'$を$p$の共役指数とすると$\|\kappa_{\beta,h}\|_{L^{p'}}=h^{-|\beta|-n/p}\|\kappa_\beta\|_{L^{p'}}$、$\|\kappa_{\beta,h}\|_{L^1}=h^{-|\beta|}\|\kappa_\beta\|_{L^1}$である。ここで$n/p=0$と解釈するのは$p=\infty$の場合である。

の右辺の第一項を Hölder の不等式で、第二項を剰余の評価で抑えると、$0\leq j\leq m$に対して

を得る。

$H(s)=\|u\|_{C^{m,\alpha}(B_s)}$、$M=\|u\|_{L^p(B_1)}+F$とおく。$1/2\leq s<t\leq3/4$とし、$t'=(s+t)/2$とする。仮定を$s<t'$に用いると

である。導関数の評価を$t'<t$と$0<h<(t-s)/4$、$h\leq1$に用いると、$h^{m+\alpha-j}\leq h^\alpha$であるから

である。$K\geq1$、$t-s\leq1$であるから$1\leq K(t-s)^{-q}$であり、$F\leq M\leq h^{-m-n/p}M$であるから

を得る。$h=c(t-s)^{1+q/\alpha}$とし、$0<c<1/4$を$CKc^\alpha\leq1/2$となるように$n,m,\alpha,p,K,q$だけから定める。このとき$h<(t-s)/4$であり、$CK(t-s)^{-q}h^\alpha\leq1/2$である。したがって、$N=q+(1+q/\alpha)(m+n/p)$に対して

となる。$H$は非減少であり、$u\in C^{m,\alpha}_{\mathrm{loc}}(B_1)$であるから$H(3/4)<\infty$である。したがって$H$は$[1/2,3/4]$上で有界である。§E15.35 補題 4.2を$\theta=1/2$、$q=N$、$P=CM$、$Q=0$として用いると$H(1/2)\leq C4^NM$となり、結論を得る。▨

証明.$B_{2s}(z_0)\Subset B_{2R}(x_0)$を固定し、$z\in\overline{B_s(z_0)}$とする。

とおくと、$A:D^2q_z=f(z)$である。$\overline{B_s(z)}\subseteq\overline{B_{2s}(z_0)}\subset B_{2R}(x_0)$であるから、$w=u-q_z$は$H^2(B_s(z))$に属し、$B_s(z)$上で

を満たす。$D^2q_z$は定数であるから、

は$D^2w$について同じ式で定めた量に等しい。$\Phi_z(s)\leq Cs^n\|D^2u\|_{L^\infty(B_{2s}(z_0))}^2$であるから、補題 1.2を半径$s$、$K=[f]_{\alpha;B_{2s}(z_0)}$として用いると、$0<\rho\leq s$に対して

を得る。$D^2u$の成分$H$をとり、$B_2$上で$H_s(y)=H(z_0+sy)$とおく。$y\in\overline{B_1}$、$0<r\leq1$に対して、変数変換と上の評価を$z=z_0+sy$、$\rho=sr$に用いると

である。$H_s$は$\overline{B_2}$上で連続なので$L^2(B_2)$に属する。上の平均振動の評価はすべての$y\in\overline{B_1}$と$0<r\leq1$について成り立つ。§E15.35 補題 5.3 (3)を中心$0$、$R=r_0=1$、$M=N_s$として適用すると、$H_s|_{B_1}$は$\overline{B_1}$上の Hölder 連続代表をもち、その半ノルムは$C_{n,\alpha}N_s^{1/2}$以下である。$H_s$自身が$\overline{B_1}$上で連続なので、その代表に一致する。平行移動と§E15.35 命題 1.9により$[H_s]_{\alpha;B_1}=s^\alpha[H]_{\alpha;B_s(z_0)}$である。$C_{n,\alpha}$は$n,\alpha$だけに依存し、$N_s$の定数は$n,\alpha,\lambda,\Lambda$だけに依存する。成分について加えると、$D^2u$は$B_s(z_0)$上で$\alpha$-Hölder 連続であり、

が成り立つ。ここで$C$は$n,\alpha,\lambda,\Lambda$だけに依存する。

$U(y)=u(x_0+Ry)$、$f_R(y)=R^2f(x_0+Ry)$とおくと、$U$は$B_2$上で$A:D^2U=f_R$を満たす。$1/2\leq s<t\leq3/4$とし、$\sigma=(t-s)/4$とする。$x\in B_s$に対して$\overline{B_{2\sigma}(x)}\subset B_t$であるから、前段の$[D^2u]_{\alpha;B_s(z_0)}$の評価を$U$、中心$x$、半径$\sigma$に用いると

となる。$x,y\in B_s$が$|x-y|<\sigma$を満たすならばこの評価を用い、$|x-y|\geq\sigma$を満たすならば$|D^2U(x)-D^2U(y)|\leq2\sigma^{-\alpha}\|D^2U\|_{L^\infty(B_s)}|x-y|^\alpha$を用いると、

を得る。補題 1.3を$m=2$、$p=\infty$、$q=\alpha$、$F=\|f_R\|_{C^{0,\alpha}(B_2)}$として用いると、$\|U\|_{C^{2,\alpha}(B_{1/2})}\leq C(\|U\|_{L^\infty(B_1)}+\|f_R\|_{C^{0,\alpha}(B_2)})$である。中心を$\overline{B_1}$の点へ平行移動して同じ議論を行い、$\overline{B_1}$を覆う有限個の球$B_{1/4}(y_i)$をとる。距離が$1/4$未満の二点はある$B_{1/2}(y_i)$に含まれ、距離が$1/4$以上の二点の差は$D^2U$の上限で評価されるので、

を得る。元の変数へ戻すと、導関数には$R^j$、Hölder 半ノルムには$R^{2+\alpha}$が付き、主張の評価となる。▨

証明.$B_{2R}(x_0)\Subset\Omega$を固定し、$F=f-b\cdot Du-cu$とおく。$u\in C^2$であるから$Du$と$u$は閉球上で Lipschitz 連続であり、積の評価§E15.35 命題 1.6 (1)により$F\in C^{0,\alpha}$である。中心を書かない球$B_{2R}$の中心は$x_0$とする。$z\in\overline{B_R(x_0)}$とし、$q_z(x)=F(z)|x-z|^2/(2\operatorname{tr}A(z))$とおくと、$A(z):D^2q_z=F(z)$である。$\overline{B_R(z)}\subseteq\overline{B_{2R}}\subset\Omega$であるから、$w=u-q_z$は$H^2(B_R(z))$に属し、$B_R(z)$上で

を満たす。さらに

である。$M$は有限である。$D^2q_z$は定数であるから、補題 1.2を行列$A(z)$、半径$R$、$K=M$として$w$に用いると、$\Phi_z(\rho)=\int_{B_\rho(z)}|D^2u-(D^2u)_{z,\rho}|^2$は$0<\rho\leq R$で

を満たす。ここで$C$は$n,\alpha,\lambda,\Lambda$だけに依存する。$D^2u$の成分$H$をとり、$B_2$上で$H_R(y)=H(x_0+Ry)$とおく。$y\in\overline{B_1}$、$0<r\leq1$に対して、変数変換とこの評価を$z=x_0+Ry$、$\rho=Rr$に用いると

である。$H_R$は$\overline{B_2}$上で連続なので$L^2(B_2)$に属する。上の平均振動の評価はすべての$y\in\overline{B_1}$と$0<r\leq1$について成り立つ。§E15.35 補題 5.3 (3)を中心$0$、$R=r_0=1$、$M=N_R$として適用すると、$H_R|_{B_1}$は$\overline{B_1}$上の Hölder 連続代表をもち、その半ノルムは$C_{n,\alpha}N_R^{1/2}$以下である。$H_R$自身が$\overline{B_1}$上で連続なので、その代表に一致する。$C_{n,\alpha}$は$n,\alpha$だけに依存し、$N_R$の定数は$n,\alpha,\lambda,\Lambda$だけに依存する。平行移動と§E15.35 命題 1.9により尺度を戻し、成分について加えると、$u\in C^{2,\alpha}(B_R(x_0))$であり、

を得る。

閉球上の積の評価と、$[Du]_\alpha\leq(4R)^{1-\alpha}\|D^2u\|_\infty$から、$M$は$\|f\|_{C^{0,\alpha}}+C\|u\|_{C^2}$で抑えられ、この$C$は$n,\alpha,R,K$だけに依存する。球を単位球へ変換し、入れ子の球を半径が境界までの距離に比例する小球で覆うと、補題 1.3の仮定を$m=2$、$p=\infty$で得る。したがって、各$B_{2R}(x_0)\Subset\Omega$において

$\overline{\Omega'}$の有限被覆を取り、同じ小球に入らない二点の差を$D^2u$の上限で評価すると、$\Omega'$上の評価を得る。以上の各段で係数が現れるのは、凍結した行列$A(z)$の楕円性の定数$\lambda,\Lambda$と、$A,b,c$の各成分の$C^{0,\alpha}$ノルムを通してだけであり、後者は$K$以下である。半径$R$と被覆の個数は$\Omega',\Omega$だけで定まるので、$C$は$n,\alpha,\lambda,\Lambda,\Omega',\Omega,K$だけに依存する。最後の主張は、反対称行列と対称な Hesse 行列との縮約が零であることから従う。▨

証明.$k=0$は定理 2.2である。$k\geq1$とする。開集合$V\Subset\Omega$に対して$d=\min\{1,\operatorname{dist}(V,\R^n\setminus\Omega)\}/3$とし（$\Omega=\R^n$ならば$d=1/3$）、$0<t\leq2d$に対して$V$の$t$-近傍を$V_t$と書く。