§E15.27波動方程式

証明.$B=A^{1/2}$とおく。スカラー評価

と§E12.15 定理 1.2の積の定義域から、$S_A(t)H\subset D(B)$と主張のノルム評価を得る。$v\in V$に対して$BC_A(t)v=C_A(t)Bv$であるから、$C_A(t)$は$V$上でも縮小作用素である。

$E_A$を$A$のスペクトル測度とし、$\mu_h(M)=(E_A(M)h,h)_H$とおく。汎関数計算のノルム公式

を用いる。有限な時間区間では$c_t,s_t,\sqrt\lambda s_t$はそれぞれ$1$、時間区間の長さを含む定数、$1$で支配される。点ごとの連続性と優収束により、$C_A(t)h$と$S_A(t)h$は$H$値で連続であり、$BS_A(t)h$も連続である。$BC_A(t)v=C_A(t)Bv$に同じ議論を適用すると、$V$値の連続性を得る。

$s_t$の時間差分商は絶対値が$1$以下であり、$c_t$に点ごとに収束する。$c_t$の時間差分商は絶対値が$\sqrt\lambda$以下であり、$-\sqrt\lambda\sin(t\sqrt\lambda)$に点ごとに収束する。前者には有限測度$\mu_h$を、後者には$\int\lambda\,d\mu_v<\infty$を用いて優収束を適用すると、二つの強微分公式を得る。▨

証明.$B=A^{1/2}$とおき、外力項を$w(t)$と書く。命題 1.2と§E10.18 命題 4.3により

である。強連続な作用素族を単関数近似に適用すると、積分の被積分関数は強可測である。時間差に対する優収束§E10.18 定理 5.1により$w$は$V$値で連続である。$S_A(0)=0$と差分商の評価から

を得る。実際、積分区間が共通の部分では$S_A$の差分商を$\|f(s)\|_H$で支配して優収束を適用する。新たに加わる長さ$|h|$の部分の差分商のノルムは、その部分の$\|f(s)\|_H$の積分以下であり、$h\to0$で零に収束する。$w'$の連続性も$C_A$の強連続性と同じ優収束から従う。したがって公式の$u$は指定の連続性と初期値を満たし、

となる。

$P_N=1_{[0,N]}(A)$とおく。$P_N$は$H,V$上の縮小射影であり、$H_N=P_NH$上の$A_N=A|_{H_N}$は有界である。有界作用素のべき級数を微分すると、$u_N=P_Nu$は

を$H_N$値の超関数として満たす。積分と$P_N$の交換は§E10.18 命題 5.2による。スペクトルノルム公式から$P_Nu_i\to u_i$がそれぞれ$V,H$で成り立ち、優収束から$P_Nf\to f$が$L^1(0,T;H)$で成り立つ。伝播作用素の評価により$u_N\to u$は$C_tV$、$u_N'\to u'$は$C_tH$で成立する。$\mathcal A:V\to V^\dagger$は有界であるから、試験関数と組み合わせた方程式の極限を取ることにより$u''+\mathcal Au=f$を得る。

$z$を零初期値・零外力のエネルギー解とする。$v\in H_N$は$V$に属するから、弱方程式を$v$で試すと$z_N=P_Nz$は$z_N''+A_Nz_N=0$を満たす。右辺$-A_Nz_N$は連続であり、超関数の方程式を二回積分して

を得る。長さ$\delta$が$\delta^2\|A_N\|/2<1$を満たす時間区間では、この式の最大ノルム評価から$z_N=0$である。零初期値を各区間の左端へ移して有限回繰り返すと$z_N=0$が$[0,T]$上で成立する。$P_N\to I$は強収束するから$z=0$であり、一意性を得る。

伝播作用素の評価と上の$u_t$の公式から

を得る。線形性により同じ評価を二つのデータの差へ適用することができるので、連続依存性が従う。

追加の正則性の仮定の下では、汎関数計算により$S_A(t):V\to D(A)$は有界であり、

である。これらの式と優収束から$u\in C_tD(A)$を得る。$C_A(t)$は$V$上で強連続であり、$B\sin(t\sqrt A):D(A)\to V$も強連続であるから、$u_t$の公式は$C_tV$に属する。方程式の右辺$f-Au$は$H$値で連続であり、$u''=f-Au$から$u\in C_t^2H$を得る。▨

証明.$P_N=1_{[0,N]}(A)$、$u_N=P_Nu$、$f_N=P_Nf$とし、$E_N$を$E$の式で$u$を$u_N$に置き換えた量とする。有界な$A_N$の方程式から$u_N'$は絶対連続である。内積を微分し、自己共役性を用いると、ほとんどすべての$t$について

となる。積分後に$N\to\infty$とする。定理 2.2の証明の収束から$E_N\to E$は一様収束し、$f_N\to f$は$L^1_tH$、$u_N'\to u'$は$C_tH$で収束する。したがって積分恒等式が成立し、その右辺が絶対連続であるから$E$も絶対連続である。

$\varepsilon>0$に対し、ほとんどすべての$t$で

である。積分して$\varepsilon\downarrow0$とすると第一の評価を得る。$u(t)=u_0+\int_0^tu_t(s)\,ds$に§E10.18 命題 4.3を適用すると第二の評価を得る。$f=0$のとき保存則は積分恒等式から従う。▨

証明. 形式$q(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla v}\,dx$に§E15.24 命題 1.1を適用すると、$D(A_B^{1/2})=V_B$であり、グラフノルムは$H^1$ノルムと同値である。定理 2.2の公式を$e_j^B$と内積に取ると、汎関数計算と§E10.18 命題 5.2により各係数の公式を得る。

$Q_m$を最初の$m$個の固有関数への射影とする。§E15.19 定理 1.3により$Q_mu_0\to u_0$は$V_B$で、$Q_mu_1\to u_1$は$L^2$で成立する。優収束により$Q_mf\to f$は$L^1_tL^2$で成立する。連続依存性から、対応する解$Q_mu$は主張のエネルギー位相で収束する。

追加の仮定の下では$Q_mu_0\to u_0$は$D(A_B)$、$Q_mu_1\to u_1$は$V_B$で成立する。$f([0,T])$は$V_B$のコンパクト集合である。$Q_m$は$V_B$上で一様有界かつ強収束するから、有限被覆による近似により$Q_mf\to f$は$C_tV_B$でも成立する。定理 2.2の正則性の証明に現れた作用素評価をデータの差へ適用すると、追加の三つの収束を得る。零固有空間では$c_t(0)=1$、$s_t(0)=t$であるから、同じ公式に$P_0$を適用して最後の式を得る。▨

証明. 形式$q$は対称かつ非負であり、楕円性と上界から$q(v,v)+\|v\|_2^2$は$\|v\|_{H^1}^2$と同値である。§E15.16 定理 3.1により$q$は非負自己共役実現をもち、§E15.24 命題 1.1により平方根の主張を得る。弱形式§E15.16 定義 1.3から、$V=H_0^1$は斉次 Dirichlet 条件に、$V=H^1$は零 conormal 流束に対応する。全空間の場合には§E15.24 命題 1.4を用いる。▨

証明. 滑らかな解に対し、$a$が実対称かつ時間に依存しないことから

である。滑らかな$\chi$を掛け、§E15.12 定理 1.3と時間積分を適用する。境界流束は$\chi\Re(\overline{u_t}(a\nabla u)\cdot\nu)$である。Dirichlet 条件では$u_t$のトレースが零、conormal Neumann 条件では$(a\nabla u)\cdot\nu=0$であるから、どちらも境界流束は零である。

$\chi$が Lipschitz ならば、閉領域の近傍へ Lipschitz 拡張して平滑化することにより、$\chi_k\to\chi$を一様に、$\partial_s\chi_k\to\partial_s\chi$と$\nabla\chi_k\to\nabla\chi$をほとんど至る所で、かつ一階微分を一様有界に保つ近似を得る。弱微分の存在と有界性は§E15.8 命題 2.3による。積の微分は§E15.8 命題 3.1による。平滑化した恒等式へ優収束を適用すると、Lipschitz な$\chi$についても恒等式を得る。

$P_N=1_{[0,N]}(A)$とする。初期値に$P_N$を適用し、外力を時間方向に平滑化してから$P_N$を適用することにより、初期値は$V\times L^2$、外力は$L^1_tL^2$で収束し、近似データがすべての$D(A^m)$に属する列をとることができる。対応する解もすべての$D(A^m)$に時間について滑らかな値をとる。有界領域では§E15.23 定理 5.1を反復適用すると、これらの解と時間微分は任意の整数次数の Sobolev 空間に属する。十分大きい整数$k$に対し、§E15.10 系 4.2の$p=2$の場合を適用すると、上の古典的な積分計算に必要な$C^2$級の空間正則性を得る。境界条件は$D(A)$の弱形式から従う。全空間では Fourier 変換を$\widehat v(\xi)=\int e^{-2\pi ix\cdot\xi}v(x)\,dx$とし、$P_N$は$4\pi^2|\xi|^2\le N$の周波数切断である。§E15.24 命題 1.4により任意の整数次数の Sobolev 正則性を得る。有界球に制限して§E15.10 系 4.2を適用すると、全空間でも局所的な$C^2$級の空間正則性を得る。全空間の積分計算には半径$L$の空間切断を加える。その勾配を$C/L$で抑えると、余分な項は$C L^{-1}\int_r^t\|u_s\|_2\|\nabla u\|_2\,ds$以下であり、$L\to\infty$で零になる。

定理 2.2の連続依存性により、近似解は$C_tV\cap C_t^1L^2$で$u$に収束する。したがって近似解の$e$と$J$は$C_tL^1$で収束する。外力項も、外力の$L^1_tL^2$収束と速度の$C_tL^2$収束により$L^1$で収束する。重みとその微分は有界であるから、近似解の恒等式のすべての項で極限を取ることができる。▨

証明.$z=a^{1/2}\nabla u$とおくと、$a\le c^2I$より

である。$h:\R\to[0,1]$を$h(q)=0$（$q\le0$）、$h(q)=q$（$0<q<1$）、$h(q)=1$（$q\ge1$）で定める。$0<\varepsilon<R-ct$に対して

とおく。距離関数の Lipschitz 定数は$1$であるから、§E15.8 命題 2.3と連鎖律により、ほとんど至る所で

である。$h'\ge0$と$|J|\le ce$から

を得る。定理 4.2により$F_\varepsilon$は絶対連続であり、ほとんどすべての$s\in[0,t]$について

となる。ここで重み付き Cauchy–Schwarz 不等式を用いた。$\delta>0$に対して$\sqrt{2F_\varepsilon+\delta}$を微分し、積分してから$\delta\downarrow0$とすると

を得る。$\varepsilon\downarrow0$のとき、$\chi_\varepsilon(s,x)$は$D_s$の特性関数へ点ごとに収束する。空間積分には優収束を、時間積分には支配関数$\|f(s)\|_2$を用いて優収束を適用すると、主張の評価が従う。切断は領域全体で用いたので、球面と$\partial\Omega$の接触についての仮定は必要ない。

零データの仮定の下では、$u_0\in H^1$が$D_0$上で零であることから$\nabla u_0=0$もその開集合上でほとんど至る所成り立つ。局所評価により$u_s(s)=0$が各$s\le t$の$D_s$上で成立する。$0\le\tau\le t$を固定すると、$D_\tau\subset D_s$（$s\le\tau$）であるから、$L^2(D_\tau)$において

となる。二つの解の差へこの結論を適用すると、依存領域の主張を得る。▨