楕円型作用素による時間発展 | 偏微分方程式論 I

命題 1.1. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 Lipschitz 開集合とし、 $V\subset H^1(\Omega;\C)$ を $H^1$ で閉かつ $L^2$ で稠密な部分空間とする。 $q$ を $V$ 上の非負な対称楕円型閉形式とし、すべての $u\in V$ に対して $c\|u\|_{H^1}^2\le q(u,u)+\|u\|_2^2\le C\|u\|_{H^1}^2$ を満たす定数 $c,C>0$ が存在するとする。 $A$ を $q$ に対応する非負自己共役作用素とする。内積は第一変数について線形とし、 $(u,v)_2=\int_\Omega u\overline v\,dx$ とする。このとき

V=D(A^{1/2}),\qquad q(u,v)=(A^{1/2}u,A^{1/2}v)_2\quad(u,v\in V)

が成り立つ。

証明.§E15.11 定理 2.1と形式ノルムの同値性により、 $V\hookrightarrow L^2$ はコンパクトである。§E12.14 命題 3.1 (2)により $A$ のレゾルベントはコンパクトである。§E12.14 命題 3.1 (1)を下界 $0$ で適用し、 $A$ の正規直交固有基底を $(e_j)$ 、対応する非負固有値を $(\lambda_j)$ と書くと、

V=\left\{u\in L^2:\sum_j(1+\lambda_j)|(u,e_j)_2|^2<\infty\right\},\qquad q(u,v)=\sum_j\lambda_j(u,e_j)_2\overline{(v,e_j)_2}

である。§E12.15 定理 1.2による $A^{1/2}$ の定義域は $\sum_j\lambda_j|(u,e_j)_2|^2<\infty$ を満たす $u\in L^2$ 全体であり、 $A^{1/2}u=\sum_j\sqrt{\lambda_j}(u,e_j)_2e_j$ である。Parseval の等式により、二つの定義域は一致し、形式値も主張の内積に等しい。▨

系 1.2. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 Lipschitz 開集合とする。形式 $q(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\overline{\nabla v}\,dx$ に対応する Dirichlet および Neumann Laplace 作用素を $A_D,A_N$ とする。このとき

D(A_D^{1/2})=H^1_0(\Omega),\qquad D(A_N^{1/2})=H^1(\Omega),\qquad \|A_B^{1/2}u\|_2=\|\nabla u\|_2\quad(B\in\{D,N\})

である。特に、 $\|u\|_2^2+\|A_B^{1/2}u\|_2^2=\|u\|_{H^1}^2$ が成り立つ。

証明. $V=H^1_0(\Omega)$ および $V=H^1(\Omega)$ のそれぞれに命題 1.1を適用すると、平方根の定義域と勾配ノルムの等式を得る。 $\|u\|_{H^1}^2=\|u\|_2^2+\|\nabla u\|_2^2$ より最後の等式も成り立つ。▨

例 1.3. $\Omega=(0,\pi)$ で $u(x)=c\in\C$ とすると、 $u\in H^1(0,\pi)$ 、 $\|A_N^{1/2}u\|_2=\|u'\|_2=0$ 、 $\|u\|_2^2=\pi|c|^2$ である。したがって Neumann の形式域において $\|A_N^{1/2}u\|_2$ だけではノルムを定めない。したがって、波動方程式の変位と速度に用いる状態空間 $D(A_N^{1/2})\times L^2$ のノルムには、変位の $L^2$ ノルムも含める。

命題 1.4. $n\ge1$ とし、 $L^2(\R^n;\C)$ 上で $Au=-\Delta u$ 、 $D(A)=H^2(\R^n)$ とする。Fourier 変換を $\widehat u(\xi)=\int_{\R^n}e^{-2\pi ix\cdot\xi}u(x)\,dx$ の $L^2$ 拡張とする。このとき $A$ は非負自己共役作用素であり、

D(A^{1/2})=H^1(\R^n),\qquad \|A^{1/2}u\|_2=\|\nabla u\|_2.

任意の整数 $m\ge1$ に対して $D(A^m)=H^{2m}(\R^n)$ であり、すべての $u\in H^{2m}$ に対して $c_m\|u\|_{H^{2m}}\le\|u\|_2+\|A^mu\|_2\le C_m\|u\|_{H^{2m}}$ を満たす定数 $c_m,C_m>0$ が存在する。

証明. $p(\xi)=4\pi^2|\xi|^2$ とおく。 $p$ は実数値で $p\ge0$ であるから、§E12.12 例 3.7 (1)により、 $p$ の最大定義域をもつ乗算作用素は非負自己共役であり、§E12.15 定理 1.2により、その平方根と $m$ 乗はそれぞれ $p^{1/2}$ と $p^m$ の乗算である。Fourier 変換はユニタリであり、超関数の意味で $\widehat{-\Delta u}=p\widehat u$ である。 $1+p^2$ と $(1+|\xi|^2)^2$ は上下から正の定数倍で評価されるので、最大定義域は $H^2$ である。同じ比較を $1+p$ と $1+|\xi|^2$ 、および $1+p^{2m}$ と $(1+|\xi|^2)^{2m}$ に適用すると、平方根と高冪の定義域を得る。§E15.13 命題 1.3により、これらは弱微分で定める整数階 Sobolev 空間でもある。Plancherel の等式から

\|A^{1/2}u\|_2^2=\int_{\R^n}4\pi^2|\xi|^2|\widehat u(\xi)|^2\,d\xi=\sum_{k=1}^n\|\partial_k u\|_2^2

が成り立つ。▨

注意 1.5. 有界 $C^\infty$ 開集合 $\Omega\subset\R^n$ の Dirichlet Laplace 作用素 $A_D$ と整数 $m\ge1$ について、§E15.23 系 6.1により、 $D(A_D^m)$ は $T(\Delta^ju)=0$ （ $0\le j<m$ ）を満たす $u\in H^{2m}(\Omega)$ 全体である。したがって、高冪の定義域を初期値に課すことは、 $u$ だけでなく $\Delta^ju$ にも境界条件を課すことを意味する。例えば、区間 $(0,\ell)$ 上の $x(\ell-x)$ は $D(A_D)$ に属するが、 $D(A_D^2)$ に属さない（§E15.23 例 6.3）。一般係数の楕円型実現や Neumann・Robin 実現でも、初期値 $u_0$ の正則性を $u_0\in D(A^m)$ という条件で表す。 $D(A^m)$ を、反復した作用素に対応する境界条件を課した $H^{2m}$ の部分空間として特徴づけるには、係数と境界の正則性が必要である。

定理 2.1. $H$ を複素 Hilbert 空間とし、その内積 $(\cdot,\cdot)$ は第一変数について線形とする。 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素とする。熱の場合は $A\ge0$ とし、 $\beta=1$ 、 $U(t)=e^{-tA}$ とする。Schrödinger の場合は $\beta=i$ 、 $U(t)=e^{-itA}$ とする。 $T>0$ 、 $u_0\in H$ 、 $g\in L^1(0,T;H)$ とする。このとき、積分表示

u(t)=U(t)u_0+\int_0^tU(t-s)g(s)\,ds

で定めた $u$ は $C([0,T];H)$ に属し、 $u'+\beta Au=g$ 、 $u(0)=u_0$ の一意な軟解である。積分は Bochner 積分である。また、 $u$ はすべての $v\in D(A)$ と $t\in[0,T]$ に対して

(u(t),v)=(u_0,v)+\int_0^t\bigl((g(s),v)-\beta(u(s),Av)\bigr)\,ds

を満たす唯一の連続な $H$ 値関数である。データ $(v_0,h)$ に対する軟解を $w$ とすると

\sup_{0\le t\le T}\|u(t)-w(t)\| \le\|u_0-v_0\|+\int_0^T\|g(s)-h(s)\|\,ds.

証明.§E12.25 定理 2.1、および§E12.25 命題 3.2の $A$ を $-A$ とした場合により、 $U$ は生成作用素 $-\beta A$ をもつ強連続縮小半群である。§E12.15 定理 1.2の積の公式により、 $U$ はスペクトル上でそれぞれ $e^{-t\lambda}$ 、 $e^{-it\lambda}$ を掛ける作用素である。§E12.26 定理 2.1を $M=1,\omega=0$ で適用すると、軟解の連続性と、データの差に対する評価を得る。

軟解の積分方程式による特徴づけ§E12.26 定理 2.1により、 $y(t)=\int_0^tu(s)\,ds\in D(A)$ であり、

u(t)=u_0-\beta Ay(t)+\int_0^tg(s)\,ds

が成り立つ。 $v\in D(A)$ との内積を取り、自己共役性を使うと主張の弱恒等式を得る。逆に、連続関数 $u$ が弱恒等式を満たすとし、 $z(t)=\beta^{-1}(u_0+\int_0^tg(s)\,ds-u(t))$ とおく。弱恒等式と $z(t)$ の定義により、すべての $v\in D(A)$ について $(y(t),Av)=(z(t),v)$ である。随伴の定義と $A^*=A$ により $y(t)\in D(A)$ 、 $Ay(t)=z(t)$ である。したがって積分方程式が成り立ち、軟解の特徴づけ§E12.26 定理 2.1により、 $u$ は表示した軟解に等しい。▨

系 2.2.定理 2.1の設定で、 $u_0\in D(A)$ とする。 $g\in C^1([0,T];H)$ 、または $g\in C([0,T];D(A))$ （グラフノルム）のいずれかを仮定する。このとき、軟解は

u\in C^1([0,T];H)\cap C([0,T];D(A)),\qquad u'(t)+\beta Au(t)=g(t)

を満たす一意な解である。端点での微分は片側微分とする。

証明.§E12.26 定理 3.1 (2)または§E12.26 定理 3.1 (3)を生成作用素 $-\beta A$ に適用すると、 $u\in C^1([0,T];H)$ と方程式を得る。 $Au=\beta^{-1}(g-u')$ は $H$ 値で連続なので、 $u$ は $D(A)$ のグラフノルムについても連続である。§E12.26 定理 3.1 (1)により、同じ初期値と外力をもつ古典解はこの軟解に等しい。▨

注意 2.3. $L^2$ 値の古典解の時間微分は、 $L^2$ ノルムについての微分である。空間変数について点ごとの微分方程式を得るには、作用素の冪の定義域から得る Sobolev 正則性と Sobolev 埋め込みを別に適用する必要がある。

定理 3.1. $\Omega\subset\R^n$ を空でない有界 Lipschitz 開集合とし、 $V\subset H^1(\Omega;\C)$ を $H^1$ で閉かつ $L^2$ で稠密な境界形式域とする。 $a$ を $V$ 上の有界な楕円型形式とし、

\Re a(u,u)+\kappa\|u\|_2^2\ge\alpha\|u\|_{H^1}^2\quad(u\in V)

を満たす定数 $\alpha>0$ 、 $\kappa\ge0$ が存在するとする。 $L^2$ 実現 $A$ を

D(A)=\{u\in V:a(u,v)=(f,v)_2\ (v\in V)\text{ を満たす }f\in L^2\text{ が存在する}\},\qquad Au=f

で定める。内積は第一変数について線形とし、 $V$ の連続反線形汎関数全体を $V^\dagger$ とする。このとき $-(A+\kappa I)$ は強連続縮小半群 $S_\kappa(t)$ を生成する。また、

S(t)=e^{\kappa t}S_\kappa(t)\quad(t\ge0)

は生成作用素 $-A$ をもつ強連続半群であり、 $\|S(t)\|\le e^{\kappa t}$ を満たす。

証明.§E15.17 命題 1.1により $A$ は稠密に定義された閉作用素である。 $B=-(A+\kappa I)$ とおくと、すべての $u\in D(A)$ に対して

\Re(Bu,u)_2=-\Re a(u,u)-\kappa\|u\|_2^2\le0

である。任意の $\lambda>0$ と $f\in L^2$ を取る。形式 $a(u,v)+(\kappa+\lambda)(u,v)_2$ は $V$ 上で強圧的であり、 $v\mapsto(f,v)_2$ は $V^\dagger$ に属する。§E15.16 定理 2.2により、すべての $v\in V$ に対して

a(u,v)+(\kappa+\lambda)(u,v)_2=(f,v)_2

を満たす $u\in V$ が存在する。この等式から $u\in D(A)$ および $(\lambda I-B)u=f$ を得る。したがって§E12.24 定理 4.1 (2)により $B$ は縮小半群 $S_\kappa$ を生成する。

$S(t+s)=S(t)S(s)$ と強連続性は $S_\kappa$ の対応する性質から従い、 $\|S(t)\|\le e^{\kappa t}$ である。 $t>0$ に対する差商の恒等式

\frac{S(t)u-u}{t}=e^{\kappa t}\frac{S_\kappa(t)u-u}{t}+\frac{e^{\kappa t}-1}{t}u

により、左辺の極限が存在するための必要十分条件は $u\in D(B)$ である。そのとき極限は $Bu+\kappa u=-Au$ である。▨

系 3.2.定理 3.1の設定で、 $T>0$ 、 $u_0\in L^2$ 、 $g\in L^1(0,T;L^2)$ とする。このとき

u(t)=S(t)u_0+\int_0^tS(t-s)g(s)\,ds

は $u'+Au=g$ 、 $u(0)=u_0$ の一意な軟解であり、 $C([0,T];L^2)$ に属する。データ $(v_0,h)$ に対する解を $w$ とすると

\sup_{0\le t\le T}e^{-\kappa t}\|u(t)-w(t)\|_2 \le\|u_0-v_0\|_2+\int_0^Te^{-\kappa s}\|g(s)-h(s)\|_2\,ds.

証明.§E12.26 定理 2.1を $S$ に対して $M=1,\omega=\kappa$ で適用する。データの差に対する同じ評価が主張の不等式である。▨

例 3.3. $b\in\R\setminus\{0\}$ とし、 $(0,\pi)$ 上で Dirichlet 条件を課した $A=-\partial_x^2+b\partial_x$ を考える。このとき、対応する形式は

a(u,v)=\int_0^\pi u'\overline{v'}\,dx+b\int_0^\pi u'\overline v\,dx,\qquad u,v\in H^1_0(0,\pi)

である。 $\Re\int u'\overline u=\frac12[|u|^2]_0^\pi=0$ なので、 $\Re a(u,u)+\|u\|_2^2=\|u\|_{H^1}^2$ である。 $v\in H^2\cap H^1_0$ と $u=e^{bx/2}v$ に対して

u'=e^{bx/2}(v'+bv/2),\qquad u''=e^{bx/2}(v''+bv'+b^2v/4),\qquad Au=e^{bx/2}(-v''+b^2v/4)

が成り立つ。乗算 $v\mapsto e^{bx/2}v$ は $H^2\cap H^1_0$ を保つ。逆に形式実現の $u\in D(A)$ は $-u''=Au-bu'\in L^2$ を満たし、§E15.23 定理 2.2により $u\in H^2\cap H^1_0$ である。したがって、この共役計算は形式実現の定義域全体で成り立つ。特に各 $k\in\NN$ に対し、 $e^{bx/2}\sin(kx)$ は固有値 $k^2+b^2/4$ をもつ。

例 3.4. $(0,\pi)$ 上の Dirichlet 実現 $A=-\partial_x^2-2I$ は $A\sin x=-\sin x$ を満たす。 $A+2I$ は非負なので、定理 3.1の半群は

S(t)\sin x=e^t\sin x,\qquad \|S(t)\sin x\|_2=e^t\|\sin x\|_2

を満たす。したがって、 $t>0$ では $\|S(t)\|>1$ である。したがって、非負性を外した作用素に対して、シフトした半群の縮小性から元の半群の縮小性を結論することはできない。

§E15.24楕円型作用素による時間発展

1 形式域と初期値の空間

2 自己共役な実現の非斉次方程式

3 非対称な実現の半群

前提記事