§E15.7Malgrange–Ehrenpreis の定理

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緩増加超関数の範囲では、定数係数の微分方程式は、Fourier 変換によって多項式の乗算を用いた方程式に移される。しかし、多項式が零となる周波数では、その逆数を通常の積分で逆変換して基本解を得る方法をそのまま用いることはできない。たとえば、一次微分作用素∂x\partial_xの記号は原点で零となるが、Heaviside 関数は∂x\partial_xの基本解である。基本解の存在論の基礎となる Malgrange–Ehrenpreis の定理によれば、零でない任意の定数係数微分作用素について、超関数としての基本解が存在する。本記事では、この定理と基本解の代表的な例について解説する。

1 指数関数との積

命題 1.1.n∈N≥1n\in\NN、a∈Rna\in\R^nとし、共役を入れない複素線形双対D′(Rn)\mathcal D'(\R^n)の元UUと、多項式P,Q∈C[z1,…,zn]P,Q\in\C[z_1,\ldots,z_n]をとる。このとき

P(∂)(ea⋅xU)=ea⋅xP(∂+a)U,ea⋅xQ(∂)δ0=Q(∂−a)δ0P(\partial)(e^{a\cdot x}U) =e^{a\cdot x}P(\partial+a)U, \qquad e^{a\cdot x}Q(\partial)\delta_0 =Q(\partial-a)\delta_0

がD′(Rn)\mathcal D'(\R^n)において成り立つ。

証明.§E15.2 命題 1.2の Leibniz 則から、各k∈{1,…,n}k\in\{1,\ldots,n\}について

∂k(ea⋅xU)=ea⋅x(∂k+ak)U\partial_k(e^{a\cdot x}U) =e^{a\cdot x}(\partial_k+a_k)U

を得る。微分作用素は互いに可換であるから、この等式を反復してPPの各単項式に適用すると第一の等式が従う。

同じ等式を移項すると、任意のV∈D′(Rn)V\in\mathcal D'(\R^n)に対して

ea⋅x∂kV=(∂k−ak)(ea⋅xV)e^{a\cdot x}\partial_kV =(\partial_k-a_k)(e^{a\cdot x}V)

となる。また、試験関数φ\varphiに対して⟨ea⋅xδ0,φ⟩=φ(0)\langle e^{a\cdot x}\delta_0,\varphi\rangle=\varphi(0)であるから、ea⋅xδ0=δ0e^{a\cdot x}\delta_0=\delta_0である。したがって、任意の多重指数α∈N≥0n\alpha\in\N^nについて

ea⋅x∂αδ0=(∂−a)αδ0e^{a\cdot x}\partial^\alpha\delta_0 =(\partial-a)^\alpha\delta_0

が成り立つ。QQの係数による線形結合をとると第二の等式を得る。▨

注意 1.2.命題 1.1の第二の等式でn=1n=1、Q(z)=zQ(z)=zとすると、任意のa∈Ra\in\Rに対してeaxδ0′=δ0′−aδ0e^{ax}\delta_0'=\delta_0'-a\delta_0が成り立つ。

2 基本解の存在

命題 2.1.n∈N≥1n\in\NN、P∈C[z1,…,zn]∖{0}P\in\C[z_1,\ldots,z_n]\setminus\{0\}、m=deg⁡P≥1m=\deg P\geq1とし、PmP_mをPPの次数mmの斉次部分とする。このとき、Pm(η)≠0P_m(\eta)\ne0を満たすη∈Rn\eta\in\R^nが存在する。

そのような任意のη∈Rn\eta\in\R^nと相異なる任意のλ0,…,λm∈R\lambda_0,\ldots,\lambda_m\in\Rに対して、

Q(z)=P(z‾)‾,aj=∏0≤k≤mk≠j(λj−λk)−1(0≤j≤m)Q(z)=\overline{P(\overline z)}, \qquad a_j=\prod_{\substack{0\leq k\leq m\\k\ne j}} (\lambda_j-\lambda_k)^{-1} \quad(0\leq j\leq m)

とおき、QmQ_mをQQの次数mmの斉次部分とする。各j∈{0,…,m}j\in\{0,\ldots,m\}とξ∈Rn\xi\in\R^nについて、

bj(ξ)={P(2πiξ+λjη)‾P(2πiξ+λjη),P(2πiξ+λjη)≠0,0,P(2πiξ+λjη)=0b_j(\xi)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\overline{P(2\pi i\xi+\lambda_j\eta)}} {P(2\pi i\xi+\lambda_j\eta)}, &P(2\pi i\xi+\lambda_j\eta)\ne0,\\[6pt] 0,&P(2\pi i\xi+\lambda_j\eta)=0 \end{cases}

とおく。bjb_jは緩増加超関数を定める。Fourier 変換を

φ^(ξ)=∫Rne−2πix⋅ξφ(x) dx(φ∈S(Rn))\widehat\varphi(\xi)=\int_{\R^n}e^{-2\pi i x\cdot\xi}\varphi(x)\,dx \qquad(\varphi\in\mathcal S(\R^n))

とし、Uj=F−1bj∈S′(Rn)U_j=\mathcal F^{-1}b_j\in\mathcal S'(\R^n)をD′(Rn)\mathcal D'(\R^n)に制限して同じ記号で表す。Qm(2η)=2mPm(η)‾≠0Q_m(2\eta)=2^m\overline{P_m(\eta)}\ne0であり、

E=1Qm(2η)∑j=0majeλjη⋅xUjE=\frac1{Q_m(2\eta)} \sum_{j=0}^m a_j e^{\lambda_j\eta\cdot x}U_j

と定めると、E∈D′(Rn)E\in\mathcal D'(\R^n)はP(∂)E=δ0P(\partial)E=\delta_0を満たす。

証明.

主張 2.1.1.d∈N≥1d\in\NNとし、R∈C[z1,…,zd]∖{0}R\in\C[z_1,\ldots,z_d]\setminus\{0\}とする。このとき、実零集合

ZR={x∈Rd:R(x)=0}Z_R=\{x\in\R^d:R(x)=0\}

は Lebesgue 零集合である。

証明.d=1d=1では、§E1.7 定理 4.3をC\C上で適用すると、RRの複素数における根は有限個である。したがって、実零集合ZRZ_Rは零集合である。d≥2d\geq2とし、d−1d-1変数について主張が成り立つと仮定する。

R(x′,t)=∑k=0rRk(x′)tk,x′∈Rd−1,t∈RR(x',t)=\sum_{k=0}^r R_k(x')t^k, \qquad x'\in\R^{d-1},\quad t\in\R

と書き、零多項式でない係数Rk0R_{k_0}を一つとる。帰納法の仮定により、A={x′∈Rd−1:Rk0(x′)=0}A=\{x'\in\R^{d-1}:R_{k_0}(x')=0\}はRd−1\R^{d-1}の零集合である。x′∉Ax'\notin Aならばt↦R(x′,t)t\mapsto R(x',t)は非零複素係数多項式であるから、§E1.7 定理 4.3により、その実零集合は有限集合である。

L∈N≥1L\in\NNをとる。ZRZ_Rは閉集合であり、[−L,L]d[-L,L]^d上の指示関数1ZR\mathbf1_{Z_R}は非負可測である。x′∈[−L,L]d−1∖Ax'\in[-L,L]^{d-1}\setminus Aについて、1ZR(x′,t)\mathbf1_{Z_R}(x',t)のt∈[−L,L]t\in[-L,L]に関する積分は00である。x′∈[−L,L]d−1∩Ax'\in[-L,L]^{d-1}\cap Aの場合にも、この内側の積分は高々2L2Lである。また、AAは零集合である。完備化した Lebesgue 積測度に対する§E10.19 命題 3.4により、ZR∩[−L,L]dZ_R\cap[-L,L]^dの測度は00である。L∈N≥1L\in\NNに関する可算和をとると、ZRZ_Rも零集合である。▨

主張 2.1.2.r∈N≥0r\in\Nとし、λ0,…,λr\lambda_0,\ldots,\lambda_rを相異なる実数とする。

aj=∏0≤k≤rk≠j(λj−λk)−1(0≤j≤r)a_j=\prod_{\substack{0\leq k\leq r\\k\ne j}} (\lambda_j-\lambda_k)^{-1} \qquad(0\leq j\leq r)

とおく。このとき、零多項式または次数がrr以下の任意の複素係数多項式q(λ)q(\lambda)について、∑j=0rajq(λj)\sum_{j=0}^r a_jq(\lambda_j)はqqのλr\lambda^rの係数に等しい。r=0r=0の場合、空積は11とする。

証明. 多項式

ℓj(λ)=∏0≤k≤rk≠jλ−λkλj−λk\ell_j(\lambda) =\prod_{\substack{0\leq k\leq r\\k\ne j}} \frac{\lambda-\lambda_k}{\lambda_j-\lambda_k}

はℓj(λk)=δjk\ell_j(\lambda_k)=\delta_{jk}を満たす。g=q−∑j=0rq(λj)ℓjg=q-\sum_{j=0}^r q(\lambda_j)\ell_jとおくと、g(λk)=0g(\lambda_k)=0が0≤k≤r0\leq k\leq rについて成り立つ。ggが非零ならばdeg⁡g≤r\deg g\leq rであり、§E1.7 定理 4.3により相異なるr+1r+1個の根をもつことはできない。したがってggは零多項式であるから、

q(λ)=∑j=0rq(λj)ℓj(λ)q(\lambda)=\sum_{j=0}^r q(\lambda_j)\ell_j(\lambda)

である。両辺のλr\lambda^rの係数を比較すると結論を得る。たとえばr=1r=1、λ0=−1\lambda_0=-1、λ1=1\lambda_1=1ならばa0=−1/2a_0=-1/2、a1=1/2a_1=1/2であり、A,B∈CA,B\in\Cとq(λ)=Aλ+Bq(\lambda)=A\lambda+Bに対して

−12q(−1)+12q(1)=A-\frac12q(-1)+\frac12q(1)=A

となる。▨

Pm≠0P_m\ne0であるから、主張 2.1.1によりPm(η)≠0P_m(\eta)\ne0を満たすη∈Rn\eta\in\R^nが存在する。そのような任意のη\etaと相異なる任意の実数λ0,…,λm\lambda_0,\ldots,\lambda_mをとる。η\etaは実ベクトルなので

Qm(2η)=2mPm(η)‾≠0Q_m(2\eta)=2^m\overline{P_m(\eta)}\ne0

である。各j∈{0,…,m}j\in\{0,\ldots,m\}について、ξ↦P(2πiξ+λjη)\xi\mapsto P(2\pi i\xi+\lambda_j\eta)の最高次斉次部分は(2πi)mPm(ξ)(2\pi i)^mP_m(\xi)であるから、この多項式は非零である。主張 2.1.1より、その零集合の測度は00である。bjb_jは可測であり、定義からすべてのξ∈Rn\xi\in\R^nで∣bj(ξ)∣≤1|b_j(\xi)|\leq1、ほとんど至る所で∣bj(ξ)∣=1|b_j(\xi)|=1である。N>nN>nを満たす整数NNに対して

∫Rn(1+∣ξ∣)−N∣bj(ξ)∣ dξ<∞\int_{\R^n}(1+|\xi|)^{-N}|b_j(\xi)|\,d\xi<\infty

であるから、§E15.4 命題 1.4よりbjb_jは緩増加超関数を定める。§E15.4 定理 3.2によりUj=F−1bj∈S′(Rn)U_j=\mathcal F^{-1}b_j\in\mathcal S'(\R^n)が定まる。

可測関数としてほとんど至る所で

P(2πiξ+λjη)bj(ξ)=P(2πiξ+λjη)‾=Q(−2πiξ+λjη)P(2\pi i\xi+\lambda_j\eta)b_j(\xi) =\overline{P(2\pi i\xi+\lambda_j\eta)} =Q(-2\pi i\xi+\lambda_j\eta)

が成り立つ。§E15.4 例 3.6によりδ0^=1\widehat{\delta_0}=1である。したがって§E15.4 命題 3.3と Fourier 変換の単射性から

P(∂+λjη)Uj=Q(−∂+λjη)δ0P(\partial+\lambda_j\eta)U_j =Q(-\partial+\lambda_j\eta)\delta_0

を得る。§E15.4 命題 1.3によりUjU_jをD′(Rn)\mathcal D'(\R^n)に制限し、命題 1.1の二つの等式を適用すると

P(∂)(eλjη⋅xUj)=eλjη⋅xQ(−∂+λjη)δ0=Q(−∂+2λjη)δ0\begin{aligned} P(\partial)(e^{\lambda_j\eta\cdot x}U_j) &=e^{\lambda_j\eta\cdot x} Q(-\partial+\lambda_j\eta)\delta_0\\ &=Q(-\partial+2\lambda_j\eta)\delta_0 \end{aligned}

となる。

Q(−∂+2λη)δ0Q(-\partial+2\lambda\eta)\delta_0はD′(Rn)\mathcal D'(\R^n)に係数をもつλ\lambdaの次数mm以下の多項式であり、そのλm\lambda^mの係数はQm(2η)δ0Q_m(2\eta)\delta_0である。各試験関数との双対作用によって得る複素係数多項式に主張 2.1.2を適用すると

∑j=0majQ(−∂+2λjη)δ0=Qm(2η)δ0\sum_{j=0}^m a_j Q(-\partial+2\lambda_j\eta)\delta_0 =Q_m(2\eta)\delta_0

を得る。したがって、EEはP(∂)E=δ0P(\partial)E=\delta_0を満たす。▨

定理 2.2 (Malgrange–Ehrenpreis の定理).n∈N≥1n\in\NNとし、P∈C[z1,…,zn]∖{0}P\in\C[z_1,\ldots,z_n]\setminus\{0\}とする。このとき、定数係数微分作用素P(∂)P(\partial)は基本解をもつ。すなわち、

P(∂)E=δ0P(\partial)E=\delta_0

を満たすE∈D′(Rn)E\in\mathcal D'(\R^n)が存在する。

証明.PPが零でない定数ccならば、E=c−1δ0E=c^{-1}\delta_0が等式を満たす。deg⁡P≥1\deg P\geq1ならば、命題 2.1によってP(∂)P(\partial)の基本解が存在する。▨

注意 2.3.§E15.6 例 1.3により、零作用素には基本解がない。

系 2.4.n∈N≥1n\in\NN、P∈C[z1,…,zn]∖{0}P\in\C[z_1,\ldots,z_n]\setminus\{0\}とし、f∈E′(Rn)f\in\mathcal E'(\R^n)とする。このとき、P(∂)u=fP(\partial)u=fを満たすu∈D′(Rn)u\in\mathcal D'(\R^n)が存在する。さらに、f∈Cc∞(Rn)f\in C_c^\infty(\R^n)ならば、解uuをC∞(Rn)C^\infty(\R^n)の元としてとることができる。

証明.定理 2.2によりP(∂)P(\partial)の基本解EEをとる。§E15.6 命題 1.2より、u=E∗fu=E*fは要求された方程式を満たし、f∈Cc∞(Rn)f\in C_c^\infty(\R^n)の場合には滑らかである。▨

3 一次元の構成と緩増加性

例 3.1.R\R上の作用素P(∂)=∂xP(\partial)=\partial_xに対して、命題 2.1の構成でη=1\eta=1、λ0=−1\lambda_0=-1、λ1=1\lambda_1=1をとる。このときQ(z)=zQ(z)=z、Q1(2)=2Q_1(2)=2、a0=−1/2a_0=-1/2、a1=1/2a_1=1/2である。

H(x)=1(0,∞)(x)H(x)=\mathbf1_{(0,\infty)}(x)とし、λ∈R∖{0}\lambda\in\R\setminus\{0\}に対して

hλ(x)={e−λxH(x),λ>0,−e−λxH(−x),λ<0h_\lambda(x)= \begin{cases} e^{-\lambda x}H(x),&\lambda>0,\\ -e^{-\lambda x}H(-x),&\lambda<0 \end{cases}

とおく。hλ∈L1(R)h_\lambda\in L^1(\R)であり、λ>0\lambda>0のとき

h^λ(ξ)=∫0∞e−(λ+2πiξ)x dx=1λ+2πiξ\widehat h_\lambda(\xi) =\int_0^\infty e^{-(\lambda+2\pi i\xi)x}\,dx =\frac1{\lambda+2\pi i\xi}

となる。λ<0\lambda<0のときにも

h^λ(ξ)=−∫−∞0e−(λ+2πiξ)x dx=1λ+2πiξ\widehat h_\lambda(\xi) =-\int_{-\infty}^0 e^{-(\lambda+2\pi i\xi)x}\,dx =\frac1{\lambda+2\pi i\xi}

である。hλ∈L1(R)h_\lambda\in L^1(\R)なので、§E15.4 命題 3.4により、これらの等式は超関数の Fourier 変換についても成り立つ。

λ=±1\lambda=\pm1について、構成に現れる比とその逆変換は

bλ(ξ)=λ−2πiξλ+2πiξ=−1+2λλ+2πiξ,Uλ=−δ0+2λhλb_\lambda(\xi) =\frac{\lambda-2\pi i\xi}{\lambda+2\pi i\xi} =-1+\frac{2\lambda}{\lambda+2\pi i\xi}, \qquad U_\lambda=-\delta_0+2\lambda h_\lambda

である。指数関数の原点での値は11なので

E=14(exU1−e−xU−1)=14(−δ0+2H(x)+δ0−2H(−x))=12sgn⁡x=H(x)−12\begin{aligned} E &=\frac14\bigl(e^xU_1-e^{-x}U_{-1}\bigr)\\ &=\frac14\bigl(-\delta_0+2H(x)+\delta_0-2H(-x)\bigr)\\ &=\frac12\operatorname{sgn}x =H(x)-\frac12 \end{aligned}

となる。最後の二つの等式は局所可積分関数の定める超関数の等式である。また、§E15.2 例 1.3により∂xH=δ0\partial_xH=\delta_0であるから、HHも∂x\partial_xの基本解である。

例 3.2.R\R上でH(x)=1(0,∞)(x)H(x)=\mathbf1_{(0,\infty)}(x)とし、局所可積分関数F(x)=exH(x)F(x)=e^xH(x)を超関数とみなす。このとき、命題 1.1と∂xH=δ0\partial_xH=\delta_0により

(∂x−1)F=ex∂xH=exδ0=δ0(\partial_x-1)F=e^x\partial_xH=e^x\delta_0=\delta_0

であるが、FFは緩増加超関数でない。

実際、非負で零でないψ∈Cc∞((0,1))\psi\in C_c^\infty((0,1))をとり、R≥1R\geq1に対してψR(x)=ψ(x−R)\psi_R(x)=\psi(x-R)とおくと

⟨F,ψR⟩=eR∫01etψ(t) dt\langle F,\psi_R\rangle =e^R\int_0^1 e^t\psi(t)\,dt

である。FFが緩増加であれば、D(R)\mathcal D(\R)上でFFと一致するT∈S′(R)T\in\mathcal S'(\R)が存在する。§E15.4 命題 1.2により、あるC≥0C\geq0とN∈N≥0N\in\Nが存在して、任意のφ∈S(R)\varphi\in\mathcal S(\R)に対して

∣⟨T,φ⟩∣≤C∑k=0Nsup⁡x∈R(1+∣x∣)N∣φ(k)(x)∣|\langle T,\varphi\rangle| \leq C\sum_{k=0}^{N} \sup_{x\in\R}(1+|x|)^N|\varphi^{(k)}(x)|

となる。φ=ψR\varphi=\psi_Rとすると、左辺は∣⟨F,ψR⟩∣|\langle F,\psi_R\rangle|に等しく、右辺はCC、NN、ψ\psiだけによる定数CψC_\psiを用いてCψ(1+R)NC_\psi(1+R)^N以下である。しかし∫01etψ(t) dt>0\int_0^1e^t\psi(t)\,dt>0なので、左辺の指数増大と両立しない。

一方、G(x)=−exH(−x)G(x)=-e^xH(-x)はL1(R)L^1(\R)に属するので、§E15.4 命題 1.4により緩増加である。F−G=exF-G=e^xと(∂x−1)ex=0(\partial_x-1)e^x=0から、GGも同じ作用素の基本解である。

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