§E15.2超関数の演算

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微分方程式の未知関数に跳びがあると、その微分を通常の関数として扱うことができない。部分積分によって微分を試験関数へ移すと、跳びのある関数にも超関数としての導関数を与えることができる。例えば、Heaviside 関数の導関数は原点の Dirac 超関数である。超関数の微分は、滑らかな関数との積とともに、試験関数上の演算の転置によって定まり、超関数の方程式を扱うための基本的な演算となる。さらに、試験関数との畳み込みによる正則化を用いると、超関数を局所的に滑らかな関数で近似することができる。本記事では、超関数の演算とその基本的な性質を解説する。

1 微分と滑らかな関数との積

補題 1.1.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。このとき、連続な複素線形写像A ⁣:D(Ω)→D(Ω)A\colon\mathcal D(\Omega)\to\mathcal D(\Omega)に対して

⟨AtT,φ⟩=⟨T,Aφ⟩(T∈D′(Ω), φ∈D(Ω))\langle A^{\mathrm t}T,\varphi\rangle=\langle T,A\varphi\rangle \qquad(T\in\mathcal D'(\Omega),\ \varphi\in\mathcal D(\Omega))

と定めると、AtTA^{\mathrm t}Tは超関数である。二つの連続な複素線形写像A,BA,Bに対して(AB)t=BtAt(AB)^{\mathrm t}=B^{\mathrm t}A^{\mathrm t}が成り立つ。ここで超関数の作用と転置には複素共役を入れない。

証明.AtTA^{\mathrm t}Tは連続な複素線形写像AAとTTの合成である。任意のφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)に対して

⟨(AB)tT,φ⟩=⟨T,ABφ⟩=⟨AtT,Bφ⟩=⟨BtAtT,φ⟩\langle(AB)^{\mathrm t}T,\varphi\rangle =\langle T,AB\varphi\rangle =\langle A^{\mathrm t}T,B\varphi\rangle =\langle B^{\mathrm t}A^{\mathrm t}T,\varphi\rangle

であるから、合成の公式が従う。▨

命題 1.2.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)、a∈C∞(Ω;C)a\in C^\infty(\Omega;\C)とする。このとき、多重指数α∈N≥0n\alpha\in\N^nと試験関数φ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)に対する式

⟨∂αT,φ⟩=(−1)∣α∣⟨T,∂αφ⟩,⟨aT,φ⟩=⟨T,aφ⟩\langle\partial^\alpha T,\varphi\rangle =(-1)^{|\alpha|}\langle T,\partial^\alpha\varphi\rangle, \qquad \langle aT,\varphi\rangle=\langle T,a\varphi\rangle

は超関数を定める。任意の多重指数α,β\alpha,\betaについて

∂α∂βT=∂α+βT,∂α(aT)=∑β≤α(αβ)(∂βa)∂α−βT\partial^\alpha\partial^\beta T=\partial^{\alpha+\beta}T, \qquad \partial^\alpha(aT) =\sum_{\beta\leq\alpha}\binom\alpha\beta (\partial^\beta a)\partial^{\alpha-\beta}T

が成り立つ。定数係数微分作用素P(∂)=∑αcα∂αP(\partial)=\sum_\alpha c_\alpha\partial^\alpha（有限和）の作用は

⟨P(∂)T,φ⟩=⟨T,P(−∂)φ⟩\langle P(\partial)T,\varphi\rangle =\langle T,P(-\partial)\varphi\rangle

で与えられ、係数cα∈Cc_\alpha\in\Cに共役は付かない。

証明.Ω=∅\Omega=\varnothingならばすべての空間は零空間であり、各等式が成り立つ。Ω≠∅\Omega\ne\varnothingとする。微分は§E12.21 系 7.2によってD(Ω)\mathcal D(\Omega)上の連続線形写像である。乗算Maφ=aφM_a\varphi=a\varphiは台を広げず、各コンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaと各多重指数γ\gammaに対して

∥∂γ(aφ)∥∞≤∑ν≤γ(γν)sup⁡K∣∂νa∣ ∥∂γ−νφ∥∞(supp⁡φ⊆K)\|\partial^\gamma(a\varphi)\|_\infty \leq\sum_{\nu\leq\gamma}\binom\gamma\nu \sup_K|\partial^\nu a|\, \|\partial^{\gamma-\nu}\varphi\|_\infty \qquad(\supp\varphi\subseteq K)

を満たす。値域D(Ω)\mathcal D(\Omega)は局所凸空間であり、固定した台での収束はすべての微分の一様収束であるから、同じ連続性判定によってMaM_aは連続である。したがって補題 1.1を(−1)∣α∣∂α(-1)^{|\alpha|}\partial^\alphaとMaM_aに適用して二つの超関数を得る。

微分の合成の公式は、試験関数の微分の交換則と転置の合成則から従う。また、試験関数上で

Ma(−∂j)=(−∂j)Ma+M∂jaM_a(-\partial_j)=(-\partial_j)M_a+M_{\partial_j a}

であるから、転置を取ると∂j(aT)=a∂jT+(∂ja)T\partial_j(aT)=a\partial_jT+(\partial_j a)Tとなる。この等式を∣α∣|\alpha|回適用すると多重指数の Leibniz 則を得る。最後の等式は微分の定義と複素線形性から従う。▨

例 1.3.R\R上の Heaviside 関数をH(x)=0H(x)=0（x<0x<0）、H(x)=1H(x)=1（x>0x>0）とする。このとき、H(0)H(0)の値は対応する超関数に影響しない。任意のφ∈D(R)\varphi\in\mathcal D(\R)に対して

⟨H′,φ⟩=−∫0∞φ′(x) dx=φ(0)\langle H',\varphi\rangle=-\int_0^\infty\varphi'(x)\,dx=\varphi(0)

であるからH′=δ0H'=\delta_0である。また、

⟨xδ0′,φ⟩=−ddx(xφ(x))∣x=0=−φ(0)\langle x\delta_0',\varphi\rangle =-\left.\frac{d}{dx}(x\varphi(x))\right|_{x=0}=-\varphi(0)

よりxδ0′=−δ0x\delta_0'=-\delta_0であり、xδ0=0x\delta_0=0である。

例 1.4.§E15.1 例 1.4の超関数T∈D′(R)T\in\mathcal D'(\R)と、正整数kkにおける Dirac 超関数δk\delta_kをとる。正整数NNに対して

TN=∑k=1N∂kδkT_N=\sum_{k=1}^N\partial^k\delta_k

とおく。このとき、任意の試験関数φ∈D(R)\varphi\in\mathcal D(\R)について、超関数の微分の定義から

⟨TN,φ⟩=∑k=1N(−1)kφ(k)(k)\langle T_N,\varphi\rangle=\sum_{k=1}^N(-1)^k\varphi^{(k)}(k)

である。任意のコンパクト集合K⊆RK\subseteq\Rは有限個の正整数しか含まない。supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kかつk∉Kk\notin Kならばφ(k)(k)=0\varphi^{(k)}(k)=0である。したがって、ある正整数NφN_\varphiが存在し、すべての整数N≥NφN\geq N_\varphiについて

⟨TN,φ⟩=∑k=1∞(−1)kφ(k)(k)=⟨T,φ⟩\langle T_N,\varphi\rangle=\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\varphi^{(k)}(k)=\langle T,\varphi\rangle

となる。ゆえに∑k=1∞∂kδk\sum_{k=1}^\infty\partial^k\delta_kは局所有限であり、D′(R)\mathcal D'(\R)における部分和の弱極限としてTTに等しい。TTの大域的な位数は有限でない。

例 1.5.R\R上で

⟨pv⁡(1/x),φ⟩=∫0∞φ(x)−φ(−x)x dx(φ∈D(R))\left\langle\operatorname{pv}(1/x),\varphi\right\rangle =\int_0^\infty\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}\,dx \qquad(\varphi\in\mathcal D(\R))

と定める。このとき、supp⁡φ⊆[−R,R]\supp\varphi\subseteq[-R,R]、R>0R>0ならば、平均値の評価から

∣⟨pv⁡(1/x),φ⟩∣≤2R∥φ′∥∞\left|\left\langle\operatorname{pv}(1/x),\varphi\right\rangle\right| \leq2R\|\varphi'\|_\infty

である。したがって§E15.1 命題 1.2によってpv⁡(1/x)\operatorname{pv}(1/x)は超関数である。定義にxφx\varphiを代入すると

xpv⁡(1/x)=1x\operatorname{pv}(1/x)=1

を得る。

すべての超関数の間に交換的かつ結合的な双線形の積があり、滑らかな関数との積を上の定義に一致させると仮定する。このとき

δ0=1δ0=(xpv⁡(1/x))δ0=pv⁡(1/x)(xδ0)=0\delta_0=1\delta_0 =\bigl(x\operatorname{pv}(1/x)\bigr)\delta_0 =\operatorname{pv}(1/x)(x\delta_0)=0

となる。φ(0)=1\varphi(0)=1を満たす試験関数に対して⟨δ0,φ⟩=1\langle\delta_0,\varphi\rangle=1であるから、δ0=0\delta_0=0は成り立たない。したがって、そのような積は存在しない。

2 一変数の原始関数

定理 2.1.I⊆RI\subseteq\Rを空でない開区間とする。このとき、T∈D′(I)T\in\mathcal D'(I)がT′=0T'=0を満たすための必要十分条件は、あるc∈Cc\in\Cに対して

⟨T,φ⟩=c∫Iφ(x) dx(φ∈D(I))\langle T,\varphi\rangle=c\int_I\varphi(x)\,dx \qquad(\varphi\in\mathcal D(I))

が成り立つことである。

また、f,g∈Lloc1(I;C)f,g\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\C)とx0∈Ix_0\in Iに対して、Tf′=TgT_f'=T_gが成り立つための必要十分条件は、あるc∈Cc\in\Cに対して

F(x)=c+∫x0xg(t) dt(x∈I)F(x)=c+\int_{x_0}^xg(t)\,dt \qquad(x\in I)

がffの代表元であることである。このFFは局所絶対連続であり、F′=gF'=gがほとんど至る所で成り立つ。

証明.T′=0T'=0とし、∫Iθ=1\int_I\theta=1を満たすθ∈D(I)\theta\in\mathcal D(I)を取る。φ∈D(I)\varphi\in\mathcal D(I)に対して

ψ=φ−(∫Iφ)θ\psi=\varphi-\left(\int_I\varphi\right)\theta

とおくと∫Iψ=0\int_I\psi=0である。ψ\psiをR\Rへ零延長し、Ψ(x)=∫−∞xψ(t) dt\Psi(x)=\int_{-\infty}^x\psi(t)\,dtとおく。ψ\psiの台の左側ではΨ=0\Psi=0であり、右側でも積分が零であるためΨ=0\Psi=0である。IIは区間なのでsupp⁡ψ\supp\psiを含む閉区間をII内に取ることができ、Ψ∈D(I)\Psi\in\mathcal D(I)、Ψ′=ψ\Psi'=\psiとなる。したがって

⟨T,ψ⟩=−⟨T′,Ψ⟩=0,⟨T,φ⟩=⟨T,θ⟩∫Iφ.\langle T,\psi\rangle=-\langle T',\Psi\rangle=0, \qquad \langle T,\varphi\rangle=\langle T,\theta\rangle\int_I\varphi.

c=⟨T,θ⟩c=\langle T,\theta\rangleと置けば定数性を得る。逆に定数による超関数の導関数は、試験関数の導関数の積分が零であることから零となる。

G(x)=∫x0xg(t) dtG(x)=\int_{x_0}^xg(t)\,dtとおく。§E13.2 系 2.6によってGGは局所絶対連続であり、G′=gG'=gがほとんど至る所で成り立つ。任意のφ∈D(I)\varphi\in\mathcal D(I)の台を内部に含む有限閉区間[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iを取る。§E13.2 定理 3.4をB(z,w)=zwB(z,w)=zw、GG、φ\varphiに適用すると、φ(a)=φ(b)=0\varphi(a)=\varphi(b)=0により

−∫IGφ′=∫Igφ-\int_I G\varphi'=\int_I g\varphi

を得る。よってTG′=TgT_G'=T_gである。Tf′=TgT_f'=T_gならば(Tf−TG)′=0(T_f-T_G)'=0であり、前半によってTf−G−c=0T_{f-G-c}=0となるc∈Cc\in\Cが存在する。

f−G−c∈Lloc1(I;C)f-G-c\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\C)であるから、§E15.1 命題 3.1の単射性により、f=G+cf=G+cがほとんど至る所で成り立つ。

逆にf=G+cf=G+cがほとんど至る所で成り立つならば、上の部分積分によってTf′=TgT_f'=T_gである。G+cG+cの局所絶対連続性と導関数の表示は、同じ積分表示の定理から従う。▨

例 2.2.R\R上で∣x∣=∫0xsgn⁡(t) dt|x|=\int_0^x\operatorname{sgn}(t)\,dtであるから、定理 2.1によって∣x∣′=sgn⁡x|x|'=\operatorname{sgn}xである。sgn⁡x=2H(x)−1\operatorname{sgn}x=2H(x)-1がほとんど至る所で成り立つので、例 1.3によって∣x∣′′=2δ0|x|''=2\delta_0となる。

開集合(−2,−1)∪(1,2)(-2,-1)\cup(1,2)上で、左の成分において00、右の成分において11である関数は、超関数としての導関数が零であるが定数ではない。各試験関数の各成分上で導関数の積分が零になるためである。したがって、導関数の零性から全体の定数性を得るには、定義域が区間であるという仮定が必要である。

3 台とコンパクト台の超関数

定義 3.1 (超関数の台).n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)とする。T∣U=0T|_U=0を満たす開部分集合U⊆ΩU\subseteq\Omegaの和集合をZTZ_Tとし、TTの 台 (support) を

supp⁡T=Ω∖ZT\supp T=\Omega\setminus Z_T

と定める。supp⁡T\supp TがΩ\Omegaのコンパクト部分集合である超関数の全体をE′(Ω)\mathcal E'(\Omega)と書く。

命題 3.2.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)とする。このとき、ZTZ_TはTTが零となる最大の開部分集合である。supp⁡φ∩supp⁡T=∅\supp\varphi\cap\supp T=\varnothingを満たす任意のφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)について⟨T,φ⟩=0\langle T,\varphi\rangle=0である。また、a∈C∞(Ω;C)a\in C^\infty(\Omega;\C)と多重指数α\alphaに対して

supp⁡∂αT⊆supp⁡T,supp⁡(aT)⊆supp⁡a∩supp⁡T\supp\partial^\alpha T\subseteq\supp T, \qquad \supp(aT)\subseteq\supp a\cap\supp T

が成り立つ。滑らかな関数aaの台はΩ\Omegaにおける{x∣a(x)≠0}\{x\mid a(x)\ne0\}の閉包とする。

証明.ZTZ_Tを定義する各開集合でTTの制限は零であるから、§E15.1 定理 5.1の一意性によってT∣ZT=0T|_{Z_T}=0である。supp⁡φ⊆ZT\supp\varphi\subseteq Z_Tならば、φ\varphiをD(ZT)\mathcal D(Z_T)の元と見て⟨T,φ⟩=0\langle T,\varphi\rangle=0を得る。

T∣U=0T|_U=0ならば、φ∈D(U)\varphi\in\mathcal D(U)の微分とaφa\varphiもUUに台をもつから、∂αT\partial^\alpha TとaTaTはUU上で零である。a∣U=0a|_U=0の場合にもaTaTはUU上で零である。したがって、二つの台の包含が従う。▨

例 3.3.例 1.3のHHはsupp⁡H=[0,∞)\supp H=[0,\infty)を満たす。実際、負の半直線では零であり、正の半直線の任意の開区間には積分が正である非負の試験関数が存在する。一方、H′=δ0H'=\delta_0の台は{0}\{0\}である。したがって、微分によって台が真に小さくなることがある。

定理 3.4.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合とする。C∞(Ω;C)C^\infty(\Omega;\C)にコンパクト集合上の全微分の一様収束の位相を入れる。このとき、この空間の連続な複素線形双対からD′(Ω)\mathcal D'(\Omega)への制限写像は単射であり、その像はE′(Ω)\mathcal E'(\Omega)である。具体的には、T∈E′(Ω)T\in\mathcal E'(\Omega)と、supp⁡T\supp Tの近傍で11となるχ∈D(Ω)\chi\in\mathcal D(\Omega)に対して

⟨T,f⟩=⟨T,χf⟩(f∈C∞(Ω;C))\langle T,f\rangle=\langle T,\chi f\rangle \qquad(f\in C^\infty(\Omega;\C))

はχ\chiに依存しない連続な延長を定める。

証明.Ω=∅\Omega=\varnothingならば結論は零空間の同一視である。Ω≠∅\Omega\ne\varnothingとする。T∈E′(Ω)T\in\mathcal E'(\Omega)に対して、§E10.47 定理 2.1によりsupp⁡T\supp Tの近傍で11となるχ∈D(Ω)\chi\in\mathcal D(\Omega)を取る。別の切断関数χ~\widetilde\chiとの差(χ−χ~)f(\chi-\widetilde\chi)fはsupp⁡T\supp Tの近傍で零であるから、命題 3.2によってTTの作用は零となる。よって延長はχ\chiに依存しない。f∈D(Ω)f\in\mathcal D(\Omega)に対しては(1−χ)f(1-\chi)fの作用が零なので、延長は元のTTに一致する。

L=supp⁡χL=\supp\chiに§E15.1 命題 1.2を適用し、積の微分を評価すると、あるC≥0C\geq0と非負整数mmに対して

∣⟨T,χf⟩∣≤Cmax⁡∣α∣≤msup⁡x∈L∣∂αf(x)∣|\langle T,\chi f\rangle| \leq C\max_{|\alpha|\leq m}\sup_{x\in L}|\partial^\alpha f(x)|

となる。右辺は§E12.16 例 8.2の連続半ノルムであるから、延長は連続である。

逆にℓ ⁣:C∞(Ω;C)→C\ell\colon C^\infty(\Omega;\C)\to\Cを連続線形汎関数とする。§E12.16 例 8.2と§E12.16 命題 2.4 (4)によって、あるコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omega、非負整数mm、C≥0C\geq0に対して

∣ℓ(f)∣≤Cmax⁡∣α∣≤msup⁡K∣∂αf∣|\ell(f)|\leq C\max_{|\alpha|\leq m}\sup_K|\partial^\alpha f|

がすべてのffについて成り立つ。KKは有限個の評価に用いるコンパクト集合の和集合として取ることができる。ℓ=0\ell=0の場合にはK=∅K=\varnothingとしてよい。この評価のD(Ω)\mathcal D(\Omega)への制限は、任意の固定した台でも全空間の微分の上限で抑えられるから、§E15.1 命題 1.2によって超関数TTを定める。KKの外に台をもつ試験関数では右辺が零なのでsupp⁡T⊆K\supp T\subseteq Kである。

KKの近傍で11となるχ∈D(Ω)\chi\in\mathcal D(\Omega)を取ると、(1−χ)f(1-\chi)fのすべての微分はKK上で零である。したがってℓ(f)=ℓ(χf)=⟨T,χf⟩\ell(f)=\ell(\chi f)=\langle T,\chi f\rangleであり、ℓ\ellはTTから復元される。よって制限写像は単射である。▨

定理 3.5.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、a∈Ωa\in\Omegaとし、T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)がsupp⁡T⊆{a}\supp T\subseteq\{a\}を満たすとする。このとき、ある非負整数mmと複素数cαc_\alphaに対して

T=∑∣α∣≤mcα∂αδaT=\sum_{|\alpha|\leq m}c_\alpha\partial^\alpha\delta_a

と表される。固定したmmに対する係数cαc_\alphaは一意である。

証明.B(a,2r)‾⊆Ω\overline{B(a,2r)}\subseteq\Omegaを満たすr>0r>0を取り、K=B(a,2r)‾K=\overline{B(a,2r)}とする。§E15.1 命題 1.2によって、KKに台をもつ試験関数に対する評価の位数mmを取る。§E10.47 定理 2.1によって00の近傍で11となりB(0,1)B(0,1)に台をもつχ∈D(Rn)\chi\in\mathcal D(\R^n)を取り、0<ε<r0<\varepsilon<rに対してχε(x)=χ((x−a)/ε)\chi_\varepsilon(x)=\chi((x-a)/\varepsilon)とおく。

φ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)が∣α∣≤m|\alpha|\leq mに対して∂αφ(a)=0\partial^\alpha\varphi(a)=0を満たすとする。∣β∣≤m|\beta|\leq mの各∂βφ\partial^\beta\varphiの実部と虚部へ§E4.5 定理 2.1を展開次数m−∣β∣m-|\beta|で適用する。中心aaとx∈B(a,r)x\in B(a,r)を結ぶ線分はΩ\Omegaに含まれ、m−∣β∣m-|\beta|次以下の係数は零であるから、

∣∂βφ(x)∣≤Cφ∣x−a∣m+1−∣β∣(∣x−a∣≤r,∣β∣≤m)|\partial^\beta\varphi(x)|\leq C_\varphi|x-a|^{m+1-|\beta|} \qquad(|x-a|\leq r, |\beta|\leq m)

を得る。したがって積の微分と∥∂γχε∥∞≤Cγε−∣γ∣\|\partial^\gamma\chi_\varepsilon\|_\infty\leq C_\gamma\varepsilon^{-|\gamma|}により、

∥∂α(χεφ)∥∞≤C′εm+1−∣α∣≤C′′ε(∣α∣≤m,0<ε<min⁡{r,1})\|\partial^\alpha(\chi_\varepsilon\varphi)\|_\infty \leq C'\varepsilon^{m+1-|\alpha|} \leq C''\varepsilon \qquad(|\alpha|\leq m, 0<\varepsilon<\min\{r,1\})

となる。φ−χεφ\varphi-\chi_\varepsilon\varphiはaaの近傍で零であるから、台の局所性により⟨T,φ⟩=⟨T,χεφ⟩\langle T,\varphi\rangle=\langle T,\chi_\varepsilon\varphi\rangleである。有限階評価とε→0\varepsilon\to0によって⟨T,φ⟩=0\langle T,\varphi\rangle=0を得る。

aaの近傍で11となるη∈D(Ω)\eta\in\mathcal D(\Omega)を取り、

qα(x)=η(x)(x−a)αα!(∣α∣≤m)q_\alpha(x)=\eta(x)\frac{(x-a)^\alpha}{\alpha!} \qquad(|\alpha|\leq m)

とおく。∂βqα(a)\partial^\beta q_\alpha(a)はβ=α\beta=\alphaならば11、それ以外ならば00である。任意のφ\varphiから∑∣α∣≤m∂αφ(a)qα\sum_{|\alpha|\leq m}\partial^\alpha\varphi(a)q_\alphaを引いた関数のmm次までの微分はaaで零となるから、

⟨T,φ⟩=∑∣α∣≤m⟨T,qα⟩∂αφ(a)\langle T,\varphi\rangle =\sum_{|\alpha|\leq m}\langle T,q_\alpha\rangle\partial^\alpha\varphi(a)

である。cα=(−1)∣α∣⟨T,qα⟩c_\alpha=(-1)^{|\alpha|}\langle T,q_\alpha\rangleと置けば所要の表示を得る。各qαq_\alphaへの作用によって係数が定まるので一意性も従う。▨

4 畳み込みと正則化

補題 4.1.n,d≥1n,d\geq1を整数、U⊆RnU\subseteq\R^nとV⊆RdV\subseteq\R^dを開集合、T∈D′(V)T\in\mathcal D'(V)、F∈C∞(U×V;C)F\in C^\infty(U\times V;\C)とする。任意のコンパクト集合A⊆UA\subseteq Uに対して、ある近傍UA⊆UU_A\subseteq Uとコンパクト集合B⊆VB\subseteq Vが存在し、x∈UAx\in U_Aならばsupp⁡F(x,⋅)⊆B\supp F(x,\cdot)\subseteq Bであると仮定する。このとき

g(x)=⟨Ty,F(x,y)⟩g(x)=\langle T_y,F(x,y)\rangle

はUU上で滑らかであり、任意の多重指数α\alphaに対して

∂αg(x)=⟨Ty,∂xαF(x,y)⟩\partial^\alpha g(x)=\langle T_y,\partial_x^\alpha F(x,y)\rangle

が成り立つ。

証明.x0∈Ux_0\in Uを取り、x0x_0を内部に含むコンパクトな閉球A⊆UA\subseteq Uを取る。仮定によるBB上の有限階評価を§E15.1 命題 1.2から取り、その位数をmmとする。xxをAA内のより小さい閉球に制限すると、∣β∣≤m|\beta|\leq mに対して∂yβF(x,y)\partial_y^\beta F(x,y)は(x,y)(x,y)の固定したコンパクト集合上で一様連続である。したがって、x→x0x\to x_0のときF(x,⋅)−F(x0,⋅)F(x,\cdot)-F(x_0,\cdot)のmm次までの全微分は一様に零へ収束し、有限階評価によってggはx0x_0で連続である。

同じコンパクト集合上で一変数の積分表示を用いると、h→0h\to0のとき

∂yβ(F(x+hej,y)−F(x,y)h−∂xjF(x,y))=∫01(∂xj∂yβF(x+thej,y)−∂xj∂yβF(x,y)) dt\partial_y^\beta\left( \frac{F(x+he_j,y)-F(x,y)}h-\partial_{x_j}F(x,y) \right) =\int_0^1\bigl(\partial_{x_j}\partial_y^\beta F(x+the_j,y) -\partial_{x_j}\partial_y^\beta F(x,y)\bigr)\,dt

は∣β∣≤m|\beta|\leq mのすべてについて一様に零へ収束する。線形性によりggの差分商はTTの作用の内側に移り、有限階評価によって差分商の極限とTTの作用が交換するので、∂jg=⟨T,∂xjF⟩\partial_jg=\langle T,\partial_{x_j}F\rangleを得る。各∂xαF\partial_x^\alpha Fに同じ議論を反復すると、すべての導関数の存在と連続性が従う。▨

補題 4.2.n,d≥1n,d\geq1を整数、U⊆RnU\subseteq\R^nとV⊆RdV\subseteq\R^dを開集合、S∈D′(U)S\in\mathcal D'(U)、T∈D′(V)T\in\mathcal D'(V)とする。このとき、F∈D(U×V)F\in\mathcal D(U\times V)に対して反復作用は定義され、

⟨Sx,⟨Ty,F(x,y)⟩⟩=⟨Ty,⟨Sx,F(x,y)⟩⟩\langle S_x,\langle T_y,F(x,y)\rangle\rangle =\langle T_y,\langle S_x,F(x,y)\rangle\rangle

が成り立つ。

証明.supp⁡F\supp Fの二つの射影をそれぞれ内部に含むコンパクト集合A⊆UA\subseteq U、B⊆VB\subseteq Vを取る。補題 4.1によって内側の作用は滑らかであり、その台は対応する射影に含まれるから試験関数である。A,BA,B上の有限階評価の位数をそれぞれp,qp,qとすると、あるC≥0C\geq0に対して

∣⟨Sx,⟨Ty,G(x,y)⟩⟩∣≤Cmax⁡∣α∣≤p, ∣β∣≤q∥∂xα∂yβG∥∞\bigl|\langle S_x,\langle T_y,G(x,y)\rangle\rangle\bigr| \leq C\max_{|\alpha|\leq p,\ |\beta|\leq q} \|\partial_x^\alpha\partial_y^\beta G\|_\infty

がA×BA\times Bに台をもつGGについて成り立つ。逆の順序についても同じ形の評価が成り立つ。

FFを全空間へ零延長し、§E10.47 補題 1.1による二つの平滑化核ρε∈D(Rn)\rho_\varepsilon\in\mathcal D(\R^n)、σε∈D(Rd)\sigma_\varepsilon\in\mathcal D(\R^d)を用いて

Fε(x,y)=∫ ⁣ ⁣∫F(u,v)ρε(x−u)σε(y−v) du dvF_\varepsilon(x,y) =\int\!\!\int F(u,v)\rho_\varepsilon(x-u)\sigma_\varepsilon(y-v)\,du\,dv

とおく。ε\varepsilonが十分小さければ台はA×BA\times Bに含まれる。任意のα,β\alpha,\betaについて、積分変数を平行移動してから微分すると

∥∂xα∂yβ(Fε−F)∥∞≤sup⁡∣h∣,∣k∣≤ε∥∂xα∂yβF(⋅−h,⋅−k)−∂xα∂yβF∥∞⟶0\|\partial_x^\alpha\partial_y^\beta(F_\varepsilon-F)\|_\infty \leq\sup_{|h|,|k|\leq\varepsilon} \|\partial_x^\alpha\partial_y^\beta F(\cdot-h,\cdot-k) -\partial_x^\alpha\partial_y^\beta F\|_\infty\longrightarrow0

である。収束はコンパクト台をもつ各導関数の一様連続性による。

固定したε\varepsilonに対して、上の積分をFFの台を含む長方形上の Riemann 和で近似する。被積分関数と、そのx,yx,yに関する任意の有限個の微分は積分変数も含めたコンパクト集合上で一様連続なので、Riemann 和はそれらの微分の上限ノルムでFεF_\varepsilonに収束する。各和は

∑j=1Ncjρε(x−uj)σε(y−vj)\sum_{j=1}^N c_j\rho_\varepsilon(x-u_j)\sigma_\varepsilon(y-v_j)

という有限個の積の和であり、十分小さいε\varepsilonとF(uj,vj)≠0F(u_j,v_j)\ne0の項について各因子の台はA,BA,Bに含まれる。各積について二つの反復作用はcj⟨S,ρε(⋅−uj)⟩⟨T,σε(⋅−vj)⟩c_j\langle S,\rho_\varepsilon(\cdot-u_j)\rangle\langle T,\sigma_\varepsilon(\cdot-v_j)\rangleに一致する。有限階評価によって Riemann 和の極限を取り、次にε→0\varepsilon\to0とすれば、FFに対する等式を得る。▨

定理 4.3.n≥1n\geq1を整数、S∈D′(Rn)S\in\mathcal D'(\R^n)、T∈E′(Rn)T\in\mathcal E'(\R^n)とする。E′\mathcal E'の元には定理 3.4による滑らかな関数への作用を用いる。このとき

⟨S∗T,φ⟩=⟨Sx,⟨Ty,φ(x+y)⟩⟩(φ∈D(Rn))\langle S*T,\varphi\rangle =\left\langle S_x,\left\langle T_y,\varphi(x+y)\right\rangle\right\rangle \qquad(\varphi\in\mathcal D(\R^n))

は超関数を定める。逆の順序の反復作用も定義され、T∗S=S∗TT*S=S*Tである。任意の多重指数α\alphaについて

∂α(S∗T)=(∂αS)∗T=S∗(∂αT),supp⁡(S∗T)⊆supp⁡S+supp⁡T\partial^\alpha(S*T)=(\partial^\alpha S)*T=S*(\partial^\alpha T), \qquad \supp(S*T)\subseteq\supp S+\supp T

が成り立つ。A+B={a+b∣a∈A, b∈B}A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}とする。三つの超関数のうち少なくとも二つがコンパクトな台をもつとき、その畳み込みは結合的である。また、δ0∗S=S\delta_0*S=Sである。

証明.L=supp⁡TL=\supp Tとし、LLの近傍で11となるχ∈D(Rn)\chi\in\mathcal D(\R^n)を取る。内側の作用を

gφ(x)=⟨Ty,χ(y)φ(x+y)⟩g_\varphi(x)=\langle T_y,\chi(y)\varphi(x+y)\rangle

と書くと、補題 4.1によってgφg_\varphiは滑らかである。x∉supp⁡φ−Lx\notin\supp\varphi-Lならば、y↦φ(x+y)y\mapsto\varphi(x+y)はLLの近傍で零であるからgφ(x)=0g_\varphi(x)=0である。ゆえに

supp⁡gφ⊆supp⁡φ−L\supp g_\varphi\subseteq\supp\varphi-L

であり、gφg_\varphiは試験関数である。

supp⁡φ⊆K\supp\varphi\subseteq Kとなるコンパクト集合KKを固定する。SSの有限階評価をK−LK-L上で、TTの有限階評価をsupp⁡χ\supp\chi上で取り、それぞれの位数をp,qp,qとする。パラメータ微分の公式と積の微分の評価により、あるCK≥0C_K\geq0に対して

∣⟨S,gφ⟩∣≤CKmax⁡∣γ∣≤p+q∥∂γφ∥∞|\langle S,g_\varphi\rangle| \leq C_K\max_{|\gamma|\leq p+q}\|\partial^\gamma\varphi\|_\infty

となる。したがって§E15.1 命題 1.2によってS∗TS*Tは超関数である。

K−supp⁡χK-\supp\chiの近傍で11となるξ∈D(Rn)\xi\in\mathcal D(\R^n)を取ると、

⟨S∗T,φ⟩=⟨Sx,⟨Ty,ξ(x)χ(y)φ(x+y)⟩⟩\langle S*T,\varphi\rangle =\langle S_x,\langle T_y,\xi(x)\chi(y)\varphi(x+y)\rangle\rangle

である。補題 4.2により作用の順序を交換する。yyがLLの十分小さい近傍にあるとき、x↦φ(x+y)x\mapsto\varphi(x+y)の台上でξ(x)=1\xi(x)=1であり、χ(y)=1\chi(y)=1である。TTはこの近傍の外の値に依存しないので、交換した式は

⟨Ty,⟨Sx,φ(x+y)⟩⟩\left\langle T_y,\left\langle S_x,\varphi(x+y)\right\rangle\right\rangle

に一致する。内側はパラメータ作用の補題によって滑らかであり、外側にはコンパクト台の超関数の延長を用いる。これが逆の順序の畳み込みである。

⟨∂j(S∗T),φ⟩=−⟨Sx,⟨Ty,∂jφ(x+y)⟩⟩\langle\partial_j(S*T),\varphi\rangle=-\langle S_x,\langle T_y,\partial_j\varphi(x+y)\rangle\rangleにおいて、パラメータ微分の公式によってxxに関する微分を内側の作用の外へ出すと(∂jS)∗T(\partial_jS)*Tを得る。一方、yyに関する超関数微分の定義を用いるとS∗(∂jT)S*(\partial_jT)を得る。反復により多重指数の公式が従う。

A=supp⁡SA=\supp Sとする。AAは閉、LLはコンパクトであるからA+LA+Lは閉である。実際、aj+lj→za_j+l_j\to zならば、ljl_jの収束部分列を取り、その極限をl∈Ll\in Lとするとaj→z−l∈Aa_j\to z-l\in Aとなる。supp⁡φ∩(A+L)=∅\supp\varphi\cap(A+L)=\varnothingのとき、supp⁡gφ⊆supp⁡φ−L\supp g_\varphi\subseteq\supp\varphi-LはAAと交わらないので、⟨S,gφ⟩=0\langle S,g_\varphi\rangle=0である。よって台の包含が従う。

R∈D′(Rn)R\in\mathcal D'(\R^n)、S,T∈E′(Rn)S,T\in\mathcal E'(\R^n)とする。S∗TS*Tも台の包含によってコンパクト台をもつ。supp⁡φ=K\supp\varphi=K、supp⁡S=L\supp S=L、supp⁡T=M\supp T=Mとし、y,zy,zの切断関数をそれぞれL,ML,Mの近傍で11となるように取る。さらに、xxの切断関数をK−supp⁡χy−supp⁡χzK-\supp\chi_y-\supp\chi_zの近傍で11となるように取る。積

χx(x)χy(y)χz(z)φ(x+y+z)\chi_x(x)\chi_y(y)\chi_z(z)\varphi(x+y+z)

は三変数の試験関数である。反復作用の補題を変数の組ごとに適用することにより、Rx,Sy,TzR_x,S_y,T_zの作用を任意の順序で交換することができる。畳み込みの定義を二回適用すると、R∗(S∗T)R*(S*T)と(R∗S)∗T(R*S)*Tはいずれもこの三重作用に一致する。χy,χz\chi_y,\chi_zはそれぞれS,TS,Tの台の近傍で11であり、χx\chi_xはRRに作用させる試験関数の台の近傍で11であるから、これらの切断関数を挿入しても作用は変わらない。したがって結合則が成り立つ。他の配置は交換則によってこの配置へ帰着する。最後に⟨δ0,y,φ(x+y)⟩=φ(x)\langle\delta_{0,y},\varphi(x+y)\rangle=\varphi(x)であるから、S∗δ0=SS*\delta_0=Sとなる。▨

命題 4.4.n≥1n\geq1を整数、S∈D′(Rn)S\in\mathcal D'(\R^n)、ψ∈D(Rn)\psi\in\mathcal D(\R^n)とする。このとき

(S∗ψ)(x)=⟨Sy,ψ(x−y)⟩(S*\psi)(x)=\langle S_y,\psi(x-y)\rangle

は滑らかな関数であり、任意の多重指数α\alphaに対して

∂α(S∗ψ)=S∗(∂αψ)\partial^\alpha(S*\psi)=S*(\partial^\alpha\psi)

が成り立つ。この関数が定める超関数は、ψ\psiの定めるコンパクト台の超関数とSSの畳み込みに一致する。

証明.xxをコンパクト集合AAの近傍に制限すると、y↦ψ(x−y)y\mapsto\psi(x-y)の台はAAを少し広げたコンパクト集合と−supp⁡ψ-\supp\psiの和に含まれる。補題 4.1をF(x,y)=ψ(x−y)F(x,y)=\psi(x-y)に適用すると、滑らかさと微分の公式が従う。

φ∈D(Rn)\varphi\in\mathcal D(\R^n)を取る。φ(x)ψ(x−y)\varphi(x)\psi(x-y)の台は(x,y)(x,y)のコンパクト集合に含まれる。補題 4.2をxxの Lebesgue 積分による超関数とSyS_yに適用し、z=x−yz=x-yと変数変換すると

∫φ(x)⟨Sy,ψ(x−y)⟩ dx=⟨Sy,∫φ(x)ψ(x−y) dx⟩=⟨Sy,∫ψ(z)φ(y+z) dz⟩.\begin{aligned} \int\varphi(x)\langle S_y,\psi(x-y)\rangle\,dx &=\left\langle S_y,\int\varphi(x)\psi(x-y)\,dx\right\rangle\\ &=\left\langle S_y,\int\psi(z)\varphi(y+z)\,dz\right\rangle. \end{aligned}

右辺は超関数の畳み込みの定義である。▨

定理 4.5.n≥1n\geq1を整数、Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nを開集合、T∈D′(Ω)T\in\mathcal D'(\Omega)とする。ρ∈D(Rn)\rho\in\mathcal D(\R^n)は非負で、supp⁡ρ⊆B(0,1)‾\supp\rho\subseteq\overline{B(0,1)}、∫ρ=1\int\rho=1を満たすとし、ρε(x)=ε−nρ(x/ε)\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)とおく。ε>0\varepsilon>0に対して

Ωε={x∈Ω∣d(x,Rn∖Ω)>ε}\Omega_\varepsilon =\{x\in\Omega\mid d(x,\R^n\setminus\Omega)>\varepsilon\}

とする。Ω=Rn\Omega=\R^nの場合はΩε=Rn\Omega_\varepsilon=\R^nとする。このとき

Tε(x)=⟨Ty,ρε(x−y)⟩(x∈Ωε)T_\varepsilon(x)=\langle T_y,\rho_\varepsilon(x-y)\rangle \qquad(x\in\Omega_\varepsilon)

は滑らかである。任意のφ∈D(Ω)\varphi\in\mathcal D(\Omega)に対して、十分小さいε\varepsilonではsupp⁡φ⊆Ωε\supp\varphi\subseteq\Omega_\varepsilonとなり、

∫ΩεTε(x)φ(x) dx⟶⟨T,φ⟩(ε→0)\int_{\Omega_\varepsilon}T_\varepsilon(x)\varphi(x)\,dx \longrightarrow\langle T,\varphi\rangle \qquad(\varepsilon\to0)

が成り立つ。

証明.Ωε\Omega_\varepsilonの各コンパクト集合AAに対して、xxをAAの十分小さい近傍に制限するとρε(x−⋅)\rho_\varepsilon(x-\cdot)の台はΩ\Omega内の固定したコンパクト集合に含まれる。補題 4.1によってTεT_\varepsilonは滑らかである。

K=supp⁡φK=\supp\varphiとする。Ω≠Rn\Omega\ne\R^nの場合、KKとΩ\Omegaの外部との距離は正である。Ω=Rn\Omega=\R^nの場合も含め、十分小さいε\varepsilonに対してK⊆ΩεK\subseteq\Omega_\varepsilonである。反復作用の補題によって

∫Tε(x)φ(x) dx=⟨Ty,∫ρε(x−y)φ(x) dx⟩=⟨T,ρˇε∗φ⟩,ρˇ(x)=ρ(−x)\int T_\varepsilon(x)\varphi(x)\,dx =\left\langle T_y,\int\rho_\varepsilon(x-y)\varphi(x)\,dx\right\rangle =\langle T,\check\rho_\varepsilon*\varphi\rangle, \qquad\check\rho(x)=\rho(-x)

となる。ここではφ\varphiを全空間へ零延長する。ε\varepsilonを小さく固定した上限以下に制限すると、ρˇε∗φ\check\rho_\varepsilon*\varphiの台はΩ\Omega内の一つのコンパクト集合LLに含まれる。任意のα\alphaについて

∥∂α(ρˇε∗φ−φ)∥∞≤sup⁡∣h∣≤ε∥∂αφ(⋅−h)−∂αφ∥∞⟶0\|\partial^\alpha(\check\rho_\varepsilon*\varphi-\varphi)\|_\infty \leq\sup_{|h|\leq\varepsilon} \|\partial^\alpha\varphi(\cdot-h)-\partial^\alpha\varphi\|_\infty \longrightarrow0

である。LL上の有限階評価を適用すると所要の極限を得る。▨

例 4.6.HHを例 1.3で定めたR\R上の Heaviside 関数とし、非負のρ∈D(R)\rho\in\mathcal D(\R)がsupp⁡ρ⊆[−1,1]\supp\rho\subseteq[-1,1]、∫Rρ=1\int_\R\rho=1を満たすとする。ε>0\varepsilon>0に対してρε(x)=ε−1ρ(x/ε)\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\rho(x/\varepsilon)とおく。このとき、命題 4.4と変数変換t=x−yt=x-yにより、

(H∗ρε)(x)=∫0∞ρε(x−y) dy=∫−∞xρε(t) dt(H*\rho_\varepsilon)(x) =\int_0^\infty\rho_\varepsilon(x-y)\,dy =\int_{-\infty}^x\rho_\varepsilon(t)\,dt

である。したがってH∗ρεH*\rho_\varepsilonは滑らかであり、積分の微分により

(H∗ρε)′(x)=ρε(x)(H*\rho_\varepsilon)'(x)=\rho_\varepsilon(x)

となる。この等式は、例 1.3と定理 4.3による(H∗ρε)′=H′∗ρε=δ0∗ρε=ρε(H*\rho_\varepsilon)'=H'*\rho_\varepsilon=\delta_0*\rho_\varepsilon=\rho_\varepsilonとも一致する。

ρε\rho_\varepsilonの台は[−ε,ε][-\varepsilon,\varepsilon]に含まれ、積分は11である。ゆえにH∗ρεH*\rho_\varepsilonはx≤−εx\leq-\varepsilonで00、x≥εx\geq\varepsilonで11であり、幅2ε2\varepsilon以下の区間で単調に変化する。また、定理 4.5により、H∗ρεH*\rho_\varepsilonはε→0\varepsilon\to0のとき超関数としてHHに弱収束する。

例 4.7.Rn\R^n上の定数関数11は超関数を定めるが、上の畳み込みの台の条件を満たさない。非負で積分が正であるφ∈D(Rn)\varphi\in\mathcal D(\R^n)に対して、形式的な内側の積分は

∫Rnφ(x+y) dy=∫Rnφ(y) dy>0\int_{\R^n}\varphi(x+y)\,dy=\int_{\R^n}\varphi(y)\,dy>0

という定数となる。この関数は試験関数ではなく、外側の積分は無限大となる。したがって、この反復作用によって1∗11*1を定めることはできない。

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