Banach 空間の微分法 | 関数解析 I

定義 1.1. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間、 $U\subseteq X$ を開集合、 $f\colon U\to Y$ を写像、 $x\in U$ とする。有界な $\mathbb K$ 線形写像 $L\in B(X,Y)$ が存在して

\lim_{\substack{h\to0\\h\ne0}}\frac{\|f(x+h)-f(x)-Lh\|_Y}{\|h\|_X}=0

となるとき、 $f$ は $x$ で Fréchet 微分可能 (Fréchet differentiable) であるといい、 $L$ を $Df(x)$ と書く。剰余を $o(\|h\|_X)$ と書くことは、この極限が零であることを意味する。複素 Banach 空間の写像について実微分を考える場合は、 $X,Y$ を実 Banach 空間とみなし、 $L$ に実線形性を要求する。

命題 1.2. 同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間 $X,Y$ の間の写像 $f\colon U\to Y$ が、開集合 $U\subseteq X$ の点 $x$ で Fréchet 微分可能ならば、 $Df(x)$ は一意であり、 $f$ は $x$ で連続である。

証明. $L,M\in B(X,Y)$ がともに微分の条件を満たすとし、 $v\in X\setminus\{0\}$ に対して $h=tv$ 、 $t>0$ を代入する。二つの剰余の差を $t$ で割り、 $t\downarrow0$ とすると $\|(L-M)v\|=0$ を得る。 $v=0$ に対しても $(L-M)v=0$ であるから $L=M$ である。また、 $f(x+h)-f(x)=Lh+o(\|h\|)$ と $\|Lh\|\le\|L\|\|h\|$ から、 $h\to0$ のとき $f(x+h)\to f(x)$ である。▨

定義 1.3. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間、 $U\subseteq X$ を開集合とする。連続写像 $f\colon U\to Y$ の全体を $C^0(U,Y)$ と書く。 $f$ が $U$ の各点で Fréchet 微分可能であり、 $Df\colon U\to B(X,Y)$ が作用素ノルムについて連続であるとき、 $f$ は $C^1$ 級であるという。 $k\in\NN$ に対し、 $f$ が $C^1$ 級で $Df$ が $C^k$ 級であることを、 $f$ が $C^{k+1}$ 級であることと定める。すべての $k\in\NN$ について $C^k$ 級である写像を $C^\infty$ 級という。微分を反復するときの作用素空間は、§E10.2 定理 2.2により Banach 空間である。

命題 1.4. $X,Y,Z$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間とする。積 $X\times Y$ には最大値ノルムを入れる。このとき、次が成り立つ。

$A\in B(X,Y)$ と $b\in Y$ に対し、 $f(x)=Ax+b$ は $C^\infty$ 級であり、 $Df(x)=A$ である。
連続な $\mathbb K$ 双線形写像 $b\colon X\times Y\to Z$ は $C^\infty$ 級であり、 $Db(x,y)[h,k]=b(h,y)+b(x,k)$ である。
$U\subseteq X$ と $V\subseteq Y$ を開集合、 $f\colon U\to V$ 、 $g\colon V\to Z$ とする。このとき、 $f$ が $x\in U$ で微分可能であり、 $g$ が $f(x)$ で微分可能ならば、 $g\circ f$ は $x$ で微分可能であり、 $D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))Df(x)$ である。さらに、 $k\in\NN\cup\{\infty\}$ に対し、 $f,g$ が $C^k$ 級ならば $g\circ f$ も $C^k$ 級である。

証明. $f(x)=Ax+b$ に対して $f(x+h)-f(x)-Ah=0$ と計算する。 $Df$ は定数写像であり、その微分は零であるから、主張 (1)を得る。

連続双線形写像 $b$ について、原点での連続性から、 $\delta>0$ が存在して $\|x\|,\|y\|\le\delta$ ならば $\|b(x,y)\|\le1$ となる。零でない $x,y$ をそれぞれ $\delta x/\|x\|$ 、 $\delta y/\|y\|$ に規格化すると、 $M=\delta^{-2}$ に対して $\|b(x,y)\|\le M\|x\|\|y\|$ を得る。この評価は一方が零の場合も成り立つ。したがって

b(x+h,y+k)-b(x,y)-b(h,y)-b(x,k)=b(h,k)

の右辺のノルムは $M\max\{\|h\|,\|k\|\}^2$ 以下である。また、 $(x,y)\mapsto((h,k)\mapsto b(h,y)+b(x,k))$ はノルムが $2M$ 以下の有界線形写像である。主張 (1)により $Db$ は $C^\infty$ 級であり、主張 (2)を得る。

$A=Df(x)$ 、 $B=Dg(f(x))$ とおき、

f(x+h)=f(x)+Ah+r(h),\qquad g(f(x)+v)=g(f(x))+Bv+s(v)

と書く。 $r(h)=o(\|h\|)$ 、 $s(v)=o(\|v\|)$ である。 $v(h)=Ah+r(h)$ は $O(\|h\|)$ であり、 $v(h)\to0$ であるから、 $s(v(h))=o(\|h\|)$ である。 $v(h)=0$ の場合にも $s(0)=0$ として同じ評価が成り立つ。ゆえに

g(f(x+h))-g(f(x))-BAh=Br(h)+s(v(h))=o(\|h\|)

である。合成 $(S,T)\mapsto ST$ は§E10.2 命題 2.4により連続双線形であるから、 $f,g$ が $C^1$ 級ならば $x\mapsto Dg(f(x))Df(x)$ は作用素ノルムについて連続である。

積写像 $(u,v)$ の微分は $h\mapsto(Du[h],Dv[h])$ である。実際、その剰余の最大値ノルムは各座標の剰余のノルムの最大値に等しい。この式を反復すると、 $u,v$ が $C^k$ 級ならば $(u,v)$ も $C^k$ 級である。

$C^k$ 級の写像の合成が $C^k$ 級であると仮定し、 $f,g$ を $C^{k+1}$ 級とする。帰納法の仮定により $Dg\circ f$ は $C^k$ 級であり、 $Df$ も $C^k$ 級である。したがって $x\mapsto(Dg(f(x)),Df(x))$ も $C^k$ 級である。主張 (2)の合成写像と帰納法の仮定を用いると、 $D(g\circ f)$ は $C^k$ 級である。したがって $g\circ f$ は $C^{k+1}$ 級であり、帰納法と $C^\infty$ 級の定義から主張 (3)を得る。▨

定理 1.5. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間、 $U\subseteq X$ を開集合、 $f\colon U\to Y$ を $C^1$ 級の写像とする。このとき、 $x,y\in U$ が $[x,y]=\{x+s(y-x):0\le s\le1\}\subseteq U$ を満たすならば、

f(y)-f(x)=\int_0^1Df(x+s(y-x))(y-x)\,ds

であり、

\|f(y)-f(x)\|_Y\le \sup_{0\le s\le1}\|Df(x+s(y-x))\|\,\|y-x\|_X

が成り立つ。積分は $Y$ に値をとる Bochner 積分である。

証明. $v(s)=f(x+s(y-x))$ 、 $u(s)=Df(x+s(y-x))(y-x)$ とおく。微分の定義に実数の増分を代入すると、 $v$ の $s$ における実変数の微分は $u(s)$ である。 $f$ と $Df$ は連続であるから、 $u,v$ は $[0,1]$ 上で連続である。§E10.18 補題 7.3 (3)を適用すると $v(1)-v(0)=\int_0^1u(s)\,ds$ を得る。さらに§E10.18 補題 7.3 (1)の積分のノルム評価と $\|u(s)\|\le\|Df(x+s(y-x))\|\|y-x\|$ から不等式を得る。▨

定義 2.1. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間とする。全単射 $A\in B(X,Y)$ で逆写像 $A^{-1}\colon Y\to X$ も有界であるものを有界同型といい、その全体を $\operatorname{Iso}(X,Y)$ と書く。有界逆写像定理§E12.21 系 3.2により、 $B(X,Y)$ の全単射はすべて有界同型である。

補題 2.2. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間、 $A\in\operatorname{Iso}(X,Y)$ 、 $H\in B(X,Y)$ とする。このとき、 $\|A^{-1}H\|<1$ ならば $A+H\in\operatorname{Iso}(X,Y)$ であり、

(A+H)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-A^{-1}H)^nA^{-1},\qquad \|(A+H)^{-1}\|\le\frac{\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}H\|}

が成り立つ。級数は $B(Y,X)$ の作用素ノルムについて収束する。

証明. $A+H=A(I_X+A^{-1}H)$ と分解する。§E12.1 補題 3.1を $-A^{-1}H\in B(X,X)$ に適用すると、 $I_X+A^{-1}H$ の逆は級数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-A^{-1}H)^n$ である。右から $A^{-1}$ を合成し、§E10.2 命題 2.4を用いると、主張の級数表示とノルム評価を得る。▨

定理 2.3. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間とする。このとき、 $\operatorname{Iso}(X,Y)$ は $B(X,Y)$ の開集合であり、

\operatorname{inv}\colon\operatorname{Iso}(X,Y)\to B(Y,X),\qquad \operatorname{inv}(A)=A^{-1}

は $C^\infty$ 級である。任意の $A\in\operatorname{Iso}(X,Y)$ と $H\in B(X,Y)$ に対して、

D\operatorname{inv}(A)[H]=-A^{-1}HA^{-1}

が成り立つ。

証明. $A\in\operatorname{Iso}(X,Y)$ を固定し、 $\|A^{-1}\|\|H\|<1/2$ となる $H\in B(X,Y)$ をとる。補題 2.2により $A+H$ は有界同型であるから、 $\operatorname{Iso}(X,Y)$ は開である。 $B=A^{-1}$ 、 $C=(A+H)^{-1}$ とおくと、 $\|C\|\le2\|B\|$ であり、

C-B=-BHC,\qquad C-B+BHB=BH(B-C)=BHBHC

となる。したがって

\|C-B\|\le2\|B\|^2\|H\|,\qquad \|C-B+BHB\|\le2\|B\|^3\|H\|^2.

第一の不等式から逆作用素写像の連続性が従い、第二の不等式から主張の微分公式が従う。

$E=B(Y,X)$ 、 $G=B(B(X,Y),B(Y,X))$ とおき、 $\beta\colon E\times E\to G$ を $\beta(B,C)[H]=-BHC$ で定める。合成のノルム評価により $\|\beta(B,C)\|_G\le\|B\|\|C\|$ であるから、 $\beta$ は連続双線形写像であり、命題 1.4 (2)により $C^\infty$ 級である。微分公式は

D\operatorname{inv}(A)=\beta(\operatorname{inv}(A),\operatorname{inv}(A))

と書かれる。逆作用素写像の連続性から右辺は連続であり、 $\operatorname{inv}$ は $C^1$ 級である。 $\operatorname{inv}$ が $C^k$ 級ならば命題 1.4 (3)により右辺も $C^k$ 級であるから、 $\operatorname{inv}$ は $C^{k+1}$ 級である。帰納法により $C^\infty$ 級を得る。▨

補題 3.1. $X$ を実または複素 Banach 空間、 $r>0$ 、 $0\le q<1$ とし、 $W\subseteq X$ を閉球 $\overline B(0,r)=\{x:\|x\|\le r\}$ を含む開集合とする。 $C^1$ 級の写像 $f\colon W\to X$ が $f(0)=0$ と

\|Df(x)-I_X\|\le q\qquad(x\in\overline B(0,r))

を満たすとする。このとき、任意の $z\in B(0,(1-q)r)$ に対して、 $f(x)=z$ を満たす $x\in\overline B(0,r)$ がただ一つ存在し、その $x$ は $B(0,r)$ に属する。また、任意の $x,x'\in\overline B(0,r)$ に対して

\|x-x'\|\le(1-q)^{-1}\|f(x)-f(x')\|

が成り立つ。

証明. $R(x)=x-f(x)$ とおく。定理 1.5を $R$ と閉球内の線分に適用すると、 $\|R(x)-R(x')\|\le q\|x-x'\|$ である。 $x-x'=f(x)-f(x')+R(x)-R(x')$ から

(1-q)\|x-x'\|\le\|f(x)-f(x')\|

を得る。

$z\in B(0,(1-q)r)$ を固定し、 $T_z(x)=z+R(x)$ と定める。 $R(0)=0$ であるから、 $\|x\|\le r$ ならば $\|T_z(x)\|\le\|z\|+qr<r$ である。閉球は非空の完備距離空間であり、 $T_z$ は縮小比 $q$ の自己写像である。§E2.7 定理 2.2により $T_z$ の不動点が閉球にただ一つ存在する。不動点の条件は $f(x)=z$ と同値であり、 $\|x\|=\|T_z(x)\|<r$ である。▨

定理 3.2. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間、 $U\subseteq X$ を開集合、 $f\colon U\to Y$ を $C^1$ 級の写像とする。このとき、 $x_0\in U$ において $Df(x_0)\in\operatorname{Iso}(X,Y)$ ならば、 $x_0$ と $f(x_0)$ の開近傍 $U_0\subseteq U$ 、 $V_0\subseteq Y$ が存在し、 $f|_{U_0}\colon U_0\to V_0$ は $C^1$ 微分同相、すなわち自身と逆写像がともに $C^1$ 級である全単射となる。 $g=(f|_{U_0})^{-1}$ と書くと、任意の $y\in V_0$ に対して

Dg(y)=Df(g(y))^{-1}

が成り立つ。

証明. $A=Df(x_0)$ とおき、 $x_0+h\in U$ に対して $F(h)=A^{-1}(f(x_0+h)-f(x_0))$ と定める。 $F(0)=0$ 、 $DF(0)=I_X$ であり、 $DF$ は連続である。したがって、 $r>0$ が存在して $x_0+\overline B(0,r)\subseteq U$ かつ $\|DF(h)-I_X\|\le1/2$ が $\|h\|\le r$ で成り立つ。

$V'=B(0,r/2)$ 、 $U'=B(0,r)\cap F^{-1}(V')$ とおく。補題 3.1により $F|_{U'}\colon U'\to V'$ は全単射であり、その逆は Lipschitz 定数 $2$ をもつ。 $F$ は連続であるから $U'$ は開である。 $U_0=x_0+U'$ 、 $V_0=f(x_0)+A(V')$ とおくと、 $A^{-1}$ が連続であるから $V_0$ は開である。元の写像 $f|_{U_0}$ は $V_0$ への全単射であり、その逆 $g$ は

\|g(y)-g(y')\|\le2\|A^{-1}\|\|y-y'\|\qquad(y,y'\in V_0)

を満たす。

$y\in V_0$ と $x=g(y)$ を固定する。 $Df(x)=A\,DF(x-x_0)$ であり、 $\|DF(x-x_0)-I_X\|\le1/2$ であるから、補題 2.2により $B=Df(x)$ は有界同型である。 $k\to0$ 、 $y+k\in V_0$ に対して $h=g(y+k)-g(y)$ とおくと、 $g$ の Lipschitz 連続性から $\|h\|=O(\|k\|)$ である。 $f$ の $x$ における微分の定義から

k=Bh+o(\|h\|)

であるので、 $h=B^{-1}k+o(\|k\|)$ となる。したがって $Dg(y)=B^{-1}$ である。 $g$ と $Df$ の連続性、および定理 2.3により $y\mapsto Df(g(y))^{-1}$ は連続であるから、 $g$ は $C^1$ 級である。▨

定理 3.3. $X,Y,Z$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間、 $U\subseteq X\times Y$ を開集合、 $F\colon U\to Z$ を $C^1$ 級の写像とし、 $(x_0,y_0)\in U$ とする。部分微分を

D_xF(x,y)h=DF(x,y)[h,0],\qquad D_yF(x,y)k=DF(x,y)[0,k]

と定める。このとき、 $D_yF(x_0,y_0)\in\operatorname{Iso}(Y,Z)$ ならば、 $x_0,y_0$ の開近傍 $U_X\subseteq X$ 、 $U_Y\subseteq Y$ と、 $g(x_0)=y_0$ を満たす $C^1$ 級の写像 $g\colon U_X\to U_Y$ が存在し、 $U_X\times U_Y\subseteq U$ であり、任意の $(x,y)\in U_X\times U_Y$ に対して

F(x,y)=F(x_0,y_0)\quad\Longleftrightarrow\quad y=g(x)

が成り立つ。さらに、任意の $x\in U_X$ に対して $D_yF(x,g(x))$ は有界同型であり、

Dg(x)=-D_yF(x,g(x))^{-1}D_xF(x,g(x))

である。

証明. $\Phi\colon U\to X\times Z$ を $\Phi(x,y)=(x,F(x,y))$ で定め、 $B=D_xF(x_0,y_0)$ 、 $C=D_yF(x_0,y_0)$ とおく。積には最大値ノルムを入れる。 $\Phi$ は $C^1$ 級であり、

D\Phi(x_0,y_0)[h,k]=(h,Bh+Ck),\qquad D\Phi(x_0,y_0)^{-1}[a,b]=(a,C^{-1}(b-Ba))

である。後者は有界線形写像であるから、定理 3.2により、 $\Phi$ はある開近傍 $O\subseteq U$ から開近傍 $W\subseteq X\times Z$ への $C^1$ 微分同相である。逆写像を $H\colon W\to O$ と書く。

$z_0=F(x_0,y_0)$ とおく。 $D_yF$ の連続性と定理 2.3の開性により、 $(x_0,y_0)$ の開近傍 $P\subseteq O$ 上で $D_yF$ は有界同型である。開近傍 $A\subseteq X$ 、 $B_0\subseteq Y$ を $A\times B_0\subseteq P$ となるように選ぶ。 $W$ は $(x_0,z_0)$ の開近傍であり、 $H$ は連続であるから、 $x_0$ の開近傍 $U_X\subseteq A$ を十分小さくとると、すべての $x\in U_X$ について $(x,z_0)\in W$ かつ $H(x,z_0)\in A\times B_0$ となる。 $H(x,z_0)$ の第一座標は $x$ である。第二射影を $\pr_Y$ と書き、 $g(x)=\pr_YH(x,z_0)$ 、 $U_Y=B_0$ と定める。 $g$ は $C^1$ 級であり、 $\Phi(x,g(x))=(x,z_0)$ である。

$(x,y)\in U_X\times U_Y$ で $F(x,y)=z_0$ ならば、 $\Phi(x,y)=(x,z_0)$ であり、 $(x,y)\in O$ であるから、 $\Phi|_O$ の単射性により $y=g(x)$ である。逆向きは $\Phi(x,g(x))=(x,z_0)$ から従う。恒等式 $F(x,g(x))=z_0$ を命題 1.4 (3)によって微分すると、

D_xF(x,g(x))+D_yF(x,g(x))Dg(x)=0

を得る。 $(x,g(x))\in P$ であるから、左から $D_yF(x,g(x))^{-1}$ を合成して主張の微分公式を得る。▨

例 3.4. $n\in\NN$ とし、 $f\colon U\to\R^n$ を開集合 $U\subseteq\R^n$ 上の $C^1$ 級の写像とする。このとき、 $x_0\in U$ で Jacobi 行列 $Df(x_0)$ が可逆ならば、定理 3.2により $f$ は $x_0$ の近傍で $C^1$ 級の逆写像をもつ。これは Euclid 空間の逆関数定理である。

$f\colon\R\to\R$ 、 $f(x)=x^3$ は全単射であるが、 $Df(0)=0$ である。逆写像 $g(y)=\sqrt[3]{y}$ に対して、 $y\ne0$ では $g(y)/y=|y|^{-2/3}$ であるから、 $g$ は $0$ で微分可能でない。

例 3.5. $F\colon\R^2\to\R$ を $F(x,y)=y+y^3-x$ で定める。このとき、 $D_yF(0,0)=1$ であるから、定理 3.3により、 $0$ の近傍に $g(0)=0$ と $g(x)+g(x)^3=x$ を満たす $C^1$ 級の関数 $g$ が存在する。その微分は

g'(x)=\frac1{1+3g(x)^2}

であり、特に $g'(0)=1$ である。

定理 4.1. $X,Y$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間、 $L_0,L_1\in B(X,Y)$ とし、 $L_t=(1-t)L_0+tL_1$ とおく。ある定数 $C>0$ が存在して、すべての $t\in[0,1]$ と $x\in X$ に対して

\|x\|_X\le C\|L_tx\|_Y

が成り立つとする。このとき、 $L_0$ が全射であることは、 $L_1$ が全射であるための必要十分条件である。一方が全射ならば、すべての $t\in[0,1]$ について $L_t\in\operatorname{Iso}(X,Y)$ かつ $\|L_t^{-1}\|\le C$ である。

証明. $t\in[0,1]$ と $x\in\ker L_t$ をとると、一様評価から $\|x\|\le0$ である。したがって各 $L_t$ は単射である。 $L_s$ が全射ならば逆 $L_s^{-1}$ が存在し、 $x=L_s^{-1}y$ を一様評価に代入すると $\|L_s^{-1}y\|\le C\|y\|$ を得る。

$M=\|L_1-L_0\|$ とおき、 $N>CM$ を満たす $N\in\NN$ をとる。 $L_s$ が全射で $|t-s|\le1/N$ ならば、

\|L_s^{-1}(L_t-L_s)\|\le CM|t-s|\le CM/N<1

であるから、補題 2.2により $L_t$ も全射である。

全射である端点を $s_0\in\{0,1\}$ とし、任意の $t\in[0,1]$ に対して $s_j=s_0+j(t-s_0)/N$ 、 $j=0,\ldots,N$ とおく。隣り合う点の距離は $1/N$ 以下であるから、 $|t-s|\le1/N$ のとき全射性が保存されることを $N$ 回用いると、 $L_t=L_{s_N}$ は全射である。単射性と逆の評価も既に得られているので、主張が従う。▨

例 4.2. $X$ を実または複素 Banach 空間、 $B\in B(X,X)$ 、 $\|B\|<1$ とする。このとき、 $L_t=I_X-tB$ は任意の $x\in X$ と $t\in[0,1]$ に対して

\|L_tx\|\ge\|x\|-t\|Bx\|\ge(1-\|B\|)\|x\|

を満たす。 $L_0=I_X$ は全射であるから、定理 4.1により、すべての $L_t$ は有界同型であり、 $\|L_t^{-1}\|\le(1-\|B\|)^{-1}$ である。

一方、 $X\ne\{0\}$ 上の $L_t=(1-t)I_X$ は $t<1$ で全射であるが、 $L_1=0$ は全射でない。 $0\ne x\in X$ に対する下からの評価が成り立つならば $1\le C(1-t)$ であるから、 $t\in[0,1)$ に一様な有限の定数 $C$ は存在しない。

命題 5.1. $J\subseteq\R$ を空でない開区間、 $\varphi\in C^1(J,\R)$ とする。実 Banach 空間 $E=C([0,1];\R)$ に一様ノルム $\|\cdot\|_\infty$ を入れ、

\mathcal U=\{u\in E:u([0,1])\subseteq J\}

とおく。このとき、 $\mathcal U$ は $E$ の開集合であり、合成作用素

N_\varphi\colon\mathcal U\to E,\qquad N_\varphi(u)=\varphi\circ u

は $C^1$ 級である。その微分は $DN_\varphi(u)h=\varphi'(u)h$ であり、

\|DN_\varphi(u)\|=\|\varphi'\circ u\|_\infty

が成り立つ。

証明. $u\in\mathcal U$ を固定し、 $u([0,1])$ を内部に含むコンパクト区間 $K\subseteq J$ をとる。 $u$ の値域はコンパクトであるから、 $\delta>0$ が存在して、 $\|h\|_\infty\le\delta$ ならば $u(s)+h(s)\in K$ がすべての $s\in[0,1]$ で成り立つ。したがって $\mathcal U$ は開である。 $\varphi\circ u$ は連続であり、 $E$ は§E10.1 定理 3.6により Banach 空間である。

$\varphi'$ の $K$ 上の連続度を

\omega(\rho)=\sup\{|\varphi'(a)-\varphi'(b)|:a,b\in K,\ |a-b|\le\rho\}

とおく。 $\varphi'$ は $K$ 上で一様連続であるから、 $\rho\downarrow0$ のとき $\omega(\rho)\to0$ である。 $\|h\|_\infty\le\delta$ に対して、定理 1.5の積分公式を実数値関数 $\varphi$ に用いると、各 $s\in[0,1]$ で

\varphi(u(s)+h(s))-\varphi(u(s))-\varphi'(u(s))h(s) =\int_0^1\bigl(\varphi'(u(s)+\theta h(s))-\varphi'(u(s))\bigr)h(s)\,d\theta

である。したがって剰余の一様ノルムは $\omega(\|h\|_\infty)\|h\|_\infty$ 以下である。

乗算作用素 $M_u h=\varphi'(u)h$ は有界線形であり、 $\|M_u\|\le\|\varphi'\circ u\|_\infty$ である。定数関数 $h=1$ を代入すると逆向きの不等式も得られる。よって $DN_\varphi(u)=M_u$ と主張のノルム等式が成り立つ。 $\|v-u\|_\infty\le\delta$ ならば

\|M_v-M_u\|=\|\varphi'\circ v-\varphi'\circ u\|_\infty \le\omega(\|v-u\|_\infty)

であるから、微分は作用素ノルムについて連続である。▨

命題 5.2. $1\le p<\infty$ とし、 $(0,1)$ に Lebesgue 測度を入れる。 $\varphi\colon\R\to\R$ を非アフィンな大域 Lipschitz 連続の $C^1$ 級関数とする。このとき、

N_\varphi\colon L^p(0,1;\R)\to L^p(0,1;\R),\qquad N_\varphi(u)=\varphi\circ u

は Lipschitz 連続であるが、任意の $c\in\R$ に対し、定数関数 $u=c$ で Fréchet 微分可能でない。

$c\in\R$ を固定し、 $N_\varphi$ が $u=c$ で微分 $T\in B(L^p,L^p)$ をもつと仮定する。有限個の値をとる単関数 $v$ に対して、スカラー微分の定義から

\frac{\varphi(c+tv)-\varphi(c)}t\longrightarrow\varphi'(c)v \quad\text{in }L^p\quad(t\to0)

である。実際、 $v$ の有限個の値における差商の誤差の最大値が零に収束し、区間の測度は有限である。一方、Fréchet 微分の定義により同じ差商は $Tv$ に収束するから、 $Tv=\varphi'(c)v$ である。§E10.23 定理 2.2と両作用素の有界性により、すべての $v\in L^p$ について $Tv=\varphi'(c)v$ となる。

$\varphi$ は非アフィンであるから、 $a\ne0$ が存在して $d=\varphi(c+a)-\varphi(c)-\varphi'(c)a\ne0$ である。実際、すべての $a$ について $d=0$ ならば、任意の $s=c+a$ に対して $\varphi(s)=\varphi(c)+\varphi'(c)(s-c)$ となる。 $E_n=(0,1/n)$ 、 $h_n=a\mathbf1_{E_n}$ とおくと、

\|h_n\|_p=|a|n^{-1/p}\longrightarrow0,\qquad \frac{\|N_\varphi(c+h_n)-N_\varphi(c)-Th_n\|_p}{\|h_n\|_p} =\frac{|d|n^{-1/p}}{|a|n^{-1/p}}=\frac{|d|}{|a|}>0.

Fréchet 微分可能ならば左辺は零に収束するので、左辺が正の定数に等しいことと両立しない。したがって $N_\varphi$ は $u=c$ で微分可能でない。▨

例 5.3. $\varphi(s)=\sin s$ による合成作用素 $N_\varphi$ は、一様ノルムをもつ $C([0,1];\R)$ では命題 5.1により $C^1$ 級であり、 $DN_\varphi(u)h=(\cos u)h$ である。一方、任意の $1\le p<\infty$ に対して、命題 5.2により $L^p(0,1;\R)$ 上では零関数で微分可能でない。具体的に $h_n=\pi\mathbf1_{(0,1/n)}$ とすると、 $\|h_n\|_p=\pi n^{-1/p}\to0$ であるが、 $\|\sin h_n-h_n\|_p/\|h_n\|_p=1$ である。一様ノルムでは $\|h_n\|_\infty=\pi$ であり、この列は零に収束しない。

§E12.22Banach 空間の微分法

1 微分と線分上の評価

2 逆作用素の微分

3 逆写像と陰関数

4 一様な評価による連続法

5 合成作用素の微分可能性

前提記事