Fredholm 作用素 | 関数解析 I

定義 1.1. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X,Y$ を $\mathbb K$ 上の Banach 空間、 $T\in B(X,Y)$ とする。余核を $\coker T=Y/\im T$ と書く。 $\ker T$ と $\coker T$ がともに有限次元であるとき、 $T$ を Fredholm 作用素という。このとき

\operatorname{ind}T=\dim\ker T-\dim\coker T

を $T$ の指数という。余核の基底の代表元が張る有限次元部分空間 $Y_1$ は $Y=\im T\oplus Y_1$ を満たす。Banach 空間は F 空間であるから、§E12.21 系 2.5により、Fredholm 作用素の像はノルム位相に関して閉じている。したがって、 $X,Y$ が Hilbert 空間である場合、この定義と指数は§E12.5 定義 2.2に一致し、余核は§E12.5 命題 2.1の商空間と同じである。

命題 1.2. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X,Y$ を $\mathbb K$ 上の Banach 空間、 $T\in B(X,Y)$ とする。このとき、 $\im T$ が $Y$ のノルム位相に関して閉じているならば、商ノルムを入れた余核について線形等長同型

(\coker T)^*\cong(\im T)^\perp=\ker T'

が成り立つ。また、 $\coker T$ が有限次元であることと $\ker T'$ が有限次元であることは同値であり、この場合には

\dim\coker T=\dim\ker T'

である。とくに、Fredholm 作用素 $T$ について $\operatorname{ind}T=\dim\ker T-\dim\ker T'$ である。

証明. $q\colon Y\to Y/\im T$ を商写像とする。§E12.38 補題 1.1 (1)により $\varphi\mapsto\varphi\circ q$ は余核双対から $(\im T)^\perp$ への線形等長同型であり、§E12.38 命題 1.2により $(\im T)^\perp=\ker T'$ である。

$E=\coker T$ とおく。 $E$ が有限次元ならば、§E12.16 系 4.3 (2)により $E$ 上の線形汎関数はすべて連続であり、§E3.5 定理 1.2により $\dim E^*=\dim E$ である。逆に $E^*$ が有限次元ならば、同じ二つの結果から $E^{**}$ も有限次元である。§E12.17 定理 4.7により $E$ は $E^{**}$ へ線形に埋め込まれるので、 $E$ は有限次元である。指数の式は定義から従う。▨

定理 2.1. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X,Y$ を $\mathbb K$ 上の Banach 空間、 $T\in B(X,Y)$ とする。このとき、次の三条件は同値である。

$T$ は Fredholm 作用素である。
$I_X-ST$ と $I_Y-TS$ がともに有限階数作用素であるような $S\in B(Y,X)$ が存在する。
$I_X-ST$ と $I_Y-TS$ がともにコンパクト作用素であるような $S\in B(Y,X)$ が存在する。

証明. $T$ が Fredholm 作用素であると仮定する。§E12.19 命題 5.1により、ノルム位相に関する位相的直和

X=\ker T\oplus X_1,\qquad Y=\im T\oplus Y_1

をとることができる。 $X_1$ と $\im T$ は Banach 空間であり、 $A=T|_{X_1}\colon X_1\to\im T$ は有界線形全単射であるから、§E12.21 系 3.2により $A^{-1}$ は有界である。 $Q\colon Y\to\im T$ を上の直和に関する有界な射影とし、 $S=\iota_{X_1}A^{-1}Q$ とおく。ここで $\iota_{X_1}\colon X_1\to X$ は包含写像である。 $ST$ は $X_1$ への射影、 $TS=Q$ は $\im T$ への射影である。したがって $I_X-ST$ と $I_Y-TS$ の像はそれぞれ $\ker T$ と $Y_1$ であり、両作用素は有限階数である。これで(1) $\Rightarrow$ (2)は示された。

§E12.2 命題 1.4により、主張 (2)から主張 (3)が従う。

$S$ が主張 (3)の条件を満たすとする。 $X,Y$ が Hilbert 空間ならば、§E12.5 定理 3.2により $T$ は Fredholm 作用素である。一般の Banach 空間について、 $C=I_X-ST$ 、 $D=I_Y-TS$ とおく。§E12.2 命題 5.2 (1)により $\ker(I_X-C)$ は有限次元であり、 $\ker T\subseteq\ker(I_X-C)$ であるから $\ker T$ も有限次元である。

§E12.2 命題 5.2 (2)により $M=\im(I_Y-D)$ は $Y$ のノルム位相に関して閉じている。§E12.3 定理 2.2により $D'$ はコンパクトであり、§E12.2 命題 5.2 (1)により $\ker(I_{Y^*}-D')$ は有限次元である。 $(I_Y-D)'=I_{Y^*}-D'$ であるから、命題 1.2を $I_Y-D$ に適用すると $Y/M$ は有限次元である。 $M=\im(TS)\subseteq\im T$ であるので、標準全射 $Y/M\to Y/\im T$ により $\coker T$ も有限次元である。よって $T$ は Fredholm 作用素である。▨

定理 3.1. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X,Y$ を $\mathbb K$ 上の Banach 空間とする。このとき、次が成り立つ。

Fredholm 作用素の全体は作用素ノルム位相に関して $B(X,Y)$ の開集合であり、その上で指数は局所定数である。すなわち、任意の Fredholm 作用素 $T\in B(X,Y)$ に対して、ある $\varepsilon>0$ が存在し、 $\lVert U-T\rVert<\varepsilon$ を満たす任意の $U\in B(X,Y)$ は Fredholm 作用素であり、 $\operatorname{ind}U=\operatorname{ind}T$ を満たす。
$T\in B(X,Y)$ が Fredholm 作用素であり、 $K\in\mathcal K(X,Y)$ ならば、 $T+K$ も Fredholm 作用素であり、 $\operatorname{ind}(T+K)=\operatorname{ind}T$ である。

証明. $T\in B(X,Y)$ を Fredholm 作用素とし、§E12.19 命題 5.1により、 $N=\ker T$ 、 $R=\im T$ として位相的直和 $X=X_1\oplus N$ 、 $Y=R\oplus Y_1$ をとる。§E12.21 系 3.2により $A=T|_{X_1}\colon X_1\to R$ の逆は有界である。これらの直和に関して

T=\begin{pmatrix}A&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

と書く。各成分は包含写像と有界な射影との合成であるから、 $U\mapsto a$ は作用素ノルムについて連続である。したがって、ある $\varepsilon>0$ が存在し、 $\lVert U-T\rVert<\varepsilon$ ならば $\lVert A^{-1}(a-A)\rVert<1$ である。§E12.1 補題 3.1を $-A^{-1}(a-A)$ に適用すると、 $a=A(I_{X_1}+A^{-1}(a-A))$ は有界な逆をもつ。

$F=d-ca^{-1}b\colon N\to Y_1$ とおくと、ブロックの積を計算して

\begin{pmatrix}I_R&0\\-ca^{-1}&I_{Y_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_{X_1}&-a^{-1}b\\0&I_N\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&0\\0&F\end{pmatrix}

を得る。左右の三角行列は有界作用素を表し、それぞれ非対角成分の符号を変えた行列を逆にもつ。したがって $U$ の核は $\ker F$ と線形同型であり、 $U$ の余核は $Y_1/\im F$ と線形同型である。 $N,Y_1$ は有限次元であるから、 $U$ は Fredholm 作用素である。§E3.9 定理 1.3と§E3.9 系 2.2により

\begin{aligned} \operatorname{ind}U &=(\dim N-\dim\im F) -(\dim Y_1-\dim\im F)\\ &=\dim N-\dim Y_1=\operatorname{ind}T. \end{aligned}

これで主張 (1)は示された。

$K\in\mathcal K(X,Y)$ とし、定理 2.1 (3)を満たす $S\in B(Y,X)$ をとる。任意の $t\in[0,1]$ について

I_X-S(T+tK)=(I_X-ST)-tSK,\qquad I_Y-(T+tK)S=(I_Y-TS)-tKS

である。§E12.2 命題 1.5と§E12.2 命題 1.8 (1)により両辺の誤差はコンパクトであり、定理 2.1により $T+tK$ は Fredholm 作用素である。写像 $t\mapsto T+tK$ は作用素ノルムについて連続であるから、主張 (1)により $t\mapsto\operatorname{ind}(T+tK)$ は局所定数である。各値の逆像は $[0,1]$ の相対位相に関して開かつ閉であり、§E2.43 定理 2.2により $[0,1]$ は連結である。したがって指数は $[0,1]$ 上で定数であり、 $t=0,1$ における値を比較して主張 (2)を得る。▨

命題 3.2. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X,Y,Z$ を $\mathbb K$ 上の Banach 空間、 $T\in B(X,Y)$ 、 $S\in B(Y,Z)$ を Fredholm 作用素とする。このとき $ST\in B(X,Z)$ は Fredholm 作用素であり、

\operatorname{ind}(ST)=\operatorname{ind}S+\operatorname{ind}T

が成り立つ。

証明.定理 2.1により、 $T$ と $S$ に対して有限階数誤差をもつ左右逆作用素 $A\in B(Y,X)$ と $B\in B(Z,Y)$ をとる。等式

\begin{aligned} I_X-ABST&=(I_X-AT)+A(I_Y-BS)T,\\ I_Z-STAB&=(I_Z-SB)+S(I_Y-TA)B \end{aligned}

により、 $AB$ は $ST$ に対して有限階数誤差をもつ左右逆作用素である。よって $ST$ は Fredholm 作用素である。

線形写像の列

0\longrightarrow\ker T\xrightarrow{\iota}\ker(ST) \xrightarrow{T}\ker S\xrightarrow{q_T|_{\ker S}}\coker T \xrightarrow{\widetilde S}\coker(ST) \xrightarrow{\pi}\coker S\longrightarrow0

を考える。ここで $\iota$ は包含写像、 $q_T\colon Y\to\coker T$ は商写像であり、 $\widetilde S$ と $\pi$ はそれぞれ

\widetilde S(y+\im T)=Sy+\im(ST),\qquad \pi(z+\im(ST))=z+\im S

で定まる写像である。 $S(\im T)=\im(ST)$ と $\im(ST)\subseteq\im S$ により、両写像は代表元によらず定まる。

$\iota$ は単射であり、 $\ker(T|_{\ker(ST)})=\ker T$ である。また、 $T(\ker(ST))=\ker S\cap\im T=\ker(q_T|_{\ker S})$ である。 $\widetilde S(q_Ty)=0$ ならば、 $Sy=STx$ を満たす $x\in X$ が存在するので、 $y-Tx\in\ker S$ かつ $q_Ty=q_T(y-Tx)$ となる。逆に $y\in\ker S$ ならば $\widetilde S(q_Ty)=0$ である。よって $\ker\widetilde S=q_T(\ker S)$ である。さらに $\ker\pi=\im S/\im(ST)=\im\widetilde S$ であり、 $\pi$ は全射である。

この列の各空間は有限次元であり、各写像の核は直前の写像の像に一致する。§E3.9 定理 1.3を各写像に適用して交代和をとると、像の次元が相殺され、

\dim\ker T-\dim\ker(ST)+\dim\ker S -\dim\coker T+\dim\coker(ST)-\dim\coker S=0

を得る。指数の定義から所要の等式が従う。▨

系 4.1. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X$ を $\mathbb K$ 上の Banach 空間、 $K\in\mathcal K(X)$ とする。このとき、 $I_X-K$ は指数 $0$ の Fredholm 作用素であり、

\dim\ker(I_X-K)=\dim\ker(I_{X^*}-K')<\infty

が成り立つ。任意の $y\in X$ について、方程式 $(I_X-K)x=y$ が解をもつための必要十分条件は

y\in\bigl(\ker(I_{X^*}-K')\bigr)_\perp,

すなわち $K'g=g$ を満たすすべての $g\in X^*$ について $g(y)=0$ が成り立つことである。解 $x_0$ が存在するとき、解の全体は $x_0+\ker(I_X-K)$ である。したがって、 $I_X-K$ が有界な逆をもつ場合と、 $Kx=x$ を満たす零でない $x\in X$ が存在する場合のいずれか一方だけが成り立つ。

証明. $I_X$ の核と余核はともに零であるから、定理 3.1 (2)により $I_X-K$ は指数 $0$ の Fredholm 作用素である。命題 1.2を適用すると、二つの核の次元は等しく、有限である。像はノルム位相に関して閉じているから、§E12.38 定理 2.2 (4)により

\im(I_X-K)=\bigl(\ker(I_{X^*}-K')\bigr)_\perp

である。また、 $(I_X-K)x_0=y$ のとき、 $(I_X-K)x=y$ は $x-x_0\in\ker(I_X-K)$ と同値である。

$X=\{0\}$ ならば $I_X-K$ は可逆である。 $X\ne\{0\}$ とし、 $\ker(I_X-K)=\{0\}$ を仮定する。複素数体上では、§E12.2 定理 6.1 (1)により $1\notin\sigma(K)$ であり、 $I_X-K$ は有界な逆をもつ。実数体上では、§E12.2 系 7.3により $1\notin\sigma(K_{\C})$ であり、 $I_{X_{\C}}-K_{\C}$ は有界な逆をもつ。したがって、任意の $y\in X$ に対して

(I_{X_{\C}}-K_{\C})(u+iv)=y

を満たす $u,v\in X$ が一意に存在する。実部と虚部を比較すると $(I_X-K)u=y$ 、 $(I_X-K)v=0$ であり、 $v=0$ である。したがって $I_X-K$ は全単射であり、§E12.21 系 3.2により逆は有界である。 $\ker(I_X-K)\ne\{0\}$ ならば $I_X-K$ は単射でないので、逆をもたない。▨

例 5.1. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $X=C([0,1],\mathbb K)$ に一様ノルムを入れる。定数関数 $1$ を $\mathbf1$ と書き、 $P\colon X\to X$ を $Pf=f(0)\mathbf1$ で定める。このとき、§E10.1 定理 3.6により $X$ は Banach 空間であり、 $P$ は $\lVert Pf\rVert_\infty=|f(0)|\leq\lVert f\rVert_\infty$ を満たす階数 $1$ の線形作用素である。したがって、§E12.2 命題 1.4により $P$ はコンパクトである。

評価汎関数 $\delta_0\in X^*$ を $\delta_0(f)=f(0)$ で定める。このとき、任意の $\varphi\in X^*$ と $f\in X$ について

(P'\varphi)(f)=\varphi(Pf)=\varphi(\mathbf1)f(0)

であるから、 $P'\varphi=\varphi(\mathbf1)\delta_0$ である。 $\delta_0(\mathbf1)=1$ より、 $P'\varphi=\varphi$ は $\varphi\in\mathbb K\delta_0$ と同値であり、 $\ker(I_{X^*}-P')=\mathbb K\delta_0$ を得る。よって系 4.1により、 $g\in X$ に対する方程式

f-f(0)\mathbf1=g

が解をもつための必要十分条件は $g\in(\mathbb K\delta_0)_\perp$ 、すなわち $g(0)=0$ である。この条件が成り立つとき、 $g$ 自身が一つの解であり、 $\ker(I_X-P)=\mathbb K\mathbf1$ であるから、解の全体は $g+\mathbb K\mathbf1$ である。

例 5.2. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $\ell^2$ 上の右シフトと左シフトを

S(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots),\qquad L(x_1,x_2,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots)

とする。このとき、§E12.5 例 3.3により $S,L$ は Fredholm 作用素であり、 $\operatorname{ind}S=-1$ 、 $\operatorname{ind}L=1$ である。命題 3.2と定理 3.1 (2)により、任意の $m\in\NN$ と $K\in\mathcal K(\ell^2)$ について $S^m+K$ と $L^m+K$ は Fredholm 作用素であり、

\operatorname{ind}(S^m+K)=-m,\qquad \operatorname{ind}(L^m+K)=m

である。したがって $S^m+K$ は全射でなく、 $L^m+K$ は単射でない。

有界作用素 $S-I$ はコンパクトでない。実際、標準単位ベクトルについて $(S-I)e_{2n}=e_{2n+1}-e_{2n}$ であり、相異なる $n,k\in\NN$ に対して

\lVert(S-I)e_{2n}-(S-I)e_{2k}\rVert_2=2

である。ゆえに有界列 $(e_{2n})$ の像はノルム収束する部分列をもたず、§E12.2 命題 1.3 (2)に反するので $S-I$ はコンパクトでない。 $I+(S-I)=S$ の指数は $-1$ であり、 $I$ の指数は $0$ であるから、指数の摂動不変性からコンパクト性の仮定を外すことはできない。

問題 5.3. $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $\ell^2$ 上の作用素 $P$ を $Px=x_1e_1$ で定める。 $t\in\R$ に対して $T_t=I-P+tP$ とおく。各 $T_t$ の核と余核の次元および指数を求め、指数の局所定数性から核の次元の局所定数性は従わないことを示せ。

§E12.39Fredholm 作用素

1 核と余核

2 コンパクト誤差をもつ左右逆作用素

3 指数の安定性

4 Fredholm の交代定理

5 例と演習

参考文献

前提記事